第二章传递函数案例
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第二章 传递函数
第二章 传递函数
3．积分环节 拉氏变换： dc(t) c(t)= 1 t 拉氏反变换得: 微分方程： T dt = r(t) T TsC(s) = R(s) 时间常数 单位阶跃响应曲线 C(s) = 1 传递函数： r(t) G(s) = R(s) Ts c(t) R(S) C(S) c(t) 1 积分环节方框图 Ts r(t) 单位阶跃响应： 0 T 1 t 1 ·1 = 1 R(s)= S C(s)= TS S TS2
Δ
0
1 R(s)= S
t C(s)= TS ·1 S G(s) =RC s
第二章 传递函数
液位系统 d[h0+h(t)] =[qi0+qi(t)]-[qo0+qo(t)] A dt qi—流入箱体 平衡时：qi0=qo0 其中: 流量增量 qi0 +qi 故 qi0—流入箱体 dh(t)流出箱体 qo =q (t)-q A dt — 的流量 o(t) i 流量增量 qoh—液面高度 (t)的流量公式 h0+h o0—流出箱体 的流量 增量 qo(t)=a h(t) qo0+qo A—dh(t) 箱体面积 h0—液面高度 +a h(t) 得: A 根据物料平衡关系=qi(t) dt
第二章 传递函数
例 求液位控制系统的传递函数. a h(t) dh(t) 传递函数为 = 1 qi(t) A dt + 2A h0 解： 将上式两边求拉氏变换： H(s) b a Q(s) =Abs+1 sH(s)+ = 1 Qi(s) 2A h0 H(s) A 2 h0 /a H(s) 1 得 Q(s)= = a A(s+ ) 2A h0 s+1 2A h0 a 2 h0 2A h0 设 a =b a =Ab
第二章2传函
用微分方程来描述系统比较直观 ，但是一旦 系统中某个参数发生变化或者结构发生变化， 就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析 与设计。为此提出传递函数的概念。
一、传递函数的定义和概念 以上一节例（1）RLC电路的微分方程为例：
d 2uC (t ) duC (t ) LC RC uC (t ) ur (t ) 2 dt dt
s si n Ci f (t ) L1 [ F ( s )] L1 [ ] C i e si t i 1 s s i i 1 n
2、A( s ) 0有重根（设s1有m重根， sm 1 , sm 2 , , sn为单根） Cm Cm 1 C1 F ( s) m m 1 ( s s1 ) ( s s1 ) s s1 Cm 1 Cn s sm 1 s sn Cm 1 , Cn的计算同单根部分， C1 , Cm的计算公式：
2 2 2 2 2
bm * 显然： K K an
其中 i
( z ) ( p
j 1 i 1 n i j
m
)
, T j 称为时间常数
K称为传递系数或增益。
3、传递函数的极点和零点对输出的影响
M ( s) G (s) K* N (s)
(S Z )
i
m
(S P )
C (s) G(s) R( s )
一、传递函数的定义和概念 以上一节例（1）RLC电路的微分方程为例：
d 2uC (t ) duC (t ) LC RC uC (t ) ur (t ) 2 dt dt
s si n Ci f (t ) L1 [ F ( s )] L1 [ ] C i e si t i 1 s s i i 1 n
2、A( s ) 0有重根（设s1有m重根， sm 1 , sm 2 , , sn为单根） Cm Cm 1 C1 F ( s) m m 1 ( s s1 ) ( s s1 ) s s1 Cm 1 Cn s sm 1 s sn Cm 1 , Cn的计算同单根部分， C1 , Cm的计算公式：
2 2 2 2 2
bm * 显然： K K an
其中 i
( z ) ( p
j 1 i 1 n i j
m
)
, T j 称为时间常数
K称为传递系数或增益。
3、传递函数的极点和零点对输出的影响
M ( s) G (s) K* N (s)
(S Z )
i
m
(S P )
C (s) G(s) R( s )
第2章-2-传递函数
自动控制原理
2．惯性环节
R(S)
1 惯性环节的微分方程: 惯性环节方框图 1+Ts K —时间常数 dc(t) T + c ( t) = T —比例系数 单位阶跃信号作用下的响应: dt Kr(t) 1 TsCC() ) = (K) = ·1 (s s + C s KR 拉氏变换： R(s ) Ts + s s (s) = 惯性环节的传递函数: 1 拉氏反变换得: t C(s) - TK cs – G((t)) = K ((1 = R s) Ts + e ) = 1
2
2 n 1 G ( s) 2 2 2 2 T s 2 Ts 1 s 2 n s n
6．滞后环节
y (t ) r (t )
G( s) e s
自动控制原理
2.2.3 举例说明建立传递函数的方法
1．重新考虑电枢控制式直流电动机，试求以电枢控制电压ua (t ) 为 输入量，电动机转角 为输出量的传递函数。
Ea Ce (t )
ua
La
ia
Ra
Ea
if
M (t ) Cmia (t )
,
负载
dia (t ) ua (t ) La Raia (t ) Ea dt
d (t ) J f (t ) M (t ) M c (t ) dt
用梅森公式求传递函数例题
用梅森公式求传递函数例题
传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学表达式。梅森公式是一种求解传递函数的方法，可以通过已知系统的差分方程来推导出传递函数表达式。
下面是一个例题：
考虑一个二阶离散系统，其差分方程为：
y[n] + 0.5y[n-1] - 0.25y[n-2] = x[n] + 0.2x[n-1]
我们要求解该系统的传递函数。
首先，将差分方程中的所有变量的z变换代替，其中z是复变量，表示单位延迟。将y[n]表示为Y(z)，x[n]表示为X(z)，则有：Y(z) + 0.5z^(-1)Y(z) - 0.25z^(-2)Y(z) = X(z) + 0.2z^(-1)X(z)
整理得到传递函数表达式：
H(z) = Y(z)/X(z) = (1 + 0.5z^(-1) - 0.25z^(-2))/(1 + 0.2z^(-1))
这就是所求的该二阶离散系统的传递函数。
需要注意的是，梅森公式只适用于线性、时不变、时域因果的离散系统。在实际应用中，我们可以通过求解差分方程或直接对系统的零极点进行分析来得到传递函数。
《自动控制原理》第二章传递函数
G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s)G 2 ( s) H ( s)
∑ C ( s ) = Φ ( s) R( s) + Φ ( s) N ( s) =
G2 ( s )[G1 ( s) R ( s) + N ( s )] 1 + G1 ( s)G 2 ( s ) H ( s)
20
N ( s)
R( s)
E (s)
−
G1 ( s)
G2 ( s)
C (s)
B( s)
H ( s)
L1 = −G1 G2 H ∆ = 1 + G1 G2 H
Φ E ( s) =
E (s) 1 = R ( s ) 1 + G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )
−G2 ( s ) H ( s ) E ( s) Φ EN ( s ) = = N ( s ) 1 + G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )
14
例2.23
R(s)
G4 G1 A G3 H2 H1
C
p1 = G1G2G3
_
-
B
G2
C (s)
∆1 = 1
L1 = −G1 G 2 H 1
p2 = G1G4
∆2 = 1
L2 = − G 2 G 3 H 2 L3 = −G 1 G 2 G3
《自控原理》典型环节的传递函数
一、比例环节
K为常数； 为常数； 为常数 放大系数； 放大系数； 增益。 增益。
1.微分方程： c(t)=K· r(t） 微分方程： 微分方程 ） 2.特点： 特点： 特点 输出不失真，不延迟，成比例 输出不失真，不延迟， 地复现输入信号的变化。 地复现输入信号的变化。
3.传递函数： 传递函数： 传递函数 4.结构图： 结构图： 结构图
τ G(S)=e-τs
4.结构图： 结构图： 结构图
R(S)
τ e-τs
C(S)
τ G(S)=e-τs
=
1
eτ s
1 = 1 2 2 1+τs+ τ s +… 2 τ很小 1 1+τs
1、比例环节： 、比例环节： 2、积分环节： 、积分环节： 3、纯微分环节： 、纯微分环节：
G(S)=K 1 G(S)= S G(S)=S
4.结构图： 结构图： 结构图
S
四、惯性环节（一阶环节） 惯性环节（一阶环节）
1.微分方程： T dc(t) + c(t) =r(t) 微分方程： 微分方程 dt T:惯性环节的时间常数 2.特点： 特点： 特点 输出延迟地反应输入量的变化规律。 输出延迟地反应输入量的变化规律。
1 3.传递函数： G(S)= 传递函数： 传递函数 TS+1
4.结构图： 结构图： 结构图 R(S)
自动控制原理2.3 传递函数1.3 传递函数
U a (s) TaTm s 2 Tm K 0 s 1
1 K0
1 K0
(s) Mc (s)
Km 1 K0
(Ta
s
1)
TaTm s 2 Tm K 0 s 1
1 K0
1 K0
Leabharlann Baidu
2．性质与说明：
（1）传递函数是复变量s的有理真分式，具有复变
函数的所有性质，且所有系数均为实数。
迭加原理有： (s) Gu (s)Ua (s) GM (s)Mc (s)
速度控制系统（续）
第二章 数学模型
5）测速机：微分方程 u f K f
传
函
G
f
(s)
U f (s)
(s)
K
f
6）系统总传函：（各部分传函合并后即可，也可根
据总系统微分方程求）
微分方程：
TaTm d 2 Tm K 0 d
故称为复放大系数。
可见：有了微分方程，可以直接写出其传递函数，与
c(t)有关的项为分母，与 r(t) 有关的项为分子。
例1. RC网络：微分方程
T
duc dt
uc
ur
则传递函数 G(s) 1
Ts 1
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
传递函数 (2)
传递函数
传递函数是控制系统分析和设计中非常重要的概念。它是
描述系统输入和输出之间关系的数学模型。通过传递函数，我们可以研究和预测系统对输入信号的响应，并进行系统性能分析和调节设计。
1. 什么是传递函数？
传递函数是一种数学模型，用来表示线性时不变系统(LTI
系统)的输入与输出之间的关系。在控制系统中，LTI系统是
指其输出仅与输入和时间有关，且具有线性性质和时不变性质。传递函数可以通过系统输入和输出的拉普拉斯变换来表达。
一个典型的传递函数通常采用以下形式表示：
$$G(s) = \\frac{Y(s)}{U(s)}$$
其中，G(G)为传递函数，G(G)为系统的输出，G(G)为系统的输入。G为复变量，表示连续时间域。
2. 传递函数的性质
传递函数具有以下性质：
线性性质：传递函数具有线性性质，即系统对输入信号的
响应与输入信号的线性组合成正比。这意味着系统对两个输入信号的响应等于这两个信号分别进行响应后的输出信号之和。
时不变性质：传递函数具有时不变性质，即系统对于同一
输入信号，在不同时间下的响应是相同的。时不变性是控制系统设计和分析中很重要的一个性质，它保证了系统的稳定性和可靠性。
因果性质：传递函数具有因果性质，即系统的输出只依赖
于当前和过去的输入信号值，而不依赖于未来的输入信号值。因果性质保证了系统的实时性和可靠性。
稳定性：传递函数可以用来描述系统的稳定性。一个稳定
的系统在有限时间范围内对有限输入产生有界输出。通过分析传递函数的特征根（系统极点），我们可以确定系统的稳定性。
3. 传递函数的应用
机电控制基础 第二章第四节传递函数
传递函数的一般形式：
G(s)
C(s) R(s)
bmsm an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
§2.4 控制系统的复域模型—传递函数
2 传递函数的标准形式
传递函数的一般形式：G(s)
C(s) R(s)
bmsm an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
Ur (s) RCs 1 Ts 1
C uc
i
2.4、控制系统的复域模型—传递函数
3. 微分环节
微分方程 c(t) Kr(t)
传递函数 G(s) C(s) Ks
R(s)
例5：测速发电机
u Kt
G(s)
U (s) (s)
Kt
u Kt
U (s) Kt s(s)
G(s)
U (s) (s)
Kt s
2.4、控制系统的复域模型—传递函数
5. 一阶微分环节
微分方程 传递函数
c(t) Tr(t) r(t)
G(s) C(s) Ts 1 R(s)
12
2.4、控制系统的复域模型—传递函数
6. 二阶振荡环节
微分方程
T 2c(t) 2 Tc(t) c(t) r(t)
传递函数
G(s)
C(s) R(s)
机械工程控制基础 第二章 传递函数
中南大学机电工程学院
机械工程控制基础
第二章系统的数学模型 第一章绪论
[例2.2-1] 单摆模型（线性化）
Back
中南大学机电工程学院
机械工程控制基础 [例2.2-2] 液面系统（线性化）
第二章系统的数学模型 第一章绪论
Back
常数！
中南大学机电工程学院
机械工程控制基础 [例2.2-3] 液压伺服马达模型
机械工程控制基础
第二章系统的数学模型 第一章绪论
2.1.3.3 写成标准形式
Back
例如微分方程中，将与输入量有关的各项写在 方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左 边。方程两边各导数项均按降幂排列。
中南大学机电工程学院
机械工程控制基础
第二章系统的数学模型 第一章绪论
2.1.4 物理系统建模举例
第二章系统的数学模型 第一章绪论
（线性化）
图2.2-1表示了一个液压伺服马 达。它基本上是一个滑阀控制 式液压功率放大器和执行器。
在实践中，通油孔通常做得 比相应的滑阀凸肩要宽。假设
滑阀是是欠重叠的，并且是对 称的。设滑阀的通油孔1,2,3,4 的面积分别为 A1 , A2 , A3 , A4 ，流 量分别为 q1 , q2 , q3 , q4 ，因滑阀
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状态方程
复数域： 传递函数
结构图(方框图)
机械工程控制基础
第二章系统的数学模型 第一章绪论
[例2.2-1] 单摆模型（线性化）
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2.1.3.3 写成标准形式
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例如微分方程中，将与输入量有关的各项写在 方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左 边。方程两边各导数项均按降幂排列。
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2.1.4 物理系统建模举例
第二章系统的数学模型 第一章绪论
（线性化）
图2.2-1表示了一个液压伺服马 达。它基本上是一个滑阀控制 式液压功率放大器和执行器。
在实践中，通油孔通常做得 比相应的滑阀凸肩要宽。假设
滑阀是是欠重叠的，并且是对 称的。设滑阀的通油孔1,2,3,4 的面积分别为 A1 , A2 , A3 , A4 ，流 量分别为 q1 , q2 , q3 , q4 ，因滑阀
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状态方程
复数域： 传递函数
结构图(方框图)
3第二章(举例2)传递函数及结构图变换
特征方程决定着系统的动态特性。
N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
当s=0时
G (0)
bm an
K
系统的放大系数或增益
从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。 K ——系统处于静态时，输出与输入的比值。
零点和极点
G (s)
G (s)
b0 s b1 s
m m
m 1 n 1
K
RC惯性环节
K——环节的放大系数 T——环节的时间常数
RC惯性环节
积分环节
G (s) K ( i s 1) ( l s 2 l l s 1)
2 2 b c i 1 d l 1 e
s
v
(T j s 1) (Tk s 2 k Tk s 1)
并联结构的等效变换图
G1(s)
R(s) C1(s)
两个并联的方框可 以合并为一个方框， 合并后方框的传递 函数等于两个方框 传递函数的代数和。
C(s)
G2(s) C (s) 2
R(s) C(s)
G1(s) G2(s)
一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同 组成。 同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的 物理量不同，可起到不同环节的作用。
放大环节/比例环节
b c
G (s)
K ( i s 1) ( l s 2 l l s 1)
自动控制原理--传递函 数的求法及例题
积分环节实例：
测速电动机（忽略惯性和摩擦）
②
（三）惯性环节
特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出不 能立即复现，输出无振荡。
实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包 含这一环节。
实例：
（四）振荡环节：
时域方程：
传递函数：
——阻力比
——自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交 换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数
解：令 M c (t)
0得： G1 ( s )
m (s) Ua (s)
K1 Tm s 1
求m (s) / M c (s)，令ua (t) 0 得
G(s) K2 Tms 1
m (t)
L1[m (s)]
L1[
K1 Tm s
U 1
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(s)
K2 Tm s 1
M c (s)]
L1[G1(s)U a (s)] L1 G2 (s)M c (s)
hc t hd (t )
l
v
例
已知某系统，当输入为 r(t) 1(t) 时，输出为
e e C(t) 1 2 t 1 4t 33
求：
1)系统传递函数 G(s) ?
2）系统增益？ 3）系统的特征根？ 4）画出系统对应的零极点图； 5）系统微分方程；
自动控制原理课件：2_2传递函数
a0、a1Lan , b0、b1Lbm 为常系数，
由系统结构、参数决定。
设初始值为零，进行拉氏变换：
[a0sn + a1sn−1 +L+ an ]C(s) = [b0sm + b1sm−1 +L+ bm]R(s)
则系统传递函数：
G(s)
=
C(s) R(s)
=
b0 s m a0 s n
+ b1sm−1 + a1sn−1
律。
k F(t)
m
f y(t)
在外力F(t)作用下，如果弹簧恢复力和阻尼器力与F(t)不 能平衡，则质量块m将有加速度，并进而使速度和位移 发生变化。根据牛顿定律 ，有
F (t ) − ky (t ) −
f
d dt
y(t) =
m
d2 dt 2
y(t )
(ms2 + fs + k)Y (s) = F (s)
Uc(s) = 1 = G(s) U r (s) RCs +1
方框图表示：
Ur(s)
1 RCs +1
Uc(s)
[例2-2]：写出RLC串联电路的微分程。
LR
ui
u i
C
o
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
第二章传递函数讲解ppt课件
数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输 出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。
数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
控制系统的数学模型: 描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
建立控制系统数学模型的方法:
分析法(又称机理建模法)是根据组成系统各元 件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如： 电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定 理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构 以知的常用此法。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为
F(s) L[1(t)] 1estdt 0
1est s
|0
1 s
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
求指数函数e-αt的象函数。
解:
F(s)L[eat] eaet stdt e(sa)tdt
数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
控制系统的数学模型: 描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
建立控制系统数学模型的方法:
分析法(又称机理建模法)是根据组成系统各元 件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如： 电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定 理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构 以知的常用此法。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为
F(s) L[1(t)] 1estdt 0
1est s
|0
1 s
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
求指数函数e-αt的象函数。
解:
F(s)L[eat] eaet stdt e(sa)tdt
自动控制原理,传递函数
将上式求拉氏变化，得(令初始值为零） ( a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 ) Y ( s ) ( b m s m b m 1 s m 1 b 1 s b 0 ) X ( s ) G (s)Y X ((s s))b a m n s sm n a b n m 1 1 s sn m 1 1 a b 1 1 ss a b 0 0 称为环节的传递函数
y(t)k(1etT)，式中：k为放大系数，T为时间常数。
当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布
图如下：
y 通过原点切线斜率为1/T
j S平面
1
0.632 0 T
1 T
0
Re
t
通过原点的 斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。
4/11/2020
23
惯性环节的单位阶跃响应
求单位阶跃输入的输出响应：
Uo
R2
Ui
1 Cs
1
R2
R1
R 2(R 1 C 1 s ) R 2(R 1 C 1 s ) u i
R 1 R 2(R 1 C 1 s ) R 2 R 1 C s R 1 R 2
(R1 R2 R2R1Cs1)
R2 R1 R2
11Ts
(R1 R2)(R2R1Cs1) 1Ts
R2
R1 R2
1 Cs
第2章-2-传递函数-3
y2
G3
F G4
y1 G9
G7
D
G5 G6
陀螺仪
发电机
电动机
减速器
自动控制原理
2.2.3 举例说明建立传递函数的方法
导弹航向控制系统的传递函数为
o ( s) G(s) k G( s) i (s) 1 G(s) sTm s 1T f s 1 k
d (t ) dt
自动控制原理
2.2.3 举例说明建立传递函数的方法
Cm G( s) U a ( s) sLa s Ra Js f Ce Cm
电枢时间常数 a La Ra 可以忽略不计
( s)
Cm K1 G( s) U a ( s) sRa Js f CeCm sTm s 1
Ea Ce (t )
ua
La
ia
Ra
Ea
if
M (t ) Cmia (t )
,
负载
dia (t ) ua (t ) La Raia (t ) Ea dt
d (t ) J f (t ) M (t ) M c (t ) dt
(t )
转动惯量 J 摩擦系数 f
( s)
自动控制原理
2.2.3 举例说明建立传递函数的方法
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绘制上式各子方程的方框图
Ur(s) Ur(s)-Uc(s) Ur(s)-Uc(s) 1 R Uc(s) I(s) I(s)
1 Cs
Uc(s)
将方框图连接起来,得出系统的动态结构图。
Ur(s) Ur(s)-Uc(s) 1 R I(s)
-
1 Cs
Uc(s)
例 已知两级 RC 网络如图所示，作出该系 统的结构图。
C
uc(t)
拉氏变换为：
LCUc (s)s 2 RCUc (s)s Uc (s) Ur (s)
U c ( s) 1 传递函数为： G( s) U r ( s) LCs 2 RCs 1
六、比例微分环节 （P-D）
定义：环节输出响应既正比于输入信号，也正比
于输入信号对时间的微分。
系统微分方程
初始条件为零时，拉氏变换为
§2.4
传递函数
1. 传递函数的定义 2. 列写传递函数 3. 典型环节的传递函数 4. 系统的传递函数
1.传递函数的定义
在零初始条件下，系统或环节输出信号的 拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比，称为系 统或环节的传递函数
则输出的拉氏变换为
传递函数的表示形式
解：
系统的结构图为
3. 结构图化简 (结构图的等效变换）
化简目的：
将结构图化简为一个方块，即传递函数。
化简原则：
保证化简前后的代数等价关系不变
等效变换法则
环节串联
环节并联
反馈回路化简
负反馈
正反馈
相加点移动
分支点移动
前移
后移
信号的分支点与相加点不可以互换
例：化简结构图，求取传递函数
多项式形式
零极点形式
只适用于线性定常系统 是在零初始条件下定义的 只表示系统的端口关系
输入输出之 间关系
2. 控制系统的传递函数
复数阻抗 （广义欧姆定律）
例： RLC 网络如图，试采用复数阻抗法求取 该网络的传递函数。
解： 传递函数为
电网络系统的传递函数可直 接由复数阻抗写出
例: 有源网络（比例积分PI）如图所示， 求传递函数。
电压的传递函数
1 U2 ( s) Cf s 1 1 U1 ( s ) R1 R1Cf s Ti s
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率。
dr ( t ) 微分方程 c( t ) TD dt 传递函数 G( s) TD s
测速发电机
u( t ) K t ( t ) U ( s) Kt s ( s)
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
C s Gm s E s
——称为前向主通传递函数
2、由系统输出信号到反馈信号的信号传递通路定义 为系统主反馈通路，简称反馈通路。
f s H s ——称为反馈传递函数 c s
网络的微分方程
ur ( t ) Ri ( t ) uc ( t ) duc ( t ) i (t ) C dt
对上式进行拉氏变换，得
1 U r ( s ) U c ( s ) RI ( t ) I ( s ) U r ( s ) U c ( s ) R I ( s ) CsU ( s ) U ( s ) 1 I ( s ) c c Cs
H 1(s )
R(s)
G1(s)
G 2(s )
C(s)
-
-
H 1(s )
R(s)
G1(s)
G 2(s )
C(s)
-
1 G1(s)
1 G 2(s)
R(s )
G1(s )
G 2( s )
C(s )
1 1 H 1( s ) G1( s ) G 2( s )
系统的传递函数为：
G1 ( s )G2( s ) C( s ) R( s ) 1 G1( s ) G2( s ) G1( s )G2( s )H1( s )
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而
最终趋于稳定值。
微分方程
传递函数
d 2 c( t ) d 2 2 2 c ( t ) c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
2 n G( s ) 2 2 s 2n s n
例 两级RC滤波网络的结构图如图所示，试采 用结构图等价变换法化简结构图。
解：
R1
C2 s
令 T1 R1C1 , T2 R2C2 , T3 R1C2
例：化简结构图求系 统传函。
R(s)
G 4(s)
+
G1(s)
G 2(s) G 3(s)
C(s)
-
-
H 2(s)
H 1(s)
4.梅逊公式 （Mason）
基于信号流图理论(Signal Flowing Chart) 不必化简，可将传递函数一次写出 信号流图由节点和支路组成 O ：节点，表示信号 ：支路，有向线段，连接节点，上写传
函
结构图
信号流图
前向通路：从输入到输出沿着信号传递方向， 且通过任一环节的次数不多于一次。 闭合回路：通道的起点就是它的终点，且与 任一环节相交的次数不多于一次。
式中: ——相对阻尼比(无量纲) n——无阻尼自然频率（s-1）
1 G( s) 2 2 T s 2 Ts 1
如图RLC电路，求系统传递函数。 解: 系统微分方程为：
i(t) R L
d 2 uc ( t ) duc ( t ) ur(t) LC RC uc ( t ) u r ( t ) 2 dt dt
dr ( t ) c( t ) K r ( t ) TD d t
微分方程
传递函数
G( s)
c s r s
K 1 TD s
在放大器上加以 RC 网 络 反 馈 , 当 增益K足够大时
U 2 ( s) U1 ( s ) K 1 1 K RCs 1 K RCs 1 RCs 1 K RCs 1 RC 1 s 1 K K RCs 1 s1
解：
3 典型环节的传递函数 一、比例(放大)环节
定义：任何瞬时输出正比于瞬时输入的环节。
其微分方程为
c( t ) Kr ( t )
比例环节方块图
K为常数，称比例系数或增益。 传递函数为
G( s ) K
特点：无超前，无滞后，响应及时，无惯性。
运算放大器：
U2 Rf K U1 R1
电位器：
系统的结构图
§2.5
动态结构图
1．结构图的组成 2．结构图的建立 3．结构图的等效变换
4．梅逊公式
1.动态结构图(或称方块图、方框图)
（1）. 定义 动态结构图是表示组成控制系统的各个元 件之间信号传递动态关系的图形。 （2）. 组成 ①信号线：带有箭头的直线， 箭头表示信号传递方向，信 号线上标信号的原函数或象 函数。
4、开环传递函数中所有有限比例系数之乘积，定
义为系统的开环放大系数，记为K0。
G0 ( s) K 0
( s 1) (T s 1)
j 1 j i 1 n i
m
K 0 lim s G0 ( s )
s 0
(*)
2. 化一般控制系统为单位反馈系统
U(s)
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
R(s) G(s) C(s)
③引出点 ( 测量点 ) ：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
U(s) U(s)
④比较点 ( 综合点 ) ：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
• 1、定义法： （1）、求取系统的时域模型 （2）、在零始条件下进行拉式变换
（3）、求得输出象函数与输入象函数之比，得 到系统传递函数。
• 2、G S L h t
r t t
• 3、运用算子阻抗法（针对电路网络）
• 4、框图代数法
4. 系统传递函数的建立
G2 ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) 1 2G1 ( s ) G1 ( s )G2 ( s )
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语
误差传函
扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
梅逊公式
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
回路总增益 (闭环传函) 特征式
例：三级RC滤波网络如 图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条
独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路
特征式
余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
G1 ( s )G3 ( s ) G2 ( s )G3 ( s ) G1 ( s )G4 ( s ) G (s) 1 H ( s )G1 ( s ) H ( s )G2 ( s )
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程 传递函数
dc( t ) T c( t ) Kr ( t ) dt
K G( s) Ts 1
运算放大器
1 1 Rf Rf Cf s Cf s U 2 ( s) U1 ( s ) R1 Rf R1 K Rf Cf s 1 Ts 1
3、反馈信号与误差信号之比，定义为系统开环传递 函数。
f s G0 s Gm s H s E s
说明：
（1）、开环点是位于反馈环节输出端 ，即 f s 上。
开环传函与 关：
G1 s , G2 s 无关，但主通路传函必与其相
Gm s G1 s G2 s G3 s
（2）当用系统开环传函表达系统闭环传函时， 有：
G( s) Gm Gm c( s ) r ( s) 1 Gm H ( s) 1 G0 ( s)
当 H (s) 1 单位反馈系统时， 传递函数为
G( s) Gm G0 (s) c( s ) r (s) 1 Gm 1 1 G0 (s)
U(s) U(s) B(s) B(s)
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2.结构图的建立
(1) 建立系统各元部件（或典型环节） 的微分方程。 (2) 对各微分方程在零初始条件下进行拉 氏变换，并做出各元部件的方框图。 (3) 按照系统中各变量的传递顺序，依次 用信号线将各元件的方框图连接起来。系 统的输入变量在左端，输出变量（即被控 量）在右端，便得到系统的动态结构图。
阶跃响应曲线
七、比例积分环节 （P-I）
定义：环节输出正比于输入信号和它对时间的积分。
微分方程
1 c( t ) K r t Ti
0 r t dt
t
传递函数
1 G( s) K 1 T s i
阶跃响应曲线
八 、延迟环节
U s Em K s m
二、积分环节
定义：环节的输出响应正比于输入对时间的积分。
微分方程为 传递函数为 积分器框图
1 t c(t ) r (t )dt Ti 0 c( s ) 1 G(s) r ( s) Ti s
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
方框图： 微分方程： 传递函数：
R（s）
e
s
C（s）
c(t ) r (t )
C ( s) e
s
R(s)
• 特点：输出与输入完全相同（大小相同、形状相同），但 输出在时间上有滞后。 • 延迟环节存在于大多数系统中，只是程度问题，延迟大， 则容易造成系统振荡甚至不稳定。
传递函数求取方法
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
R(s) + + G1(s) + + G2(s) C(s) ++
解：前向通路4条 独立回路3个
p11 p2 2 p3 3 p4 4 G2 ( s) G1 ( s)G2 ( s) G1 ( s) G1 ( s) G (s) 1 G1 ( s ) G1 ( s)G2 ( s) G1 ( s)