高中数学教师必备的知识函数的连续性(一)连续性与间断点
高数第一章函数的连续性与间断点
2
当 a＝ 1
2
时 f ( x） 在x
2
处连续
11
二、连续函数及运算法则
定义4
y f x x [a, b] 若 f x 在a, b 内连续，
且 f a f (a), f b f (b) 存在，则称
f x 在[a, b] 上连续， 称区间 [a, b] 为 f x 的连续区间。
高等数学
第九讲
主讲教师:
王升瑞
1
第八节 函数的连续与间断
一、 函数在一点的连续性 二、 连续函数及运算法则 三、 初等函数的连续性 四、 函数的间断点
第一章
五、 闭区间上连续函数的性质
2
客观世界处在不断的变化中，这些变化有的是渐变，
有的是突变。反映到数学上就产生了连续和间断的概念。 从几何上直观来理解函数的连续性的意义，通常
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单
调递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
14
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
则在 x 1 处间断。
y
x 1 f x 作新函数 F x x 1 o 1 2 x x2 1 x 1 F x x 1 在 x 1处的连续性。 2 x 1 25
例9 讨论函数 解
间断点的类型.
x 1, 2 为间断点
lim f x lim x 1 2 x1 x 1 x 2
第八节 函数的连续性与间断点
(1) 在 x = x0 没有定义；
(2) 虽在 x = x0 有定义，但 lim f ( x ) 不存在； x x0
(3) 虽在 x = x0 有定义，且 lim f ( x ) 存在，但 x x0 lim f (x) f (x0 ) , x x0
注意 增量 u 可正可负还可以为零.
第八节 函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义，
如果 l i m y l i m [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,
x 0
x 0
那么就称函数 y = f (x) 在点 x0 连续. y
例如
第八节 函数的连续性与间断点
y
(1) x π 为其无穷间断点 .
2
(2)
O - π x
2
y
x 0 为其振荡间断点 .
x
(3)
y
x 1 为可去间断点 .
O1 x
第八节 函数的连续性与间断点
x , x 1,
y
(4)
y1.
显然 lim f ( x ) 1 f (1) , 1
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 变量的增量 定义 设变量 u 从初值 u1 变到终值 u2 ，终值与初值
的差 u2 – u1 称为变量 u 的增量，记作 u = u2 – u1 .
设 y = f (x)，则 x 称为自变量的增量， y 称为函 数的增量.
x1
1
x 1 为其可去间断点 .
函数的连续性与间断点分析
函数的连续性与间断点分析函数的连续性是数学中的重要概念，它描述了函数在某个区间上的平滑性和无间断性。
本文将探讨函数的连续性以及间断点的分类与分析。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的无间断性。
具体而言，对于定义域内的任意两个数a和b，如果函数f在区间[a, b]上的值无论多么接近于f(a)，都能使函数在该区间上连续，那么函数f就被称为在该区间上连续。
函数的连续性可以用极限的概念进行描述。
如果对于函数f的每一个定义域内的点x0，都有lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)，那么函数f在点x₀处连续。
换句话说，函数在某一点的函数值等于该点的极限值，这就是函数在该点的连续性。
函数的连续性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过函数的连续性分析质体的运动轨迹；在经济学中，连续函数被用于分析经济增长模型等。
函数的连续性是数学建模中常见的假设之一。
二、间断点的分类与分析间断点是指函数在某些点处不满足连续性的现象。
根据函数在间断点的性质，可以将间断点分为三类，即可去除间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去除间断点可去除间断点是指函数在某点x₀处的极限存在，但函数在x₀处的函数值与该极限值不相等。
通常情况下，通过修正函数在间断点的定义，可以消除可去除间断点。
例如，考虑函数f(x) = (x - 1)/(x - 1)，在x=1处有可去除间断点，但若将f(1)的定义修改为1，则可将间断点去除。
2. 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某点x₀处的左右极限存在且有限，但两侧极限值不相等。
这种间断点的存在导致函数在该点处存在一个突变或跳跃。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有跳跃间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
3. 无穷间断点无穷间断点是指函数在某点x₀处的一侧或两侧的极限为无穷大。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有无穷间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
函数的连续点与间断点
函数的连续点与间断点在数学中，连续性是描述函数的一种性质。
一个函数在某个点连续意味着在该点附近可以通过函数图像的一条连续曲线来表示。
换句话说，函数在该点的值与该点的极限值相等。
在函数的定义域上，我们可以将连续点分为两类：间断点和连续点。
一个函数的间断点是指在函数定义域上的某个点，该点的函数值与该点的极限值不相等。
可以将间断点进一步细分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去间断点：在这种情况下，函数在该点的极限存在，但函数的值与极限值不相等。
这种情况发生在该点存在一个孤立点，也就是说，通过改变函数在该点的定义，可以使其在该点处连续。
例如，函数$f(某) = \frac{某^2 - 1}{某-1}$在$某 = 1$处有一个可去间断点。
2. 跳跃间断点：在这种情况下，函数在该点的左右极限都存在，但极限值不相等。
这种情况下，函数图像会出现一个间断或跳跃。
例如，函数$g(某) = \begin{cases} 1, & 某 < 0 \\ 0, & 某 \geq 0\end{cases}$在$某 = 0$处有一个跳跃间断点。
3. 无穷间断点：在这种情况下，函数在该点的左右极限至少有一个为无穷大。
例如，函数$h(某) = \frac{1}{某}$在$某 = 0$处有一个无穷间断点，在该点的左右极限分别是负无穷和正无穷。
连续点是指在函数定义域上的点，其函数值与该点的极限值相等。
换句话说，函数图像在该点处没有间断或跳跃。
对于一个函数$f(某)$，如果$f(某)$在其定义域上的每一个点都连续，那么该函数被称为在其定义域上连续的函数。
连续性在数学中具有很多重要的性质和应用。
例如，连续函数具有介值定理，即如果$f(a)<y<f(b)$，那么在闭区间$[a,b]$上存在一个$某$使得$f(某)=y$。
这个定理可以应用于实际生活中的许多问题，例如求根问题、优化问题等。
在微积分中，连续性是很重要的。
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点是数学中一个重要的概念，它们描述了函数图像上的连续性和不连续性的特点。
在本文中，我们将详细介绍函数的连续性与间断点，并讨论它们在实际问题中的应用。
连续函数是指函数在其定义域内没有跳跃、断裂或间断的点，它的图像可以用一条连续的曲线来表示。
从直观上来看，连续函数的图像没有突变或断裂，可以一笔画出。
数学上，函数f(x)在点x=a处连续，意味着当x接近a时，f(x)也会接近f(a)。
这可以用极限的概念进行形式化的定义。
在实际问题中，连续函数的应用非常广泛。
例如在物理学中，连续函数可以用来描述物体在一段时间内的运动状态；在经济学中，连续函数可以用来建立供求关系的模型；在工程中，连续函数可以用来描述信号的变化过程等等。
而间断点则是指函数在其定义域内存在某些点，函数在这些点上不连续。
常见的间断点包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点是指函数在该点上的值可以通过修改或定义函数来消除间断；跳跃间断点是指函数在该点上值的跳跃突变；无穷间断点是指函数在该点上趋于无穷大或无穷小。
间断点可以由分段函数、绝对值函数和有理函数等特殊的函数形式引起。
在实际问题中，间断点也有着重要的应用。
例如在物理学中，间断点可以用来描述一些物理现象的特殊情况，如电路中的断路或短路现象；在经济学中，间断点可以用来描述市场供求关系的突变等等。
总结起来，函数的连续性与间断点是数学中重要的概念。
连续性描述了函数图像上的连续性特点，而间断点则描述了函数图像上的不连续性特点。
它们在实际问题中有着广泛的应用，可以用来描述各种现象和关系。
通过学习和理解函数的连续性与间断点，我们可以更好地理解函数的性质，解决实际问题，并在数学建模和分析中运用它们。
因此，深入研究函数的连续性与间断点对于数学学习和应用都具有重要意义。
写到这里，我相信你已经对函数的连续性与间断点有了一定的了解。
希望本文能够对你有所帮助，如果还有任何问题，请随时向我提问。
函数的连续性与间断点(重点内容全)
函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。
（增量可正可负）。
例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。
3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。
（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。
函数的连续性与间断点
3 单侧连续及闭区间的连 续性
若 lim f ( x) ＝f ( x 0 ) ，则称f ( x )在 x 0 点左连续； －
x x0
若 lim f ( x) ＝f ( x 0 ) ，则称f ( x )在 x 0 点右连续。 ＋
x x0
若f ( x )在 (a , b )内点点连续，且在 x＝a 点右连续 ; 记作 f ( x ) Ca ， b
由夹挤准则可知： 当 x 0 时, lim y 0 x 0
再由 x 0 点的任意性推知 y sin x 在( , )连续。
内有定义， 定义 2 设 y＝f ( x ) 在 U x 0，δ
若 lim f ( x )＝ f ( x 0 )
x x0
②
则称 f ( x ) 在 x 0 点处连续。
例 讨论 f ( x)＝sin x 在 （－，＋） 的连续性。
解： 任取 x 0 ( ,)
x x y sin( x 0 x ) sin x 0 2 sin cos( x 0 ) 2 2
x x x 2 sin cos( x 0 ) 2 sin x 2 2 2
x 0 为其跳跃间断点 .
1
x
返回
三、内容小结
在点 连续的等价形式
左连续
在点 间断的类型 可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 无穷间断点 第二类间断点 振荡间断点
右连续
左右极限都存在
左右极限至少有一个不存在
返回
思考与练习
1. 设 连续函数. 提示:
, x 0 , a ____ 时 x sin 1 为 x f ( x ) f ( x) 2 a x ,可去间断点 .
函数的连续性与间断点的分类
函数的连续性与间断点的分类函数是数学中一个十分重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在数学分析中，我们常常关注函数的连续性和间断点，它们对于理解函数的性质和行为具有重要的作用。
本文将介绍函数的连续性和间断点的分类，以及它们在数学和实际问题中的应用。
正文：一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域内的每个点上都存在极限，并且该极限等于该点处的函数值。
简单来说，函数在其定义域内没有断裂或跳跃的情况，具有连续性。
1.1 间断点的定义函数的间断点是指函数在某个点上不满足连续性的点。
根据间断点的不同性质，可以将其分类为三种类型：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1.2 可去间断点可去间断点是指函数在某一点上不连续，但通过修正或填补可以使其变成一个连续点。
具体来说，如果函数在某一点的左右极限存在且相等，但与该点的函数值不同，则该点为可去间断点。
1.3 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某一点的左右极限存在，但不相等。
换句话说，函数在该点处存在一个有限的跳跃。
跳跃间断点可以通过一个间断点的加法或减法变得连续。
1.4 无穷间断点无穷间断点是指函数在某一点的左右极限至少有一个不存在或为无穷大。
无穷间断点可以分为两类：无穷增长和无穷衰减。
无穷增长的间断点是指函数在某一点的右极限为无穷大，而左极限不存在或为有限。
无穷衰减的间断点则相反，函数在某一点的左极限为无穷小，而右极限不存在或为有限。
二、间断点的应用间断点的概念在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
2.1 极限的计算在求解函数的极限时，间断点的分析和处理是十分重要的。
根据间断点的类型，我们可以使用不同的方法来计算函数的极限值。
对于可去间断点，通过修正或填补可以消除其影响，从而得到准确的极限值。
而对于跳跃间断点和无穷间断点，我们可以使用极限的性质和定理来计算。
2.2 曲线的绘制在绘制函数的曲线图时，间断点的位置对于曲线的形状和走势有着很大的影响。
高三数学专题 函数连续性问题
高三数学专题函数连续性问题函数连续性是高中数学中一个重要的专题，它和函数的性质有着密切的关系。
函数连续性问题主要包括函数的连续性、间断点和间断性等内容。
下面将重点介绍函数连续性问题的相关概念和解题方法。
1. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内的每一个点都存在极限，并且函数在这些点上的极限等于函数在这些点上的函数值。
也就是说，如果函数在某一点的左极限和右极限存在且相等，那么函数在这一点就是连续的。
函数的连续性可以用数学定义来表示，如下所示：定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 连续。
设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 连续。
2. 间断点和间断性当函数在某一点上不连续时，该点就被称为间断点。
间断点的种类有三种：1. 可去间断点：也称为去除不连续点，指的是在某一点上存在极限，只需要对函数在该点进行修正或定义，就可以使函数连续。
2. 跳跃间断点：也称为绝对不连续点，指的是在某一点上的左极限和右极限存在，但两者不相等。
3. 无穷间断点：指的是在某一点上的左极限或右极限为无穷大，或者两者中至少有一个不存在。
3. 解题方法在解决函数连续性问题时，可以采用以下方法：1. 观察函数的定义域和值域，找出函数可能的间断点；2. 分析间断点的性质，并确定其类型；3. 运用极限的相关定理或其他相关数学知识，来判断函数在间断点是否连续；4. 根据函数在不同区间的连续性情况，综合判断函数的连续性。
需要注意的是，解决函数连续性问题时，可以利用函数在不连续点附近的局部性质来分析，同时还需要注意避免除数为零等数学错误。
结论函数连续性问题是高中数学中的重要内容之一，它涉及到函数的连续性、间断点和间断性等概念。
函数的连续性定义和间断点
x
0
x
x0
x0 x
x
0
x0 x
x0
x
2.函数在一点连续的定义
定义 1 设函数 f ( x ) 在U ( x0 )内有定义,如 或 果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函
lim 数的增量 y 也趋向于零,即 x 0 y 0
x 0
lim[ f ( x0 x) f ( x0 )] 0 ,那么就称函数 f ( x ) 在
均存在 ,
1. 跳跃间断点 f ( x0 0) f ( x0 0) 2. 可去间断点 f ( x 0) f ( x 0) , 即 lim f ( x)存在, 但 ) ( x0 0) f 0 0 x x0 ) f ( x0 0) , 即 lim f ( x)存在, 但 lim f ( x) f ( x0 ) x x0 x x0 或f ( x0 )没定义
点 x0 连续, x0 称为 f ( x )的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如果
函数 f ( x ) 当 x x0 时的极限存在,且等于它在 点 x0 处的函数值 f ( x0 ) ,即 xlim f ( x) f ( x0 ) x
x 1
lim f ( x ) 2 f (1),
x 0为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数是研究数学的重要工具之一，而函数的连续性与间断点则是研究函数性质的基础。
在数学领域中，连续性是一种非常重要的性质，因为它决定了函数在一定区间内的取值方式。
在这篇文章中，我们将探讨函数的连续性与间断点的概念、特征以及应用。
函数的连续性连续性是函数最基本的性质之一，它表明函数在其定义域内的取值是连续的。
简单来说，就是当函数的自变量趋近于某个值时，函数的值也趋近于某个值，而且这个趋近过程是连续的。
如果函数不满足连续性，那么就会出现间断点。
函数连续性的定义：设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，如果当$x$在$x_0$附近移动时$f(x)$的值趋近于$f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续，否则称函数$f(x)$在点$x_0$处不连续。
连续性是指函数的值可以不间断地取遍定义域内的任意值。
在图像上，连续的函数是没有断点的函数，它的所有连续的点构成一个连续的曲线。
连续性是函数值变化的一种平滑的方式，也是数学中最基本、最重要的性质之一。
函数的间断点函数的间断点与连续性是相对的。
当一个函数在某一点处不连续时，我们就称它在那一点有间断点。
间断点通常分为三种：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去间断点：当函数在某一点处的左、右极限存在且相等，但与函数在该点处的函数值不相等时，在该点就称为函数的可去间断点。
可去间断点是因为函数在那个点处可以被定义为一个更平滑的函数。
2. 跳跃间断点：当函数在某一点处的左、右极限都存在，但这两个极限不相等时，在该点就称为函数的跳跃间断点。
跳跃间断点通常是因为函数在那个点处实现了一个突变。
3. 无穷间断点：当函数在某一点处的左、右极限至少有一个不存在时，在该点就称为函数的无穷间断点。
函数的连续性与间断点的应用函数的连续性与间断点在计算机科学、物理学、经济学和生物学等领域中都有重要的应用。
例如，在控制系统中，通过控制系统与外界相关变量之间的函数间的连续性，我们可以预测和控制物理系统的运动。
函数连续性与间断点
函数连续性与间断点函数连续性和间断点是微积分中重要的概念，它们在理解和分析函数的特性和性质时起着关键的作用。
本文将介绍函数连续性的定义和判定方法，以及常见的间断点类型。
通过对函数连续性与间断点的讨论，我们可以更好地理解函数的行为和性质。
一、函数连续性的定义函数连续性是指函数在某一点上没有突变或跳跃的性质。
更具体地说，函数在某一点连续，意味着函数在该点附近的取值变化连续而平滑，没有断裂或间断。
数学上，我们用极限的概念来定义函数的连续性。
对于函数 f(x)，当 x=a 时，若满足以下条件，则函数 f(x) 在 x=a 处连续：1. f(a) 存在；2. lim┬(x→a)f(x) 存在；3. lim┬(x→a)f(x)=f(a)。
简单来说，函数在某一点连续，要求函数值存在，左极限和右极限存在且相等于函数值。
二、函数连续性的判定方法在实际计算中，我们可以利用以下定理和判定方法来判断函数的连续性：1. 常数函数和标准初等函数在其定义域内是连续的；2. 有限个连续函数的和、差和乘积仍然是连续函数；3. 连续函数的复合函数是连续的；4. 若函数 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处连续，则它们的和、差、乘积、商（分母不为零时），以及复合函数仍然在 x=a 处连续。
通过这些定理和判定方法，可以方便地判断一个函数在给定区间或点上是否连续。
三、间断点的类型当一个函数在某一点或某一区间上不满足连续性的条件时，我们称该点或区间为函数的间断点。
1. 可去间断点若函数在 x=a 处的左、右极限存在且相等，但与函数在该点处的函数值不相等，则称 x=a 处为可去间断点。
也就是说，函数在这一点上存在一个“洞”，可以通过在该点赋予一个新的函数值来修补间断。
2. 跳跃间断点若函数在 x=a 处的左、右极限存在，但两个极限不相等，则称 x=a 处为跳跃间断点。
也就是说，函数在这一点上有一个不连续的跳跃。
3. 无穷间断点若函数在 x=a 处的左、右极限至少有一个不存在，则称 x=a 处为无穷间断点。
第四章函数的连续性
第四章函数的连续性第一节函数的连续性的概念及性质一、函数的极限1.函数的极限的定义2.函数极限存在的条件3.无穷大与无穷小的概念4.函数的极限存在性的判别法1.函数的连续性的定义2.连续函数的运算性质3.闭区间上连续函数的性质4.有界最值定理三、函数的间断点与间断性1.间断点的定义2.可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点的概念3.单侧连续函数4.有限个间断点的定理第二节连续函数的性质与运算一、连续函数的性质1.介值定理2.零点存在定理3.介值定理的推论4.单调函数的性质二、连续函数的运算1.连续函数的四则运算一、初等函数的概念1.多项式函数的定义2.有理函数的定义3.指数函数、对数函数的定义4.三角函数、反三角函数的定义第四节无穷小量与无穷大量的比较一、无穷小量的渐近性1.无穷小量的比较2.无穷小量的阶3.无穷大量的渐近性4.无穷大量与无穷小量的比较二、函数的无穷大与无穷小1.函数收敛于无穷大的定义2.函数收敛于无穷大的判定3.函数的无穷小4.函数的无穷小的比较性质第五节函数的连续性的应用一、数列极限的概念和性质1.数列极限的定义2.数列极限的性质3.数列极限存在的判别法4.数列极限的夹逼定理二、函数极限的计算1.函数极限的四则运算2.函数极限的夹逼定理3.康托罗尔定理4.函数极限存在的判别法三、连续函数的应用1.不动点定理2.闭区间上连续函数的最值存在性3.最值定理与勒贝格条件。
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一直是数学中的重要概念之一。
从初等数学到高等数学，我们都会接触到函数的连续性问题。
本文将深入探讨函数的连续性与间断点的概念、性质以及应用。
一、函数连续性的概念与性质1.1 函数连续性的定义在数学中，如果一个函数在某一点处的极限等于该点处的函数值，那么我们就称这个函数在该点处连续。
具体来说，设函数f(x)在点x=a 的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在Δ>0，使得当|x-a|<Δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
1.2 连续函数的性质（1）连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
（2）连续函数的复合函数仍然是连续函数。
（3）有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。
二、函数间断点的分类和性质2.1 第一类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限都存在，但不相等，即lim┬(x→a⁻)f(x)≠lim┬(x→a⁺)f(x)，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第一类间断点。
第一类间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
2.2 第二类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限至少有一个不存在，或者虽然都存在但相等于无穷大，即lim┬(x→a⁻)f(x)不存在或lim┬(x→a⁺)f(x)不存在或lim┬(x→a⁻)f(x)=+∞或lim┬(x→a⁺)f(x)=+∞，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第二类间断点。
三、连续性的应用3.1 介值定理介值定理是函数连续性的重要应用之一。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么对于介于f(a)和f(b)之间的任意一个数k，存在一个c∈(a, b)，使得f(c)=k。
3.2 零点存在定理零点存在定理是函数连续性的又一个重要应用。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，那么方程f(x)=0在区间(a, b)内至少有一个根。
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性和间断点是函数学中常见的概念，它们与函数的性质紧密相关。
本文将介绍函数的连续性和间断点的定义、分类以及与函数图像的关系。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间内的普遍性质，即函数在该区间内的每个点都具有连续性。
具体而言，对于给定的函数f(x)，若函数在x=a的某个邻域内，当x趋近于a时，f(x)也趋近于f(a)，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性可以通过极限的定义来进一步说明。
对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性有三种基本类型：第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。
1. 第一类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限不相等的点。
换句话说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且存在两个不相等的实数L1和L2，使得lim(x→a-)f(x)=L1，lim(x→a+)f(x)=L2，则称x=a为函数的第一类间断点。
2. 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点的左右极限至少有一个不存在或者为无穷大的点。
即，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且至少存在一个左极限lim(x→a-)f(x)或右极限lim(x→a+)f(x)不存在或为无穷大，则称x=a为函数的第二类间断点。
3. 可去间断点可去间断点是指函数在该点的左右极限都存在，但与该点的函数值不相等。
也就是说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=L，但f(a)≠L，则称x=a为函数的可去间断点。
二、函数的连续性与图像函数的连续性与函数图像的连续性密切相关。
对于连续函数而言，其图像是一条连续的曲线，没有突变或跳跃的情况。
而间断点则对应着函数图像上的断点或间断处。
对于第一类间断点而言，其在函数图像上呈现为两个不连续的部分，可以用一个空心圆标记该点。
函数的连续性与间断点
(1)limf(x)存在 ;(2) f(x)在x0处连. 续 x0
解 因为 l i mf(x) 1, l i mf(x) b, 所以
x0
x0
(1) 要limf(x)存在 ,必需且只需
x0
limf(x)l i mf(x),即 b 1(a可任取).
x0
x0
( 2) 要f(x)在x0处 连,必续 需且只需
在 x0处连 . 续
解 f(0)a,
lim f(x)lic m o xs1,
x 0
x 0
lifm (x ) li(a m x )a,
x 0
x 0
要 f ( 0 0 ) 使 f ( 0 0 ) f ( 0 ) ,a1 ,
故当且a仅 1时 当 , 函f数 (x)在 x0处连 . 续
4. 连续函数(continous function)与连续区间
关于连续函数, 有一个对某些问题的推理 很有用的定理.
定理2 设 f(x )在 x 0 连 ,且 f续 (x 0 ) 0 ,则存在 x0
的一个邻域,
使得在此邻域内
f(x) f (x0) 0. 2
连续函数的图形
y
f ( x0 )
f (x0) 2
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
x0
x
例如,
有理整函数(多项式)
limf(x)limf(x) f(0),即 ab1.
x0
x0
三、小结
1. 函数在一点连续的三个定义、必须满足的 三个条件;
2. 区间上的连续函数;
3. 函数间断点的分类:
间断点
第一类间断点: 第二类间断点:
跳跃型,
可去型
无穷型,
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增量：变量从初值变到终值，则称为变量的增量或
改变量，记为，即
对于函数，当自变量从变到时，称为自变量的增量；
对应的函数值从变到，
称为函数的增量。
注：增量可正可负。
图 3-1
定义设函数在点的某一邻域内有定义，
如果当自变量的增量趋于零时，对应函数的增量
也趋于零
即，
那么就称函数在点连续，称为函数的连续点。
极限可写成，
即所以此定义也可改写为
定义设函数在点的某一邻域内有定义，如果，
那么就称函数在点连续。
由定义可知，函数在点连续，必满足三个条件
（1）在点有定义
（2）存在（左、右极限存在且相等）
（3）
如果三条中有一条不满足，则在点就不连续。
例1设讨论在的连续性。
解是一分段函数，
∵
所以不存在，故在处不连续。
图 3-2
例2讨论函数
在，及处的连续性。
解在处：
不存在，所以不连续。
在处：
，所以连续。
在处：
且所以连续。
左连续、右连续：
若存在且等于，即，则称在点左连续；
若存在且等于，即，则称
在点右连续。
图 3-3
如：上两例中的函数均在点左连续。
显然在点连续，则在点左连续且右连续。
函数在区间连续：
如果函数在区间内每一点都连续，则称函数在区间
内连续；
如果在区间内连续，在点右连续，在点左连续，
则称函数在闭区间上连续。
图 3-4
例3当时，且在连续，则
解∵在连续，
例4设函数在处连续，求。
解因为在处连续，所以，
而，
如果函数在的去心邻域内有定义，但在不连续，称为的间断点。
与连续的条件相对应，有下列三种情形之一时，则在点就不连续，点就为间断点。
(1) 在点没有定义
(2) 在点有定义，但不存在
(3) 在点有定义，且存在，但
如：在点无定义，且不存在，所以是的间断点。
是的间断点，在有定义，但不存在 (条件2)
是的间断点，因在有定义，
且，但。
间断点的分类
（1）跳跃间断点
若在的左右极限存在但不相等，
则称为跳跃间断点。
如：是的跳跃间断点。
图 3-5
（2）可去间断点
存在但不等于，则称为可
去间断点。
补充或修改在的定义后，可使
在连续。
如：是的可去间断点。
图 3-6
（3）无穷间断点
当（或，或）时，
，则称为无穷间断点。
如：是的无穷间断点。
图 3-7 （4）震荡间断点
当时，无穷震荡没有极限。
如：在处。
图 3-8
（1）、（2）称为第一类间断点，（3）、（4）称为第二类间断点。