高中数学 第二章 2.3等差数列的前n项和(一)课时作业 新人教A版必修5
(新课程)高中数学2.3等差数列的前n项和第1课时评估训练 新人教A版必修5
2.3 等差数列的前n 项和
第1课时 等差数列的前n 项和
双基达标 限时20分钟
1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是
( )． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48
解析 由S 10＝a 1＋a 102，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.
答案 B
2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－9n ，第k 项满足5
( )． A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
解析 此数列为等差数列，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由5<2k －10<8得到k ＝8. 答案 B
3．已知等差数列{a n }中，a 32＋a 82
＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为 (
)． A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－15
解析 由a 32＋a 82＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2
＝9，∵a n <0，
∴a 3＋a 8＝－3，
∴S 10＝a 1＋a 102 ＝a 3＋a 82＝－2＝－15.
答案 D
4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
＋2n ＋5，则a 5＋a 6＋a 7＝________.
解析 a 5＋a 6＋a 7＝S 7－S 4＝39.
答案 39
5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________. 解析 由a 6＝S 3＝12可得{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝2，故易得a n ＝2n .
答案 2n
6．已知等差数列{a n }中，
高中数学 2.3 等差数列的前n项和(第一课时)教案 新人教A版必修5
2.3 等差数列的前n项和（第一课时）
（适合高二年级文科数学）教学内容分析本节课教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书——数学(必修五)》(人教A版)第二章第三节“等差数列的前n项和”(第一课时)。本节课是在学习了等差数列的定义、通项公式及相关性质的基础上来学习的，主要研究如何应用“倒序相加法”求等差数列的前n 项和，并能利用该公式解决简单的数列求和问题。等差数列在现实生活中比较常见，因此，等差数列的求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题，同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题。另外，通过对等差数列前n项和公式的推导过程的探究与思考，可以培养学生认识事物规律时从特殊到一般，又从一般到特殊的研究方法，有利于学生在认知世界过程中形成科学的认识观和方法论。
学生学习情况分析
本节课授课班级是我校高二年级的文科平行班，学生学习基础一般，数学成绩中等偏多，对授课教师的课堂设计和有效的教学引导提出一定的要求。学生在本节课之前，已经学习了等差数列的定义、通项公式和相关性质，并对高斯算法有所了解，这些都为课堂上介绍“倒序相加法”，来研究等差数列的前n项和公式奠定了基础，降低了难度。但是，在由高斯算法引入，到转而采用“倒序相加法”，利用等差数列的性质首位配对，对等差数列前n和进行探究，这一研究思路的获得，可能会成为学生学习上的一大障碍，也是本节课的难点所在。设计思想
人本主义学习理论以“人”为中心，把认知和情感合二为一，以便培养出完整的人，强调学生学习内部动机的重要性。在其基础上建立起来的教学观认为教学的目标在于促进学习，教学活动的重心是学生，倡导学生在好奇心的驱使下，进行以经验为中心的“有意义的自由学习”，而不是教师强迫下学生无助地、顺从地学习，教师应成为学生“学习的促进者”。因此，本节课的教学设计围绕学生展开，在具体问题情境中发现问题，让学生带着思考，经历三个由易到难，由特殊到一般的问题探究，层层铺垫展开学习。教师组织学生在自主探究、独立思考及合作交流中，完成对等差数列前n项和公式的研究性学习，获得思想、情感、体验和行为上的收获。
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学
2.3 等差数列的前n项和
(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？
(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？
(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？
[新知初探]
1．数列的前n项和
对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.
2．等差数列的前n项和公式
已知量首项，末项与项数首项，公差与项数
选用公式S n＝
n a1＋a n
2
S n＝na1＋
n n－1
2
d
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和( )
(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式( )
(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1( )
解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又∵a1＝S1＝3，
∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．
(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.
预习课本P42～45，思考并完成以下问题
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)
2017-2018学年高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和公式 新人教A版必修5
探究三 等差数列的性质与求和公式的综合运用 [典例 3] 在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前 n 项和．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[解析] 等差数列{an}的公差 d＝a1177－－a11＝－12－16－60＝3， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63. 由 an<0，得 3n－63<0，即 n<21. ∴数列{an}的前 20 项是负数，第 21 项及以后的项都为非负数． 设 Sn，S′n 分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项之和，当 n≤20 时，S′n ＝－Sn＝－－60n＋nn2－1×3 ＝－32n2＋1223n；
法二：同法一先求出 d＝－2. ∵a1＝25>0，
由aann＝ ＋1＝252－5－2n2n－≤10≥，0， 得nn≥≤222257，，
∴当 n＝13 时，Sn 有最大值， S13＝25×13＋13×122×－2＝169.
法三：同法一先求出 d＝－2.由 S17＝S9， 得 a10＋a11＋…＋a17＝0， 而 a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故 a13＋a14＝0， ∵d＝－2<0，a1>0，∴a13>0，a14<0， 故 n＝13 时，Sn 有最大值，且 S13＝25×13＋13×122×－2＝169.
高中数学《2.3 等差数列的前n项和(1)》练习 新人教A版必修5
高中数学必修五《2.3 等差数列的前n 项和（1）》练习
1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,5a a ==，则4S = （ ）
A ．12 B.10 C.8 D.6
2.数列1、-2、3、-4、5、-6、…的第100项是 （ ）
A ．-100 B.100 C.101 D.-101
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710,a a +=则19S = （ ）
A ．190 B.170 C.95 D.85
4.等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=，则8a =（ ）
A ．24 B.22 C.20 D.-8
5.{n a }是首项为6，公差为3的等差数列，如果 n a =2013，则序号n 等于（ ）
（A ）667 (B)668 (C)669 (D)670
6.已知数列{n a }为等差数列，n S 为其前n 项和，且 2436a a =-则9S 等于（ ）
（A ）25 (B)27 (C)50 (D)54
二．填空题
1.在等差数列{}n a 中，已知4512,a a +=则8S =
2.在等差数列{}n a 中，247,15a a ==,则10S =
3.等差数列10,6,2,1,---，前 项的和是5
4.
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6312a S ==，则{}n a 的通项公式n a =_________
5.在等差数列{}n a 中，10120S =，则38a a +=________
6.设{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且13578a a a a +++=，则7S =_______
2020版高中数学第2章数列2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和及其性质课时作业案新人教A版必修5
第1课时 等差数列的前n 项和及其性质
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若等差数列{a n }的前三项和S 3＝9，且a 1＝1，则a 2等于( A ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
[解析] S 3＝3a 1＋3×2
2d ＝9，
又∵a 1＝1，∴d ＝2， ∴a 2＝a 1＋d ＝3.
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( A ) A ．－32n 2＋n
2
B ．－32n 2－n
2
C ．32n 2＋n
2
D ．32n 2－n 2 [解析] 易知{a n }是等差数列且a 1＝－1，所以S n ＝n (a 1＋a n )2
＝
n (1－3n )
2＝－32n 2＋n
2
.故选
A ．
3．(2018·全国卷Ⅰ理，4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( B )
A ．－12
B ．－10
C ．10
D ．12
[解析] 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22×d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32×d ⇒9a 1＋9d ＝6a 1＋7d ⇒3a 1＋2d ＝0⇒6
＋2d ＝0⇒d ＝－3，
所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.
4．(2019·全国Ⅰ理，9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( A ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2
－8n
D ．S n ＝12
n 2
－2n
[解析] 设首项为a 1，公差为d .
高中数学第二章数列2.3等差数列前n项和(第1课时)课件新人教A版必修5
[类题通法] 已知数列{an}的前 n 项和公式 Sn，求通项公式 an 的步骤： (1)当 n＝1 时，a1＝S1. (2)当 n≥2 时，根据 Sn 写出 Sn－1，化简 an＝Sn－Sn－1. (3)如果 a1 也满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那么 数列{an}的通项公式为 an＝Sn－Sn－1； 如果 a1 不满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那么数 列{an}的通项公式要分段表示为 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 (如本例)．
此时若 n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故 an＝4n－5. (2)当 n＝1 时，a1＝S1＝31－2＝1； 当 n≥2 时，Sn－1＝3n－1－2， 则 an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1 ＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1. 此时若 n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1， 故 an＝12， ·3n－1，n≥n2＝. 1，
归纳小结
等差数列的前 n 项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用 公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到 a1，d，n，an 及 Sn 五个基本量，它 们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前 n 项和．
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案(1)新人教A版必修5
2.3等差数列的前n 项和(1)
学习目标:理解并掌握等差数列前n 项和公式及推导方法;能够应用公式解决有关问题.
一、自主学习: 等差数列前n 项和公式
学习教材P42-P43(例1之上)内容,了解等差数列前n 项和公式的推导方法.
(1)推导方法:
(2)公式:
(3)方程的思想:
基本量:
二、合作学习:典型例题
例1.已知等差数列{}n a ,解答下列问题:
(1);,95,510101S a a 求已知==
(2);,2,100501S d a 求已知-==
(3);,,999,54,201d n S a a n n 求已知===
(4);,10000,21100n a a S d 与求已知==
(5) 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310, 前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和公式吗?
变式、一个等差数列的前四项和为21,末四项和为67,前n 项和为286,求项数n
例2.已知数列{}n a 的通项公式是254-=n a n ,求数列{}||n a 的前n 项和.
三、思维拓展:
求集合{}
n
N
n
m
M且的元素个数,并求这些元素的和.
m
=m
∈
,
100
,
7
|*<
=
2019-2020学年高中数学人教A版必修5练习：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和 课堂
1．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a1d 等于( )
A.12 B ．2
C.14 D ．4
解析：由题意知，10a 1＋10×92d ＝4(5a 1＋5×42d )，
∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d .∴5d ＝10a 1.即a1d ＝12.
答案：A
2．若{a n }是等差数列，满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，则有( )
A ．a 1＋a 101＞0
B ．a 2＋a 100＜0
C ．a 3＋a 99＝0
D ．a 51＝51
解析：∵a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，
∴S 101＝错误!×101＝0.
∴a 1＋a 101＝0.
∴a 3＋a 99＝0.
答案：C
3．(2012·湛江高二检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于
( ) A ．72 B ．54
C ．36
D ．18
解析：∵a 4＝18－a 5，a 4＋a 5＝18，
∴S 8＝错误!＝4(a 1＋a 8)＝4(a 4＋a 5)
＝4×18＝72.
答案：A
4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78.则此数列前20项和等于________． 解析：∵a 1＋a 2＋a 3＋a 18＋a 19＋a 20
＝a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18
＝3(a 1＋a 20)＝78－24＝54，
∴a 1＋a 20＝18.
∴S 20＝错误!＝18×10＝180.
答案：180
5．(2011·天津高考)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈
高中数学《2.3等差数列的前n项和》第1课时教案 新人教A版必修5
高中数学《2.3等差数列的前n 项和》第1课时教案新人教A 版必修5
课题：2.3.1等差数列的前n项和（1）
主备人：执教者：
【学习目标】掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
【学习重点】等差数列前n项和公式的理解、推导及应用.
【学习难点】灵活运用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.
【授课类型】新授课
【教具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。【学习方法】诱思探究法
【学习过程】 一、复习引入： “小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；
3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高 )()()()(22
3
1
2
1
n
n
n n n
n
a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121
n n n a a a a a a
∴)(21
n
n
a a n S
+= 由此得：2
)
(1n n
a a n S
+=
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前n 项和公式2：
2
)1(1
d
n n na S n
-+= 用上述公式要求n
S 必须具备三个条
件：n
a a n ,,1
但d
n a a
n
)1(1-+= 代入公式1即得：
2
)1(1d n n na S n -+
=
此公式要求n
S 必须已知三个条件：
个性设计
d
a n ,,1 （有时比较有用） 三、 特例示范
课本P49-50的例1、例2、例3 由例3得与n
高中数学 必修五 2.3 等差数列的前n项和(第1课时)学案 新人教A版必修5
2.3 等差数列的前n项和(第1课时)
一、设计问题,创设情境
1.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?
问题就是
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.这实际上是一个求等差数列前100项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050.高斯算法将加法运算转化为乘法运算,迅速准确的得到了结果.
我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发?
二、信息交流,揭示规律
2.公式推导
设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,S n=a1+a2+a3+…+a n=?,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用a1和d表示,得
S n=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],有以下等式a1+[a1+(n-1)d]=(a1+d)+[a1+(n-2)d]=(a1+2d)+[a1+(n-3)d]=…,问题是一共有多少个,似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:
上面的等式其实就是a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…,为回避个数问题,做一个改写S n=a1+a2+a3+…+a n-2+a n-1+a n,S n=a n+a n-1+a n-2+…+a3+a2+a1,两式左右分别相加,得2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n-2+a3)+(a n-1+a2)+(a n+a1),
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列前n项和学案1(无答案)新人教A版必修5(2021年整理)
江苏省扬州市宝应县高中数学第二章数列2.3 等差数列前n项和学案1（无答案）新人教A版必修5
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等差数列的前n 项和1
学习目标：1。等差数列前n 项和公式的推导；
2.等差数列前n 项和公式的应用。
学习重难点:等差数列前n 项和公式的应用。 导 学 过 程 学 习 体 会
一、自主学习： 1. 在数列{}n a 中，03,111=--=+n n a a a ，则=n a 。
2. 如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=，那么127...a a a +++= 。
3.已知等差数列共有10项、其中奇数项之和为15，偶数项之
和 为30,则其公差是 . 4。 等差数列{}n a 中，113a =，254a a +=，33m a =，则=m .
二．问题探究： 探究1．等差数列前n 项和的推导 1. 阅读课本P42页
2.如何求等差数列{}n a 的前n 项和n S ? 例1 在等差数列｛a n }中, (1）已知31=a ，10150=a ,求50S ；
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列前N项和(1)教案 新人教A版必修5(2021年最新整理)
的全部内容。
教材分析教学
重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应用
教学
难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题疑难
预设
倒序求和
模式与方法讲练结合
教学流程
教学内容
师生活动及时间分
配
个案补
充1、课题导入
“小故事":高斯是伟大的数学家，
天文学家，高斯十岁时，有一次
老师出了一道题目,老师说:
“现在给大家出道题目：
1+2+…100=？"
过了两分钟，正当大家在：
1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不
亦乐乎时，高斯站起来回答说:
“1+2+3+…+100=5050.”
教师问:“你是如何算出答案的？
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子
的高斯从小就善于
观察,敢于思考，所以
他能从一些简单的事
物中发现和寻找出某
些规律性的东西。
（2）该故事还告诉我
们求等差数列前n项
和的一种很重要的思
想方法，这就是下面
2。3 等差数列的前n 项和1
教 学 内 容
师生活动及时间分
配
个
案
补充 高斯回答说：因为1+100=101; 2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 2、讲授新课
（1）等差数列的前n 项和公式1：
2
)
(1n n a a n S +=
我们要介绍的“倒序
相加"法。
教学流程
证明：
n
n
n
a
a
a
a
a
S+
+
+
+
+
=
-1
3
2
1
①
1
2
2
1
a
a
a
a
a
S
n
n
n
n
+
+
+
+
+
=
-
-
②
①+
②:)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
3
1
2
1n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
S+
+
+
+
+
+
+
+
=
-
-
∵
=
+
=
+
=
+
-
-2
3
1
2
1n
n
n
a
a
a
a
a
a
∴)
(
2
1n
n
a
a
n
S+
=由此得：
2
)
(
1n
n
a
a
n
S
+
=
3、例题讲解：
课本P43的例1
人教版高中数学必修五课时作业2：2.3 等差数列的前n项和(一)
2．3 等差数列的前n 项和(一)
一、基础达标
1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于
( )
A ．18
B ．27
C ．36
D ．45 答案 C
解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝9
2(a 2＋a 8)＝36. 2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1
d 等于
( )
A.12 B ．2 C.1
4 D ．4 答案 A
解析 由题意得：
10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋1
2×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， ∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝1
2.
3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 2
8＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为
( )
A ．－9
B ．－11
C ．－13
D ．－15 答案 D
解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2
＝9，∵a n <0，
∴a 3＋a 8＝－3，
∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2
＝－15.
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于
( )
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27 答案 B
解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，
∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.
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§2.3等差数列的前n项和(一)
课时目标1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．
2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n之间的关系．
1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n .例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作S 16；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1 (n ≥2)．
2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n a 1＋a n
2
；若首项为
a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋1
2
n (n －1)d .
3．等差数列前n 项和的性质 (1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 也是等差数列，且公差为d
2.
(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m
也成等差数列．
(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a n b n ＝
S 2n －1
T 2n －1
.
一、选择题
1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 答案 C
解析 S 7＝
7
a 1＋a 7
2
＝
7a 2＋a 6
2
＝49.
2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d
等于( )
A.1
2 B ．2 C.1
4
D ．4 答案 A
解析 由题意得：
10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋1
2×5×4d )，
∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，
∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝1
2
.
3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 2
8＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－15 答案 D
解析 由a 23＋a 2
8＋2a 3a 8＝9得
(a 3＋a 8)2
＝9，∵a n <0， ∴a 3＋a 8＝－3，
∴S 10＝10a 1＋a 10
2
＝10a 3＋a 82＝10×－32
＝－15.
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B
解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9
－S 6)，
∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B
解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，
∴n ＝14，S 14＝14×2＋1
2
×14×13×7＝665.
6．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1
－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )
A ．3
B ．－3
C ．－2
D ．－1 答案 B
解析 由⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1
＋a 3
＋…＋a
2n －1
＝na 1＋
n n －1
2×2d ＝90，a 2
＋a 4
＋…＋a
2n
＝na 2＋
n n －1
2
×
2d ＝72，
得nd ＝－18.
又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3. 二、填空题
7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 答案 15
解析 设等差数列的公差为d ，则
S 3＝3a 1＋3×2
2
d ＝3a 1＋3d ＝3，
即a 1＋d ＝1，
S 6＝6a 1＋6×5
2
d ＝6a 1＋15d ＝24，
即2a 1＋5d ＝8.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－1，
d ＝2.
故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.
8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5
b 5
的值是
________．
答案 6512
解析
a 5
b 5＝9a 1＋a 99b 1＋b 9＝S 9T 9＝65
12
. 9．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则
n 的值为________．
答案 10 解析 S 奇＝
n ＋1a 1＋a 2n ＋1
2
＝165，
S 偶＝n a 2＋a 2n
2
＝150.
∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴
n ＋1n ＝165150＝11
10
， ∴n ＝10.
10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m
的值是________．
答案 210
解析 方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.
方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m
3m
成等差数列， ∴
2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m
3m
. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. 三、解答题
11．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .
解 由⎩⎪⎨⎪
⎧
a n ＝a 1＋n －1d ，S n ＝na 1＋n n －1
2d ，
得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＋2n －1＝11，na 1＋n n －1
2×2＝35，