高中 广西桂林市高一(上)期末数学试卷
广西桂林市2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题
．．．．y∈，且x+
R
（1）求a，b的值，并作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂黑）（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数（中位数精确到（3）现从第4，5组中用按比例分层抽样的方法抽取
进行调研《红楼梦》的阅读情况，求抽取的2
所以23a +≤，解得1a ≤；综上可得11a -<≤.故选：A 13．BC
【分析】根据不等式的基本性质，结合对数函数的单调性，即可容易判断和选择【详解】对A ：因为a b >
由图可知，()f x 的最大值为1，即易知()f x 在区间()1,+∞上单调递减，即结合图像可知()0f x ≥的解集代表的是函数图象在即[]2,2x ∈-，
（2）该组数据的平均数的估计值为：x=⨯+⨯+⨯+
2.50.057.50.3512.50.317.5 10至15之间，设中位数为x，。
2023届广西桂林市逸仙中学高一数学第一学期期末含解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．幂函数 图象经过点 ，则 的值为（）
A. B.
C. D.
2．若 是钝角，则 是（）
A.第一象限角B.第二象限角
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
22．化简下列各式：
（1） ；
（2） .
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、D
【解析】设 ，由点 幂函数上求出参数n，即可得函数解析式，进而求 .
【详解】设 ，又 在图象上，则 ，可得 ，
所以 ，则 .
（1）求k的值；
（2）经验表明，温度为 的该红茶水放在 的空气中自然冷却至 时饮用，可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感?
（结果精确到 ，附：参考值 ）
21．在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， 面 ， ， ， 分别为 ， 的中点
（Ⅰ）求证： 面 ；
（Ⅱ）求点 到面 的距离
【解析】（1）根据平均数计算公式得 ，解得丢失 数据；（2）根据公式求 ，再根据 求 ；（3）根据线性回归方程求估计数据，并与实际数据比较误差，确定结论.
广西桂林市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
广西桂林市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,1,2}，则( )A. 0∈AB. 1∉AC. 2=AD. 3∈A2. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的棱所在的直线中，与直线BC 1异面的直线的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数f(x)=√3−2x x+2的定义域为( ) A. (−∞ ,32]B. (−∞ , 32) C. (−∞ ,−2)⋃(−2,32] D. (−∞ ,−2)⋃(−2,32) 4. 过A(√3,1),B(3,√3)两点的直线的倾斜角为( )A. π6B. π4C. π3D. 5π12 5. 对于集合A ={x|0≤x ≤2}，B ={y|0≤y ≤3}，则由下列图形给出的对应f 中，能构成从A到B 的函数的是( )A. B.C. D.6. 函数f(x)=x 3+x 的奇偶性是( )A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶D. 无法判断7. 如图三棱锥，则该三棱锥的俯视图是( )A. B. C. D.8. 已知函数f(x)=lnx +2x −6的零点位于区间(m −1,m ),m ∈Z 内，则271m +log 9m =( ) A. 103 B. 5 C. 11 D. 729. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a10. 为了得到函数y =sin(x +14)的图象，只需把y =sinx 图象上所有的点( )A. 向左平移14个单位 B. 向右平移14个单位C. 向左平移π4个单位 D. 向右平移π4个单位11. 设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的是( )A. 若m ⊂α，n ⊂α，且m//β，n//β，则α//βB. 若m//α，m//n ，则n//αC. 若m//α，n//α，则m//nD. 若m ，n 为两条异面直线，且m//α，n//α，m//β，n//β，则α//β12. 设函数f(x)=lg |x |−1x 2+1，则使得f(log 5m)≥0成立的m 的取值范围是( )．A. [15,5] B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若f(x)={x 2+1 (x ≤0)f(x −1) (x >0)，则f (52)=__________． 14. 直线x −2y +1=0与2x −4y +7=0之间的距离为______ ．15. 已知lg 9=a ，10b =5，则用a ，b 表示log 3645为_________．16. 边长为2的等边△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在以O 为球心的球面上，若球O 的表面积为148π3，则三棱锥O −ABC 的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 求经过两条直线2x −3y +10=0和3x +4y −2=0的交点，且垂直于直线3x −2y +4=0的直线方程．18. 已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|k <x <2−k}．(Ⅰ)当k =−1时，求A ∪B ；(Ⅱ)若A ∩B =B ，求实数k 的取值范围．19. 已知函数f(x)=x 2−1，证明函数f(x)在(−∞,0)的单调性．20.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知点D为棱BC中点．(1)如果AB=AC，求证：平面ADC1⊥平面BB1C1C；(2)求证：A1B//平面平面AC1D．21.因发生交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一池塘中，为了治理污染，根据环保部门的建议，现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放a(1≤a≤4)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系近似为y=a·f(x)，其中f(x)={168−x−1(0≤x≤4)5−12x(4<x≤10).若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值．22.已知函数f(x)=1．4x+1(1)若函数g(x)=f(x)+a是奇函数，求实数a的值；(2)若关于x的方程f(2x2−2tx)+f(−x2−3+2t)=1在区间(0,2)上有解，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了元素与集合的关系，由集合A ={0,1,2}，故可得答案．解：因为A ={0,1,2}，故可得0∈A 是正确的，故选A ．2.答案：C解析：本题考查异面直线的判断，属于基础题．在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的棱所在的直线中，与直线BC 1异面的直线有：A 1B 1，AC ，AA 1． 解：在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的棱所在的直线中，与直线BC 1异面的直线有：A 1B 1，AC ，AA 1，共3条．故选C ．3.答案：C解析：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．解：由{3−2x ≥0x +2≠0，解得x ≤32且x ≠−2． ∴函数f(x)=√3−2x x+2的定义域是(−∞ ,−2)⋃(−2,32]． 故选C ． 4.答案：A解析：本题考查由两点坐标求直线的斜率，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题．由两点坐标求直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解．解：过A(√3,1),B(3,√3)两点的直线的斜率k =√3−13−√3=√33， 设过A(√3,1),B(3,√3)两点的直线的倾斜角为θ(0≤θ<π)， 则tanθ=√33，∴θ=π6． 故选：A ．5.答案：D解析：本题考查函数的基本概念及函数图象，属于基础题．直接根据函数的定义，逐个分析各选项便可得出结果．解：根据函数的定义，逐个分析各选项：对于A ：不能构成，因为集合A 中有一部分元素(靠近x =2)并没有函数值，所以不符合函数定义； 对于B ：不能构成，因为集合A 中的存在元素(如x =1)与集合B 中的两个元素对应，不符合函数定义；对于C ：不能构成，因为集合A 中的存在元素(如x =1)与集合B 中的两个元素对应，不符合函数定义；对于D ：能够构成，因为集合A 中的每个元素都只与集合B 中某一个元素对应，符合函数定义． 故选D ．6.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性，属于基础题．根据函数奇偶性的定义进行判断，注意定义域是否关于原点对称．解：f(x)=x 3+x 的定义域为R ，关于原点对称．又f(−x)=(−x)3+(−x)=−x 3−x =−(x 3+x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数．故选B ．7.答案：D解析：解：点A 在底面的投影为点A 正下方的正方体的顶点A′．故棱锥的俯视图为等腰直角三角形A′BC ，其中棱BD 被侧面ABC 挡住，故需画成虚线． 故选：D ．找出A 在底面的投影，得出俯视图形状．本题考查了简单几何体的三视图的定义，属于基础题．8.答案：D解析：本题考查了函数零点与方程的根的关系，以及指数式和对数式的运算．解：∵f (2)=ln2−2<0,f (3)=ln3>0，∴f(x)=lnx +2x −6存在零点x 0∈(2,3)，∵f(x)=lnx +2x −6在定义域(0,+∞)上单调递增，∴f (x )的存在唯一的零点在2，3)内，依题意，则整数m =3，∴271m +log 9m =2713+log 93=3+12=72．故选D ．9.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ．故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：A解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．把函数y =sinx 的图象向左平移14个单位长度，可得结果．解：由三角函数图像变换的规则可知：把函数y =sinx 的图象向左平移14个单位长度，可得y =sin(x +14)的图象，，故选A ．11.答案：D解析：本题考查了空间线面位置关系的判定与性质，属于中档题．根据空间线面位置关系的定义、性质和判定定理进行判断．解：对于A ，如m//n ，则α与β可能相交，可能平行，故A 错误；对于B ，若n ⊂α，显然结论错误，故B 错误．对于C ，若m//α，n//α，则m ，n 可能平行，可能相交，也可能是异面直线，故C 错误; 对于D ，假设α与β相交，交线为l ，∵m//α，m//β，则m//l ，同理可得n//l ，∴m//n ，与m ，n 为异面直线矛盾，故假设错误，∴α//β，故D 正确；故答案为D ．12.答案：B解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解：易知函数f(x)=lg |x |−1x 2+1为偶函数，当x ≥0时，， 可知f(x)=lg |x |−1x 2+1在[0,+∞)单调递增，f(log 5m)≥0，即，等价为|log 5m|≥1，即log 5m ≥1，或log 5m ≤−1 解得：m ≥5，或0<m ≤15， 所求x 的取值范围是． 故选B ． 13.答案：54解析：此题考查分段函数求函数值，属于基础题目．关键是由已知得出f (52)=f (−12)，代入x ≤0时解析式可得．解：f(x)={x 2+1 (x ≤0)f(x −1) (x >0)， 则f (52)=f (32)=f (12)=f (−12)=(−12)2+1=54． 故答案为54．14.答案：√52解析：解：∵2×2−1×4=0，∴已知两直线平行，化直线x −2y +1=0为2x −4y +2=0，由距离公式可得d =22=√52．故答案为：√52． 先判断两直线平行，然后代入平行线间的距离公式计算可得．本题考查两平行线间的距离公式，涉及直线平行的判定，属中档题．15.答案：b+a 2−2b+a解析：本题考查了对数式与指数式的互化、对数的换底公式、lg2+lg5=1，考查了计算能力，属于基础题．利用对数式与指数式的互化、对数的换底公式、lg2+lg5=1即可得出．解：∵lg9=a ，10b =5，∴b =lg5，∴log 3645=lg5+lg92lg2+lg9=b+a 2(1−b)+a ，故答案为b+a 2−2b+a ．16.答案：√333解析：本题考查球的内接体，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题． 求出球的半径，然后求解三棱锥的高，即可求三棱锥的体积．解：球O 的表面积为148π3，可得：4πR 2=148π3，球的半径为：R =√373.三棱锥的高为：h ，则ℎ2=R 2−(23×2×√32)2=11． 则三棱锥O −ABC 的体积为：V O−ABC =13×√34×22×√11=√333． 故答案为：√333． 17.答案：解：联立{2x −3y +10=03x +4y −2=0，解得{x =−2y =2，即所求直线过点(−2,2)，又直线3x −2y +4=0的斜率为32，故所求直线的斜率k =−23，由点斜式可得y −2=−23(x +2)，化为一般式可得：2x +3y −2=0，故所求直线的方程为：2x+3y−2=0．解析：联立方程可得交点，由垂直关系可得直线的斜率，由点斜式可写方程，化为一般式即可．本题考查直线交点的求解，以及互相垂直的直线的斜率的关系，属基础题．18.答案：解：(Ⅰ)当k=−1时，B={x|−1<x<3}，则A∪B={x|−1<x<3}，.……………………(4分)(Ⅱ)∵A∩B=B，则B⊆A.………………………………………………………………(5分)(1)当B=⌀时，k≥2−k，解得k≥1；……………………………………………(8分)(2)当B≠⌀时，由B⊆A得{k<2−kk≥−12−k≤2，即{k<1k≥−1k≥0，解得0≤k≤1.………(11分)综上，k≥0.……………………………………………………………………………(12分)解析：(Ⅰ)直接根据并集的定义即可求出(2)由A∩B=B，得B⊆A，由此能求出实数k的取值范围．本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.答案：证明：设x1<x2<0，则f(x1)−f(x2)=x12−1−x22+1=x12−x22=(x1+x2)(x1−x2)，∵x1<x2<0，∴x1+x2<0，x1−x2<0，即f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(−∞,0)的单调递减．解析：根据函数单调性的定义即可得到结论．本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用单调性的定义是解决本题的关键．20.答案：证明：(1)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD，因为AB=AC，D为BC中点，所以BC⊥AD，因为CC1∩BC=C，CC1⊂平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，所以AD⊥平面B1BCC1．因为AD⊂平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BB1C1C；(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC−A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．又D为BC中点，所以OD为ΔA1BC的中位线，所以A1B//OD，因为A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D，所以A1B//平面AC1D.解析：本题考查面面垂直的判定，考查线面平行的判定，掌握面面垂直、线面平行的判定定理是关键，属于中档题．(1)利用线面垂直的判定，证明CC1⊥AD，BC⊥AD，即可证明AD⊥平面BB1C1C，又AD⊂平面ADC1，则可证明平面ADC1⊥平面BB1C1C；(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD，利用OD为ΔA1BC的中位线，可得A1B//OD，利用线面平行的判定，可证A1B//平面平面AC1D．21.答案：解：(1)因为a=4，所以y={648−x −4(0≤x≤4)20−2x(4<x≤10)；则当0≤x≤4时，由648−x−4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4，当4<x≤10时，由20−2x≥4，解得x≤8，所以此时4<x≤8；综合，得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天．(2)当6≤x≤10时，y=2×(5−12x)+a(168−(x−6)−1)=10−x+16a14−x−a=(14−x)+16a14−x−a−4，因为，14−x∈[4,8]，而1≤a≤4，所以，4√a∈[4,8]，由基本不等式得，当且仅当14−x=4√a时，y有最小值为8√a−a−4；令8√a−a−4≥4，解得24−16√2≤a≤4，所以a的最小值为24−16√2≈1.37．解析：本题考查了分段函数模型的应用以及基本不等式的应用问题，解题时应分区间考虑函数的解析式，属于中档题．(1)由a=4，得y=a⋅f(x)，即y={648−x −4(0≤x≤4)20−2x(4<x≤10)；令y≥4，解得x的取值范围．(2)要使接下来的4天中能够持续有效治污，即当6≤x≤10时，y=2×(5−12x)+a(168−(x−6)−1)≥4恒成立，求y的最小值，令其8√a−a−4≥4，解出a的最小值．22.答案：解：(1)g(x)=f(x)+a=14x+1+a，函数y=g(x)的定义域为R，由于函数y=g(x)是奇函数，则g(−x)+g(x)=0，即14−x+1+14x+1+2a=0，∴−2a=14+1+14+1=114x+1+14+1=4x4+1+14+1=1，因此，a=−12；(2)∵g(x)=f(x)−12是奇函数，则方程f(2x2−2tx)+f(−x2−3+2t)=1等价为f(2x2−2tx)−12+f(−x2−3+2t)−12=0，即g(2x2−2tx)+g(−x2−3+2t)=0，则g(2x2−2tx)=−g(−x2−3+2t)=g(x2+3−2t)，∵函数y=g(x)在定义域上是单调函数，∴2x2−2tx=x2+3−2t在区间(0,2)上有解，即x 2−2tx +2t −3=0在区间(0,2)上有解．构造函数k(x)=x 2−2tx +2t −3，x ∈(0,2)．①若函数y =k(x)在区间(0,2)上有且只有一个零点， 则或k(0)k(2)=(2t −3)(1−2t)⩽0，解得t ⩽12或t ⩾32． 当t =12时，k(x)=x 2−x −2，令k(x)=0，得x 1=−1，x 2=2，不合题意；当t =32时，k(x)=x 2−3x ，令k(x)=0，得x 1=0，x 2=3，不合题意；②若函数y =k(x)在区间(0,2)有两个零点， 则，此时t ∈⌀．综上所述，实数t 的取值范围是．解析：本题考查函数的奇偶性，函数的单调性及方程有解等知识，属于较难题．(1)由g(−x)+g(x)=0恒成立即可求解，(2)根据g(x)的单调性及奇偶性，可得x 2−2tx +2t −3=0在区间(0,2)上有解，构造函数分类讨论即可求解．。
广西桂林市高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷一、选择题（12*5=60’）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2} B．{5} C．{1，2，3} D．{3，4，6}2．已知平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），则|AB|=（）A．10 B．20 C．30 D．403．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．f（x）=3x B．C．D．4．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．5．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．3 D．﹣1或 26．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．7．若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）8．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．9．空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，则MN=（）A．10 B．6 C．8 D．510．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．11212．已知函数f（x）=log2（a2x﹣4a x+1），且0＜a＜1，则使f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2log a2）D．（2log a2，+∞）二、填空题（4*5=20’）.13．计算： = ．14．直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是．15．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为．16．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF==a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为．三、解答题（共6题，70分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.）17．求下列函数的定义域：（1）f（x）=log2（2）f（x）=．18．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）．（1）求直线BC的方程；（2）求边BC上高AD所在的直线方程．19．已知函数f（x）=（1）在下表中画出该函数的草图；（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．20．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．22．已知定义域为R的函数f（x）=（a，b是常数）是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（12*5=60’）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2} B．{5} C．{1，2，3} D．{3，4，6}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，C U B={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，又∵∁U B={4，5，6}，∴B={1，2，3}，∵A={1，2，5}，∴A∩B={1，2}，故选：A．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．已知平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），则|AB|=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】利用两点间距离公式求解．【解答】解：∵平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），∴|AB|==10．故选：A．【点评】本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．3．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．f（x）=3x B．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数 f（x）=3x，f（x）=，f（x）=﹣在（0，+∞）上为增函数，故排除．利用对数函数的性质可得在（0，+∞）上为减函数，满足条件，从而得出结论．【解答】解：由于函数 f（x）=3x，f（x）=，f（x）=﹣在（0，+∞）上为增函数，故排除．由对数函数的性质可得在（0，+∞）上为减函数，满足条件，故选B．【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．4．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可．【解答】解：f（x）=，则f（f（﹣2））=f（2﹣2）=f（）=1﹣=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．3 D．﹣1或 2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用幂函数的定义与性质求解即可．【解答】解：幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，所以m2﹣m﹣1=1，并且m＞0，解得m=2．故选：A．【点评】本题考查幂函数的断断续续以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查．6．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题；分类讨论．【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由≠，解得：a=．综上，a=0或，故选：C．【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．7．若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用函数的单调性及奇偶性，即可得出结论．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），∵函数是偶函数，∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．9．空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，则MN=（）A．10 B．6 C．8 D．5【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】取AD中点P，连结MP、NP，则MP∥BD，NP∥AC，从而∠MPN=90°，MP=3，PN=4，由此能求出MN．【解答】解：∵空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，∴取AD中点P，连结MP、NP，则MP∥BD，NP∥AC，∴∠MPN=90°，MP=3，PN=4，∴MN==5．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】常规题型；数形结合．【分析】由条件ab=1化简g（x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案【解答】解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选B【点评】本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档题11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×，故该几何体的体积是64+8=72．故选B．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．12．已知函数f（x）=log2（a2x﹣4a x+1），且0＜a＜1，则使f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2log a2）D．（2log a2，+∞）【考点】对数函数的图像与性质．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】首先利用对数函数的单调性得到a2x﹣4a x+1＞1，然后整理，利用指数函数的单调性求x范围．【解答】解：由题意，使f（x）＞0成立即log2（a2x﹣4a x+1）＞0，所以a2x﹣4a x+1＞1，整理得a x＞4，且0＜a＜1，所以x＞log a4=2log a2；故选D．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的性质运用；注意底数与1的关系．二、填空题（4*5=20’）.13．计算： = ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】利用对数的运算性质=mlog a b即可得到答案．【解答】解：∵ +20=+20=+1=．故答案为：．【点评】本题考查对数与指数的运算性质，属于基础题．14．直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是 4 ．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；直线与圆．【分析】利用两条平行线间的距离公式，可得结论．【解答】解：∵直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+15=0平行，∴利用两条平行线间的距离公式，可得=4故答案为：4【点评】本题考查两条平行线间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．15．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题．【分析】根据已知中AD⊥BC于D，易得沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，∠BDC即为二面角B ﹣AD﹣C的平面角，解三角形BDC即可求出二面角B﹣AD﹣C的大小．【解答】解：∵AD⊥BC∴沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，AD⊥BD，AD⊥CD故∠BDC即为二面角B﹣AD﹣C的平面角又∵BD=CD=，∴∠BDC=60°故答案为：60°【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，解答的关键是求出二面角的平面角，将问题转化为一个解三角形问题．16．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF==a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为．【考点】平面与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由面面垂直的性质证明CB⊥AG，用勾股定理证明AG⊥BG，得到AG⊥平面CBG，从而面AGC⊥面BGC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，故∠BGH是GB与平面AGC所成的角，解Rt△CBG，可得GB与平面AGC所成角的正弦值．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB，∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．∵AG，GB⊂面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∴AG=BG=a，AB=2a，∴AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG，∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG⊂面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．在Rt△CBG中，BH==，BG=a，∴sin∠BGH==．故答案为：．【点评】本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（共6题，70分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.）17．求下列函数的定义域：（1）f（x）=log2（2）f（x）=．【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．【解答】解：（1）要使函数有意义，则3x﹣2＞0，即x＞，即函数的定义域为（，+∞）．（2）要使函数有意义，则4﹣2x≥0，即2x≤4，得x≤2，即函数的定义域为（﹣∞，2]．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．18．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）．（1）求直线BC的方程；（2）求边BC上高AD所在的直线方程．【考点】待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用两点式求直线BC方程；（2）由（1）可求AD的斜率，利用点斜式求AD方程．【解答】解：（1）因为B（1，﹣2），C（﹣2，3）．所以直线BC的方程：整理得5x+3y+1=0；（2）因为边BC上高AD，所以AD 的斜率为，又A（2，4），所以AD的方程为y﹣4=（x ﹣2），整理得所求方程：3x﹣5y+14=0．【点评】本题考查了直线方程的确定；用到了两点式、点斜式求直线方程．19．已知函数f（x）=（1）在下表中画出该函数的草图；（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的解析式画出函数的图象．（2）结合函数的图象求出的值域、单调增区间及零点．【解答】解：（1）函数草图，如图所示：f（x）=x2﹣1（x＜1）过点（0，﹣1），（﹣1，0），显然f（x）=x2﹣1（x＜1）与都过点（1，0），且过点（2，﹣1）．（2）y=f（x）的值域为R，y=f（x）的单调增区间：[0，1]，y=f（x）的零点为x1=﹣1，x2=1．【点评】本题主要考查函数的图象和性质的综合应用，分段函数的应用，属于基础题．20．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．【专题】应用题．【分析】（1）由于A产品的利润y与投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．【解答】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．由题意设f（x）=k1x，．由图知，∴又g（4）=1.6，∴．从而，（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．（0≤x≤10）令，则=当t=2时，，此时x=10﹣4=6答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1．（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB 的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．【点评】本题考查直线与平面的平行与垂直，着重考查直线与平面平行的判定定理与直线与平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．22．已知定义域为R的函数f（x）=（a，b是常数）是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数便有，这样即可求出a，b，从而得出；（2）分离常数得到，可看出f（x）在R上单调递减，根据减函数的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，证明f（x1）＞f（x2），这样便可得出f（x）在R上单调递减；（3）根据f（x）为奇函数且为减函数便可得到kx2＜1﹣2x对任意恒成立，从而有对任意恒成立，可设，求导数g′（x），根据导数符号便可得出x=1时，g（x）取最小值﹣1，从而得出k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）为R上的奇函数；∴；解得a=2，b=1；∴；（2）；x增大时，f（x）减小，f（x）在R上为减函数，证明如下：设x1＜x2，则：=；∵x1＜x2；∴，；又；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x ）在R上单调递减；（3）f（x）为R上的奇函数，∴由f（kx2）+f（2x﹣1）＞0得：f（kx2）＞f（1﹣2x）；又f（x）单调递减；∴kx2＜1﹣2x对任意恒成立；∴对任意x恒成立；设g（x）=，；∴时，g′（x）＜0，x∈（1，3]时，g′（x）＞0；∴x=1时，g（x）取到最小值﹣1；∴k＜﹣1；∴实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】考查奇函数、减函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，分离常数法的运用，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，根据导数符号求函数的最值的方法．21。
2022-2023学年广西省桂林市高一上数学期末达标检测模拟试题含解析
1 / 122022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．下列集合与集合{2,3}A =相等的是（ ） A.{(2,3)}B.{(,})|2,3}x y x y ==C.{}2|560x x x -+=D.{}290x N x ∈-≤2．设函数()cos 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ，则()f x 是（ ）A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为π的奇函数3．下列关系式中，正确的是 A.{}0φ∈ B.{}00⊆ C.{}00∈D.{}0φ=4．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是A.1433AD AB AC =-+ B.1433AD AB AC =- C.4133AD AB AC =+D.4133AD AB AC -=5．下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是 A.1y x =- B.tan y x = C.3y x =D.2y x=-6．设全集U =R ,{|0}2xA x x =<-, {|22}xB x =<,则图中阴影部分表示的集合为A.{|1}x x ≥B.{|12}x x ≤<C.{|01}x x <≤D.{|1}x x ≤7．已知幂函数()y f x =的图象过点(4，2)，则(16)f =（ ） A.2 B.4 C.2或-2D.4或-48．非零向量OA a =，OB b =，若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B ，则向量1OB 为 A.22()||a b ab a ⋅- B.2a b -C.22()||a b a ba ⋅-D.2()a b a ba⋅-9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若()10f -=，则不等式()210f x ->解集为 A.()()6,01,3- B.()(),01,-∞⋃+∞ C.()(),13,-∞+∞D.()(),13,-∞-+∞10．过点2(1)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A.10x y -+=B.30x y +-=C.20x y -=或+30x y -=D.20x y -=或10x y -+=二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知函数()f x 的定义域和值域都是集合{1,0,1,2}-，其定义如表所示，则[(1)]f f =____________．12．若1sin 4π6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭= _________ . 13．已知集合{}2log 1A x x =≤，{1,0,1,2,3}B =-，则AB =_________.14．若sin θcos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值_______3 / 1215330y --=的倾斜角α=________三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．计算求值： （1）计算：101223540.02750.129--⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）33log 45log 5-. 17．计算下列各题： （1）2213log 4482log 827-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）()()2332log 6log 4lg5lg5lg 4lg 2-+⋅++. 18．已知定义域为R 的函数()231x f x a =++是奇函数. （1）求实数a 的值；（2）若不等式()3xmf x >在()0,∞+有解，求实数m 取值范围.19．已知函数()5f x x x=-，[]1,5x ∈，()221g x x a x a =--+ （1）求函数()f x 的值域；（2）若对任意的[]2,4x ∈，都有()g x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若对任意的[]01,5x ∈，都存在四个不同的实数1x ，2x ，3x ，4x ，使得()()0i g x f x =，其中1i =，2，3，4，求实数a 的取值范围20．已知函数()()22210f x ax x a a =-++>.（1）当1a =时，求函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值()h a . 21．已知4cos 5=-α，且tan 0α>. （1）求tan α的值；（2）求()()()2sin sin 2cos 2cos ππααπαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-+-的值.参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、C【解析】根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可； 【详解】解：集合{2,3}A =，表示含有两个元素2、3的集合， 对于A ：{(2,3)}，表示含有一个点(2,3)的集合，故不相等； 对于B ：{(,})|2,3}x y x y ==，表示的是点集，故不相等；对于C ：{}2|560x x x -+=，表示方程2560x x -+=的解集，因为2560x x -+=的解为2x =，或3x =，所以{}{}2|5602,3x xx -+==对于D ：{}{}2903,2,1,0,1,2,3x N x ∈-≤=---，故不相等故选：C 2、D【解析】通过诱导公式，结合正弦函数的性质即可得结果. 【详解】()cos(2)sin 22f x x x π=-=，所以22T ππ==，()()()sin 2sin 2f x x x f x -=-=-=-， 所以则()f x 是最小正周期为π的奇函数， 故选：D. 3、C【解析】不含任何元素的集合称为空集，即为φ，而{}0代表由单元素0组成的集合， 所以{}00∈，而φ与{}0的关系应该是{}0φ⊆. 故选C. 4、A5 / 12【解析】∵3BC CD = ∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −13AB . 故选A. 5、C【解析】易知1y x =-为非奇非偶函数，故排除选项A，因为π5πtantan =134>，111222-=>--，故排除选项B 、D ，而3y x =在定义域R 上既是奇函数又是单调递增函数.故选C. 6、B【解析】{}{}|02,|1A x x B x x =<<=<，阴影部分表示的集合为()[)1,2U A C B ⋂=，选B. 7、B【解析】设幂函数(),f x x α=代入已知点可得选项.【详解】设幂函数(),f x x α=又函数过点(4，2)，12124(),(16)42f x x f αα∴=∴=∴=∴=，，故选：B. 8、A【解析】如图由题意点B 关于OA 所在直线的对称点为B 1，所以∠BOA=∠B 1OA ，所以又由平行四边形法则知:1OB OB OC +=,且向量OC 的方向与向量OA 的方向相同，由数量积的概念向量OB 在向量OA 方向上的投影是OM=||a b a ⋅，设与向量OA 方向相同的单位向量为：||aa ，所以向量OC =2OM =2||a b a ⋅||a a =()22||a b aa ⋅，所以1C B OB O O =-=()22||a b a b a ⋅-. 故选A.点睛：本题利用平行四边形法则表示和向量，因为对称，所以借助数量积定义中的投影及单位向量即可表示出和向量,解题时要善于借助图像特征体现向量的工具作用. 9、B【解析】()()()()2121011f x fx f f -=->=-=，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，所以211x ->，解得()(),01,x ∈-∞+∞.考点：偶函数的性质.【思路点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键.根据函数奇偶性可得()()()()2121011f x f x f f -=->=-=，再根据函数的单调性，可得211x ->；然后再解不等式即可求出结果 10、D【解析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒【详解】当直线过原点时，满足题意，方程为2y x =，即2x －y ＝0；当直线不过原点时，设方程为1x y a a-＋＝， ∵直线过(1，2)，∴121a a-＝，∴1a -＝，∴方程10x y -＋＝，故选：D ﹒二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、1-【解析】根据表格从里层往外求即可.【详解】解：由表可知，()[(1)]21f f f ==-. 故答案为：1-. 12、78【解析】分析π26α+和π6α-的关系可知ππ26π226αα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎛⎫⎭⎣= ⎪⎝⎭⎦+，然后用余弦的二倍角公式求解即可.【详解】∵1sin 4π6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴πsin 26α⎛⎫+⎪⎝⎭ππsin 262α⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πcos 26α⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2π12sin 6α⎛⎫=-- ⎪⎝⎭11216=-⨯78=.故答案为：78. 13、{}1,2【解析】由对数函数单调性，求出集合A ，再根据交集的定义即可求解.7 / 12【详解】解：{}{}2log 102A x x x x =≤=<≤，{1,0,1,2,3}B =-，{}1,2A B ∴=，故答案为：{}1,2. 14、6【解析】先通过诱导公式对原式进行化简，然后通分，进而通过同角三角函数的平方关系将原式转化为只含sin θ的式子，最后得到答案. 【详解】原式=cos cos (cos 1)θθθ---+cos cos cos cos θθθθ-⋅+11cos 11cos θθ=++-1cos 1cos (1cos )(1cos )θθθθ-++=+-221cos θ=-22sin θ=，因为sin θ=，所以22261sin 3θ==. 所以cos(π)cos(2π)63ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+=--++-+. 故答案为：6.15、6π##30° 【解析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角330y --=化成13y x =-，可知tan 3k α==，而[0,)απ∈，故6πα= 故答案为：6π三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、（1）102（2）52【解析】根据指数幂运算律和对数运算律，计算即得解 【小问1详解】101223540.02750.129--⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112232749()11010009-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭210711033=+-+ 102=【小问2详解】33log 45log 5-345log 5=39log =122=+ 52=17、（1）12-； （2）3.【解析】（1）利用指对幂运算性质化简求值； （2）利用对数运算性质化简求值. 【小问1详解】 原式19314422=-+=-. 【小问2详解】原式2236log lg5(2lg 2lg5)(lg 2)4=+++()()223log 9lg52lg5lg 2lg 2=++⋅+ 23log 9(lg 2lg 5)=++3=.18、（1）1-；（2）(),3-∞-.【解析】（1）函数是R 上的奇函数，利用()00f =，注意检验求出的a 是否满足题意；（2）由（1）得()2131x f x =-+，把不等式()3x mf x >在()0,∞+有解转化为()31313x x xm +<-在()0,∞+有解，构造函数()()11t t g t t+=-，利用基本不等式求解即可.9 / 12【详解】（1）由()231x f x a =++为R 上的奇函数， 所以()020310f a =+=+， 则1a =-，检验如下：当1a =-，()21313131xx xf x -=-=++， ()()13313113x x x xf x f x -----===-++， 则函数()f x 为R 上的奇函数. 所以实数a 的值1-. （2）由（1）知1a =-， 则()2131xf x =-+， 由()3xmf x >得：()132133113x x x x m m -⎛⎫-=> ⎪++⎝⎭， 因为0,31130xxx >>⇒-<，等价于()31313x x xm +<-在()0,∞+有解，则()max31313x xx m ⎡⎤+⎢⎥<-⎢⎥⎣⎦，令()31xt t =>，设()()()()()211312213111t t t t g t t t t t +-+-+⎡⎤==-=--++⎢⎥---⎣⎦3≤-，当且仅当2111t t t -=⇒=-或1t =（舍）取等号； 则()max 3g t =-，所以实数m取值范围(),3-∞-.【点睛】关键点睛：把不等式()3xmf x >在()0,∞+有解转化为()31313x x xm +<-在()0,∞+有解，构造函数出()()11t t g t t+=-是解决本题的关键. 19、（1）[]4,4-； （2）2a ≤； （3）4a >【解析】（1）利用基本函数的单调性即得；（2）由题可得()2121211x a x x x ≤=-++--恒成立，再利用基本不等式即求；（3）由题意可知对任意一个实数[]4,4t ∈-，方程()g x t =有四个根，利用二次函数的图像及性质可得[]()24,4,13a a a --+⊆+，即求.【小问1详解】 ∵函数()5f x x x=-，[]1,5x ∈， 所以函数()f x 在[]1,5上单调递增， ∴函数()f x 的值域为[]4,4-； 【小问2详解】∵对任意的[]2,4x ∈，都有()g x a ≥恒成立，∴()221g x x a x a =--+a ≥，即2210x a x -⋅-≥，即有()2210x a x --≥，故有()2121211x a x x x ≤=-++--，∵[]2,4x ∈，[]11,3x -∈， ∴()11241x x -++≥-，当且仅当111x x -=-，即2x =取等号， ∴24a ≤，即2a ≤， ∴实数a 的取值范围为2a ≤； 【小问3详解】∵函数()f x 的值域为[]4,4-，11 / 12由题意可知对任意一个实数[]4,4t ∈-，方程()g x t =有四个根，又()2223,12,1x ax a x g x x ax a x ⎧-+≥=⎨+-<⎩，则必有1a >，令()11n g a ==+，()(){}{}222max ,max 3,3m g a g a a a a a a a =-=-+--=-+， 故有[](),4,4m n -⊆，故有21434a a a +>⎧⎨-+<-⎩，可解得4a >， ∴实数a 的取值范围为4a >.20、（1）[]2,3（2）()63,121,1a a h a a a ->⎧=⎨+≤⎩【解析】（1）利用二次函数的图象和性质求值域；（2）讨论对称轴与区间中点的大小关系，即可得答案；【详解】（1）由题意，当1a =时，()223x x x f =-+，又1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦， 对称轴为1x =，∴min ()(1)2==f x f ，2离对称轴较远，∴max ()(2)3f x f ==，∴()f x 的值域为[]2,3.（2）由题意，二次函数()f x 开口向上，对称轴为10x a =>，由数形结合知， （i ）当101a<<，即1a >时，()()263h a f a ==-； （ii ）当11a≥，即1a ≤时，()()021h a f a ==+， 综上：()63,121,1a a h a a a ->⎧=⎨+≤⎩. 【点睛】本题考查一元二次函数的值域求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意抛物线的开口方向及对称轴与区间的位置关系.21、（1）34； （2）54. 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值；（2）利用诱导公式以及弦化切可求得结果.【小问1详解】解：因为4cos 5=-α，且tan 0α>，则α为第三象限角，故3sin 5α==-， 因此，sin 3tan cos 4ααα==. 【小问2详解】 解：原式2sin cos 1315tan 2cos 2424αααα+==+=+=.。
广西桂林市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
f
(2)
1 ，即 2
f
(3)
f (2)
1 6
log64
2，
即 f (3) f (2) log64 2 ，C 正确.
不等式 g(x) 0 的解集为 (, 1) (0,1) ，D 错误.
故选：BC.
三､填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分. 16. 已知幂函数 f (x) x 的图象经过点 (4, 2) ，则 f (8) ___________.
.A. xR，使x2x10
B. x R ，有 x2 x 1 0
C. x R ，使 x2 x 1 0
D. x R ，使 x2 x 1 0
【答案】D 【解析】 【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可知正确选项. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，
∴原命题的否定为 x R, x2 x 1 0 .
【答案】 2m n
【解析】
【分析】结合换底公式以及对数的运算法则即可求出结果.
详解】 log3
4
lg 4 lg 3
lg 22 lg 3
2lg 2 lg 3
2m ， n
【故答案为： 2m . n 19. 已知 a 0,b 0 ，若 3a b 1，则 3 1 的最小值是___________. ab 【答案】16
， g x1
g x2 ，则 g(x) 在 (0, ) 上单调递减，A 错误；
因为 f (x) 是定义域为 (,0) (0, ) 的奇函数，且 g(1) 0 ，所以 g(x) 在 (, 0) 上单调递减，且
g(1) g(1) 0 ，B 正确.
由 g(3)
g(2) 得
f
(3) 1 3
2019-2020学年广西桂林市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{|2}A x x =>，则( ) A ．3A ∉B ．5A ∈C ．2A ∈D ．0A ∈2．（5分）如图在三棱柱111ABC A B C -中，下列直线与1AA 成异面直线的是( )A ．1BBB ．1CCC ．11B CD ．AB3．（5分）函数1()1f x x=-的定义域为( ) A ．{|1}A x x =>B ．{|1}A x x =<C ．{|1}A x x =≠D ．{|1}A x x ==4．（5分）过两点(4,)A y ，(2,3)B -的直线的倾斜角为45︒，则(y = ) A ．3-B ．3 C ．1- D ．15．（5分）下列图象中，可以表示函数()y f x =的图象的是( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）函数3()f x x =的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称7．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）方程260lnx x +-=的近似解所在的区间是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)9．（5分）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.50.2c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．（5分）为了得到函数210x y lg-=的图象，只需把函数y lgx =的图象上所有的点( ) A ．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度11．（5分）若m ，n 表示空间中两条不重合的直线，α，β表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m nC ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥12．（5分）设函数21()(1||)1f x ln x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1)(13⋃，)+∞B ．1(3，1)C ．11(,)33-D ．(-∞，11)(,)33-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）22,0,(),0,x x x f x x x ⎧-=⎨-<⎩…则f （2）= ．14．（5分）直线10x y --=与10x y -+=之间的距离是 ．15．（5分）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰g 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=．现在已知23a =，34b =，则ab = ．16．（5分）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）设直线4310x y +=与210x y -=相交于一点A ， （1）求点A 的坐标；（2）求经过点A ，且垂直于直线3240x y -+=的直线的方程． 18．（12分）已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-， （1）当1m =-时，求A B I ，A B U ； （2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知函数()([2,6]),(3)11mf x x f x =∈=-． （1）求实数m 的值；（2）用定义证明()f x 的单调性，并求出其最大值和最小值．20．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证： （1）直线//DE 平面11A C F ； （2）平面1B DE ⊥平面11A C F ．21．（12分）攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值(y y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x （单位：克）的关系为：当07x <„时，y 是x 的二次函数；当7x …时，1()x m y -=．测得部分数据如表：x （单位：克）0 2 6 10 ⋯ y4-8819⋯（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（Ⅱ）求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳． 22．（12分）已知函数24()2()3x f x a x a a R =--∈g（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）若函数241()2x x g x x +=-，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数根，求实数a 的取值范围．2019-2020学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{|2}A x x =>，则( ) A ．3A ∉B ．5A ∈C ．2A ∈D ．0A ∈【解答】解：因为集合{|2}A x x =>，所以3A ∈，故A 错误；5A ∈，故B 正确；2A ∉，故C 错误；0A ∉，故D 错误． 故选：B ．2．（5分）如图在三棱柱111ABC A B C -中，下列直线与1AA 成异面直线的是( )A ．1BBB ．1CCC ．11B CD ．AB【解答】解：在三棱柱111ABC A B C -中，直线与1AA 成直线1BB 平行，直线与1AA 成与直线1CC 平行，直线与1AA 成与直线AB 相交． 直线与1AA 成与直线11B C 异面． 故选：C ．3．（5分）函数1()1f x x=-的定义域为( ) A ．{|1}A x x =>B ．{|1}A x x =<C ．{|1}A x x =≠D ．{|1}A x x ==【解答】解：由10x -≠，得1x ≠．∴函数1()1f x x=-的定义域为{|1}x x ≠． 故选：C ．4．（5分）过两点(4,)A y ，(2,3)B -的直线的倾斜角为45︒，则(y = ) A ．3B 3C ．1-D ．1【解答】解：经过两点(4,)A y ，(2,3)B -的直线的斜率为32y k +=． 又直线的倾斜角为45︒，∴3tan 4512y +=︒=，即1y =-． 故选：C ．5．（5分）下列图象中，可以表示函数()y f x =的图象的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为函数的一个自变量只能对应唯一的一个函数值； 故只有答案C 符合； 故选：C ．6．（5分）函数3()f x x =的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称【解答】解：33()()()f x x x f x -=-=-=-， 则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称， 故选：D ．7．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A ．故选：A ．8．（5分）方程260lnx x +-=的近似解所在的区间是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【解答】解：令函数()26f x lnx x =+-， 可判断在(0,)+∞上单调递增，f ∴（1）4=-，f （2）220ln =-<，f （3）30ln =>，∴根据函数的零点判断方法可得：零点在(2,3)内，方程260lnx x +-=的近似解：在(2,3)内． 故选：B ．9．（5分）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.50.2c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解答】解：2log 0.20a =<，0.221b =>，0.50.2(0,1)c =∈， 则a c b <<． 故选：B ．10．（5分）为了得到函数210x y lg-=的图象，只需把函数y lgx =的图象上所有的点( ) A ．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度【解答】解：把函数y lgx =的图象上所有的点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数210x y lg -=的图象． 故选：D ．11．（5分）若m ，n 表示空间中两条不重合的直线，α，β表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m nC ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥【解答】解：对于A ，若n ⊂平面α，显然结论错误，故A 错误； 对于B ，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n 或m ，n 异面，故B 错误；对于C ，若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C 正确；对于D ，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m ，n 位置关系不能确定，故D 错误． 故选：C ．12．（5分）设函数21()(1||)1f x ln x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1)(13⋃，)+∞B ．1(3，1)C ．11(,)33-D ．(-∞，11)(,)33-+∞U【解答】解：Q 函数21()(1||)1f x ln x x =+-+为偶函数， 且在0x …时，21()(1)1f x ln x x =+-+， 导数为2212()01(1)x f x x x '=+>++， 即有函数()f x 在[0，)+∞单调递增， ()(21)f x f x ∴>-等价为(||)(|21|)f x f x >-，即|||21|x x >-， 平方得23410x x -+<， 解得：113x <<，所求x 的取值范围是1(3，1)．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）22,0,(),0,x x x f x x x ⎧-=⎨-<⎩…则f （2）= 0 ．【解答】解：Q 22,0,(),0,x x x f x x x ⎧-=⎨-<⎩…f ∴（2）22220=-⨯=．故答案为：0．14．（5分）直线10x y --=与10x y -+=【解答】解：根据两条平行直线间的距离公式可得d ==15．（5分）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰g 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=．现在已知23a =，34b =，则ab = 2 ． 【解答】解：23a =Q ，34b =， 2log 3a ∴=，3log 4b =．32lg a lg ∴=，43lg b lg =． 34223lg lg ab lg lg ∴==g ． 故答案为：2．16．（5分）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为【解答】解：设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为∴21sin 602AB ⨯⨯︒=6AB =，球心为O ，三角形ABC 的外心为O '，显然D 在O O '的延长线与球的交点如图： 236233O C '=⨯⨯=，224(23)2OO '=-=，则三棱锥D ABC -高的最大值为：6，则三棱锥D ABC -体积的最大值为：31361833⨯⨯=．故答案为：183．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）设直线4310x y +=与210x y -=相交于一点A ， （1）求点A 的坐标；（2）求经过点A ，且垂直于直线3240x y -+=的直线的方程． 【解答】解：（1）由2104310x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩．(4,2)A ∴-．（2）设垂直于直线3240x y -+=的直线的方程为：230x y m ++=， 把(4,2)A -代入可得：860m -+=，解得2m =． 即：2320x y +-=．18．（12分）已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-， （1）当1m =-时，求A B I ，A B U ； （2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当1m =-时，{|22}B x x =-<<， {|12}A B x x ∴=<<I ，{|23}A B x x =-<<U ；（2）A B ⊆Q ，且{|13}A x x =<<，{|21}B x m x m =<<-，∴2113m m ⎧⎨-⎩„…，解得2m -„，∴实数m 的取值范围是(-∞，2]-．19．（12分）已知函数()([2,6]),(3)11mfx x f x =∈=-． （1）求实数m 的值；（2）用定义证明()f x 的单调性，并求出其最大值和最小值． 【解答】解：（1）f Q （3）12m==， 2m ∴=，（2）设12x x <是区间[2，6]上的任意两个实数， 则211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， 由1226x x <剟，得210x x ->，12(1)(1)0x x -->， 于是12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，． 所以，函数2()1f x x =-在区间[2，6]上是减函数， 因此，函数2()1f x x =-在区间[2，6]的两个端点分别取得最大值和最小值， 即在2x =时取得最大值，最大值是2，在6x =时取得最小值，最小值是0.420．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证： （1）直线//DE 平面11A C F ； （2）平面1B DE ⊥平面11A C F ．【解答】解：（1）D Q ，E 分别为AB ，BC 的中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE AC ∴，111ABC A B C -Q 为棱柱， 11//AC AC ∴， 11//DE AC ∴，11AC ⊂Q 平面11A C F ，且DE ⊂/平面11A C F ， 11//DE AC F ∴；（2）在111ABC A B C -的直棱柱中， 1AA ∴⊥平面111A B C ， 111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥Q ，且1111AA A B A =I ，1AA 、11A B ⊂平面11AA B B ， 11AC ∴⊥平面11AA B B ， 11//DE AC Q ，DE ∴⊥平面11AA B B ，又1A F ⊂Q 平面11AA B B ， 1DE A F ∴⊥，又11A F B D ⊥Q ，1DE B D D =I ，且DE 、1B D ⊂平面1B DE ， 1A F ∴⊥平面1B DE ，又1A F ⊂Q 平面11A C F ，∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．21．（12分）攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值(y y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x （单位：克）的关系为：当07x <„时，y 是x 的二次函数；当7x …时，1()x m y -=．测得部分数据如表：（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（Ⅱ）求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳． 【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当07x <„时，y 是x 的二次函数，可设2(0)y ax bx c a =++≠，由0x =，4y =-可得4c =-，由2x =，8y =，即4212a b +=， 由6x =，8y =，可得36612a b +=，解得1a =-，8b =， 即有284y x x =-+-；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）当7x …时，1()3x m y -=，由10x =，19y =，可得8m =，即有81()3x y -=；综上可得2884,071(),73x x x x y x -⎧-+-<⎪=⎨⎪⎩„…．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（Ⅱ）当07x <„时，2284(4)12y x x x =-+-=--+， 即有4x =时，取得最大值12；当7x …时，81()3x y -=递减，可得3y „，当7x =时，取得最大值3． 综上可得当4x =时产品的性能达到最佳．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 22．（12分）已知函数24()2()3x f x a x a a R =--∈g（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）若函数241()2x x g x x +=-，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数根，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）因为24()2()3x f x a x a a R =--∉g 是偶函数，所以()()f x f x -=对任意x R ∈成立所以22442()233x x a x a a x a ----=--g g 对任意的x R ∈成立，所以(22)0x x a --=g 对任意x R ∈成立，所以0a =；（2）因为241()2x x g x x +=-，()()f x g x =，所以22441232x x x a x a x +--=-g所以4203414223x x x x a a a a ⎧->⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩g g ，设2(0)x t t =>，则有关于t 的方程24(1)103a t at ---=，若10a ->，即1a >时，则需关于t 的方程24(1)103a t at ---=有且只有一个大于43的实数根，设24()(1)13h t a t at =---，则4()03h <，所以2444(1)()10333a a -⨯-⨯-<，所以250-<成立，所以1a >满足题意；若10a -=，即1a =时，解得34t =-，不满足题意；若10a -<，即1a <时，24()4(1)03a a -+-=，且4302(1)aa -->-， 所以3a =-，当3a =-时，关于t 的方程24(1)103a t at ---=有且只有一个实数根12，1423<，不满足题意，综上，所求实数a 的取值范围是{|1}a a >．。
2019-2020学年广西桂林市高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年广西桂林市高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．设集合{}2A x x =>，则（ ） A ．3A ∉ B ．5A ∈ C ．2A ∈ D ．0A ∈【答案】B【解析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】{}2A x x =>，3A ∴∈，5A ∈，2A ∉，0A ∉.故选：B. 【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2．如图在三棱柱111ABC A B C -中，下列直线与1AA 成异面直线的是（ ）A ．1BB B ．1CCC ．11B CD ．AB【答案】C【解析】根据空间中直线与直线的位置关系判断出各选项中的直线与直线1AA 的位置关系，可得出结论. 【详解】由在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB AA ，11//CC AA ，11B C 与1AA 异面，1AA AB A =.故选：C. 【点睛】本题考查异面直线的判断，要理解空间中直线与直线的三种位置关系，考查推理能力，属于基础题. 3．函数()11f x x=-的定义域为（ ）A ．{}1A x x =>B ．{}1A x x =<C ．{}1A x x =≠D ．{}1A x x ==【答案】C【解析】根据分式分母不为零可得出函数()y f x =的定义域. 【详解】由题意可得10x -≠，解得1x ≠，因此，函数()11f x x=-的定义域为{}1A x x =≠. 故选：C. 【点睛】本题考查具体函数的定义域，一般结合一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）来求解，考查运算求解能力，属于基础题. 4．过两点4,A y，()2,3B -的直线的倾斜角为45︒，则y =（ ）．A ．3-B ．3 C ．-1 D ．1【答案】C【解析】由题意知直线AB 的斜率为tan 451AB k =︒=， 所以331422y y ++==-， 解得1y =-．选C ．5．下列图象中，可以表示函数()y f x =的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数定义中x 与y 之间的对应关系为一对一或多对一的形式判断即可. 【详解】A 、B 、D 三个选项中x 与y 之间的对应关系存在一对二的情况，不符合函数的定义，C 选项中x 与y 之间的对应关系为一对一或多对一，符合函数的定义. 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的判断，应结合函数的定义来判断，考查推理能力，属于基础题. 6．函数()3f x x =的图象（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于直线y x =对称 D ．关于原点对称【答案】D【解析】根据定义判断函数()3f x x =的奇偶性，即可得出结论. 【详解】函数()3f x x =的定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，因此，函数()3f x x =为奇函数，该函数的图象关于原点对称. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象对称性的判断，本质上就是判断函数的奇偶性，考查推理能力，属于基础题.7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形 故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
2024届广西桂林市龙胜中学高一数学第一学期期末考试试题含解析
A. 3x2 2x 1
B. 3x2 2x+1
C. 3x2 2x 1
D. 3x2 2x 1
1, x 0, 5．符号函数 sgn(x) 是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为 sgn(x) 0, x 0, 若
1, x 0,
定义在 R 上的奇函数 f (x) ，当 x (0, ) 时， f (x) x2 2x ，则 y sgn( f (x)) 的图象是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13．设 A 为圆 (x 2)2 ( y 2)2 1 上一动点，则 A 到直线 x y 5 0 的最大距离为________
14．幂函数 y x ，当 取不同的正数时，在区间[0,1] 上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点 A(1,0)、B(0,1) ，
.一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
请将正确答案涂在答题卡上.）
1．设
a
log3
4
，
b
3
22
，
c
(
1 4
)
2 3
，则
(
)
A. b a c
B. c b a
C. c a b
D. a c b
2．已知 a，b， ，a>b，那么下列结论成立的是（）
17．若函数
f(x)满足
f(logax)＝
a ·(x－ a2 1
1 x
)(其中
a＞0
且
a≠1).
(1)求函数 f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
广西桂林市2025届高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析
广西桂林市2025届高一数学第一学期期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知向量()4,3a =，()1,53b =，则a 与b 的夹角为 A.30 B.45︒ C.60︒D.90︒2．已知幂函数()()2133a f x a a x+=-+为偶函数，则实数a 的值为（）A.3B.2C.1D.1或23．下列各组函数是同一函数的是（）①()f x =()g x =2log ()2xf x=与()g x =③0()f x x =与01()g x x=④2()21f x x x =--与2()21f t t t =-- A.②④ B.③④ C.②③D.①④4．定义在R 上的函数()f x 满足()2(2)f x f x =-，且当(1,1]x ∈-时，||1()()2x f x =，若关于x 的方程()(3)2f x a x =-+在(0,5)上至少有两个实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A.[0,2]B.[0,)+∞C.(0,2]D.[2,)+∞5．设()()1232,2log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（ ） A.0 B.1 C.2D.36．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos56π)，则角x 的最小正值为( ) A.56π B.53πC.116πD.23π 7．给出下列命题：①函数2x x e e y -+=为偶函数；②函数11x x e y e -=+在x ∈R 上单调递增；③函数lg y x =在区间(0,)+∞上单调递减；④函数1()3xy =与3log y x =-的图像关于直线y x =对称．其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.48．在下列区间中函数3()232xf x x =-+的零点所在的区间为（） A.10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,29．已知x ，y 是实数，则“x y >”是“33x y >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合UA B ⋂=A.{}2,5B.{}3,6C.{}2,5,6D.{}2,3,5,6,8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023届广西桂林市第一中学高一上数学期末调研试题含解析
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间 上的最大值和最小值
18．给出以下四个式子：
① ；
② ；
③ ；
④ .
（1）已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个， 求出这个常数；
（2）分析以上各式的共同特点，写出能反应一般规律的等式，并对等式正确性作出证明.
（2）利用对数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
12、
【解析】先求出半径，再用扇形 面积公式求解即可.
【详解】由已知半径为 ，
则这条弧所在的扇形面积为 .
(2)由条件求出 ，由(1)求出 ，再借助和角的余弦公式计算即得.
【小问1详解】
因为 是第三象限角， ，则
所以 ，
【小问2详解】
因为 ， ，则 ，
又 ，
所以
20、（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】(Ⅰ)设圆的方程为 ，将 代入，求得 ，从而可得结果；(Ⅱ)先设 ， 由 可得 ，再证明 对任意 ， 满足 即可， ，则利用韦达定理可得 ， ，由角平分线定理可得结果.
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是
A.若 则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
5．心理学家有时用函数 测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ ， ）
广西桂林市桂林中学2023届数学高一上期末综合测试模拟试题含解析
21、（1）
（2）
【解析】（1）由奇函数的定义可得 ，即 ，化简即可得答案；
（2）原问题等价于 ，从而有函数 的值域即为 的范围.
小问1详解】
解：因 函数 为奇函数，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 ；
所以， ；
（3）
【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的问题有如下方法：
（1）列举法；
（2）列表法；
（3）树状图法；
（4）排列组合数的应用.
20、 (1) ;(2) .
【解析】（1）根据图象可得周期 ，故 ．再根据图象过点 可得 ．最后根据函数的图象过点 可求得 ，从而可得解析式．（2）由题意可得 ，进而可求得 和 ，再按照两角和的正弦公式可求得 的值
图④中， 、 、 共面，但 面 ， 与 异面
所以图②④中 与 异面
故答案为：②④.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）{1}；（2）
【解析】（1）求出函数 的定义域为集合 ，函数 的值域为集合 ，即可求得答案；
（2）根据集合的包含关系，列出相应的不等式，求得答案.
空气质量指数
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
现分别从甲、乙两个城市 月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取 天的数据，记录如下：
甲
乙
（1）估计甲城市 月份某一天空气质量类别为良的概率；
（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；
2022-2023学年广西壮族自治区桂林市第十八中高一上数学期末含解析
（2） ，
【解析】（1）根据图像可得 及函数的周期，从而求得 ，然后利用待定系数法即可求得 ，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的增区间；
（2）根据 可求得角 ，利用韦达定理可得 ，再利用余弦定理可求得边 ，再利用正弦定理可得外接圆的半径，即可得出答案.
【小问1详解】
解：由函数图象知 ，
若 ，则 ，解得 或-3.
故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.
5、C
【解析】根据题意，代值计算，即可得 ，再结合参考公式，即可估算出结果.
【详解】根据题意可得：
可得 ，解得 ，
根据参考公式可得 ，
故与 最接近的是 .
故选：C.
【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.
6、A
【解析】 表示的是 方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点 在 的角平分线上，故动点 必过三角形的内心.
【详解】如图，设 ， ，
已知 均为单位向量，
故四边形 为菱形，所以 平分 ，
由
得 ，又 与 有公共点 ，
故 三点共线，
所以点 在 的角平分线上，故动点 的轨迹经过 的内心.
故选：A.
7、C
故 .
故实数 的取值范围 .
【点睛】本题考查了利用对数的单调性解不等式、根据对数型方程的根求参数的取值范围，属于中档题.
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 ，且a、b是方程 的两个实数根，试求△ABC的周长及其外接圆的面积
21．如图，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点
(1)求证：平面ABED∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
桂林中学2023届数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析
（2）
【解析】(1)根据图像和“五点法”即可求出三角函数 的解析式；
(2)根据三角恒等变换可得 ，结合x的取值范围和正弦函数的性质即可得出结果.
小问1详解】
由图像可知 的最大值是1，所以 ，
当 时， ，
可得 ，又 ，所以
当 时， 有最小值 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
【小问2详解】
，
由 可得
10、D
【解析】由题意可得： ，解得
故选
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】直接利用投影的定义求 在 方向上的投影.
【详解】因为 ， ，设 与 夹角为 ， ，
则向量 在 方向上的投影为：
.
所以 在 方向上 投影为
故答案为： .
12、 ##
【解析】设出幂函数解析式，代入已知点坐标求解
4、D
【解析】利用分段函数在 上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
【详解】因函数 是定义在 上的减函数，
则有 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
5、C
【解析】如图所示，补成直四棱柱 ，
则所求角为 ，
易得 ，因此 ，故选C
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
∴ ， ，
令 ， ，则 ，
令 ，即 ， ，
∴ 的图象是开口向下且关于直线 对称的抛物线，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值区间为
21、（1）
（2）当 时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为4000元
【解析】（1）分 和 时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可；