§1.5 极限运算法则

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高等数学1.5极限运算法则

二、求极限方法举例
2x3 3x2 5 . 例4 求 lim 3 2 x 7 x 4 x 1
分子分母的极限都是无穷大解 x 时，先用
( 型) xຫໍສະໝຸດ 3再求极限分出无穷小，去除分子分母，
3 2 2 x3 3 x2 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
例如 ,当x 0时,
1 x sin , x
1 x arctan x
2
都是无穷小
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
§5. 极限运算法则
极限运算法则定理3
设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
f ( x) A ( 3) lim , 其中 B 0. g( x ) B
定理3 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; 分析：要证 ( f ( x ) g ( x )) ( A B ) 0 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B . 证
有
u
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x0 2 时有 M u M , M

当 x x0 时
u
是无穷小.
1、无穷小的运算性质: 定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

极限运算法则

与已知矛盾，
故假设错误．
16
2. 求
解法 1
原式 = lim
x
x lim x2 1 x x
1
1
1
1 x2
1
2
解法 2 令 t 1 , 则 t 0
x
原式 = lim 1
t0 t
1 t2
1
1 t
lim
t0
1t2 1 t2
lim 1 1 t0 1 t2 1 2
17
3.试确定常数 a 使
解: 令t1,则 x
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x2 1) 1,
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
y y 1 x
1
o
y x2 1 x
10
练习题设求
是多项式 , 且
解: 利用前一极限式可令
f (x) 2x3 2x2 a x b
u
定理中条件 ( x) a 不可少
12
例8. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知
lim u 1 x3 6
( 见 P46 例3 )
∴ 原式 =
1 6 ( 见 P33 例5 )
66
13
例9 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)

1.5极限的运算法则、两个重要极限

x3 + ax + b x 3 + ax + (−8 − 2a ) ∴ lim = lim 2 x →2 x→2 x −4 x2 − 4 2 ( x − 2)( x + 2 x + 4 + a) 12 + a = lim = x→2 ( x − 2)( x + 2) 4 12 + a ∴ =4 4 ∴ a = 4, b = −16
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
存在如果推论2limlimlimlimlimlim分母的极限都是零分子1后再求极限因子先约去不为零的无穷小分母的极限都是无穷大分子再求极限分出无穷小去除分子分母先用无穷小因子分出法小结
1.5 极限的运算法则、两个重要极限极限的运算法则、
• 一、极限的运算法则 • 二、两个重要极限 • 三、无穷小量的比较
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
例7
3 1 lim( − ) 3 x →1 1 − x 1− x

1.5 极限运算法则

1.5 极限运算法则
注:
对有限个函数相加减、相乘的情形也成立对数列的极限以上法则也成立以上法则成立的前提是函数极限存在。若极限不存在，会有不同结果。如:
1) lim f ( x )存在, limg( x )不存在, 则lim f ( x ) g( x )不存在
反证法易证
1.5 极限运算法则
条件：1) y f ( ( x ))由y f ( u)和u ( x )复合而成；
2) f ( ( x ))在x0的某一去心邻域内有定义； 3) lim ( x ) u0 , lim f ( u) A；
x x0 u u0
4)在x0的某一去心邻域内 ( x ) u0
先通分，再约掉公因子，最后求极限
1.5 极限运算法则例7 求
2 x3 3 x2 5 lim 3 . 2 x 7 x 4 x 1
(. 型 ) 解 x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大
先用x3去除分子分母, 分出无穷小 , 再求极限.
3 2 2 x3 3 x2 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x 5 x3 2 . 1 7 x3
0 ( 型) 0
( x 7 3)( x 7 3) x 2 2 解原式 lim x 2 ( x 2 2)( x 2 2) x73
x2 x22 2 lim x2 x 2 x73 3
分子分母有理化后约掉公因子再求极限
1.5 极限运算法则
1 1 1 2 1 2 1 x
1.5 极限运算法则 3. 试确定常数 a 使 1 解: 令 t ,则 x
t 1 a 1 a 0 lim 3 1 3 lim t0 t0 t t t

1-5极限运算法则

x + ax + b 例5. 已知 lim 2 = 2 , 求 a,b x →1 x + x − 2
2
解: Q lim ( x 2 + x − 2) = 0
x →1
∴ lim( x + ax + b) = 1 + a + b = 0 x →1
2
x2 + ax − 1 − a 原式 = lim x→1 ( x + 2)( x − 1)
定理7. 定理设
且 x 满足则有
时,
φ(x) ≠ a, 又
x→x0
lim f [φ(x) ] =
说明: 1.若定理中 limφ(x) =∞, 则类似可得说明若定理中
x→x0
lim f [φ(x) ] = lim f (u) = A
u→∞
x→x0
2.此定理是用变量替换求极限的理论基础，此定理是用变量替换求极限的理论基础，此定理是用变量替换求极限的理论基础是不能省去的。其中条件 φ( x) ≠ a 是不能省去的。
0
0 型 , 约去公因子 0 4) x →∞ 时 , 分子分母同除最高次幂
5)利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 6)利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限 (2) 复合函数极限求法设中间变量
x +1+ a ( x − 1)( x + 1 + a) = lim = lim x →1 x →1 ( x + 2)( x − 1) x+2
2+a = 2 ∴ a = 4 , b = −5 = 3

1.5 极限的运算法则

x 0
o
x
例11
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时求 , a0 x m a1 x m 1 am lim 。 n n 1 x b x b x bn 0 1
x m a0 a1 x 1 am x m ) 解原式 l i m( n 1 n x x b0 b1 x bn x
单侧极限为解 x 0是函数的分段点，两个
x 0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
2 x 0
y 1 x
y x2 1
y
左右极限存在且相等,
1
故 lim f ( x ) 1.
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理可由定理2.1/2.2 直接得出结论 .
第五节极限的运算法则
一、极限的四则运算法则二、极限的复合运算法则三、数列极限与函数极限的关系
第一章
一、极限的四则运算法则
定理 1 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
证:
试证:
x x0 x x0
x x0
lim R( x)

1.5无穷小与无穷大,极限运算法则

3

型)
先用 x 去除分子分母
, 分出无穷小
, 再求极限
.
lim
2x 7x
3 3
3x 4x
2 2
5 1
2 lim
x
3 x 4 x

5 x 1 x
3
x

2 7
.
7
3
(无穷小因子分出法)
小结:当 a 0 0 , b 0 0 , m 和 n 为非负整数时有
极限运算法则
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。
一、无穷小
在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义
1.定义:
定义 1
f ( x ) , 则直线 x x 0 是函数 y f ( x ) .
的图形的铅直渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim
x x0
f (x) .
0 , 0 , 使得当 0 x x 0 时恒有 f ( x ) 1 ,
2
1 x
都是无穷小
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么小),总存在正数 (或正数X ),使得对于适合不等式
0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,所对应的函数
值 f ( x ) 都满足不等式
f ( x) M ,

(完整版)极限的运算法则及计算方法

第二节极限的运算法则
一．极限的四则运算法则定理设 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B 推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x). 常数因子可以提到极限记号外面.
3 5
（2）计算有理分式在 x 极限的运算
例4：求下列极限
2x2 2x 1
x2 4
x2
(1) lim
; (2) lim
; (3) lim
x x2 5x 4
x x 2
x x2 4
解: 由于当 x 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在
所以极限的四则运算法则不能用
在分子分母中同时除以 x 的最高次幂，可化为极限存在的情况
分子分母分解因式
2x2 5x 2 (2x 1)( x 2) , 3x2 7 x 2 (3x 1)( x 2)
2x2 5x 2 lim x2 3x2 7x 2
(2x 1)( x 2) lim
x2 (3 x 1)( x 2)
(2x 1) lim
x2 (3 x 1)
Q lim( x2 x 2) 0 , lim( x 2) 0
x2
x2
所以极限的四则运算法则不能用
但是 x2 x 2 ( x 2)( x 1)
x2 x 2
( x 2)( x 1)
lim
lim
lim( x 1) 3
x2 x 2
x2
x2
x2
从而可以总结出下列规律：

§1.4和1.5极限运算法则

多项式与分式函数代入法
1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有结论: 结论:
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
+ a1 x 0 + L + a n = f ( x 0 ). P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x ) lim P ( x ) P ( x ) x → x0 0 = f ( x 0 ). lim f ( x ) = = x → x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
sin x lim x→ ∞ x
1 limxcos x→ 0 x
1 limx ar ctan x→ 0 x
2
§1.5 极限运算法则
一、无穷小的运算性质: 无穷小的运算性质定理1: 在自变量的同一变化过程中, 定理1: 在自变量的同一变化过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 小的代数和仍是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 1 1 但是无穷小，例如, n → ∞ 时, 是无穷小， n 个之和的极限为 1 . n n 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小

1-5极限运算法则

∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = ∵ B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 ∵ β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
无穷小分出法: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分分母,以分出无穷小然后再求极限. 子,分母以分出无穷小然后再求极限分母以分出无穷小,然后再求极限
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限. 先变形再求极限
, , 如果lim f ( x)存在而n是正整数则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 ∵ lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
x → x0 u →u 0
ο
则当0 <| x − x0 |< δ时, | g ( x) − u0 |< η及 | g ( x) − u0 |≠ 0同时成立.
例8
x−3 a . 求 lim 3 x→a x−a
3
解
( 3 x − 3 a )3 ( x − a )2 原式 = lim x →a x−a ( x − a )2 = lim 3 2 3 x →a x + ax + 3 a 2

(完整版)极限四则运算

§1.5 极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一无穷小的运算定理设,,αβγ是0x x →时的无穷小，即0lim ()0,lim ()0,lim ()0,x x x x x x x x x αβγ→→→===下面来叙述有关无穷小的运算定理。

定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。

二极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。

定理2 如果()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →= 则()()()(),()(),0()f x f xg x f x g x B g x ±≠，的极限都存在，且（1） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±⎡⎤⎣⎦（2） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==⎡⎤⎣⎦（3） ()()()()000lim lim(0).lim x xx x x x f x f x A B g x g x B→→→==≠ 证 1因为()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →=，所以，当0x x →时，0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。

1-5极限的运算法则

2
3x 5
.
2
lim ( x
x 2
3 x 5 ) lim x
x 2 2
lim 3 x lim 5
x 2 x 2
( lim x )
x 2
2
3 lim x lim 5
x 2 x 2
2
3 2 5 3 0,
lim
x x
2
3
定理. 设
x x0
lim ( x ) a , 且
x 满足 0
x x0 1
时,
( x ) a , 又 lim f ( u) A , 则有 u a
x x0
lim f [ ( x ) ] lim f ( u) A
u a
①
lim 说明: 若定理中 x x ( x ) , 则类似可得
1) x x0 时, 2) x x0 时,
用代入法 ( 分母不为 0 )
对
0 型 0
, 约去公因子
时,分子分母同除最高次幂 “抓大头” (2) 复合函数极限求法设中间变量 (3)利用无穷小运算性质求极限
(4)利用左右极限求分段函数极限.
3) x
重点：运用极限的四则运算、复合函数的极限法则求极限难点：求极限的一些技巧，极限不存在时的一些运算
lim
lim
x 4 2 x
0 ( 0 )型
x 0
x 4 2 x
1 x 4 2
lim
1 4
x x( x 4 2)
x 0
x 0
lim
x 0
（分子有理化）
0 ( 0 )

1-5极限运算法则

0 0 ， 0 ， 0，1 型不能用
二、求极限例子
例1 求 lim( x 2 3 x 5).
x 2
解
lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3 x lim 5
x 2
x2 x2 x2
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
答案正确错误错误
-例分段函数在分段点处的极限
x 1 已知 f ( x) x 2 3 x 1 x3 1
x 0 x x
x0 x0
求： lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ) 解： lim f ( x ) lim ( x 1 ) 1
x0 x0
x2 3x 1 1 lim f ( x ) lim 3 x0 x0 x 1
lim f ( x ) 1
x0
(极限存在的充要条件 )
x2 3x 1 lim f ( x ) lim 0 3 x x x 1
d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
f.利用复合运算法则求极限
作业
P45 1 (1),(2),(3), (6),(7),(8), (10),(11),(13),(14); 2; 3； 5
思考
例 xn 2 x 3 若 lim 2 2, 求n和c . x cx 3 x 1
x0
1 arctan x 2
上例表明，在利用复合函数极限运算法则时，如果复合函数中间层的变化趋势有多种，而且不同的变化趋势会导致外层的极限不同时，需分情况讨论.
小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;

1.5极限运算法则

1 1 1 lim + + ⋯ + = 1 n→ ∞ n n n
n个个
定理2 定理 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设又设时, 有即则当当时 , 就有
故
即
是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
5 ). 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
6 ) . 极限可以进行加 , 减 , 乘 , 除四则运算 .
lim[ cf ( x )] = c lim f ( x ) ; lim[ f ( x )]n = [lim f ( x )]n .
7 ) . 设 lim f ( x ) = A ( 或 ∞ ) ,
内容小结
1) .
x → x0 ( x → ∞)
lim f ( x ) = A ⇐⇒ f ( x ) = A + α ,
其中α 为当 x → x0 时的无穷小 .
( x → ∞)
2) . 在 x 的同一趋限过程中 : 1 为无穷小 ; f ( x ) 为无穷大 ⇒ f ( x) 1 为无穷大 . f ( x ) 为无穷小且 f ( x ) ≠ 0 ⇒ f ( x) 或乘积 3). 有限个无穷小的和 (或乘积 )也是无穷小 . 4) . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 !! .
x → x0
{ xn } 是以 x0 为极限的任意一个数列 , 则必有 : lim f ( xn ) = A ( 或∞ ).
n →∞
8 ). { xn } 的任意子列与 { xn } 共极限 .
9) . 保号性定理 :
x → x0
lim f ( x ) < 0 ⇒ f ( x ) < 0 , 当 x ∈ U° ( x0 , δ ) 时成立 .

1.5极限的运算法则

有理化
lim ( 2 x 2) 2x 2 2 x 2 lim . x 2 5 2 x 3 lim ( 5 2 x 3) 3
x 2
例6
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .( 型 )
5 x3 2. 1 7 x3
“ 抓大头”
2x3 3x2 5 求 lim 3 . 2 x 7 x 4 x 1
x0
时的极限也存在，
x x0
lim f [ g ( x )] lim f ( ) A
0
。
g ( x)
定理表明：求化为求
0
x x0
lim f [ g ( x)]
可通过变量代换求
，
lim f ( )
的极限问题。
f ( ) A ，所以证明：因为 lim
f ( x) A
1 ，
0 , 1 ) 时，有当 x U ( x

2M
lim g ( x) B 又 x ，对于正数 M，及 2 x
0

A
2 ，，存在
当
0 , 1 ) x U ( x
时 ,有
g ( x) M
g ( x) B

2 A 。
0 , ) 时，上述三个不等取 min{1 , 2 } ，当 x U ( x
例7 解
1 x2 求 lim 3 . x1 x 1 x 1
这是两个无穷大量相减的问题. 我们首先进行
通分运算, 设法去掉不定因素, 然后运用四则运算法则求其极限.
1 x2 x 1 lim 3 lim 3 x 1 x 1 x 1 x1 x 1

D1.5 极限运算法则

例11 求极限 lim n 2 .
n 2n 3 1
解： lim n
n 2 lim 2n 3 1 n
1 2 n
1.
2

3 n

1 n2
2
高等数学
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例12 已知
求 a 的值.
解：因为
根据已知条件，lim x2 x a 极限存在，所以只能 x2 x 2
§1.5 极限运算法则
一、极限的四则运算法则
第一章
二、复合函数的极限运算法则
山东交通学院高等数学教研室
一、极限的四则运算法则
定理 1.5.1 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则
若B≠0 , 则
(证明略.)
注: (1)(2)可以推广到有限个函数的情形.
推论 1.5.1 lim[C f (x)] C lim f (x) ( C 为常数 )
推论 1.5.2 lim[ f (x)]n [ lim f (x) ]n ( n 为正整数 )
高等数学
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例1 求 lim axn.
解:
lim
x x0
axxnx0
a
lim
xx0
xn
a

lim
x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x

n

a x0n.
有理整函数
∴ 设n次多项式
x bn xn bn1xn1
当
a0
b0

当
当
高等数学
为非负常数 )
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例10

极限的运算法则

( lim x )2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
3
商的极限等于极限的商
3 2 x 1 1 7 x2 . lim 2 2 3 3 x2 x 3 x 5 lim ( x 3 x 5)
lim [ f ( x ) g( x )] A B
lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
以上运算法则对有限个函数成立. 于是有
x x0
lim [ f ( x )]n [ lim f ( x )]n
x x0
—— 幂的极限等于极限的幂
lim f ( x ) g ( x ) 是否一定不存在？
一定不存在.（可用反证法证明）答：
n 1 2 3 2. lim 2 2 2 2 ? n n n n n
n ( n 1) 1 1 1 解原式 lim lim ( 1 ) . 2 n 2n n 2 n 2
例5 分析解
12 1 求 lim 3 . x 2 x 2 x 8
( 型 )
型，先通分，再用极限法则.
22 x (x 22 xx 8 4 ) 12 0 ( ) 原式 lim lim 3 0 2 2 x3 x x x8 8
2 x3 3 x2 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
分析
( 型)
x 时,分子,分母都趋于无穷.
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限. 3 5 2 3 3 2 2x 3x 5 x x “ 抓大头” 解 lim lim 4 1 x x 7 x 3 4 x 2 1 7 3 x x 3 5 lim ( 2 3 ) 2 x x x . 4 1 lim (7 3 ) 7 x x x

§15极限运算法则解读

§1.5 极限运算法则
极限运算法则
求极限方法举例小结思考题作业
函数与极限第一章函数与极限 1
一、极限运算法则
lim f ( x)泛指任一种极限
定理1 设 lim f ( x ) A, lim g( x ) B, 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
3 4x 2 2 3 x 例例 5 求 lim 3 2 x 7 x 5x 3 解先用x3去除分子及分母然后取极限
极限运算法则
4 2 3 3 4x 2 2 3 3 x 3 x x lim 3 lim 2 5 3 x 7 x 5x 3 x 7 3 7 x x 2 2x 1 3 x 例例 6 求 lim 3 2 x 2x x 5 解: 先用x3去除分子及分母然后取极限 3 2 1 2 2x 1 2 x3 3 x x x lim 3 2 lim 0 0 x 2x x 5 x 2 1 53 2 x x
由无穷小与无穷大的关系,8
极限运算法则
x2 2x 3 0 例求 lim ( 型) x3 x3 0
解 x 3时, 分子,分母的极限都是零.
方法先约去不为零的无穷小因子 x 3,
再求极限.
( x 3)( x 1) x2 2x 3 lim lim x 3 x3 ( x 3) x3
sin x y x
14
2 1 (1) 求 lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 lim 解原式= lim 2 x 1 ( x 1)( x 1) x 1 x 1

一元函数的连续与极限-极限的运算法则：函数极限运算法则

一元函数的连续与极限-极限的运算法则|函数极限运算法则第一章第五节极限的运算法则一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容（一）极限的四则运算法则定理1.5若limf(x)=A,limg(x)=B,则x→x0x→x0(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Bx→x0x→x0x→x0(2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=ABx→x0x→x0x→x0(3)若B≠0,则有f(x)=limx→x0g(x)x→x0limf(x)x→x0A=limg(x)B注对于数列极限及x→∞时函数极限的四则运算法则,有相应的结论.例如,对于数列极限,有以下结论:若limxn=A,limyn=B,则有n→∞n→∞(1)lim(xn±yn)=A±Bn→∞(2)limxnyn=ABn→∞xnA=(3)当B≠0时,limBn→∞yn数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1.5直接得出.推论(极限运算的线性性质)若limf(x)=A,limg(x)=B,λ和μ是常数，则x→x0x→x0x→x0lim[λf(x)±μg(x)]=λA±μB=λlimf(x)±μlimg(x)x→x0x→x0以上运算法则对有限个函数成立.于是有x→x0lim[f(x)]n=[limf(x)]nx→x0——幂的极限等于极限的幂一般地，设有分式函数P(x)R(x)=,Q(x)其中P(x),Q(x)都是多项式,若Q(x0)≠0，则P(x0)=R(x0)结论：limR(x)=Q(x0)x→x0注若Q(x0)=0,不能直接用商的运算法则.结论：a0xm+a1xm1+L+am=0,当n>mlimnn1+L+bnx→∞b0x+b1xa0,当n=mb0∞,当n(a0b0≠0,m,n为非负常数)对于∞型的极限，可以先给分子、分母同除以分∞母中自变量的最高次幂（抓大头）,然后再求极限.（二）复合函数的极限运算法则定理1.6设lim(x)=a,当0x→x0u=(x)≠a,又limf(u)=A,则有u→ax→x0limf[(x)]=limf(u)=Au→ao注1°定理1.6中的条件：(x)≠a,x∈U(x0,δ1)不可少.否则，定理1.6的结论不一定成立.2°定理1.6的其他形式若limφ(x)=∞(或limφ(x)=∞)，limf(u)=A,且x→x0x→∞u→∞则有x→x0(或x→∞)limf[φ(x)]=limf(u)=A.u→∞由定理1.6知，在求复合函数极限时,可以作变量代换：x→x0limf[(x)](x)=ulimf(u)u→alim且代换是双向的,即u→af(u)u=(x)x→x0limf[(x)].二、典型例题lim(2x2+x5).例1求x→2x→2极限运算的线性性质解lim(2x2+x5)=2lim(x2)+limxlim5x→2x→2x→2幂的极限等于极限的幂=2(limx)2+25x→2=2223=5x→x0a0x0n结论：lim(a0xn+a1xn1+L+an)=+a1x0n1+L+an例2x31lim2.x→2x3x+52x→2=limx2lim3x+lim5解Qlim(x3x+5)x→2x→2x→2=(limx)23limx+lim5 x→2x→2x→2=2232+5=3≠0,3商的极限等于极限的商2317x1=x→22=.=∴lim233x→2x3x+5lim(x3x+5) x→2lim(x31)x1.（0型）例3求lim2x→1x+2x30Qlim(x2+2x3)=0,商的极限法则不能直接用解x→1又lim(x1)=0称0x1为型极限.lim20x→1x+2x3x→1由极限定义x→1，x≠1,x1x1lim2=limx→1x+2x3x→1(x+3)(x1)11=lim=.x→1x+34约去零因子法2x3+3x2+5例4求lim.32x→∞7x+4x1∞(型)∞分析x→∞时,分子,分母都趋于无穷.可以先用x3同时去除分子和分母,然后再取极限.352++3322x+3x+5xx“抓大头”=limlim解41x→∞7x3+4x21x→∞7+3xx35lim(2++3)2xx=x→∞=.41lim(7+3)7x xx→∞例5分析121求lim3.x→2x+2x+8(∞∞型)∞∞型，先通分，再用极限法则.(x22x+4)12解原式=lim3x→2x+8(x4)(x+2)x22x8=lim=lim3x→2(x+2)(x22x+4)x→2x+8 (0)01x4=.=lim2x→2x2x+42122n2例6求lim3+3+L3.n→∞nnn无穷多项和的极限11解原式=lim3n(n+1)(2n+1)n→∞n6111=lim1+2+nn6n→∞1=.3公式求和变为有限项例7求limx→3x3.2x9x→x0limf[(x)]=limf(u)=A①x3f(u)=u解令u=(x)=2u→ax9x31x3==lim于是limu=lim26x→3x→3x9x→3(x3)(x+3) 61从而原式=limf(u)=limu==.166u→u→166从左向右用①式三、同步练习1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?(2)若limf(x)=A≠0,不存在？n1232.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnlimf(x)g(x)是否一定2x.3．求limx→4x44.已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.n2+n5.求lim4.2n→∞n3n+1f(x)2x3=2,6.设f(x)是多项式,且li m2x→∞xf(x)lim=3,求f(x).x→0x7.8.x2+1(αx+β))=0试确定常数α,β.已知lim(x→∞x+1111求lim1212L12.n→∞23n2x求lim.x→432x+19.四、同步练习解答1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?答：一定不存在．假设lim[f(x)+g(x)]存在，Qlimf(x)存在由极限运算法则可知：limg(x)=lim{[f(x)+g(x)]f(x)}必存在，这与已知矛盾，故假设错误．1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(2)若limf(x)=A≠0,不存在？limf(x)g(x)是否一定一定不存在.（可用反证法证明）答：23n12.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnn(n+1)111=lim(1+)=.解原式=lim2n→∞2nn2n→∞22x求lim.（0型）3．x→4x40解2xlimx→4x44x=limx→4(x4)(2+1=limx→42+x1=.4先有理化x)再约去无穷小４．已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.解Qlim{x2+3[A+B(x1)]}x→1x2+3[A+B(x1)]=lim(x1)=00=0x→1x1而lim{x+3[A+B(x1)]}=2(A+B0)2x→1∴2(A+B0)=0,从而A=2.于是x2+3[A+B(x1)]0=limx→1x1x2+3[2+B(x1)]x2+32=lim=lim(B)x→1x1x→1x1 =lim[x→1(x2+3)4(x1)(x2+3+2)x21(x1)(x2+3+2)x+1B]B]1∴B=.2=lim[x→11=lim[2B]=B,x→12x+3+2n2+n.5．求lim42n→∞n3n+1∞(型)∞解n→∞时,分子,分母都趋于无穷.4同时去除分子和分母,然后再取极限.可以先用n11+32n2+nlim4=limnnn→∞n3n2+1n→∞3112+4nn11lim(2+3)n→∞nn==0.31lim(12+4)n→∞nn6.设f(x)是多项式,且f(x)lim=3,求f(x).x→0xf(x)2x3lim=2,2x→∞x解根据前一极限式可令32f(x)=2x+2x+ax+b再利用后一极限式,得f(x)bb23=lim=lim(2x+2x+a+)=lim(a+)xx→0xx→0xx→0可见a=3,b=0故f(x)=2x+2x+3x327.x2+1(αx+β))=0已知lim(x→∞x+1(∞∞型)试确定常数α,β.解∵x→∞x2+1f(x)=(αxβ)x+1(1α)x2(α+β)x+(1β)=x+1limf(x)=0∴分子的次数必比分母的次数低故1α=0,α+β=0即α=1,β=1.1118.求lim1212L12.n→∞32n无穷多个因子的积解原式=的极限111111lim11+11+L11+n→∞3322nn111=lim(1+)=.n→∞22n变为有限项再求极限9.解2x0求lim.（型）分子分母同乘x→432x+102xlimx→432x+1以各自的有理化因式(2x)(2+x)(3+2x+1)=lim x→4(32x+1)(3+2x+1)(2+x)3+2x+1(4x)(3+2x+1)1=lim=lim2x→42+xx→4(82x)(2+x)3=.4约去无穷小。

1-5 极限的运算法则

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1 12 例8 计算 lim （ − 3 ） x→2 x − 2 x −8
解
1 12 （ lim − 3 ） x→2 x − 2 x −8
( x 2 + 2 x + 4) − 12 = lim x → 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)
( x − 2)( x + 4) = lim x → 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) x+4 1 = lim 2 = x→2 x + 2 x + 4 2
n→∞
(2) lim (xn ⋅ yn)= A⋅B ;
xn A (3)当 yn ≠0 (n=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)且 B≠0 时, lim = . n→∞ yn B 不等式 •定理5 如果ϕ(x)≥ψ(x), 而limϕ(x)=a, limψ(x)=b, 那么a≥b.
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§1.5 极限运算法则
无穷小的性质极限的四则运算法则
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无穷小的性质 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小. 证明仅就两个x→x0时的无穷小情形证明. 设α及β是当x→x0时的两个无穷小, 则∀ε >0, ∃δ1>0, 当0<|x−x0|<δ1 时, 有|α|<ε ; ∃δ2>0, 当0<|x−x0|<δ2 时, 有|β|<ε . 取δ =min{δ1, δ2}, 则当0<|x−x0|<δ时, 有 |α+β|≤|α|+|β|<2ε , 这说明α+β 也是当x→x0时的无穷小. 举例: 当x→0时, x与sin x都是无穷小, 所以x+sin x也是当 x→0时的无穷小.