8-2正向级数
正项级数的比值审敛法
例一—-设，a则-an2〈+（奇T=如），"础 一 3 例•设an -
8
8
n
从而级数£ an = £ n=1 n=1 2
但 5 = 2 + (T)n+1
收敛.
1
一 a” 2(2 + (-1)n ) 〃‘ 且lim c2n =z，
lim
c2n+1
=
3，・.・
lim
-n±L
=
lim
ns 6 cn 不存
10n+1 n! 10
故级数£刍发散. n=110
1 .比值审敛法不必找参考级数，通过相邻两项比值的极限 来确定级数的敛散性.
2.当级数的一般性含有n!时,采用比值审敛法
一、比值审敛法（达朗贝尔判别法）
8
"
定理1 :设£an是正项级皿数,若极限lim-^ = p,则
8 n=1
E an
⑴p < 1时,£ an收敛；
n=1 8
(2) 1 < p V+8 时，£ an 发
散;
n=1
证明：⑴当Q vl时,取0 V £ V 1 - 〃，记r = p + £
< 1,
a
则于是H NaN,+当1 < nra>N ,Na时N+2,有< a-nr^aN<+1p< +r a£N，= 一r, , 8
ns
当p = +8时,取M > 1,则存在N，当 n > N时,
芒>M.同上，级数发散
比值审敛法的优点：不必找参考级数.
8
注1 P = 1时,£ an可能收敛，也可能发
项级数的概念
项级数的概念项级数是数学中的一个概念，指的是一个无穷序列的和。
在项级数中，每一项都是具有固定模式的数列中的某一项，而项级数的和就是这些数列中所有的项的总和。
项级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1, a2, a3, ... 是一个数列的项，n 是一项的位置。
举个例子，如果项级数为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，那么a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，... ，n 表示数列中项的编号。
项级数可以分为两类：收敛项级数和发散项级数。
当项级数的和存在且有限时，我们称其为收敛项级数；当项级数的和不存在或为无穷大时，我们称其为发散项级数。
对于收敛项级数，我们常常使用极限的概念来表示。
如果项级数S具有有限的和S，则对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，Sn - S < ε。
其中，Sn 表示项级数的前n项和。
为了更好地理解项级数的概念，我们可以看一些经典的例子。
1. 等差数列：1, 2, 3, 4, ...这是一个常见的等差数列，每一项与前一项之差都相等。
项级数可以表示为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
2. 等比数列：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个等比数列，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
3. 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...这是一个调和级数，每一项是倒数数列。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
4. 幂级数：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个幂级数，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
【微积分】08-数项级数
【微积分】08-数项级数1. 级数1.1 级数的定义 现在从增量的⾓度重新讨论数列的极限，⽽这也是极限在许多实际问题中的呈现形式。
对于数列S_n，设a_n=S_n-S_{n-1}，则有S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n。
为讨论S_n的敛散性，定义式（1）的加式为级数，a_n称为级数的通项，S_n称为级数的部分和。
如果S_n收敛于有限值S，则称级数收敛于S（其实就是定义了级数的值），否则称级数发散（也就没有值）。
\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots\tag{1} 以级数形式表⽰极限其实很常见，⽐如我们熟悉的等⽐数列之和，它的部分和在q\ne 1时满⾜式（2）。
故级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}在q<1时收敛，⽽在a\ne 0,\,q\geqslant 1时发散。
这个级数也被称为⼏何级数，它的结论对后⾯讨论级数的收敛问题很有作⽤。
S_n=a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}=a\dfrac{1-q^n}{1-q}\tag{2} 直觉上的级数是⼀个⼩数集合的总和，但其实级数的值与通项的顺序也是有关的，后⾯我们将会给出反例。
对任何级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n，将其每⼀项的顺序打乱得到它的更序级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}a'_n，但要注意，这⾥的打乱还要求a_n必须对应到有限项a'_m，⽽不能出现在⽆穷之后。
有个基本问题是，级数的更序级数之间的敛散性关系如何？如果都收敛，它们的值相等吗？1.2 级数的性质 ⼀些特殊形式的级数，可以通过变形判定其敛散性，甚⾄得到级数的值。
但很多时候，我们只需要、也只能判定级数的敛散性，为此需要寻找有效的判定条件。
⼀种⽅法就是利⽤极限的判定条件，⽐如说利⽤判定极限的柯西准则，可知级数收敛的充要条件是：对任意的\varepsilon>0，只要n⾜够⼤，总有式（3）成⽴。
13.2 正项级数及其审敛法
时，lim n
un
0.
3.
若出现
ρ=1 或
lim
n
n
un
不存在,
则改用其它方法.
4. 条件是充分的, 并非必要.
由
un(, un 0)
收敛
lim n
n
un
1；
n1
由 un(, un 0)
发散
lim n
n
un
1.
n1
均可能出现 1，或不存在.
例14 判定正项级数的敛散性.
解
(1)
lim n
1
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数，且
lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时,级数收敛; (2) 当 1 时, 级数发散 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
当 x=1时,
级数是调和级数
1 ,
发散.
例12 判定正项级数
解
因为
0
n 2n
cos2
nn1
3
n 2n
cos
n 2n
2
n3n1的n敛散性.
(n 1,2,)
且
lim
n
n1 2n1
2n n
n1 lim
n 2n
1 2
1
,所以
n1
n 2n
收敛,
再由比较判别法知, 原级数也收敛.
例13 利用级数敛散性, 证明
部分和数列 有上界 .
第二节 正项级数及其审敛法、第三节 绝对收敛与条件收敛
un+1 a ( n + 1 )! n = lim ⋅ n ρ = lim n+1 n→ ∞ u n → ∞ ( n + 1) a n! n
a a = lim = , n→ ∞ 1 n e (1 + ) n 故 ( 1 ) 当 a < e 时 , 即 ρ < 1 时 , 级数收敛
(2) 当 a > e 时 , 即 ρ > 1 时 ,
1 又 ∑ 2 收敛 , n =1 n
∞
故原级数收敛. 故原级数收敛
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 比值审敛法( Alembert 判别法)
un +1 = ρ (ρ数或 + ∞ ) 是正项级数, 设 ∑ un 是正项级数,如果 lim n→ ∞ u n =1 n
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛;ρ > 1时级数发散; ρ = 1 时失效.
n =1
∞
∞
1 n+1 ) ∑ ( − ln ; (3) n =1 n n
∞
n
1 1 ~ n ( 2) ∵ n → ∞ 时, n 3 −n 3
1 故原级数收敛. 又 ∑ n 收敛 , 故原级数收敛 n =1 3
∞
n+1 1 ) ∑ ( − ln (3) n =1 n n
∞
1 n+1 − ln n n = lim x − ln(1 + x ) lim n→ ∞ x→0 1 x2 2 n 1 1− x 1 1 + x = lim = lim = , x→0 x → 0 2 x (1 + x ) 2x 2
正项级数
第二节 正项级数
若 un 0, 则称 un 为正项级数 .
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “ ” 若 “”
收敛 , ∴部分和数列
故有界. 单调递增,
（2） 1 时级数发散;
（3） 1 时级数可能收敛也可能发散.
级数
1 发散,
n1 n
级数
1
n2
n1
收敛,
(
类似等比级数
1)
处理含阶乘的和含幂次的方便
比值收敛法的优点：不必找参考级数. 24
例5 判别下列级数的敛散性.
3n n3
(1)
n1
定理 则
设 un和vn均为正项级数，且un vn (n 1, 2,),
n1
n1
(1) 若大级数 vn 收敛,则小级数 un 收敛；
n1
n1
(2) 若小级数 un 发散，则大级数 vn 发散.
n1
n1
证明 (2)是(1)的等价命题.
注：定理的条件可放宽为：
n3nx来自limx
3x
lim
x
1 3x ln 3
0.
1
lim
n
3n
n
1 3n
lim
n
3n 3n
n
1
lim
n
1
n 3n
1.
22
例12 讨论
8.2正项级数
(1)当r 1时, 级数 un为收敛级数
n 1
(2)当r 1时, 级数 un为发散级数
n 1
(3)当r 1时, 级数 un可能收敛, 也可能发散
n 1
【微积分8-2-12】
2、证明： (1)当0 r
1时,
un1 un1 lim r , 对r r0 1, N , 使当n N时有 r0 ,即 n u un n
【微积分8-2-18】
n 1
3、应用举例：
an n 例8 判别级数 ( ) ( a 0)的敛散性 n 1 2n 1
na n a ) 解： lim un lim ( n n 2n 1 2
n n
a 当0 1即0 a 2时, 级数收敛 2
a 当 1即a 2时, 级数发散 2
n 1
un1 un1 1 1 当r 0时有, lim 0 , 故N , 使当n N时有 n u 2 un 2 n
同样可得级数 un为收敛级数
n 1
【微积分8-2-13】
un1 un1 (2)当r 1时, lim r 1,N , 使当n N时有 1 n u un n
n 1
1 n 1 1 n 解： 2 1 2 1 ln 2, 而级数 发散 n n 1 n
1 所以 (1 cos )收敛 n n 1
级数 ( n 2 1)为发散级数
n 1
【微积分8-2-11】
三、比值判别法
un1 r, 则有 1、定理： 设 un为正项级数, 且有 lim n u n 1 n
正项级数与负项级数统称为保号级数。
数项级数的概念与基本性质
8.1数项级数的概念与基本性质教学目的理解级数的概念和基本性质教学重点级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数教学难点有穷项相加与无穷项相加的差异教学过程1.导入以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课2.1常数项级数的概念定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞==++++121n nn aa a a （8.1.1）的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数∑∞=1n na的通项（或一般项）．如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数.例如， 等差数列各项的和+-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数．等比数列各项的和+++++-112111n q a q a q a a称为等比级数，也称为几何级数．级数11n n ∞=∑ =111123n +++++ 称为调和级数．级数（8.1.1）的前n 项和为：121nn k k k S a a a a ===+++∑ ，称n S 为级数∑∞=1n na的前n 项部分和，简称部分和．2.2常数项级数收敛与发散定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞→lim (常数)则称极限S 为无穷级数∑∞=1n na的和．记作++++==∑∞=n n n a a a a S 211此时称级数∑∞=1n na收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数∑∞=1n na发散，这时级数没有和．显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差++=-=++21n n n n a a S S r叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ．例１ 讨论几何级数+++++=∑∞=-n n n aq aq aq a aq211的敛散性，其中0≠a ，q 是公比．结论：几何级数∑∞=-11n n aq，当1||<q 时收敛，且qaaq n n -=∑∞=-111；1||≥q 时发散． 例2 判别无穷级数++++⋅+⋅=+∑∞=)1(1321211)1(11n n n n n 的敛散性． 例3 证明级数+++++=∑∞=n n n 3211发散．2.3收敛级数的基本性质 性质8.1 若s an n=∑∞=1,σ=∑∞=1n nb，则级数σ±=±∑∞=s b a n n n 1)(．性质8.2 若∑∞=1n na收敛，k 为非零常数，则级数∑∞=1n nka也收敛，且有∑∑∞=∞==11n n n na k ka．性质8.3 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim =∞→n n a .性质8.3表明，0lim =∞→n n a 是级数收敛的必要条件．因此，如果级数的通项不趋于0，则该级数一定发散；若该级数的通项趋于0，则该级数可能收敛，也可能发散．例4 已知级数为++++++12735231n n ， 讨论其敛散性．注意：性质8.3只是级数收敛的必要条件，并非充分条件．例如调和级数+++++=∑∞=n n n 13121111， n a n 1=，01lim lim ==∞→∞→n a n n n ，但它是发散的.3.小结 3.1无穷级数∑∞=1n nu＝ +++++n u u u u 321其中n u 叫通项．3.2部分和n nk kn u u u us +++==∑= 211，当s s n n =∞→lim 存在时级数收敛，否则发散．3.3四条基本性质：性质1-4．3.4收敛的必要条件．4.布置习题(略)8.2正项级数及其审敛法教学目的理解正项级数的概念和性质教学重点正项级数的各种审敛法，几何级数与P-级数教学难点比较判别法教学过程1.复习 1.1问题⑴级数就是无穷多项相加吗? ⑵级数收敛的必要条件?⑶算术级数、等比级数、调和级数的敛散性 1.2讲解作业 2.讲授新课级数的问题，首先是敛散性问题.一般来说，根据级数收敛与发散的定义、性质只能判别出少数级数的敛散性，因此还必须建立其他的判别法.下面将分别给出正项级数、任意项级数的敛散性判别法.首先，来研究正项级数及其敛散性的判别法.2.1正项级数的定义定义8.3 若数项级数∑∞=1n nu的一般项0≥n u （ ,2,1=n ），则称数项级数∑∞=1n nu为正项级数．正项级数是很重要的一类数项级数，下面我们给出两种常用的判定正项级数收敛或发散的法则，这些法则都给出了级数收敛的充分条件． 2.2比较判别法定理8.1（比较判别法） 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数，若n n cv u ≤（1,2,;n =c 为大于零的常数）则（1）当∑∞=1n nv收敛时，∑∞=1n nu也收敛；（2）当∑∞=1n nu发散时，∑∞=1n nv也发散．注意：定理8.1告诉我们：只需与已知敛散性的正项级数作比较，便可判定正项级数的敛散性．通常我们选用几何级数和下面的-p 级数作为判定正项级数敛散性的比较对象．级数+++++p p p n131211（常数0>p ） 称为-p 级数，-p 级数当1≤p 时发散，当1>p 时收敛（证明从略）．调和级数即为1p =时的情形．例5 判定下列级数的敛散性：(1)∑∞=11n n；(2)∑∞=11n nn． 2.3比值判别法比较审敛法是通过与某个已知敛散性的级数比较对应项的大小，来判断给定级数的敛散性，但有时不易找到作为比较对象的已知级数，这就提出了一个问题，能否从级数本身直接判别级数的收敛性呢？达朗贝尔找到了比值审敛法．定理8.2（比值判别法，又称达朗贝尔判别法） 若正项级数∑∞=1n nu（0>n u ）的后项与前项之比值的极限等于ρ，即ρ=+∞→nn n u u 1lim，则（1）1<ρ时，级数收敛；（2）1>ρ（或∞=ρ）时，级数发散； （3）1=ρ时，不能判断级数的敛散性．例6 判别下列级数的敛散性：(1)∑∞=122n n n ； (2)∑∞=1!n n n n ．２.４课堂练习⑴利用比较判别法，判断下列级数的敛散性： ① ++++7151311；② +-++++1253321n n ． ⑵利用比值判别法，判断下列级数的敛散性：①∑∞=123n n n ；②∑∞=1!1n n ．3.小结⑴正项级数的概念；⑵比较审敛法、比值审敛法 4.布置习题(略)8.3任意项级数及其审敛法教学目的理解变号级数的概念和性质教学重点交错级数的审敛法，绝对收敛与条件收敛教学难点绝对收敛与条件收敛教学过程1.复习复习正项级数比较审敛法、比值审敛法 2.讲授新课2.1绝对收敛级数与条件收敛级数设),3,2,1( =n u n 为任意实数，则级数∑∞=1n nu称为任意项级数．为了判定任意项级数∑∞=1n nu的收敛性，通常先考察其各项的绝对值组成的正项级数∑∞=1n nu的收敛性．定理8.3 若绝对值级数∑∞=1n nu收敛，则级数∑∞=1n nu必定收敛．注：由于∑∞=1||n nu总是正项级数，因此定理8.3 使得一大类级数的收敛性问题转化为正项级数的收敛性问题．定义8.4 若级数∑∞=1||n n u收敛，则称原级数∑∞=1n n u 绝对收敛．若级数∑∞=1||n n u 发散，而级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu为条件收敛．例7 判断级数∑∞=1!n nn a （a 为任意常数）的敛散性． 注意：定理8.3的逆定理并不成立．即绝对收敛的级数一定收敛，但收敛级数却不一定绝对收敛．2.2交错级数及其审敛法定义8.5 若级数的各项符号正负相间，即∑∞=+-=+-+-114321)1(n n n u u u u u ，或 ∑∞=-=+-+-1321)1(n n nu u u u ，则称此级数为交错级数，其中0>n u （ ,2,1=n ）． 由于级数∑∑∞=∞=+--=-111)1()1(n n n n n nu u ，所以下面只讨论∑∞=+-11)1(n n n u 的敛散性．定理8.4（莱布尼兹判别法） 若交错级数∑∞=+-11)1(n n n u ，0>n u ，1,2,n = ，满足条件：（1）1+≥n n u u ，1,2,n = ；（2）0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=+-11)1(n n n u 收敛，且其和1u S ≤．例8 判断级数∑∞=-1)1(n nn 的敛散性．解 此交错级数1n u n =，111n u n +=+，满足（1）111+>n n （1,2,n = ）（2）01)1(lim lim =-=∞→∞→nu n n n n 由莱布尼兹判别法知，级数收敛．又由于(1)1n n u n n -==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数是条件收敛．此例也说明，定理8.3的逆定理不成立． 3.小结⑴任意项级数的M 判别法 ⑵绝对收敛与条件收敛⑶交错级数与莱布尼茨判别法 (另提行)4.布置习题(略)第6章7份 第7章3份 第8章6份 第9章4份8.4幂级数及其收敛性教学目的理解幂级数的概念；求简单幂级数的收敛半径及收敛区间．教学重点幂级数的收敛性教学难点幂级数的收敛性教学过程1.导入上一节学习了常数项级数的概念及敛散性的判别方法，常数项级数是函数项级数的特例，那么什么是函数项级数呢？ 2.讲授新课2.1函数项级数的概念若给定一个定义在区间I 上的函数列)(1x u ，)(2x u ，…，)(x u n ，… 则由此函数列构成的表达式121()()()()nnn u x u x u x u x ∞==++++∑ （8.2.1）称为定义在I 上的函数项级数，)(x u n 称为一般项或通项．对每一确定的点I x ∈0，都对应一个数项级数121()()()()nnn u x u x u x u x ∞==++++∑ （8.2.2）若数项级数（8.2.2）收敛，则称0x 为函数项级数（8.2.1）的收敛点．若数项级数（8.2.2）发散，则称0x 为函数项级数（8.2.1）的发散点．函数项级数（8.2.1）的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域．对于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数成为一个收敛域内的数项级数，因此，有一个确定的和()x S ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是关于x 的函数()x S ，通常称()x S 为函数项级数的和函数，记作()()∑∞==1n n x u x S ．其中x 是收敛域内的任意一点．将函数项级数的前n 项和记作()x S n ，则在收敛域上有()()x S x S n n =∞→lim ．函数项级数中最简单、最重要的一类，就是我们下面要讨论的幂级数． 2.2幂级数及其收敛性定义8.6 形如+++++=∑∞=n n n n nx a x a x a a x a22100（8.2.3）的级数称为幂级数，其中0a ，1a ，…，n a ，…称为幂级数的系数．对幂级数，我们首先要考虑的也是它的收敛性问题，首先介绍如下定理． 定理8.5 若ρ=+∞→||lim 1nn n a a ， 其中n a ，1+n a 是幂级数∑∞=0n n nx a相邻两项的系数，则(1)当0=ρ时，幂级数∑∞=0n n nx a在任何()+∞∞-∈,x 处收敛；(2)当+∞=ρ时，幂级数∑∞=0n n nx a仅在0=x 收敛；(3)当ρ为不等于的常数时，幂级数∑∞=0n nn x a 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ρρ1,1x 内收敛，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈,11,ρρ x 内发散． 0≠ρ时，令ρ1=R ，并规定：0=ρ时，+∞=R ；+∞=ρ，0=R ．R 称为幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径；区间()R R ,-称为幂级数的收敛区间． R 为正常数时，幂级数在收敛区间的端点处R x ±=可能收敛，也可能发散；R x >时，幂级数发散．如果收敛半径R 为正数，那么在求幂级数收敛域时，要注意考察端点处的敛散性，所得收敛域有四种：[,]R R -、(,]R R -、[,)R R -、(,)R R -，它们通常都称为幂级数的收敛区间.例1 求幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛半径与收敛区间． 例2 求幂级数∑∞=12n nn x 的收敛区间．例3 求幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛区间．练一练求下列幂级数的收敛区间：(1)∑∞=1n nnx ； (2)∑∞=1!n n x n ．3.小结⑴幂级数的概念； ⑵收敛半径1limnn n a R a →∞+=，收敛区间注意讨论端点； 4.布置习题(略)8.5幂级数的性质教学目的理解幂级数的性质，会幂级数的主要运算.教学重点幂级数的4条性质(包括在收敛区间内可逐项求导和逐项积分).教学难点收敛区间内可逐项求导和逐项积分.教学过程1.复习1.1幂级数的概念. 1.2收敛半径1limnn n a R a →∞+=，收敛区间讨论端点. 2.讲授新课2.1幂级数的性质性质8.4 若幂级数∑∞=0n nnx a与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为1R 和2R ，则∑∑∑∞=∞=∞=+=+0)(n nn n n nn n nn x b a x b x a 的收敛半径等于1R 和2R 中的较小的一个．性质8.5 设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R （0>R ），则其和函数∑∞==0)(n n n x a x S 在区间),(R R -内连续．性质8.6 设幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径为R （0>R ），则其和函数)(x S 在),(R R -内可导，且有逐项求导公式：∑∑∞=-∞=='='010)()(n n n n nn x na x a x S ，其中R x <||，且逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径．性质8.7 设幂级数的收敛半径为R （0>R ），则其和函数)(x S 在区间),(R R -内可积，且有逐项积分公式：∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===011)()(n n n n xnn xn nn xx n a dx x a dx x a dx x S ，其中R x <||，且逐项积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径． 2.2利用性质求幂级数的收敛区间和和函数例4 求幂级数∑∞=-11n n nx的收敛区间及和函数．解11lim ||lim 1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ，收敛半径11==ρR ，又1±=x 时，所得的级数发散，因此收敛区间为)1,1(-．设和函数∑∞=-=11)(n n nxx S ，由性质8.7xxx dx nx dx nxdx x S n n n xn xn n x-====∑∑⎰⎰∑⎰∞=∞=-∞=-1)()(11111，)1,1(-∈x ， 两边对x 求导得 2)1(1)1()(x x x x S -='-=，)1,1(-∈x ． 课堂练习：⑴求幂级数101n n x n +∞=+∑的和函数．解 设和函数为)(x s ，即)(x s ＝∑∞=++011n n n x ． 两端求导，并注意到)1,1(,1112-∈+++++=-x x x x xn ． 可得1001()()11n n n n x s x x n x +∞∞==''===+-∑∑． 上式两端从0到x 积分，得01()(0)d ln(1)1xs x s x x x -==---⎰， (1,1)x ∈-. 由于(0)0s =．又当1x =-时，10(1)1n n n +∞=-+∑收敛，所以 ∑∞=++011n n n x =)1,1[)1ln(-∈--x x ． ⑵求幂级数21(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数，并求级数01(1)21n n n ∞=-+∑的和． 解略3.小结幂级数的性质，特别是逐项微分和逐项积分性质.4.布置习题(略)8.6函数展开成幂级数教学目的函数能展开为幂级数的条件；泰勒级数的概念．5个重要的初等函数的幂级数展开式及它们的收敛区间；将简单的初等函数展开为x 的幂级数．教学重点函数展开成泰勒级数；间接展开法.教学难点函数展开成泰勒级数.教学过程1.导入前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的求法，但在实际问题中往往会提出相反的问题：对于已知函数)(x f ，能否用幂级数来表示? 下面将讨论这个问题．2.讲授新课2.1泰勒级数⑴泰勒展开式若函数)(x f 在点0x 的某一邻域内具有直到)1(+n 阶的导数，则对此邻域内任意x 有+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f()()()()()()()10100!1!++-++-+n n n n x x n f x x n x f ξ. （8.3.1） 称(8.3.1)为)(x f 的泰勒展开式或泰勒公式，其中ξ在0x ，x 之间，且()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ 称为)(x f 的n 阶泰勒余项． n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+≈ ． (8.3.2) 在泰勒展开式中，当00=x 时，记x θξ=，10<<θ，公式（8.3.1）成为()()()()11)(2!1!)0(!2)0()0()0(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ (8.3.3) 称(8.3.3)为)(x f 的麦克劳林展开式．⑵泰勒级数若)(x f 在点0x 的某邻域内具有各阶导数)(x f '，)(x f ''，…，)()(x fn ，…，此时我们可让多项式（8.3.1）的项数趋于无穷而构成幂级数 +-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000 （8.3.4） 幂级数（8.3.4）称为函数)(x f 的泰勒级数．定理8.６ 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域)(0x U 内具有各阶导数，则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项)(x R n 当∞→n 时的极限为零.即0)(lim =∞→x R n n （)(0x U x ∈）． 在（8.3.4）式中，若00=x ，可得 +++''+'+=n n x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2 （8.3.5） 级数（8.3.5）称为函数)(x f 的麦克劳林级数．函数)(x f 的麦克劳林级数是x 的幂级数，若)(x f 能展开成x 的幂级数，则展开式是唯一的，就是)(x f 的麦克劳林级数．2.2函数展开成幂级数⑴直接展开法利用麦克劳林公式将)(x f 展开成x 的幂级数，其步骤如下：①求出)(x f 的各阶导数)(x f '，)(x f ''，…，)()(x fn ，…，如果)(x f 在0=x 处的某阶导数不存在，则)(x f 不能展开成幂级数；②求出函数及其各阶导数在0=x 处的值： )0(f ，)0(f '，)0(f ''，…，)0()(n f ，…；③写出函数)(x f 的幂级数并求出收敛半径R ；④考察),(R R x -∈时，余项)(x R n 的极限1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ （ξ在0与x 之间）． 是否为零.如果为零，则级数（8.3.6）收敛，且和函数就是)(x f ．即+++''+'+=n n x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2． ),(R R x -∈ 如果极限不为零，则级数（8.3.6）的和函数就不是)(x f ，即)(x f 不能展开成x 的幂级数．例1 将函数x e x f =)(展开成x 的幂级数．例2 将函数x x f sin )(=展开成x 的幂级数．例3 函数m x x f )1()(+=（其中m 为任意常数）展开成x 的幂级数．⑵间接展开法通常利用几何级数、x e 、x sin 、()mx +1的幂级数展开式，根据函数幂级数展开式的唯一性，通过代数运算或求导、求积分运算将函数)(x f 展开成幂级数，这种方法称为间接展开法．例4 将x211-展开为x 的幂级数． 例5 将函数x x f cos )(=展开为x 的幂级数．例6 将)1ln()(x x f +=展开为x 的幂级数．3.小结⑴泰勒系数与泰勒级数；⑵函数的泰勒级数展开式（主要掌握间接展开）；4.布置习题(略)。
常见收敛发散级数
常见收敛发散级数收敛和发散是数学中用来描述数列或数级数行为的术语。
在数学中，一些常见的收敛和发散级数包括：1.调和级数：调和级数是指形如1/n的级数。
即1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ...。
经过研究发现，这个级数是发散的，也就是说，级数的和是无穷大的。
2.等差级数：等差级数是指形如a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + ... + (a+nd) + ...的级数。
其中a为首项，d为公差。
当公差d不为零时，等差级数是发散的。
只有当公差d等于零时，等差级数才是收敛的，此时级数的和等于首项a。
3.几何级数：几何级数是指形如a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n + ...的级数。
其中a为首项，r为公比。
当公比r的绝对值小于1时，几何级数是收敛的，此时级数的和等于首项a除以(1-r)。
当公比r的绝对值大于或等于1时，几何级数是发散的。
4.幂级数：幂级数是指形如a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... + anx^n + ...的级数。
其中a0, a1, a2, ...是一系列常数，而x是变量。
根据幂级数的收敛半径来判断，当x的取值在收敛半径内时，幂级数是收敛的；而当x的取值超过收敛半径时，幂级数是发散的。
5.正项级数：正项级数是指级数的每一项都是大于或等于零的。
对于正项级数，若存在一个数M，使得级数的部分和序列有界，则该级数是收敛的。
反之，如果级数的部分和序列无界，则该级数是发散的。
6.条件收敛级数：条件收敛级数是指某个级数的所有项之和是有限的，但是如果改变项的顺序，那么级数的和将发生改变。
著名的例子是贝尔数列（Riemann定理），这个级数的和在正向加法中是发散的，但是在某些特定方式的反向加法中是收敛的。
7.交错级数：交错级数是指级数的所有项交替正负。
交错级数的判断方式较为特殊，可以应用莱布尼茨判别法。
拉贝判别法
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推论1(根式判别法的极限形式) 设 un 为正项级 数,且
lim un l ,
n
n
(11)
则
(i) 当 l 1 时, 级数 un 收敛; (ii) 当 l 1 时, 级数
u 发散.
n
证 由(11)式, 当取 1 l 时, 存在某正数 N,对一切 n > N, 有 l un l . 于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论.
当 q 1 时, 根据 的取法,有 q 1, 由上述不等式
的左半部分及比式判别法的 (i), 得正项级数 un 是收敛的.
若 q 1, 则有 q 1, 根据上述不等式的左半部分
所以这时级数 un 是发散的.
及比式判别法的 (ii), 可得级数 un 是发散的. un1 1, 若 q , 则存在 N , 当 n N 时有 un
1 比较原则和定理12.3, 级数 2 也收敛. n n1
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2 2 u , v 例2 若级数 n n 收敛, 则级数 unvn 收敛.
证 因为 | unvn | u v , 而级数 u , v 收敛，
2 n 2 n
2 n 2 n
根据比较原则, 得到级数 unvn 收敛. 在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便. 推论 (比较原则的极限形式) 设 un , vn 是两个 正项级数,若
b nc n1 b nc n
(8)
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解 由于
un1 b, n 为奇数, un c , n 为偶数,
故有
正项级数的敛散性问题研究
法可知 数 由
＝ Ｚ
·
根
ｊ ＋ ｛ 一 ｌ Ｊ
明显，当ｎ为奇数时，结果为 １；当ｎ为偶数时，结果为÷ ．
１ｉｍ 兰 不存在 ，所 以此 级数 不能用比值法判定敛散性．
＋ Ⅱ
二 、总 结 本文重点介绍 了数项级数 中最基本的级数 —— 正项级
数的各种收敛方法．判断某一个正项级数∑ｕ 收敛的一般
推 论 １ 设
ｌ＋ ２＋ … ＋ ＋…
（１）
１＋ ２＋… ＋ ＋…
（２）
是 两 个 正 项 级 数 ，若 ｌｉｍ ： ｌ， 则当０＜２＜＋。。时，级数（１），（２）同时收敛或同时发散 ；
当 ｌ＝０且 级 数 （２）收 敛 时 ，级 数 （１）也 收 敛 ； 当 ｚ＝＋。。且级数 （２）发散时 ，级数（Ｉ）也发散． （二 ）比式判别法（达朗贝尔判别法 ）
例 １ 判 别 级 数
的 敛 散 性·
分 析 考 虑 通 项 翌 ．
解 因为 ≤
＝ ＝ ．
二 ｎ
二 ｎ
二 ｎ
ｎ
又由于∑ Ｉ收敛，则由比较收敛法知，原级数是收
敛 的 ．
在 实 际 处 理 题 目时 ，比较 收 敛 法 的 下 述 形 式 有 时 候 会
更 为 方 便 ．
过 程 ： （１）首 先 检 查 通 项 ，如果 判 断 出 ｌｉｍ “ ≠ ０，则 级 数 发
散 ；如 果 判 断 出 ｌｉｒ ａ ＝０，则 可 进 入 下 一个 过 程 ； （２）针对不 同的题 目采用不 同的收敛方法 ，若找不 到适
合 的方法 ，则可 以进入下一过程 ； （３）检查正项级数的敛散性和数列 ｛Ｓ ｝是否有上界或
第二节正项级数
n1
想.如果猜想所给级数收敛，只需适当放大 un，使
其放大后的表达式 vn ，而正项级数 vn收敛.如果
n1
猜想级数发散，只需适当缩小
un
，使其缩小后的
表达式
vn
，而正项级数
vn发散.
n1
定.
判定正项级数 un 的收敛性应注意以下几点：
n1
1.如果
lim
n
un易求，应先判定是否lim
n
un
0？若
lim
n
un
0
则可知 un 发散.
n1
2.可以先考虑利用比值判别法判定其收敛性.特别是 un中
含有因子n!的情形，利用比值判别法通常比较方便.
3.使用比较判别法时，应先对 un的收敛性作一个猜
4
n
，u
n1
3n1 5n1 4n1
.
3n1
lim un1 n un
lim
5n1 4n1 3n
5n 4n
lim
n
3
1 4 n 5
5
1
4 5
n
1
3 5
1,
所以原级数收敛.
例6
判定级数
n 1
nn a n n!
(a 0,a e)
收敛性.
解 原级数为正项级数，其通项为
un
nn ， an (n)!
n1
n1
若un vn (n 1,2, , n) ，则有
0 Sn u1 u2 un v1 v2 vn n ,
如果vn收敛，可知 n 有上界，从而知{Sn}有上界.
n1
再由正项级数收敛的充分必要条件可知 un 收敛.
n1
最小理论级数计算公式
最小理论级数计算公式在数学中，级数（series）是指无限数列的和。
如果一个数列的每一项都可以求和，那么这个数列就是一个级数。
级数是数学分析中的一个重要概念，具有广泛的应用。
在计算级数时，一个重要的问题是判断级数是否收敛。
如果一个级数的和可以无限接近于一些数，那么这个级数就是收敛的；如果一个级数的和无法无限接近于一些数，那么这个级数就是发散的。
为了能够判断一个级数是否收敛，我们需要一些判定条件和计算方法。
在这篇文章中，我将介绍一些常用的计算级数的方法和判定条件。
1.等差级数等差级数（arithmetic series）是指一个数列中的每个项之间的差值是相等的。
等差级数的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
对于一个等差级数，我们可以通过下面的计算公式来求和：S = (n/2)(a1 + an)，其中n为项数。
例如，考虑等差数列2, 4, 6, 8, ...，其中首项a1 = 2，公差d = 2、我们可以使用公式S = (n/2)(a1 + an)来计算前n项的和。
2.等比级数等比级数（geometric series）是指一个数列中的每个项之间的比值是相等的。
等比级数的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
对于一个等比级数，我们可以通过下面的计算公式来求和：S=a1/(1-r)，当，r，<1例如，考虑等比数列1,2,4,8,...，其中首项a1=1，公比r=2、我们可以使用公式S=a1/(1-r)来计算前n项的和。
需要注意的是，这个公式要求公比，r，的值小于1，否则级数将发散。
3.无穷级数无穷级数（infinite series）是指一个级数的项数是无穷大的。
对于无穷级数，判断其是否收敛是一个重要的问题。
对于无穷级数，我们可以使用以下几个常用的判定条件：-正项级数判别法：如果一个无穷级数的每一项都是非负数，并且递增趋向于0，那么这个级数收敛。
第二节：正项级数的审敛法
v2
1 1 1 1 1 1 1 + 取 u1 = < 1+ = v1 , u2 = ( 4 + 4 ) = < + = v 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u3 = ( + + + ) = < + + + = v 3 , L 8 8 8 8 2 5 6 7 8
因此有
∞
1 un ≤ v n , 而 un = ( n= 1 , 2, 3 , L ) 2
收敛。 则级数 ∑ un 收敛。 例如级数 ∑
n =1 ∞
∞
n→∞
n =1
n + 1(1 − cos ) , n
π
un = n + 1(1 − cos ) n
π
1 π 2 π 2 n+ 1 + 当 n → ∞ 时， un ~ n + 1 ⋅ ( ) = 2n 2n2
∴ lim
n→∞ 3 n2 un
= lim
第二节 正项级数及审敛法 如果级数
n =1
∑ un = u1 + u2 + L + un + L
称为正项级数
∞
满足条件： 满足条件： un ≥ 0 ( n = 1, 2 , L ) ,
s1 = u1 ≥ 0 , s 2 = u1 + u2 ≥ u1 = s1 , s 3 = u1 + u2 + u3 ≥ u1 + u2 = s 2 LL 0 ≤ s 1 ≤ s 2 ≤ s 3 ≤ L ≤ s n−1 ≤ sn ≤ L
n =1 n =1 ∞ ∞ 1 1 （1）取 vn = , 则 ∑ v n = ∑ ） 发散， 因此若 发散， n n =1 n =1 n ∞ un = lim nu lim n = l > 0 （或为 + ∞），则 ∑ un ），则 n→∞ n→∞ vn n =1
第二讲正项级数收敛判别法(一)解剖
nn1
n1
n1 (n2 1) 2
（A）收敛
（B）发散
#2014021901
例4 判别敛散性
1
x
(2)
n1
n 0
1
x2
dx
（A）收敛
（B）发散
#2014021902
例4 判别敛散性
nn1
x 1
(1)
n1
n1 (n2 1) 2
(2)
n
0 1 n1
x2
dx
证：(1)0
u n
nn1
n1
(n2 1) 2
也发散 .
说明：
1. 比较判别法仅适用于正项级数 ；
2. 不等式条件可以从某一个N后都满足就行；
3.常用的参考级数
几
何
级
数
aq
n
n0
常用的不等式
a2 b2 2ab, a,b R
sin x x, x 0 ex 1 x, x 0
x ln(1 x) x, x 0 1 x
例2.
讨论
p
收敛。 发散。
例6.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
#2014021903
（A）收敛
（B）发散
例6.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
解: lim n sin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
1 n
发散
.
例7.
判别级数 ln1
(n N)
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ;
考研数学基础班讲义-微积分第17讲_数项级数(优选.)
=
−a0
−
S* n −1
+
na n
∞
∑ lim
n→∞
S
* n
=
lim
n→∞
S
* n−1
=
lni→m∞(−a0
− Sn
+ nan )
=
−a0
−S
，故级数 an
n=1
收敛性。
17．2 正项级数
为了研究级数的判敛方法，我们先讨论一种特殊的数项级数，即正项级数。
∞
∑ 定义 17.3 若 un > 0 ，则称 un 为正项级数。 n=1
n =1
n−1
【证】由 f (x) 在[0,+∞) 上单调增加有界，则 f (x) 可积，且有
∞
∞
∑ ∑ 例如 对于 (−1)n 和 (−1)n−1 ，下述运算是错误的
n=1
n=1
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 0 = [(−1)n + (−1)n−1 ] = (−1)n + (−1)n−1 ≠ 0
n=1
n=1
n=1
性质 4 (重组性质---更新性质)
(1) 收敛级数加括号后所生成的更新级数仍收敛，且两个级数的和相同.
bn
，而
∞ n =1
3a 2 bn
收敛，由比较法，级数
∞
an
n=1
收敛。
其余留给读者练习证明。
推论：设 un
≥
0
，且
lim
n→∞
n
p
u
n
=
ρ
，则
∞
∑ （1） 当 0 ≤ ρ < +∞ ，且 p > 1时，级数 un 收敛； n=1
级数
基本问题：判别敛散；
求收敛域；
求和函数；
求和 展开
级数展开.
(在收敛域内进行)
1. 正项级数和一般项级数敛散性的判定
(1) 利用部分和数列的极限 (定义法) (2) 利用级数的基本性质 (3)正项级数的判别法 (4)交错级数的判别法 (5)记住一些常见级数敛散性的结论
1. 正项级数和一般项级数敛散性的判定
a 1;
n
n 1(n ).
另：绝对收敛、条件收敛概念:
若 若
收敛 , 称 发散 , 但
绝对收敛 un 收敛
n 1
收敛 称
条件收敛
判断绝对收敛、条件收敛的步骤：
a. 先验证一下必要条件：lim u n 0
n
b. 若满足必要条件再验证正项级数 c. 若不是绝对收敛，再验证
n 0 n
(an 0) :
先求收敛半径 ：
R 1
;
再讨论端点的收敛性 . 2) 对缺无穷项的幂级数 求收敛半径时直接用比值法或根值法,
注意：看清题目到底是让求收敛域 还是收敛区间。
3. 求幂级数的和函数
性质1： 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减 与乘运算. 性质2：若幂级数 的收敛半径 则其和函数
4. 函数展开成幂级数
步骤： • 将f(x)化为(x-x0)因式 • 利用幂级数的性质及已知展开式的函数 • 根据已知函数展开式的收敛域求新收敛域 注: 若结果为两个幂级数和则能合并要合并 常用函数的幂级数展开式：
e
x
ln (1 x ) =
, x ( 1, 1]
sin x、cos x、(1 x )
极限形式的比较审敛法正项级数 -回复
极限形式的比较审敛法正项级数 -回复
在数学中，级数是指无穷多个数的无限和。
正项级数是指所有项
都是非负的级数。
极限形式的比较审敛法是一种判断正项级数是否收
敛的方法，即通过将待判定级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较，来判断待判定级数的收敛性。
比较审敛法分为两种情况：比较判别法和比较审敛法。
比较判别
法是指根据两个级数之间的大小关系来判断待判定级数的收敛性；比
较审敛是指根据两个级数之间的大小关系和知道的级数的收敛性来判
断待判定级数的收敛性。
下面我们以极限形式的比较审敛法来讲解正项级数的收敛判别问题：
设我们有两个正项级数an和bn，且lim（n→∞）（an/bn）=c，其中c是一个常数，且0<c<∞。
则有以下结论：
1. 若c<∞，则当级数bn收敛时，级数an也收敛。
2. 若c=∞，则当级数an发散时，级数bn也发散。
在这个算法中，我们比较的是级数an和级数bn之间的大小关系
以及知道的级数bn的收敛性。
如果级数bn收敛，那么an/bn就趋向
于零，因此级数an也收敛；如果级数an发散，那么an/bn就趋向于
无穷大，因此级数bn也发散。
比较审敛法的优点就在于，只需找一个已知收敛或发散的级数进
行比较，就可以判断出待判定级数的收敛性，同时还具有较高的实用性。
当然，在使用比较审敛法时，需要注意选择合适的级数进行比较，确保比较结果的可靠性。
需要强调的是，比较审敛法仅适用于正项级数的收敛判别问题，
对于其他类型的级数，需要使用其他方法进行判别。
级数的收敛与发散判定
级数的收敛与发散判定在数学中，级数是由一系列数相加而得到的无穷和。
研究级数的性质是数学分析的重要内容之一。
在本文中，我们将探讨级数的收敛与发散判定方法。
一、级数的定义与初步讨论首先，我们回顾一下级数的定义。
对于给定的数列{an}，级数可以表示为∑an（n从1到无穷大）。
在判断级数的收敛与发散之前，我们先来了解一些基本概念。
1.1 部分和级数的部分和是指级数中前n项的和，记作Sn=∑an（n从1到n）。
部分和序列{Sn}是由n个部分和构成的数列，通过研究部分和序列，我们可以得到级数的一些性质。
1.2 收敛与发散对于给定的级数，如果它的部分和序列{Sn}存在有限的极限L，则称该级数收敛，记作∑an=L。
如果部分和序列{Sn}不存在有限的极限，即极限不存在或为无穷大，则该级数发散。
1.3 收敛级数与发散级数在收敛的级数中，部分和序列的极限L称为级数的和或总和。
对于发散的级数，则没有和的概念。
二、级数的收敛判定方法在实际计算中，我们需要确定给定级数的收敛性。
下面介绍一些常见的级数收敛判定方法。
2.1 正项级数判别法如果级数的每一项都是非负数，并且级数的部分和序列{Sn}有界，则该级数收敛。
这种情况下，我们可以直接计算出级数的和。
2.2 比较判别法比较判别法是通过将给定级数与已知的收敛或发散级数进行比较来判断级数的收敛性。
2.2.1 比较判别法之比较定理设∑an 和∑bn是两个级数，如果对于n充分大的正整数n，有0≤an≤bn，则以下结论成立：a) 当∑bn收敛时，∑an收敛；b) 当∑an发散时，∑bn发散。
2.2.2 比较判别法之极限形式设∑an 和∑bn是两个级数，并有an/bn的极限存在且为正数L。
则以下结论成立：a) 当L<∞时，若∑bn收敛，则∑an收敛；b) 当L>0时，若∑bn发散，则∑an发散。
2.3 比值判别法比值判别法使用级数的项之间的比值来判断级数的收敛性。
此处省略其他相关判别法...三、级数的发散判定方法除了判断级数的收敛性外，我们还需要关注级数的发散性。
正项级数的判敛方法
n1
19
第九章 常数项级数
例8. 判别下列级数的敛散性：
1
(1) n1 np (p0)
(p 1 , 发 散 p 1 ,收 敛 )
解： an
1 np
，取
f (x)
1 xp
，
则 f ( x) 在[1, ) 上非负，连续，单减。
∵
1
1 x p dx
p p
∵ lim n
1 sin n
2
2 n 1 ，且 2 发散，∴原级数发散。
n1 n
n
1 n2 ln
（2）∵ lim 3 n 1 n lim
3n
ln(1 2 )
n 2，
n
1
n 3 n 1
1
4
n3
n
而
1 收敛，
∴原级数收敛。
4
n n1
3
11
第九章 常数项级数
ln n
1
0
，
n n 4
5
n4
而
1 收敛，故 ln n 收敛。
5
3
n n1 4
n n1 2
12
第九章 常数项级数
例6. 判别下列级数的敛散性：
(1)
n1
2n
tan3n
5 n
(2) n1 n 5
(3) 258(3n1) n1159(4n3)
n1
n1
（3）当 时，且 vn 发散，则 un 发散。
n1
n1
5
第九章 常数项级数
说明：极限形式的比较判别法其实是将两个正项级数的 通项作为无穷小量，来比较它们的阶。
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比值判别法的优点: 不必找参考级数. 例6
10n 判定级别 的敛散性 . 收敛 n 1 n!
a 1 例7 讨论级数 n ( a -1 为常数 ) 的敛散性. 2 n 1
2
n
例8. 讨论级数
练习：判别下列级数的敛散性:
的敛散性 .
1 (1) ; n 1 n!
柯西判别法
当 r 1时 , 级数敛散性需进一步判断 .
1 例如, 设级数 n , n1 n
1 1 lim un lim n lim 0 n n n n n
n n
1
由根值判别法知级数收敛.
an 例8 判别级数 ( a 0 ) 的敛散性 . n1 2n 1
§8.2 正项级数
一. 正项级数定义
我们先讨论一类特殊的数项级数，即各项都是正数或零的级数， 这种级数称为正项级数.
1 n n 1 2
1 1 1 1 2 4 8 16
1 n 2
定义 各项都非负的级数，通常称为正项级数.
如果级数 un u1 u2
n 1
n
小 结
一. 正项级数定义 二. 正项级数收敛原理 正项级数收敛
sn 有界.
n 1 n 1
三. 正项级数的收敛判别法
1.比较判别法 设级数 un 和 vn 有un vn
收敛 un 收敛 ;
n 1
u
n
发散 vn 发散 .
n 1 n 1
( 2) 由 un 发散 , 可推出 vn 发散 .
n 1 n 1
1 例1 讨论 p 级数 p 的敛散性 , 其中 p 为正的常数 . n 1 n
1 1 1 1 p p p 2 3 n 1 n
1 p n
p-级数
1 发散 p 1 p n 1 n 收敛 p 1
n 1
2.比较判别法的极限形式
un 设正向级数 un 和 vn 有 lim A n v n 1 n 1 n (1) 若 0 A , 二者敛散性相同；
(2) 若 A 0,
v
n 1 n 1
n
收敛 un 收敛 ;
n 1
(3) 若 A , vn 发散 un 发散 .
例2
判别级数
n 1
1 的敛散性. 发散 n( n 1)
例3
1 收敛 判别级数 2 ln 1 n . 3 n 1
n
定理8.3 (比较判别法的极限形式 ) 设 un 和 vn 为两个正项级数 ,
n 1 n 1
且有
lim
于是 (1) 若 0 A , 则 un 与 vn 同时收敛或同时发散；
由单调有界数列必有极限
二. 正项级数的收敛判别法
定理8.2 (比较判别法 ) 设 un 和 vn 是两个正项
n 1 n 1
级数 , 且存在常数 c ( c 0 ) , 使得自某一项 N 后, 即 n N 时，总有 un cvn
则
(1) 由 vn 收敛 , 可推出 un 收敛 ;
n 1 n
则 当 r 1 时 , 级数收敛 ; 当 r 1 时 , 级数发散 ; 当 r 1时 , 级数敛散性需进一步判断 .
重要级数:
p-级数
1 发散 p 1 p n 1 n 收敛 p 1
n 1 n 1
un A n v n
(2) 若 A 0, 则当 vn 收敛时 , 可得 un 收敛 ;
n 1 n 1
(3) 若 A , 则当 vn 发散时 , 可得 un 发散 .
n 1 n 1
定理8.3表明：无穷级数收敛与否最终取决于级数一般项趋于零 的速度，即无穷小量阶的大小. （无穷大时同理） 方法： 通过无穷小量（或无穷大量）的等价关系 ,
n 1
3. 比值判别法（达朗贝尔判别法） u 设正项级数 un， 且 lim n1 r n u n 1 n 当 r 1 时 , 级数收敛 ;
当 r 1 时 , 级数发散 ; 当 r 1 时 , 级数的敛散性需进一步判定 .
4. 根值判别法（柯西判别法）
对于正项级数 un , 若有 lim n un r
当 r 1 时 , 级数收敛 ; 当 r 1 时 , 级数发散 ;
达朗贝尔判别法
当 r 1 时 , 级数的敛散性需进一步判定 .
un 1 n 1 lim lim 1， 例如 p ， p 1级数收敛；p 1级数发散 p n n un n 1 n n 1
un
满足 un 0 ( n 1, 2,
)
我们称其为正项级数。
各项都非正的级数，通常称为负项级数. 正项级数、负项级数统称为保号级数.
正项级数 un 与 (-un )同敛散性，所以我们只讨论其一。
n 1 n 1
显然,正项级数的部分和数列{Sn} 是单调增加的，
即
s1 s2 s3
收敛
n! (2) n ; n 1 10
发散
(3)
1 . n 1 ( 2n 1) 2n
收敛
定理8.5 ( 根值判别法 ) 对于正项级数 un , 且un 0, n 1, 2,
n 1
若有
lim n un r
n
则 当 r 1 时 , 级数收敛 ; 当 r 1 时 , 级数发散 ;
简化 un 的通项 un , 进而利用已知级数的敛散性判别.
n 1
例4
1 判别级数 1 cos 的敛散性 . n n 1 判别级数 ( n 2 1) 的敛散性 .
n 1
收敛
例5
发散
定理8.4
un1 (比值判别法 ) 设 un 为正整数 , 且 lim r n u n 1 n
sn
定理8.1 ( 正项级数收敛原理 )正项级数收敛的充分
必要条件是它的部分和数列有上界 .
正项级数收敛 sn 有界.
证: “ ” u n收敛
n 1
sn 收敛 sn 有界.
sn 存在 un 收敛. lim n
n 1
“ ”sn 有界,又 sn 是一个单调上升数列