2013高考数学总复习精品课件 ： 独立性、二项分布及其应用

题型二
相互独立事件的概率
【例2】(2008· 福建)三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出 1 1 1 密码的概率分别为 、 、 ,且他们是否破译出密码互不影响. 4 3 5 （1）求恰有二人破译出密码的概率； （2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由. 分析 三人独立破译密码，每人破译是否成功不相互影响，
6
1
1 2 1 C6 3 3
5
2 6
2
1 2 C 3 3
2 3 3 6
33
1 2 C 3 3
3 3
4
1 2 C 3 3
4 2
5
1 2 C 3 3
解析： 甲三胜一负即共进行四局比赛，前三局甲二胜一负，
8 2 1 2 第四局甲胜，所求概率为 P C32 3 3 3 27
2
题型四
综合应用
【例4】(14分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中 有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独
1 3
举一反三
4. （2010· 新乡模拟）在某次世界杯上，巴西队遇到每个对 手，战胜对手的概率为 1 ,打平对手的概率为 1 ,输的概 率为
1 6 2 3
，且获胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，
已知小组赛中每支球队需打三场比赛，获得4分以上（含4
分）即可小组出线.
（1）求巴西队小组赛结束后得5分的概率； （2）求小组赛后巴西队得分的分布列及巴西队小组赛出线的 概率. 解析： (1)“记巴西队小组赛结束后得5分”为事件A，必为一胜两平， 则 P A C32 1 1 1 3 2 6
∴
P B P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 1 1 2 1 3 1 4 1 1 3 5 4 3 5 4 3 5 4 3 20






答：恰有二人破译出密码的概率为 3 .
(2)设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件 D，D A1 A2 A3 ,且 A1 , A2 , A3 互相独立，则有
4
（2）根据题设条件，分析事件间的关系；
（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个 乘积之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）；
（4）利用乘法公式计算概率.
举一反三
2. 栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽. 已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6,0.5,移栽后成活 的概率分别为0.7,0.9. (1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率. 解析： 分别记甲、乙两种果树成苗为事件 A1 、 2 ； A 分别记甲、乙两种果树移栽成活为事件 B 、 B
1
.
2
P（ A1 ）=0.6,P( A2 )=0.5,P( B )=0.7,P( B2 )=0.9. 1
(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 1- P ( A , A ) =1-0.4×0.5=0.8. 1 2
(2)分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A、B. 则P(A)=P( A1 B1 )=0.42, P(B)=P( A2 B2 )=0.45, 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 P(A B + A B)=P(A B )+P( A B) =0.42×0.55+0.58×0.45=0.492. 题型三 独立重复试验
p k q nk 又由于在n次试验中，事件A恰好发生k次的方式
有C k 种，所以由概率的加法公式可知，n次试验中，事件A恰好
n
发生k(0≤k≤n)次的
k C n p k q n k , k 1, 2,..., n , 概率为 pn k
它恰好是 p q 的二项展开式中的第(k+1)项.
3 729
………………………14′
学后反思 （1）解决概率问题要注意的“三个步骤”： ①确定事件的性质.古典概型、互斥事件、独立事件、独立重 复试验.把所给问题归结为四类事件中的某一种; ②判断事件的运算.和事件、积事件,即是至少有一个发生还是 同时发生，分别运用相加或相乘公式; ③运用公式. 古典概型：P（A）=
5 6 5
6
1 3
6
………………………………………………………….10′
(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为{X≥1}={X=1或
X=2或…或X=6},…………………………………………..12′ 所以其概率为
6
P(X≥1)= P(X=k) 6 k 1 2 =1-P(X=0)= 1 665 0.912
【例3】某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概
率都是0.5(相互独立).
（1）求至少3人同时上网的概率； （2）求至少几人同时上网的概率小于0.3?
分析 由于每个员工上网的概率都是0.5，且相互独立,故6个员工上 网即进行6次独立重复试验.
解 （1）至少3人同时上网，这件事包括3人，4人，5人或6人同时上
n
若随机变量X的分布列为P(X=k)= p k q n k ,其中
0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n，则称X服从参数为n，p的二项分布，
记作 X～B(n,p) .
典例分析
题型一 条件概率 【例1】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个 红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随 机取出1球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
故应利用独立事件求概率的方法求解.
Ai 解 记“第i个人破译出密码”为事件 (i=1,2,3),依题意 1 1 1 P A3 有 P A1 , P A2 , ,且 A1 ,A2 , A3 相互独立. 3 4 5 （1）设“恰有二人破译出密码”为事件B，则有
B A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 彼此互斥.
（2）如果事件A与B相互独立，那么 A 与 B ,
A
与
B
，
A 与 B 也都相互独立.
4. 二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为
p(0<p<1)，即P(A)=p,P( A )=1-p=q.由于试验的独立性，n次试验中， 事件A在某指定的k次发生，而在其余n-k次不发生的概率为 .
试验中发生的概率都是一样的.
（2）在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 P(X=k)= C nk p k 1 p
nk
,k=0,1,2,…,n.在利用该公式时，一定
要审清公式中的n,k各是多少.
举一反三
3. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制，若每场比 1 赛中甲获胜的概率是 2 ,乙获胜的概率是 ,求比赛以甲三 3 3 胜一负而结束的概率.
条件概率，即第一次试验结果是否对第二次试验结果有影响， 若有影响，则属于条件概率.然后利用条件概率公式P(B|A)= P AB 求出这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性，得到最 P A 终结果.
举一反三
1. 有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批 种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率. 解析: 设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB（发 芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为 P AB P（B|A）=0.8,P(A)=0.9,由P（B|A）= ,得 P A P（AB）=P(B|A)· P(A)=0.9×0.8=0.72. 故这粒种子成长为幼苗的概率为0.72.
第二节 独立性、二项分布及其应用
基础梳理
1. 条件概率及其性质 （1）条件概率的定义 一般地，若有两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下考虑事 件A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下事件A 的 条件概率 ，记为 P(A|B) . （2）条件概率的求法 一般地，若P(B)>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率 P AB 是P(A|B)= P B .还可以借助古典概型概率公式，即P（A|B） n AB = nB .
分析 从2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1号箱取出 红球，二是当从1号箱取出白球. 解 从2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1号箱取出 红球，二是当从1号箱取出白球. 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B：从1号箱中取出的是红球. 则P（B）=
1 C4 P(A|B)=
1 C4
C

1 6

2 3
,P（B ）=1-P(B)=
1 C3 1 C9
1 3
,ห้องสมุดไป่ตู้
4 9
从而P（A）=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A| B )· B ) P( = 4 2 1 1 11
9 3 3 3 27
C
1 9
,P(A|B )=

1 3
,
学后反思 解此类概率题型时，首先要区分所求概率是不是
立的，并且概率都是
.
(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列； （2）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 分析 (1)可看做6次独立重复试验; （2）X的取值为0,1,2,3,4,5,6;
(3)可通过求对立事件的概率解决.
解 （1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概
率为13,且每次试验结果是相互独立的, 故X～B(6 ,
1 3
),………………………………………………3′
k 6k
以此为基础求X的分布列.
由X～B(6, 1 ),P（X=k）= C 6k 1 2 3 3 3 ，………………4′
k=0,1,2,3,4,5,6.
所以X的分布列为
X P X P
4 6
0
2 3
P D P A1 P A2 P A3
20

而P(C)=1-P(D)= 3 ,故P(C)＞P(D). 5 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. 学后反思 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： （1）用恰当字母表示题中有关事件；
3 2 2 5 4 3 5
m n
,
互斥事件：P（A∪B）=P(A)+P(B),
条件概率：P（B|A）=
P AB P A
,
独立事件：P（AB）=P(A)· P(B), n次独立重复试验：P k C k p k 1 p n k n n (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： ①是否为n次独立重复试验; ②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.
(3)条件概率的性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即 0≤P(B|A)≤1 ②如果B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A) . 2. 事件的相互独立性 (1)一般地，若事件A,B满足P(A|B)=P(A),称事件A,B独立. (2)若事件A,B相互独立，则P(AB)= P(A)P(B) . (3)两个事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)= P(A)P(B) . (4)若事件 A1 , A2 ,..., An 相互独立，则这n个事件同时发生的概 率
P A1 A2 ... An P A1 P A2 ...P An
;
.
3. 独立重复试验 （1）一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试 验的结果仅有两种对立的状态，即A 与 P(A)= 为 伯努利试验 .
A
，每次试验中
p>0 ，我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称
11 32
0.3
至少5人同时上网的概率为
5 6 C6 0.56 C6 0.56
7 64
0.3
所以至少5人同时上网的概率小于0.3.
学后反思 (1)独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次
之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只 有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次
网，记至少3人同时上网的事件为A，则
3 4 5 6 P A C6 0.56 C6 0.56 C6 0.56 C6 0.56
21 32
(2)由(1)知至少3人同时上网的概率大于0.3,至少4人同时上网的概率
为
5 6 C64 0.56 C6 0.56 C6 0.56