数学方法的优美

例1
211 2 210 2 1024 2048 211 23 24 24 8 16 16 8 256 2048
显得容易。
例2 2 等于多少?
1 0.3010 很难, 但是 lg 2 lg 2 0.0273 11 11
1 11
1 11
从反对数表得到 : 11 2 1.065.
x
数学上互逆的运算很多:如0的作 用是+项与-项;1的作用是乘项与 除项.
加法与减法:
x4 1 x4 2x2 1 2x2 x 1 2x2
2


2
(x2 1
2 x)( x 2 1
2 x)
运算可以被视为一种变换或映射,映射 之后再反映过来。当然，这对映射的性 质有一定的要求。在满足一定的要求后 就可利用来解决一些问题。这也是一种 具有普遍性的方法 数学是严谨的、严肃的、严格的，但 决不是严酷的、冷酷的。它既是严肃的、 又是活泼的。喜爱数学的人，有的是为 其活泼的表现形式所吸引，有的是为它 的深刻所感染，有的则是两种感染都起 了作用。
例1（七桥问题）如图，能否从 某个桥出发，走过所有的桥， D 但每座桥只
？ ？
经过一次？
D A B
A
B
C
C
D3 A 3
B 5
C 3
1 4 2 2
3
3
1
点线图——拓扑学topology:
不注重数量关系和形状特征，而注重 点与点的连接方式！ 如：建立校园网络系统。从网络中心 到各办公楼、教学楼、学生宿舍楼， 到各办公室、教室和寝室。你如何设 计呢？你需要建立一个网络的拓扑图 即可。实际上如果两个图的点与点连 接方式一致，它们实际上就是拓扑意 义下的一张图。
抽象方法并不是一个具体的数学 方法，但要欣赏数学的美，是不可 能不对其抽象手法有一些体会和感 受的！
2 2
1 是有理数至多7步 7 就可以找到规律.
例2（抽屉原理）
3个苹果放进2个抽屉中，至少有1个 抽屉中有两个苹果。 （反证法易得） 10本书，共3类（抽屉），文学类 （A）、史学类（B）和数学类 （C），证明至少有一类有4本或4 本以上。
10本书，共3类（抽屉），文学类 （x）、史学类（y）和数学类（z）， 证明x,y,z至少有一个大于或等于4。 抽象为一个纯数学问题：
运算
x lg x 10
lg x
x
数值
曲折：化难为易；创造、发明 实现的根据是对数—与天文学有关 Galileo：给我空间、时间和对数， 我即可创造一个宇宙。 RMI的体现：R：2
1/11
，M：lgx ,
I:10
lgx
例3: 求和
1 1 1 1 n y 1 (1) 3 5 7 2n 1
R
2 n 1 x3 x5 x 7 n x y ( x) x (1) 3 5 7 2n 1
M,逐项微分
y '( x) 1 x x x (1) x
2 4 6 n 2n
1 1 x2
I,积分
y ( x) 1 dx arctan x , y y (1) . 2 1 x 4 0
观点和方法是数学的两个方 面：既紧密联系，又有所区别。 但方法影响观点。 我们来看看数学方法的美。
“不能不” 法
反证
通常的证明方法： “对”
矛盾
“不对”
例1
2是无理数.
反证法：假设 2是有理数, 那么存在不可约
的正整数p, q, 使得
q 2 2 2 2 p q q为偶数. p
设q 2m, 则p 2m , 于是p也为偶数.矛盾.
来自百度文库
拓扑学的产生与发展进一步表现了数 学的抽象程度，抽象的美与实际是如 此的协调，展示了数学的优美！ 拓扑学的产生极大冲击了直观性 原则！ 1 人的认知能力(直观，抽象飞跃) 2 直观与抽象在认识上的统一受年 龄和知识的接受方式的限制. 3 直观可能造成错觉.
思辩的作用越来越大.直观具有较大 的局限性. 物理学、化学、生物学等学 科中许多重大发现和突破是有想象力 开导的。 善于抽象不仅只限于数学，人文科 学、社会科学，更越来越抽象，只不 过给人的感觉不象数学强烈而已。
抽象=枯燥乏味? 语言学抽象吗? 美、神、好 文学抽象吗？诗歌
艺术抽象吗？绘画、舞蹈
音乐抽象吗？高山流水、悲 欢离和
数学的抽象美的表现形式不同，它 给人带来的是简洁、明快和高效的 美
越会抽象的人是越会把问题具体化 的人。具体化与抽象化是相伴存在 的，对具体的深入认识才能更好地 抽象，抽象而能更好地把握具体。
假设x, y , z是非负整数,且x y z 10, 则或x 4, 或y 4, 或z 4.此即为不定方 程的非负解的下界估计问题.
假设人类的头发最多为200万根，那 么长春市至少有2人的头发根数一样 多。（长春市人口超过200万）
RMI：R-relation, M-mapping, I-inversion. 即关系、映射和取逆。它 属于形式逻辑范畴。如“三段式”给 人以逻辑美。RMI方法体现了辨证思 想的方法。