高中数学 第二章 2.3等差数列的前n项和(一)课时作业 新人教A版必修5

§2.3等差数列的前n项和(一)

课时目标1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．

2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n之间的关系．

1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n .例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作S 16；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1 (n ≥2)．

2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n a 1＋a n

2

；若首项为

a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋1

2

n (n －1)d .

3．等差数列前n 项和的性质 (1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 也是等差数列，且公差为d

2.

(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m

也成等差数列．

(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a n b n ＝

S 2n －1

T 2n －1

.

一、选择题

1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 答案 C

解析 S 7＝

7

a 1＋a 7

2

＝

7a 2＋a 6

2

＝49.

2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d

等于( )

A.1

2 B ．2 C.1

4

D ．4 答案 A

解析 由题意得：

10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋1

2×5×4d )，

∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，

∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝1

2

.

3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 2

8＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－15 答案 D

解析 由a 23＋a 2

8＋2a 3a 8＝9得

(a 3＋a 8)2

＝9，∵a n <0， ∴a 3＋a 8＝－3，

∴S 10＝10a 1＋a 10

2

＝10a 3＋a 82＝10×－32

＝－15.

4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B

解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9

－S 6)，

∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.

5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B

解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，

∴n ＝14，S 14＝14×2＋1

2

×14×13×7＝665.

6．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1

－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )

A ．3

B ．－3

C ．－2

D ．－1 答案 B

解析 由⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1

＋a 3

＋…＋a

2n －1

＝na 1＋

n n －1

2×2d ＝90，a 2

＋a 4

＋…＋a

2n

＝na 2＋

n n －1

2

×

2d ＝72，

得nd ＝－18.

又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3. 二、填空题

7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 答案 15

解析 设等差数列的公差为d ，则

S 3＝3a 1＋3×2

2

d ＝3a 1＋3d ＝3，

即a 1＋d ＝1，

S 6＝6a 1＋6×5

2

d ＝6a 1＋15d ＝24，

即2a 1＋5d ＝8.

由⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＝－1，

d ＝2.

故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.

8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5

b 5

的值是

________．

答案 6512

解析

a 5

b 5＝9a 1＋a 99b 1＋b 9＝S 9T 9＝65

12

. 9．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则

n 的值为________．

答案 10 解析 S 奇＝

n ＋1a 1＋a 2n ＋1

2

＝165，

S 偶＝n a 2＋a 2n

2

＝150.

∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴

n ＋1n ＝165150＝11

10

， ∴n ＝10.

10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m

的值是________．

答案 210

解析 方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列．

∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.

方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m

3m

成等差数列， ∴

2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m

3m

. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. 三、解答题

11．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .

解 由⎩⎪⎨⎪

⎧

a n ＝a 1＋n －1d ，S n ＝na 1＋n n －1

2d ，

得⎩

⎪⎨⎪

⎧

a 1＋2n －1＝11，na 1＋n n －1

2×2＝35，