高中数学第二章 2.3等差数列的前n项和(一)课时作业新人教A版必修5

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人教A版高中数学必修五2.3《等差数列前n项和》作业.docx

2.3《等差数列前n 项和》作业（第一课时）1、等差数列Λ,4,1,2-的前n 项和为（） A. ()4321-n n B. ()7321-n n C. ()4321+n n D. ()7321+n n2、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a Λ，则（）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a3、在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项之和8S 等于（）A. 12B. 24C. 36D. 484、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a Λ，则99963a a a a ++++Λ的值为（）A. 78B. 82C. 148D. 1825、在等差数列{}n a 中，35,2,11===n n S d a ，则1a 等于（）A. 5或7B. 3或5C. 7或1-D. 3或1-6、设数列{}n a 是递增的等差数列，前三项之和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A. 1B. 2C. 4D. 87、一个三角形的三个内角C B A ,,的度数成等差数列，则B 的度数为（）A. ο30B. ο45C. ο60D. ο908、等差数列{}n a 中，162,16,1041===n S a a ，则n 等于（）A. 11B. 9C. 9或18D. 189、数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为（）A. C Bn An S n ++=2B. Bn An S n +=2C. C Bn An S n ++=2()0≠aD. Bn An S n +=2()0≠a10、=+++++1008642Λ 。

11、等差数列{}n a 中，1011=a ，则=21S 。

12、等差数列{}n a 中，4,184==S S ，则=+++20191817a a a a 。

2014-2015学年高中数学(人教A版,必修五)作业：2.3 等差数列的前n项和(1)

§2.3 等差数列的前n 项和(一)课时目标1．掌握等差数列前n 项和公式及其性质．2．掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的关系．1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n .例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作S 16；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1 (n ≥2)．2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d .3．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m－S 2m 也成等差数列．(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 答案 C解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( )A.12 B ．2 C.14D ．4 答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－15 答案 D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得 (a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0， ∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析由⎩⎨⎧a 1＋a 3＋…＋a2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3. 二、填空题7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 答案 15解析设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5的值是________．答案 6512解析 a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.9．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．答案 10解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝165，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝150.∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝1110，∴n ＝10.10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m的值是________．答案 210解析方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. 三、解答题11．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .解由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.12．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1， ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .能力提升13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．14．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，∴n ＝1,2,3,5,11.。

2020版高中数学第2章数列2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和及其性质课时作业案新人教A版必修5

第1课时等差数列的前n 项和及其性质A 级基础巩固一、选择题1．若等差数列{a n }的前三项和S 3＝9，且a 1＝1，则a 2等于( A ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，又∵a 1＝1，∴d ＝2， ∴a 2＝a 1＋d ＝3.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( A ) A ．－32n 2＋n2B ．－32n 2－n2C ．32n 2＋n2D ．32n 2－n 2 [解析] 易知{a n }是等差数列且a 1＝－1，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－3n )2＝－32n 2＋n2.故选A ．3．(2018·全国卷Ⅰ理，4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( B )A ．－12B ．－10C ．10D ．12[解析] 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22×d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32×d ⇒9a 1＋9d ＝6a 1＋7d ⇒3a 1＋2d ＝0⇒6＋2d ＝0⇒d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.4．(2019·全国Ⅰ理，9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( A ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n[解析] 设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A ．5．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( B )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 依题意，有－10＝－12＋82×(n ＋2)，解得n ＝3. 6．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是( B )A ．14斤B ．15斤C ．16斤D ．18斤[解析] 由题意可知等差数列中a 1＝4，a 5＝2，则S 5＝(a 1＋a 5)×52＝(4＋2)×52＝15，∴金杖重15斤．故选B ．二、填空题7．(2019·山东荣成六中高二月考)若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有__13__项．[解析] 设这个等差数列为{a n }，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝34 ①a n ＋a n －1＋a n －2＝146 ②，①＋②得3(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝60. ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝30n ＝390，∴n ＝13.8．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10＝__－15__. [解析] 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9， ∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3.∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.三、解答题9．若等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8.求： (1)数列{a n }的首项a 1和公差d ； (2)数列{a n }的前10项和S 10的值． [解析] (1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝(a 1＋d )＋(a 1＋3d )＝8a 2·a 4＝(a 1＋d )·(a 1＋3d )＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8d ＝－2.(2)S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝10×8＋10×92×(－2)＝－10.10．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝14n 2－94n .B 级素养提升一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( C )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15[解析] ∵a 2＋a 4＋a 15＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7为常数，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7为常数．2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( A )A ．310 B ．13 C ．18D ．19[解析] 据等差数列前n 项和性质可知：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍成等差数列．设S 3＝k ，则S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k ， ∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k ，∴S 9＝S 6＋3k ＝6k ，S 12＝S 9＋4k ＝10k ， ∴S 6S 12＝3k 10k ＝310. 3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( B )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a2n －1＝na 1＋n (n －1)2×2d ＝90a 2＋a 4＋…＋a2n＝na 2＋n (n －1)2×2d ＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.4．一同学在电脑中打出如下图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是( C )A ．12B ．13C ．14D ．15[解析] S ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝n (n ＋1)2＋n ≤120，∴n (n ＋3)≤240，∴n ＝14.故选C ．二、填空题5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝__100__.[解析] ∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线，∴a 1＋a 200＝1，∴S 200＝200×(a 1＋a 200)2＝100.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则S 3等于__14__.[解析] 对于S n ＝2a n －2，当n ＝1时，有a 1＝2a 1－2，解得a 1＝2；当n ＝2时，有S 2＝2a 2－2，即a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 2＝a 1＋2＝4；当n ＝3时，有S 3＝2a 3－2，即a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－2，所以a 3＝a 2＋a 1＋2，又a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝8，所以S 3＝2a 3－2＝14.三、解答题7．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10.②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①得，a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝110×⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.8．已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，令c n ＝(－1)nS n (n ∈N *)，{c n }的前20项和T 20＝330.数列{b n }满足b n ＝2(a －2)dn －2＋2n －1，a ∈R .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∈N *，求a 的取值范围． [解析] (1)设等差数列的公差为d ，因为c n ＝(－1)nS n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330，则10(3＋d )＋10×92×2d ＝330，解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n .(2)由(1)知b n ＝2(a －2)3n －2＋2n －1，b n ＋1－b n＝2(a －2)3n －1＋2n－[2(a －2)3n －2＋2n －1]＝4(a －2)3n －2＋2n －1＝4·3n －2[(a －2)＋12(23)n －2]，由b n ＋1≤b n ⇔(a －2)＋12(23)n －2≤0⇔a ≤2－12(23)n －2，因为2－12(23)n －2随着n 的增大而增大，所以n ＝1时，2－12(23)n －2最小值为54，所以a ≤54.9．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？[解析] (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意：有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．。

2021学年高中数学第二章数列2.3.2等差数列前n项和的性质课时作业含解析新人教A版必修5

课时作业12 等差数列前n 项和的性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝16，则a 5＋a 6＝( C ) A ．11 B ．16 C ．20D ．28解析：由等差数列的性质知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即4,12，a 5＋a 6成等差数列，易知其公差为8，故a 5＋a 6＝20.2．已知等差数列{a n }中，d ＝2，S 3＝－24，则其前n 项和S n 取最小值时n 的值为( D ) A ．5 B ．6 C ．7D ．5或6解析：由d ＝2，S 3＝3a 1＋3d ＝－24，得a 1＝－10，令a n ＝－10＋(n －1)×2＝0，得n ＝6，所以a 6＝0，S 5＝S 6均为最小值．3．设数列{a n }是公差为－2的等差数列，如果a 1＋a 4＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( D )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－82解析：由a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，① 令a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝x ，②②－①，得2d ×33＝x －50，∵d ＝－2， ∴x ＝－132＋50＝－82.故选D.4．在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S m ＝20，S 3m ＝210，则S 2m ＝( C ) A ．115 B ．100 C ．90D ．70 解析：因为{a n }为等差数列，所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则有2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，即3S 2m ＝S 3m ＋3S m ＝210＋60＝270.所以S 2m ＝90.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( A )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：S 9S 5＝9(a 1＋a 9)25(a 1＋a 5)2＝9×2a 55×2a 3＝95×59＝1.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12>0，S 13<0，则S n 中最大的是( C ) A ．S 12 B ．S 13 C ．S 6D ．S 7解析：∵在等差数列{a n }中， S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)2>0，∴a 6＋a 7>0. 又S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13·2a 72<0，∴a 7<0.∴a 6>0，a 7<0. ∴前6项和S 6最大．二、填空题7．已知等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝10. 解析：∵S 9＝S 4，∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0. ∴a 7＝0，从而a 4＋a 10＝2a 7＝0.∴k ＝10.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6＝15.解析：易知数列{a n }为等差数列，则a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6＝3a 4，由S n ＝n 2－2n 知a 4＝S 4－S 3＝42－2×4－32＋2×3＝5，所以a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6＝15.9．已知项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是11，项数是7.解析：设该等差数列的项数为2n ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝S 2n ＋1＝77，S奇－S 偶＝a n ＋1＝11，S2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝11，2n ＋1＝7.故该数列的中间项为a n ＋1＝a 4＝11，项数为7. 三、解答题10．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，求数列{S nn }的前n 项和T n .解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .由S 7＝7，S 15＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)． ∵S n ＋1n ＋1－S n n＝(－2＋12n )－[－2＋12(n －1)]＝12，∴数列{S n n }是首项为－2，公差为12的等差数列．故T n ＝－2n ＋12n (n －1)×12＝14n 2－94n .11．在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10a 1＋10×92d ＝15a 1＋15×142d .解得d ＝－53.(方法一)由以上得a n ＝20－53(n －1)＝－53n ＋653.由a n ≥0得－53n ＋653≥0，∴n ≤13.∴数列{a n }的前12项或前13项的和最大，其最大值为S 12＝S 13＝12a 1＋12×112d ＝130.(方法二)由以上得S n ＝20n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋56n ＋20n ＝－56n 2＋1256n＝－56(n 2－25n )＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. 故当n ＝12或n ＝13时，S n 最大，最大值为S 12＝S 13＝130.——能力提升类——12．等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 213，则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n 是( D )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7解析：因为d <0，所以数列{a n }为递减数列，又a 21＝a 213，所以a 1＝－a 13，且a 1>0，a 13<0，即a 1＋a 13＝2a 7＝0，所以数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n 是6或7.13．{a n }为等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，S 6>S 7>S 5，则下列结论中不正确的是( C )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．S 13<0解析：S 6>S 7>S 5，则d <0，a 6>0且a 7<0，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62>0，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13×2a 72<0，而S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)无法判断大于0或小于0.14．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 解析：由等差数列的性质得a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝2a 62b 6＝a 6b 6，又S 11＝11a 6，T 11＝11b 6，所以a 6b 6＝11a 611b 6＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941.所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941.15．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )均在函数y ＝32x 2－12x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解：(1)由题意知S n ＝32n 2－12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2；当n ＝1时，a 1＝1，适合上式． ∴a n ＝3n －2.(2)由(1)得b n＝3a n a n＋1＝3(3n－2)(3n＋1)＝13n－2－13n＋1，∴T n＝b1＋b2＋…＋b n＝1－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1＝1－13n＋1<1，则要使T n<m20对所有n∈N*都成立，只需m20≥1，∴m≥20，∴满足条件的最小正整数m的值为20.。

高中数学第二章数列 2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用课后作业(含解析)新人教A版必修5-

第2课时等差数列前n项和的性质与应用1.已知某等差数列共有20项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )A.1B.C.2D.解析:∵S奇=a1+a3+…+a19=15,S偶=a2+a4+…+a20=30,∴S偶-S奇=10d=15.∴d=.答案:B2.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )A.S7B.S8C.S13D.S15解析:a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3(a1+6d)=3a7=3×S13.于是可知S13是常数.答案:C3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27解析:a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列.所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.答案:B4.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和之比为(n∈N*),则等于( )A. B. C. D.解析:设数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}的前n项和为T n,则=.答案:C5.已知等差数列的前n项和为S n,若S13<0,S12>0,则此数列中最大的S n是( )A.S5B.S6C.S7D.S8解析:∵S13<0,且S13=13a7,∴a7<0.∵S12>0,且S12=6(a6+a7),∴a6+a7>0.∴a6>-a7.∵a7<0,∴a6>0,d<0.∴前6项的和最大.答案:B6.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:∵S9=S4,∴a5+a6+a7+a8+a9=0,∴a7=0,从而a4+a10=2a7=0,∴k=10.答案:107.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为.解析:由条件知a1+a3+a5+a7+a9+a11=30,又∵a1+a11=a3+a9=a5+a7,∴a5+a7=2a6=10.∴a6=5,即中间项a6=5.答案:58.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若,则=.解析:∵,∴设S3=k,则S6=3k.∴S3=k,S6-S3=2k,S9-S6=3k,S12-S9=4k.∴S12=k+2k+3k+4k=10k,∴.答案:9.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图),最高层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,请问:(1)第9圈共有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板?解:(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n},由题意可知{a n}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9.由等差数列的通项公式,得第9圈有石板a9=a1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(块).(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板S9=9a1+d=9×9+×9=405(块).故第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.10.等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解:等差数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0,得3n-63<0,即n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n},{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×=n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和为S n'=。

高中数学第二章数列 2.3 等差数列的前n项和学案新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学

2.3 等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]1．数列的前n项和对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n a1＋a n2S n＝na1＋n n－12d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和( )(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式( )(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1( )解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.预习课本P42～45，思考并完成以下问题答案：(1)√ (2)× (3)×2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n n ＋12解析：选 D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n n －12×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n n ＋12，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得4a 1＋4×32d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n n －12d ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍)． (2)由已知，得S 8＝8a 1＋a 82＝84＋a 82＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用．[活学活用]设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 8＝11，则S 9等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 9＝a 2＋a 8， ∴S 9＝9a 2＋a 82＝9×142＝63.已知S n 求a n 问题[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.(1)求{a n }的通项公式； (2)判断{a n }是否为等差数列？ [解] (1)∵S n ＝－2n 2＋n ＋2， ∴当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4，但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2；(2)S n ＝3n－1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n－1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )，即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)，解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1； ②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18 B ．17 C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得25×17＋17×17－12d ＝25×9＋9×9－12d ，解得d ＝－2， [法一公式法]S n ＝25n ＋n n －12×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n2B ．－32n 2－n2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n －1＋2－3n2＝－32n 2＋n2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选 C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7>0，S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________. 解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C. 3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a n b n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －122n －1b 1＋b 2n －122n －1＝A 2n －1B 2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________．解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．解：(1)∵S 4＝28，∴a 1＋a 4×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×172＋1032×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。

2019_2020学年高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5

第11课时等差数列的前n 项和知识点一等差数列前n 项和公式的简单应用1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 答案 B 解析 ∵d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，又a 2＝a 1＋d ＝7，∴a 1＝3．∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×3＋45×4＝210．故选B ．2．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B 解析 ∵S 10＝10a 1＋a 102＝5(a 2＋a 9)＝120，∴a 2＋a 9＝24．3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 答案 D 解析 ∵S 7＝a 1＋a 72×7＝35，∴a 1＋a 7＝10，∴a 4＝a 1＋a 72＝5．知识点二 “知三求二”问题4．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 B解析 a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝14，∴d ＝2，∴S n ＝n ＋n n －12×2＝100．∴n ＝10．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________．答案 2n解析由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.故a n ＝2n ．知识点三 a n 与S n 的关系6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2 B ．－32n 2－n2C ．32n 2＋n 2D ．32n 2－n 2 答案 A解析易知{a n }是等差数列且a 1＝－1，所以S n ＝n a 1＋a n2＝n 1－3n2＝－32n 2＋n2．故选A ．7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则过P (1，a 1)，Q (2，a 2)两点的直线的斜率是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵S n ＝n 2＋n ，∴a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4．∴过P ，Q 两点直线的斜率k ＝a 2－a 12－1＝4－21＝2．8．已知{a n }的前n 项之和S n ＝2n＋1，则此数列的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－(2n －1＋1)＝2n －1，又21－1＝1≠3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2.易错点一等差数列的特点考虑不周全9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋2，判断{a n }是否为等差数列．易错分析本题容易产生如下错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2．a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋2]－(2n ＋2)＝2(常数)，∴数列{a n }是等差数列．需注意：a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下得到的，a 1是否满足需另外计算验证．解 a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n ＝1，2n ＋2n ≥2，显然a 2－a 1＝6－6＝0，a 3－a 2＝2，∴{a n }不是等差数列．易错点二忽略对项数的讨论10．已知等差数列{a n }的第10项为－9，前11项和为－11，求数列{|a n |}的前n 项和T n ．易错分析对于特殊数列求和，往往要注意项数的影响，要对部分特殊项进行研究，否则计算易错．解设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝－9，11a 1＋11×102d ＝－11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以a n ＝9－2(n －1)＝11－2n ．由a n ＞0，得n ＜112，则从第6项开始数列各项均为负数，那么 ①当n ≤5时，数列{a n }的各项均为正数，T n ＝n a 1＋a n 2＝n 9＋11－2n 2＝n (10－n )；②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝－S n ＋2S 5＝n 2－10n ＋2×(10×5－52)＝n 2－10n ＋50．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 10－n ，1≤n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.一、选择题1．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 ∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．又a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，∴2a n－a 2n ＝0．∵a n ≠0，∴a n ＝2，∴S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2．故选A ．2．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是( )A ．14斤B ．15斤C ．16斤D ．18斤答案 B解析由题意可知等差数列中a 1＝4，a 5＝2，则S 5＝a 1＋a 5×52＝4＋2×52＝15， ∴金杖重15斤．故选B ．3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n n －12×2d ＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n＝na 2＋n n －12×2d ＝72，得nd ＝－18．又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3．4．一同学在电脑中打出如下图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 S ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝n n ＋12＋n ≤120，∴n (n ＋3)≤240，∴n ＝14．故选C ．5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7，2＋(n －1)×7＜100，∴n ＜15．∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665．二、填空题6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a 1＋a 5＝________．答案 11解析由S n ＝n 2＋1，得a 1＝12＋1＝2，a 5＝S 5－S 4＝(52＋1)－(42＋1)＝9．∴a 1＋a 5＝2＋9＝11．7．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________．答案 35解析 ∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S n S 2n ＝n ＋14n ＋2， ∴S 1S 2＝a 1a 1＋a 1＋d ＝26＝13，∴3a 1＝2a 1＋d ，∴a 1＝d ，∴a 3a 5＝a 1＋2d a 1＋4d ＝3d 5d ＝35．8．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10＝________．答案－15解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9， ∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3． ∴S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×－32＝－15．三、解答题9．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n ．解设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n n －12×12＝14n 2－94n ． 10．已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，令c n ＝(－1)nS n (n ∈N *)，{c n }的前20项和T 20＝330．数列{b n }满足b n ＝2(a －2)dn －2＋2n －1，a ∈R ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解 (1)设等差数列的公差为d ，因为c n ＝(－1)nS n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330，则10(3＋d )＋10×92×2d ＝330，解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n ． (2)由(1)知b n ＝2(a －2)3n －2＋2n －1，b n ＋1－b n＝2(a －2)3n －1＋2n－[2(a －2)3n －2＋2n －1]＝4(a －2)3n －2＋2n －1＝4·3n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，由b n ＋1≤b n ⇔(a －2)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2≤0⇔a ≤2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，因为2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2随着n 的增大而增大，所以n ＝1时，2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2最小值为54，所以a ≤54．。

2017-2018年度高中数学第二章数列 2.3 等差数列的前n项和讲义新人教A版必修5

＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得 d＝14，a11＋a12＋a13＋a14＝S4问题
[例 4] 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当 n 为何值时，数列{an}的前 n 项和取得最大值．【思路点拨】
跟踪训练 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？
解析：(1)因为 Sn＝－2n2＋n＋2，所以当 n≥2 时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n2＋5n－1，
所以 an＝Sn－Sn－1 ＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
A．138
B．135
C．95
D．23
解析：由 a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可得 d＝3，a1＝－4. 所以 S10＝－40＋10× 2 9×3＝95. 答案：C
3．(教材同类改编)等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则 a1 等于( )
A．5 或 7 B．3 或 5 C．7 或－1 D．3 或－1
令 an≥0，则 11－2n≥0，解得 n≤121. ∵n∈N＋，∴n≤5 时，an>0，n≥6 时，an<0. ∴S5 最大．
方法归纳,
求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值有两种方法： (1)通项法 ①当 a1>0，d<0 时，{an}只有前面的有限项为非负数，从某项开始其余所有项均为负数，所以由am≥0， am＋1≤0 可得 Sn 的最大值为 Sm；②当 a1<0，d>0 时，{an}只有前面的有限项为负数，从某项开始其余所有项均为非负数，所以由
＝－4n＋3.
又 a1＝S1＝1，不满足 an＝－4n＋3，所以数列{an}的通项公式是

高中数学第二章数列2.3等差数列前n项和第1课时练习含解析新人教A版必修5

2.3 等差数列的前n 项和公式一、选择题：1．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝ ( D )A ．168B ．156C ．152D ．286 【答案】D【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d ＝87d ＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1＝10，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝286.2．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为 ( C )A ．0B ．4475C ．8950D ．10 000 【答案】C【解析】设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝100c 1＋c 1002＝100×40＋1392＝8950.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝170，则a 7＋a 9＋a 11的值为 ( D )A ．10B ．20C ．25D ．30 【答案】D【解析】∵S 17＝17a 9＝170，∴a 9＝10，∴a 7＋a 9＋a 11＝3a 9＝30.4．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是 ( C )A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】设等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30，∴5d ＝15，∴d ＝3.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝ ( A ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．12【答案】A 【解析】S 13S 9＝13a 79a 5＝139×913＝1. 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于 ( C )A ．12B ．18C ．24D ．42 【答案】C【解析】∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，∴2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，∴2(10－2)＝2＋S 6－10，∴S 6＝24.7．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 ( C )A ．S 7B ．S 8C ．S 1D ．S 15 【答案】C【解析】 ∵a 2＋a 4＋a 15＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7为常数，∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7为常数．8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于 ( A )A ．310B ．13C ．18D ．19 【答案】A【解析】据等差数列前n 项和性质可知：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍成等差数列．设S 3＝k ，则S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k ，∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k ， ∴S 9＝S 6＋3k ＝6k ，S 12＝S 9＋4k ＝10k ，∴S 6S 12＝3k 10k ＝310. 9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ ( C )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】本题考查数列的前n 项和S n 与通项a n 的关系及等差数列的定义．S m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.S m ＝a 1m ＋m m －12·1＝0，① a m ＝a 1＋(m －1)·1＝2，∴a 1＝3－m .②②代入①得3m －m 2＋m 22－m2＝0，∴m ＝0(舍去)，m ＝5，二、填空题：10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝－5n 2＋n2.【答案】－5n 2＋n2.【解析】 ∵a n ＝－5n ＋2，∴a n －1＝－5n ＋7(n ≥2)，∴a n －a n －1＝－5n ＋2－(－5n ＋7)＝－5(n ≥2)．∴数列{a n }是首项为－3，公差为－5的等差数列．∴S n ＝n a 1＋a n2＝n －5n －12＝－5n 2＋n 2.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝24. 【答案】24 【解析】∵S 9＝9·a 1＋a 92＝72，∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16，∴a 1＋4d ＝8，又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d ＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝100.【答案】100【解析】∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线，∴a 1＋a 200＝1，∴S 200＝200×a 1＋a 2002＝100.13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则S 3等于14. 【答案】14【解析】对于S n ＝2a n －2，当n ＝1时，有a 1＝2a 1－2，解得a 1＝2；当n ＝2时，有S 2＝2a 2－2，即a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 2＝a 1＋2＝4；当n ＝3时，有S 3＝2a 3－2，即a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－2，所以a 3＝a 2＋a 1＋2，又a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝8，所以S 3＝2a 3－2＝14.三、解答题14．若等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8.求：(1)数列{a n }的首项a 1和公差d ； (2)数列{a n }的前10项和S 10的值．【答案】见解析【解析】 (1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝8，a 2·a 4＝a 1＋d ·a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.(2)S 10＝10a 1＋10×10－12d ＝10×8＋10×92×(－2)＝－10.15．设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值．【答案】见解析【解析】 (1)设公差为d ，则a 20－a 10＝10d ＝20，∴d ＝2.∴a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋18＝30，∴a 1＝12.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝n 2n ＋222＝n 2＋11n ＝242，∴n 2＋11n －242＝0，∴n ＝11.16．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和. 【答案】见解析【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10.②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①得，a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100 ＝－110.17．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S nn}的前n 项和，求数列{S n n}的前n 项和T n . 【答案】见解析【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)，∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列{S n n }是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝14n 2－94n .。

高中数学第二章数列2.3等差数列前n项和(第1课时)课件新人教A版必修5

算上容易出现失误，不能准确求出首项 a1 和公差 d； (2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确； (3)判断一个数列是否为等差数列
时，易忽略验证第一项．
[活学活用] 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值．解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3 可得 1＋2d＝－3.解得 d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n.所以 Sn＝n1＋23－2n＝2n－ n2.进而由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35. 又 k∈N*，故 k＝7 为所求．
归纳小结
等差数列的前 n 项和公式
已知量首项，末项与项数首项，公差与项数
选用公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到 a1，d，n，an 及 Sn 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前 n 项和．
[答案] B
(2)[解] ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100 也成等差数列．设其公差为 D，则 S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100 －S90)＝S100，
即 10S10＋10×2 9×D＝S100＝10. 又∵S10＝100，代入上式，得 D＝－22， ∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－ 22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110.
答案：104

人教A版高中数学必修五2.3《等差数列的前n项和》作业(第二课时).docx

2.3《等差数列的前n 项和》作业（第二课时）1.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（）A.5B.4C. 3D.22.在等差数列{}n a 中，若1264=+a a ,S n 是数列{}n a 的前n 项和，则9S 的值为 ( )（A ）48 (B)54 (C)60 (D)663.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=126S S ( ) （A ）103 （B ） 31 （C ）8 （D ）91 4.已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（）A ．55B ．70C ．85D ．1005.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，，则111213a a a ++= （）A ． 120B ． 105C ． 90D ．756. {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( )（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6707. 若等差数列{}n a 的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（）A ．3B ．4C ．5D ．68. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若＝则432,3,1S a a ==（）A ．12B ．10C ．8D ．69．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（）A ．63B ．45C ．36D ．2710. 等差数列{}n a 的公差是正数,且4,126473-=+-=a a a a ,求它的前20项的和.11. 已知数列{}n a 为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。

2020_2021学年高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和同步作业含解析新人教A版必修52

等差数列的前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知等差数列{a n}的前10项和为30,a6=8,则a100=( )A.100B.958C.948D.18【解析】选C.设等差数列{a n}的公差为d,由已知解得所以a100=-42+99×10=948.2.已知等差数列{a n}的公差为3,且a1+a3=8,则数列{a n}的前4项的和S4的值为( ) A.10B.16C.22D.35【解析】选C.因为等差数列{a n}的公差为3,且a1+a3=8,所以2a1+2×3=8,所以a1=1,所以S4=4×1+×3=22.3.(2019·某某高二检测)已知等差数列的前n项和S n,且S3=S5=15,则S7=() A.4B.7C.14D.【解析】选B.等差数列的前n项和为S n,且S3=S5=15,所以a4+a5=0,所以2a1+7d=0.再根据S3=3a1+3d=15,可得a1=7,d=-2,则S7=7a1+d=49+21×(-2)=7.4.(2019·某某高一检测)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则S9=() A.45B.162C.81D.【解析】选C.因为在等差数列{a n}中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.所以S9==9a5=81.5.等差数列{a n}的前n项和为S n,若=,则下列结论中正确的是( )A.=2B.=C.=D.=【解析】选C.由已知S n=a n,S n-1=a n-1(n≥2),两式相减可得a n=a n-a n-1(n≥2),化简得=(n≥2),当n=3时,=.6.数列{a n}的前n项和S n=2n2+n(n∈N*),则a n=( )A.2n-1B.2n+1C.4n-1D.3n+2【解析】选C.因为数列{a n}的前n项和S n=2n2+n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,当n=1时,a1=S1=3,符合上式,所以综上a n=4n-1.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S3=6,S4=12,则S6=________.【解析】方法一:设数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S3=6,S4=12,得解得所以S6=6a1+15d=30.方法二:因为{a n}为等差数列,可设前n项和S n=An2+Bn,由S3=6,S4=12得解得即S n=n2-n,所以S6=36-6=30.答案:308.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S8=32,则a2+2a5+a6=__________.【解析】因为S8=32,所以=32.可得a4+a5=a1+a8=8,则a2+2a5+a6=2(a4+a5)=2×8=16.答案:16三、解答题(每小题10分,共20分)9.在各项为正的等差数列{a n}中,已知公差d=2,a n=11,S n=35,求a1和n.【解析】由题意得即解得或(舍去)故10.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ.(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由a n a n+1=λS n-1知,a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减得,a n+1(a n+2-a n)=λa n+1,又因为a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.所以a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3; {a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{1-3n},则公差d等于( )A.1B.3C.-3D.n【解析】选C.因为a n=1-3n,所以a1=-2,a2=-5,所以d=a2-a1=-3.2.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S17=255,a10=20,则数列{a n}的公差为( ) A.3B.4C.5D.6【解析】选C.根据等差数列的求和公式,可得S17=×17=17a9=255,可得a9=15,又a10=20,所以d=a10-a9=20-15=5.3.等差数列中,S n是前n项和,若a3+a8=5,S9=45,则S11=( )A.0B.10C.20D.25【解析】选A.设等差数列的首项为a1,公差为d,因为,所以,即,解得,则S11=25×11-×5=0.故选A.4.已知等差数列{a n}中,a2=6,a5=15,若b n=a2n,则数列{b n}的前5项和等于( ) A.30B.45C.90D.186【解析】选C.因为所以故所以a n=a1+(n-1)d=3n,故b n=a2n=6n,则因此{b n}的前5项和为S5=5×6+×6=90.5.(2019·定州高一检测)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=3,S13=91,则S11=( ) A.36B.72C.55D.110【解析】选C.因为S13==13a7=91,所以a7=7,因为a5=3,所以a5+a7=10,因为a1+a11=a5+a7=10,所以S11==55.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019·全国卷Ⅲ)记S n为等差数列{a n}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=________.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),所以====4.答案:47.若数列{a n}的前n项和S n=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足a n>0的n的最小值为________.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=12-8=-7.(2)当n>1时,由S n=n2-8n得:S n-1=(n-1)2-8(n-1)=n2-10n+9,两式相减,得:a n=2n-9,n=1也符合,由a n=2n-9>0,得:n>4.5,所以,满足a n>0的n的最小值为5.答案:58.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-2n+3,则a n=________.【解析】当n=1时,a1=S1=2,当n≥2,a n=S n-S n-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,故a n=答案:9.我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则前9圈的石板总数是________.【解析】因为最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则每圈的石板数构成一个以9为首项,以9为公差的等差数列,所以a n=9n,当n=9时,第9圈共有81块石板,所以前9圈的石板总数S9=(9+81)=405.答案:405三、解答题(每小题10分,共30分)10.等差数列{a n}的前n项和记为S n,已知a10=30,a20=50.(1)求通项a n.(2)令S n=242,求n.【解析】(1)由a n=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得所以a n=2n+10.(2)由S n=na1+·d,S n=242,得方程12n+×2=242,解得n=11或n=-22(舍去),即n=11.11.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1.(2)求d的取值X围.【解析】(1)由题意知S6=-=-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7. 综上,S6=-3,a1=7.(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0,所以(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8.故d的取值X围为d≤-2或d≥2.12.(2017·某某高考)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.【证明】(1)因为是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3,所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列是“P数列”.(2)数列既是“P数列”,又是“P数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n),④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2+a3+a3+2d′+a3+3d′=4(a3+d′),即a2=a3-d′,在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,因为a3=a2+d′,所以a1+a2+a2+2d′+a2+3d′=4(a2+d′), 即a1=a2-d′,所以数列{a n}是等差数列.。

人教版高中数学必修五课时作业2：2.3 等差数列的前n项和(一)

2．3 等差数列的前n 项和(一)一、基础达标1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( )A ．18B ．27C ．36D ．45 答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36. 2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， ∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15 答案 D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27 答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________．答案n ＋1n解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n . 7．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3a ＝2×4d ＝4－a k a ＋k ( k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2d ＝2k ＝50.(注：k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50.8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 解设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 二、能力提升9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9 答案 C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.10．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________.答案 310解析由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310.12．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．解法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋10×92d ＝100100a 1＋100×992d ＝10①②①×10－②，整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100. ∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110.法二数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100为等差数列，设公差为d ′，则10S 10＋10×92×d ′＝S 100＝10，又∵S 10＝100，代入上式得d ′＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×d ′＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110.法三设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－11100，b ＝11110，∴S n ＝－11100n 2＋11110n ，∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. 三、探究与创新13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1){a n }为等差数列，∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c， ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12(c ＝0舍去).。

2020学年高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和课时作业新人教A版必修5(最新整理)

2.3 等差数列的前n项和[选题明细表］知识点、方法题号等差数列前n项和公式的基本应用1，2，10，12等差数列前n项和的性质4，7，8，9等差数列前n项和的最值7,11a n与S n的关系3,5，11基础巩固1.已知等差数列{a n}的通项公式为a n=2—3n，则{a n｝的前n项和S n等于（ A ) (A）-n2+（B）-n2-（C)n2+（D)n2-解析:因为a n=2-3n，所以a1=2—3=—1,所以S n==—n2+.故选A.2。

等差数列{a n}中,d=2，a n=11，S n=35,则a1等于( D )（A）5或7 （B）3或5(C)7或—1 （D）3或—1解析：S n==35。

所以na1+11n=70, ①a n=a1+（n—1）×2=11.所以a1+2n=13。

②由①②得a1=3或a1=-1。

故选D.3.（2019·潮州期末)数列｛a n｝的前n项和S n=2n2+n，那么它的通项公式是（ C )（A）a n=2n—1 （B)a n=2n+1（C）a n=4n-1 (D)a n=4n+1解析：因为S n=2n2+n，所以a1=2×12+1=3，当n≥2时，a n=S n—S n-1=2n2+n-[2（n-1）2+（n—1)］=4n-1,把n=1代入上式可得a1=3,即也符合,故通项公式为a n=4n-1,故选C.4。

等差数列｛a n｝中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27,则数列{a n｝前9项的和S9等于( B ）(A）66 （B)99 （C)144 (D）297解析：因为a1+a7=2a4，a3+a9=2a6,所以3a4=39，3a6=27,所以a4=13，a6=9，所以S9===99.故选B。

5。

(2019·潍坊高二检测)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=3n—2,则a n= 。

解析：当n≥2时，a n=S n-S n—1=2×3n—1,当n=1时，a1=S1=3-2=1,不符合上式，所以a n=答案：6.(2019·大理州期末)等差数列{a n}中，a1>0,S3=S10,则当S n取最大值时，n的值为。

高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和练习新人教A版必修5

第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.若等差数列{a n}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=()A.12B.13C.14D.15解析∵S5==25,∴a2+a4=10.又a2=3,∴a4=7,∴公差d=2.∴a7=a4+3d=7+3×2=13.答案B2.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和S11=()A.58B.88C.143D.176解析∵S11=,a1+a11=a4+a8=16,∴S11==88,故选B.答案B3.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S k+2-S k=24,则k=()A.8B.7C.6D.5解析由a1=1,公差d=2,得a n=2n-1.又S k+2-S k=a k+1+a k+2,所以2k+1+2k+3=24,得k=5,故选D.答案D4.若公差不为0的等差数列{a n}的前21项的和等于前8项的和,且a8+a k=0,则正整数k的值为()A.20B.21C.22D.23解析设等差数列{a n}的前n项和为S n,由题意,得S21=S8,即a9+a10+…+a21=0.根据等差数列的性质,得13a15=0,即a15=0.故a8+a22=2a15=0,即k=22.故选C.答案C5.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n+1,令b n= (a1+a2+…+a n),则数列{b n}的前10项和T10=()A.70B.75C.80D.85解析∵a n=2n+1,∴数列{a n}是等差数列,首项a1=3,其前n项和S n==n2+2n,∴b n=S n=n+2,∴数列{b n}也是等差数列,首项b1=3,公差为1,∴其前10项和T10=10×3+×1=75,故选B.答案B6.设数列{a n}是等差数列,且a2+a3+a4=15,则该数列的前5项和S5=.解析由a2+a3+a4=15,得3a3=15,解得a3=5,故S5==5a3=25.答案257.在等差数列{a n}中,其前n项和为S n,若S12=8S4,则=.解析∵S12=12a1+d,S4=4a1+d,∴12a1+66d=32a1+48d.∴20a1=18d.∴.答案8.已知数列{a n}的前n项和为S n=n·2n-1,则a3+a4+a5=.解析a3+a4+a5=S5-S2=(5×25-1)-(2×22-1)=152.答案1529.导学号04994034设数列{a n}的前n项和为S n,点(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{a n}的通项公式.解依题意,得=3n-2,即S n=3n2-2n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.因为a1=S1=1,满足a n=6n-5,所以a n=6n-5(n∈N*).10.(2017·江西上高二中期末)已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.解(1)∵a n+2=2a n+1-a n+2,∴a n+2-a n+1=a n+1-a n+2,即b n+1=b n+2.又b1=a2-a1=2-1=1,∴数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,a n+1-a n=1+2(n-1)=2n-1,∴a n-a n-1=2(n-1)-1,a n-1-a n-2=2(n-2)-1,……a2-a1=2×1-1,累加,得a n-a1=2×-(n-1)=n2-2n+1,∴a n=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,∴数列{a n}的通项公式为a n=n2-2n+2.B组1.在等差数列{a n}中,2a4+a7=3,则数列{a n}的前9项和S9等于()A.3B.6C.9D.12解析设等差数列{a n}的公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,即a5=1,所以S9==9a5=9.答案C2.已知数列{a n}的前n项和S n=n2,则a n等于()A.nB.n2C.2n+1D.2n-1解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1适合上式,故a n=2n-1(n ∈N*).答案D3.已知等差数列{a n},a2=6,a5=15,若b n=a2n,则数列{b n}的前5项和等于()A.30B.45C.90D.186解析由等差数列{a n}易得公差d1=3.又b n=a2n,所以{b n}也是等差数列,公差d2=6.故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+×6=90.答案C4.设S n为等差数列{a n}的前n项和,S n=336,a2+a5+a8=6,a n-4=30(n≥5,n∈N*),则n等于()A.8B.16C.21D.32解析由a2+a5+a8=6,得3a5=6,所以a5=2.因为a5+a n-4=a1+a n=2+30=32,所以S n==336,解得n=21.答案C5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N*),则a5=.解析当n≥2时,由S n=2a n-1,得S n-1=2a n-1-1.两式相减,得a n=2a n-2a n-1,所以a n=2a n-1.因为a1=2a1-1,所以a1=1,故a5=2a4=22a3=23a2=24a1=16.答案166.在数列{a n}中,a n=4n-,a1+a2+…+a n=an2+bn+c,n∈N*,其中a,b为常数,则ab+c=. 解析因为a n=4n-,即a n是关于n的一次函数,所以数列{a n}是等差数列,所以a1+a2+…+a n==2n2-n,因此a=2,b=-,c=0,故ab+c=2×+0=-1.答案-17.已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=.(1)求证:是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵-a n=2S n S n-1(n≥2),∴-S n+S n-1=2S n S n-1(n≥2).又S n≠0(n=1,2,3,…),∴=2.又=2,∴是以2为首项,2为公差的等差数列.(2)解由(1)可知=2+(n-1)·2=2n,∴S n=.当n≥2时,a n=S n-S n-1==-;当n=1时,S1=a1=.故a n=8.导学号04994035设S n为数列{a n}的前n项和,S n=λa n-1(λ为常数,n=1,2,3,…).(1)若a3=,求λ的值;(2)是否存在实数λ,使得数列{a n}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解(1)因为S n=λa n-1,所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1.由a1=λa1-1,可知λ≠1,所以a1=,a2=,a3=.因为a3=,所以,解得λ=0或λ=2.(2)假设存在实数λ,使得数列{a n}是等差数列,则2a2=a1+a3,由(1)可得,所以,即=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{a n}是等差数列.。

人教A版高中数学必修五学课时作业等差数列的前n项和新

课时作业10 等差数列的前n 项和时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48解析：S 10＝a 1＋a 102＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24. 答案：B2．等差数列{a n }中，a 5＝10，S 3＝3，则( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2 D ．a 1＝3，d ＝－2 解析：∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝3，∴a 2＝1. 又a 5＝10， ∴d ＝a 5－a 25－2＝10－13＝3.∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2. 答案：A3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( ) A ．－23B ．－13C.13D.23解析：由S 10＝70，可以得到a 1＋a 10＝14，即a 1＝4. 所以d ＝a 10－a 19＝23.故选D. 答案：D4．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60. 由S n ＝390，知n a 1＋a n2＝390.所以n ×602＝390，解得n ＝13.故选A.答案：A5．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝20，则数列前15项的和S 15的值为( ) A ．60 B ．22 C ．20D ．－8解析：∵a 1＋3a 8＋a 15＝20，∴5a 8＝20， ∴a 8＝4. ∴S 15＝a 1＋a 152＝15a 8＝15×4＝60.答案：A6．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1080D ．1305 解析：∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3为常数，故{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63∴a n ＝0时，n ＝21；a n >0时，n >21；a n <0时，n <21 ∴S 30′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.故选B. 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知{a n }是等差数列， a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________. 解析：a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6. ①S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10. ②由①②得a 1＝1，d ＝12.答案：128．已知数列{a n }前n 项和S n ＝－2n 2＋3n ，则a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2＋3＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n 2＋3n ＋2(n －1)2－3(n －1)＝－4n ＋5. 又当n ＝1时，－4×1＋5＝1，故n ＝1时满足a n ＝－4n ＋5. ∴a n ＝－4n ＋5. 答案：－4n ＋59．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d＝________. 解析：∵S 12＝8S 4，∴12a 1＋12×112d ＝8(4a 1＋4×32d )．∴20a 1＝18d .∴a 1d ＝1820＝910. 答案：910三、解答题(共计40分)10．(10分)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 3＝11，S 9＝153，求{a n }的通项公式．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝11，9a 1＋9×82d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝5.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2.11．(15分)甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解：(1)设n 分钟后第一次相遇，依题意，得2n ＋n n －2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0，解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．甲、乙第一次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第二次相遇，依题意，得 2n ＋n n －2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －6×70＝0，解得n ＝15，n ＝－28(舍去)．甲、乙第二次相遇是在开始运动后15分钟．12．(15分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，求a n .解：当n ≥2时，将S n －S n －1＝a n 代入式子a n ＝2S 2n2S n －1，得S n －S n －1＝2S 2n2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n ·S n －1.两边同除S n ·S n －1得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴数列{1S n}是以2为公差的等差数列．则1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝2n －1.∴S n ＝12n －1(S 1＝a 1＝1也适合此式)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n －n －.当n ＝1时，a 1＝1不适合上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n －n －，n ≥2.。

2018_2019学年高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和课后作业含解析新人教A版必修5

第1课时等差数列的前n项和1.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=4,S3=9,则S4=( )A.14B.19C.28D.60解析:设等差数列{a n}的公差为d,则有解得a1=2,d=1,则S4=4a1+d=14.答案:A2.若等差数列{a n}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )A.12B.13C.14D.15解析:S5==25,∴a2+a4=10.又a2=3,∴a4=7,∴公差d=2.∴a7=a4+3d=7+3×2=13.答案:B3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于( )A.160B.180C.200D.220解析:∵a1+a20=a2+a19=a3+a18,∴a1+a20==18.∴S20==10×18=180.答案:B4.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k等于( )A.9B.8C.7D.6解析:当n≥2时,a n=S n-S n-1=(n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10;当n=1时,a1=S1=-8,满足上式.所以a n=2n-10(n∈N*).由5<a k<8得5<2k-10<8,解得7.5<k<9.又k∈N*,因此k=8.答案:B5.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,S n是等差数列{a n}的前n项和,则使得S n 达到最大值的n是( )A.21B.20C.19D.18解析:设{a n}的公差为d,则解得d=-2,a1=39.则S n=39n+×(-2)=-n2+40n=-(n-20)2+400,所以当n=20时,S n最大.答案:B6.在等差数列{a n}中,其前n项和为S n,若S12=8S4,则=.解析:∵S12=12a1+d,S4=4a1+d,∴12a1+66d=32a1+48d.∴20a1=18d∴.答案:7.已知等差数列{a n}的前20项和S20=260,则a6+a9+a11+a16=.解析:∵S20==260,∴a1+a20=26.∴a6+a9+a11+a16=(a9+a11)+(a6+a16)=2a10+2a11=2(a10+a11)=2(a1+a20)=52.答案:528.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m-1+a m+1-=0,S2m-1=38,则m=. 解析:因为{a n}是等差数列,所以a m-1+a m+1=2a m.由a m-1+a m+1-=0,得2a m-=0.由S2m-1=38知a m≠0,所以a m=2.又S2m-1=38,即=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10.答案:109.设数列{a n}的前n项和为S n,点(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{a n}的通项公式.解:依题意得,=3n-2,即S n=3n2-2n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.因a1=S1=1,满足a n=6n-5,所以a n=6n-5(n∈N*).10.在等差数列{a n}中,a10=18,前5项的和S5=-15,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值.解:(1)设{a n}的首项、公差分别为a1,d,则解得a1=-9,d=3,∴a n=3n-12.(2)S n=(3n2-21n)=,∴当n=3或4时,{a n}的前n项的和取得最小值为-18.。

必修5第二章数列校本作业：2.3.1等差数列的前n项和(教师版)

第二章数列 2.3.1等差数列的前n 项和日期_________班级_________ 姓名__________1、数列的前n 项和：对于任意数列{}n a ，叫做数列{}n a 的前n 项和。

通项n a 与前n 项和n S 的关系是：⑴n S = ⑵n a =2、等差数列{}n a 的前n 项和公式：=n S =3、等差数列的前n 项n S 与二次型函数的关系由=n S n da n d)2(212-+知，当0≠d 时，n S 是关于n 的无常数项的二次函数。

当0=d 时，{}n a 是常数列，1n S na =是n 的一次函数。

基础巩固1．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（）A.1 B ． 53 C ．2 D ．3【答案】C【解析】因为322123124S a a =⇒=⇒=，所以32642d a a =-=-=，选C.考点：等差数列性质2．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S = （）A ．58B ．88C ．143D ．176【答案】B【解析】由等差数列性质可知4811116a a a a +=+=，1111111()882aa S ⨯+==．故应选B ．考点：等差数列的性质.3．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为（）A ．24B ．26C ．27D ．28【答案】B【解析】由题意得123412321,67n n n n a a a a a a a a ---+++=+++=，两式相加得122n a a += ()1286262n n n aa S n +==∴=考点：等差数列性质及求和4．设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值．[答案] C[解析] 由S 5<S 6知a 6>0，由S 6＝S 7知a 7＝0，由S 7>S 8知a 8<0，C 选项S 9>S 5即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，∴a 7＋a 8>0，显然错误．5．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 [答案] B[解析] 由题设求得：a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a 1＝39，∴a n ＝41－2n ，a 20＝1，a 21＝－1，所以当n ＝20时S n 最大．故选B.6．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别为n S 和n T ，对一切自然数n 都有132+=n n T S n n ，则=55b a （） A ．32 B ．149 C ．3120 D ．1711 【答案】B 【解析】()()195519919551999218929228142a a a a a a Sb b b b b b T ++======++ 考点：等差数列求和及性质7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12n S -=-，0n S =，13n S +=，则n = ．【答案】5【解析】由已知可得，2=n a ,31=+n a ,所以公差1=d ,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⨯-+=⨯-+012121111）（n n na n a )(,解得⎩⎨⎧=-=521n a . 【思路点睛】等差数列无难题，只要记着设首项1a 和公差d ，列出关于1a 和d 的方程组并求出首项和公差。