2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市高二下学期数学(理)期末模拟试卷及解析-精品试题

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2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数21y x =+在[]1,1x +∆上的平均变化率是( ) A ．2B ．2xC ．2x +∆D ．()22x +∆2．已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（） A ．3B ．6C ．8D ．103．设全集U ＝｛1,3,5,7｝，集合M ＝｛1，|a －5|｝，M ⊆U ，U C M ＝｛5，7｝，则实数a 的值为 ( ) A ．2或－8B ．－8或－2C ．－2或8D ．2或84．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( )AB ．22CD ．45．己知函数()2sin 20191x f x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．06．2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕.通过随机调查某小区100名性别不同的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表：经计算2K 的观测值8.249k ≈. 附表：参照附表，所得结论正确的是（）A ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”B ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关” 7．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 8．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B =I A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-9．已知空间不重合的三条直线l 、m 、n 及一个平面α，下列命题中的假命题．．．是（）． A ．若l m P ，m n P ，则l n P B ．若l αP ，n αP ，则l n P C ．若l m ⊥，m n P ，则l n ⊥D ．若l α⊥，n αP ，则l n ⊥10．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得、都垂直于； ②存在平面，使得、都平行于； ③内有不共线的三点到的距离相等； ④存在异面直线，，使得，，，其中，可以判定与平行的条件有（） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个11．在各项都为正数的等差数列{a n }中，若a 1+a 2+…+a 10=30，则a 5•a 6的最大值等于（） A ．3 B ．6 C ．9 D ．3612．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆的面积为232，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（）A ．[1,2]B ．2,3]C ．2,4]D ．[1,4]二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.14．如图，E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为______．15．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为__________． 16．在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝120°，BM BC λ=u u u u v u u u v .若17AM BC 3⋅=-u u u u v u u u v ,则实数λ的值为________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型(“小绿车”、“小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算)；“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为34，23，12，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．()1求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 3cos 0,27,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 19．（6分）已知函数()ln()(,)f x ax b x a b R =+-∈．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为21y x =-+，求,a b 的值；（2）已知当0a >时()0f x ≤恒成立，求ab 的最大值． 20．（6分）甲、乙两个同学分別抛掷一枚质地均匀的骰子. （1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率. 21．（6分）已知函数()2ln mf x x x x=--+，m R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：()221f x x >-.22．（8分）如图，已知1F ，2F 分别为椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上、下焦点，1F 是抛物线2C ：24x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且153MF =. （1）求椭圆1C 的方程；（2）与圆()2211x y ++=相切的直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）交椭圆1C 于点A ，B ，若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=u u u v u u u v u u u v，求实数2λ的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】【分析】根据平均变化率的计算公式列式，计算出所求的结果. 【详解】依题意，所求平均变化率为()22112x x x+∆-=+∆∆，故选C.【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．D 【解析】列举法得出集合()()()()()()()()()(){}2,1314151324252435354B =，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共含10个元素．故答案选D 3．D 【解析】分析：利用全集{}1,3,5,7U =，由()U M M U ⋃=ð，列方程可求a 的值.详解：由{}1,3,5,7U =，且{}{}5,7,1,3U M M =∴=ð，又集合{}1,5,53M a a =-∴-=，∴实数a 的值为2或8，故选D.点睛：本题考查补集的定义与应用，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系. 4．A 【解析】【分析】设,2sin )P θθ，由此24sin )x y θθθϕ+=+=+，根据三角函数的有界性可得结果. 【详解】椭圆方程为22164x y +=,设,2sin )P θθ,则24sin )x y θθθϕ+=+=+ (其中tan 4ϕ=),故2x y +≤2x y +，故选A .【点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档题. 利用公式()sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=+=+ 可以求出:①()f x 的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域⎡⎣；④对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.5．A 【解析】【分析】设()12019in 12019x xg x s x -=++，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值．【详解】解：函数()212019sin sin 12019112019xx xf x x x -=+=++++ 设()12019sin 12019xxg x x -=++，则()()()1201912019sin sin 1201912019x x x x g x x x g x --⎛⎫---=-+=-+=- ⎪++⎝⎭即()()0g x g x -+=，即()()2f x f x -+=，则()()()()2018201820181201812f f g g +-=++-+=，又()()''f x g x =，()()()()2,''0f x f x f x f x -+=∴--+=Q ，可得()()'2019'20190f f --=，即有()()()()20182018'2019'20192f f f f +-+--=，故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题． 6．C 【解析】分析：根据题目的条件中已经给出这组数据的观测值，把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”．详解：由题意算得，28.2497.879k ≈＞，参照附表，可得在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”．故选：A ．点睛：本题考查独立性检验的应用，属基础题． 7．D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D. 考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用. 8．A 【解析】{|12},A x x =-<<2 {|20}B x x x =+<{|20},x x A B =-<<⋂ {|10}x x =-<<(1,0)=-，故选A. 9．B 【解析】【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定是假命题的选项. 【详解】对于A 选项，根据平行公理可知，A 选项正确.对于B 选项，两条直线平行与同一个平面，这两条直线可以相交、平行或异面，故B 选项是假命题. 对于C 选项，由于l m ⊥，m n P ，根据空间角的定义可知，l n ⊥，C 选项正确.对于D 选项，由于//n α，所以n 平行于平面α内一条直线a ，而l α⊥，所以l a ⊥，所以l n ⊥，即D 选项正确. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查空间线线、线面有关命题真假性的判断，属于基础题. 10．B【解析】试题分析：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．：①与平行．此时能够判断①存在平面γ，使得都平行于γ；两个平面平行，所以正确．②存在平面γ，使得都垂直于γ；可以判定与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能与不平行．②不正确．③不能判定与平行．如面内不共线的三点不在面的同一侧时，此时与相交；④可以判定与平行．∵可在面内作，则与必相交．又．故选B ．考点：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．11．C 【解析】试题分析：由题设，所以，又因为等差数列各项都为正数，所以，当且仅当时等号成立，所以a 5·a 6的最大值等于9，故选C ．考点：1、等差数列；2、基本不等式． 12．D 【解析】分析：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，()11232F AB S a c b ∆-=-=2,3a c ==，1PF x =可得()21211442PF PF x +=--，从而可得结果. 详解：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，()11232F AB S a c b ∆-=-=解得23,2,3a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即23,23x ⎡⎤∈⎣⎦，()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D. 点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 1325【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由1D P CM ⊥u u u u r u u u u r，求得22z y =-，得到25128BP y y =-+进而求得三角形的面积的最小值，得到答案.以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点1(2,,),(0,0,2)P y z D ，所以1(2,,2)D P y z =-u u u u r.因为(0,2,0),(2,0,1)C M ，所以(2,2,1)CM =-u u u u r,因为1D P CM ⊥u u u u r u u u u r,所以4220y z -+-=，所以22z y =-，因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-u u u r，所以22222(2)(2)(22)5128BP y z y y y y =-+=-+-=-+ 因为02y ≤≤，所以当65y =时，min255BP =. 因为BC ⊥BP ,所以min 12525()22PBC S ∆=⨯⨯=. 故答案为：25. 【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得BP 的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14．15【解析】不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为112,B C BC O =I ，如图，当E 为11C D 中点时，11//,//BD OE BD ∴平面1B CE ，则OEC ∠为直线1BD 与CE 所成的角，在OEC ∆中，155,2,3,cos 235EC OC OE OEC ===∴∠==⨯Q 15. 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几15．12ln 22- 【解析】【分析】转化为定积分求解. 【详解】如图：,曲线2y x=与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x =与直线1y =x -及1x=的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCDS dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰，所以，()22222111121(1)2ln 2ABCS dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由曲线2y x =与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算. 16．13【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,,BC AM BM u u u r u u u u r u u u u r ,利17AM BC 3⋅=-u u u u r u u u r ，即可求出λ的值.【详解】如图所示，ABC ∆中，3,2AB AC ==，120BAC ︒∠=，()(),BM BC AC AB AM BC AB BM BC λλ==-∴=⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r(()(()))(1)AB AC AB AC AB AB AC AC AB λλλ⎡⎤=+-⋅-=-+⋅-⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v22(12)(1)AB AC AB AC λλλ=-⋅-+-u u u r u u u r u u u r u u u r 22(12)32cos120(1)32λλλ︒=-⨯⨯⨯--⨯+⋅1719123λ=-=-解得13λ=，故答案为：13λ=【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (1)724;(2)见解析. 【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率即可；（2）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况下的概率，得出分布列，利用公式求解数学期望．【详解】（I ）由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A ．则，答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，（Ⅱ）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4， ∴；；；，．甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为：ξ 2 2.5 3 3.5 4 P∴．【点睛】本题主要考查了相互对立事件的概率的计算，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等. 18．（1）23π，4；（23【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan 3A =从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果. 试题解析：（1）sin 30,tan 3A A A =∴=Q 20,3A A ππ<<∴=Q ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+-Q ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 72cos 77AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，113422322ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯=132ABD ABC S S ∆∆∴==19．（1）1,2a b =-=；（2）2e．【解析】【分析】()1求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a ，b 的值；()2由()ln 1y x x =+-求导数可得单调性、最值，可知()ln 1x x +≤，由题意可得()()ln ln 1ax b x +≤+恒成立，即可得到ab 的最大值．【详解】（1）因为()1af x ax b'=-+，所以(1)12,(1)ln()11,a f a bf a b ⎧=-=-⎪+⎨⎪=+-=-⎩'解得1,2a b =-=．（2）当0a >时，函数()f x 的定义域为,,b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()1a b a x a a f x ax b ax b-⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-=++．当b a b x a a --<<时，()0f x '>；当a b x a->时，()0f x '<．所以()f x 在,b a b a a -⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，在,a b a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数．所以max ()ln a b a b f x f a a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭．由题意，知ln 0a ba a--≤恒成立，即ln b a a a ≤-恒成立．于是22ln ab a a a ≤-在0a >时恒成立．记22()ln g a a a a =-，则()2(2ln )(12ln )g a a a a a a a '=-+=-．当0a <<()0g a '>；当a >()0g a '<．所以()g a在上为增函数，在)+∞上为减函数．所以()g a的最大值为22e e g e =-=．所以当2a b ==ab 取得最大值2e ．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、最值，利用导数研究恒成立问题，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于难题． 20．（1）14；（2）712.【解析】分析：（1）先求基本事件总数，再求点数之和是4的倍数事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先求基本事件总数，再求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A ，基本事件共有36个，事件A 包含9个基本事件，故P(A)=14；（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B ，基本事件共有36个，事件B 包含21个基本事件，故P(B)=2173612=．答（1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为14. （2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为712．点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 21． (1) 见解析. (2)证明见解析. 【解析】分析：(1)先求导数，再根据二次方程22x x m -- =0根得情况分类讨论：当1m ≤-时，()'0f x ≤.∴()f x 在()0,+∞上单调递减. 当1m >-时，根据两根大小再分类讨论对应单调区间， (2)先化简不等式222ln 1mx x ->，消m 得222ln 1x x ->-，再利用导数研究()2ln h x x x =-，()1,2x ∈单调性，得其最小值大于-1，即证得结果. 详解：（1）由()2ln mf x x x x=--+，得 ()22222'1m x x m f x x x x -++=-++= 222x x mx--=，()0,x ∈+∞. 设()22g x x x m =--，()0,x ∈+∞.当1m ≤-时，即440m ∆=+≤时，()0g x ≥，()'0f x ≤.∴()f x 在()0,+∞上单调递减. 当1m >-时，即440m ∆=+>时，令()0g x =，得11x =，21x =12x x <. 当10m -<<时，120x x <<，在()()120,,x x ⋃+∞上，()'0f x <，在()12,x x 上，()'0f x >， ∴()f x 在()20,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减. 综上，当1m ≤-时，()f x 在()0,+∞上单调递减，当10m -<<时，()f x 在(0,1，()1+∞上单调递减，在(1+上单调递增，当0m ≥时，()f x 在(0,1上单调递增，在()1+∞上单调递减. （2）∵()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，∴由（1）知()22g x x x m =--有两个不同的零点1x ，2x ，11x =21x =10m -<<，此时，22220x x m --=，要证明()222222ln 1m f x x x x x =--+>-，只要证明222ln 1mx x ->. ∵2222m x x =-，∴只要证明222ln 1x x ->-成立.∵()1,0m ∈-，∴()211,2x =. 设()2ln h x x x =-，()1,2x ∈，则()2'1h x x=-，当()1,2x ∈时，()'0h x >， ∴()h x 在()1,2x ∈上单调递增，∴()()11h x h >=-，即222ln 1x x ->-，∴()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x >时，()221f x x >-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22． (1)22134x y +=；(2)440,,433⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】试题分析：（1）由题意得()10,1F ，所以221a b -=，又由抛物线定义可知23M y =，23M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由椭圆定义知，122a MF MF =+ 4=，得2a =，故23b =，从而椭圆1C 的方程为22134x y +=；（2）120x x x λ+=，120y y y λ+=，联立()22,4312,y k x t x y ⎧=+⎨+=⎩得()()22268,4343k t ktP k k λλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入椭圆方程，所以2222443k t kλ=+，又221t k t =-，所以2440,,433λ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．试题解析：（1）由题意得()10,1F ，所以221a b -=，又由抛物线定义可知1513M MF y =+=，得23M y =，于是易知23M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，从而273MF ==，由椭圆定义知， 122a MF MF =+ 4=，得2a =，故23b =，从而椭圆1C 的方程为22134x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则由OA OB OP λ+=u u u v u u u v u u u v知，120x x x λ+=，120y y y λ+=，且2200134x y +=，①又直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）与圆()2211x y ++=1=，由0k ≠，可得221tk t =-（1t ≠±，0t ≠），② 又联立()22,4312,y k x t x y ⎧=+⎨+=⎩消去y 得()222224363120k x k tx k t +++-=，且0∆>恒成立，且2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k-=+，所以()121228243kty y k x x kt k +=++=+，所以得()()22268,4343k tkt P k k λλ⎛⎫-⎪ ⎪++⎝⎭，代入①式，得()()4222222222121614343k t k t k k λλ+=++，所以2222443k tkλ=+，又将②式代入得，22224111t tλ=⎛⎫++⎪⎝⎭，0t≠，1t≠±，易知2221111t t⎛⎫++>⎪⎝⎭，且2221113t t⎛⎫++≠⎪⎝⎭，所以2440,,433λ⎛⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。

黑龙江省2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

黑龙江省高二数学下学期期末考试试题理（含解析）第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分。

）1.复数12ii -（i 为虚数单位）的虚部是（）． A. 15 B. 15i C. 15i -D. 15-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部。

【详解】()()()12221121212555i i i i i i i i +-+===-+--+，因此，该复数的虚部为15，故选：A 。

【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题。

2.已知X ～1(5,)4B ，则(21)E X += ( )．A.54B.72C. 3D.52【答案】B 【解析】【分析】利用二项分布的数学期望，计算出()E X ，再利用期望的性质求出()21E X +的值。

【详解】1~5,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()15544E X ∴=⨯=，因此，()()5721212142E X E X +=+=⨯+=，故选：B 。

【点睛】本题考查二项分布的数学期望与期望的性质，解题的关键就是利用二项分布的期望公式以及期望的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值为（）. A. 17 B. 12C. 32D. 24【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值。

【详解】()3128f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令()2f x '=±，列表如下：所以，函数()y f x =的极大值为()224f -=，极小值为()28f =-，又()317f -=，()31f =-，因此，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为24，故选：D 。

黑龙江省哈尔滨市第九中学2020_2021学年高二数学下学期期末考试学业阶段性评价考试试题文含解析

黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试学业阶段性评价考试试题文（含解析）（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 已知全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}ln 1B x x =≥，则()()UUA B =（）A. (]2,e B. [)2,e C. (),e -∞ D. [)2,+∞2．小李同学从网上购买了一本数学辅导书，快递员计划周日上午8：30﹣9：30之间送货到家，小李上午有两节视频课，上课时间分别为7：50﹣8：30和8：40﹣9：20，则辅导书恰好在小李同学非上课时间送到的概率为（） A.16B.14C.13D.123．若g （x ）＝1﹣2x ，()21log 1f g x x =⎡⎤⎣⎦+，则f （﹣1）＝（） A ．﹣1B ．0C ．1D ．24．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2015年是“干支纪年法”中的（） A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．乙未年5．下列说法中正确的是（）A ．“若x ＝1，则x 2+2x ﹣3＝0”的否命题为真B ．对于命题p ：∃x ≥1，使得x 2﹣x ＜0，则¬p ：∀x ＜1，均有x 2﹣x ≥0C ．命题“已知x ，y ∈R ，若x +y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题D ．“0＜x ＜4”是“log 2x ＜1”的充分不必要条件6．已知函数()log ,32,3a x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，则“函数f （x ）在R 上单调递减”，是“a ＞1”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知复数z 满足（1+i ）z ＝1+2i ，则||)z bi b +≤∈R 的一个充分不必要条件是（） A ．b ∈（﹣1，0）B ．b ∈[﹣1，0]C ．b ∈（0，1）D ．b ∈[﹣1，2]8．以下说法正确的有（）（1）若A ＝{（x ，y ）|x +y ＝4}，B ＝{（x ，y ）|x ﹣2y ＝1}，则A ∩B ＝{3，1}；（2）若f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0；（3）函数1y x=的单调区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；（4）在映射f ：A →B 的作用下，A 中元素（x ，y ）与B 中元素（x ﹣1，3﹣y ）对应，则与B 中元素（0，1）对应的A 中元素是（1，2）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若f （x ）对于任意实数x 恒有2f （x ）﹣f （﹣x ）＝3x +1，则f （x ）＝（） A ．x +1 B ．x ﹣1 C ．2x +1 D ．3x +310．函数21()1x f x x -=-与g （x ）＝（x ﹣1）3+2的图象的所有交点的横坐标与纵坐标之和为（） A ．12B ．6C ．4D ．211．已知函数f （x ﹣1）在R 上为偶函数，且在（﹣1，+∞）上恒有121212()()0()f x f x x x x x -<≠-，则不等式f （lnx ）＞f （0）的解集为（） A ．（﹣∞，1）B ．（0，1）C ．（e ﹣2，1）D ．（e ﹣1，1）12．已知函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（﹣1，1]时，f （x ）＝2x ﹣1，则f （2020）＝（）A ．22019B ．22018C ．21010D ．21009二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为2，则输出的k 值为．14．已知条件p ：{x |x 2+x ﹣6＝0}，条件q ：{x |mx +1＝0}，且p 是q 的必要条件，则m 的取值集合是15．在下列命题中，正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）． ①函数()()0af x x x x=+>的最小值为2a ②已知定义在R 上周期为4的函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），则f （x ）一定为偶函数；③定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f （1）+f （4）+f （7）＝0；④已知函数f （x ）＝x ﹣sin x ，若a +b ＞0，则f （a ）+f （b ）＞0．16．定义：如果函数y ＝f （x ）在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足()()0)(f b f a f x b a-=-，则称函数y ＝f （x ）是[a ，b ]上的“平均值函数”．x 0是它的一个均值点，若函数f （x ）＝x 2+mx 是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是：222123cos 4sin ρθθ=+．（Ⅰ）求C 的直角坐标方程和l 的普通方程；（Ⅱ）设P （0，1），l 与C 交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，求|PM |．18．为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关，随机对该校100名性别不同的学生进行了调查．得到如下列联表．喜爱某种食品不喜爱某种食品合计男生 20 女生 10 合计60（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜爱某种食品与性别有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.82819．2020年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值（棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切），得到如下分布表：马克隆值 [3，3.2） [3.2，3.4） [3.4，3.6） [3.6，3.8） [3.8，4.0） [4.0，4.2） [4.2，4.4） [4.4，4.6） [4.6，4.8] 重量（吨）0.080.120.240.320.64a 0.12 0.060.02（1）求a 的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；（3）根据马克隆值可将棉花分为A ，B ，C 三个等级，不同等级的棉花价格如表所示：马克隆值 [3.6，4.2） [3.4，3.6）或[4.2，4.8）3.4以下级别 ABC价格（万元/吨）1.51.41.3用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值．20．全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨．数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x （百万元）与收益y （百万元）的数据统计如表：科技投入x 1 2 3 4 5 6 7 收益y 19202231405070根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y ＝2bx +a 的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如表：z721ii x=∑71i ii x y =∑71i i i x z =∑()721ii yy =-∑()721ˆiii y y=-∑5140 1239 149 2134 130其中2log i i z y =，7117i i z z ==∑．（1）请根据表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数ˆb 精确到0.1，用ˆb 的近似值算ˆa ）；（2）①乙认为样本点分布在直线y ＝mx +n 的周围，并计算得回归方程为ˆ8.253yx =+，以及该回归模型的决定系数（即相关指数）R乙2＝0.893，试计算R甲2，比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.001）②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？（精确到0.1）附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线方程ˆˆˆv u βα=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nni i i i u u v v u v nuvu u u nu β====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆv u αβ=-，决定系数：()()22121ˆ1ni i i nii v vR v v ==-=--∑∑．参考数据：2log 5 2.3≈．21. 已知函数()2ln f x a x x =+.（Ⅰ）若()f x 在1x =处的切线方程为230x y +-=，求a 的值；（Ⅱ）若0a >，[]12,1,x x e ∀∈，都有()()121220202020f x f x x x -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()21ln xh x a x a x+=--，其中a ∈R ，g （x ）＝e x ﹣x ．（1）若函数f （x ）＝x •h （x ），讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，证明：g （x ）+h （x ）≥0．参考答案一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|lnx≥1}，则（∁U A）∩（∁U B）＝（）A．（2，e] B．[2，e）C．（﹣∞，e）D．[2，+∞）【分析】先利用对数不等式的解法求出集合B，然后利用集合补集与交集的定义求解即可．解：因为B＝{x|lnx≥1}＝{x|x≥e}，又集合A＝{x|x＜2}，所以（∁U A）∩（∁U B）＝{x|2≤x＜e}．故选：B．2．小李同学从网上购买了一本数学辅导书，快递员计划周日上午8：30﹣9：30之间送货到家，小李上午有两节视频课，上课时间分别为7：50﹣8：30和8：40﹣9：20，则辅导书恰好在小李同学非上课时间送到的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件，先就算出快递员送货的总时间，再求满足小李同学收快递的时间，结合几何概型的概率公式，即可求解．解：快递员计划周日上午8：30﹣9：30之间送货到家，共1小时，即60min，小李上课时间分别为7：50﹣8：30和8：40﹣9：20，则快递员在小李同学非上课时间送货的时间只能为8：30﹣8：40和9：20﹣9：30共20min，∴辅导书恰好在小李同学非上课时间送到的概率P＝．故选：C．3．若g（x）＝1﹣2x，f[g（x）]＝log2，则f（﹣1）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】利用复合函数的定义先求出函数f（x）的表达式然后求值或者由g（x）＝﹣1，求出对应的x，直接代入求值．解：方法1：因为g（x）＝1﹣2x，设t＝1﹣2x，则x＝，所以原式等价为，所以．方法2：因为g（x）＝1﹣2x，所以由g（x）＝1﹣2x＝﹣1，得x＝1．所以f（﹣1）＝．故选：A．4．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2015年是“干支纪年法”中的（）A．甲辰年B．乙巳年C．丙午年D．乙未年【分析】利用题中给出的条件，按照规律从2021依次倒推，直到2015年，即可得到答案．解：由题意可知，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”，2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，则2020年为庚子，2019年为己亥，2018年为戊戌，2017年为丁酉，2016年为丙申，2015年为乙未．故选：D．5．下列说法中正确的是（）A．“若x＝1，则x2+2x﹣3＝0”的否命题为真B．对于命题p：∃x≥1，使得x2﹣x＜0，则¬p：∀x＜1，均有x2﹣x≥0C．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题D．“0＜x＜4”是“log2x＜1”的充分不必要条件【分析】对于A，写出该命题的否命题即可判断其正误；对于B，根据命题的否定即可判断其正误；对于C，根据原命题和逆否命题的关系即可判断C的正误；对于D根据log2x＜1得到x的范围，结合充分条件和要条件的定义即可得到结论．解：对于A，该命题的否命题为“若x≠1，则x²+2x﹣3≠0”，但x＝1时，x²+2x﹣3＝0，故该命题为假命题，所以A错误；对于B，对于命题p：∃x≥1，使得x2﹣x＜0，则¬p：∀x≥1，均有x2﹣x≥0，所以B错误；对于C，该命题的逆否命题为：已知x，y∈R，x＝2且y＝1，则x+y＝3；故该命题为真命题，所以C正确；对于D，由log2x＜1得0＜x＜2，故“0＜x＜4”是“log2x＜1”的必要不充分条件，故D错误；故选：C．6．已知函数f（x）＝，则“函数f（x）在R上单调递减”，是“a＞1”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出函数f（x）在R上单调递减的充要条件，再利用子集关系判断即可．解：函数f（x）在R上单调递减⇔⇔1＜a≤3，∵（1，3]⫋（1，+∞），∴函数f（x）在R上单调递减是a＞1的充分不必要条件．故选：A．7．已知复数z满足（1+i）z＝1+2i，则|z+bi|≤（b∈R）的一个充分不必要条件是（）A．b∈（﹣1，0）B．b∈[﹣1，0] C．b∈（0，1）D．b∈[﹣1，2] 【分析】根据（1+i）z＝1+2i先求得z值，然后根据|z+bi|≤（b∈R）求得b的范围，可解决此题．解：由（1+i）z＝1+2i，得z＝＝＝+i，∴|z+bi|＝|≤，得b∈[﹣1，0]．故选：A．8．以下说法正确的有（）（1）若A＝{（x，y）|x+y＝4}，B＝{（x，y）|x﹣2y＝1}，则A∩B＝{3，1}；（2）若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0；（3）函数的单调区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；（4）在映射f：A→B的作用下，A中元素（x，y）与B中元素（x﹣1，3﹣y）对应，则与B中元素（0，1）对应的A中元素是（1，2）．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据A∩B为点集，可判断（1）；根据奇函数的性质，可判断（2）；根据反比例函数的单调性，可判断（3）；设A中元素为（x，y），由题设条件建立方程组能够求出A中的对应元素，可判断（4）．解：对于（1），若A＝{（x，y）|x+y＝4}，B＝{（x，y）|x﹣2y＝1}，则A∩B＝{（3，1）}，故（1）错误；对于（2），若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，故（2）正确；对于（3），函数y＝的单调递减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），故（3）错误；对于（4），设A中元素为（x，y），则有，解得x＝1，y＝2．∴A（1，2），故（4）正确；故选：B．9．若f（x）对于任意实数x恒有2f（x）﹣f（﹣x）＝3x+1，则f（x）＝（）A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3【分析】令x换成﹣x，求得2f（﹣x）﹣f（x）＝﹣3x+1②，再结合2f（x）﹣f（﹣x）＝3x+1①，即可得出答案．解：因为2f（x）﹣f（﹣x）＝3x+1，①所以2f（﹣x）﹣f（x）＝﹣3x+1，②①×2得，4f（x）﹣2f（﹣x）＝6x+2，③③+②得，3f（x）＝3x+3，所以f（x）＝x+1，故选：A．10．函数f（x）＝与g（x）＝（x﹣1）3+2的图象的所有交点的横坐标与纵坐标之和为（）A．12 B．6 C．4 D．2【分析】利用图象变换分别得到f（x）和g（x）的对称中心都为（1，2），然后利用交点关于点（1，2）对称，求解即可得到答案．解：函数f（x）＝＝，因为f（x）的图象是由的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到的，而关于（0，0）对称，所以f（x）关于点（1，2）对称，函数g（x）＝（x﹣1）3+2，因为g（x）的图象是由y＝x3的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到的，而y＝x3关于点（0，0）对称，所以g（x）关于点（1，2）对称，作出函数f（x）与g（x）的图象如图所示，当x＞1时，f（x）与g（x）的图象有一个交点A（x1，y1），当x＜1时，f（x）与g（x）的图象还有一个交点B（x2，y2），因为f（x）与g（x）都关于点（1，2）对称，则点A，B也关于（1，2）对称，所以x1+x2＝2，y1+y2＝4，故x1+x2+y1+y2＝6．所以函数f（x）＝与g（x）＝（x﹣1）3+2的图象的所有交点的横坐标与纵坐标之和为6．故选：B．11．已知函数f（x﹣1）在R上为偶函数，且在（﹣1，+∞）上恒有，则不等式f（lnx）＞f（0）的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（e﹣2，1）D．（e﹣1，1）【分析】根据题意，分析可得f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称且在区间（﹣1，+∞）上为减函数，据此原不等式等价于|lnx+1|＜|0+1|＝1，解可得x的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x﹣1）在R上为偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，在（﹣1，+∞）上恒有，则f（x）在区间（﹣1，+∞）上为减函数，f（lnx）＞f（0）⇔|lnx+1|＜|0+1|＝1，变形可得：﹣2＜lnx＜0，解可得：e﹣2＜x＜1，即不等式的解集为（e﹣2，1），故选：C．12．已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x﹣1），且当x∈（﹣1，1]时，f （x）＝2x﹣1，则f（2020）＝（）A．22019B．22018C．21010D．21009【分析】由已知得f(x+2)＝2f(x),把所求函数值已知进行转化，然后结合已知区间上函数解析式可求．解：因为f（x+1）＝2f（x﹣1），所以f(x+2)＝2f(x),因为当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（2020）＝2f（2018)＝22f(2016)＝•••＝21010f(0)＝21009．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为2，则输出的k值为 2 ．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a＝2，k＝0，b＝2a＝﹣，不满足条件a＝b，执行循环体，k＝1，a＝﹣不满足条件a＝b，执行循环体，k＝2，a＝2满足条件a＝b，退出循环，输出k的值为2．故答案为：2．14．已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|mx+1＝0}，且p是q的必要条件，则m的取值集合是【分析】由x2+x﹣6＝0，解得x．对m分类讨论，利用p是q的必要条件，可得q，即可得出结论．解：由x2+x﹣6＝0，解得x＝2，或x＝﹣3．∴p即集合A＝{2，﹣3}．m＝0时，q＝∅，可得q⇒p；m≠0时，由mx+1＝0，可得x＝﹣，∵p是q的必要条件，∴﹣＝2，或﹣＝﹣3，解得m＝，或m＝．综上可得：{，，0}．故答案为：{，，0}．15．在下列命题中，正确命题的序号为②③④（写出所有正确命题的序号）．①函数的最小值为；②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），则f（x）一定为偶函数；③定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f（7）＝0；④已知函数f（x）＝x﹣sin x，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．【分析】①，由函数f（x）＝x+（x＞0），知a≤0时，在f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，可判断①；②，利用函数的对称性与周期性可得到f（﹣x）＝f（x），从而可判断②；③，依题意可求得f（4）＝0；f（7）＝f（﹣1）＝﹣f（1），从而可判断③；④，易求f′（x）＝1﹣cos x≥0，可得f（x）＝x﹣sin x为R上的增函数，进一步可知，f（x）为R上的为奇函数，从而可判断④．解：①，函数f（x）＝x+（x＞0）中，当a≤0时，在f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，故①错误；②，∵f（2﹣x）＝f（2+x），∴f（4﹣x）＝f（x），又f（x）为定义在R上周期为4的函数，∴f（x）＝f（4﹣x）＝f（﹣x），∴f（x）为偶函数，故②正确；③，∵定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，∴f（4）＝f（0）＝0；f（7）＝f（8﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1），∴f（1）+f（4）+f（7）＝f（1）+0﹣f（1）＝0，故③正确；④，∵f（x）＝x﹣sin x，∴f′（x）＝1﹣cos x≥0，∴f（x）＝x﹣sin x为R上的增函数，又f（﹣x）＝﹣x+sin x＝﹣（x﹣sin x）＝﹣f（x），∴f（x）＝x﹣sin x为R上的奇函数；∴若a+b＞0，即a＞﹣b时，f（a）＞f（﹣b＝﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0，故④正确．综上所述，正确的命题序号为：②③④．故答案为：②③④．16．定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f （x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”．x0是它的一个均值点，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是[0，+∞）．【分析】根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．首先满足：△≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．对称轴：x＝﹣．对m分类讨论即可得出．解：根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．则△＝m2+4m≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．g（0）＝﹣m．对称轴：x＝﹣．①m≥0时，﹣≤0，g（0）＝﹣m≤0，g（1）＞0，因此此时函数g（x）在（﹣1，1）内一定有零点．∴m≥0满足条件．②m≤﹣4时，﹣≥2，由于g（1）＝1＞0，因此函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内不可能有零点，舍去．综上可得：实数m的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：．（Ⅰ）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（Ⅱ）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直线的普通方程为x+y ﹣1＝0．曲线C的极坐标方程是：，根据，转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）P（0，1）在直线l上，把直线的参数方程为（t为参数）代入，得到，所以．18．为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关，随机对该校100名性别不同的学生进行了调查．得到如下列联表．喜爱某种食品不喜爱某种食品合计男生20女生10合计60（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜爱某种食品与性别有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 【分析】（Ⅰ）根据表中已知数据及题意即可完成列联表；（Ⅱ）结合已知公式及（Ⅰ）中表格即可判断；（Ⅲ）利用分层抽样的特点可得男生与女生分别喜欢某种食品的人数，再根据古典概型的概率公式即可求解．解：（Ⅰ）由表可知，100名学生中喜爱某种食品的学生有60 人，其中喜爱某种食品的男生有20人，不喜爱某种食品的女生有10人，∴喜爱某种食品的女生有40人，不喜爱某种食品的男生有30人，则完成列联表如下：喜爱某种食品不喜爱某种食品合计男生20 30 50女生40 10 50合计60 40 100（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴有99.9%的把握认为喜爱某种食品与性别有关．（Ⅲ）用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，则其中男生有（人），分别设为A，B；女生有（人），分别设为1，2，3，4，则从这6名学生中随机抽取2人有如下15种结果：AB，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，12，13，14，23，24，34，其中恰好有1名男生喜爱某种食品有8种结果：A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，∴所求的概率．19．2020年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值（棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切），得到如下分布表：马克隆值[3，3.2） [3.2，3.4）[3.4，3.6）[3.6，3.8）[3.8，4.0）[4.0，4.2）[4.2，4.4）[4.4，4.6）[4.6，4.8]重量（吨）0.08 0.12 0.24 0.32 0.64 a0.12 0.06 0.02（1）求a的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；（3）根据马克隆值可将棉花分为A，B，C三个等级，不同等级的棉花价格如表所示：马克隆值[3.6，4.2）[3.4，3.6）或[4.2，4.8）3.4以下级别A B C价格（万元/吨） 1.5 1.4 1.3用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值．【分析】（1）由频率分布表能求出a，从而能补全频率分布直方图．（2）由频率分布直方图能求出众数和中位数．（3）先求出一吨样本的产值，由此能估计该棉花种植基地今年的总产值．解：（1）由频率分布表得：0.08+0.12+0.24+0.32+0.64+a+0.12+0.06+0.02＝2．解得a＝0.4．在直方图中对应的的值为＝1，补全频率分布直方图如下：（2）由频率分布直方图得：马克隆值落在区间[3.8，4.0）内的频率最大，故众数为，∵（0.2+0.3+0.6+0.8）×0.2＝0.38＜0.5，（0.2+0.3+0.8+1.6）×0.2＝0.7＞0.5，∴中位数在区间[3.8，4.0）内，中位数为：3.8+（0.5﹣0.38）÷1.6＝3.875．（3）一吨样本的产值为：1.5×（0.16+0.32+0.2）+1.4×（0.12+0.06+0.03+0.01）+1.3×（0.04+0.06）＝1.458（万元），∴用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值为：2000×1.458＝2916（万元）．20．全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨．数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如表：科技投入x1 2 3 4 5 6 7收益y19 20 22 31 40 50 70根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y＝2bx+a的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如表：5 140 1239 149 2134 130其中z i＝log2y i，．（1）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.1，用的近似值算）；（2）①乙认为样本点分布在直线y＝mx+n的周围，并计算得回归方程为＝8.25x+3，以及该回归模型的决定系数（即相关指数）R乙2＝0.893，试计算R甲2，比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.001）②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？（精确到0.1）附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线方程＝的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，，决定系数：R2＝1﹣，参考数据：log25≈2.3．【分析】（1）两边取对数得log2y＝bx+a，令z＝log2y，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；（2）①根据公式计算可得相关指数，由此可得结论；②由20.3x+3.8≥100，解不等式可求得x范围，由此可得结果．解：（1）将y＝2bx+a两边取对数得：log2y＝bx+a，令z＝log2y，则，∵，∴根据最小二乘估计可知：＝≈0.3，∴，∴回归方程为，即．（2）①甲建立的回归模型的．∴甲建立的回归模型拟合效果更好．②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好．设20.3x+3.8≥100，得0.3x+3.8≥log2100＝2+2log25，解得：x≥9.3．∴科技投入的费用至少要9.3百万元，下一年的收益才能达到1亿．21．已知函数f（x）＝alnx+x2．（Ⅰ）若f（x）在x＝1处的切线方程为2x+y﹣3＝0，求a的值；（Ⅱ）若a＞0，∀x1，x2∈[1，e]，都有恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（I）结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，（II）先设1≤x1≤x2≤e，由已知可转化为，构造函数，x∈[1，e]，结合导数与单调性的关系可求．解：（Ⅰ）因为，因为f（x）在x＝1处的切线方程为2x+y﹣3＝0的斜率为﹣2，所以f'（1）＝﹣2，即a+2＝﹣2，解得a＝﹣4．（Ⅱ）若a＞0，x∈[1，e]，，f（x）在区间[1，e]上是增函数，又函数是减函数，不妨设1≤x1≤x2≤e，由已知，，所以，设，x∈[1，e]，则g（x）在区间[1，e]是减函数，在[1，e]上恒成立，所以，因为在[1，e]上恒成立，h（x）单调递减，，所以，故．22．已知函数，其中a∈R，g（x）＝e x﹣x．（1）若函数f（x）＝x•h（x），讨论f（x）的单调性；（2）当a＝1时，证明：g（x）+h（x）≥0．【分析】（1）由条件可得f′（x）＝，然后分a＝0，a＞0，a＜0三类讨论，可得f（x）的单调情况；（2）要证明g（x）+h（x）≥0恒成立，即证明xe x﹣x﹣1﹣lnx≥0恒成立，构造函数F （x）＝xe x﹣x﹣1﹣lnx，利用导数可证得F（x）≥0即可．解：（1）由题意，得，则＝①当a＝0时，在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，，令f′（x）＞0，即，解得；令f′（x）＜0，即，解得，∴f（x）在上单调递减，在上单调递增；③当a＜0时，，令f′（x）＞0，即，解得；令f′（x）＜0，即，解得，∴f（x）在上单调递减，在上单调递增．综上，当a＝0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；当a＜0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：当a＝1时，函数，定义域为（0，+∞），要证明g（x）+h（x）≥0恒成立，即证明恒成立，即证明xe x﹣x﹣1﹣lnx≥0恒成立．令F（x）＝xe x﹣x﹣1﹣lnx，则，函数F（x）的定义域为（0，+∞），∴x+1＞0，令，显然m（x）在（0，+∞）上单调递增．又，∴m（x）在上有一个零点x0，结合m（x）的单调性，可知m（x）有且仅有一个零点，则m（x0）＝0，即，则x0＝﹣lnx0，∵当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，∴函数F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，F（x）min＝F（x0）＝x0ex0﹣x0﹣lnx0﹣1＝1﹣x0+x0﹣1＝0，故F（x）≥0，故当a＝1时，g（x）+h（x）≥0得证．。

黑龙江省哈尔滨师大附中2020-2021学年高二下学期期末考试数学(理) 试题(含答案)

哈师大附中2020-2021年度高二学年下学期期末考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟满分：150分一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知集合{51}A xx =-<<∣，{}24B x x =≤∣，则A B =（）A ．[)2,1-B ．()5,1-C ．(]5,2-D ．()5,2-2．函数()122xf x x =-++的定义域是（） A ．(2,0]- B ．(2,1]-C ．(,2)(2,0]-∞--D ．(,2)(2,1]-∞--3．数列{}n a 的前n 项和()22n n S n a n =⋅≥，11a =，通过计算234,,,a a a 猜想n a =（） A ．21n + B ．()21n n +C ．221n- D ．231n - 4．下列四个结论中正确的个数为（）①命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是“若1x >或1x <- ，则21x >”； ②已知:p x R ∀∈，sin 1x ≤，:q 若a b <，则22am bm <，则p q ∨为真命题; ③命题“x R ∃∈，20x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．甲，乙两名同学5次考试的得分如茎叶图所示，其中两竖线之间是得分的十位数．两边分别是甲，乙得分的个位数，则下列结论错误的是（） A ．甲得分的中位数是85B ．乙得分的中位数与众数相同C ．甲得分的方差小于乙得分的方差D ．甲得分的平均数低于乙得分的平均数 6．已知2211f x x x x⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则()2f =（） A ．3B ．4C ．5D ．67．函数2121x x y -=+的值域是（）A ．()(),11,-∞--+∞ B ．(),1-∞- C ．()1,1- D ．()(),11,-∞+∞8. 已知220(3)16x k dx +=⎰，则k =（）A ．4B ． 3C ．2D ．19．执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（）A ．120B ．720C ．620D ．32010.已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫=⎪⎝⎭（） A ．2log 3B ．1C ．1-D ．011．2020年是脱贫攻坚战决胜之年．凝心聚力打赢脱贫攻坚战，确保全面建成小康社会．为了如期完成脱贫攻坚目标任务，某县安排包括甲、乙在内的5个单位对本县的3个贫困村进行精准帮扶，要求每个村至少安排一个单位，每个单位只帮扶一个村，则甲、乙两个单位被安排在同一贫困村的概率为（） A ．320 B ．625 C ．25D ．16 12. 若函数()ln f x x x a x =--在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 复数112iz i+=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是______. 14. 随机抽取骑行共享单车的市民进行问卷调查，得到样本的频率分布直方图如图所示．再从这些市民中用分层抽样的方法抽取一个样本进行调查，若第二次抽取的样本中 [30,40)年龄段的人数为14，则第二次抽取的样本中[50,60]年龄段的人数为__________人.15．若函数2x y e mx =-有小于零的极值点，则实数m 的取值范围是_________.16．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是__________.（参考数据：ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，ln 5 1.6094≈）三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17. （本题满分12分）若不恒为零的函数()y f x =对任意,x y R ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+．（1）指出()y f x =的奇偶性，并给予证明；（2）当0x >时，()0f x <，证明：()f x 在R 上为减函数；（3）在（2）的条件下，若对任意实数x ，恒有()()2220f kx f x x +-+->成立，求k 的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数()(),0xa e f x a R a x⋅=∈≠．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的方程；（2）求函数()f x 的单调区间． 19．（本题满分12分）某商场对A 商品近30天的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量y (件)与时间t (天)之间具有线性相关关系.（1）请根据表格提供的数据，用最小二乘法原理求出y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆy bt a =+；（2）已知A 商品近30天内的日销售价格z (元)与时间t (天)的关系为20,020()100,2030t t z t N t t +<<⎧=∈⎨-+≤≤⎩.根据（1）中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，A 商品的日销售额最大. (参考公式1221ˆni ii nii t ynt y btnt==-=-∑∑，ˆˆa y bt=-) 20．（本题满分12分）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点F 到抛物线准线的距离为2，若椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点也为F ，离心率为12. （1）求抛物线方程和椭圆方程；（2）若不经过F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且3OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），直线l 与椭圆交于,C D 两点，求CDF ∆面积的最大值． 21．（本题满分12分）已知函数()()2122ln 2f x x ax a x a =-+∈R ．（1）若函数()f x 在区间()0,+∞内是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1x 、2x 是函数()f x 的两个极值点，当21x ex >时，均有()()22112222f x x f x x λλ->-成立，求实数λ的取值范围（其中e 为自然对数的底数）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：20x y -+=．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C ：cos sin ρθθ=+.（1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离． 23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>.（1）当2a =，1b =时，解不等式()9f x ≥；（2）若函数()f x 的最小值为2，求111a b++的最小值. 高二下学期期末考试（数学理）参考答案：一、选择题：CABCCD CABDBD 二、填空题： 13.35 14. 2 15. 102m <<16. 5 三、解答题：17.解（1）()y f x =为奇函数；证明：令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+，解得：(0)0f = -----------1分令y x =-，则()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==，()()f x f x ∴=-- 所以函数()y f x =为奇函数； -----------3分（2）()f x 在R 上单调递减；证明：任意取12,x x R ∈，且12x x >，则120x x ->，12()0f x x ∴-< -----------4分又121212()()()()()0f x x f x f x f x f x -=+-=-<，即12()()f x f x < 所以()f x 在R 上单调递减； -----------6分（3）对任意实数x ，恒有22()(2)0f kx f x x +-+->等价于222()(2)(2)f kx f x x f x x >--+-=-+成立又()f x 在R 上单调递减，222kx x x ∴<-+ -----------9分即对任意实数x ，2(1)20k x x -+-<恒成立，当10k -=时，即1k =时，20x -<不恒成立； -----------10分当10k -≠时，即1k ≠时，则1018(1)0k k -<⎧⎨∆=+-<⎩，解得：78k <所以实数k 的取值范围为7,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. -----------12分18.解：（1）当1a =时，()()0x e f x x x =≠，()2x xx e e f x x'=-()1f e =，切点()1,e ， ()10k f '==，所以切线方程为0y e -=，即y e =．-----------4分（2）()()()2210x x xe x e ef x a a x x xx -'==≠-， ① 0a >，当1x >时， ()0f x '>，函数()f x 单调递增； ----------6分当0x <或01x <<时， ()0f x '<，函数()f x 在每个区间上单调递减； ----------8分 ② 0a <，当1x >时， ()0f x '<，函数()f x 单调递减； ----------10分当0x <或01x <<时， ()0f x '>，函数()f x 在每个区间上单调递增； ----------12分综上所述，0a >时，()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为(),0-∞，()0,1；0a <时，()f x 的单调递增区间为(),0-∞，()0,1，单调递减区间为()1,+∞．19.解：（1）根据题意，()124681065t =⨯++++=，52222221246810220i i t ==++++=∑512384376328331030980i ii t y ==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=∑，()13837323330345y =⨯++++= 所以回归系数为：122219805634ˆ122056ni ii nii t y nt ybtnt==--⋅⋅===--⋅-∑∑ ˆˆ34(1)640a y bt =-=--⋅=，故所求的线性回归方程为ˆ40yt =-+； ----------6分（2）由题意日销售额为()()()()2040,020,10040,2030,t t t t N L t t t t N ⎧+-+<<∈⎪=⎨-+-+≤≤∈⎪⎩； ----------7分当020t <<，t N ∈时，()()()2220402080010900L t t t t t =+-+=-++=--+，即当10t =时，max 900L =(元)； ----------9分当2030t ≤≤，t N ∈时，()()()2210040140400070900L t t t t t =-+-==--+-+，即当20t =时，max 1600L =(元)， ----------11分综上所述，当20t =时，max 1600L =(元)，所以估计20t =天时，A 商品的日销售额最大值为1600元. ----------12分 20.解（1）由已知得，12,(1,0),1,,22c p F c e a a =∴===∴=，2223b a c =-=，所以抛物线方程为24y x =，椭圆方程为22143x y +=. ----------4分（2）设直线l 方程为：my x n =+，由24,,y x my x n ⎧=⎨=+⎩消去x 得，2440y my n -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=⎩因为22212121212()164431616y y n OA OB x x y y y y n n n ⋅=+=+=+=+=-所以3n =-或1n =-（舍去），所以直线l 方程为：3my x =-. ----------7分由221,433,x y my x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得，22(34)18150m y my +++=.设(,),(,)C C D D C x y D x y ，则2218,3415,34C D C D m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩设(3,0)E ，所以11||||2||||22CDF C D C D C D S EF y y y y y y =⋅-=⨯⨯-=-△==234m =+. ----------10分(0)t t >，则2253t m +=，所以2()9t S t t t t==≤=++，当且仅当3t =时，即m =分 21.解:（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22222a x ax af x x a x x-+'=-+=--------1分由已知，()0f x '≥或()0f x '≤对x ∈()0,∞+恒成立 --------2分设()222g x x ax a =-+，()g x 开口向上，则()0g x ≥对x ∈()0,∞+恒成立∴{a ≤0g(0)≥0或{a >0△≤0∴实数a 的取值范围是[]0,2 --------4分（2）由题意可知，1x 、2x 是方程2220x ax a -+=的两个正根，则()24800020a a a g a ⎧∆=->⎪>⎨⎪=>⎩，解得2a >.由韦达定理可得12122x x x x a +==. --------6分()()22212221111122ln 22ln 22f x f x x ax a x x ax a x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2222121112ln22x a x x a x x x =+--- ()()()()2222221221212112211111lnln 22x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-=--，由()()22112222f x x f x x λλ->-，可得()()()22212102f x f x x x λ---<，即()222122111ln02x x x x x x λ+--<，即2211121ln 02x x x x x x λ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭，即2121211ln 02x x x x x x λ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭，令21x t e x =>，可得11ln 02t t t λ+⎛⎫--> ⎪⎝⎭，可得21ln ln 121t t t t t tλ+>=--， --------8分令()2ln 1t th t t =-，其中t e >，()()()()()()()22222222ln 112ln 11ln 011t t t tt t th t tt+----+'==<--，所以，函数()h t 在区间(),e +∞上单调递减，当t e >时，()()21eh t h e e <=- --------10分所以，2121e e λ+≥-，解得22211e e e λ+-≥-. 综上所述，实数λ的取值范围是2221,1e e e ⎡⎫+-+∞⎪⎢-⎣⎭. --------12分 22. 解：（1）圆C ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，圆C 的直角坐标方程为：22x y x y +=+，即220x y x y +--=； ----------3分直线l ：20x y -+=，则直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=. ----------5分（2）由圆C 的直角坐标方程为220x y x y +--=可知圆心C 坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2，因为圆心C=因此圆C 上的点到直线l22=. ----------10分 23.解：（1）当2a =，1b =时，()219f x x x =-++≥，所以1219x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1239x -<≤⎧⎨≥⎩或2219x x >⎧⎨-≥⎩，解得：4x ≤-或5x ≥，故解集为(][),45,-∞-⋃+∞； ----------5分（2）由0,0a b >>，所以()f x x a x b x b x a a b a b =-++≥+-+=+=+，时()f x 的最小值为2， ----------6分则2a b +=，所以(1)3a b ++=， ----------7分111111114()((1))(2)(22)1313133b a a b a b a b a b ++=+++=++≥+=+++， ----------9分时，111a b ++的最小值为43 ----------10分0))((≤+-b x a x 23,21==b a。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨九中高二(下)期末数学试卷(理科)(附答案详解)

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨九中高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x0∈R，x03−x02+1>0”的否定是()A. ∀x∈R，x 3−x 2+1≤0B. ∃x0∈R，x03−x02+1<0C. ∃x0∈R，x03−x02+1≤0D. ∀x∈R，x 3−x 2+1>02.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，若P(ξ<2)=0.8，则P(0<ξ<1)的值为()A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.63.已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则常数c为()X01P9c2−c3−8cA. 13B. 23C. 34或23D. 144.每年新春佳节时，我国许多地区的人们有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．如图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色部分的面积，将窗花图案放置在边长为20cm的正方形内，在该正方形内随机生成1000个点，恰有535个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为()A. 168cm2B. 214cm2C. 248cm2D. 336cm25.设条件p：a>0，条件q：a2+a>0；那么p就是q的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6.掷一枚硬币两次，记事件A=“第一次出现正面”，B=“第二次出现反面”，下列结论正确的为()A. P(AB)=12B. P(A∪B)=P(A)+P(B)C. A与B互斥D. A与B相互独立7.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词搜索指数变化的走势图．据该走势图，下列结论正确的是()A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的搜索指数稳定性小于11月份的搜索指数稳定性，故去年10月份的方差小于11月份的方差8.二项式(x2−2x)5展开式中，x4的系数是()A. −40B. 10C. 40D. −109.某工厂对一批新研发产品的长度(单位：mm)进行测量，将所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图加图所示，据此图估计这批产品长度的中位数是()A. 23.25mmB. 22.50mmC. 21.75mmD. 21.25mm10.若函数f(x)=lnx+ax+1x在[1,+∞)上是单调函数，则a的取值范围是()A. (−∞,0]∪[14,+∞) B. (−∞,−14]∪[0,+∞)C. [−14,0] D. (−∞,1]11.育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有()A. 80种B. 90种C. 120种D. 150种12.已知函数f(x)=e x−ax有两个零点x1<x2，则下列说法错误的是()A. a >eB. x 1+x 2>2C. x 1x 2>1D. 有极小值点x 0，且x 1+x 2<2x 0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮四级以上的风，那么P(B|A)= ______ ．14. 直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为______． 15. 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，直到区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有______种(用数字作答)16. 下列命题中，正确命题的序号为______．①已知随机变量X 服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p =23； ②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③某厂家声称自己的产品合格率为99%，市场质量管理人员抽取了这个厂家的2件产品进行检验，发现不都合格，由此可知厂家所声称的合格率不可信； ④某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B(10,0.8)，则当X =8时概率最大．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线(如图)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的均为12；L 2上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35． (1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L 2路线，求他遇到红灯的次数X 的分布列和数学期望．18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．19.已知函数f(x)=x(lnx−m−1)，m∈R．(Ⅰ)若m=2，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(Ⅱ)当x>1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅲ)若对于任意x∈[e,e2)，都有f(x)<4lnx成立，求实数m的取值范围．20. 耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻．海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表：绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y 与海水浓度x 之间的相关关系，用最小二乘法计算得y 与x 之间的线性回归方程为y ̂=b ̂x +0.88． (1)求b ^，并估计当浇灌海水浓度为8‰时该品种的亩产量； (2)(i)完成下列残差表：(ii)统计学中常用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，模型拟合效果越好，如假设R 2=0.8，就说明预报变量y 的差异有80%是由解释变量x 引起的．请计算相关指数R 2(精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？ (附：残差公式e ̂i =y i −y ̂i ，相关指数R 2=1n i=1i i 2∑(n y −y)2)21. 为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度(单位：cm)，经统计，其高度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗． (1)求图中a 的值；(2)已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A试验区B试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；(3)用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4棵，其中优质树苗的棵数为X，求X的分布列和数学期望EX．下面的临界值表仅供参考：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 (参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d.)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)22.已知函数f(x)=ax−sinx，x∈(0,+∞)(a∈R)．(1)若f(x)>0，求a的取值范围；(2)当a=1时，证明：2f(x)+cosx>e−x．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵命题：“∃x0∈R，x03−x02+1>0”是特称命题，∴特称命题的否定是全称命题得“∃x0∈R，x03−x02+1>0”的否定是：“∀x∈R，x3−x2+1≤0”．故选：A．根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题的否定．本题主要考查含有量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．2.【答案】B【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，∴μ=1，得对称轴是x=1．∵P(ξ<2)=0.8，∴P(ξ≥2)=P(ξ<0)=0.2，∴P(0<ξ<2)=0.6∴P(0<ξ<1)=0.3．故选：B．根据随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=1，P(0<ξ<2)，得到结果．根据正态曲线的特点，得到P(0<ξ<1)=12本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．3.【答案】A【解析】解：由题意可得，{9c2−c+3−8c=1 9c2−c≥03−8c≥0，解得c=13．故选：A．利用分布列的性质列式求解即可．本题考查了离散型随机变量分布列的性质的应用，考查了运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：正方形的面积S=20×20=400cm2，则由题意值对应深色区域面积S满足S400=5351000，得S=214cm2，故选：B．根据几何概型的概率公式建立比例关系进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率公式的应用，结合对应区域关系，建立比例方程是解决本题的关键．比较基础．5.【答案】C【解析】解：由a2+a>0；解得：a>0或a<−1，故p是q的充分不必要条件，故选：C．先求出关于q的a的范围，从而求出p，q的关系．本题考察了充分必要条件，考察集合之间的关系，本题属于基础题．6.【答案】D【解析】解：掷一枚硬币两次，记事件A=“第一次出现正面”，B=“第二次出现反面”，则A与B是相互独立的事件，故D正确；则P(AB)=12×12=14，故A错误；由于A、B不是互斥事件，∴P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)，故B、C错误，故选：D．由题意利用相互独立的事件、互斥事件的定义以及概率计算公式，得出结论．本题主要考查相互独立的事件、互斥事件的定义以及概率计算公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据折线图的变化趋势可知，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化，故选项A错误；根据折线图的变化趋势可知，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度增减性不确定，故选项B错误；由折线图可知，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故选项C正确；从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的搜索指数稳定性小于11月份的搜索指数稳定性，所以去年10月份的方差大于11月份的方差，故选项D错误．故选：C．利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由通项公式得：T r+1=C5r⋅(−2)r⋅x10−3r，令10−3r=4，求得r=2，可得含有x4的系数是C52(−2)2=40，故选：C．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由频率分布直方图得：这批产品长度在[10,20)的频率为：(0.02+0.04)×5=0.3，这批产品长度在[20,25)的频率为：0.08×5=0.4，∴估计这批产品长度的中位数为：20+0.5−0.30.4×5=22.50mm．故选：B．由频率分布直方图得这批产品长度在[10,20)的频率为0.3，[20,25)的频率为0.4，由此能估计这批产品长度的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．求出f′(x)，由题意可得：f′(x)≥0或f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，分类讨论进行求解即可．【解答】解：由题意得，f′(x)=1x +a−1x2，因为f(x)=lnx+ax+1x在[1,+∞)上是单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，①当f′(x)≥0时，则1x +a−1x2≥0在[1,+∞)上恒成立，即：当x∈[1,+∞)时，a≥1x2−1x恒成立，设g(x)=1x2−1x=(1x−12)2−14，因为x∈[1,+∞)，所以1x∈(0,1]，当1x=1时，g(x)取到最大值g(1)=0，所以a≥0；②当f′(x)≤0时，则1x +a−1x2≤0在[1,+∞)上恒成立，即：当x ∈[1,+∞)时，a ≤1x 2−1x 恒成立，设g(x)=1x 2−1x =(1x −12)2−14，因为x ∈[1,+∞)，所以1x ∈(0,1]，当1x =12时，g(x)取到最小值g(2)=−14，所以a ≤−14，综上可得，a ≤−14或a ≥0，所以实数a 的取值范围是(−∞,−14]∪[0,+∞)，故选B ．11.【答案】D【解析】解：依题意分组法是(1,1，3)，(1,2，2)共有C 51C 41C 33A 22+C 51C 42C 22A 22=25，再分配，乘以A 33，即得总数150，故选：D ．分组法是(1,1，3)，(1,2，2)共有25种，再分配，共有A 33种果，根据分步计数原理知结果．本题考查分步计数原理，首先分组，再进行排列，属于基础题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：∵f(x)=e x −ax ，∴f′(x)=e x −a ，令f′(x)=e x −a >0，①当a ≤0时，f′(x)=e x −a >0在x ∈R 上恒成立， ∴f(x)在R 上单调递增，不符合题意；②当a>0时，∵f′(x)=e x−a>0，∴e x−a>0，解得x>lna，∴f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增．∵函数f(x)=e x−ax有两个零点x1<x2，∴f(lna)<0，a>0，∴e lna−alna<0，∴a>e，A正确；x1+x2=ln(a2x1x2)=2lna+ln(x1x2)>2+ln(x1x2)，取a=e22，f(2)=e2−2a=0，∴x2=2，f(0)=1>0，∴0<x1<1，∴x1+x2>2，B正确；f(0)=1>0，∴0<x1<1，x1x2>1不一定，C不正确；f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增，∴有极小值点x0=lna，由图象观察可得x1+x2<2x0=2lna，D正确．故选：C．13.【答案】38【解析】【分析】本题考查概率的计算，考查了条件概率，考查了学生的计算能力，属于基础题．由题意得：P(A)=415，P(B)=215，P(AB)=110，再利用条件概率公式，即可求得结论．【解答】解：由题意得：P(A)=415，P(B)=215，P(AB)=110，∴P(B|A)=P(AB)P(A)=38．故答案为38．14.【答案】4【解析】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫(24x−x3)dx，而∫(204x−x3)dx=(2x2−14x4)|02=8−4=4∴曲边梯形的面积是4，故答案为：4先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．本题考查学生利用定积分求曲边梯形的面积，会求出原函数的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．15.【答案】576【解析】解：由题意可得，前四次有一次是正品，有三次是次品，共有C61⋅C43⋅A44种可能．而第五次取得次品．故由分步计数原理可得，所有的测试方法有C61⋅C43⋅A44种可能，故答案为：576．由题意可得前四次有一次是正品，有三次是次品，而第五次取得次品，最后根据乘法公式计算可得共有几种可能．本题涉及一类重要问题，即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素(即组合)后排列．16.【答案】②③④【解析】解：对于①：随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，可得np=30，np(1−p)=20，所以p=13，故①错误；对于②：根据公式可得，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，E(aξ+b)=aEξ+b，D(aξ+b)=a2Dξ，故②正确；对于③：若某厂家声称自己的产品合格率为99%，则产品的不合格率为0.01，则两件产品都不合格的概率为0.01×0.01=0.0001，而其中恰有一个次品的概率为0.01×0.99×2=0.0198，故不都合格的概率为0.0001+0.0198=0.0199，而这种小概率的事是不太可能发生的，所以厂家所声称的合格率不可信，故③正确；对于④：因为在10次射击中，击中目标的次数X满足X∽B(10,0.8)，所以对应的概率P(x=k)=C10k×0.8k×0.210−k，当k≥1时，k∈N∗时，P(x=k) p(x=k−1)=C10k⋅0．8k⋅0．210−kC10k⋅0.8k−1⋅0.210−k+1=4(11−k)k，由P(x=k)p(x=k−1)=4(11−k)k≥1得44−4k≥k，所以1≤k≤445，因为k∈N∗，所以1≤k≤8，且k∈N∗，即k=8时，概率P(x=8)最大，故④正确．故答案为：②③④．对于①：利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．对于②：根据方程公式可得，方差恒不变，即可判断②是否正确；对于③：利用独立书剑概率乘法公式，求得随机抽取2件，都不合格的概率非常低，即可判断③是否正确；对于④：根据二项分布的概率性质，进行求解判断，即可判断④是否正确．本题考查统计与概率，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：(1)设走L 1路线最多遇到1次红灯为事件A ，则P(A)=C 30×(12)3+C 31×12×(12)2=12； (2)依题意，X 的可能取值为0，1，2，则P(X =0)=(1−34)×(1−35)=110， P(X =1)=34×(1−35)+(1−34)×35=920， P(X =2)=34×35=920，所以随机变量X 的分布列为：故E(X)=110×0+920×1+920×2=2720．【解析】(1)利用二项分布的概率公式以及分类计数原理分析求解即可．(2)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了二项分布的概率公式以及分类计数原理的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.人数比为：3：2：2，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X 的取值为：0，1，2，3，P(X =k)=C 4k ⋅C 33−k C 73，k =0，1，2，3．所以随机变量的分布列为：随机变量X的数学期望EX=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C 为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以事件A发生的概率：67．【解析】本题考查分层抽样，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．(1)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；(2)若(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数的可能值，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望；(ii)利用互斥事件的概率加法公式求解即可．19.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=(lnx−3)x，f(e)=−2e，f′(x)=1x⋅x+lnx−3=lnx−2，则k=f′(e)=−1 (3)所以y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y+2e=−(x−e)即x+y+e= 0 (5)(Ⅱ)因为f(x)=(lnx−m−1)x(m∈R)，所以x>0，fʹ(x)=1x⋅x+lnx−m−1=lnx−m (6)①当m≤0时，因为x>1，所以fʹ(x)=lnx−m>0，函数f(x)的单调增区间是(1,+∞)，无单调减区间，无极值 (7)②当m>0时，令lnx−m=0，解得x=e m，当1<x<e m时，fʹ(x)<0；当x>e m，fʹ(x)>0，所以函数f(x)的单调减区间是(1,e m)，单调增区间是(e m,+∞)， (9)在区间(1,+∞)上的极小值为f(e m)=(m−m−1)e m=−e m，无极大值． (10)(Ⅲ)因为对于任意 x ∈[e,e 2]，都有 f(x)<4lnx 成立，所以 f(x)−4lnx <0，即问题转化为 (x −4)lnx −(m +1)x <0 对于 x ∈[e,e 2]恒成立，即 m +1>(x−4)lnxx对于 x ∈[e,e 2]恒成立， (11)令 g(x)=(x−4)lnxx，则 gʹ(x)=4lnx+x−4x 2，令 t(x)=4lnx +x −4，x ∈[e,e 2]，则 tʹ(x)=4x +1>0，所以 t(x) 在区间[e,e 2]上单调递增，故 t(x)min =t(e)=e −4+4=e >0，进而gʹ(x)>0，…………………………13 所以 g(x) 在区间[e,e 2]上单调递增，函数 g(x)max =g(e 2)=2−8e 2，…………………………15 要使 m +1>(x−4)lnxx 对于 x ∈[e,e 2]恒成立，只要 m +1>g(x)max ，所以 m +1>2−8e 2，即实数m 的取值范围是 (1−8e 2,+∞) (16)【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程． (Ⅱ)求出导数通过①当 m ≤0 时，②当 m >0 时，判断导函数的符号，判断函数的单调性求解函数的极值即可．(Ⅲ)题目化为 f(x)−4lnx <0，问题转化为 (x −4)lnx −(m +1)x <0 对于 x ∈[e,e 2]恒成立，即 m +1>(x−4)lnxx对于 x ∈[e,e 2]恒成立，构造函数 g(x)=(x−4)lnxx，求出导函数，令 t(x)=4lnx +x −4，x ∈[e,e 2]，利用导函数求解最小值 t(x)min =t(e)=e −4+4=e >0，推出gʹ(x)>0，g(x) 在区间[e,e 2]上单调递增，然后求解最大值推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，二次导数的应用，构造法以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．20.【答案】解：(1)计算x =15×(3+4+5+6+7)=5，y =15×(0.62+0.58+0.49+0.4+0.31)=0.48；代入线性回归方程y ̂=b ̂x +0.88中，解得b ̂=0.48−0.885=−0.08， ∴y 与x 之间的线性回归方程为ŷ=−0.08x +0.88； x =8时，ŷ=−0.08×8+0.88=0.24，即估计当浇灌海水浓度为8‰时该品种的亩产量0.24(吨)； (2)(i)根据题意填写残差表如下：(ii)计算相关指数R 2=1n i=1i i 2∑(n y −y)2=1−(−0.02)2+0.022+0.012+02+(−0.01)20.142+0.12+0.012+(−0.08)2+(−0.17)2≈0.85>0.8，由R 2=0.85，说明预报变量y 的差异有85%是由解释变量x 引起的，即亩产量的变化85%的是由浇灌海水浓度引起的．【解析】(1)计算x 、y ，代入线性回归方程求得b ^的值，写出回归方程，再利用回归方程计算x =8时y ^的值； (2)(i)根据公式计算并填写残差表；(ii)由公式计算相关指数R 2，结合题意得出统计结论．本题考查了线性回归直线方程与相关系数的应用问题，是中档题．21.【答案】解：(1)根据直方图数据，有2×(a +a +2a +0.2+0.2)=1，解得a =0.025；…(2分)(2)根据直方图可知，样本中优质树苗有120×(0.10×2+0.025×2)=30，列联表如下：…(4分) 可得K 2=120(10×30−20×60)270×50×30×90≈10.3<10.828；所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系；…(6分) (3)由已知，这批树苗为优质树苗的概率为14，且X 服从二项分布B(4,14)，计算P(X =0)=C 4(14)0(34)4=81256；P(X =1)=C 41(14)1(34)3=108256； P(X =2)=C 42(14)2(34)2=54256；P(X =3)=C 43(14)3(34)1=12256； P(X =4)=C 44(14)4(34)0=1256．所以X 的分布列为：数学期望为EX =4×14=1…(12分)【解析】(1)由频率和为1，列方程求出a 的值；(2)求出优质树苗数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(3)由题意知X 服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望的计算问题．22.【答案】解：(1)f′(x)=a −cosx ，当a ≥1时，f′(x)≥0，故函数f(x)在(0,+∞)单调递增，故f(x)>f(0)=0，满足题意；a ≤−1时，f′(x)≤0，故函数f(x)在(0,+∞)单调递减，故f(x)<f(0)=0，不满足题意；−1<a <1时，令f′(x)=0，在(0,π)上存在x 0，使得cosx 0=a 成立，故0<x <x 0时，f′(x)<0，f(x)在(0,x 0)单调递减，则f(x)<f(0)=0，不满足题意；综上：a 的取值范围是[1,+∞)； (2)证明：a =1时，f(x)=x −sinx ，要证2f(x)+cosx >e −x ，即证2x −2sinx +cosx >e −x ，即证(2x −2sinx +cosx)e x >1，设g(x)=(2x −2sinx +cosx)e x ，则g′(x)=[2(x −sinx)+2−√2sin(x +π4)]e x ，)>2−√2>0，由(1)得x>sinx，而2−√2sin(x+π4故g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)单调递增，故g(x)>g(0)=1，故∀x∈(0,+∞)，a=1时，2f(x)+cosx>e−x．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据函数的单调性确定a的范围即可；(2)问题转化为证(2x−2sinx+cosx)e x>1，设g(x)=(2x−2sinx+cosx)e x，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是难题．第21页，共21页。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题

16．给出下列4个命题：
①若函数在上有零点，则一定有；
②函数既不是奇函数又不是偶函数；
③若函数的值域为，则实数的取值范围是；
④若函数满足条件，则的最小值为 .
其中正确命题的序号是：_____.（写出所有正确命题的序号）
三、解答题
17．已知函数 .
（1）若函数是偶函数，求的值；
【详解】
命题，命题．因为为假命题，为真命题．所以命题和命题一真一假，所以或，选择B
【点睛】
本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题．
6．B
【分析】
先判断函数的奇偶性，再根据与的性质，确定函数图象
【详解】
，定义域为，，所以函数是偶函数，排除A、C，又因为且接近时，，且，所以，选择B
【点睛】
函数图象的辨识可以从以下方面入手：
1.从函数定义域，值域判断；
2.从函数的单调性，判断变化趋势；
3.从函数的奇偶性判断函数的对称性；
4.从函数的周期性判断；
5.从函数的特征点，排除不合要求的图象
7．B
【分析】
先对函数求导，令导函数等于0，在上有小于的极值点等价于导函数有小于0的根．
【详解】
A． B． C． D．
4．使不等式成立的一个充分不必要条件是（）
A． B． C．或 D．
5．命题；命题 .若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（）
A． B．或
C．或 D．或
6．函数的部分图像大致为（）
A． B．
C． D．
7．若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（）

黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学(理)试题

三、解答题
17．计算由曲线，所围图形的面积 .
18．某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程.
（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？
参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式：， .
考点：计数原理
点评：解决的关键是理解完成一件事就是将一条长裤与一件上衣配成一套，因此采用分步乘法计数原理得到，属于基础题．
【详解】
请在此输入详解！
6．C
【分析】
求出代入求出，进而求出，即可求解.
【详解】
，得，
，
.
故选:C
【点睛】
本题考查函数的导数以及简单的运用，属于基础题.
7．A
【分析】
对函数求导，研究导函数的正负,求使得导函数小于零的自变量的范围，进而得到单调区间.
黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学【最新】高二下学期期末考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，至少出现一次点朝上的概率是( )
A． B． C． D．
2．若，则等于（）
参考公式和数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.07
2.71
3.84
5.02

2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲【答案】D 【解析】【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C 错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D 正确故答案选D 【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力. 2．不等式221x x-<的解集为（）A ．()0,∞+B ．(),0-∞C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()0,1【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数2xy =的单调性，得到关于x 的一元二次不等式，解得答案.【详解】不等式221xx-<，转化为2022xx-<，因为指数函数2xy =单调递增且定义域为R ，所以20x x -<，解得01x <<. 故不等式的解集为()0,1. 故选：D. 【点睛】本题考查解指数不等式，一元二次不等式，属于简单题.3．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为（）A ．()± B ．()±C ．()±D ．()±【答案】C 【解析】【分析】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到 2.ba= 然后利用222,c a b =+ 即可得到焦点坐标．【详解】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到2.ba=即 4.b = 所以22220.c a b =+= 又双曲线顶点在x 轴上，所以焦点坐标为()±．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题．4．已知(2,)M m 是抛物线24y x =上一点，则M 到抛物线焦点的距离是（） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【解析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点M 到抛物线焦点的距离2p =+ ．详解：由抛物线方程可得抛物线24y x =中1p = ，则利用抛物线的定义可得点M 到抛物线焦点的距离221 3.p =+=+=．故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．设i 是虚数单位，条件:p 复数()1,a bi a b R -+∈是纯虚数，条件:1q a =，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】复数1a bi -+是纯虚数，必有1,0a b ，=≠利用充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】若复数1a bi -+是纯虚数，必有1,0a b ，=≠所以由p 能推出q ；但若1a =,不能推出复数1a bi -+是纯虚数. 所以由q 不能推出p .，因此p 是q 充分不必要条件,故选A. 【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．某射手每次射击击中目标的概率为p ，这名射手进行了10次射击，设X 为击中目标的次数， 1.6DX =，(=3)(=7)P X P X <，则p =A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2【答案】A 【解析】【分析】利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式以及方差的计算公式，即可得到结果。

2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二(下)期末综合测试试题含解析

2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在极坐标系中,已知点2,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则过点P 且平行于极轴的直线的方程是( ) A ．sin 1ρθ=B ．sin 3ρθ=C ．cos 1ρθ=D ．cos 3ρθ=【答案】A【解析】【分析】将点2,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭化为直角坐标的点，求出过点P 且平行于x 轴的直线的方程，再转化为极坐标方程，属于简单题。

【详解】因为点2,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为()3,1，此点到x 轴的距离是1，则过点P 且平行于x 轴的直线的方程是1y =，化为极坐标方程是sin 1ρθ=故选A.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。

2． “”是“”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：，故正确答案是充分不必要条件，故选B.考点：充分必要条件.3．复数满足(为虚数单位)，则复数在复平面内所对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算法则，可求出，从而可求出在复平面内所对应的点的坐标，从而可得到答案.【详解】由题意，，则复数在复平面内所对应的点为，在第四象限.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题.4．若随机变量X 的分布列： X0 1 P 0.2 m已知随机变量(,)Y aX b a b R =+∈且()10E Y =，()4D Y =，则a 与b 的值为( )A ．10,3a b ==B ．3,10a b ==C ．5,6a b ==D ．6,5a b ==【答案】C【解析】【分析】先根据随机变量X 的分布列可求m 的值，结合()10E Y =，()4D Y =，可求a 与b 的值.【详解】因为0.21m +=，所以0.8m =，所以()00.210.80.8E X =⨯+⨯=,()0.20.80.16D X =⨯=；因为()10E Y =，()4D Y =，所以22()0.810,()0.164aE X b a b a D X a +=+=== 解得5,6a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查随机变量的期望和方差，注意两个变量之间的线性关系对期望方差的影响.5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种【答案】A【解析】【分析】【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A 42=12种安排方法，甲在星期二有A 32=6种安排方法，甲在星期三有A 22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A ．6．已知点P 是双曲线22145x y -=上一点，若12PF PF ⊥，则△12PF F 的面积为（） A ．54 B ．52 C ．5 D ．10【答案】C【解析】设12,PF m PF n ==，则：24m n a -==，则：22216m n mn ++=，由勾股定理可得：222436m n c +==，综上可得：220,10mn mn =∴=则△12PF F 的面积为：152S mn ==. 本题选择C 选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M|||MF 1|－|MF 2||＝2a,0＜2a ＜|F1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上． 7．定义在区间[0,1]上的函数()f x 的图象如图所示，以A(0,?f(0)),?B(1,?f(1)),?C(x,?f(x))为顶点的△ABC 的面积记为函数()S x ，则函数()S x 的导函数()S x '的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】连结AB 后，AB 长为定值，由C 点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．【详解】解：如图，△ABC 的底边AB 长一定，在点C 由A 到B 的过程中，△ABC 的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C 位于AB 连线和函数f （x ）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选D ．【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题．8．已知函数()x f x e =，()1ln 22x g x =+的图象分别与直线()0y m m =>交于,A B 两点，则AB 的最小值为( )A ．2B ．2ln2+C ．21+2eD ．32ln 2e - 【答案】B【解析】由题意，()12,,2,m A lnm m B e m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中，122m e lnm ->，且0m >，所以122m AB e lnm -=-.令12y 2,0x e lnx x -=->，则121y 2x ex --'=，y '为增函数. 令y 0'=，得12x =. 所以102x <<.时y 0'<，12x >时y 0'>, 所以12y 2,0x e lnx x -=->在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以12x =时, 22min AB ln =+. 故选B. 点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式；（2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理.9．5人站成一列，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为（）A ．18B ．24C ．36D ．48【答案】D【解析】【分析】将甲、乙两人捆绑在一起，再利用排列公式得到答案.【详解】将甲、乙两人捆绑在一起，不同站法的种数为：424248A A ⨯= 故答案选D【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法，属于简单题.10．已知函数()sin x x f x e e x x -=-+-（其中e 为自然对数的底数），则不等式()2(3)f x x f x -<+的解集为（）A ．(1,3)-B ．(3,1)-C ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(3,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】【分析】求导得到'()1cos 0x x f x ee x -+--=-≤，函数单调递减，故23x x x ->+，解得答案.【详解】 ()sin x x f x e e x x -=-+-，则'()1cos 1cos 1cos 0x x f x e e x x x -=-+-≤--=---≤恒成立，故函数单调递减，()2(3)f x x f x -<+，故23x x x ->+，解得3x >或1x <-.故选：D .【点睛】本题考查了根据导数确定函数单调性，根据单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 11．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（） A ．24种B ．28种C ．32种D ．36种【答案】B【解析】试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剰余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法，那共有：414⨯=种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：4312⨯=种，综上所述：总共有：1241228++=种分法，故选B.考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.12．已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2x f x =，则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．C ．2 D【答案】B【解析】【分析】由()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，可推导出周期为4，而20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)f f ⨯+=，即可计算. 【详解】因为(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，即()(4)f x f x =-，又()f x 为偶函数，所以()()(4)f x f x f x =-=+，所以函数周期4T=，所以20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)f f ⨯+== B. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =_____．【解析】【分析】求出复数2z i =-，代入模的计算公式得|z |=【详解】由()431243212i i z i z i i++=+⇒==-+，所以||z ==【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题.14．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是__________．【答案】21y x =--【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x=-'，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．15．设变量,x y 满足约束条件：3{123x y x y x y +≥-≥--≤,则目标函数1y z x+=的最小值为．【答案】1【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【详解】1 y z x+=的几何意义为区域内点到点G （0，-1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，AG 的斜率最小，由3 23x y x y ＝＝+⎧⎨-⎩ 解得2 1x y ⎧⎨⎩＝＝，即A （2，1），则AG 的斜率k=112+＝1，故答案为1【点睛】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键． 16．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表的第1行第4列数由左到右由上到下开始读取，则选出来的第5个个体的编号为____．第1行 78 16 65 71 02 30 60 14 01 02 40 60 90 28 01 98第2行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81【答案】02；【解析】【分析】第1行第4列数是6，由左到右进行读取10，06，01，09，02.【详解】第1行第4列数是6，由左到右进行读取10，06，01，09，02，所以第5个个体的编号为02.【点睛】随机数表中如果个体编号是2位数，则从规定的地方数起，是每次数两位数，如果碰到超出编号范围，则不选；如果碰到选过的，也不选.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．己知函数()|2||1|f x x x =++-.（I ）求()f x 的最小值t ；（II ）若,,a b c 均为正实数，且满足a b c t ++=，求证：3333a b b c c a abc ++≥.【答案】（I ）3t =（II ）见解析【解析】【分析】利用绝对值的性质可知当21x -≤≤函数()|2||1|f x x x =++-有最小值。

黑龙江省哈六中2020-2021学年高二数学下学期期末考试题含答案理新人教A版

哈尔滨市第六中学2020-2021学年度下学期期末考试高二理科数学试题含答案考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 在复平面内，复数ii 2)31(-对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限2．已知变量y x ,呈线性相关关系，回归方程为x y 25.0^-=，则变量y x ,是 ( ) (A)线性正相关关系 (B)由回归方程无法判断其正负相关 (C)线性负相关关系 (D)不存在线性相关关系 3.设随机变量)16,1(~N ξ，且4.0)11(=<<-ξP ，则=>)3(ξP （）（A ）1.0 （B ）2.0 （C ）3.0 （D ）4.04．从4位男数学教师和3位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班1位班主任)要求这3位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有 ( )（A ）30 （B ）180 （C ）31 （D ）34 5．若集合{}1,A x x x R =≤∈，{}2,B y y x x R ==∈，则A B =（）A ．{}11x x -≤≤B ．{}0x x ≥C ．{}01x x ≤≤D ．∅ 6．同时抛掷两个表面上标有数字的正方体，其中有两个面的数字是1，两个面的数字是2，两个面上的数字是4，则朝上的点数之积为4的概率为（）（A ）31 （B ）185 （C ）92 （D ）61 7．若401223344)1()1()1()1(x a x a x a x a x a =++++++++，则123a a a ++的值为（）（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）1 8．如果执行右面的框图，运行结果为（）（A ）22 （B ）3 （C ）10 （D ）49．新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校学习，学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高二年级，则不同的安排种数为（A ）18 （B ）15 （C ）12 （D ）910.已知数列}{n a ，,41,31,21432132121 ===a a a a a a a a a 设n n a a a a T 321=，)2,(≥*∈n N n 由此可得n T 及n a 的表达式，若n n T a ≥λ，对2,≥*∈n N n 恒成立，则λ的最小值为（）（A ）0 （B ）-3 （C ）41（D ）41-11．将四个不同的小球随机的放入标号为1，2，3，4的4个不同盒子里，在3号盒子没有球的条件下，其余三个盒子中每个盒子至少有一球的概率为（）（A ）323 （B ）169 （C ）83（D ）4912. 在△ABC中，“︒>30A”是“21sin>A”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置13．在)2()1(5xx--的展开式中，含3x项的系数为_______.14．已知复数izbiz21,321-=-=，若0)(221<zz，则实数b的值为_______15.在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为16. 甲，乙两辆车在某公路行驶方向如图，为了安全，两辆车在拐入同一公路时，需要有一车等待.已知甲车拐入需要的时间为2分钟，乙车拐入需要的时间为1分钟，倘若甲、乙两车都在某5分钟内到达转弯路口，则至少有一辆车转弯时需要等待的概率三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字17. （本小题满分12分））由下列不等式：112>，111123++>，111312372++++>，111122315++++>，，你能得到一个怎样的一般不等式？并用数学归纳法加以证明．18．（本小题满分12分）某菜园要将一批蔬菜用汽车从所在城市甲运至亚运村乙,已知从城市甲到亚运村乙只有两条公路,且运费由菜园承担．若菜园恰能在约定日期（⨯月⨯日）将蔬菜送到,则亚运村销售商一次性支付给菜园20万元; 若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给菜园1万元; 若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给菜园1万元．为保证蔬菜新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送蔬菜,已知下表内的信息：统计信息不堵车的情况下堵车的情况下到堵车的运费汽车行驶路线到达亚运村乙所需时间（天）达亚运村乙所需时间（天）概率（万元）公路1 2 3 1016.1公路2 1 4 218.0（注:毛利润=销售商支付给菜园的费用-运费）（1）记汽车走公路1时菜园获得的毛利润为ξ（单位:万元）,求ξ的分布列和数学期望ξE；（2）假设你是菜园的决策者,你选择哪条公路运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多?19．（本小题满分12分）二十世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病。

2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二下期末综合测试试题含解析

2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列不等式中正确的有( )①sin ,(,0)x x x >∈-∞；②1,xe x x R ≥+∈；③ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞ A ．①③ B ．①②③ C ．② D ．①②【答案】B 【解析】【分析】逐一对每个选项进行判断,得到答案. 【详解】①()sin ,,0x x x >∈-∞,设函数()sin f x x x =-,()f x 递减,()(0)0f x f >=,即sin x x >,正确②1,xe x x R ≥+∈,设函数()1xg x e x =--,()g x 在(0,)+∞递增,()g x 在(,0)-∞递减,()(0)0g x g ≥=,即1x e x ≥+,正确③ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞,由②知x e x >,设函数()ln m x x x =-,()m x 在(0,1)递减,()m x 在(1,)+∞递增,()(1)10m x m ≥=>,即ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞正确答案为B 【点睛】本题考查了利用导函数求函数的单调性进而求最值来判断不等式关系,意在考查学生的计算能力. 2．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 3．已知函数()2ln 134x f x x x +=--+，则函数()f x 的定义域为（）A ．()4,1-B ．()1,1-C ．()1,2-D ．()1,2【答案】B 【解析】【分析】根据对数的真数大于零，负数不能开偶次方根，分母不能为零求解. 【详解】因为函数()2ln 134x f x x x +=--+，所以210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，所以141x x >-⎧⎨-<<⎩，解得11x -<<，所以()f x 的定义域为()1,1-. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】∵a 1＋a 5＝10，a 4＝7，∴⇒d ＝25．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：甲乙丙丁 R 0.82 0.78 0.69 0.85 M106115124103则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【答案】D 【解析】试题分析：由题表格；相关系数越大，则相关性越强．而残差越大，则相关性越小．可得甲、乙、丙、丁四位同学，中丁的线性相关性最强．考点：线性相关关系的判断． 6．用数学归纳法证明：2222222(21)123213n n n ++++++++=，第二步证明由"k 到1"k +时，左边应加（） A ．2k B ．2(1)k + C ．222(1)k k k +++ D ．22(1)k k ++【答案】D 【解析】【分析】当n k =成立，当1n k =+时，写出对应的关系式，观察计算即可得答案. 【详解】在第二步证明时，假设n k =时成立，即左侧22222212321k =+++⋯++⋯++，则1n k =+成立时，左侧22222222123(1)21k k k =+++⋯+++++⋯++，∴左边增加的项数是22(1)k k ++，故选：D ．【点睛】本题考查数学归纳法，考查n k =到1n k =+成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题．7．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高二下学期期末考试理科数学试题(解析版)

黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2020-2021学年高二下学期期末考试理科数学试题(考试范围：选修2-2，2-3，4-4，4-5，考试时间：120分钟，试卷满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数2020z i i=+，则1z -等于（）AB ．1C ．0D ．22．若函数()31f x x =--，则()f x '=（）A ．0B ．3x -C ．3D ．3-3．曲线321y x x =-+在点(10)，处的切线方程为（） A ．1y x =- B ．1y x =-+ C ．22y x =- D ．22y x =-+ 4．甲､乙､丙､丁4名学生假期积极参加体育锻炼，每人在游泳､篮球､竞走这三个锻炼项目中选择一项进行锻炼，则甲不选游泳､乙不选篮球的概率为（）A ．13B ．49C ．712D ．595．六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（）A ．48B ．72C ．90D ．1206．将4个“三好学生”名额分到三个班级，每个班上至少一个名额有（）不同分分配方法.A ．18B ．4C ．3D ．127．2()x x x -展开式中的各二项式系数之和为1024，则4x 的系数是（）A ．-210B ．-960C ．960D ．2108．已知x 为正数，随机变量ξ的分布列为则x =（）A ．19B ．112 C ．16 D ．189．若随机变量()5XB p ，，()54D X =，则()E X =（）A ．15B ．14C ．1516D ．5210．已知随机变量()2~1X N σ，，若()00.6P X ≥=，则()2P X >=（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 11．在极坐标系中，圆2cosρθ=的垂直于极轴的一条切线方程为（）A ．cos 2ρθ=B ．cos 1ρθ=C ．sin 2ρθ= D ．sin 1ρθ=12．曲线x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，(θ为参数)中两焦点间的距离是（）AB C ． D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中的横线上. 13．观察以下式子：2π1cos32=-；2π4π1cos cos 552+=-；2π4π6π1cos cos cos 7772++=-；按此规律归纳猜想第5个等式为______ ____.（不需要证明）14．定积分13xdx ⎰的值为_ ___.15．某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有________种． 16．点()22-，的极坐标为________________.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值．（1）求a b ，的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[12]x ∈-，，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知11z i =-，222z i =+. （1）求12z z ⋅；（2）若12111z z z =+，求z .19.（本小题满分12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主).（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯.（2）根据以上数据完成如下22⨯列联表（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？附表：(参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为244x y=+.（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是cossinx ty tαα=⎧⎨=⎩(t为参数)，l与C交于,A B两点，8AB=，求l的斜率.22.（本小题满分12分）已知函数()|2||3|=-++f x x x.（1）求不等式()15f x≤的解集；（2）若2()x a f x-+≤对x∈R恒成立，求a的取值范围.——★ 参*考*答*案 ★——一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．B『解析』41i =，则425050201i z i i i i ⨯=+==++，则1z i -=，故11z -=. 故选：B. 2．D『解析』根据求导公式，()3f x '=-.故选：D 3．A『解析』()321f x x x =-+，()232f x x '∴=-，则()11f '=，因此，所求切线方程为1y x =-，故选：A. 4．B『解析』甲乙丙丁依次任选一项进行锻炼的不同方法种数为3×3×3×3种，其中甲不选游泳，甲有2种选法，乙不选篮球，乙有2种选法，丙丁还是各有3种选法，共有2×2×3×3种不同的选法，∴甲不选游泳､乙不选篮球的概率为2233433339⨯⨯⨯=⨯⨯⨯.故选：B. 5．A『解析』由题意得，甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，所以甲、乙只能在第二位和第五位，共有22A 种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有242448A A =种.故选：A 6．C『解析』依题意，名额分配为：1,1,2，从三个班选一个班分配2个名额有133C =种，故不同的分配方法有3种；故选：C『解析』由已知得：21024n =,∴10n =, ∴展开式的通项公式为()()10102k 10110102C C 12kkkk kk k T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令2104,7k k -==,对应系数为：()7710710C 12960--=-.故选：B. 8．C『解析』由分布列可知，321x x x ++=，得16x =．故选：C 9．D『解析』因为()5,XB p ，()54D X =，则()()5514D X p p =-=，解得12p =，所以()552E X p ==.故选：D. 10．B『解析』因为随机变量()2~1,X N σ，则()()()20100.4P X P X P X >=<=-≥=.故选：B. 11．A『解析』在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心为(1,0)，半径为1，如图所示：所以该圆的垂直于极轴的切线方程为：2πθ=，或cos 2ρθ=，故选：A『解析』曲线,xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)化为普通方程为：2211218x y+=，则曲线表示焦点在y轴的椭圆，2226c a b=-=，所以2c=即两焦点间的距离是故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．2468101 cos cos cos cos cos11111111112πππππ++++=-『解析』依题可知第5个的等式为2468101 cos cos cos cos cos11111111112πππππ++++=-.故答案为：2468101 cos cos cos cos cos11111111112πππππ++++=-14．3 2『解析』12133322xdx x==⎰.故答案为：32.15．6『解析』选出的人员中恰好有一名女生的选法有21326C C=种.故答案为：616．7) 4π『解析』设点()22-，的极坐标为(),ρα，又点()22-，在第四象限，则322παπ<<，由tanyxρα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2tan12yxρα⎧===⎪⎨-===-⎪⎩，则74πρα==，即点()22-，的极坐标为7)4π；故答案为：7)4π.三、解答题 17．解：（1）()32f x x ax bx c=+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩解得，122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩f '（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表：所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）．（2）因为()[]3212122f x x x x c x =--+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性，得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（23-，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x23=-时，f （x ）2227=+c 为极大值，而f （2）＝22227c c +>+，所以f （2）＝2+c 为最大值．要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ．解得c ＜﹣1或c ＞2．18．解：（1）()()121224z z i i ⋅=-+=.（2）由12111z z z =+，得1212z z z z z ⋅=+，()()446212235iz i i i -===-+++.19．解：（1）121443144C A C =个.（2）131211452423 (270)A A A A A A ++=个.20．解：（1）由茎叶图，知：30位亲属中50岁及以上的人饮食以蔬菜为主，50岁以下的人饮食以肉类为主. （2）22⨯列联表如下所示：（3）由题意，知随机变量2K 的观测值()2304216810 6.63512182010k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 21．解：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==可得，抛物线C 的极坐标方程22cos 4sin 40ρθρθ--=；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得22cos 4sin 40αραρ--=, ∵2cos0α≠（否则，直线l 与抛物线C 没有两个公共点）于是1212224sin 4,cos cos αρρρραα+==-，1224cos AB ρρα=-===，期末考试试卷11 由8AB =得21cos ,tan 12αα==±，所以l 的斜率为1或-1．22．解：（1）因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-；当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<；当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤. 综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-.（2）（方法一）由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+，因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号，所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞. （方法二）设()2g x x a=-+，则()()max 0g x g a ==，当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第五十七中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第五十七中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点,为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为（)（A）（B)（C）（D)参考答案：C2. 定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，若x1＜x2，则f（x2）与f（x1）的大小关系为（）A． f（x2）＞ex2f（x1）B． f（x2）＜f（x1）C． f（x2）=f（x1）D． f（x2）与f（x1）的大小关系不确定参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】构造函数g（x）=，可得g′（x）=＞0，于是函数g（x）在R上单调递增，进而得出．【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）=＞0，因此函数g（x）在R上单调递增，∵x1＜x2，∴g（x1）＜g（x2），即＜，因此： f（x2）＞f（x1）．故选：A．3. 椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点．当静止的小球从点A开始出发，沿直线运动，经椭圆壁反射后再回到点A时，此时小球经过的路程可能是（）A．32或4或16﹣4B．16+4或28或16﹣4C．28或4或16+4 D．32或28或4参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆简单几何性质可知，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，；小球从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．【解答】解：由题意可知：，可知a=8，b=2，c=6，∴当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，到达左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2×2=4；当到达右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2×（8+6）=28；小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×8=32．故答案选：D．【点评】本题主要考查了椭圆的性质的简单应用．考查椭圆的第一定义的应用，属于基础题．4. 以椭圆=1的焦点为顶点，离心率为2的双曲线方程（）A． =1B． =1C． =1或=1D．以上都不对参考答案：B【考点】双曲线的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】由题意，先根据椭圆的方程求出双曲线的实半轴长，再由其离心率为2得出半焦距，进而求出虚半轴长，写出其标准方程，即可得出正确选项．【解答】解：∵=1∴其焦点坐标为（3，0），由已知，双曲线的实半轴长为3，又双曲线的离心率为2，所以，解得c=6，故虚半轴长为=，故双曲线的方程为=1．故选B．5. 下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是（）A．已知圆的半径求圆的面积B．随意抽４张扑克牌算到二十四点的可能性C．已知坐标平面内两点求直线方程D．加减乘除法运算法则参考答案：B6. 抛物线在点处的切线的倾斜角是A.30B.45C.60D.90参考答案：B7. 下列命题中错误的是( )A．命题“，使”的否定为“，都有”B．若命题为假命题，命题为真命题，则为真命题C.命题“若均为奇数，则为奇数”及它的逆命题均为假命题D．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”参考答案：D8. 已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1参考答案：C【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；作图题；转化思想．【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=，BC=由V B﹣ACD=V D﹣ABC可知所以，h=故选C．【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．9. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l参考答案：D【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l?α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．10. 设实数x，y满足约束条件，若的目标函数的最大值为5，则的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. y=的定义域为。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a+1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．[﹣2，1]D．[2，+∞）2．（5分）若复数z满足（1﹣2i）•z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣B．﹣2C．D．23．（5分）已知x，y∈R，那么“x＞y”的充分必要条件是（）A．2x＞2y B．lgx＞lgy C．D．x2＞y24．（5分）我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为（）A．30B．60C．90D．1205．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且在[0，1]上有f（x）＝x2，则f（2021）＝（）A．B．C．D．6．（5分）函数y＝x3+ln（﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827）A．7539B．6038C．7028D．65878．（5分）已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（4，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，4）9．（5分）某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A．得分在[40，60）之间的共有40人B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80）的概率为0.5C．这100名参赛者得分的中位数为65D．估计得分的众数为5510．（5分）为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这4个节目，每个同学限报1个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）设正实数a，b满足3a＝7b＝10，则下面成立的是（）A．B．C．D．12．（5分）已知关于x的不等式e x﹣mx﹣lnx﹣ln（m+1）≥0在（0，+∞）恒成立，则m 的取值范围是（）A．（﹣1，e﹣1]B．（﹣1，1]C．（e﹣1，1]D．（1，e]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．（5分）已知a＝dx，则（x+）6展开式中的常数项为．14．（5分）有下列四个命题：①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；③若数据x1，x2，…，x n的平均数为1，则2x1，2x2，…，2x n的平均数为2；④对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握越大其中真命题的个数为．15．（5分）若函数f（x）＝（﹣x2+ax）e x在区间（﹣1，1）上存在减区间，则实数a的取值范围是．16．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣（a﹣2）x，若不等式f（x）＞0，恰有两个整数解，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2aρsinθ+a2﹣3＝0，直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C的参数方程，若曲线C过原点O，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝1时，直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．18．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，x＞0时，f（x）＝x2+sin x，g（x）是定义在（0，+∞）的函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．19．（12分）垃圾分类指的是按照一定规定或者标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称我国的垃圾分类大致分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，而正确的掌握垃圾分类也是中学生的必修课之一．某学校从甲、乙两个班级中各随机抽取了8名学生参加垃圾分类知识的检测，并将检测后的成绩统计如表所示：甲7364747865728785乙74857674a b7786其中a∈（70，80），b∈（80，90），＝79，．（1）求a，b的值；（2）现从乙班同学中随机抽取4人，记80分以上的人数为X，求X的分布列以及数学期望．20．（12分）如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°．（1）求证：平面BDG⊥平面ADG；（2）求直线GB与平面AEFG所成角的正弦值．21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点A在抛物线C上，点B在x轴的正半轴上，等边△OAB的边长为．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝ty+2（t∈[1，3]）与抛物线C相交于D，E两点，直线DE不经过点M（0，1），△DEM的面积为S，求的取值范围．22．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，+∞）上存在极大值M，证明：M＜．2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a+1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．[﹣2，1]D．[2，+∞）【解答】解：由4﹣x2≥0，解得﹣2≤x≤2，∴A＝[﹣2，2]．∵A∪B＝A，∴，解得﹣2≤a≤1．故选：C．2．（5分）若复数z满足（1﹣2i）•z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣B．﹣2C．D．2【解答】解：由（1﹣2i）•z＝|4+3i|＝，得z＝＝，∴z的虚部为2．故选：D．3．（5分）已知x，y∈R，那么“x＞y”的充分必要条件是（）A．2x＞2y B．lgx＞lgy C．D．x2＞y2【解答】解：由2x＞2y⇔x＞y，故“x＞y”的充分必要条件是：2x＞2y，故选：A．4．（5分）我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为（）A．30B．60C．90D．120【解答】解：根据题意，分3步进行分析：先将5艘驱逐舰分成2组，需要分成2、3的两组，有C53＝10种分组方法，再将3艘核潜艇分成2组，需要分成1、2的两组，有C31＝3种分组方法，最后将分好的2组分派给两艘航母，有4种分配方法，则有10×3×4＝120种组建方法；即答案为：120．故选：D．5．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且在[0，1]上有f（x）＝x2，则f（2021）＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），则有f（2﹣x）＝f（﹣x），变形可得f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，故f（2021）＝f（﹣+2022）＝f（﹣）＝f（）＝；故选：C．6．（5分）函数y＝x3+ln（﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，f（﹣x）＝（﹣x）3+ln（+x）＝﹣f（x），函数是奇函数，排除选项B，D；f（2）＝8+ln（﹣2）＞0，排除选项A．故选：C．7．（5分）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827）A．7539B．6038C．7028D．6587【解答】解：因为X～N（1，1），则μ＝1，σ＝1，所以μ+σ＝2，μ﹣σ＝0，又P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827）≈0.6827，所以P（0＜X≤2）≈0.6827，故P（1＜X≤2）≈0.34135，则阴影部分的面积为1﹣0.34135＝0.65865，所以从正方形ABCD中随机取10000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是6587．故选：D．8．（5分）已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（4，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，4）【解答】解：当x≥0时，f（x）＝＝﹣1+，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，画出f（x）的图象，如下：由不等式f（x2﹣2x）＜f（2x），所以或，解得x＞4或x＜0，所以原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（4，+∞）．故选：A．9．（5分）某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A．得分在[40，60）之间的共有40人B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80）的概率为0.5C．这100名参赛者得分的中位数为65D．估计得分的众数为55【解答】解：由频率分布直方图得：在A中，得分在[40，60）之间的共有：[1﹣（0.03+0.02+0.01）×10]×100＝40人故A 正确；在B中，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80）的概率为：（0.03+0.02）×10＝0.5，故B正确；在C中，a＝0.04﹣0.035＝0.05，这100名参赛者得分的中位数为：≈63.3，故C错误；在D中，估计得分的众数为＝55，故D正确．故选：C．10．（5分）为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这4个节目，每个同学限报1个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这4个节目，若乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同，有C41×3×3×3种情况，其中每个同学报的节目都不相同的情况有A44种，则在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率P＝＝；故选：D．11．（5分）设正实数a，b满足3a＝7b＝10，则下面成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：a＝log310，b＝log710，所以因为，所以．故选：C．12．（5分）已知关于x的不等式e x﹣mx﹣lnx﹣ln（m+1）≥0在（0，+∞）恒成立，则m 的取值范围是（）A．（﹣1，e﹣1]B．（﹣1，1]C．（e﹣1，1]D．（1，e]【解答】解：由e x﹣mx﹣lnx﹣ln（m+1）≥0得e x﹣mx≥ln[（m+1）x]，即e x+x≥ln[（m+1）x]+（m+1）x＝e ln[（m+1）x]+ln[（m+1）x]，构造函数f（x）＝e x+x，则f（x）≥f（ln[（m+1）x]），又函数f（x）为增函数，∴x≥ln[（m+1）x]，即e x≥（m+1）x，∴对任意x∈（0，+∞）都成立，令，则，∴当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g （x）单增，∴g（x）≥g（1）＝e﹣1，∴m≤e﹣1，又m+1＞0，∴﹣1＜m≤e﹣1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．（5分）已知a＝dx，则（x+）6展开式中的常数项为20．【解答】解：∵a＝dx＝lnx＝1﹣0＝1，则（x+）6＝的展开式的通项公式为T r+1＝•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项为＝20，故答案为：20．14．（5分）有下列四个命题：①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；③若数据x1，x2，…，x n的平均数为1，则2x1，2x2，…，2x n的平均数为2；④对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握越大其中真命题的个数为3．【解答】解：对于①，在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，故①正确；对于②，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，故②正确；对于③，若数据x1，x2，…，x n的平均数为1，则2x1，2x2，…，2x n的平均数扩大为原来的2倍，故平均值为2，故③正确；对于④，对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握越小，故④错误．故答案为：3．15．（5分）若函数f（x）＝（﹣x2+ax）e x在区间（﹣1，1）上存在减区间，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：f（x）＝（﹣x2+ax）e x，则f′（x）＝[﹣x2+ax﹣2x+a]e x，函数f（x）＝（﹣x2+ax）e x在区间（﹣1，1）上存在减区间，只需﹣x2+ax+a﹣2x≤0在区间（﹣1，1）上有解，记g（x）＝﹣x2+（a﹣2）x+a，对称轴x＝，开口向下，g（﹣1）＝﹣1﹣（a﹣2）+a＝1＞0，只需g（1）＜0，所以﹣1+a﹣2+a＜0，解得a＜，故答案为：（﹣∞，）．16．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣（a﹣2）x，若不等式f（x）＞0，恰有两个整数解，则实数a的取值范围是[，）．【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，不等式f（x）＞0，即lnx＞ax2+（a﹣2）x，所以＞a（x+1）﹣2，直线y＝a（x+1）﹣2恒过定点（﹣1，﹣2），不等式f（x）＞0恰有两个整数解，所以函数y＝图象上恰有2个横坐标的整数的点落在直线y＝a（x+1）﹣2的上方，由图象可知，这个点为（1，0），（2，0），可得f（2）＞0，f（3）≤0，所以，解得≤a＜，故答案为：[，]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2aρsinθ+a2﹣3＝0，直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C的参数方程，若曲线C过原点O，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝1时，直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入ρ2﹣2aρsinθ+a2﹣3＝0，得曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣a）2＝3，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．∵曲线C过原点O，∴a2＝3，得a＝；（Ⅱ）当a＝1时，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣2＝0，将θ＝代入ρ2﹣2ρsinθ﹣2＝0，得ρ2﹣ρ﹣2＝0．设A、B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，∴ρ1+ρ2＝1，ρ1ρ2＝﹣2，∴|AB|＝＝．18．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，x＞0时，f（x）＝x2+sin x，g（x）是定义在（0，+∞）的函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝x2﹣sin x，又f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+sin x，又f（0）＝0，所以；（2）因为对于∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，所以f（x）min＞g（x）min，当x∈[0，1]时，f'（x）＝2x+cos x＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，故f（x）min＝f（0）＝0；当x∈[﹣1，0）时，f'（x）＝﹣2x+cos x＞0，所以f（x）在[﹣1，0）上单调递增，故f（x）min＝f（﹣1）＝﹣1﹣sin1＜0，综上所述，f（x）min＝﹣1﹣sin1．对于g（x），因为a＞0，x＞0，所以，当且仅当即时等式成立，所以，故，整理得，所以实数a的取值范围是．19．（12分）垃圾分类指的是按照一定规定或者标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称我国的垃圾分类大致分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，而正确的掌握垃圾分类也是中学生的必修课之一．某学校从甲、乙两个班级中各随机抽取了8名学生参加垃圾分类知识的检测，并将检测后的成绩统计如表所示：甲7364747865728785乙74857674a b7786其中a∈（70，80），b∈（80，90），＝79，．（1）求a，b的值；（2）现从乙班同学中随机抽取4人，记80分以上的人数为X，求X的分布列以及数学期望．【解答】（1）记a，b的个位数分别为m，n，，故m+n＝10，①而，故（m﹣9）2+（n+1）2＝4，②联立①②解得，m＝9，n＝1，则a＝79，b＝81．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，则，，，，故X的分布列为X0123P故．20．（12分）如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°．（1）求证：平面BDG⊥平面ADG；（2）求直线GB与平面AEFG所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在△BAD中，因为AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°．由余弦定理得，BD2＝AD2+AB2﹣2AB•AD cos60°，解得，∴AB2＝AD2+DB2，∴AD⊥DB，在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，DB⊂平面ABCD，∴GD⊥DB又AD∩GD＝D，∴BD⊥平面ADG，∴平面BDG⊥平面ADG．（2）解：如图以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，因为∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，所以A（1，0，0），，，G（0，0，1），，，．设平面AEFG的法向量．＝（x，y，z），，令x＝1，得，z＝1，∴，设直线GB和平面AEFG的夹角为θ，所以，所以直线GB与平面AEFG所成角的正弦值为．21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点A在抛物线C上，点B在x轴的正半轴上，等边△OAB的边长为．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝ty+2（t∈[1，3]）与抛物线C相交于D，E两点，直线DE不经过点M （0，1），△DEM的面积为S，求的取值范围．【解答】解：（1）因为△OAB是边长为的等边三角形，点A在抛物线C上，点B在x 轴的正半轴上，所以，所以，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）由题意，联立直线x＝ty+2与抛物线y2＝4x的方程，消去x可得，y2﹣4ty﹣8＝0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣8，所以|DE|＝，因为点M（0，1），所以点M到直线l：x﹣ty﹣2＝0的距离为，所以△DEM的面积S＝＝，所以＝4（t2+2）（t+2）＝4（t3+2t2+2t+4），令f（t）＝t3+2t2+2t+4，因为t∈[1，3]，则f'（t）＝3t2+4t+2＞0，所以f（t）在[1，3]上单调递增，所以f（t）∈[9，55]，故∈[36，220]，所以的取值范围为[36，220]．22．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，+∞）上存在极大值M，证明：M＜．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝e x﹣ax…………………………………………（1分）由题意得：f′（x）＝e x﹣ax≥0⇒a≤………………………………（1分）设，求导得：g′（x）＝………………………………（1分）g（x）在区间（0，1）上减，在区间（1，+∞）上增，g（x）的最小值为g（1）＝e……（1分）所以，a≤e………………………………………………………………（1分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当a≤e时，函数f（x）在（0，+∞）上递增，无极大值……1 分所以，a＞e………………………………………………………………………（1分）设h（x）＝f′（x）＝e x﹣ax，则h′（x）＝e x﹣a＝0⇒x＝lna…………………………（1分）f′（x）在（0，lna）上减，在（lna，+∞）上增，f′（x）的最小值f′（lna）＝a（1﹣lna）＜0…（1分）而f′（0）＝1＞0，f′（1）＝e﹣a＜0，f′（lna2）＝a（a﹣2lna），设t（x）＝x﹣2lnx（x＞e），求导得：t′（x）＝＞0，t（x）＞t（e）＝e﹣2＞0，所以，f′（lna2）＝a（a﹣2lna）＞0…（2分）由零点存在定理得：f′（x）在（0，lna），（lna，+∞）上分别有一个零点x1，x2，即f′（x1）＝0⇒＝ax1，f′（x2）＝0⇒＝ax2，且0＜x1＜1……（1分）f（x）在（0，x1）上增，在（x1，x2）减，在（x2，+∞）上增，f（x）极大值为f（x1）＝M…（1分），由均值不等式得，…（2分）。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高二(下)期末数学试卷(理科)(附答案详解)

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=2+i1−i，其中i为虚数单位，则z的虚部是()A. 12B. 32C. 32i D. −32i2.命题“若ab>0，则ba +ab≥2”的逆命题、否命题、逆否命题的真假分别为()A. 假，假，假B. 假，假，真C. 真，真，真D. 真，假，真3.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在√2+√2+√2+⋅⋅⋅中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程√2+x=x确定出来x=2，类似的不难得到1+11+11+1⋅⋅⋅=()A. −√5−12B. √5−12C. √5+12D. −√5+124.曲线f(x)=ax−xlnx在点(1,f(1))处的切线与直线x+y=0垂直，则a=()A. −1B. 0C. 1D. 25.执行如图所示的程序框图，若输出y=4，则输入的x为()A. −√6B. 4C. 2−√2D. 2+√26.设x∈R，则1+x3−x≥0是|x−1|≤2的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.命题“∀n≥3，n∈N∗，x n+y n=z n无正整数解．”的否定是()A. ∀n≥3，n∈N∗，x n+y n=z n有正救数解B. ∀n≥3，n∉N∗，x n+y n=z n有正整数解C. ∃n0≥3，n0∉N∗，x n0+y n0=z n0有正整数解D. ∃n0≥3，n0∈N∗，x n0+y n0=z n0有正整数解8.“更相减损术”是一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，将该方法用算法流程图表示如图，若输入a=63，b=35，i=0，则输出的结果为()A. a=7，i−4B. a=7，i=6C. a=7，i=5D. a=7，i=79.已知命题p：∀x>0，lnx≤x−1；命题q：若x>y，则|x+1|>y.下列命题为真命题的是()A. p∧qB. ￢p∧qC. p∧￢qD. ￢p∧￢q10.已知函数y=f(x)是R上的可导函数，f′(x)+f(x)>1且f(100)=2021，则不等式f(x)−1>2020e100−x的解集为()A. (−∞,100)B. (100,+∞)C. (−∞,2020)D. (2020,+∞)11.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρ=4cosθ，过极点的直线与曲线C1，C2分别交于异于极点的A，B两点，则|AB|的最大值为()A. √5B. 4C. 2√5D. 512.已知函数f(x)=x+1+lnx，g(x)=x(e2x+a)，若存在x>0，使f(x)>g(x)成立，则实数a的取值范围为()A. (−∞,−1)B. (−∞,1)C. (−∞,−e)D. (−∞,e)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）x+sinx)dx的值等于______．13.∫(π14.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)=______．15. 设a ，b ，c ∈R ，若a +2b +c =3，则(a +1)2+(2b +3)2+(c −1)2的最小值为______．16. 四面体ABCD 中，AB =CD =√5，AD =BC =√13，AC =BD =√10，则直线AB和平面BCD 所成角的正弦值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 哈三中高二数学备课组对学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如表所示：(Ⅰ)请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(Ⅱ)根据(Ⅰ)中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力． (参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2−∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．18. 已知函数f(x)=|x +m|+|x −5|．(Ⅰ)当m =1时，求不等式f(x)≤8的解集； (Ⅱ)若f(x)>2m +3恒成立，求实数m 的取值范围．19.已知函数f(x)=xlnx−a(x−1)．(Ⅰ)当a=2时，求函数y=f(x)的极值；(Ⅱ)若x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．20.在直角坐标系中，曲线C方程为x29+y24=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+a=0．(Ⅰ)当a=10时，在曲线C上求一点M，使点M到直线l的距离最大，并求出最大距离；(Ⅱ)当a=1时，直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为Q，定点P(3,−2)，求|PQ||PA|⋅|PB|的值．21.如图，四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=√5，侧面PAD⊥平面ABCD，且三角形PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°．(Ⅰ)求证：PD⊥平面PAB；(Ⅱ)设Q为线段PA上一点，若BQ//平面PCD，求二面角P−CD−Q的余弦值．22.已知函数f(x)=e x+ln(x+1)−asinx，其中a>0．(Ⅰ)求证：e x≥x+1；(Ⅱ)若函数y=f(x)为定义域上的增函数，求a的取值范围；(Ⅲ)若函数g(x)=f(x)−ln(x+1)在(0,π)上有两个零点x1，x2，求参数a的取值范围，并证明：x1+x2<π．答案和解析1.【答案】B【解析】解：复数z=2+i1−i =(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+32i，则z的虚部是32．故选：B．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由基本不等式可知，命题“若ab>0，则ba +ab≥2”为真命题，则逆否命题为真命题，逆命题为“若ba +ab≥2，则ab>0”，因为ba +ab=b2+a2ab≥2，则ab>0，故逆命题为真命题，所以否命题为真命题，则命题“若ab>0，则ba +ab≥2”的逆命题、否命题、逆否命题的真假分别为真、真、真．故选：C．利用基本不等式判断原命题的为真，再判断逆命题的真假，然后由互为逆否命题同真假的结论，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，四种命题的关系，基本不等式的应用，解题的关键是掌握互为逆否命题同真假的结论，考查了逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：可以令1+11+11+⋯=t(t>0)，由1+1t=t解的其值为√5+12，故选：C．由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，可得要求的式子本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题4.【答案】D【解析】解：f(x)=ax −xlnx 的导数为f′(x)=a −1−lnx ，可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为a −1，由切线与直线x +y =0垂直，可得a −1=1，解得a =2，故选：D ．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a 的方程，解方程可得所求值．本题考查导数的几何意义，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：框图显示的算法函数为y ={−(x +2)2−2,x <−2,x,−2≤x ≤2,(x −2)2+2,x ≥2,，∵y =4，又∵当x ≥2时，f(x)=(x −2)2+2，∴(x −2)2+2=4，解得x =2+√2 或x =2−√2(舍去)，故x =2+√2．故选：D ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵1+x 3−x ≥0，∴{(x +1)(x −3)≤0x −3≠0，∴−1≤x <3，∵|x −1|≤2，∴−2≤x −1≤2，∴−1≤x ≤3，∵{x|−1≤x<3}⊊{x|−1≤x≤3}，≥0是|x−1|≤2的充分不必要条件，∴则1+x3−x故选：A．先解出分式不等式和绝对值不等式的解集，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题考查了分式不等式和绝对值不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃n0≥3，n0∈N∗，x n0+y n0=z n0有正整数解，故选：D．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．8.【答案】B【解析】解：由程序框图可得，输入a=63，b=35，i=0，第1次循环，i=1，a=28，b=35，第2次循环，i=2，a=28，b=7，第3次循环，i=3，a=21，b=7，第4次循环，i=4，a=14，b=7，第5次循环，i=5，a=7，b=7，第6次循环，i=6，a=1，b=7，循环结束，输出a=7，i=6．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a，i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】A【解析】解：令f(x)=lnx−x+1(x>0)，则f′(x)=1x −1=1−xx，令f′(x)=0，则x=1，当0<x<1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x>1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=0，则f(x)≤0，故lnx≤x−1恒成立，所以命题p为真命题，命题q：若x>y，则|x+1|>y，当y≤0时，若x>y，则|x+1|>y成立，当y>0时，因为x>y>0，则x+1>y>0，故|x+1|>y成立，所以命题q为真命题，则p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢p∧￢q为假命题．故选：A．构造函数f(x)=lnx−x+1(x>0)，利用导数证明f(x)≤0，则lnx≤x−1恒成立，从而判断命题p为真命题，再利用不等式的基本性质判断命题q为真命题，然后由复合命题真假的判定法则进行分析，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，不等式恒成立问题的证明，利用导数研究函数的性质的应用，复合命题真假判定法则的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：令g(x)=f(x)e x−e x=[f(x)−1]e x，∵f′(x)+f(x)>1∴g′(x)=[f′(x)+f(x)−1]e x>0，∴g(x)为增函数，又f(100)=2021，∴f(x)−1>2020e100−x⇔[f(x)−1]e x>[f(100)−1]e100，即g(x)>g(100)∴x>100，故选：B．可构造函数g(x)=[f(x)−1]e x，依题意知g(x)为增函数，又f(100)=2021，故f(x)−1>2020e100−x⇔[f(x)−1]e x>[f(100)−1]e100，即g(x)>g(100)，从而可得答案．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力运算求解能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：利用|AB|=ρ1−ρ2|=2sinθ−4cosθ|=2√5|sin(θ−α)|，当θ−α=π2时，|AB|的最大值为2√5．故选：C．直接利用极径的关系式和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点极径的应用和三角函数的关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：存在x>0，使f(x)>g(x)成立，即x+1+lnx>x(e2x+a)，由于x>0，所以可得1+1 x +lnxx>e2x+a当x>0时，设m(x)=1+1x +lnxx，n(x)=e2x+a，由m′(x)=−lnxx2，可知m(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，由n′(x)=2e2x，可知n(x)在(0,+∞)上递增，若存在x>0时，m(x)>n(x)，则临界状态是m(x)图象与n(x)相切，且m(x)图象位于n(x)上方，如图设此时函数m(x)与n(x)的切点横坐标为t，则有1+1t +lntt=e2t+a，①−lnt t2=2e2t，②由②可得，e2t=1t，即lnt=−2t由①得，a=1+1 t +lntt−e2t=1+1t+−2tt−1t=−1所以要满足x>0时，m(x)>n(x)，只需a<−1即可．故选：A．由于f(x)>g(x)成立，即x+1+lnx>x(e2x+a)，变形得1+1 x +lnxx>e2x+a，然后利用不等号两侧函数的图象求得a的范围．本题考查导数与函数最值，解题时先进行一定的化简，然后利用函数图象解题，属于难题．13.【答案】π22+2【解析】解：∫(20x+sinx)dx=(12x2−cosx)|0π=(π22+1)−(−1)=π22+2．故答案为：π22+2．找出被积函数的原函数，利用牛顿莱布尼兹公式可得出答案．本题考查定积分的计算，解决这类问题的关键在于找出被积函数的原函数，属于基础题．14.【答案】0.3【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，μ=2，得对称轴是x=2．P(ξ<4)=0.8∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2，∴P(0<ξ<4)=0.6∴P(0<ξ<2)=0.3．故答案为：0.3．根据随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，P(0<ξ<4)，得到结果．根据正态曲线的特点，得到P(0<ξ<2)=12本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．15.【答案】12【解析】解：根据题意，若a+2b+c=3，则(a+1)+(2b+3)+(c−1)=6，则有[(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2](1+1+1)≥[1×(a+1)+1×(2b+3)+1×(c−1)]2，变形可得(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2≥12，即(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2的最小值为12；故答案为：12．根据题意，将a+2b+c=3变形可得(a+1)+(2b+3)+(c−1)=6，由柯西不等式可得[(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2](1+1+1)≥[1×(a+1)+1×(2b+3)+1×(c−1)]2，据此变形可得答案．本题考查柯西不等式的性质以及应用，注意柯西不等式的形式，属于基础题．16.【答案】12√535【解析】解：设四面体ABCD 所在的长方体如图所示，设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，因为AB =CD =√5，AD =BC =√13，AC =BD =√10，所以{a 2+b 2=10b 2+c 2=13a 2+c 2=5，解得{a =1b =3c =2，建立空间直角坐标系如图所示，则C(0,0，2)，B(3,0，0)，D(0,1，0)，A(3,1，2)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,0)，设平面BCD 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3x +2z =0−3x +y =0，令x =2，则y =6，z =3，故n⃗ =(2,6,3)，又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−2)，所以|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12√4+36+9×√1+4=12√535，则直线AB 和平面BCD 所成角的正弦值为12√535．故答案为：12√535．将四面体ABCD 放入长方体中，求出长方体的棱长，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCD 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得，x −=4+6+8+104=7，y −=2+3+5+64=4，∑x i 4i=1y i =8+18+40+60=126，∑x i 24i=1=16+36+64+100=216，故b ̂=126−4×7×4216−4×72=1420=0.7，则a ̂=y −−b ̂x −=4−0.7×7=−0.9，所以线性回归方程为y ̂=0.7x −0.9； (Ⅱ)当x =9时，y ̂=0.7×9−0.9=5.4，故预测记忆力为9的学生的判断力为5.4．【解析】(Ⅰ)先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程； (Ⅱ)将x =9代入回归方程求解即可．本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)当m =1时，不等式f(x)≤8即为|x +1|+|x −5|≤8，等价为{x ≤−1−x −1+5−x ≤8或{−1<x <5x +1+5−x ≤8或{x ≥5x +1+x −5≤8，解得−2≤x ≤−1或−1<x <5或5≤x ≤6，所以原不等式的解集为[−2,6]；(Ⅱ)f(x)>2m +3恒成立，即为2m +3<f(x)min ，由f(x)=|x +m|+|x −5|≥|−x −m +x −5|=|m +5|，当(x +m)(x −5)≤0时取得等号．所以2m +3<|m +5|，可得m +5>2m +3或m +5<−2m −3，即为m <2或m <−83，所以m 的取值范围是(−∞,2)．【解析】(Ⅰ)由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)f(x)>2m +3恒成立，即为2m +3<f(x)min ，由绝对值不等式的性质可得最小值，结合绝对值不等式的解法，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值的性质，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=xlnx −2(x −1)，f′(x)=lnx +x ⋅1x −2=lnx −1，当x>e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当0<x<e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)极小值=f(e)=elne−2(e−1)=2−e，无极大值；(Ⅱ)若x≥1时，f(x)≥0恒成立，xlnx−a(x−1)≥0恒成立，令g(x)=xlnx−a(x−1)，x≥1g′(x)=lnx+x⋅1x−a=lnx+1−a，所以g′(x)在(1,+∞)上单调递增，①当1−a≥0，即a≤1时，g′(x)≥0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)=1×ln1−a(1−1)≥0，符合题意，②当1−a<0，即a>1时，令g′(x)=lnx+1−a=0，得x=e a−1，此时a>1，则e a−1>e0=1，所以在(1,e a−1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，在(e a−1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，由于g(1)=1×ln1−a(1−1)=0，所以在(1,e a−1)上，g(x)<g(1)=0，所以不符合x≥1时，f(x)≥0恒成立，所以a≤1，综上所述，a的取值范围为(−∞,1]．【解析】(Ⅰ)当a=2时，f(x)=xlnx−2(x−1)，求导分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，即可得出答案．(Ⅱ)根据题意问题可转化为若x≥1时，xlnx−a(x−1)≥0恒成立，令g(x)=xlnx−a(x−1)，x≥1，分两种情况：①当1−a≥0，②当1−a<0，讨论g(x)min≥0时，a的取值范围．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)曲线C方程为x29+y24=1，转换为参数方程为{x=3cosθy=2sinθ(θ为参数)，当a=10时，直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+a=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为x +2y +10=0．设M(3cosθ,2sinθ)，利用点到直线的距离公式d =|3cosθ+4sinθ+10|√12+22=|5cos(θ−α)+10|√5(cosα=35,sinα=45)，当θ=α时，d max =15√5=3√5，即点M(95,85).(Ⅱ)当a =1时，直线的直角坐标方程为x +2y +1=0．转换为参数方程为{x =3−2√55ty =−2+√55t(t 为参数)，代入x 29+y 24=1，得到25t 2−84√5t +180=0，所以t 1+t 2=84√525，t 1t 2=365，所以|PA||PB|=|t 1t 2|=365，|PQ|=|t 1+t 2|2=42√525，所以|PQ||PA|⋅|PB|=42√525365=7√530．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出最大值；(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)证明：取AD 的中点O ，连接PO ，因为三角形PAD 为等腰直角三角形，所以PD ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，则AB ⊥PO ，又AB ⊥AD ，且PO ∩AD =O ，PO ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD ，又∠APD =90°，即PD ⊥PA ，因为AB ∩PA =A ，AB ，PA ⊂平面PAB ，所以PD ⊥平面PAB ；(Ⅱ)因为AC =CD ，点O 为AD 的中点，所以OC ⊥AD ，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0,0，1)，D(0,−1,0)，C(2,0，0)，B(1,1，0)，设Q(0,m ，1−m)，则BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m −1,1−m)， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−1)，设平面PCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x −z =0−y −z =0，令x =1，则y =−2，z =2，故m⃗⃗⃗ =(1,−2,2)，因为BQ//平面PCD ，所以BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−1−2(m −1)+2(1−m)=0，解得m =34，所以Q(0,34,14)，则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0),DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,74,14)，设平面CDQ 的法向量为n⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2a +b =074b +14c =0，令a =1，则b =−2，c =14，故n ⃗ =(1,−2,14)，所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+4+4×√1+4+196=11√201201，故二面角P −CD −Q 的余弦值为11√201201．【解析】(Ⅰ)利用面面垂直的性质定理证明PO ⊥平面ABCD ，再利用线面垂直的判定定理证明AB ⊥平面PAD ，可得PD ⊥AB ，结合PD ⊥PA ，由线面垂直的判定定理即可证明PD ⊥平面PAB ；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，设点Q(0,m ，1−m)，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的PCD 法向量，由BQ//平面PCD 结合向量垂直的坐标表示，求出点Q 的坐标，再利用待定系数法求出平面CDQ 的法向量，再由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)证明：设ℎ(x)=e x−x−1，则ℎ′(x)=e x−1，所以当x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，当x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=e0−0−1=0，即e x−x−1≥0恒成立，所以e x≥x+1得证．(Ⅱ)f(x)=e x+ln(x+1)−asinx，(x>−1)，f′(x)=e x+1x+1−acosx，若函数y=f(x)为定义域上的增函数，所以f′(x)≥0对于x∈(−1,+∞)恒成立，则f′(0)=1+1−a⩾0⇒a⩽2，所以0<a⩽2．当0<a⩽2时，由(1)的结论可知f′(x)=e x+1x+1−acosx⩾x+1+1x+1−acosx⩾2−acosx⩾0，所以a的取值范围为(0,2]．(III)g(x)=e x−asinx，令g(x)=0，得e x−asinx=0在(0,π)上有两个解，所以a=e xsinx在(0,π)上有两个解，令F(x)=e xsinx，F′(x)=e x(sinx−cosx)sin2x =√2ex sin(x−π4)sin2x，当x∈(0,π4)时，F′(x)<0，F(x)单调递减，当x∈(π4,π)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，所以F(x)≥F(π4)=√2eπ4，x→0时，sinx→0，e x→1，故F(x)→+∞，x→π时，sinx→0，e x→eπ，故F(x)→+∞，则a>√2eπ4时，满足条件，所以a的取值范围为(√2eπ4,+∞)．设y=a与y=F(x)图象的交点分别为x1，x2，且x1∈(0,π4)，x2∈(π4,π)，要证x1+x2<π，只需证π4<x2<π−x1，只需证F(x2)<F(π−x1)，又F(x1)=F(x2)=a，所以只需证F(x1)<F(π−x1)，即证F(x1)−F(π−x1)<0，F(x1)−F(π−x1)=e x1sinx1−eπ−x1sin(π−x1)=e x1−eπ−x1sinx1<0．故x1+x2<π．【解析】(I)构造函数ℎ(x)=e x−x−1，求出函数ℎ(x)的最小值为0，即可证明e x≥x+ 1；(II)题意转化为f′(x)≥0对于x∈(−1,+∞)恒成立，由f′(0)≥0得a⩽2，所以0<a⩽2.再证明当0<a⩽2时，f′(x)≥0成立，进而得到答案；(III)①题意转化为a=e xsinx 在(0,π)上有两个解，令F(x)=exsinx，利用导数求出函数的单调性和极值，数形结合可得a的取值范围；②要证x1+x2<π，只需证π4<x2<π−x1，只需证F(x2)<F(π−x1)，即证F(x1)−F(π−x1)<0，进而证明x1+x2<π．本题考查导数的应用，利用导数证明不等式，考查已知函数单调性求参数，利用导数研究函数的零点，考查数学抽象和逻辑推理的核心素养，属于难题．。

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哈尔滨市最新度下学期期末考试高二下理科数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设集合{}2430A x x x =-+< ,=B {}230x x ->,则A B =I （）A ．33,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫⎪⎝⎭2．已知i 是虚数单位，则ii+--124=（） A ．i +3 B ．i --3 C ．i +-3 D ．i -33．已知2(1)f x x -=，则()f x 的解析式为（）A ．2()21f x x x =+-B ．2()21f x x x =-+C ．2()21f x x x =++ D ．2()21f x x x =--4．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()f -1=（）A ．3-B ．-1C ．1D ．3 5．已知“k x >”是“113<+x ”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[)∞+，2 B ．[)∞+，1 C ．()+∞,2 D ．(]1,-∞-6．设6.05.16.05.1,6.0,6.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b << 7．2321(2)x x+-展开式中的常数项为（） A ．8- B ．12- C ．20- D ．20 8．下列四个结论中正确的个数是( ) ①若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；②命题：“1sin ,≤∈∀x R x ”的否定是 “1sin ,00>∈∃x R x ”；③“若,4π=x 则1tan =x ”的逆命题为真命题；④若)(x f 是R 上的奇函数，则0)3(log )2(log 23=+f fA ．1B ．2C ．3D ．4 9．函数xx xy -+=222sin 的图象大致为( )10.如图，ABC ∆中的阴影部分是由曲线2y x =与直线20x y -+=所围成，向ABC ∆内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（） A ．732 B ．932C ．716D ．91611.函数)(x f 的图象与()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称，则()22f x x -的单调减区间为（） A ．(),1-∞B ．[)1,+∞C ．()0,1D ．[]1,212.已知函数x x x f πsin )(+=，则=++++)20174033()20173()20172()20171(f f f f Λ（） A ．4033 B ．4033- C ．4034 D ．4034-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数21)(--=x x x f 的定义域为_______________ 14.设X 为随机变量，若~X 1(6,)2N ，当(2)(5)P X a P X <-=>时，a 的值为______ 15.若不等式012≥++tx x 对于一切1(0,)2x ∈成立，则t 的取值范围是16.函数⎩⎨⎧>≤+=)0(,log )0(,1)(2x x x x x f ，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤．17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为)(sin cos 5为参数ααα⎩⎨⎧==y x ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2)4cos(=+πθρ．l 与C 交于B A ,两点．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点)2,0(-P ，求|PB ||PA |+的值．18.（本小题满分12分）已知函数)21)(4()(2--=x x x f ．（1）求函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值．19.（本小题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求分数在[)60,50的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[)90,80之间的频数，并计算频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高；（Ⅲ）若规定：75（包含75分）分以上为良好，90分（包含90分）以上为优秀，要从分数在良好以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，设在抽取的试卷中，分数为优秀的试卷份数为X ，求X 的概率分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）如图，底面为正方形的直四棱柱1111D C B A ABCD -中，421==AB AA ，点E 在1CC 上，且EC E C 31=. (1)证明：⊥C A 1平面BED ； (2)求二面角B DE A --1的余弦值．21.（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln f x a x x =--．（1）若()y f x =在2x =处的切线与y 垂直，求a 的值；（2）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；22.（本小题满分12分）如图，过顶点在原点O ，对称轴为y 轴的抛物线E 上的定点(2,1)A 作斜率分别为12,k k 的直线，分别交抛物线E 于,B C 两点．（1）求抛物线E 的标准方程和准线方程；（2）若1212k k k k +=，且ABC ∆的面积为85，求直线BC 的方程．1-5DBCBA 6-10CCAAD 11-12CA13.[)()∞+，22,1Y 14.9 15.25-≥t 16.714.17.解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为15:22=+y x C ......2分直线l 的直角坐标方程：2:-=x y l ....5分(Ⅱ)点)2,0(-P 在l 上,l 的参数方程为)(22222为参数t ty t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-== 代入15:22=+y x C 整理得： ........8分......10分18.解：（1）在[]4,1,,3⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦上单调递增；在41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.........6分（2）()()max min 950,227f x f x ==-.....12分（列表2分）19.解：（Ⅰ）由频率分布直方图得分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，....1分由茎叶图得分类在[50，60）的人数为2人， ∴全班人数为：2508.02=人．....3分（Ⅱ）由茎叶图得分数在[80，90）之间的频数为：25﹣2﹣7﹣10﹣2=4人， ∵成绩为[80，90）间的频数为4，∴频率分布直方图中[80，90）间矩形的高为：016.010254=⨯．....6分（Ⅲ）由已知得X 的可能取值为0，1，2，由茎叶图知分数在良好以上有11人，其中分数为优秀有2人， ∴P （X=0）==，P （X=1）= = ，P （X=2）= = ，....9分∴X 的分布列为：E （X ）= =...12分20. 解：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz. 依题设知B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A 1(2,0,4)．则DE u u u r ＝(0,2,1)，DB u u u r＝(2, 2,0)，1AC u u u r ＝(－2,2，－4)，1DA u u u u r ＝(2,0,4)......3分(1)证明：∵1AC u u u r ·DB u u u r ＝0，1AC u u u r ·DE u u u r ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE. 又DB ∩DE ＝D ， ∴A 1C ⊥平面DBE..........6分(2)设向量n ＝(x ，y ，z)是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥DE u u u r、n ⊥1DA u u u u r .∴2y ＋z ＝0，2x ＋4z ＝0.令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，∴n ＝(4,1，－2)．.....8分∴cos 〈n ，1AC u u u r 〉＝1114AC AC ⋅=u u u r u u u r n n ......10分 ∴二面角A 1－DE －B 的余弦值为14....12分 X 012P21.(1)81；(2)21≥a ；解析：（1）∵()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()2f x ax x =-，∴'(2)0f =，即18a =．....4分（2）∵1'()2f x ax x=-， ①当0a ≤时，'()0f x <，∴()f x 在[1,)+∞上单调递减，∴当1x >时，()(1)0f x f <=矛盾．②当0a >时，221'()ax f xx -=，令'()0f x >，得x >'()0f x <，得0x <<．（i ）1>，即102a <<时，x ∈时，'()0f x <，即()f x 递减，∴()(1)0f x f <=矛盾．（ii 1≤，即12a ≥时，[1,)x ∈+∞时，'()0f x >，即()f x 递增，∴()(1)0f x f ≥=满足题意．综上:12a ≥．.......8分 22.解：由0∆>得3k >或1k <-．又22212||1|14BC k x x k k m =+-=++，点(2,1)A 到直线BC 的距离21d k =+．21||221|852ABC S BC d k m k m ∆==+-+= 又23m k =--，∴2280k k --=，解得4k =或2k =-，都满足0∆>．当4k =时，24311m =-⨯-=-，则直线BC 的方程为：411y x =-；当2k =-时，(2)(2)31m =-⨯--=，则直线BC 的方程为：21y x =-+．。

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