2019学年高一数学人教A版必修2同步练习：2.4 平行与垂直综合问题
【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第二章《平面与平面垂直的性质》练习题(含答案)
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF ＝DE，AD＝6，则EF＝________．7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．8．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．三、解答题9.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.10.(2015·广东卷)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD.B级能力提升1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④2．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．3.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N 分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.参考答案第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．答案：D2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③解析：①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误．答案：D3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．答案：D4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：由线面垂直的性质可得．答案：B5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE ⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE.答案：B二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF ＝DE，AD＝6，则EF＝________．解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.答案：67．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊄α，可得出b∥α，①正确；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，②正确；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a⊂α，③正确；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正确．答案：48．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC.因为二面角α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，α∩β＝l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.答案：2三、解答题9.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.证明：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.10.(2015·广东卷)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD.证明：(1)因为在长方形ABCD中，BC∥AD，BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)取CD的中点H，连接PH.因为PD＝PC，所以PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH ⊂平面PDC.所以PH⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PH⊥BC.因为在长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，所以BC⊥平面PDC.又PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.B级能力提升1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.答案：B2．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.答案：273.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N 分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.11因为N 为PC 的中点，E 为PD 的中点，所以NE ∥CD 且NE ＝12CD . 而AM ∥CD ，且AM ＝12AB ＝12CD ， 所以NE ∥AM 且NE ＝AM ，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以MN ∥AE .又PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD .又因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD .而AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥AE .又AE ∥MN ，所以MN ⊥CD .(2)由(1)可知CD ⊥AE ，MN ∥AE .又∠PDA ＝45°，所以△PAD 为等腰直角三角形．又E 为PD 的中点，所以AE ⊥PD ，所以AE ⊥平面PCD .又AE ∥MN ，所以MN ⊥平面PCD .。
高一数学人教A版必修2同步课时作业2.3.2平面与平面垂直的判定(有答案)
高一数学人教A 版必修2同步课时作业2.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题1.如图,在直角梯形ABCD 中, 190,//,12A AD BC AD AB BC ∠=︒===，将ABD △沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中,下列说法正确的是( )A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ACD ⊥平面ABCC.平面ABC ⊥平面BCDD.平面ACD ⊥平面BCD2.如图所示，四边形ABCD 中，//AD BC ，,45AD AB BCD =∠=︒，90BAD ∠=︒.将ADB △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC3.在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为矩形,则四棱锥的五个面,,,PAB PAD PCD PBC 和ABCD 中,互相垂直的有( )A.3对B.4对C.5对D.6对 4.如图, AB 是O 的直径, VA 垂直O 所在的平面, C 是圆周上不同于A ,B 的任意一点, M ,N 分别为VA , VC 的中点,则下列结论正确的是 ( )A. //MN ABB. MN 与BC 所成的角为45C. OC ⊥平面VACD.平面VAC ⊥平面VBC5.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为菱形，M 是PC 上的一个动点，若要使得平面 MBD ⊥平面PCD ,则应补充的一个条件可以是（ ）A.MD MB ⊥B.MD PC ⊥C.AB AD ⊥D.M 是棱PC 的中点6.如图所示，四边形中ABCD ，//AD BC ，，,45AD AB BCD =∠=︒.90BAD ∠=︒将沿BD ADB △折起，使平面平ABD ⊥面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥中，A BCD -下列结论正确的是（ ）A.平面平ABD ⊥面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC7.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 是正方形， ,E F 分别是,PA PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线；②直线BE 与直线AF 异面③直线//EF 平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD其中正确的有（ ）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④8.如图，2AC R =为圆O 的直径，45,PCA PA ∠=垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点,A C 重合的点，AS PC ⊥于,S AN PB ⊥于N ，则下列不正确的是（ ）A. 平面ANS ⊥平面PBCB. 平面ANS ⊥平面PACC. 平面PAB ⊥平面PBCD. 平面ABC ⊥平面PAC 二、填空题9.αβ、是两个不同的平面，m n 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m n ⊥②αβ⊥③n β⊥④m α⊥以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_________________________.10.已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1===a b c 分别是平面,,αβγ的法向量,则,,αβγ三个平面中互相垂直的有_____对.11.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .（只要填写一个你认为是正确的条件即可）三、解答题12.如图，已知在三棱锥A BCD -中，2,9060,,AB AC AD BD BCD DBC E F G ====∠=︒∠=︒,,分别是,,BD AD CE 的中点.(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD .(2)求异面直线AC 与FG 所成角的余弦值.参考答案1.答案：B解析：∵在直角梯形ABCD 中，1//, 1,902AD BC AD AB BC A ===∠=︒，在BCD △中，2,45BD BC DBC =∠=︒，由余弦定理得90BDC ∠=︒，∴BD CD ⊥. 又平面ABD ⊥平面BCD ,且平面ABD ⋂平面BCD BD =，故 CD ⊥平面ABD ，则 CD AB ⊥.又,AD AB CD AD D ⊥⋂=，∴AB ⊥平面ADC .又AB ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面ADC . 故选B.2.答案：D解析：∵在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，∴BD CD ⊥. 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BCD BD =，故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥.又AD AB ⊥，AD CD D =， AD ⊂平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，故AB ⊥平面ADC . 又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .3.答案：C解析：由题意,知PA ⊥平面ABCD ,BC ⊥平面PAB .AD ⊥平面PAB ,CD ⊥平面PAD ,故平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAB ⊥平面PBC ,平面PAB ⊥平面PAD ,平面PAD ⊥平面PCD ,共5对,故选C.4.答案：D解析：依题意, //MN AC ,又直线AC 与AB 相交,因此, MN 与AB 不平行;注意到AC BC ⊥,因此MN 与BC 所成的角是90; 注意到直线OC 与AC 不垂直,因此OC 与平面VAC 不垂直;由于BC AC ⊥,BC VA ⊥,因此BC ⊥平面VAC .又BC ⊂平面VBC ,所以平面VBC ⊥平面VAC .综上所述,故选D.5.答案：B解析：因为四边形ABCD 是棱形，AC BD ⊥∴，又PA ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥∴，又,PA AC A BD =⊥∩∴平面,PAC PC ⊂∵平面,PAC PC BD ⊥∴，要使平面MBD ⊥平面PCD ，只需BM PC ⊥或DM PC ⊥，故选B.6.答案：D解析：∵在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，∴BD CD ⊥．又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BCD BD =，故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥．又AD AB ⊥，AD CD D ＝， AD ⊂平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，故AB ⊥平面ADC ．又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC ．7.答案：B解析：如图所示，①中，连接EF ，则,E F 分别是,PA PD 的中点，所以,//EF AD AD BC =，所以//EF BC ，所以,,,E F B C 共面，所以直线BC 与直线CF 是共面直线，所以①是错误的；②因为E ∈平面,PAD AF ⊂平面,,PAD E AF B ∉∉平面PAD ，所以直线BE 与直线AF 是异面直线，所以是正确的；③由①知//EF BC ，因为EF ⊄平面,PBC BC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ，所以是正确的；④由于不能推出线面垂直，所以平面BCE ⊥平面PAD 是不成立的，综上只有②③是正确的，故选B.8.答案：B解析：根据线面垂直的判定定理得到结果.9.答案：,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥或,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥.解析：10.答案：0解析：()()()()0,1,11,1,010,0,1,11,0,110⋅==≠⋅⋅⋅==≠a b a c ,()()1,1,01,0,110⋅⋅==≠b c ,,,∴a b c 中任意两个都不垂直,即,,αβγ中任意两个都不垂直.11.答案：DM PC ⊥ （或BM PC ⊥）解析：连接AC ，BD ，则AC BD ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BD ⊥.又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD PC ⊥.∴当DM PC ⊥ （或BM PC ⊥）时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .12.答案：(1)如图，连接AE ，因为AB AD =，点E 为BD 的中点，所以AE BD ⊥. 又因为90BCD ∠=︒,所以CE BE =.而AB AC =，所以ABE ACE ≅.所以AE CE ⊥.因为BD CE E ⋂=，且, BD CE ⊂平面BCD ,AE ⊄平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD . 因为AE ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD .(2)如图，取CD 的中点H ，连接,FH GH ，因为F 是AD 的中点，所以FH AC ,所以GFH ∠就是异面直线AC 与FG 所成的角.过F 点在平面ABD 内作FM BD ⊥，垂足为M ，连接GM ，则M 为ED 的中点.由已知2AB AD BD ===可得AE =所以12FM AE ==.在BCD 中，90,602BCD DBC BD ∠=︒∠=︒=,，所以CD =.由F 是AD 的中点，M 为ED 的中点，而G 是CE 的中点，所以111222GM CD GH ED ====.在Rt FGM 中，FG ==由已知2AC =，所以112FH AC ==.所以在FGH 中，由余弦定理的推论得，222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠==⋅。
新人教高一数学必修2同步练习与单元测试第二章2.2.4
2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定 2．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥B ．②③⑥C ．②③⑤⑥D ．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”) (1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； (2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DEDF＝25，则AC ＝______.7.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．2011．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．答案1．A2．D3．B4．C5．(1)相似(2)全等6．157．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．8. 解 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ，证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ，①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O为BD 的中点，连接OE ，则BM ∥OE ，②由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ， ∴BF ∥平面AEC . 9．D 10．B 11．212．解 相交直线AA ′，BB ′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB 、A ′B ′，由面面平行的性质定理可得AB ∥A ′B ′.同理相交直线BB ′、CC ′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC 、B ′C ′，从而BC ∥B ′C ′.同理易证AC ∥A ′C ′.∴∠BAC 与∠B ′A ′C ′的两边对应平行且方向相反． ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′. ∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角分别相等，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∵AB ∥A ′B ′，AA ′∩BB ′＝O ， ∴在平面ABA ′B ′中，△AOB ∽△A ′OB ′. ∴A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝23.而S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×2×1＝1.∴S △A ′B ′C ′S △ABC＝(A ′B ′AB )2，∴S △A ′B ′C ′＝49S △ABC ＝49×1＝49.13．解 能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1，PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形，又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝BC 1＝22， ∴A 1H ＝ 3.∴S △A 1MN ＝12×22×3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.。
高中数学人教A版必修二课件：2.4平行与垂直综合问题
这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一
个平面，那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经 过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
线面垂直、面面垂直的综合问题 如右图所示，在四棱锥P－ ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱 PD＝a，PA＝PC＝a， (1)求证：PD⊥平面ABCD； (2)求证：平面PAC⊥平面PBD； (3)求证：二面角P－BC－D是45°的 二面角． 分析：由题目可获取以下主要信息：①ABCD是正方形， 边长为a；②PD＝a，PA＝PC＝a. 解答本题第(1)(2)问可先根据需证问题寻找相关元素， 再由判定定理进行判定．第(3)问可先找出二面的平面角， 再证明平面角等于45°.
证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝ 2 a， ∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD. (2)由(1)知PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
∴AC⊥平面PDB.
同时AC⊂平面PAC， ∴平面PAC⊥平面PBD.
点评：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定， 其中证明BN⊥平面ECA是关键．
1．已知平面α外不共线的三点A，B，C，且AB∥α， 则正确的结论是( ) D A．平面ABC必平行于α B．平面ABC必与α相交 C．平面ABC必不垂直于α D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 2．两个平面重合的条件是它们的公共部分有( D ) A．两个公共点 C．四个公共点 B．三个公共点 D．两条平行直线
3．对于任意的直线l与平面a相交，在平面a内不可能有 直线m，使m与l( A )
A．平行 B．相交
C．垂直
高一数学人教A版必修2同步课时作业2.2.4平面与平面平行的性质(有答案)
高一数学人教A 版必修2同步课时作业2.2.4平面与平面平行的性质一、选择题1.如图所示,正方体1111ABCD A B C D -中,①1DA 与1BC 平行;②1DA 与1BC 垂直;③11A B 与1BC 垂直.以上三个结论中,正确的序号是( )A.①②B.②③C.③D.①②③2.已知,αβ是两个不同平面, ,m n 是两不同直线,下列命题中的假命题是( ) A.若//,m n m α⊥,则n α⊥ B.若//,m n ααβ⋂=,则//m n C.若,m m αβ⊥⊥,则//αβ D.若,m m αβ⊥⊂,则αβ⊥3.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ,满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥,则下列结论一定正确的是( ) A. 14l l ⊥B. 14//l lC. 1l 与4l 既不垂直也不平行D. 1l 与4l 的位置关系不确定4.设a b ,为两条不重合的直线，,αβ为两个不重合的平面，下列说法中正确的是( ) A ．若a b ,与α所成的角相等，则//a b B ．若//a α，//b β，//αβ，则//a b C ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβ D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥5.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么( ) A ．//αβB ．α与β相交C ．α与β重合D ．//αβ或α与β相交6.设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．,αβ平行于同一条直线D ．,αβ垂直于同一平面7.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱 111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有( )A ．1BD GH ∥B ．BD EF ∥C ．平面EFGH ∥平面ABCD D ．平面EFGH ∥平面11A BCD8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点，则下列结论正确的是( )A. 1BC MN ⊥B. 1//B N CMC. 平面//ABN 平面11C MDD. 平面CDM ⊥平面1111A B C D二、填空题9.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为 ______________. 10.如图所示，P 是ABC △所在平面外一点，平面//α平面,ABC α分别交线段,,PA PB PC 于点,,A B C ''',若:3:4PA A A ''=,则:A B C ABC S S '''=△△ 。
2019学年高中数学必修二(人教A版)课时作业：19两条直线平行与垂直的判定(含解析)
课时作业19 两条直线平行与垂直的判定——基础巩固类——1．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．－45°D ．120°解析：由l 1⊥l 2及k 1＝tan45°＝1，知l 2的斜率k 2＝－1，∴l 2的倾斜角为135°.答案：B2．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l 1与斜率为－1的直线l 2平行，则实数x 的值为( )A ．0B ．－6C ．6D ．3解析：直线l 1的斜率k 1＝x －3－1－2＝3－x 3，由题意可知3－x 3＝－1，∴x ＝6.答案：C3．若点A(0,1)，B(3，4)在直线l 1上，l 1⊥l 2，则直线l 2的倾斜角为( )A ．－30°B ．30°C ．150°D ．120°解析：直线l 1的斜率为4－13－0＝3，l 1⊥l 2，故直线l 2的斜率为－33，则直线l 2的倾斜角为150°.答案：C4．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k BC ＝4－(－1)1－2＝－5，k AC ＝4－11－(－1)＝32，因为k AB ·k AC ＝－1，所以三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形． 答案：C5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ， k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直． 所以四边形ABCD 为平行四边形．故选B. 答案：B6．已知l 1的斜率是2，l 2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l 1∥l 2，则log 19x ＝________.解析：∵l 1∥l 2，∴6＋2x ＋1＝2，∴x ＝3.∴log 19 3＝－12.答案：－127．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D 在x 轴上，则当D 点的坐标为________时，AB ∥CD ；当D 点的坐标为________时，AB ⊥CD.解析：设D(a,0)．若AB ∥CD ，则有3－(－1)2－1＝0－(－2)a －(－1)，即41＝2a ＋1，所以a ＝－12，从而D 点的坐标为(－12，0)．若AB ⊥CD ，则有4×2a ＋1＝－1，所以a ＝－9，从而D 点的坐标为(－9,0)．答案：(－12，0) (－9,0)8．当m 为何值时，过两点A(1,1)，B(2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为3π4；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． 解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝－1，得m ＝－32或1. (2)由k AB ＝m －32m 2且－7－20－3＝3，∴m －32m 2＝－13，解得m ＝32或－3.(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或－1.9．已知中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1) 求点D 的坐标； (2)试判定是否为菱形？解：(1)设D(a ，b)，由，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.∴D(－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD.∴为菱形．——能力提升类——10．已知A(m,3)，B(2m ，m ＋4)，C(m ＋1,2)，D(1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A．1 B．0 C．0或2 D．0或1解析：当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当k AB＝k CD时，m＝1，此时AB∥CD.答案：D11．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为( )A．135°B．45°C．30°D．60°解析：k PQ＝a＋1－bb－1－a＝－1，k PQ·k l＝－1，∴l的斜率为1，倾斜角为45°.答案：B12．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．解析：由两点的斜率公式可得：k PQ＝3－a－b3－b－a＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.答案：－113．如右图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问如何在BC 上找到一点M ，使得两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直？解：如图所示，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系．由AD ＝5，AB ＝3，可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ，所以k AC ·k DM ＝－1，所以3－00－5·3－05－x＝－1，即x ＝165＝3.2，即BM ＝3.2 m 时，两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直．。
高一数学人教版A版必修二练习2.2.4 平面与平面平行的性质 Word版含解析
平面与平面平行的性质【课时目标】．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理．．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．．平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，．()符号表示为：⇒∥．()性质定理的作用：利用性质定理可证，也可用来作空间中的平行线．．面面平行的其他性质()两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于，即⇒，可用来证明线面平行；()夹在两个平行平面间的平行线段；()平行于同一平面的两个平面．一、选择题．下列说法正确的是()．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行．设平面α∥平面β，直线⊂α，点∈β，则在β内过点的所有直线中()．不一定存在与平行的直线．只有两条与平行的直线．存在无数条与平行的直线．存在惟一一条与平行的直线．如图所示，是三角形所在平面外一点，平面α∥平面，α分别交线段、、于′、′、′，若′∶′＝∶，则△′′′∶△等于()．∶．∶．∶．∶．α，β，γ为三个不重合的平面，，，为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是()①⇒∥; ②⇒∥；③⇒α∥β；④⇒α∥β；⑤⇒α∥; ⑥⇒∥α．．④⑥．②③⑥．②③⑤⑥．②③．设α∥β，∈α，∈β，是的中点，当、分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点()．不共面．当且仅当、分别在两条直线上移动时才共面．当且仅当、分别在两条给定的异面直线上移动时才共面．不论、如何移动，都共面．已知平面α∥平面β，是α，β外一点，过点的直线与α，β分别交于点，，过点的直线与α，β分别交于点，，且＝，＝，＝，则的长为()．．或．．二、填空题．分别在两个平行平面的两个三角形，()若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有关系；。
高一数学人教A版必修2课后训练：2-2-4平面与平面平行
2.2.4 平面与平面平行的性质练习1．平面α∥平面β，平面r ∩α＝m ，平面r ∩β＝n ，则m 与n 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能2．已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，平面α∩平面AC ＝EF ，平面α∩平面A ′C ′＝E ′F ′，则EF 与E ′F ′的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定3．平面α∥平面β，直线l ∥α，则( )A ．l ∥βB ．l βC ．l ∥β或l βD ．l ，β相交4．已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b αa ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a α，b αα∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b a ∥b5．(能力拔高题)四棱锥P -ABCD 的底面四边形的对边不平行，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个6．如图所示，平面四边形ABCD 所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD 在平面α内的平行投影A 1B 1C 1D 1是一个平行四边形，则四边形ABCD 的形状一定是__________．7．如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝3a ，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝__________.8．已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34.(1)若点S 在平面α，β之间，则SC ＝__________；(2)若点S 不在平面α，β之间，则SC ＝__________.9．如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′.若PA A A ''＝23，求A B C ABCS S '''∆∆的值．10．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?参考答案1. 答案：A2. 答案：A3. 答案：C4. 答案：D5. 答案：D6. 答案：平行四边形7.a 8. 答案：(1)16 (2)2729. 解：∵平面α∥平面ABC ，平面P AB ∩平面α＝A ′B ′，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB ．同理可证B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ．∴∠B ′A ′C ′＝∠BAC ，∠A ′B ′C ′＝∠ABC ，∠A ′C ′B ′＝∠ACB ，∴△A ′B ′C ′∽△ABC ．又∵P A ′∶A ′A ＝2∶3，∴P A ′∶P A ＝2∶5，∴A ′B ′∶AB ＝2∶5.∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝4∶25，即425A B C ABC S S '''∆∆=. 10. 解：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ，则PQ ∥AE.∵EC ＝2FB ＝2，∴PE BF ，∴四边形BPEF 为平行四边形，∴PB ∥EF .又AE 平面AEF ，EF 平面AEF ，PQ 平面AEF ，PB 平面AEF ，∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF .又PQ ∩PB ＝P ，∴平面PBQ ∥平面AEF .又BQ 平面PBQ ，∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，即点M 为AC 的中点时，BM ∥平面AEF .。
高一数学人教A版必修2课后练习2.2.4平面与平面平行的性质及解析
课后导练基础达标1如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线…( )A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内的两相交直线不相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交解析：设直线a∥平面α,过a作平面β使α∩β=b,则a∥b,由此可知,平面β内凡是与b平行的直线也都与a平行；凡是与b相交的直线都与a异面,从而可知A、B、C均错,只有D正确.答案：D2a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是( )A.平行B.异面C.相交D.平行或异面或相交解析：例如正方体ABCD-A′B′C′D′中取棱A′D′,B′C′, BC,AD的中点分别为E,F,G,H,则平面EFGH∥平面DCC′D′,AB,AA′,BB′与它们都平行,但AA′∥BB′,AA′∩AB=A,又AB∥面DCC′D′,CC′∥面EFGH,而AB与CC′异面,从而选择D.答案：D3在空间中,下列命题正确的是( )①平行于同一直线的两条直线平行②垂直于同一条直线的两条直线平行③平行于同一平面的两条直线平行④平行于同一条直线的两个平面平行A.①B.①③C.①④D.①②解析：由公理4知命题①正确；命题②中垂直于同一条直线的两线可平行,可相交也可异面；平行同一平面的两直线也可能平行、相交或异面,所以③错；而平行于同一直线的两个平面可相交,可平行,所以②③④错,只有①正确.答案：A4与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )A.都平行B.在这两个平面内C.都相交D.至少与其中一个平面平行解析：设平面α∩平面β=l,直线a∥l,①当a⊂β,时,a⊄α,l⊂α,∴a∥α,②当a⊂α时,同①可证a∥β,③当a⊄α,a⊄β时,因为l⊂α,l⊂β,a∥l,∴a∥β,a∥α,从而选D.答案：D5设有直线a、b,平面α、β,若a⊂α,b⊂β,α∥β,则直线a和b的位置关系是________.解析：∵α∥β,∴α与β无公共点,又∵a⊂α,b⊂β,∴a与b无公共点,因此a∥b或a,b异面.答案：平行或异面6设有不同的直线a、b、c和不同的平面α、β、γ,已知如下命题：①若a∥b,b∥c,则a∥c ②若α∥β,β∥γ,则α∥γ ③若a∥α,b∥α,则a∥b ④若α∥a,β∥a,则α∥β.其中正确命题的序号是___________-.解析：由公理4以及面面平行的判定知①②正确；若a∥α,b∥α,则a与b可能平行,可能相交,也可能异面；若a ∥α,a ∥β,则α∥β或α与β相交；所以③④错.答案：①②7若三个平面把空间分成六部分,那么这三个平面的位置关系是________.答案：两两相交且交于同一条直线或两个平面平行且与另一个面相交8已知:如图在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD 中,E,F 是PD 的三等分点,H 为PC 的中点.求证：①BE ∥平面ACF ；②BH ∥平面ACF.证明：①连BD,设BD∩AC=O ,连OF,∵F 为DE 的中点,O 为BD 中点,∴OF ∥BE,又OF ⊂面ACF,BE ⊄面ACF,∴BE ∥面ACF.②连HE,∵E 为PF 中点,H 为PC 中点,∴EH ∥FC,FC ⊂面ACFHE ⊄面ACF,∴HE ∥面ACF,又BE ∥面ACF,又BE ⊂面BHE,HE ⊂面BHE 且BE∩HE=E,∴面BHE ∥面ACF,又 BH ⊂面BHE,故BH ∥面ACF.综合应用9已知平面α∥β∥γ,两条直线l 、m 分别与α、β、γ相交于A 、B 、C 与D 、E 、F.已知AB ＝6,52=DF DE ,则AC ＝_____________. 解析：连结AF 交β于点H,∵α∥β∥γ,∴BH ∥CF,HF ∥AD, ∴DFDE AF AH AC AB ==, ∴526=AC , ∴AC=15.答案：1510如下图,在透明塑料制成的长方体形容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水,固定容器底面一边BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个命题：①水的部分始终是棱柱形 ②水面四边形EFGH 的面积不变 ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行 ④当容器倾斜到如图位置时,BE·BF 是定值.其中正确命题的序号是______________.解析：在倾斜过程中,容器内的水恒保持有两个面平行,其余面为平行四边形,由棱柱的定义和线面平行的判定及性质可知①与③正确；对于④由于水的体积和高BC 一定,所以BE·BF 是定值；只有②错.答案：①③④11已知:三棱柱ABC-A 1B 1C 1,E 、F 分别为AB,B 1C 1的中点.求证：EF ∥平面ACC 1A 1.证法一：如图,取A 1C 1中点H,连结FH,AH.∵F 为B 1C 1中点,∴HF 21A 1B 1. 又∵E 为AB 中点, ∴AE21A 1B 1,∴HF AE, ∴EF ∥AH,又∵AH ⊂平面ACC 1A 1,EF ⊄面ACC 1A 1,故EF ∥面ACC 1A 1.证法二：如图,取A 1B 1中点G,连结GF,GE,∵E,F 分别为AB,B 1C 1中点,∴GF ∥A 1C 1,GE ∥A 1A,∴平面GEF ∥面ACC 1A 1,又∵EF ⊂面GEF,故EF ∥平面ACC 1A 1.拓展探究12设平面α∥β,两条异面线段AC 和BD 分别在平面α、β内.设AC=6,BD=8,AB=CD=10,且AB 与CD 所成的角为60°,求AC 与BD 所成角的大小.解：连结AB,设AC与AB确定的平面为γ∩β=BE,∵α∥β,α∩γ=AC,∴AC∥BE,∴∠DBE或其补角为AC与BD所成的角,过C在γ内作CE∥AB交BE于点E,∴∠DCE=60°,知四边形ACEB为平行四边形,∴CE=AB=10,又CD=10,∴DE=10,又AC=BE=6,BD=8,∴DE2=BE2+BD2,∴∠DBE=90°.。
数学：必修2人教A同步训练试题及解析必修2全册同步检测：2-3-4
2-3-4平面与平面平行的性质一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则()A．m∥βB．m⊂βC．m⊥βD．m与β相交但不一定垂直2．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则()A．a⊂αB．a∥αC．a⊥αD．a⊂α或a∥α3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则()A．ME⊥平面AC B．ME⊂平面ACC．ME∥平面AC D．以上都有可能4．在空间中，下列命题正确的是()A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b5．(09·广东文)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行7．(09·浙江文)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β8．如图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面P AC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点 9．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:310．在正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是( ) A ．BC ∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC二、填空题11．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m的位置关系是________．12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过平面A1B上任一点P作PE⊥AB于E，则直线PE与平面AC所成的角等于________．13．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′的体积V＝________.14．如下图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB ＝60°，边长为a.侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.三、解答题15．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD.⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫CD ⊥AB AB ⊥AC ⇒AB ⊥平面ACD AB ⊂平面ABD ⇒平面ABD ⊥平面ACD . 16．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASC ＝90°，∠ASB ＝∠BSC ＝60°.求证：平面ASC ⊥平面ABC .17．(2012·全国新课标)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC ⊥平面BDC 1；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．[命题意图] 本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题．18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，F 是PB 的中点．求证：(1)DF⊥AP.(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．详解答案1[答案] C2[答案] D3[答案] A[解析]由于平面AB1⊥平面AC，平面AB1∩平面AC＝AB，ME⊥AB，ME⊂平面AB1，所以ME⊥平面AC.4[答案] D[解析]选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．5[答案] D6[答案] D[解析]当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A 错；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与平面BCC 1B 1及平面CDD 1C 1都平行，但平面BCC 1B 1与平面CDD 1C 1相交，故B 错；同样，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BCC 1B 1及平面CDD 1C 1都与平面ABCD 垂直，但此二平面相交，故C 错；由线面垂直的性质定理知D 正确．7[答案] C[解析] l ⊥α，α⊥β⇒l ∥β或l ⊂β，A 错；l ∥α，α∥β⇒l ∥β或l ⊂β，B 错；l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，C 正确；若l ∥α，α⊥β，则l 与β位置关系不确定，D 错．8[答案] D[解析] ∵平面P AC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面P AC ，∴AC ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC .∴∠ACB ＝90°.∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点． 9[答案] A[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB :A ′B ′＝2:1. 10[答案] C[解析] ∵D 、F 分别为AB 、CA 中点，∴DF ∥BC .∴BC∥平面PDF，故A正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面P AE，故B正确．又∵PO⊂面P AE，PO⊥平面ABC，∴面P AE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.11[答案]相交、平行、异面12[答案]90°[解析]∵平面A1B⊥平面AC，平面A1B∩平面AC＝AB，PE⊂平面A1B，PE⊥AB，∴PE⊥平面AC，∴PE与平面AC所成的角等于90°.13[答案] 4[解析]∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′，∴AA′⊥β，∴V＝13S△A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.14[答案] 45°[解析] 如图所示，取AD 的中点G ，连接PG ，BG ，BD.∵△P AD 是等边三角形，∴PG ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面AC ，平面P AD ∩平面AC ＝AD ，PG ⊂平面P AD ，∴PG ⊥平面AC ，∴∠PBG 是PB 与平面AC 所成的角θ. 在△PBG 中，PG ⊥BG ，BG ＝PG ，∴∠PBG ＝45°，即θ＝45°.15[证明] ⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫平面ABC ⊥平面BCD CD ⊥BC ⇒CD ⊥平面ABC AB ⊂平面ABC ⇒ 16[解析] 如图，设SA ＝SB ＝SC ＝a .∵∠ASC ＝90°，∠ASB ＝∠BSC ＝60°，∴AC ＝2a ，AB ＝BC ＝a ，则AB 2＋BC 2＝AC 2，∴∠ABC ＝90°.取AC 中点O ，连接SO 、BO .则SO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∠SOB 为二面角S －AC －B 的平面角．∵SO ＝OB ＝22a ，∴SO 2＋OB 2＝SB 2，∴∠SOB ＝90°，∴平面ASC ⊥平面ABC .17[解析] (1)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又∵DC 1⊂面ACC 1A 1，∴DC 1⊥BC ，由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，∴∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC ， 又∵DC ∩BC ＝C ，∴DC 1⊥平面BDC ，∵DC 1⊂平面BDC 1， ∴平面BDC ⊥平面BDC 1；(2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1，由题意得，V 1＝13×1＋22×1×1＝12，由三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，∴(V －V 1V 1＝，∴平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为18[证明] (1)取AB 的中点E ，则P A ∥EF .设PD ＝DC ＝a ，易求得DE ＝52a ，FE ＝12P A ＝22a ，DF ＝12PB ＝32a .由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF，又EF∥P A，∴DF⊥P A.(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．取AD的中点G，连接PG、BG，则PG＝BG.又F为AB的中点，故GF⊥PB.∵F为PB中点，∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，∴GO为GF在平面ABCD上的射影，∵GO⊥BC，∴GF⊥BC，∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，∴GF⊥平面PBC.11。
高一数学人教A版必修2课后导练：2.3.4平面与平面垂直的性质 Word版含解析
课后导练基础达标1已知直线l、m,平面α、β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α∥β,则l⊥m ②若l⊥m,则α∥β ③若α⊥β,则l∥m ④若l∥m,则α⊥βA.1个B.2个C.3个D.4个解析：若α∥β，∵l⊥α,∴l⊥β.又∵m⊂β,∴l⊥m，所以①正确.若l∥m,∵l⊥α,∴m⊥α.又m⊂β，∴α⊥β.所以④正确，而②③错误.答案：B2在下列关于直线m、l和平面α、β的命题中,真命题是（）A.若l⊂β,且α⊥β,则l⊥αB.若l⊥β,且α∥β,则l⊥αC.若l⊥β,且α⊥β,则l∥αD.若α∩β=m,且l∥m,则l∥α解析：A项中l与α可以平行或斜交，A项错.B项中，l⊥β且α∥β,∴l⊥α正确.C项中，l可在α内，C项错，D项中，l可在α内，D项错.答案：B3如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（）A.平行B.垂直相交C.异面且垂直D.相交但不垂直解析：∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC.又∵MC⊥面ABCD，∴MC⊥BD，∴BD⊥面MAC，∴BD⊥MA.答案：C4已知平面α、β、γ，则下列正确的是（）A.α⊥β,β⊥γ，则β∥γB.α∥β,β⊥γ，则α⊥γC.α∩β=a,β∩γ=b，则a⊥bD.α⊥β,α∩β=a，a⊥b，则b⊥α解析：如下，A项错，β与γ可平行，也可相交；B项正确.证明如下，设β∩γ=a，在γ内作直线l⊥α.∵β⊥γ,∴l⊥β.又α∥β,∴l⊥α.又l⊂γ,∴α⊥γ.C项显然错误，D项中缺少了b⊂β,∴D项错.答案：B5经过平面α外一点和α内一点与平面α垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个解析：当过这两点的直线l⊥α时，能作无数多个；当l与α斜交时，只能作一个.答案：D6对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个条件是（）A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,m⊥α,n⊥βD.m∥n,n⊥β,m⊂α解析：A项错，因为即使α∥β，也可以有符合m⊥n，且m∥α，n∥β的直线m、n存在；B 项错，因为二面角α-m-β无论是否为90°，均可找到符合题意的图形；C项错，因为m∥n 且m⊥α时，有n⊥α，又由n⊥β得α∥β，不会得到α⊥β.答案：D7在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过A、C、D的平面与过D、B1、B的平面的位置关系是（）A.相交但不垂直 B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行解析：∵过A、C、D的平面即平面ABCD，过D、B1、B的平面即平面D1DBB1，又∵正方体中，B1B⊥平面ABCD，∴可得平面B1BDD1⊥面ABCD，故选C.答案：C8如图，P为△ABC所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点.求证：PC⊥AB.证明：∵AP=AC，BP=BC，D为PC中点.∴PC⊥AD，PC⊥BD.又∵AD∩BD=D，∴PC⊥平面ABD.又∵AB⊂平面ABD，故PC⊥AB.综合运用9设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是…（）①若m⊥α,n∥α，则m⊥n ②若α∥β,β∥γ,m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α,n∥α，则m∥n ④若α⊥γ,β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③.③④ D.①④解析：①正确.过n作平面γ作平面γ∩α=a，∵n∥α,∴n∥a,又m⊥α，a⊂α，∴m⊥a,∴m⊥n.②正确.∵m⊥α，α∥β，∴m⊥β.又∵β∥γ，∴m⊥γ.③错.m与n可能平行、相交或异面.④错.α∥β或α与β相交.答案：A10空间四边形SABC 中，SO ⊥平面ABC,O 为△ABC 的垂心. 求证：平面SOC ⊥平面SAB.证明：连结OC ，∵O 为△ABC 的垂心， ∴OC ⊥AB.又∵SO ⊥面ABC.AB ⊂面ABC ，∴SO ⊥AB. ∴AB ⊥面SOC ， 又AB ⊂面SAB.故平面SOC ⊥平面ABC.11如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上.已知：∠BAC 在平面α内，点P ∉α，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥α，垂足分别为E 、F 、O ，且PE=PF.求证：∠BAO=∠CAO. 证明：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎩⎨⎧⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥⊥=⇒⎭⎬⎫⊥=AC OF AB OE AC PF AB PE PO OF OE PO PF PE αα∠BAO=∠CAO.拓展探究12(2006全国Ⅱ，7(理))如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α,β所成的角分别为4π和6π.过A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A′,B′,则AB ∶A′B′等于()A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3解析：连结AB′,BA′,则∠ABA′=6π, ∠BAB′=4π. 在Rt △ABB′中,22='AB B A ,AB′=22AB.在Rt △AA′B 中,21='AB A A ,AA′=21AB. ∴在Rt △AA′B′中,A′B′=21AB.∴选A. 答案：A(文)如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α,β所成的角分别为4π和6π.过A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A′,B′,若AB=12,则A′B′等于( ) A.4 B.6 C.8 D.9解析:连结AB′,BA′,则∠ABA′=6π, ∠BAB′=4π.在Rt △ABB′中,∵AB=12,∴AB′=26.在Rt △AA′B 中,∵AB=12,∴AA′=6. ∴在Rt △AA′B′中,A′B′=6. ∴选B. 答案：B。
人教版数学高一-必修二(人教A)练习 两条直线平行与垂直的判定
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．已知下列说法：①若直线l 1与l 2的斜率相等，则l 1∥l 2； ②若直线l 1∥l 2，则两直线的斜率相等； ③若直线l 1，l 2的斜率均不存在，则l 1∥l 2； ④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤如果直线l 1，l 2平行，且l 1的斜率不存在，那么l 2的斜率也不存在． 其中说法正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知直线l 1⊥l 2，若直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．－45° D ．120°3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)，且与经过点(－2，1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32C.23D.324．已知直线l 1过点A (－1，1)，B (－2，－1)，直线l 2过点C (1，0)，D (0，a )．若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．－2B ．－58C ．0 D.125．若过点A (2，－2)，B (5，0)的直线与过点P (2m ，1)，Q (－1，－m )的直线垂直，则实数m 的值为( )A.58 B ．－58C ．－14 D.146．下列说法正确的个数有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知坐标平面内三点A (5，－1)，B (1，1)，C (2，3)，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．以点A (1，3)，B (－5，1)为端点的线段的垂直平分线的斜率为________．9．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝⎛⎭⎫4a ，1，直线l 2经过点M (1，1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．10．已知坐标平面内A (1，－1)，B (2，2)，C (3，0)三点，若点D 使直线BC ∥AD ，直线AB ⊥CD ，则点D 的坐标是________．11．已知直线l 1经过点A (1，－2)和B (3，2)，直线l 2经过点C (4，5)和D (a ，－7)．若l 1∥l 2，则a ＝____________；若l 1⊥l 2，则a ＝____________.三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系：(1)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)； (2)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点M (－1，3)，N (2，0)．13．(13分)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．14．(5分)已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．15．(15分)已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．(1)求点D的坐标；(2)试判定▱ABCD是否为菱形．3．1.2 两条直线平行与垂直的判定1．B [解析]2．B [解析] 如图所示，易知直线l 2的倾斜角为135°.3．A [解析] 由直线l 与经过点(－2，1)，且斜率为－23的直线垂直，可知a －2≠－a －2.∴k l ＝1－（－1）－a －2－（a －2）＝－1a ，∴－1a ·⎝⎛⎭⎫－23＝－1，∴a ＝－23. 4．A [解析] 由已知得k 2＝a －00－1＝－a ，k 1＝－1－1－2－（－1）＝2，∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，解得a ＝－2.5．B [解析] 由题知AB 的斜率存在且不为0，则k AB ·k PQ ＝－1， 即0－（－2）5－2×－m －1－1－2m＝－1，解得m ＝－58.6．A [解析] 若k 1＝k 2，则两直线平行或重合，所以①不正确；当两条直线垂直于x 轴且不重合时，两直线平行，但斜率不存在，所以②不正确，④正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则这两条直线垂直，所以③不正确．7．A [解析] 由题意可知k AB ＝－1－15－1＝－12，k BC ＝3－12－1＝2，k AC ＝－1－35－2＝－43.因为k AB ·k BC ＝－12×2＝－1，所以AB ⊥BC ，所以△ABC 为直角三角形．8．－3 [解析] 因为k AB ＝1－3－5－1＝13，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为－3.9．6 [解析] 由题意得，l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，∵k 1＝a 2，k 2＝3，∴a2＝3，∴a ＝6.10．(0，1) [解析] 设D 点坐标为(x ，y )，由BC ∥AD ，得2－02－3＝y ＋1x －1①，由AB ⊥CD ，得2＋12－1×yx －3＝－1②，∴由①②解得x ＝0，y ＝1，故D 点坐标为(0，1)．11．－2 28 [解析] l 1的斜率k 1＝2＋23－1＝2.当l 1∥l 2时，l 2的斜率k 2＝－7－5a －4＝－12a －4＝2，解得a ＝－2；当l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，即－12a －4×2＝－1，解得a ＝28. 12．解：(1)∵直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，∴l 1⊥l 2.(2)∵直线l 1的斜率k 1＝0－11－0＝－1，直线l 2的斜率k 2＝0－32－（－1）＝－1，∴k 1＝k 2.又易知l 1，l 2经过x 轴上的不同两点，∴l 1∥l 2.13．解：∵直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，且2≠－1，∴l 2的斜率存在，设为k 2. 当k 2＝0时，l 1的斜率不存在，即a －2＝3，则a ＝5； 当k 2≠0时，即a ≠5，此时l 1的斜率k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6.14．1或0 [解析] 由题可知直线l 1的斜率k 1存在，且k 1＝3a －01－（－2）＝a .当a ≠0时，直线l 2的斜率k 2＝－2a －（－1）a －0＝1－2aa ，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即a ×1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，因为P (0，－1)，Q (0，0)，所以这时直线l 2为y 轴，因为A (－2，0)，B (1，0)，所以这时直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0.15．解：(1)设D 点坐标为(a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6，∴D 点坐标为(－1，6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD ，∴▱ABCD 为菱形．。
人教A版高中数学必修二导练课时作业：2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.4 平面与平面平行的性质选题明细表知识点、方法题号面面平行的性质1,4,7面面平行性质的应用8,11综合应用2,3,5,6,9,10基础巩固1.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是( A )(A)平行(B)相交(C)异面(D)不确定解析:由面面平行的性质定理可知选项A正确.故选A.2.若不在同一直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,则( B )(A)平面α∥平面ABC(B)△ABC中至少有一边平行于平面α(C)△ABC中至多有两边平行于α(D)△ABC中只可能有一边与平面α相交解析:若三点在平面α的同侧,则平面α∥平面ABC,有三边平行于α.若一点在平面α的一侧,另两点在平面α的另一侧,则有两边与平面α相交,有一边平行于α,故△ABC中至少有一边平行于平面α.故选B.3.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当点A,B分别在平面α,β内运动时,动点C( D )(A)不共面(B)当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面(C)当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面(D)无论点A,B如何移动都共面解析:无论点A,B如何移动,点C到α,β的距离都相等,故点C在到α,β距离相等且与两平面都平行的平面上.故选D.4.过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.解析:由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1,平面ABCD∩平面A1C1B=l,所以l∥A1C1.答案:平行5.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为.解析:因为平面α∥平面BC1E,所以A 1F BE,所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E,所以FA=B1E=1.答案:16.如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=,求证:MN∥平面SBC.证明:在AB上取一点P,使=,连接MP,NP,则MP∥SB.因为SB⊂平面SBC,MP⊄平面SBC,所以MP∥平面SBC.又=,所以=,所以NP∥AD.因为AD∥BC,所以NP∥BC.又BC⊂平面SBC,NP⊄平面SBC,所以NP∥平面SBC.又MP∩NP=P,所以平面MNP∥平面SBC,而MN⊂平面MNP,所以MN∥平面SBC.能力提升7.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,下列推理正确的是( D )(A)α∩β=a,b⊂α⇒a∥b(B)α∩β=a,a∥b⇒b∥α,且b∥β(C)a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β(D)α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b解析:A项中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交;B项中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α,且b∥β,也可能b在平面α或β内;C项中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,若再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β;D项为面面平行的性质定理的符号语言,正确.8.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB= DE,DG=2EF,则( A )(A)BF∥平面ACGD(B)CF∥平面ABED(C)BC∥FG(D)平面ABED∥平面CGF解析:取DG的中点为M,连接AM,FM,如图所示.则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形.所以DE FM.因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,所以AB∥DE,所以AB∥FM.又AB=DE,所以AB=FM,所以四边形ABFM是平行四边形,即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD,所以BF∥平面ACGD.故选A.9.如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分别在α,β内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在α,β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC = 90°, OA∶OA′=3∶2,则△A′B′C′的面积为.解析:由题意可知,AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,所以△ABC∽△A′B′C′,且==.=()2,因为S△ABC=AB·AC=1,所以S△A′B′C′=.答案:10.如图所示,过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1作一截面分别交棱AA1,CC1于点M,Q,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,若截面BQD1M∥平面PAO,求的值.解:因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C,平面BQD1M∩平面ADD1A1=D1M,平面BQD1M∩平面BCC1B1=BQ,所以D1M∥BQ.因为平面BQD1M∥平面PAO,PA⊂平面PAO,所以PA∥平面BQD1M,又因为AP⊂平面ADD1A1,平面ADD1A1∩平面BQD1M=D1M,所以AP∥D1M,又因为D1M∥BQ,所以AP∥BQ.又因为点P为DD1中点,所以点Q为CC1的中点,所以=1.探究创新11.如图所示:ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?证明你的结论.解:当点E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.证明如下:如图,取BB1的中点F,AB的中点E.连接EF,FD,DE,因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,所以EF∥AB1,因为AB1⊂平面AB1C1,EF⊄平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1. 因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1. 因为DE⊂平面EFD.所以DE∥平面AB1C1.由Ruize收集整理。
高一数学人教A版必修2课后导练：234平面与平面垂直的性质含答案.doc
课后导练基础达标1已知直线1、m,平面（I、卩，且1丄a,mu卩,给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）①若a〃卩,则1丄m ②若1丄m,则a〃卩③若a丄|3,则l〃m ④若l〃m,则a丄卩A」个 B.2个 C.3个 D.4个解析：若a〃卩，Vl±a,/.l±p.又・・・mup,・・・l丄m,所以①正确.若1〃m,Tl丄a,/.m丄a.又mu卩，.•.a丄卩.所以④正确，而②③错误.答案：B2在下列关于直线m、1和平面a、卩的命题中，真命题是（）A.若1U卩，且a丄卩，则1丄aB.若1丄卩，且a〃卩，则1丄aC.若1丄卩，且a丄卩，则l〃aD.若anp=m,且1/7m,KO 1/7a解析：A项中1与a可以平行或斜交，A项错.B项中，1丄卩且a〃卩,・・・1丄a正确.C项中，1可在a内，C项错，D项中，1可在a内，D项错.答案：B3如图，如果MC丄菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（）A.平行B.垂直相交C.异面且垂直D.相交但不垂直解析：V aABCD为菱形，ABD丄AC.又VMC丄面ABCD, ・・・MC丄BD,・・・BD丄面MAC, ABD丄MA.答案：C4己知平面a、卩、丫，则下列正确的是（）A.a丄p,p±y,则卩〃丫B.a〃卩，卩丄丫，则a丄丫C.arip=a,3Ay=b> 则a丄bD.a丄p,anp=a, a丄b,则b丄a解析：如下，A项错，［3与丫可平行，也可相交；B项正确. 证明如下，设pAy=a,在丫内作直线1丄a.•邙丄丫,・・・1丄卩.又a 〃卩,・：1丄a.又ley,/.a丄Y・C项显然错误，D项中缺少了bu|3,・・・D项错.答案：B5经过平面a外一点和a内一点与平面a垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个解析：当过这两点的直线1丄a 时，能作无数多个；当1与a 斜交时，只能作一个.答案：D6对于直线m 、n 和平面a 、卩，a 丄卩的一个条件是（ ）C. m 〃 n,m 丄 a,n 丄 pD. m 〃n,n 丄卩,mu a解析：A 项错，因为即使a 〃卩，也可以有符合m 丄n,且口〃* n 〃卩的直线m 、n 存在；B 项错，因为二面角a-m-p 无论是否为90。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．4 平行与垂直综合问题
自测自评
1．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则(D)
A．n⊥βB．n∥β或n⊂β
C．n⊥αD．n∥α或n⊂α
解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，结合图形知，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D准确．
2．若三个平面α，β，γ，之间有α∥γ，β⊥γ，则α与β(A) A．垂直B．平行
C．相交D．以上三种可能都有
3．对于任意的直线l与平面α相交，在平面α内不可能有直线m，使m与l(A)
A．平行B．相交
C．垂直D．互为异面直线
4．给出以下四个命题，其中真命题有①②④(填序号)．
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
基础达标
1．已知平面α外不共线的三点A，B，C，且AB∥α，则准确的结论是(D)
A．平面ABC必平行于α
B．平面ABC必与α相交
C．平面ABC必不垂直于α
D．存有△ABC的一条中位线平行于α或在α内2．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A且与l，α都成30°角的直线有且只有(B)
A．1条B．2条
C．3条D．4条
解析：如图所示
与α成30°
角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°时，直线AC，AB都满足条件，故选B.
3.下列命题中，准确的是(C)
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
4．用α表示一个平面，l 表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l(D )
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．垂直
5．若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，准确的个数为(C )
①
⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n ④
⎭
⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
6．设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中准确的是
(B )
A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β
B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β
C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥β
D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β
7．如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是(C )
A ．{2}
B ．{255}
C ．{t|2≤t ≤22}
D ．{t|25
5≤t ≤2} 解析：取CC 1，C 1D 1的中点G ，H ，连接B 1G ，B 1H ，GH ，则平面B 1GH ∥平面A 1BE ，所以满足题意的点F 在GH 上移动．则B 1G 与平面CDD 1C 1所成角的正切值最小且最小值为2，设GH 的中点为M ，则B 1M 与平面CDD 1C 1所成角的正切值最大且最大值为22，故选C .
8．设l ，m ，n 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中准确的个数是(B )
①若l ⊥α，m ∥β，α⊥β，则l ⊥m ；
②若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α；
③若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α；
④若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则l ∥n.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：对于①，直线l ，m 可能互相平行，①不准确；对于②，直线m ，n 可能是平行直线，此时不能得知l ⊥α，②不准确；对于③，由定理“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”得知，③准确；对于④，由l ∥m ，m ⊥α得l ⊥α，由n ⊥β，α∥β得n ⊥α，所以有l ∥n ，④准确．综上所述，其中命题准确的个数是2，故选B . 巩固提升
9．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误的命题是(D )
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH的延长线经过点C1
C．AH垂直平面CB1D1
D．直线AH和BB1所成角为45°
10．如右图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，EB＝BC，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：
(1)AE⊥平面BCE;
(2)AE∥平面BFD.
证明：(1)因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，又AD⊥平面ABE，所以BC⊥平面ABE，所以BC⊥AE，因为BC与BF相交，所以AE⊥平面BCE.
(2)连接AC交BD于G，连接FG，因为EB＝BC，所以F是EC 中点，
所以AE∥FG，又AE⊄平面BFD，
所以AE∥平面BFD.
11．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的各条棱均相等，AA1⊥平面ABC，D是BC上一点，AD⊥C1D.求证：
(1)A1B∥面ADC1；
(2)面ADC1⊥面BCC1B1.
证明：(1)连接A1C交AC1于O，则O为A1C的中点，
∵B1B⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴B1B⊥AD，又∵AD⊥C1D，B1B与C1D是平面BCC1B1内的两条相交线，
∴AD⊥平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是正三角形，
∴D为BC中点，连接OD，在△A1BC中，OD∥A1B，OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1.
(2)∵AD⊥C1D，又AD⊥C1C，C1D与C1C相交，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1.
12．如下图所示，△PAD是正三角形，ABCD是正方形，E，F 分别为PC，BD中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：平面PAD⊥平面PCD.
证明：(1)取PD中点G，AD中点O，连接EG，GO，OF.
∵E、F分别是PC、BD中点，
∴GE綊1
2DC，OF綊1
2AB，又∵AB綊CD，
∴GE綊OF，
∴EFOG是平行四边形，
∴EF∥GO，又EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD.
∵CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD.
1．立体几何证明问题书写是一个难点，应该反复练习才能够熟练，必要时可做几个样题．
2．结论为垂直的命题可将a∥α视为a⊂α，α∥β视为α和β是同一个平面；判断a∥α时特别留意a是否在平面α外．。