电工电子技术-4

=10+j17.39+8.66－j5
=18.66+j12.39
=22.36∠33.4o(A)
i 2 2 . 3 6 2 sin (ω t 3 3 . 4 ) A
o
相量图为:

I1


I
I2
三、 基尔霍夫定律的相量形式
KCL ∑i = 0 ∑İ= 0
KVL
○
∑u = 0
∑U= 0
i i1 i2
任意两个同频率正弦量的和或差 可用平行四边形法则求。
•
二、相量表示（复数表示）
我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正 弦量可以用复数表示。 １、复数表示法：
j b r
A
A=a+jb 代数式 A=r(cosφ +jsinφ)三角式
+1 A=r e jφ 指数式
a
A=r∠φ 极坐标式
周期T : 正弦量变化一次所需要的时 间称为周期。单位是秒 (s）。 频率f : 1秒钟正弦量变化的次数称 为频率。单位是赫兹（HZ )。 显然 f =1/T 或 T =1/f 角频率ω : 单位时间里正弦量变化的角度称为 角频率。单位是弧度/秒（rad/s）. ω=2π/T=2πf
周期，频率，角频率从不同角度描述 了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中 之一便可以求出另外两个。 ２．最大值和有效值 正弦量某一瞬间的值称为瞬时值，瞬 时值中最大的称为最大值。Im、Um、 Em分别表示电流、电压和电动势的 最大值。 表示交流电的大小常用有效值的概念。
2
同理:
U Um
2
E Em
2
3.相位、初相、相位差
相位：我们把 ωt+ 称为相位。 初相：t=0时的相位称为初相。 相位差：任意两个同频率的正弦 量的相位之差。用φ 表示。
i I m sin ( t ) A
例： u U m s in ( t u )V
i I m sin ( t i ) A
UR
UR
2 R
UC
可见：
U U (U L U C )
2
U L UC X L XC arctan φ arctan UR R
总电压有效值 U 2= UR2+（UL—UC）2
电抗与阻抗 2 2 U U R (U L U C )
( IR ) 2 ( IX L IX C ) 2 I R 2 ( X L XC )2 I R 2 X2 Iz
式中 X=XL－XC 称为电抗z 相位关系源自R X22
称为阻抗
∴U=Iz
φ arctan
X L XC
arctan
U L UC UR
R 可见φ 是由R、L、C及ω决定的。
arct an
R L 1
c
90°>φ > 0 电压超前电流电路呈感性。 －90°<φ < 0 电流超前电压电路呈容性。 φ=0 电压与电流同相,电路呈纯阻 性。
U U 0

I I 90

U
U 90 jX C I I

∴相量表达式为： U
jX C I

2、功率关系
（1）瞬时功率
p u i U m I m c o s ω t s in ω t
U I s in 2 t
ui
u
i
ωt
p
显然,第 一个1/4周 期p>0,电容 储存能量, 第二个1/4 周期p<0,放 出能量。
相量图
. U
电感中的电流滞后电压90° （电压超前电流90°）。 .
I
.
因此: U
.
.
U 90°
I
o
I

0°
U U 90 . I I . 相量表达式为: U
. jXL I
j XL
2．功率关系
(1) 瞬时功率
P＝u i =Im · msinωt ·cosωt U U I sin2 ω t
把两个等值电阻分别通一交流电流i 和直流电流Ｉ。如果在相同的时间Ｔ内所 产生的热量相等，那么我们把这个直流电 流Ｉ定义为交流电流的有效值。

1 T 2 i R dt I R T 即 I 0 i dt 0 T 所以交流电的有效值是瞬时值的方均根。
T 2 2
将电流的三角式带入上式中有:
I Im
其中
a=r cosφ b=r sinφ
r
a b
2
2
φ =arctan(b/a) 2、有关复数的计算 加减运算用代数式, 实部与实部, 虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，幅角相加或减。
3. 正弦量的相量表示
一个复数的幅角等于正弦量的初相 角， 复数的模等于正弦量的最大值或有 效值，该复数称为正弦量的相量. R = a+j b 是t = 0 固定相量的复数形式
30°
45°
u 滞后 i 75°, i 超前 u 75°。
第二节
正弦交流电的相量表示
一、 相量图 二、 相量表示（复数表示）
一、相量图
正弦信号可用一旋转矢量来表示， 令 矢量长度＝Im 矢量初始角＝Ψ 矢量旋转速度＝ω
如图：
ω
y
i
ωt
x
该矢量某一时刻在纵轴上的投影 刚好等于正弦量的瞬时值 一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时，它们同以ω速度旋 转相对位置保持不变。因此 ，在同 一相量图中，以t＝0时刻的相量表示 正弦量。 相量的写法为大写字母的上方加一 个“.”
p
UI
1 T P 0 pdt T = UI = I2R = U2/R
可见:P≥0 电阻是 一个耗能元件。 ωt
二.电感电路
1.电压与电流关系
i u
XL= ωL 感抗
设 i =Imsinωt u = L di/dt = ωLImcosωt =Umsin(ωt+90°) Um= ωLIm
U=XLI
Im、Um（Ｕ、Ｉ）同样满足欧姆定律
U I R
复数形式
U U 0


o
复数形式欧姆定律
U
U 0 R I I
U IR
可见：电压与电流同相位
ui
i


u
相量图

I

U
φ＝０
2．功率关系 ui u
i
⑴瞬时功率
p= ui =UmImsin2ωt
=UI(1-cos2ωt)
ωt (2)平均功率
解： ω=314(rad/s)，ω=2πf f = ω/2π=50(Hz），T=1/f = 0.02(s) Im = 10A ,Um = 220 √2 V I=Im／√2 = 5√2 A, U=Um／√2 =220V i= 30°, u= －45° φ = U－ i=－75°
u、i
220√2 10 ωt
三、电容电路
1、电压与电流关系
设： u U m s in ω t i
u
C
du iC dt ω CU m cosω t
I m sin (ω t 9 0 )

U mω C I m
XC 1 ωC
容抗

相量图

I
U m X CIm

U X CI


U
电容中的电流超前电压90
两者的相位差为:
u i
>0
若:φ
电压超前电流φ角 (或电流滞后电压φ 角) =0 电压与电流同相位 <0 电流超前电压φ角
= ±π 电流与电压反相
u.i
i ωt
φ φ
φ >0 φ <0 φ=0 φ =π
例：已知：i =10sin(314t+30°) A,
u =220√2 sin(314t－45°)V,试指出它们的 角频率、周期、幅值、有效值和初相，相 位差，并画出波形图。
第四节 RLC串联交流电路
一、电压与电流关系
二、功率关系
一.电压与电流关系
i
R
u
uR
U U R U L UC




L C
uL 以电流为参考正弦量， u i = Im sinωt 即İ =I∠0°
C
1、相量图法 相量图为：

UL
ULUC
φ


电压三角形
U
φ
U I

UL-UC
解： XC= 1／ωC=1.59KΩ
IC =UC/XC= 10 ／ √2 1.59 =4.45mA
电容中电流超前电压90º
İC =4.45∠ 30º +90º= 4.45∠ 120º mA
QC=XCIC2 =31.6×10－3 (var)
例:已知XL=10Ω,R= 2Ω,A2表读数2A,设
个表均为理想电表,求其余各表读数. 解： A A1 A2 U=I2· L=2×10=20V X V I1=U/R=20/2=10A R L 设İ1= 10∠0 °A =10A İ = İ 1+ İ 2 İ2= 2∠－90 °A =10－j2 =－j2 A =10.2 ∠－11.3°A ∴A1: 10A、A: 10.2A、U:20V
·
∴ u≠Um
例： 写出下列正弦量的相量， 并求 出：i = i1+i2 ,画出相量图。
i 1 2 0 2 sin ( t 6 0 ) A o i 2 1 0 2 sin ( t 3 0 ) A