3.1.1《函数的平均变化率》课堂案
《3.1.1函数的平均变化率》导学案(新部编)1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.1.1函数的平均变化率》导学案学习目标:(一)知识目标感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.(二)能力目标体会平均变化率的思想及内涵(三)情感态度与价值观使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神 学习重点:平均变化率的实际意义与数学意义学习难点:对生活现象作出数学解释自主学习:一､问题情境(1)情境某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示:(2)问题1:“从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？”问题2:“AB 段与BC 段哪一段速度较快？”二､师生活动(1)速度快慢是生活用语，怎样将它数学化？(2)曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？(3)由点B 上升到C 点必须考察C B y y -的大小，但仅注意到C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？(4)在考察C B y y -的同时必须考察C B x x -，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变而言.三､建构数学(1)通过比较位移在区间[]1,32上的平均变化率0.5与位移在区间[]32,34上的平均变化率7.4，感知曲线陡峭程度的量化.(2)一般地，给出函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率()()2121f x f x x x -- (3)回到位移曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构(4)用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当21x x -很小时，这种量化便由“粗糙”逼迫“精确”.四､例题讲解 例1.求2x y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解:当自变量从0x 变到x x ∆+0时，函数的平均变化率为x x xx x x x x f x x f ∆+=∆-∆+=∆-∆+02020002)()()(.当x ∆取定值，0x 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样.可以由图看出变化.例2.求xy 1=在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率. 解:当自变量从0x 变到x x ∆+0时，函数的平均变化率为000000)(111)()(x x x x x x x x x f x x f ∆+-=∆-∆+=∆-∆+五､回顾小结由平均变化率的实际意义到数学意义，体现了实际问题数学化的过程，建立的数学模型具有抽象的特征，也蕴含着数学应用的广阔性.由于平均变化率只是一种粗略的刻画，从而有待于进一步精确化，随之而来的便是新的数学模型的建立.。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案一、教学目标1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及其几何意义。
2. 培养学生利用导数求函数的平均变化率的能力。
3. 引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
二、教学内容1. 函数的平均变化率的定义2. 函数的平均变化率的计算3. 函数的平均变化率的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。
2. 利用几何图形和实例，帮助学生形象理解函数的平均变化率。
3. 开展小组讨论，引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过举例，如物体在直线运动中的速度变化，引入函数的平均变化率的概念。
2. 新课讲解：讲解函数的平均变化率的定义，引导学生理解函数的平均变化率的几何意义。
讲解如何利用导数求函数的平均变化率，并通过示例进行演示。
3. 案例分析：给出几个实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解决，巩固所学知识。
4. 课堂练习：布置一些有关函数的平均变化率的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。
提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
六、课后作业1. 复习本节课的内容，重点掌握函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考并解答拓展问题，提高运用能力。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对函数的平均变化率的理解和应用能力。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、问题解决能力等。
八、教学反思在课后对教学情况进行反思，分析学生的学习效果，针对存在的问题调整教学方法和要求，以提高教学质量。
九、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解函数的平均变化率的概念和计算方法。
函数的平均变化率教案
§1.1 导 数1.1.1 函数的平均变化率【学习要求】1．理解并掌握平均变化率的概念．2．会求函数在指定区间上的平均变化率．3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.填一填：知识要点、记下疑难点1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ x 1－x 0 ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ，则当Δx ≠0时，商f x 0＋Δx －f x 0Δx＝_Δy Δx ___叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 平均变化率 ．2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx＝_____f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1_____ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 斜率 .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．探究点一 函数的平均变化率问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y B x C －x B近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率． 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为6.5－3.53－0＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 问题3 平均变化率有什么几何意义？答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率．x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．跟踪训练1如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. 2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 答案 (1)12 (2)34探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率：(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为f 3－f 13－1＝32－122＝4； (2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为f 2－f 12－1＝22－121＝3； 3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为f 1.1－f 11.1－1＝1.12－120.1＝2.1； (4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f 1.001－f 11.001－1＝1.0012－120.001＝2.001. 小结 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．解 自变量x 从0变到1时，函数f (x )的平均变化率为1－3×1－1－01－0＝－3， 自变量x 从m 变到n 时，函数f (x )的平均变化率为1－3n －1－3m n －m＝－3. 问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，则s 1t 0－s 10t 0<s 2t 0－s 20t 0， 所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．小结 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)． 所以乙的经营成果比甲的好．1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__－9 ________．解析 函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为f 2－f 12－1＝5－3×22－5－31＝－9. 2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为__2______．3. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是___乙_____．解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ， 所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．课堂小结：1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f (x )的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.。
《3.1.1函数的平均变化率》教学案3
《3.1.1函数的平均变化率》教学案
教学目标：
1.知识与技能
理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；
2.过程与方法
通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；
3.情感、态度与价值观
感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点：
平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解
教学难点：
平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释
教学关键：
将学生头脑中的感性认知，通过多个事例，在不同的情境下，进行相同的计算程序.由此学生抽象建构出函数平均变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法，特别是数形结合的数学能力和“以直代曲”的转化能力.
教学过程：
的方法，可以用比值
引导学生先分析平直山路OA段的斜率表示
山路的陡峭程度；再进一步研究曲线的如何表
①从图象上看，
图象，那一段更“陡峭”？
②如何量化曲线在
结论：平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)，或说在某个区间上
问题1：那个企业的治污效果好一些？
结论：曲线越“陡峭”
化率的绝对值越大
例3：如图所示，已知函数在区间[-1，1]上的平均变化率
问题：结合图象分析用
曲线段的陡峭程度是否准确？。
函数的单调性及函数的平均变化率精品课件
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栏目 导引
第三章 函 数
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课件3：3.1.1 函数的平均变化率
题型二 求物体运动的平均速度
【例 2】 以初速度 v0 竖直向上抛一物体的位移 s 与时间 t 的关 系为：s(t)＝v0t－12gt2.
(1)求物体从时刻 t0 到时刻 t0＋Δt 这段时间的平均速度 v； (2)求物体在 t＝10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度．
[思路探索]
由物体运动方程
题型三 平均变化率的实际应用 【例 3】 (12 分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T(t) ＝t1＋205＋15，其中 T(t)为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时 间(单位：min)． 求：(1)从 t＝0 到 t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率． (2)体温 T(t)对时间 t 的变化率． 审题指导 利用平均变化率的定义求解．
题型一 求平均变化率 【例 1】 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均 变化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值． [思路探索] 解答本题可先求自变量的增量和函数值的增量，然 后代入公式求解．
解 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率 为 f（（x0＋x0＋ΔΔx）x）－－f（xx00）＝[3（x0＋Δx）2Δ＋x2]－（3x20＋2） ＝6x0·Δx＋Δ3x（Δx）2＝6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在区间[2，2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
(2)当 t0＝10 s 时，Δt＝0.4 s， 则物体在 t＝10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度 v＝v0－10g－12×g×0.4＝v0－10.2g.
已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与 时间的函数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根据平均 速度的意义可知就是求这个函数在[t0，t0＋Δt]内的平均变化 率．
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案引入问题：在学习函数的过程中，我们经常会遇到一个重要的概念，函数的平均变化率。
那么，什么是函数的平均变化率呢？它又有什么重要意义呢？本节课我们将围绕这一主题展开讨论和学习。
一、基本概念为了理解函数的平均变化率，我们首先需要了解函数的概念。
函数可以简单地理解为一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素，都对应到另一个集合中的一个元素。
用数学符号表示，函数可以写成f(x)=y或y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量。
平均变化率=(函数值在b处的值-函数值在a处的值)/(b-a)二、计算方法在计算函数的平均变化率时，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们需要找到区间[a,b]内的两个点：点A和点B。
点A的坐标为(a,f(a))，点B的坐标为(b,f(b))。
2.接下来，我们需要根据公式计算函数在这个区间内的平均变化率。
公式为：平均变化率=(f(b)-f(a))/(b-a)3.最后，我们将计算出的值进行整理和分析，可以得出函数在这个区间内的平均变化率是多少，以及这个平均变化率的意义和特点。
三、应用举例理解平均变化率的概念后，我们可以通过一些具体的例子来加深对其应用的理解。
例子1：假设一辆汽车在一段时间内的速度变化如下所示：时间（小时）：012345速度（km/h）：0 20 40 60 80 100我们可以选择一个区间[2,5]，然后计算这个区间内的平均速度变化率。
按照前面的计算方法，我们可以得到：平均速度变化率 = (80 - 40) / (5 - 2) = 40 / 3 ≈ 13.33 km/h 这个平均速度变化率的值告诉我们，这辆汽车在这个区间内平均每小时的速度增加了13.33公里。
例子2：假设一条直线的方程为y=2x+1、我们可以选择一个区间[1,3]，然后计算这个区间内的平均斜率变化率。
按照前面的计算方法，我们可以得到：平均斜率变化率=(2*3+1-2*1-1)/(3-1)=(7-2)/2=5/2=2.5这个平均斜率变化率的值告诉我们，这条直线在区间[1,3]内的平均斜率变化率为2.5四、总结和思考通过本节课的学习，我们对函数的平均变化率有了初步的了解。
《3.1.1函数的平均变化率》教学案1
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 《3.1.1函数的平均变化率》教学案1 《《3. .1. .1 函数的平均变化率》教学案教学目标：1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础. 2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景数学表示应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力. 3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质.并养成学生探究总结型的学习习惯. 教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解教学难点：函数平均变化率的理解. 教学过程：一、引入：1、情境设置：(图片)巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片 2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来1 / 5反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题. 二、例举分析：(一)登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点，H是山顶，登山路线用y=f(x)表示 HD1 D Fy 问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？分析：1、选取平直山路AB放大研究若 ) , ( ), , (1 1 0 0y x B y xA 自变量x的改变量：0 1x x x = 函数值y的改变量：0 1y y y = 直线AB的斜率：xyx xy yk==0 10 1 说明：当登山者移动的水平距离变化量一定( x 为定值)时，垂直距离变化量( y )越大，则这段山路越陡峭； 2、选取弯曲山路CD放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1 的陡峭程度可用直线CD 1 的斜率表示.(图略) 结论：函数值变化量( y )与自变量变化量 ) ( x 的比值xy反映了山坡的陡峭程度.各段的xy不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同.当xy越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当xy越小，说明山坡高度的平---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------均变化量小，所以山坡就越缓.所以，k kk kx xx f x fxy=++11) ( ) (高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫做函数f(x)的平均变化率. 三、函数的平均变化率与应用. 1、定义：已知函数 ) ( x f y = 在点0x x = 及其附近有定义，令0x x x = ；B ) , (1 1y x A( ) ,0 0y x 0x0y1x1yO y x ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 0x f x x f x f x f y y y + = = = .则当 0 x 时，比值xyxx f x x f= + ) ( ) (0 0叫做函数 ) ( x f y = 在0x 到x x +0之间的平均变化率. 2、例题解析例1.求2x y = 在0x 到x x +0之间的平均变化率. 解：当自变量从0x 变到 x x +0时，函数的平均变化率为x xxx x xxxf x x f + = += +02020 0 02) ( ) ( ) (.当 x 取定值，0x 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样.可以由图看出变化. 例2.求xy1= 在0x 到 x x +0之间的平均变化率. 解：当自变量从0x 变到 x x +0时，函数的平均变化率为0 00 0 0 0) (11 1) ( ) (x x x xx x xxx f x x f + = += + 变式：某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：天气热得太快了！但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹.这3 / 5是什么原因呢？原来前者变化得太快，而后者变化得缓慢. 问题：当自变量t表示由3月18日开始计算的天数，T表示气温，记函数 ) (t g T = 表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？分析：如图：1、选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较， C T t01 . 15 5 . 3 6 . 18 , 30 = = = ，由此可知 5033 . 0 tT； 2、选择该市2004年4月18日最高气温18.6 0 C与4月20日33.4 0 C进行比较 C T t08 . 14 6 . 18 4 .33 , 2 = = = ，由此可知 4 . 7 tT 结论：函数值的平均变化率tT反映了温度变化的剧烈程度. 各段的tT不同反映了温度变化的剧烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均变化量不同.当tT越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温就越快；当tT越小，说明气温的平均变化量小，所以升温就越缓. 四、课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图 (1)(2)所示，试问：(1)甲乙二人哪一个跑得快？ (2)甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快甲乙路程 y 甲乙100m 2030 342102030A(1,3.5) B(32, 18.6) 0C(34, 33.4) T(℃) t(天)2 10 五、课堂小结：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ (1) (2)5 / 5。
高中数学平均变化率教案
高中数学平均变化率教案一、教学目标：1. 掌握平均变化率的概念；2. 能够计算函数在两点之间的平均变化率；3. 能够应用平均变化率解决实际问题。
二、教学重点和难点：1. 平均变化率的概念和计算方法；2. 能够准确应用平均变化率解决实际问题。
三、教学过程：1. 导入新知识（5分钟）：通过一个生活中的例子引入平均变化率的概念，让学生了解平均变化率的重要性和应用场景。
2. 讲解平均变化率的概念和计算方法（10分钟）：通过具体的数学例题讲解平均变化率的定义和计算公式，并让学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 练习题讲解（15分钟）：通过一些实例题和应用题，引导学生熟练掌握平均变化率的计算方法和解题技巧。
4. 小组讨论（10分钟）：分成小组，让学生根据所学知识讨论解决实际问题的方法，并在小组中相互讨论和交流。
5. 整合巩固（10分钟）：让学生根据所学知识，解决一些复杂的实际问题，巩固平均变化率的应用能力。
6. 课堂小结（5分钟）：对本节课学习内容进行总结，强调平均变化率的重要性和应用意义。
四、板书设计：1. 平均变化率的概念和计算方法；2. 函数在两点之间的平均变化率公式；3. 应用平均变化率解决实际问题的步骤。
五、课后作业：1. 完成课堂练习题；2. 练习书上相关练习题目；3. 总结平均变化率的概念和应用方法，写一份小结。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生掌握了平均变化率的概念和应用方法，并能够熟练解决相关问题。
同时，也发现了学生在计算过程中容易犯的错误和不足之处，需要加强课后练习和巩固。
通过不断总结和反思，提高自己的教学水平，更好地引导学生学习。
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
高二数学(选修人教B版)函数的平均变化率1教案
教案下面是一个曲线的一个局部图形，你能判断它是直的还是弯曲的吗？如果显示出网格线，能否判断呢？这个图的全貌其实是这样的：如果我们用一个“高倍显微镜”来看曲线的一个局部，都可以近似地把它看成直线段．所以，我们也可以把弯曲的山路看成许多平直的小段组成．从学生的知识经验理解“以直代曲”．类比双曲线，理解弯曲山路中的“以直代曲”．概念的形成（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度假设下图是一座山的剖面示意图．爬山者上升的高度y可以看成水平行进距离x的函数，这座结合函数的概山的山坡剖面图则可以看作函数y =f (x )的图象，建立平面直角坐标系如图所示．我们把山路分成许多近似平直的小段．对于AB 这一段平直的山路，放大如下图：坡度为： 1010tan y y yx x xθ-∆==-∆. 对于CD 这一段弯曲的山路，可以分成许多段，比如第一小段CD 1可以近似地看成直线段，于是这一段山路的陡峭程度可表示为：32323232()()y y f x f x y x x x x x --∆==-∆-． 一般地，任何一小段山路的陡峭程度可以表示为：11()()k k k k f x f x y x x x ++-∆=∆-．念，以函数图象表示山坡的剖面图，将实际问题数学化．用数学语言表达山路的陡峭程度．O y x D 1x 3AB k ＝y B －y A x B －x A ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝ΔyΔx ＝tan θ.概念的 巩固例 求函数y =x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率． 解：当自变量从x 0变到x 0+∆x 时，函数的平均变化率为0000()()()1f x x f x x x x x x +∆-+∆-==∆∆．思考与总结：（1）函数y =2x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率是什么？你有什么发现？函数y =2x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率是2. 我们发现，一次函数在任何一个区间内的平均变化率等于它的一次项系数，几何意义就是直线的斜率． （2）求函数的平均变化率的主要步骤：①求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1；②求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；③求函数的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.（3）求函数在x 0附近的平均变化率，常用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的形式来表达．例 求函数y =x 2在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率． 解：当自变量从x 0变到x 0+∆x 时，函数的平均变化率为2200000()()()2f x x f x x x x x x x x +∆-+∆-==+∆∆∆．计算与探索： （1）当∆x =13，x 0=1，2，3时，求函数的平均变化率；（2）当x 0=1，∆x =13，12，1时，求函数的平均变化率．通过例题研究具体函数在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率，并研究它随着x 0及∆x 变化而变化的规律，加深和巩固对函数的平均变化率的理解．【思考】（请同学们自行思考）（1）如果10x-<∆<，它们的大小关系如何？你能结合函数的图象来解释吗？（2）与y x=的平均变化率比较，它们的大小关系如何呢？例两工厂经过治理，污水的排放流量(W)与时间(t)的关系，如图所示．试指出哪一个厂治污效果较好？分析：这是一个应用问题．读图的关键点是“治污效果”用什么量来刻画——考查函数的平均变化率的应用．解：甲、乙两厂在相同的时间内都将污水排放流量治理到标准要求．甲厂原来的排放流量较大，因而平均变化率较大，所以甲厂的治污效果较好．课堂小结本节课学习的主要内容是函数的平均变化率．学习过程从生活情境到数学情境，再到数学概念以及几何意义，初步体会了“以直代曲”的思想和数形结合的方法．概括本节课的主要知识与思想方法．布置作业（1）求223y x x=-+在2到94之间的平均变化率．（2）试比较正弦函数siny x=在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，哪一个较大？延伸巩固函数的平均变化率的概念．。
人教B版高中数学选修(1-1)-3.1教学教案：函数的平均变化率2
3.1.1 平均变化率一.教材依据函数的平均变化率二.设计思想指导思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法．设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“…．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．” 故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法．三.教学目标1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；3.掌握求函数在指定区间上的平均变化率，能利用平均变化率解析生活中的实际问题；4.通过分析实例，初步探究由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，让学生体会用已知探究未知的思考方法．四.教学重点1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；五.教学难点1.如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢？”2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；六.教学准备1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2.向有经验的同事请教；3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．七.教学过程1.教学基本流程：。
平均变化率教案高中数学
平均变化率教案高中数学教学目标：1. 了解平均变化率的概念及其计算方法；2. 掌握在各种情况下计算平均变化率的技巧；3. 能够应用平均变化率解决实际问题。
教学重点：1. 平均变化率的定义；2. 平均变化率的计算方法；3. 平均变化率的应用。
教学难点：1. 理解平均变化率与图像的关系；2. 解决实际问题时如何确定变化量和时间间隔。
教学准备：1. 讲义、笔记本、书本等教学资料；2. 课件或投影仪。
教学过程：1. 导入：引导学生回顾导数的概念，并引出平均变化率的概念。
简单解释平均变化率是某一函数在两个点之间的变化率的平均值。
2. 讲解：（1）介绍平均变化率的计算方法，即在两个点处的函数值的差除以对应自变量的差。
（2）通过具体例子讲解平均变化率的计算过程，并提示学生注意变化量和时间间隔的确定。
3. 练习：让学生进行一些练习，巩固平均变化率的计算方法。
可以包括各种函数的计算和图像分析。
4. 分析：引导学生分析平均变化率与图像的关系，让他们理解在图像上如何表示平均变化率。
5. 应用：通过实际问题的讨论，让学生应用平均变化率的概念解决实际问题，培养他们的计算能力和应用能力。
6. 总结：总结本节课的重点内容，强调平均变化率的重要性和应用范围。
教学延伸：1. 可以引导学生探究平均变化率与导数的关系，深入了解两者之间的联系。
2. 鼓励学生自主寻找更多实际问题，应用平均变化率进行解决，提高他们的问题发现和解决能力。
布置作业：布置相关练习题，要求学生巩固所学知识，并提出自己的疑惑和问题。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握平均变化率的概念和计算方法，能够运用平均变化率解决实际问题。
同时，也要引导学生深入思考，加深他们对平均变化率的理解和运用。
高中数学 3.1.1函数的平均变化率 精品导学案 新人教A版选修1-1
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.1.1函数的平均变化率导学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程．2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．3.体会导数的思想及其内涵，并能运用.【自主学习】１.平均变化率的概念是什么？２．Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率一定为正值吗？３.函数在某点处附近的平均变化率是什么？４.观察函数f (x )的图象,平均变化率y x ∆=∆1212)()(x x x f x f --表示什么? ５.求函数在某点处附近的平均变化率的步骤什么？６.“Δx →0”的意义是什么？函数f (x )在x 0处的附近的平均变化率与Δx 有关吗？ 【自主检测】1.函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)2．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ． 【典型例题】例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx；例2．求函数f (x )=3x x +图象上从点(1,2)A 到点(1,2)B x y +∆+∆的平均变化率.【课堂检测】1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+（0→∆t ）中相应的平均速度为A.3B.6C.9D.12 （ ）2. 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在[1，3]区间上的平均变化率 ；()f x 在[1，2]区间上的平均变化率 .3.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率 .4．已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）= -2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率.【总结提升】定义中的x 1，x 2是指其定义域内不同的两个数，记Δx＝x 2－x 1，Δy＝f(x 2)－f(x 1)，则当Δx≠0时，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝Δy Δx 称作函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率，理解平均变化率应注意以下几点：(1)函数f(x)在x 1，x 2处有定义；(2)x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可正可负；(3)注意变量的对应，若Δx＝x 2－x 1，则Δy＝f(x 2)－f(x 1)，而不是Δy＝f(x 1)－f(x 2)；(4)平均变化率可正可负，也可为零．在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
《1.1.1 函数的平均变化率》教学案3
《1.1.1 函数的平均变化率》教学案3教学目标：1. 借助实例分析引入变化率的概念，为学习导数奠定基础，帮助学生理解实例的过程。
2. 理解导数的概念，掌握球导数的定义方法。
3. 理解导数的几何意义，物理意义。
重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；难点：平均变化率的概念．课前预习：1.导数的概念：函数)(x f y =，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆= ，比值 叫做函数)(x f y =在0x 到0x +x ∆之间的平均变化率， 如果当0→∆x 时， 有极限，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在点0x 处的导数，记作： .2.由导数的定义可知，求函数)(x f y =在点0x 处的导数的步骤：①求函数的增量： ；②求平均变化率： ；③取极限得导数 .3.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是 .4.导数的物理意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的物理意义是 .5.导函数的概念:从求函数f(x)在x=0x 处导数的过程可以看出，当x=0x 时，)(0'x f 是一个确定的数，这样，当x 变化时，)('x f 便是x 的一个函数，称它为的导函数（简称导数）,y=f(x)的导函数有时也记作 即二、例题解析：例1、变化率问题：（1）质点运动规律32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中，相应的平均速度等于（ ）A 、t ∆+6B 、tt ∆+∆+96 C 、t ∆+3 D 、t ∆+9 （2）322+-=x x y 在2=x 附近的平均变化率是（ ）A 、2B 、x ∆C 、x ∆+2D 、1例2、求函数322--=x x y 在2=x 处的导数练习：求函数x y =在1=x 处的导数例3、利用导数的几何意义求切线的斜率（1）在曲线2x y =上过哪点的切线①平行于直线54-=x y ②垂直于直线0562=+-y x ③与x 轴与135°的倾斜角（2）已知曲线331x y =上一点P )38,2(，求①求点P 处的切线的斜率②求过点P 的切线的斜率③求过点P )3,2(的切线的斜率合作探究：如何利用导数的几何意义求曲线上过某点的切线方程？三、当堂检测1.曲线22x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为：A.2B.4C.5D.62.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h→+-- 的值为：A.'0()f xB.'02()f xC.'02()f x -D.03.设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim 0000x f xx f x x f x 则： A.0.5 B.－1 C.0 D.－2课后练习1.已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是：A.（1，3）B.（-4，33）C.（-1，3）D.不确定2.设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数值的改变量是：A.)(0x x f ∆+B.x x f ∆+)(0C.x x f ∆)(0D.)()(00x f x x f -∆+3.已知函数12+=x y 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则xy ∆∆等于： A.2 B.x 2 C.x ∆+2 D. 2)(2x ∆+4.若函数12)(2-=x x f 的图象上一点（1，1）及邻近一点)1,1(y x ∆+∆+，则=∆∆xy .教后反思。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
3.1.1变化率问题,教案
3.1.1变化率问题,教案篇一：3.1.1变化率问题教案3.1变化率与导数3.1.1变化率问题一、【创设情境】为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3分析:r(V)?43?r33V4?3V4?(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm)r(1)?r(0)气球的平均膨胀率为?0.62(dm/L)1?0(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm)r(2)?r(1)气球的平均膨胀率为?0.16(dm/L)2?1可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间r(V2)?r(V1)V2?V1t(单位:s)存在函数关系h(t)??4.9t2?6.5t?10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度v在0?t?0.5这段时间里,v?h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)0.5?0在1?t?2这段时间里,v?探究:计算运动员在0?t?h(2)?h(1)??8.2(m/s)2?165这段时间里的平均速度,并思考以下问题:49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:如图是函数h(t)??4.9t2?6.5t?10的图像,结合图形可知,h(65)?h(0),所以v?49h(65)?h(0)49?0(s/m)65?049虽然运动员在0?t?65这段时间里的平均速度为0(s/m),49但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)表示,x2?x1称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.2.若设?x?x2?x1,?f?f(x2)?f(x1)(这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1??x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))则平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f???x2?x1?x?x?x?ff(x2)?f(x1)表示什么???xx2?x1思考:观察函数f(x)的图象平均变化率三、典例分析例1已知函数f(x)??x?x的图象上的一点a(?1,?2)及2?y?.?x解:?2??y??(?1??x)2?(?1??x)临近一点B(?1??x,?2??y)则?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x∴?x?x例2求y?x2在x?x0附近的平均变化率.解:?y?(x0??x)?x02222x0?2x0?x??x2?x0?y(x0??x)2?x0所以???2x0??x?x?x?x所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x2课堂练习1.质点运动规律为s?t?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为.2.物体按照s(t)?3t?t?4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y?f(x)?x上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线,求出当?x?0.1时割线的斜率.四、【课堂小结】1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.322篇二：3.1.1变化率问题(学、教案)变化率问题课前预习学案一、预习目标了解平均变化率的定义。
高二数学 3.1.1函数的平均变化率导学案 新人教A版选修1-1
高中数学 3.1.1函数的平均变化率导学案【自主学习】１.平均变化率的概念是什么？２．Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率一定为正值吗？３.函数在某点处附近的平均变化率是什么？４.观察函数f (x )的图象,平均变化率y x ∆=∆1212)()(x x x f x f --表示什么? ５.求函数在某点处附近的平均变化率的步骤什么？６.“Δx →0”的意义是什么？函数f (x )在x 0处的附近的平均变化率与Δx 有关吗？ 【自主检测】1.函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)2．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ． 【典型例题】例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx；例2．求函数f (x )=3x x +图象上从点(1,2)A 到点(1,2)B x y +∆+∆的平均变化率.【课堂检测】1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+（0→∆t ）中相应的平均速度为A.3B.6C.9D.12 （ ）2. 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在[1，3]区间上的平均变化率 ；()f x 在[1，2]区间上的平均变化率 .3.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率 .4．已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）= -2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率.【总结提升】定义中的x 1，x 2是指其定义域内不同的两个数，记Δx＝x 2－x 1，Δy＝f(x 2)－f(x 1)，则当Δx≠0时，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝Δy Δx 称作函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率，理解平均变化率应注意以下几点：(1)函数f(x)在x 1，x 2处有定义；(2)x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可正可负；(3)注意变量的对应，若Δx＝x 2－x 1，则Δy＝f(x 2)－f(x 1)，而不是Δy＝f(x 1)－f(x 2)；(4)平均变化率可正可负，也可为零．。
3.1.1变化率问题
3.1.1 变化率问题【学习目标】1.理解函数平均变化率的概念；2.会求已知函数的平均变化率。
【学习重点】掌握函数的平均变化率【学习难点】函数的平均变化率一．自主学习阅读人教版选修1-1课本72页-74页二．问题提出问题1气球膨胀率问题：气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是__________.如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________. 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系___________.如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t和21≤≤t的平均速度v在5.00≤≤t这段时间里，___________.；在21≤≤t这段时间里，___________.探究：计算运动员在49650≤≤t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内是静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？（3）从中你能得到结论什么结论？三．引出概念平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf--表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。
2．若设12xxx-=∆,谁也不能随随便便成功，它来自彻底的自我管理和毅力. . 勿将今天的事拖到明天.谁也不能随随便便成功，它来自彻底的自我管理和毅力. . 勿将今天的事拖到明天.)()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)。
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《函数的平均变化率，瞬时速度与导数》
学习感悟/教学设计说明 一、学习目标
1.函数平均变化率的概念
2.瞬时速度的概念
3.函数的瞬时变化率
4.导数的概念
二、自学检测题交流（将错误习题重新整理）
三、自主学习(教材助读) 1.()=()__________f x f x 已知函数y=在点______及其______有定义，
令x ________,y=________________
则当___________时，比值___________________
叫做函数y=在之间的平均变化率
2.一般的如果物体的运动规律是s=h(t),那么00()___h t t t t t +函数在到之间的平均变化率_____________
当趋近于时，___________趋于常数，
我们把这个常数称为___________________
3.设函数y=f(x)在x 0附近有定义，当自变量x=x 0附近改变x ∆时，函数
值相应地改变 . 如果当x ∆趋近于0时，平均变
化率 趋近于一个常数l ，则数l 称为函数f(x)在点x 0
的
可以记作
4.函数在x 0的瞬时变化率，定义为f(x)在x=x 0处的导数，记作0x x 0y )(=''或x f 。
可以写作：
5.如果f(x)在开区间（a,b ）内的每一点x 导数都存在，则称f （x ）在
区间（a,b ）内可导。
这样对于开区间（a,b ）内每个值x 都对应一个确
定的导数)(x f '，于是在区间（a,b ）内)(x f '构成一个新的函数，我
们把这个函数称为函数f(x)的 记为
导函数通常简称为
四.根据所学内容完成下列习题
1. 书中第77页 练习A 1,3 练习B 1,2
2. 书中第82页 练习A 1,2，3 练习B 1,2
五.当堂检测
1．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)·Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)
2．函数在某一点的导数是( )
A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B ．一个常数，不是变数
C ．一个函数
D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
3．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )
A ．4＋4t 0
B ．0
C ．8t 0＋4
D ．4t 0＋4t 20
4．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝s （t ）＝t 2（位移单位：m ，
时间单位：s ）， 求小球在t ＝5时的瞬时速度
5．用导数的定义求函数y ＝3x 在x ＝1处的导数。
6.用导数的定义求函数522+-=x x y 的导数。
五.课后作业
1.一直线运动的物体，从时间到
时，物体的位移为，那么时，为（ ）A. 从时间到时，物体的平均速度
B. 在时刻时该物体的瞬时速度；
C. 当时间为
时物体的速度； D. 从时间到时物体的平均速度
2．函数()2
2)(x x f π=的导数是（ ） A.x x f π4)(=' B.x x f 24)(π=' C.x x f 28)(π=' D.x x f π16)(='
3.质点M 按规律s ＝2t 2+3做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ），
求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．
4.求下列函数在已知点处的导数：
（1）13+=x y 在3=x 处的导数； （2）x
y 1=
在2=x 处的导数。