高三数学基础模拟试题(一)
上海高中2024年高三第一次模拟考试(数学试题含解析)
上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高等数学基础模拟题
高等数学基础模拟题一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1.函数2e e xx y -=-的图形关于（ ）对称．(A)坐标原点 (B)x 轴 (C)y 轴 (D)x y = 2.在下列指定的变化过程中，（）是无穷小量． (A))(1sin∞→x xx (B))0(1sin →x xk4.函数x y arctan =的单调增加区间是 ．5.若⎰+=c x x x f sin d )(，则=')(x f ．三、计算题（每小题11分，共44分） 1.计算极限1)1sin(lim 21-+-→x x x ．2.设xx y 3e cos +=，求y d ．3.计算不定积分⎰x xxd e21．4.计算定积分⎰e1d ln x x ．四、应用题（本题16分）某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容径与高各为多少时用料最省？答案一、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1.A 2.C 3.C 4.B 5.D二、填空题（每小题4分，本题共20分） 1.)2,1(- 2.e 3.3 4.),(∞+-∞ 5.sin- 三、计算题（每小题11分，共44分） 1.解：21)1)(1()1sin(lim 1)1sin(lim 121-=-++=-+-→-→x x x x x x x )3(d )e (cos xx +h ，则其表面积为 ，由实际问题可知，当3π4V =，即当容器x(B))(xx f =x ln (D)ln )(x x f =),+∞，则函数 轴坐标原点(A)x 1 (B)xx sin(C)1e -x(D)32xx⑷设)(x f 在点1=x 处可导，则--→hf h f h ()21(lim0（ ）． (A))1(f ' (B))1(f '-(C))1(2f ' (D))1(2f '-⑸函数322-+=x x y 在区间)4,2(内满足（）．(A)先单调上升再单调下降 (B)单调上升(C)先单调下降再单调上升 (D)单调下降⑹若x x f cos )(=，则='⎰x x f d )(（）．(A)c x +sin (B)c x +cos (C)c x +-sin (D)c x +-cos⑺=+-⎰-x x x x d )22cos (2π2π7（）．(A)0 (B)π(C)2π(D)2πk ⑺=⎰x xx d e d d 2． （三)计算题⑴已知32)1(2-+=+x x x f ，求1(,)2(,)(xf f x f ．⑵计算极限xxx 5sin 6tan lim 0→．⑶计算极限5456lim 221--++-→x x x x x ．⑷计算极限32)1sin(lim 21-+-→x x x x ．⑸设2ln sin x xx y -=，求'y ． ⑹设x y 3sin ln =，求y d ．⑺设y yx =()是由方程x y x y cos e e 3+=确定的函d y ．⑻计算不定积分⎰x x xd sin ．⑼计算不定积分⎰x x d )1． ．x ．)0,2(A 的距离d ，问当底的无盖圆柱形铁桶，问怎样62.5立方米的长方体x x arctan >．e e x x>．]a 上可积并为奇函数，则0d )(=⎰-aax x f ．三、综合练习答案 （一）单项选择题⑴C ⑵D ⑶C ⑷D ⑸B ⑹B ⑺D ⑻B ⑼B（二）填空题⑴)2,1()1,2[Y -⑵0=x ⑶e ⑷41⑸),2(∞+⑹x 3cos 3⑺2e x（三)计算题⑴42-x ,0,2241x x -⑵56⑶32-⑷41 ⑸3ln 2sin 21cos xxx x x +--⑹x x d cot 3⑺x xy xy y x d cos 3e sin e 23--⑻c x +-cos2⑼c x ++ln 1ln ⑽c x+-1e ⑾-h h4.若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f xd )(1（ ）．(A))(x F (B)c x F +)((C)c x F +)(2(D))(2x F5.下列无穷限积分收敛的是（ ）． (A)⎰+∞1d 1x x (B)⎰+∞d e x x(C)⎰+∞1d 1x x(D)⎰+∞12d 1x x二、填空题（每小题3分，共15分）1.函数)1ln(1-+=x x y 的定义域是．2.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=00)1()(1x kx x x x f x ，在0=x 处连续=k．3.曲线x x f =)(在)1,1(处的切线斜率是4.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是．5.='x x d )(cos ．分） ．'． 3e y y =+确定的函数，．．l ，问当底半 )1ln(x +>．e 3.21 4.),0(∞+1.42.xx x x x e sin cos 22+++ 3.22ecos e 2x x x 4.x y x yd )e 3(12- 5.c x +-1sin 6.94e 923+ 四、应用题当底半径l r 36=，高l h 33=时，圆柱体的体积最大． 山东广播电视大学开放教育高等数学基础课程综合练习题（1）一、 单项选择题1.下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等． (A)2)()(x x f =，x x g =)((B)2)(x x f =，x x g =)((C)3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=(D)4ln )(x x f =，g f(C)2π(D)2π8.若)(x f 的一个原函数是x1，则=')(x f （ ）．(A)x ln (B)32x(C)x 1(D)21x-9.下列无穷积分收敛的是（ ）． (A)⎰∞+0d cos x x(B)⎰∞+-03d ex x(C)⎰∞+1d 1x x(D)⎰∞+1d 1x x二、填空题 1.函数x x xy ++-=2)2ln(的定义域是2.函数⎩⎨⎧≤>+=0sin 02x x x x y 的间断点是 ．3.若函数⎪⎨⎧≥<+=00)1()(1x x x x f x ，在0=x 处连)处的切线斜率是的单调增加区间是=)(x f 3，求,)2(,)(f x f ．x y cos 3+确定的函x9.计算不定积分⎰+x x x d )ln 1(1． 10.计算不定积分⎰x x xd e21． 11.计算不定积分⎰x xxd ln 2．12.计算定积分⎰102d e x x x ．13.计算定积分⎰e12d ln x x x ．14.计算定积分⎰e1d ln x x x ．四、应用题 1.求曲线x y 22=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短．2.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为d ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？3.某厂要生产一种体积为V 的无盖圆柱形铁桶，问怎样才能使用料最省？⎰2.53.32-4.41 5.3ln 2sin 21cos x x x x x +--6.x x d cot 37.x xy x y y x d cos 3e sin e 23-- 8.c x +-cos29.c x ++ln 1ln10.c x+-1e11.c x x x +--1ln12.)1e (412+13.)12e (13+2)(x f -=（）(A) (B)(C)e 41 (D)e 214.=⎰x x xf xd )(d d 2（ ）． (A))(2x xf (B)x x f d )(21(C))(21x f (D)x x xf d )(2 5.下列无穷限积分收敛的是（ ）． (A)⎰+∞d e x x(B)⎰+∞-0d e x x(C)⎰+∞1d 1x x(D)⎰+∞1d 1x x二、填空题（每小题3分，共15分）1.函数)1ln(92--=x x y 的定义域是 ．2.函数⎩⎨⎧≤>-=0sin 01x x x x y 的间断点是 ．3.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是．21.解：5655sin lim 66sin lim5655sin 66sin 56lim 5sin 6sin lim0000=⋅=⋅=→→→→xx x xx x x x x x x x x x 2.解：由导数四则运算法则得3.解：)e 2sin(e e cos e sin e 2x x x x x y =='4.解：等式两端求微分得 左端y x x y x y d cos )(cos d )cos (d +==右端y yy d e )e (d ==由此得 整理后得5.解：由分部积分法得6.解：由换元积分法得四、应用题（本题12分）解：如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足222l r h =+圆柱体的体积公式为 将222h l r -=代入得求导得 令0='V 得l h33=，并由此解出l r 36=．即当底63x ，则有)(x 单调增加，所以当x。
浙江省嘉兴市2024届高三第一次模拟测试数学试题含答案
嘉兴市2024届高三第一模拟测试数学试卷（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知复数220231i i i z =++++ ，则z =（）A.0B.1C.D.【答案】A 【解析】【分析】化简复数z ，继而求模即可.【详解】220231i i i z =++++ ()()23420172018201920202021202220231i+i i +i i i +i i +i i +i =+++⋅⋅⋅++++15050i 1i 0=+⨯+--=则0z =，故选：A .2.已知集合πsin ,044k A k k ⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 且，则集合A 的元素个数为（）A.3 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】将k 的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合A ，即可得集合A 的元素个数.【详解】当0k =时，πsin sin004k ==，当1k =时，ππsinsin 442k ==，当2k =时，π2ππsin sin sin 1442k ===，当3k =时，π3πsin sin 442k ==，当4k =时，π4πsinsin sinπ044k ===，故0,,12A ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，共三个元素.故选：A.3.已知向量()2,0a =，()0,3b = ，若实数λ满足()()b a a b λ-⊥+ ，则λ=（）A.49B.94C.1- D.1【答案】A 【解析】【分析】先表示出,b a a b λ-+的坐标，然后根据垂直关系得到λ的方程，由此求解出结果.【详解】因为()()2,3,2,3b a a b λλ-=-+=，且()()b a a b λ-⊥+ ，所以22330λ-⨯+⨯=，所以49λ=，故选：A.4.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.5.已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型： 1.4e 0.1250ety k -=⋅（00k >，当0=t 时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过n 年后(N)n ∈，当该物种的种群数量不足2023年初的10%时，n 的最小值为（参考数据：ln10 2.3026≈）（）A.16B.17C.18D.19【答案】D 【解析】【分析】确定2023年初的种群数量为0=t 时的函数值，根据题意可列不等式 1.4e 0.125 1.4e 00e 10%e tk k -⋅<⋅⋅，结合对数运算即可求得答案.【详解】由题意可知2023年初的种群数量为0=t 时的函数值 1.4e0e k ⋅，故令 1.4e 0.125 1.4e 00e10%e ty k k -=⋅<⋅⋅，即0.1251e 10t -<，则0.125ln10t >，ln108ln108 2.302618.42080.125t ∴>=≈⨯=，由于*n ∈N ，故n 的最小值为19，故选：D6.已知数列{}n a 满足10a =，231a a ==，令()*12N n n n n b a a a n ++=++∈．若数列{}nb 是公比为2的等比数列，则2024a =（）A.2024247- B.2024237+ C.2024247+ D.2024267+【答案】B 【解析】【分析】数列{}n b 是公比为2的等比数列，可得2nn b =，则有32nn n a a +-=，累加法结合等比数列求和公式，计算2024a .【详解】11230112b a a a =++=++=，数列{}n b 是公比为2的等比数列，则2nn b =，即()13123121222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b ++++++++-=++-++=-=-=，()()()()2024202420212021201820182015522a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ ()67423202420242021201820152212242322221111877⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=+++++=+=+=- .故选：B【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列{}n b 的通项得到32nn n a a +-=，用累加法即可计算2024a .7.正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A.2B.94 C.3D.52【答案】C 【解析】【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以223332BG BE ==⨯⨯=，所以AG ==r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，2348OM ON ⎛⋅=-=- ⎪⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+ ()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，PO的最大值为44=，所以PM PN ⋅的最大值为23348⎛-= ⎝⎭.故选：C8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为A.13B.12C.2D.63【答案】A 【解析】【分析】结合图像，利用P 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到MN ME的比值，再结合MIN ∆与MPE ∆相似，即可求得I 点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于点M ，连接G I 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E，设点00(,)P x y ，12(,0),(,0)F c F c -，则00,OE x PE y ==，因为G 为12PF F ∆的重心，所以00(,)33x y G ，因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03xON =，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，则有01212122()()23x PF PF F N NF F O ON OF ON ON -=-=+--==，又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x xPF a PF a =+=-，又由角平分线的性质可得，011223=3x a F M PF x F M PF a +=-，而12=F M c OM F M c OM +-所以得03cxOM a=，所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0(3)3a c x ME OE OM a-=-=，所以3IN MN a c PEMEa c -==-，即0()3a c y IN a c-=-，因为1212121211()22PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=++=即00()11(22)(2)232a c y a c c y a c -+=-，解得13c a =，所以答案为A.【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出,a c ，利用离心率公式直接求解.（2）建立,,a b c 的齐次等式，转化为关于e 的方程求解，同时注意数形结合.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.正切函数是周期函数，最小正周期为πB.正切函数的图象是不连续的C.直线()ππZ 2x k k =+∈是正切曲线的渐近线D.把ππtan ,,)2(2y x x =∈-的图象向左、右平行移动πk 个单位，就得到tan y x =π(R,π)2x x k ∈≠+的图象【答案】ABC 【解析】【分析】根据正切函数的性质，以及它的的图象的特点，即可判断A ，B 。
深圳市育才中学2024年高三高考数学试题系列模拟卷(1)
深圳市育才中学2024年高三高考数学试题系列模拟卷（1）注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．12．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-53．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．4．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．125．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．-8D ．86．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C 与圆22:(3)3C x y +-='交于M ,N 两点,若||6MN =,则MNF 的面积为( )A ．28B ．38C ．328D ．3247．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8y x =+，则表中数据m 的值为（ ）变量x 01 2 3 变量y m35.57A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.58．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 9．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =-- B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+D ．(1)2ni i -=+10．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元11．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三文科数学模拟题一
高三数学模拟试题（一）一、选择题（5×10=50分）1. 设集合{}2|230A x x x =--<，{}|14B x x =≤≤,则AB =（ ）A ．{}|13x x ≤<B ．{}|13x x ≤≤C ．{}|34x x <≤D ． {}|34x x ≤≤ 2．若命题:|1|4p x +≤，命题2:56q x x <-，则p q ⌝⌝是的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知向量(1,),(1,),a n b n a b b ==--若2与垂直，则||a =（ ） A ．1B ．2C ．2D ．44．过点)2,1(与圆221x y +=相切的直线方程是（ ） A ．1x =B ．3450x y -+=C ．34501x y x -+==或D ．54301x y x -+==或5．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2 00≤>x x ，则))41((f f = ( )A ．9B ．19C ．9-D ．91-6．ABC ∆中,三边之比4:3:2::=c b a ，则最大角的余弦值等于（ ） A ．41 B ．87 C ．21- D ．41-7．已知焦点在x 轴上的椭圆22219x y a +=的离心率是12e =，则a 的值为（ ） A ．23 B ．3 C ．32 D ．12 8．若不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ,则实数a 的取值范围是( ) A ．)2,2(- B ．]2,2(- C ．),2()2,(+∞--∞ D ．)2,(-∞9．函数236()(04)1x x f x x x ++=≤≤+的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ．6 D ．510． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<的图象如图所示，则ω等于( )A ．13 B ．1 C ．32D ．2二、填空题（5×5=25分）11．若点(),9a 在函数3xy =的图象上，则tan6a π= 12．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是13．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+,1,1,1x y x y x 则y x z 2-=的最小值是_______14．已知数列{}n a 为等差数列，且28143,a a a ++=则()2313log a a +=_______ 15．若扇形的面积和弧长都是10，则这个扇形中心角的弧度数是____三、解答题（75分）16．（本题满分13分）已知集合{}|||2A x x a =-<，26|12x B x x +⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭. （1）求集合A 和集合B（2）若A B R =，求a 的取值范围17．（本小题满分13分）等比数列{}n a 中，已知142,16a a == （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S18．（本小题满分12分）已知向量a =(sin ,cos())x x π-，b =(2cos ,2cos )x x ，函数()1f x =⋅a b+.（1）求π()4f -的值；（2）求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值.19．（本小题满分13分）如图所示，已知三棱锥BPC A -中，,,AP PC AC BC M ⊥⊥为AB 中点D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题1. 已知集合A={x | x² - 1 = 0}，则A的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 若a > 0，b < 0，则a与b的和的符号为（）A. 正B. 负C. 零D. 无法确定答案：D3. 设函数f(x) = √(x²-2x+1)，则f(3)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 在△ABC中，角A = 60°，边AC = 5cm，边BC = 4cm，则边AB 的长度为（）A. 3.5cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm答案：C5. 某商店对现金支付的商品提供10%的折扣，小明购买了一件原价500元的商品，他需要支付多少元？（）A. 45元B. 50元C. 450元D. 500元答案：C二、计算题1. 已知函数f(x) = |x - 3| + 2，求f(5)的值。
解：当x = 5时，f(x) = |5 - 3| + 2 = 4答案：42. 解方程：3x + 5 = 2(x - 1) + 7解：展开得：3x + 5 = 2x - 2 + 7移项得：3x + 5 = 2x + 5化简得：x = 0答案：03. 已知函数f(x) = x² - 4x + 5，求f(3)的值。
解：当x = 3时，f(x) = 3² - 4 × 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2答案：24. 某商品在经过两次10%的折扣后，售价为270元，求其原价。
解：设原价为x元，则经过第一次折扣后为0.9x元，经过第二次折扣后为0.9 × 0.9x元。
根据题意，0.9 × 0.9x = 270，解方程得：x = 300答案：300三、应用题1. 一辆自行车上午以每小时20公里的速度向南骑行，下午以每小时15公里的速度向北骑行。
如果来回共耗时8小时，求行程的总长度。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B。
A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 3, 4}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3}3. 若sin(α) = 1/2，且α为锐角，求cos(α)的值。
A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/24. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求其第5项a5。
A. 17B. 14C. 11D. 85. 圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，求圆心坐标。
A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (0, 0)D. (4, 3)6. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是多少？A. 0B. -4C. 4D. 17. 已知直线y = 2x - 3与抛物线y^2 = 4x相交于两点，求这两个点的坐标。
A. (1, -1), (3, 3)B. (1, 1), (3, -1)C. (1, 1), (3, 3)D. (1, -1), (3, -1)8. 已知向量a = (2, 3)，b = (-1, 2)，求a·b。
A. 4B. -1C. 1D. -49. 已知三角形ABC，∠A = 60°，a = 5，b = 7，求c的长度。
A. 3B. 4C. 6D. 810. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，求f'(x)。
A. 3x^2 - 6x - 9B. x^2 - 6x - 9C. 3x^2 - 6x + 5D. x^3 - 3x^2 - 9二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=8，公比q=2，求其第4项b4的值。
2025年新高考数学模拟试题一带解析
2025年新高考数学模拟试题（卷一）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某车间有两条生产线分别生产5号和7号两种型号的电池，总产量为8000个．质检人员采用分层抽样的方法随机抽取了一个样本容量为60的样本进行质量检测，已知样本中5号电池有45个，则估计7号电池的产量为（）A ．6000个B ．5000个C ．3000个D ．2000个2．如图所示，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别BC ，DC 的中点，若,,AB AM AN λμλμ=+∈R，则2λμ-的值为（）A ．43B ．52C ．23-D ．1033．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4920224a a a ++=，则20S =（）A ．60B ．120C ．180D ．2404．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（）A ．若,m m n α⊥⊥，则n α或n ⊂αB ．若,,⊥⊥⊥m n αβαβ，则m n ⊥C ．若,,m l n αββγαγ⋂=⋂=⋂=，且n β，则//l mD ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥5．第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（）A ．48B ．24C ．12D ．66．已知函数1()e 2x f x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,ee ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(4e,)⎛∞ ⎝U C ．2e ⎫⎪⎭D ．(2e,)⎛∞ ⎝U7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点()3,4A -的直线l 的一个法向量为()1,2-，则直线l 的点法式方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3M 的平面的一个法向量为()1,4,2m =-，则该平面的方程为（）A ．4210x y z -++=B ．4210x y z --+=C ．4210x y z +-+=D ．4210x y z +--=8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线C 分别在第一、二象限交于,A B 两点，2ABF △内切圆的半径为r ，若1||2BF a =，r =，则双曲线C 的离心率为（）AB．2CD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称10．已知12,z z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（）A ．若12z z =，则12z z +与12z z 均为实数B ．若12z z +与12z z 均为实数，则12z z =C ．若12,z z 均为纯虚数，则12z z 为实数D ．若12z z 为实数，则12,z z 均为纯虚数11．已知函数()y f x =在R 上可导且(0)2f =-，其导函数()f x '满足：22()21()exf x f x x -=-'，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 有且仅有两个零点B ．函数2()()2e g x f x =+有且仅有三个零点C ．当02x ≤≤时，不等式4()3e (2)f x x ≥-恒成立D ．()f x 在[1,2]上的值域为22e ,0⎡⎤-⎣⎦第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为．13．已知M ，N 是抛物线()2:20C x py p =>上两点，焦点为F ，抛物线上一点(),1P t 到焦点F 的距离为32，下列说法正确的是．（把所有正确结论的编号都填上）①1p =；②若OM ON ⊥，则直线MN 恒过定点()0,1；③若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为12；④若2MF FN = ，则直线MN 的斜率为4．14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N 分别为线段11A D ，1BC 上的动点.给出下列四个结论:①存在点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；②任意点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；③任意点M ，存在点N ，满足1MN BC ⊥；④任意点N ，存在点M ，满足1MN BC ⊥.其中所有正确结论的序号是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数31()ln 222f x ax x x x=--+.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)对[1,)x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.16．（15分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生40y60不愿生x2240总计5842100(1)求x和y的值．(2)分析调查数据，是否有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率．参考公式：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()2P kχ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82817．（15分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由．18．（17分）已知椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 为椭圆C 上异于顶点的一动点，12F PF ∠的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M N 、．(1)若012x =，求1PF ；(2)求证：PM PN为定值；(3)当1F N P 面积取到最大值时，求点P 的横坐标0x ．19．（17分）已知数列12:,,,n A a a a L 为有穷正整数数列.若数列A 满足如下两个性质，则称数列A 为m 的k 减数列：①12n a a a m +++= ；②对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(,)i j 有k 个.(1)写出所有4的1减数列；(2)若存在m 的6减数列，证明：6m >；(3)若存在2024的k 减数列，求k 的最大值.2025年新高考数学模拟试题（卷一）(解析版)第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
2024学年云南省泸水市第一中学高三下学期模拟考试(一)数学试题
2024学年云南省泸水市第一中学高三下学期模拟考试（一）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆2．已知集合{}2|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()R A B 等于( ) A ．[)5,7- B ．[)3,7- C ．()3,7- D ．()5,7-3．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．124．复数z 满足()11z i -=-，则复数z 等于（）A ．1i -B ．1i +C ．2D ．-25．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．27．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为 A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞ D ．(),0-∞ 8．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．33-D ．3-9．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >10．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29πC ．18πD ．24π12．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整版)高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试卷（满分150 分）一、选择题（每题 5 分，共 40 分）1．已知全集 U={1,2,3,4,5} ，会集 M ＝{1,2,3} ， N ＝ {3,4,5} ，则 M ∩ ( e U N)＝（）A. {1,2}B.｛ 4,5｝C.｛ 3｝D.｛ 1,2,3,4,5｝ 2. 复数 z=i 2(1+i) 的虚部为（）A. 1B. iC.- 1D. -i3．正项数列 { a } 成等比， a +a =3， a +a =12,则 a +a 的值是（）n1 23445A. - 24B. 21C.24D. 484．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为 2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（）A.2 34B.3C.2 3 4 54 3 4 3+D.2735．双曲线以一正方形两极点为焦点，另两极点在双曲线上，则其离心率为（ ）A. 2 2B.2 +1C.2D. 1uuur uuur6． 在四边形 ABCD 中，“ AB =2 DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（）A. 充足不用要条件B. 必要不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件7．设 P 在 [0,5] 上随机地取值，求方程x 2+px+1=0 有实根的概率为（ ）A. 0.2B. 0.4C.0.5D.0.6y8． 已知函数 f(x)=Asin( ωx +φ)(x ∈ R, A>0, ω>0, |φ|<)5f(x)的解析式是（2的图象（部分）以下列图，则）A ．f(x)=5sin( x+)Ｂ． f(x)=5sin(6 x-)O256 66xＣ． f(x)=5sin(x+)Ｄ． f(x)=5sin(3x- )366－ 5二、填空题：（每题 5 分，共30 分）9. 直线 y=kx+1 与 A （ 1,0）， B （ 1,1）对应线段有公共点，则 k 的取值范围是 _______. 10．记 (2x1)n 的张开式中第 m 项的系数为 b m ，若 b 32b 4 ，则 n =__________.x311 ． 设 函 数 f ( x) xx 1x 1、 x 2、 x 3、 x 41 2的 四 个 零 点 分 别 为 ， 则f ( x 1 +x 2 +x 3 +x 4 )；12、设向量 a(1，2)， b (2，3) ，若向量a b 与向量 c (4， 7)共线，则x 111. lim______ .x 1x 23x 414. 对任意实数 x 、 y ，定义运算 x* y=ax+by+cxy ，其中a、 b、c 常数，等号右的运算是平时意的加、乘运算 .已知 2*1=3 ， 2*3=4 ，且有一个非零数m，使得任意数x，都有 x* m=2x， m=.三、解答：r r15．（本 10分）已知向量 a =(sin(+x), 3 cosx)，b =(sin x,cosx),f(x)=⑴求 f( x)的最小正周期和增区；2⑵若是三角形 ABC 中，足 f(A)=3，求角 A 的．216．（本 10 分）如：直三棱柱（棱⊥底面）ABC — A 1B1C1中，∠ ACB =90°， AA 1=AC=1 ， BC= 2，CD ⊥ AB, 垂足 D.C1⑴求： BC∥平面 AB 1C1;A1⑵求点 B 1到面 A 1CD 的距离 .PCA D r r a ·b .B 1B17．（本 10 分）旅游公司 4 个旅游供应 5 条旅游路，每个旅游任其中一条.（ 1）求 4 个旅游互不一样样的路共有多少种方法;（2）求恰有 2 条路被中的概率 ;（3）求甲路旅游数的数学希望.18.（本 10 分）数列 { a n} 足 a1+2a2 +22a3+⋯+2n-1a n=4 n.⑴求通a n；⑵求数列 { a n} 的前 n 和S n.19．（本 12 分）已知函数f(x)=alnx+bx,且 f(1)= - 1， f′(1)=0 ，⑴求 f(x)；⑵求 f(x)的最大；⑶若 x>0,y>0, 明： ln x+lny≤xy x y 3.220．（本 14 分） F 1, F 2 分 C :x2y 21(a b 0) 的左、右两个焦点，若 Ca 2b 2上的点 A(1,3124.)到 F ， F 两点的距离之和等于2⑴写出 C 的方程和焦点坐 ；⑵ 点 P （ 1，1）的直 与 交于两点 D 、 E ，若 DP=PE ，求直 DE 的方程 ;4⑶ 点 Q （ 1，0）的直 与 交于两点 M 、N ，若△ OMN 面 获取最大，求直 MN 的方程 .21. （本 14 分） 任意正 数 a 1、 a 2、 ⋯ 、an ；求1/a 1+2/(a 1 +a 2)+⋯ +n/(a 1+a 2+⋯ +a n )<2 (1/a 1+1/a 2+⋯ +1/a n )9 高三数学模 答案一、 :. ACCD BAD A二、填空 ：本 主要考 基 知 和基本运算．每小 4 分，共 16 分 .9.[-1,0] 10.5 11.19 12. 2 13.1 14. 35三、解答 ：15．本 考 向量、二倍角和合成的三角函数的公式及三角函数性 ，要修业生能运用所学知 解决 ．解：⑴ f(x)= sin xcosx+3 + 3 cos2x = sin(2x+ )+ 3⋯⋯⋯2 23 2 T=π， 2 k π - ≤ 2x+≤ 2 k π +， k ∈ Z,232最小正周期 π， 增区[ k π -5, k π + ], k ∈ Z.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1212⑵由 sin(2A+ )=0 , <2A+ <7 ,⋯⋯⋯⋯⋯33 或533∴ 2A+ =π或 2π，∴ A=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33616．、本 主要考 空 、 面的地址关系，考 空 距离角的 算，考 空 想象能力和推理、 能力， 同 也可考 学生灵便利用 形， 建立空 直角坐 系， 借助向量工具解决 的能力． ⑴ 明：直三棱柱ABC — A 1B 1C 1 中， BC ∥ B 1C 1,又 BC 平面 A B 1C 1，B 1C 1 平面 A B 1C 1，∴ B 1C 1∥平面 A B 1C 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑵（解法一）∵ CD ⊥ AB 且平面 ABB 1A 1⊥平面 AB C,C 11 1 1∴ CD ⊥平面 ABBA ，∴ CD ⊥AD 且 CD ⊥A D ,∴∠ A DA 是二面角 A 1— CD —A 的平面角，1A 1B 1在 Rt △ ABC,AC=1,BC= 2 ,PC∴ AB= 3 , 又 CD ⊥ AB ，∴ AC 2=AD × ABADB∴ AD=3， AA1131=1，∴∠ DA 1B 1=∠ A DA=60 °，∠ A 1 B 1A=30°，∴ A B 1 ⊥A D又 CD ⊥ A 1D ，∴ AB 1⊥平面 A 1CD ， A 1D ∩ AB 1=P, ∴ B 1P 所求点 B 1 到面 A 1CD 的距离 . B P=A 1 B 1cos ∠ A 1 B 1A= 33cos30 =° .12即点 B 1 到面 A 1 CD 的距离 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21 × 3 1 z （ 2）（解法二） 由 V B 1- A 1CD =V C - A 1B 1D =C 132×6 = 2，而 cos ∠ A 1 CD= 2 × 6 = 3 ,AB13 6 2 3 31△A 1CD1 ×2 ×6 ×6 =2,B 1 到平面CS=3 332A ByA 1CD 距离 h, 1×22, 得 h= 3所求 .Dx h=33 6 2⑶（解法三）分 以CA 、CB 、CC 1 所在直 x 、y 、z 建立空 直角坐 系（如 ）A （ 1，0， 0）， A 1（ 1， 0， 1），C （0， 0， 0）， C 1（ 0， 0， 1），B （0，2 ， 0）， B 1（ 0， 2 ， 1），uuurr∴ D （ 2 ， 2， 0） CB =（ 0， 2 ， 1）， 平面 A 1CD 的法向量 n =（ x ， y ， z ），3 31r uuur3n CD2x2y 0rruuur，取 n=（ 1， -2 ， - 1）n CA 1 x z 0r uuur点 B 1 到面 A 1CD 的距离d= n CB 13r⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n217．本 主要考 排列，典型的失散型随机 量的概率 算和失散型随机 量分布列及希望等基 知 和基本运算能力．解：（ 1） 4 个旅游 互不一样样的 路共有：A 54=120 种方法； ⋯（2）恰有两条 路被 中的概率 ：P 2 C 52 (2 42) 28=54⋯125（3） 甲 路旅游 数ξ， ξ～ B(4, 1)14⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5∴希望 E ξ=np=4×=5 5答 : （ 1） 路共有120 种，（2）恰有两条 路被 中的概率 0.224, （ 3）所求希望 0.8 个数 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18．本 主要考 数列的基 知 ，考 分 的数学思想，考 考生 合 用所学知 造性解决 的能力．解：（ 1） a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n - 1a n =4n ，∴ a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n a n+1=4n+1，相减得 2n a n+1=3× 4n , ∴ a n+1=3× 2n ,4(n1) 又 n=1 a 1=4，∴ 上 a n =2n 1所求；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3(n 2)⑵ n ≥2 ， S n=4+3(2 n- 2), 又 n=1 S 1=4 也建立， ∴ S n =3× 2 n - 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．本 主要考 函数、 数的基本知 、函数性 的 理以及不等式的 合 ，同 考 考生用函数放 的方法 明不等式的能力．解：⑴由 b= f(1)= - 1, f ′(1)= a+b=0, ∴ a=1, ∴f(x)=ln x- x 所求； ⋯⋯⋯⋯⋯⑵∵ x>0,f ′(x)=1- 1=1x ,xxx 0<x<1x=1 x>1 f (′x) +0 - f(x)↗极大↘∴ f (x)在 x=1 获取极大 - 1，即所求最大 - 1； ⋯⋯⋯⋯⋯⑶由⑵得 lnx ≤x- 1 恒建立， ∴ln x+ln y=ln xy+ ln x ln y ≤ xy 1 + x 1 y 1 = xy x y 3建立⋯⋯⋯22 22220．本 考 解析几何的基本思想和方法，求曲 方程及曲 性 理的方法要求考生能正确分析 ， 找 好的解 方向， 同 兼 考 算理和 推理的能力， 要求 代数式合理演 ，正确解析最 ．解：⑴ C 的焦点在 x 上，由 上的点A 到 F 1、F 2 两点的距离之和是 4，得 2a= 4，即 a=2 .；3134 1.得 b 2=1，于是 c 2=3 ；又点 A(1,) 在 上，因此222b 2因此 C 的方程x 2y 2 1,焦点 F 1 ( 3,0), F 2 ( 3,0). ，⋯⋯⋯4⑵∵ P 在 内，∴直DE 与 订交，∴ D( x 1,y 1),E(x 2,y 2)，代入 C 的方程得x 12+4y 12- 4=0, x 22+4y 22- 4=0,相减得 2(x 1- x 2 )+4× 2× 1 (y 1- y 2)=0 , ∴斜率 k=-11 4∴ DE 方程 y- 1= - 1(x-), 即 4x+4y=5; ⋯⋯⋯4(Ⅲ )直 MN 不与 y 垂直，∴MN 方程 my=x- 1，代入 C 的方程得（ m 2+4) y 2+2my- 3=0,M( x 1,y 1 ),N( x 2 ,y 2), y 1+y 2=-2m 3 ,且△ >0 建立 .m 2 4, y 1y 2=-m 2 4又 S △ OMN = 1|y 1- y 2|= 1 ×4m212(m 24) = 2 m23， t=m 2 3 ≥ 3 ,2 2m 2 4m 24S△OMN =2,(t+1t1tt ) ′=1 - t-2>0t≥ 3 恒建立，∴t=3t+1获取最小， S△OMN最大，t此 m=0, ∴ MN 方程 x=1⋯⋯⋯⋯⋯。
高等数学基础模拟题答案
高等数学基础模拟题一、单项选择题（每题 3 分，此题共15 分）1. 设函数 f ( x) 的定义域为( , ) ，则函数 f (x) f ( x) 的图形对于（ D ）对称．(A)y x(B)x 轴(C)y 轴(D)坐标原点2.当 x 0时，变量（C）是无量小量．(A)1(B)sin x x x(C)e x1(D)xx23. 设f (x)e x，则 lim f (1x) f (1)（ B）．x 0x(A)2e(B)e(C) 1 e(D) 1 e4. d42 xf (x 2 ) dx （ A ）．dx1f (x)dx (A)xf ( x 2 )(B)12(C) f ( x)(D)xf ( x2 )dx25. 以下无量限积分收敛的是（B）．(A)0e x dx(B)e x dx(C)1dx(D)1dx 1x1x二、填空题（每题 3 分，共 15 分）1.函数2.函数y9x 2的定义域是(1,2)U(2,3］．ln( x1)yx1x0sin x x的中断点是X=0．3.曲线 f ( x)x 1 在 (1, 2) 处的切线斜率是1/2．4.函数 y ( x1) 21的单一减少区间是（－∞，－ 1）．5.(sin x) dx sinx + c．三、计算题（每题9 分，共 54 分）1. 计算极限 limsin 6x．x 0sin 5x2. 设 ysin x2xx2，求 y ．3. 设 y sin 2 e x ，求 ．4. 设是由方程 y cos x e y确立的函数，求．5. 计算不定积分 x cos3xdx ．6. 计算定积分e 2 ln x1dx ．x四、应用题（此题12 分）圆柱体上底的中心到下底的边缘的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？五、证明题（此题4 分）当 x0 时，证明不等式 xarctan x ．高等数学基础 模拟试题答案一、单项选择题（每题3 分，此题共 15 分）4.A5. B二、填空题（每题 3 分，此题共 15 分）1. (1, 2) (2 , 3]2.x3.1 4. ( ,1) 5. sin x c2三、计算题（每题6 分，共54 分）sin 6xlim sin 6x 1. 解： limsin 6xlim66x 6 6x 6 x 0 x 0sin 5xx 05 sin 5x5 lim sin 5x55xx 05x 2. 解：由导数四则运算法例得(sin x2 x ) x 2 2x(sin x2 x ) x 2 cos x x 2 2x ln 2 2x sin x 2x2 xyx 4 x 4x cos xx2x ln 2 2 sin x2 x 1x 33. 解： y 2e x sin e x cose x e x sin(2e x )4. 解：等式两头求微分得 左端右端由此得d( y cos x) yd(cos x) cos xdyysin xdxcos xdyd(e y ) e y dyy sin x x cos x ye yd ydd整理后得dyy sin xdxcos x e y5. 解：由分部积分法得x cos3xdx1xsin 3x 1 sin 3xdx 3 31 1cos3x cx sin 3x936. 解：由换元积分法得e2 ln xe ( 2 ln x)d( 2 ln x)3 1dx1udux23u 2 5222四、应用题（此题12 分）解：如下图，圆柱体高h 与底半径r知足h 2r 2l 2圆柱体的体积公式为Vπr2h l 将r2l 2h2代入得Vπ(l2h2 )h求导得V π( 2h2(l2h2 ))π(23h 2 )l令 V0得 h 3l ，并由此解出 r6l ．即当底半径 r6l ，高 h3l 时，圆柱3333体的体积最大．五、证明题（此题 4 分）证明：设 F ( x)x arctan x ，则有 F ( x)11x 2 1x 2 1 x2当 x0时，F ( x)0，故 F (x) 单一增添，因此当x0 时有F ( x) F (0)0 ，即不等式 x arctan x 建立，证毕．高等数学基础练习题一、单项选择题： （每题 3 分，共 15 分）1．设函数 f ( x ) 的定义域为 (, ) ，则函数 f ( x )f ( x) 的图形对于（）对称。
辽宁省部分高中2023届高三下学期普通高考模拟考试(一)数学试题
f
x
f
y
f
xy
1
xy
，且
f
1 2
1
．当
x 0,1 时， f x 0 ，则（ ）
A． f 0 0
B． f x 是偶函数
C． f x 为增函数
D．当
xn
0 ，且
xn1
2 xn2
xn
1
，
x1
1 2
时，
f
xn
2n1
三、填空题 13．为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性的强弱，小明分别计算了甲、乙、
设点 D 为 AC 的中点，连接 BD ， BC ．则
|
AD |
T
1，|
BD
|
2
| OA |
2a sin(0
π )
3a ．
2
3
因为 VABC 是等腰直角三角形，
所以 | AD || BD | ，
所以 a 3 3
故选：C.
7．D
【分析】设 A(x0 , y0 ) ， B x1, y1 ，则 D x1, y1 ，将点 A, B 的坐标代入椭圆方程作差得到
为
1 4
，求点
B
到平面
AB1E
的距离．
21．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1，a
0,b
0 的一条渐近线方程是 x 2 y
0 ，坐标原点
试卷第 4 页，共 5 页
到直线 AB 的距离为 2 5 ，其中 Aa, 0 ， B 0, b ． 5
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)过点 D 2,1 直线 l 与双曲线 C 交于 M，N 两个不同的点，过 M 作 x 轴的垂线分别交
广东省韶关市2024届高三上学期第一次模拟考试 数学试题(含解析)
A ．π3
2f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
B ．将()y f x =的图象向右平移
C ．12,R x x ∀∈，都有(f ()2f x m =⎡
⊥；
(1)证明：A B B C
【详解】
P 在第一象限，由题意将x c =（其中222a b c =+）代入椭圆方程
12．AB
【分析】利用周期函数的定义判断A ；求出导数，利用轴对称的意义判断点判断C ；利用导数探讨单调性并确定极值点判断【详解】依题意，cos(2π)sin((2π)e e x f x ++=-确；
π
由M 在以12F F 为直径的圆上可得：故2
2
2
1212MF MF F F +=，且四边形由双曲线2
2:13
x C y -=可知：2a 即2216m n +=，
则()()()(110,0,3,0,3,0,0,3,3,3,0,0A B B C 所以()()110,3,3,3,3,3A B B C =-=-- ，
所以110A B B C ⋅=
，
所以11A B B C ⊥.
（2）因为点P 在棱1CC 上，1:C P PC 又()()()(110,0,0,0,0,3,0,3,0,3,0,3A A B C
2
⎝
【点睛】方法点睛：求最值或范围问题的基本解法
（1）几何法:根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等
（2）代数法:建立求解目标关于某个
基本不等式方法、导数方法等。
2024届江苏省溧中、省扬中、镇江一中、江都中学高三下学期模拟考试(一)数学试题
2024届江苏省溧中、省扬中、镇江一中、江都中学高三下学期模拟考试（一）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥2．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞5．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 7．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且8．将函数()3sin 2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ） A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 9．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞10．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元 11．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届江西省抚州市重点中学高三第一次模拟考试数学试卷含解析
2025届江西省抚州市重点中学高三第一次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 2．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-3．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．15605．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．67．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A ．25B ．32C ．35D ．408．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+9．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1B ．2C ．3D ．510．直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切11．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭12．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n CB ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省温州市2024届高三第一次模拟考试数学试题含答案
浙江省温州2024届高三第一次模拟考试数学学科（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数1i1i +-的虚部为（）A.i - B.iC.0D.1【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为()()21i (1i)2ii 1i 1i 1i 2++===-+-，所以虚部为1.故选：D ．2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.5【答案】B 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=.故选：B.3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,∞∞-⋃+C.[]4,6- D.(][),46,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心()2,3-到直线:2l y x b =+的距离≤，解得212b ≤≤，故b 的取值范围是[]2,12.故选：A4.三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且3AB =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32π3D.12π【答案】B 【解析】【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H 为ABC 外接圆的圆心，过点H 作平面ABC 的垂线，点D 为PA 的中点，过点D 作线段PA 的垂线，所作两条垂线交于点O ，则点O 为三棱锥外接球的球心，因为PA ⊥平面ABC ，且ABC 为等边三角形，2,3PA AB ==，所以四边形AHOD 为矩形，3AH AB ==112OH PA ==，所以2OA ==，即三棱锥外接球的半径2R =，则该三棱锥外接球的表面积为24π16πR =.故选：B5.已知等比数列{}n a 的首项11a >，公比为q ，记12n n T a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ），则“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由题意，()()1123(1)1121211110n n n nn n n n a a q a q aT qa qa a a a --+++-=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅>= ，(1)12111(1)21n n n nn n n n nT a q a q T a q +++-⋅==⋅⋅，当11,01a q ><<时，11na q ⋅<对于N n *∈不一定恒成立，例如122,3a q ==；当{}n T 为递减数列时，0q >且11na q ⋅<对于N n *∈恒成立，又因为11a >，所以得01q <<，因此“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.6.已知函数()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0ω>.若()f x 在区间π3π,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】A 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性求出()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间，可得3π2ππ4,3π2π3π4,4k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数()f x 的增区间为()ππ2π2π4k x k k ω-+≤-≤∈Z ，且0ω>，解得()3ππ2π2π44k k x k ωω-++≤≤∈Z .由题意可知：()3ππ2π2ππ3π44,,34k k k ωω⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⊆∈⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭Z .于是3π2ππ43π2π3π44k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得()9186433k k k ω-+≤≤+∈Z .又0ω>，于是103ω<≤.故选：A .7.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，=2AB ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（）A.⎡⎤⎣⎦B.⎡⎣C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.,22⎡-⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由AP ED AF λμ=+ 得到3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，从而得到2π4αλμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由此可求得2λμ-的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则()0,0A ，()1,0E ，()0,1D ，()1,1C ，()2,0B ，()ππcos ,sin 22P ααα⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则31,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()cos ,sin AP αα=，()1,1ED =- ，31,22AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵AP ED AF λμ=+ ，∴()()3131cos ,sin 1,1,,2222ααλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，∴()13sin cos 4λαα=-，()1cos sin 2μαα=+，∴()()11π23sin cos cos sin sin cos 224λμααααααα⎛⎫-=--+=-=- ⎪⎝⎭，∵ππ22α-≤≤，∴3πππ444α-≤-≤，∴π1sin 42α⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π14α⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故21λμ≤-≤，即()2λμ⎡⎤⎣⎦-∈.故选：A.8.已知lg4lg5lg610,9,8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数分析可知()f x 在[]4,6上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.【详解】因为lg4lg5lg610,9,8a b c ===，两边取对数得：lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，令()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，则()()()()()()lg 1414lg 14lg lg 1ln1014ln10ln1014x x x x x x f x x x x x ⎡⎤----⋅=-=⎢⎥-⋅-⎢⎥⎣⎦'，令()lg g x x x =⋅，则()()()()1lg lg lg 0,1,ln10g x x x x x x x '=⋅+⋅=+>∈''+∞，可知()g x 在()1,+∞上单调递增，因为46x ≤≤，则81410x ≤-≤，可知14x x ->恒成立，则()()14g x g x ->，即()()140g x g x -->，可得()0f x ¢>，则()()lg lg 14f x x x =⋅-在[]4,6上单调递增，可得()()()456f f f <<，可得lg4lg10lg5lg9lg6lg8⋅<⋅<⋅，即lg lg lg a b c <<，又因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以a b c <<.故选：D.【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数判断其单调性.二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A.1x <B.20.50.5log log x x >C.233x x< D.()()11x x x x -=-【答案】BC 【解析】【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10xx ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC10.设A ，B 是一次随机试验中的两个事件，且1(3P A =，1()4P B =，7()12P AB AB +=，则（）A.A ，B 相互独立B.5()6P A B +=C.()13P B A =D.()()P A B P B A≠【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A 、B ，利用条件概率的定义与公式可判定C 、D .【详解】由题意可知()()()23()1,134P A P A P B P B =-==-=，事件,AB AB 互斥，且()()()()()(),P AB P AB P A P AB P AB P B +=+=，所以()()()()()7()212P AB AB P AB P AB P A P B P AB +=+=+-=，即()()()()2171234126P AB P AB P A P B +-=⇒==，故A 正确；则()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B+=+-=+-⋅1313534346=+-⨯=，故B 正确；由条件概率公式可知：()()()11162433P AB P B A P A ===≠，故C 错误；()()()()()()11146134P AB P B P AB P A B P B P B --====，()()()()()()21336243P BA P A P AB P B A P A P A --====即()()P A B P B A ≠，故D 正确.故选：ABD11.在三棱锥-P ABC 中，ACBC ⊥，4AC BC ==，D 是棱AC 的中点，E 是棱AB 上一点，2PD PE ==，AC ⊥平面PDE ，则（）A.//DE 平面PBCB.平面PAC ⊥平面PDEC.点P 到底面ABC 的距离为2D.二面角D PB E --的正弦值为7【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；根据面面垂直的判定定理可判断B ；取DE 的中点O ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，利用线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面ABC ，求出PO 可判断C ；以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面PBD 、平面PBD 的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D ．【详解】对于A ，因为AC ⊥平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC DE ⊥．因为AC BC ⊥，且直线,,AC BC DE ⊂平面ABC ，所以//DE BC ．因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ，A 正确；对于B ，AC ⊥平面PDE ，AC ⊂平面PAC ，所以平面PDE ⊥平面PAC ，B 正确；对于C ，取DE 的中点O ，连接PO ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，因为PD PE =，所以PO DE ⊥．因为AC ⊥平面PDE ，PO ⊂平面PDE ，所以AC PO ⊥，因为DE AC D ⋂=，DE ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，PO =，C 错误；对于D ，如图，以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，因为D 是AC 的中点，4AC BC ==，所以()()()()0,0,0,3,2,0,1,0,0,1,0,0O B E D -，因为2PD PE ==，所以PO =，即(P ，所以()((()4,2,0,1,0,,1,0,,2,2,0DB DP EP EB ===-=，设平面PBD 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m DB m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11114200x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =111y z =-=-，所以平面PBD的一个法向量)1m =--，设平面PBE 的一个法向量()222,,n x y z = ，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222200x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =，得221y z ==，所以平面PBE的一个法向量)n =，所以1cos ,7m nm n m n-⨯-⋅== ，设二面角D PB E--为[],0,πθθ∈，所以21sin 7θ==，所以二面角D PB E --的正弦值为7，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.12.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线():2200l x ay b a -+=≠与C 的准线1l ，交于点A ．已知l 与C 相切，切点为B ，直线BF 与C 的一个交点为D ，则（）A.点(),a b 在C 上B.BAF AFB∠<∠C.以BF 为直径的圆与1l 相离 D.直线AD 与C 相切【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，联立直线l 与抛物线方程，根据根的判别式得到点(),b a 在C 上；B 选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C 选项，证明出以BF 为直径的圆与y 轴相切，得到C 正确；D 选项，设出直线BD 方程，与抛物线方程联立求出D 点坐标，从而求出直线AD 方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.【详解】对于A ，联立直线l 与C 的方程，消去x 得2240y ay b -+=，因为l 与C 相切，所以2Δ4160a b =-=，即24a b =，所以点(),b a 在C 上，A 错误．对于B ，过点B 作BM 垂直于C 的准线，垂足为M ，由抛物线定义知BF BM =，因为0a ≠，所以AB BM >，所以在ABF △中，AB BF >，由大边对大角得BAFAFB ∠<∠，B 正确．对于C ，()1,0F ，由A 选项l 与C 相切，切点为B ，可得(),B b a ，其中24a b =，则BF 的中点坐标为1,22b a +⎛⎫⎪⎝⎭，且()221BF b a =-+()()22211412b a b bb -+-++==，由于半径等于以BF 为直径的圆的圆心横坐标，故以BF 为直径的圆与y 轴相切，所以与1l 相离，C 正确；对于D ，设直线BD 方程为11b x y a -=+，与C 联立得()24140b y y a ---=，所以4D a y ⋅=-，解得4D y a=-，则21144111D D b b x y a a a a b --⎛⎫=+=⋅-+== ⎪⎝⎭，因为221,b A a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AD 方程为22b y x a a=--，联立直线AD 与曲线C 的方程得2240by ay ++=，因为2Δ4160a b '=-=，所以直线AD 与C 相切，D 正确．故选：BCD ．【点睛】抛物线的相关结论，22y px =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与y 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切；22x py =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与x 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切.三、填空题：本大题共4小题13.已知:31p x -≤≤，:q x a £（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________.【答案】[)1,+∞【解析】【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以[3,1]-是(],a -∞的一个真子集，则1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.14.已知正项数列{}n a 满足121n n n a a n +=+，则106a a =_______.【答案】485【解析】【分析】由递推公式可得121n n a n a n +=+，再由累乘法即可求得结果.【详解】由121n n n a a n +=+可得121n na n a n +=+，由累乘可得9101879870662928272648918171615a a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=++++.故答案为：48515.直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，AC BC ⊥，6AC =，8BC =，14AA =．若平面α将该直三棱柱111ABC A B C -截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为______．【答案】104π【解析】【分析】α可能是AC 的中垂面，BC 的中垂面，1AA 的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图α有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则222238489R =++=或222264468R =++=或2222682104R =++=，所以2max 4π104πS R ==．故答案为：104π16.对任意(1,)x ∈+∞，函数()ln ln(1)0(1)x f x a a a x a =--≥>恒成立，则a 的取值范围为___________．【答案】1e e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形为()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，构造()ln ,0F t t t t =>，求导得到单调性进而11x a ->恒成立，故()10x F a->，分当(]10,1x -∈和11x ->两种情况，结合()ln u g u u =单调性和最值，得到1e e a ≥，得到答案.【详解】由题意得1ln ln(1)x a a x -≥-，因为(1,)x ∈+∞，所以()()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，即()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，令()ln ,0F t t t t =>，则()()11x F aF x -≥-恒成立，因为()1ln F t t ='+，令()0F t '>得，1e t ->，()ln F t t t =单调递增，令()0F t '<得，10e t -<<，()ln F t t t =单调递减，且当01t <≤时，()0F t ≤恒成立，当1t >时，()0F t >恒成立，因为1,1a x >>，所以11x a ->恒成立，故()10x F a ->，当(]10,1x -∈时，()10F x -≤，此时满足()()11x F a F x -≥-恒成立，当11x ->，即2x >时，由于()ln F t t t =在()1e ,t ∞-∈+上单调递增，由()()11x F a F x -≥-得()1ln 11ln 1x x a x a x --≥-⇒≥-，令11u x =->，()ln u g u u =，则()21ln u g u u -'=，当()1,e u ∈时，()0g u '>，()ln u g u u =单调递增，当()e,+u ∞∈时，()0g u '<，()ln u g u u =单调递减，故()ln u g u u =在e u =处取得极大值，也是最大值，()ln e 1e e eg ==，故1ln e a ≥，即1e e a ≥，所以，a 的取值范围是1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是1ln ln(1)x a a x -≥-两边同时乘以1x -，变形得到()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，从而构造()ln ,0F t t t t =>进行求解.四、解答题：木大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +-=，a =cos 3A =.（1）求角B 及边b 的值；（2）求sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3B =，94b =（2【解析】【分析】（1）由余弦定理得到π3B =，求出2sin 3A =，由正弦定理得到94b =；（2）由二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，由差角公式求出答案.【小问1详解】因为222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =，因为()0,πA ∈，cos 3A =，所以2sin 3A ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，即232=94b =；【小问2详解】由（1）得2sin 22sin cos 2339A A A ==⨯⨯=，2251cos 22cos 12139A A ⎛=-=⨯-= ⎝⎭，8sin(2)sin 2cos cos 2s 11929i 1n 2A B A B A B -=-=⨯-⨯=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n n a b a a ++=，其前n 项和为n T ，求使得20232024n T >成立的n 的最小值．【答案】（1）21n n a =-；（2）10.【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系及递推式可得112(1)n n a a -+=+，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；（2）应用裂项相消法求n T ，由不等式能成立及指数函数性质求得10n ≥，即可得结果.【小问1详解】当2n ≥时，111(2)(21)2()1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--，所以121n n a a -=+，则112(1)n n a a -+=+，而1111211a S a a ==-⇒=，所以112a +=，故{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12nn a +=⇒21n n a =-.【小问2详解】由1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b a a ++++===-----，所以111111111111337715212121n n n n T ++=-+-+-++-=---- ，要使1202324112102n n T +>=--，即111202520211422n n ++>-<⇒，由1011220252<<且*N n ∈，则11110n n +≥⇒≥.所以使得20232024n T >成立的n 的最小值为10.19.如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 作平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =．（1）求证：11B C ⊥平面OAH ；（2）求二面角111O A B C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理结线面平行的判定可得EF ∥平面OBC ，再由线面平行的性质可得EF ∥11B C ，由等腰三角形的性质可得AH ⊥EF ，从而可得AH ⊥11B C ，再由已知可得OA ⊥平面OBC ，则OA ⊥11B C ，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ，则由已知条件可证得11A B ⊥平面1OC N ，从而可得1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角，过E 作EM ⊥1OB 于M ，则可得EM ∥OA ，设1OB x =，然后利用平行线分线段成比例定理结合已知条件可求得x ，在11R t OA B 中可求出11A B 的长，从而可求得ON ，进而可直角三角形1OC N 中可求得结果.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是ABC 的中位线，所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面OBC ，BC ⊂平面OBC ，所以EF ∥平面OBC ，因为EF ⊂平面111A B C ，平面111A B C Ç平面11OBC B C =，所以EF ∥11B C ．因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以11,22AE AB AF AC ==，因为AB AC =，所以AE AF =，因为H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，所以AH ⊥11B C ．因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB OC O = ，所以OA ⊥平面OBC ，因为11B C ⊂平面OBC ，所以OA ⊥11B C ，因为OA AH A= 因此11B C ⊥面OAH ．（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ．因为111111,,OC OA OC OB OA OB O ⊥⊥= ，因为1OC ⊥平面11OA B ，因为11A B ⊂平面11OA B ，所以111OC A B ⊥，因为1ON OC O = ，所以11A B ⊥平面1OC N ，因为1C N ⊂平面1OC N ，所以1C N ⊥11A B，所以1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角．过E 作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则111,122EM OA OM OB ====．设1OB x =，由111OB OA MB EM =得，312x x =-，解得3x =，则13OC =，在11R t OA B中，11A B ==则1111OA OB ON A B ⋅==．所以在1R t ONC中，11tan OC ONC ON ∠==故二面角111O A B C --为20.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】（1）23（2）512【解析】【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记取到甲盒子为事件1A ，取到乙盒子为事件2A ，取到丙盒子为事件3A ，取到黑球为事件B ：由全概率公式得1122331815132()()(|)()(|)()(|)31236363P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=，故摸出的球是黑球的概率是23.【小问2详解】由条件概率公式得2215()536(|)2()123P A B P A B P B ⨯===，故此球属于乙箱子的概率是51221.设椭圆(222:109x y C b b +=<<，P 是C 上一个动点，点()1,0A ，PA长的最小值为2．（1）求b 的值：（2）设过点A 且斜率不为0的直线l 交C 于,B D 两点，,E F 分别为C 的左、右顶点，直线BE 和直线DF 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点P 坐标，并求出PA 长，再结合二次函数探求最小值即得解.（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设出点,B D 的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，设焦距为2(0)c c >，设00(,)P x y ，则222000||(1),[3,3]PA x y x =-+∈-，而22200(19x y b =-，则222200||(1)219b PA x x b =--++=222222*********()199c c x x b x b c c -++=-++-，而0b <<，则2(9(3,9))b -∈，即2(3,9)c ∈，因此29(1,3)c∈，由0[3,3]x ∈-，得当029x c =时，222min 295||1(22PA b c =+-==，即229392b b -=-，化简得42221450b b -+=，又0b <<，解得23b =，所以b=【小问2详解】由（1）知，椭圆C 的方程为22193x y +=，点(3,0),(3,0)E F -，设()()1122,,,B x y D x y ，则121212,33y y k k x x ==+-，即12k k =121212213(3)3(3)y x y x x y y x --⋅=++，斜率不为0的直线l 过点(1,0)A ，设方程为1x my =+，则112121221122(13)2(13)4k y my my y y k y my my y y +--==+++，由22139x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得22(3)280m y my ++-=，显然0∆>，则12122228,33m y y y y m m --+==++，即有2211)4(my y y y =+，因此()()121112112212212212422241444482y y y k my y y y y k my y y y y y y y +--+====++++，所以12k k为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知()3ln (1)f x x k x =--.（1）若过点(2,2)作曲线()y f x =的切线，切线的斜率为2，求k 的值；（2）当[1,3]x ∈时，讨论函数2π()()cos π2g x f x x =-的零点个数.【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，结合导数的几何意义列式求解即可；（2）求导，可得()g x '在[1,3]内单调递减，分类讨论判断()g x 在[1,3]内的单调性，进而结合零点存在性定理分析判断.【小问1详解】由题意可得：3()f x k x'=-，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，则切线斜率为003()2k f x k x '==-=，即032k x =-，可得切线方程为()()0003ln 12y x k x x x ---=-⎡⎤⎣⎦，将(2,2)，032k x =-代入可得()()0000323ln 2122x x x x ⎡⎤⎛⎫----=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，整理得001ln 10x x -+=，因为1ln ,y x y x ==-在()0,∞+内单调递增，则1ln 1y x x=-+在定义域()0,∞+内单调递增，且当1x =时，0y =，可知关于0x 的方程001ln 10x x -+=的根为1，即01x =，所以0321k x =-=.【小问2详解】因为2π2π()()cos 3ln (1)cos π2π2g x f x x x k x =-=---，则3π()sin 2g x k x x '=-+，可知3y x=在[1,3]内单调递减，且[1,3]x ∈，则ππ3π,222x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，可知πsin 2y x =在[1,3]内单调递减，所以()g x '在[1,3]内单调递减，且(1)4,(3)g k g k ''=-=-，（i ）若0k -≥，即0k ≤时，则()()30g x g ''≥≥在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递增，则()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅱ）若40k -≤，即4k ≥时，则()()10g x g ''≤≤在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递减，则()()10g x g ≤=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅲ）若400k k ->⎧⎨-<⎩，即04k <<时，则()g x '在()1,3内存在唯一零点()1,3m ∈，可知当1x m ≤<时，()0g x '>；当3m x <≤时，()0g x '<；则()g x 在[)1,m 内单调递增，在(],3m 内单调递减，且()10g =，可知()()10g m g >=，可知()g x 在[)1,m 内有且仅有1个零点，且()33ln 32g k =-，①当()33ln 320g k =-≤，即3ln 342k ≤<时，则()g x 在(],3m 内有且仅有1个零点；②当()33ln 320g k =->，即30ln 32k <<时，则()g x 在(],3m 内没有零点；综上所述：若[)3,ln 34,2k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；若3ln3,42k⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g x在[1,3]内有且仅有2个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．。
江苏省南京市、盐城市2024届高三第一次模拟考试数学试题(含解析)
江苏省南京市、盐城市2024届高三第一次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U 与集合A ，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．U A BðB ．U A B UðC ．U B A ⋂ðD ．U B AU ð2．复数z 满足()21i 1i z -=+，（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．14B ．12C D ．13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a ＝＋，54a ＝，则1a =（ ）A ．14B ．14-C ．12D ．12-4．德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a 与公转周期T 有如下关系：32T a =，其中M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍5．关于函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π02ϕ<<），有下列四个说法：①()f x 的最大值为3②()f x 的图象可由3sin y x =的图象平移得到③()f x 的图象上相邻两个对称中心间的距离为π2④()f x 的图象关于直线π3x =对称若有且仅有一个说法是错误的，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．32-C ．32D6．设O 为坐标原点，圆()()22:124M x y -+-=与x 轴切于点A ，直线0x +=交圆M 于,B C 两点，其中B 在第二象限，则OA BC ⋅=（ ）A B C D 7．在棱长为()20a a >的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱AB ，11D C 的中点．已知动点P 在该正方体的表面上，且0PM PN ⋅=，则点P 的轨迹长度为（ ）A ．12aB ．12πaC ．24aD ．24πa8．用{}min ,x y 表示x ，y 中的最小数．已知函数()e xxf x =，则()(){}min ,ln 2f x f x +的最大值为( )A ．22e B ．1eC ．ln 22D ．ln2二、多选题9．已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则( )A ．y x >B ．1x y +>C ．14xy <D <10．有n （n *∈N ，10n ≥）个编号分别为1，2，3，…，n 的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i 号盒子取出的球是白球”为事件i A （1i =，2，3，…，n ），则（ ）A ．()1213P A A =B ．()124|5P A A =C ．()1279P A A +=D ．()1012P A =11．已知抛物线E ：24x y =的焦点为F ，过F 的直线1l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y ，E 在B 处的切线为2l ，过A 作与2l 平行的直线3l ，交E 于另一点()33,C x y ，记3l 与y 轴的交点为D ，则（ ）A ．121y y =B ．1323x x x +=C ．AF DF=D ．ABC 面积的最小值为16三、填空题12．621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为 .13．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的一个焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为E ．若线段EF 的中点在C 上，则C 的离心率为 ．14．已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin sin 2αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则tan tan αβ+= ．四、解答题15．在ABC 中，()sin sin B A A C -+=．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2BC CM = ．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小．16．如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面11AA D D ⊥平面ABCD ，11A A D D ==，点P 是棱1DD 的中点，点Q 在棱BC 上．(1)若3BQ QC =，证明：PQ ∥平面11ABB A ；(2)若二面角P QD C --BQ 的长．17．已知某种机器的电源电压U （单位：V ）服从正态分布()2220,20N ．其电压通常有3种状态：①不超过200V ；②在200V~240V 之间③超过240V ．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；(2)从该机器生产的零件中随机抽取n （2n ≥）件，记其中恰有2件不合格品的概率为n p ，求n p 取得最大值时n 的值．附：若()2~,Z N μσ，取()0.68P Z μσμσ-<<+=，()220.95P Z μσμσ-<<+=．18．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，右顶点为A ，直线l ：4x =与x 轴交于点M ，且AM a AF =，(1)求C 的方程；(2)B 为l 上的动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P ，Q ，①证明：直线BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列；②⊙N 经过B ，P ，Q 三点，是否存在点B ，使得，90PNQ ∠=︒若存在，求BM ；若不存在，请说明理由.19．已知0a >，函数()sin cos 1f x ax x ax =+-，π04x <<．(1)若2a =，证明：()0f x >；(2)若()0f x >，求a 的取值范围；(3)设集合()1π{|cos,N }21nn n k P a a n k k *===∈+∑，对于正整数m ，集合{}|2m Q x m x m =<<，记m P Q 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式．参考答案：1．A 【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A 中，不在集合B 中，所以所求集合为U A B ð.故选：A 2．C 【分析】根据复数的运算求出复数z ，再求模长即可求解.【详解】由已知得：z ()()221i i 1i1i 11i 2i 2i 221i +++====-+---，所以，||z ==故选：C ．3．A【分析】把等比数列{}n a 各项用基本量1a 和q 表示，根据已知条件列方程即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3215S a a =+，得：123215a a a a a ++=+，即：23114a a a q ==，所以，24q =，又54a =，所以，4222111()44a q a q a ==⨯=，所以，114a =.故选：A.4．B 【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.【详解】设火星的公转周期为1T ，长半轴长为1a ，火星的公转周期为2T ，长半轴长为2a ，则，128T T =，且32113222T T ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②①②得： 311222()8T a T a ==，所以，124a a =，即：124a a =.故选：B ．5．D【分析】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即可得到结果.【详解】说法②可得1ω=，说法③可得π22T =，则2ππT ω==，则2ω=，②和③相互矛盾；当①②④成立时，由题意3A =，1ω=，ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ．因为π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0k =，π6ϕ=，即()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭说法①③④成立时，由题意3A =，2ω=，2ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，则ππ20,62k ϕπ⎛⎫=-∉ ⎪⎝⎭，故不合题意.故选：D.6．D 【分析】先根据圆的弦长公式求出线段BC的长度，再求出直线0x +=的倾斜角，即可求得OA 与BC的的夹角，进而可得出答案.【详解】由题意()1,0A ，圆心()1,2M ，()1,2M 到直线0x +=距离为12，所以BC ==直线0x +=π6，则OA 与BC 的的夹角为π6，所以cos ,1OA BC OA BC OA BC ⋅===故选：D ．7．B【分析】根据条件得到P 点轨迹为以MN 为直径的球，进而得出点P 的轨迹是六个半径为a 的圆，即可求出结果.【详解】因为0PM PN ⋅=，故P 点轨迹为以MN 为直径的球，如图，易知MN 中点即为正方体中心O ，球心在每个面上的射影为面的中心，设O 在底面ABCD 上的射影为1O ，又正方体的棱长为2a ，所以MN =，易知1OO a =，1O M a =，又动点P 在正方体的表面上运动，所以点P 的轨迹是六个半径为a 的圆，轨迹长度为6212a a ⨯π=π，故选：B ．8．C 【分析】利用导数研究()e xxf x =的单调性，作出其图象，根据图象平移作出()ln 2y f x =+的图象，数形结合即可得到答案．【详解】∵()e x xf x =，∴()1e xx f x ='-，根据导数易知()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,∞+上单调递减;由题意令()()ln 2f x f x =+，即ln 2ln 2e ex x x x ++=，解得ln 2x =；作出图象：则()(){}min ,ln 2f x f x +的最大值为两函数图象交点处函数值，为ln 22．故选：C ．9．ACD 【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．【详解】∵123x =，∴12log 3x =，同理12log 4y =，∵12log y x =在0x >时递增，故y x >，故A 正确；∵12log 121x y +==，∴B 错误；∵0x >，0y >，∴2124x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，而x y <，故14xy <，∴C 正确；∴212x y =++=+<<，∴D 正确．故选：ACD ．10．BC 【分析】根据题意，由概率的公式即可判断AC ，由条件概率的公式即可判断B ，由()n P A 与()1n P A -的关系，即可得到()11123n n P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，从而判断D 【详解】对A ，()12224339P A A =⨯=，所以A 错误；对B ，()22211533339P A =⨯+⨯=，故()()()121224|5P A A P A A P A ==，所以B 正确；对C ，()()()()12121225473999P A A P A P A P A A +=+-=+-=，所以C 正确；对D ，由题意：()()()1121133n n n P A P A P A --⎡⎤=+-⎣⎦，所以()()1111232n n P A P A -⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，()123P A =，()112112326P A -=-=，所以()11111126323n nn P A -⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11123n n P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，则()101011123P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，所以D 错误．故选：BC ．11．ACD 【分析】A 选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线1l 的方程为1y kx =+，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出121y y =；B 选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到1322x x x +=；C 选项，求出()10,2D y +，11DF y =+，结合焦半径公式求出11AF y =+，C 正确；D 选项，作出辅助线，结合B 选项，得到2ABC ABM S S = ，表达出ABM S △，利用基本不等式求出最小值，从而得到ABC 面积最小值.【详解】A 选项，由题意得()0,1F ，准线方程为1y =-，直线1l 的斜率存在，故设直线1l 的方程为1y kx =+，联立24x y =，得2440x k --=，124x x =-，故2212121116y y x x ==，A 正确；B 选项，12y x '=，直线2l 的斜率为212x ，故直线3l 的方程为()2112x y y x x -=-，即2122x y x y =++，联立24x y =，得()2212220x x x y --+=，故1322x x x +=，所以B 错误；C 选项，由直线3l 的方程()2112x y y x x -=-，令0x =得()2112x y x y =-+，又124x x =-，所以12y y =+，故()10,2D y +，故11DF y =+，又由焦半径公式得11AF y =+，所以C 正确；D 选项，不妨设12x x <，过B 向3l 作平行于y 轴的直线交3l 于M ，根据B 选项知，1322x x x +=，故2ABC ABM S S = ，根据直线3l 的方程()2112x y y x x -=-，当2x x =时，()22221222111122222x x x x x y x x y y y =-+=+-=++，故2221,22x M x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故222222221211212111614222244444x x x x x BM y y x x x ⎛⎫=++-=+-=++=+ ⎪⎝⎭，故()2212111111114144248ABMS x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭311141888x x ⎛⎛⎫=+≥ ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当114x x =，即12x =时，等号成立，故ABC 的面积最小值为16，D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．12．15【分析】利用二项式的展开式通项公式求解.【详解】展开式的通项公式为66316621C (1)C kk kk k kk T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630k -=，解得2k =，所以常数项为236C 15T ==，故答案为：15.13【分析】由直线EF 与渐近线方程联立求出E 的坐标，代入双曲线标准方程即可求出离心率．【详解】直线EF 与渐近线方程联立得(),,b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2E a x c =，E ab y c =，∴EF 中点M 的坐标为22,22a c ab c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又M 点在双曲线上，代入其标准方程，得()2222222144c ac a a c+-=，化简得222c a =，∴22e =，e =14．83/223【分析】变形后得到sin cos sin cos ααββ+=+，利用辅助角公式得到π2αβ+=，得到1sin cos 2αα-=-，两边平方后得到3sin cos 8αα=，利用同角三角函数关系求出18tan tan sin cos 3αβαα+==.【详解】由题可知sin sin cos cos αβαβ-=-+，所以sin cos sin cos ααββ+=+，ππ44αβ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3πππ3π,,,444444αβ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又αβ≠，所以πππ44a β+++=，故π2αβ+=，所以1sin cos 2sin sin αβαα-=--=，两边平方后得221sin 2sin cos cos 4αααα-+=，故3sin cos 8αα=，1sin cos 18tan tan tan tan cos sin sin cos 3αααβαααααα+=+=+==．故答案为：8315．(1)π4B =；(2)π12BAC ∠=或5π12．【分析】（1）由()sin sin C A B =+，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cos B =B 的大小；（2）设BC x =，BAC θ∠=，在ABC 和ACM △中，由正弦定理表示边角关系，化简求BAC ∠的大小.【详解】（1）在ABC 中，A B C π++=，所以()sin sin C A B =+．因为()sin sin B A A C -=，所以()()sin sin B A A A B -=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A A B A B A -=+2cos sin A B A =．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，cos B =因为0πB <<，所以π4B =．（2）法1：设BC x =，BAC θ∠=，则2CM x =．由（1）知π4B =，又π4CAM ∠=，所以在ABM 中，π2AMC θ∠=-．在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B=∠，即πsin sin 4x ACθ=①．在ACM △中，由正弦定理得sin sin CM ACCAM M =∠，即2ππsin sin 42x ACθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭②．①÷②=，即12sin cos 2θθ=，所以1sin 22θ=．因为3π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π20,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26θ=或5π6，故π12θ=或5π12．法2：设BC x =，则2CM x =，3BM x =．因为π4CAM B ∠==，所以ACM BAM △△∽，因此AM CMBM AM=，所以226AM BM CM x =⋅=，AM =．在ABM 中，由正弦定理得sin sin =∠BM AM BAM B，即3sin x BAM =∠化简得sin BAM ∠=因为30,4BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π3BAM ∠=或2π3，π4BAC BAM ∠=∠-，故π12BAC ∠=或5π12．16．(1)证明见解析；(2)1．【分析】（1）取1AA 的中点M ，先证明四边形BMPQ 是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理可得；（2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设CQ CB λ=()01λ≤≤，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点Q 坐标()()4,,013Q t t -≤≤，进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解t ；法三：一作二证三求，设()04BQ x x =≤≤，利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得.【详解】（1）证明：取1AA 的中点M ，连接MP ，MB ．在四棱台1111ABCD A B C D -中，四边形11A ADD 是梯形，112AD =，4=AD ，又点M ，P 分别是棱1A A ，1D D 的中点，所以MP AD ∥，且1132A D ADMP +==．在正方形ABCD 中，BC AD ∥，4BC =，又3BQ QC =，所以3BQ =．从而MP BQ ∥且MP BQ =，所以四边形BMPQ 是平行四边形，所以PQ MB ∥．又因为MB ⊂平面11ABB A ，PQ ⊄平面11ABB A ，所以PQ ∥平面11ABB A ；（2）在平面11AA D D 中，作1A O AD ⊥于O ．因为平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，1A O AD ⊥，1A O ⊂平面11AA D D ，所以1A O ⊥平面ABCD ．在正方形ABCD 中，过O 作AB 的平行线交BC 于点N ，则ON OD ⊥．以{}1,,ON OD OA为正交基底，建立空间直角坐标系O xyz -．因为四边形11AA D D 是等腰梯形，112AD =，4=AD ，所以1AO =，又11A A D D ==，所以14A O =．易得()4,1,0B -，()0,3,0D ，()4,3,0C ，()10,2,4D ，50,,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()4,0,0DC = ，10,,22DP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()0,4,0CB =-．法1：设()()0,4,001CQ CB λλλ==-≤≤ ，所以()4,4,0DQ DC CQ λ=+=-．设平面PDQ 的法向量为(),,m x y z = ，由00m DP m DO ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得1202440y z x y λ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，取()4,4,1m λ= ，另取平面DCQ 的一个法向量为()0,0,1n =．设二面角P QD C --的平面角为θ，由题意得cos θ==．又cos cos ,m n m n m nθ⋅===⋅=解得34λ=±（舍负），因此3434CQ =⨯=，1BQ =．所以当二面角P QDC --BQ 的长为1．法2：设()()4,,013Q t t -≤≤，所以()4,3,0DQ t =-．设平面PDQ 的法向量为(),,m x y z = ，由00m DP m DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得12024(3)0y z x t y ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩，取()3,4,1m t =-，另取平面DCQ 的一个法向量为()0,0,1n =．设二面角P QD C --的平面角为θ，由题意得cos θ==．又cos cos ,m n m n m nθ⋅===⋅=解得0=t 或6（舍），因此1BQ =．所以当二面角P QD C --BQ 的长为1．法3：在平面11A ADD 中，作PH AD ⊥，垂足为H ．因为平面11A ADD ⊥平面ABCD ，平面11 A ADD 平面ABCD AD =，PH AD ⊥，PH ⊂平面11A ADD ，所以PH ⊥平面ABCD ，又DQ ⊂平面ABCD ，所以PH DQ ⊥．在平面ABCD 中，作HG DQ ⊥，垂足为G ，连接PG ．因为PH DQ ⊥，HG DQ ⊥，PH HG H = ，PH ，HG ⊂平面PHG ，所以DQ ⊥平面PHG ，又PG ⊂平面PHG ，所以DQ PG ⊥．因为HG DQ ⊥，PG DQ ⊥，所以PGH ∠是二面角P QD A --的平面角．在四棱台1111ABCD A B C D -中，四边形11A ADD 是梯形，112AD =，4=AD ，11A A D D ==，点P 是棱1DD 的中点，所以2PH =，12DH =．设()04BQ x x =≤≤，则4CQ x =-，DQ ==在QHD △中，1114222HG ⨯⨯=，从而HG =．因为二面角P QD C --的平面角与二面角P QD A --的平面角互补，且二面角P QD C --sin PGH ∠=tan 5PGH ∠=．所以在Rt PHG △中，5PHHG=，解得1x =或7x =（舍）．所以当二面角P QD C --BQ 的长为1．17．(1)0.09；(2)22n =.【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果；（2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V 之间”、“超过240V”分别为事件A ，B ，C ，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D ．因为()2~220,20U N ，所以()()()110.682000.1622P Z P A P U μσμσ--<<+-=≤===，()()()2002400.68P B P U P Z μσμσ=<<=-<<+=，()()()110.682400.1622P Z P C P U μσμσ--<<+-=>===．所以()()()()()()()|||P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.160.150.680.050.160.20.09=⨯+⨯+⨯=，所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09．（2）从该机器生产的零件中随机抽取n 件，设不合格品件数为X ，则()~,0.09X B n ，所以()2222C 0.910.09n n n p P X -===⋅⋅．由21211222C 0.910.0910.911C 0.910.091n n n n n n p n p n -++-⋅⋅+==⨯>⋅⋅-，解得19129n ≤<．所以当221n ≤≤时，1n n p p +<；当22n ≥时，1n n p p +>；所以22p 最大．因此当22n =时，n p 最大．18．(1)22143x y +=(2)①证明见解析；②【分析】（1）先求出右顶点D 和M 的坐标，利用题中条件列等式，分类讨论计算得出椭圆的方程；（2）设直线的方程为()4y t k x -=-，将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意，将韦达定理代入可出答案.【详解】（1）由右焦点为()1,0F ，得1c =，因为AM a AF =，所以()41a a a -=-，若4a ≥，则()41a a a -=-，得2402a a -+=，无解，若4a <，则()41a a a -=-，得24a =，所以23b =，因此C 的方程22143x y +=.（2）设()4,B t ，易知过B 且与C 相切的直线斜率存在，设为()4y t k x -=-，联立()224143y t k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()()222348444120k x k t k x t k ++-+--=，由()()()2222Δ64443444120k t k k t k ⎡⎤=--+--=⎣⎦，得2212830k tk t -+-=，设两条切线BP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，则1282123t t k k +==，212312t k k -=.①设BF 的斜率为3k ，则3413t t k ==-，因为123223tk k k +==，所以BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列，②法1：在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，所以()10,4P t k -，同理，得()20,4Q t k -，所以PQ 的中垂线为()122y t k k =-+，易得BP 中点为()12,2t k -，所以BP 的中垂线为()11122y x t k k =--+-，联立12112()1(2)2y t k k y x t k k =-+⎧⎪⎨=--+-⎪⎩，解得()()121222,2N k k t k k +-+，所以()122122,22NP k k k k =---，()121222,22NQ k k k k =---，要使0NP NQ ⋅= ，即()()2212124140k k k k +--=，整理得12121k k k k +=-，而12k k -===所以23112t -+=，解得27t=，t =，因此BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法2：在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，因此()10,4P t k -，同理可得()20,4Q t k -，所以PQ 的中垂线为()122y t k k =-+，因为BP 中点为()12,2t k -，所以BP 的中垂线为()11122y x t k k =--+-，联立12112()1(2)2y t k k y x t k k =-+⎧⎪⎨=--+-⎪⎩，解得1222N x k k =+，要使0NP NQ ⋅= ，则2PNQ π∠=，所以2N PQ x =，即1212222k k k k +=-，而12k k -==，所以23112t -+=，解得27t =，t =，因此BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法3：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒，从而1tan PBQ ∠=，又1212tan 1k k PBQ k k -∠=+，所以121211k k k k -=+，因为12k k -===23112t -=+，解得27t=，t =，所以BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法4：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒，从而cos BP BQ PBQ BP BQ⋅∠==⋅ 在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，故()10,4P t k -，同理可得()20,4Q t k -，因此()14,4BP k =-- ，()24,4BQ k =--，所以BP BQ BP BQ ⋅==⋅)121k k +=，即222222121212122241k k k k k k k k ++=+++，整理得()22212121261k k k k kk++=+，所以22223326112123t t t ⎛⎫--⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422630t t +-=，解得27t =或9-（舍去），因此t =，BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅= ，此时BM =法5：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒，在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，故()10,4P t k -，同理可得()20,4Q t k -，由等面积法得12B PBQ PQ x S ⋅==即121144422k k -⋅=⋅()22212121261k k k k k k +=++，所以22222336131212t t t ⎛⎫--⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422630t t +-=，解得27t =或9-（舍去），因此t =，BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅= ，此时BM =【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19．(1)证明见解析；(2)(]0,2；(3)m b m =.【分析】（1）通过构造函数，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；（2）对a 的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足()0f x >；（3）利用（1）中结论，()()ππcos12121k k k k >-++，通过放缩并用裂项相消法求()1πcos 21n k k k =+∑，有()1π1cos 21n k n n k k =-<<+∑，可得m b m =.【详解】（1）因为2a =，所以()()2sin cos 212sin sin f x x x x x x x =+-=-，π04x <<，2sin 0x >．设()sin g x x x =-，π04x <<，则()1cos 0g x x ='->，所以()g x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()00g x g >=，因此()0f x >．（2）函数()sin cos 1f x ax x ax =+-，π04x <<，方法一：()()sin cos sin f x a x x x ax '=+-，当02a <≤时，注意到π022ax x <≤<，故sin sin2ax x ≤，因此()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos f x a x x x x a x x x x x '≥+-=-+-⎡⎤⎣⎦，由（1）得sin 0x x ->，因此()0f x ¢>，所以()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()()00f x f >=，满足题意；当2a >时，令()()()sin cos sin h x f x a x x x ax '==+-，()()()222cos sin cos 2cos cos h x a x x x a ax a a ax a ax a ⎛⎫'=--<-=- ⎪⎝⎭，因为201a <<，所以存在0,2a θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得2cos a a θ=，则当(0,)x θ∈时，0,()ax a θ∈，()2220h x a a a ⎛⎫'<-= ⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,θ上单调递减，从而()()00f x f ''<=，所以()f x 在()0,θ上单调递减，因此()()00f f θ<=，不合题意；综上，02a <≤．方法二：()()sin cos sin f x a x x x ax '=+-，当02a <≤时，注意到π022ax x <≤<，故sin sin2ax x ≤，因此()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos f x a x x x x a x x x x x '≥+-=-+-⎡⎤⎣⎦，由（1）得sin 0x x ->，因此()0f x ¢>，所以()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()()00f x f >=，满足题意；当2a >时，先证明当0x >时，2sin x x x -<.令()2sin G x x x x =--，则()12cos G x x x '=--，令()12cos H x x x =--，则()2sin 0H x x '=-+<，所以()G x '在()0,∞+上单调递减，有()()00G x G ''<=，所以()G x 在()0,∞+上单调递减，有()()00G x G <=，因此当0x >时，2sin x x x -<.又由（1）得sin 0x x ->，此时()()()()()2222sin cos s 22in 2a x ax ax a a x a x ax a x a f x a x x x ax ⎡⎤⎡⎤⎡⎤<-+=--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦'=+-，则0π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃且022a x a -<，当()00,x x ∈时，()0f x '<。
高三数学高考模拟试题及答案
高三数学高考模拟试题及答案第一部分选择题1. 已知函数 $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$，则 $f(x)$ 的极限为（）A. $\dfrac{1}{2}$B. $-2$C. $+\infty$D. $-\infty$2. 如图，对数函数 $y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$ 的图像经过两点 $P(4,3)$，$Q(8,y)$。
则 $y=$（）A. 3B. 5C. 6D. 73. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$BC=\dfrac{5}{2}$，$\angle C=90^\circ$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$E$ 为 $AC$ 上一点，$BE$ 延长线交 $AD$ 于点 $F$。
则 $EF=$（）A. $\dfrac{5}{3}$B. $\dfrac{25}{24}$C. $\dfrac{7}{4}$D. $\dfrac{17}{8}$4. 已知函数 $f(x)=\dfrac{2\sin x+\cos x}{\sin x-2\cos x}$，则$f\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=$（）A. $1+f(x)$B. $1-f(x)$C. $f(x)-1$D. $-1-f(x)$5. 已知 $x>2$，$\log_2{(2x-3)}+\log_2{(x+1)}=4$，则 $x=$（）A. 3B. 5C. 7D. 9答案：1. D2. B3. B4. A5. C第二部分简答题1. 证明 $x+y\geqslant 2\sqrt{xy}$ 为二次函数 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$ 的非负性。
2. 已知 $a^2+b^2=1$，求 $\dfrac{5a+12b}{13}$ 的最大值。
3. 在动态规划中，解决问题的一般步骤是什么？4. 概率统计中，什么是贝叶斯公式？其应用场景有哪些？5. 对于某个事件的先验概率为 $p(A)$，我们观测到了该事件发生，且得到了一个新的条件概率，那么它的后验概率为什么？答案：1. 将二次函数化为顶点式 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$，则$y\geqslant 0$。
高三模拟考试数学试题(附答案)
高三数学模拟试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，各题答案必需答在机读卡上。
1．已知集合M={x |x －a =0}，N={x |ax －1=0}，若M N=N ，则实数a 的值是（D ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－12．已知集合A B R ==，映射:f A B →满足 2()2f x x x =-+，若对于实数k B ∈，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是（ D ）A ． 1k ≥B ．1k ≤C ．1k <D ．1k > 3．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（ C ）A ．⎩⎨⎧≥+--≥0221y x y B ．⎩⎨⎧≤+--≥0221y x yC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥≤02210y x y x4．已知F F 12，是双曲线1222=-y x 的左右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则PF QF PQ 11+-的值为（ A ） A. 42 B. 8C. 22D. 随α大小变化5．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ D ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n6．过点M （－2，4）作圆C ：25)1()2(22=-+-y x 的切线l ，l 1：023=++a y ax 与l 平行，则l 1与l 间的距离是（ A ）A.512 B.528 C.58 D.52 7．已知函数y =f （x ）是偶函数，y =g （x ）是奇函数，它们的定义域为［－π，π］，且它们在x ∈［0，π］上的图象如下图所示，则不等式)()(x g x f ＞0的解集为（D ）A.（－3π，0）∪（3π，π）B.（－π，－3π）∪（3π，π） C.（－4π，0）∪（4π，π） D.（－π，－3π）∪（0，3π） 8．把函数y =cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形表示的函数的解析式为（ B ） A ．y=2sin 2x B ．y=－2sin 2xC ．y=2cos （x +4π） D ．y=2cos （2x +4π） 9．在区间［－4，－1］上，函数f （x ）=－x 2+px +q 与函数g （x ）=x +x4同时取相同最大值，那么函数f （x ）在区间［－4，－1］上的最小值为CA.－10B.－5C.－8D.－3210．函数y =x 2－2x 在区间[a ，b ]上的值域是[－1,3],则点（a ，b ）的轨迹是图中的 （ A ） A ．线段AB 和线段ADB ．线段AB 和线段CDC ．线段AD 和线段BC D ．线段AC 和线段BD11．若抛物线y =2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y =x +m 对称，且x 1·x 2=－21,则实数m 的值为 B A.21 B.23 C.25 D.2 12.定义运算a*b 为：a*b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a 则关于x 的函数f (x )=x 21*的取值范围是（ C ）A ．(]1,∞- B.（0，1） C. (]1,0 D.[1，+∞]第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）各题答案必需填写在答题卡上（只填结果，不写过程）。
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高三数学基础模拟试题(一)
姓名: 学校: 得分: 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出得四个选
项中,只有一项就是符合题目要求得)
1.已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则B C A R ⋂=( ) A 、}{1,5,7 B 、}{3,5,7 C 、}{1,3,9 D 、}{
1,2,3 2、复数z=
i
i
212-+得共轭复数就是( ) A 、i - B 、i C 、i 53
- D 、i 5
3 3.已知平面向量a =(1,1),b =(1,－1),则向量1322
-=a b ( ) A.(－2,－1) B.(－2,1) C.(－1,0) D.(－1,2) 4、设数列{}n a 得前n 项与2
n S n =,则8a 得值为
A 、15
B 、16
C 、49
D 、64 5.如果执行右面得程序框图,那么输出得S=( )
A.2450
B.2500
C.2550
D.2652
6.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，得简图就是( )
71
1++=
n n ,且A 、
n=( )
A 、97
B 、98
C 、99
D 、100 8、设n S 就是等差数列{}n a 得前n 项与,若3163=S S 则=12
6S S
( ) A 、
103 B 、31 C 、81 D 、91
9.已知某个几何体得三视图如下,根据图中标出得尺寸(单位:cm),可
得这个几何体得体积就是( ) A ．
34000cm 3 B.3
8000cm 3
C.2000cm 3
D.4000cm 3
10、设数列{}n a 就是公差为正数得等比数列,已知
,15321=++a a a .80321=a a a 则131211a a a ++得值为( )
A 、120
B 、105
C 、90
D 、75 11、将函数)6
2sin(2π
+=x y 得图象向右平移4
1
个周期后,所得图像对应
得函数为)(x f ,则函数)(x f 得单调递增区间( ) A 、 )](125,12[Z k k k ∈+
-πππ
π B 、 )](12
11,125[Z k k k ∈++π
πππ
C 、 )](247,245[Z k k k ∈+-
ππππ D 、 )
](2419,247[Z k k k ∈++π
πππ
12、已知等比数列{n a }中,各项都就是正数,且
2312,2
1
,a a a 成等差数列,则87109a a a a ++=( )
A 、12
B 、 12
C 、 322
+ D 、322-
第II 卷
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分)
13、若x , y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪-+≤⎩
,则
z =2x +y 得最大值
为 .
14、(理科)
在二项式n
得展开式中倒数第3项得系数为45,则含有3x 得项得系数为 .
15、已知ϑ就是第四象限角,且5
34sin =⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+πϑ,则=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-4tan πϑ_____、
16、数列{a n }就是等差数列,公差d ≠0,且a 2046＋a 1978－a 22012＝0,{b n }就是等比数列,且b 2012＝a 2012,则b 2010·b 2014＝________、 三、简答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)设锐角三角形ABC 得内角A 、B 、C 得对边分别为a 、b 、c,若a=2b A sin 、 （1）求B 得大小、
（2）求C A sin cos +得取值范围、
18、(本小题满分12分)在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中,已知第一小组与第二小组各有六位同学、每位同学都只选了一个科目,第一小组选《数学运算》得有1人,选《数学解题思想与方法》得有5人,第二小组选《数学运算》得有2人,选《数学解题思想与方法》得有4人,现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况、 (Ⅰ)求选出得4 人均选《数学解题思想与方法》得概率;
(Ⅱ)设ξ为选出得4个人中选《数学运算》得人数,求ξ得分布列与数学期望.
19、(本小题满分12分)如图,在四棱锥P －ABCD 中,平面PAD ⊥平面
ABCD ,AB ＝AD ,∠BAD ＝60°,E 、F 分别就是AP 、AD 得中点.
求证:(1)直线EF ∥平面PCD ; (2)平面BEF ⊥平面PAD 、
20、(本小题满分12分)在数列{}n a 中,11a =,122n n n a a +=+.(Ⅰ)设
1
2
n
n n a b -=
.证明:数列{}n b 就是等差数列;(Ⅱ)求数列{}n a 得前n 项与n S .(全国Ⅰ卷第19题)
21、(本小题满分12分)如图,在四面体ABCD 中,平面ABC ⊥平面ACD ,AB BC ⊥,AD CD =,CAD ∠=30︒、 (Ⅰ)若AD =2,AB BC =2,求四面体ABCD 得体积;
(Ⅱ) 若二面角C AB D --为60︒,求异面直线AD 与BC 所成角得余弦值、 22、(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴得非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 得参数方程为
2
2222
x t y t ⎧=
⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩(t 为参数),曲线C 得极坐标方程为4ρ=、
(1)若l 得参数方程中得2t =-时,得到M 点,求M 得极坐标与曲线C
直角坐标方程;
(2)若点(0,2)
P,l与曲线C交于,A B两点,求
11
PA PB
、
-。