(完整)2019年高中数学虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用含解析答案.doc

合集下载

高中数学题海拾贝：导数之虚设零点

在解决有关函数与导数的问题时，欲判断函数的单调性，通常要求出导函数的零点，但是在某些情况下，我们得到的导函数是超越函数，零点的精确值往往没法求出来，怎么处理呢？这时我们就要用到“虚设零点”的技巧了，请看下列：

很明显这其实是一个恒成立问题，我们需要求出当x>0时,f(x)的最小值，为此我们求f(x)的导函数：

由于f '(x)是超越函数，它的零点的精确值我们求不出来，于是我们“虚设零点”：

接下来我们只要证明所得f(x)的最小值大于欲证式的右边就可以了，但是我们所得最小值照样是超越结构，我们很难估计出它的大小，怎么办呢？这个时候大家千万别忘了我们虚设的零点的身份了，它既然是导函数的零点，它就满足使导函数值为零这一条件，利用这一条件我们想办法把超越式转化成非超越式，处理如下：

今天我就写到这里，我们明天继续。欢迎大家发表自己的见解，你们的任何一条评论，我都会认真看。更多的学习资料，大家可以访问我的个人主页：/458849088，

里面有些免费数学资源供大家学习。接下来的时间里，我会每天都和大家聊聊有关高中数学学习的那些事儿，敬请留意！

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题03 导数及其应用 (含解析).docx

专题03导数及其应用

1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = l

D. a = e"1 > b = -\

【答案】D

【解析】T y' = ae* + lnx+l,

切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1，将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.

【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题型.

了2 O XTTV 2d V* V 1

2. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=

' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上

x-alnx, x>l.

恒成立，则a 的取值范围为

A. [0,1]

B. [0,2]

C. [0,e]

D. [l,e]

【答案】C

【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;

当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,

x-1

令g(x) =—7

x-1

(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X

当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,

1-X

贝0g(x) = ——

1-X

2a= 0,则a>0.

当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,

微专题---虚设零点

（一）函数与导数

函数与导数是高考数学中极为重要的一部分，函数的特点和方法贯穿了高中数学的全过程，主要是考函数的性质，如何利用导数作为工具来解答。考查的内容有：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求函数的单调区间、极值、最值、证明不等式等。

解这部分题目时用到的方法主要是：

（1）特殊函数法

例如在给定函数的一些性质来研究它的其他性质时，由于没有给出具体的函数解析式，所以我们在解题时往往无从下手，因此可以选用特殊代替来解题。

（2）换元法

在解题时，我们一般是将抽象的、陌生的、复杂的问题转化为简单的、具体的问题，例如求函数的最值等问题。

（3）待定系数法

我们知道待定系数法是求函数解析式的一种方法，若已知函数的类型，可以设出相对应的函数解析式，然后根据题目给定的条件求出未知的系数即可。

（4）构造函数法

导数是解决函数问题的一个有力工具，但是有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理，因而需要通过构造新的函数来解决；特别的当给定关于导数的不等关系时，常常要构造新的函数。

（二）三角函数与解三角形

通过近几年的高考试题来看，三角函数与解三角形考的分值大约是18分，主要考查同角三角函数的基本关系和诱导公式，三角函数的图像和性质，三角恒等变换和正余弦定理。考查的内容有：（1）利用降幂公式和辅助角变换讲复杂的三角函数解析式化为标准形式，然后研究其性质。（2）利用角变换法，化弦法，降幂发来进行三角函数的求值、化简、证明。

解这部分题目时常用到的方法有：

（1）特殊值代入法

在做选择题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊位置、特殊图形等对选项进行验证，从而排除不符合题目要求的选项，间接地得到正确答案。

全国卷导数压轴试题中的“虚设零点,整体代换”

解析（１）Ｘ ∈ （一。。，一２）ｕ（～２，＋。。），．厂（）＝
≥ ０，，（）在（一。。，一２）和（～２，＋。。）上单调递
（２）证明：ｆ（ｘ）存在唯一的极大值点ｚｏ，且ｅ＜增．显然ｆ（Ｏ）＝一１，ｆ（２）＝０，所以当＞０时，ｆ（ｘ）＞
Ｘ０
简得Ｉｎｏ＝Ｉｎ。一Ｉｎ２—２ｘｏ．故
一Ｉｎｌｎ２化
一＋
ｅ＋ｚ。一；一１，只需 ≥９（ｚ）。．９ｔ（）＝ｅ＋～；，
，夕（）在（一。。，＋。。）上单调递增．由
＜。，９１（３）一知
使得９。）：０．当。∈（１，ｚ。］
故，）ｍｉｎ≥２ｎ＋ｎｌ“ ，即当ｎ＞０时，，（）≥２ｎ＋。ｌ · 时，夕（）＜０，夕（）在ｆ，。）上单调递减；当。∈
简评，（ｚ）的零点不可求，但是考查其单调性以及（。，）时，９（）＞。，ｇ（）在（。，３）上单调递增．故
＝２ｅ。和＝的图像关系可知存在隐零点，隐零点的区
Ｉ９（）＝ｇ（ｘｏ）＝
＋
３一百５。一１．
由
ｇ
。）＝ｏ得，
２０１８年第８期（上）
中学数学研究
５
全国卷导数压轴试题中的 “虚设零点，整体代换＂水

2019年高考数学(理)：专题07-导数及其应用(仿真押题,含答案)

1．曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))(e 为自然对数的底数)处的切线方程为( ) A ．y ＝e x －2 B ．y ＝2x ＋e C ．y ＝e x ＋2 D ．y ＝2x －e

解析：本题考查导数的几何意义以及直线的方程．因为f (x )＝x ln x ，故f ′(x )＝ln x ＋1，故切线的斜率k ＝f ′(e)＝2，因为f (e)＝e ，故切线方程为y －e ＝2(x －e)，即y ＝2x －e ，故选D. 答案：D

2．已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )

A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)

B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)

C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)

D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 解析：如图：

f ′(3)、f (3)－f (2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫f 3－f 23－2、f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，故0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.

答案：C

3．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是( ) A ．75 B.75

C ．27 D.27

4．设f (x )＝⎩⎨

⎧

1－x 2，x ∈[－1，1

x 2－1，x ∈[1，2]

(完整版)导数问题中虚设零点的三大策略

导数问题中虚设零点的三大策略

导数在高中数学中可谓“神通广大”，是解决函数单调性、极值、最值、不等式证明等问题的“利器”。因而近几年来与导数有关的数学问题往往成为高考函数压轴题.在面对这些压轴题时，我们经常会碰到导函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的问题。此时，我们不必正面强求，可以采用将这个零点只设出来而不必求出来，然后谋求一种整体的转换和过渡,再结合其他条件，从而最终获得问题的解决。我们称这种解题方法为“虚设零点”法.下面笔者就一些高考题，来说明导数问题中“虚设零点”法的具体解题方法和策略。

策略1整体代换将超越式化简为普通式

如果f′(x）是超越形式(对字母进行了有限次初等超越运算包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式）,并且f′（x）的零点是存在的，但我们无法求出其零点,这时采用虚设零点法，逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式,然后分析出相应函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果。通过这种形式化的合理代换或推理，谋求一种整体的转换和过渡，从而将超越式化简为普通式，有效破解求解或推理证明中的难点.

例1（2015年全国高考新课标Ⅰ卷文21）设函数f（x）=e2x-alnx.

（1)讨论f（x）的导函数f′（x）的零点的个数;

(2）证明：当a>0时，f（x)≥2a+aln2a。

解（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x)=2e2x—ax（x>0)。由f′（x）=0，得2xe2x=a。令g（x）=2xe2x，g′(x）=（4x+2）e2x〉0（x>0）,从而g（x）在（0,+∞）单调递增，所以g （x）>g（0）=0.

(完整)2019年高中数学虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用含解析答案

在高考的导数压轴题中，经常会遇到导函数具有零点但求解又相对比较复杂甚至是无法求解的问题，这个时候，从正面去强求函数的零点值是很困难的，我们不妨只须设出函数的零点，然后利用其满足的关系式，谋求一种整体的替换和过渡，往往会给我们带来意向不到的效果，最后再结合题目的其他条件，就可以很快解决这类问题。对于最近的几道地市模拟题的导数压轴题，我们发现它们

用的好像都是同一个方法-- 虚设零点消元法，只分析第一道，其他同理，【反思：有的学生提出，我们很容易就观察得到了 h (0) = f '(0) = 0 .但是，对于

谈虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用

------以 2019 年几道模拟题为例

顺便再看看之前曾经出现过的两道经典题．

一、【2019 合肥一模理科 21】二、【2019 顺德三模理科 21】

三、【2019 佛山 3 月统考（北京燕博园）理科 21】四、【2019 广州一模理科 21】五、【2019 广东模拟理科 21】六、【2018 广州二模理科 21】七、【2013 全国二卷理科 21】

一、【2019 合肥一模理科 21】

21．(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x ) = e x - ln(x +1) ( e 为自然对数的底数)． (Ⅰ)求函数 f (x ) 的单调区间；

(Ⅱ)若 g (x ) = f (x ) - ax ， a ∈ R ，试求函数 g (x ) 极小值的最大值．

解析：(Ⅰ)易知 x > -1 ，且 f '(x ) = e x

x +1

【求一阶导数发现是超越函数，无法确定导数的零点】

高考常考题- 函数的零点问题(含解析)

函数的零点问题

一、题型选讲

题型一、运用函数图像判断函数零点个数

可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上

⎩

⎨

⎧<≤-<≤-=43,43

2,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－1，x ＜1，

ln x

x 2

，x ≥1，

)则函数y ＝|f (x )|－1

的零点个数为________．

例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

在[]0π，的零点个数为________．题型二、函数零点问题中参数的范围

已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：

(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．

(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．

2019江苏高考压轴题(中篇)专题02.09 函数的零点问题1~

题型02.109 函数的零点问题1

一、问题概述

此部分问题是一个考察学生综合素养的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等重要思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到积极的作用．近几年函数的零点问题主要涉及到：

1、函数方程（函数零点）的求解与零点区间的判断，需要通过函数的单调性和零点存在性定理来确定（例题3）；

2、函数零点的个数问题，通常是讨论单调性和极值，借助函数的单调性、图像、零点存在性定理来确定零点的个数；

3、已知函数的零点情况，求解参数及取值范围问题，通常利用零点存在性定理或转化为函数图像交点问题处理（例题1、例题2）．二、释疑拓展

1．已知函数)(2

ln )(2

R k kx x x x f ∈-+=．

（1）讨论f (x)的单调性；

（2）若)(x f 存在极值，求)(x f 的零点个数．

2．【扬州市2018届高三第一学期期末调研.19题】已知函数

（1）若，且函数)(x g 的图像是函数

图像的一条切线，求实数的值；（2）若不等式

对任意

恒成立，求实数的取值范围；（3）若对任意实数，函数在

上总有零点，求实数的取值范围．

3．【苏北四市2017届高三第一学期期中调研.19题】

设函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2

+ax ，a 为正实数．

（1）当a ＝2时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）求证：f （

）≤0；（3）若函数f （x ）有且只有1个零点，求a 的值．

4．【泰州市2016届高三第一学期期末调研.20题】已知函数()4

高考数学复习压轴题归类练习15 证明不等式之虚设零点

高考数学复习压轴题归类练习第15讲证明不等式之虚设零点

【典型例题】

例1．已知函数1()()x f x xe a x lnx -=-+，a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的单减区间；（2）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围；

（3）设0x 是()f x 的极小值点，且0()0f x …，证明：23000()2()f x x x -…

．

例2．已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-．（1）讨论函数()f x 的零点个数；

（2）设4a …，证明：当0x …

时，()()f x g x >．

例3．已知函数2()x f x e alnx =-，函数()m lnx

g x n x

+=+的图象在点(1，g （1）)处的切线方程为30y -=．

（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；

（Ⅱ）若0a …，且()f x 在[e ，)+∞上的最小值为2x e ，证明：当0x >时，()()f x g x …．

例4．设函数()()f x x a lnx b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为

20x y +-=

（1）求()y f x =的解析式；（2）证明：()1

f x x e -<-．

例5．设函数()()f x x a lnx b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线为

20x y +-=．

（Ⅰ）求()y f x =的解析式（Ⅱ）证明：()0f x >．

专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)

专题五挖掘“隐零点”，破解导数压轴题

函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练.

【典型例题】

类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)

在x=1处的切线与直线y=3x 平行. (1)判断函数f(x)在区间和

上的单调性，并说明理由;

(2)当

时,

恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）区间单调递增；（2）

【解析】（1）

.∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x )=ln x+4x-1.

因为在单调递增，所以当时

即函数f (x )在区间单调递减；当时

即函数f (x )在区间单调递增；

（2）因为

，而在（0，1）上递增

存在

使得

，当

时

单调递减；

当时单调递增

所以

又因为时则

所以

则

类型二挖掘“隐零点”，证明不等式例2. 设函数2()ln x

f x e a x =-，设()2

0,2a e ∈求证：当(]0,1x ∈时，2()2ln

f x a a a

≥+ 【答案】见解析

【解析】()f x 的定义域为(]0,1，222'()2x x

a xe a

f x e x x

第32讲整数解问题之虚设零点(解析版)

第32讲整数解问题之虚设零点

1．设函数1()ln ,()3()a f x x g x ax a R x

-==+-∈. （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；

（2）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986≈≈）

【答案】

（1）答案见解析

（2）存在，λ的最小值为0

【分析】

（1）求出函数的导数，就a 的不同取值可求()0x ϕ'>的解，从而可得函数的单调增区间.

（2）利用导数结合虚设零点可求min 21()32

h x -<<-，从而可得整数λ的最小值. （1）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x ax x x

ϕ-=+=++->，所以()()()()2222

11111(0)ax a x ax x a a x a x x x x x ϕ--+⎡⎤+---⎣⎦=+-==>'， ①当0a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；

②当1a >时，由()0x ϕ'>，解得1a x a

->； ③当01a <<时，由()0x ϕ'>，解得0x >；

④当1a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；

⑤当0a <时，由()0x ϕ'>，解得10a x a

-<<，综上所述，当0a <时，()x ϕ的增区间为10,a a -⎛⎫ ⎪⎝

导数隐零点问题中虚设零点的方法

此时ｇ′ ( ｘ )在 ( １ꎬｘ０ )上为负ꎬ在 ( ｘ０ ꎬ ＋ ∞ )上为正.
所以ｇ ( ｘ ) 在 ( １ꎬｘ０ ) 上单调递减ꎬ 在
( ｘ０ ꎬ ＋ ∞ )上单调递增.
所以ｇ ( ｘ ) ｍｉｎ
— ８２ —
＝ｇ ( ｘ０ ) ＝
点评在确定隐零点的范围时ꎬ优先考虑整数ꎬ
所以ｆ ( ｘ )在 ( ０ꎬｘ０ )上单调递减ꎬ在 ( ｘ０ ꎬ ＋ ∞ )上
单调递增. 所以ｆ ( ｘ ) ｍｉｎ＝ｆ ( ｘ０ ) ＝ｘ０ｅ
２ｘ０
将③④两式代入ꎬ得
ｆ ( ｘ ) ｍｉｎ＝ｘ０
－２ｘ０－ｌｎｘ０ .
１
－２ｘ０＋２ｘ０＝１.
ｘ０
> １ꎬｆ ( ｘ ) > ｋ ( ｘ－１ )恒成立ꎬ求整数ｋ的最大值.
又因为ｆ ′ ( １ ) ＝２ ( ｅ－１ ) > ０ꎬ
１
３
ｆ ′ æç ö÷ ＝ ( ｅ－２ ) < ０ꎬ
è２ ø ２
即ｅｘ０＝
１
我们找到ｆ ′ ( １ ) > ０且ｆ ′ æç ö÷ < ０ꎬ正是虚设零点的
è２ ø
关键.
练习１已知函数ｆ ( ｘ ) ＝ｘｅ２ｘ－２ｘ－ｌｎｘꎬ求ｆ ( ｘ )

专题11 导数压轴题之隐零点问题(解析版)-2020-2021学年高二数学导数知识题型全归纳

导数章节知识全归纳

专题11 导数压轴题中有关隐零点问题

一．隐零点问题知识方法讲解：

1.“隐零点”概念：隐零点主要指在研究导数试题中遇到的对于导函数f ’(x)=0时，不能够直接运算出来或是不能够估算出来，导致自己知道方程有根存在，但是又不能够找到具体的根是多少，通常都是设x=x 0，使得f ’(x)=0成立，这样的x 0就称为“隐藏零点”。

2.“隐零点”解决方向：针对隐零点问题通常解决步骤：

1.求导判定是否为隐零点问题，

2.设x=x 0，使得f ’(x)=0成立，

3.得到单调性，并找到最值，将x 0带入f(x),得到f(x 0),

4.再将x 0的等式代换，再求解（注意：x 0的取值范围）

二．隐零点问题中的典型例题：

典例1．已知函数()ln f x x =，．

（1）求在的极值；

（2）证明：在有且只有两个零点．

解：（1）由()12cos g x x '=-，()0,x π∈，

当时，()0g x '<，此时函数单调递减，

当时，()0g x '>，此时函数单调递增，

所以，函数的极小值为33

g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）证明：，其中02x π<<.

则()112cos h x x x '=-+，令()12cos 1x x x ϕ=+-，则()212sin x x x

ϕ'=--. 当()0,x π∈时，()212sin 0x x x ϕ'=-

-<，则在上单调递减， 303πϕπ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，2102πϕπ

⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以，存在，使得()()000x h x ϕ'==.

高考数学导数专题专讲专题17 单变量不含参不等式证明方法之虚设零点(含答案)

专题17单变量不含参不等式证明方法之虚设零点

隐零点法本质上是最值分析法，常见形式是证明h (x )＞0或f (x )>g (x )．对于f (x )>g (x )，先将不等式移项，即构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，转化为证不等式h (x )>0，再转化为证明h (x )min >0即可，但对函数h (x )求导后，f ′(x )＝0是超越形式，我们无法利用目前所学知识求出导函数零点，但零点是存在的，我们称之为隐零点(即能确定其存在，但又无法用显性的代数表达)．用隐零点证明不等式时，先证明函数f ′(x )在某区上单调，然后用零点存在性定理说明只有一个零点．此时设出零点x 0，则f ′(x 0)＝0．f (x )min ＝f (x 0)，而f (x 0)是一个超越式(含有指、对函数)和多项式函数的组合式，这时用f ′(x 0)＝0把超越式用代数式表示，同时根据x 0的范围可进行适当的放缩．从而问题得以解决．

【例题选讲】

[例1]已知函数f (x )＝a e x －b ln x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋1．(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>0．解析

(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a e x －b x ，由题意得f (1)＝1e ，f ′(1)＝1

－1，

e ＝1e ，e －b ＝1

－1，＝1

e 2，

＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝1

e 2·e x －ln x (x >0)．因为