2015年春北师大版八年级数学下册四清导航课件1.2直角三角形(1)
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北师大版八年级下册数学1.2《2 直角三角形》优秀课件 (共33张PPT)
北京师范大学出版社 八年级 | 下册
知识点一 知识点二 知识点三 知识点四
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点二 勾股定理及其逆定理 1.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是 直角三角形. 拓展归纳 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形 三边的数量关系“a2+b2=c2”;勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2” 为条件,进而得到这个三角形是直角三角形.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
拓展点一
拓展点二
拓展点一 利用勾股定理解决图形折叠问题 例1 如图,直角三角形纸片ABC,∠C=90° ,AC=6,BC=8,折叠△ABC的一角,使点B与点A 重合,展开得折痕DE,求BD的长. 分析:由折叠知△ADE≌△BDE得到AD=BD,在Rt△ACD中,由勾股定理求AD的长. 解:由折叠可知△ADE≌△BDE,AD=BD. 设BD=x,则AD=x,CD=8-x. 在Rt△ACD中,由勾股定理,得 AC2+CD2=AD2,即62+(8-x)2=x2,
直角三角形
北京师范大学出版社 八年级 | 下册
知识点一 知识点二 知识点三 知识点四
知识点一 直角三角形两锐角的关系 定理1:直角三角形的两个锐角互余. 定理2:有两个角互余的三角形是直角三角形. 拓展归纳 直角三角形的两锐角互余是三角形内角和等于180° 的一个推论.当一个三角 形有两个角互余(即两个角的和等于90° )时,第三个角是直角,此时,这个三角形是直角三角 形. 例1 在△ABC中,∠A,∠B,∠C满足条件∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3.求证:△ABC是直角 三角形. 分析:由三角形内角和等于180° ,列方程求得最大角的度数.若最大角的度数等于90° ,就 可以确定这个三角形是直角三角形. 证明:∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,且∠A+∠B+∠C=180° ,∴∠A+∠B=∠C=90° . ∴△ABC是直角三角形.
北师大版八年级数学下册1.2《直角三角形》课件(共14张PPT)
观察上面两组定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?
观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。
思考：上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的 关系吗？
作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4
B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15
D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三 角形是直角三角形。
4， 在△ABC中，BC=6,AC=5,BC边上中线长为4，则S△ABC=____ 5，已知：在△ABC中，AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm
角时，那么这两个三角形全等吗？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， AB=A′B′，BC=B′C′。 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表 示．
如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的 倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
想一想
思考：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两 个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角 呢？
两个三角形中，如果有两边及其中一边的对角相等，这两个三 角形是不一定全等的．如图所示：
观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。
思考：上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的 关系吗？
作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4
B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15
D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三 角形是直角三角形。
4， 在△ABC中，BC=6,AC=5,BC边上中线长为4，则S△ABC=____ 5，已知：在△ABC中，AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm
角时，那么这两个三角形全等吗？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， AB=A′B′，BC=B′C′。 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表 示．
如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的 倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
想一想
思考：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两 个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角 呢？
两个三角形中，如果有两边及其中一边的对角相等，这两个三 角形是不一定全等的．如图所示：
北师大版 八年级数学下册1.2直角三角形 直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)
到△AOB≌△COD，理由是（ A ）
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.
新北师大版八年级数学初二下册1.2 直角三角形 PPT课件
三角形两直角边分别为a、b，斜 边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文 献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
a c 勾 股 弦
b
勾股定理的证明
方法一:
拼图计算 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图 方法六：折纸法 方法七：拼图计算
动手试一试 B 2.房梁的一部分如图所示,其中 B1 BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB, B1C1⊥AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是 多少？B1C1呢？ A 3 0 C C 1 解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知 ∴ BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中, 如果有一个 ),
b
伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了 纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就 把这一证法称为“总统”证法．
勾股定理逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方,
那
么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形.
定理与逆定理 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. 你还能举出一些例子吗?
本课小结
命题与逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分
别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命 题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命 题的逆命题. 定理与逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那 么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其 中一个定理称另一个定理的逆定理.
a c 勾 股 弦
b
勾股定理的证明
方法一:
拼图计算 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图 方法六：折纸法 方法七：拼图计算
动手试一试 B 2.房梁的一部分如图所示,其中 B1 BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB, B1C1⊥AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是 多少？B1C1呢？ A 3 0 C C 1 解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知 ∴ BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中, 如果有一个 ),
b
伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了 纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就 把这一证法称为“总统”证法．
勾股定理逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方,
那
么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形.
定理与逆定理 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. 你还能举出一些例子吗?
本课小结
命题与逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分
别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命 题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命 题的逆命题. 定理与逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那 么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其 中一个定理称另一个定理的逆定理.
1.2.2直角三角形-北师大版八年级数学下册课件
重难点
重点
掌握直角三角形“HL”全等判定定理， 运用直角三角形全等解决简单的实际问题．
难点
证明“HL”定理的思路的探究和分析．
温故知新
1.之前我们学习了判断两个三角形全等的 ④连接AB，得到Rt△ABC.
“HL”定理解决°，AB＝A′B′，BC＝B′C′．
达标检测
4.已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别 为E，F，且DE=BF．
求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD．
能力提升
5.如图①，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线
且点B,C在AE的异侧，BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E. （1）求证：BD=DE+CE； （2）将直线AE绕A点旋转到图②位置时(BD<CE),其它条件不变，
第一章 三角形的证明
1.2.2直角三角形
学习目标
1.经历直角三角形全等的“HL”的判定定理探索 过程，进一步理解证明的必要性，掌握并利用
“HL”定理解决实际问题． 2.能用尺规完成作图： 已知一条直角边和斜边作直角三角形. 3.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理 能力，培养学生思维的灵活性与开放性．
合作探究，获取新知
∵∠DEF+∠F＝90°，
（3）将直线AE绕A点旋转到图③位置时(BD>CE),其它条件不变，
已知：如图，线段a，c（a<c），直角α． 如果其中一组等边的对角是直角，它们还全等吗？
①作∠MCN＝∠α=90° 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）．
求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．
∴∠B+∠F＝90°.
求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c． （2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
北师大版数学八年级下册 1.2.2直角三角形课件
跟踪检测
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和 CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D ) A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥ l于 点E， 且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，则DE＝ 8 ．
自我小结
“ HL”公理是仅适用于直角三角形的特殊方法. 因此，判断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SAS”、“AS A”、 “AAS”、“SSS”外，还可以使用“ HL”.
跟踪检测
1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接 得到△PEA≌△PFA的理由是( A ) A．HL B．ASA C．AAS D．SAS 2．不能判断两个直角三角形全等的条件是(A ) A．两锐角对应相等的两个直角三角形 B．一锐角和锐角所对的直角边分别对应相等的两个直角三角形 C．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形 D．一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 4.2816: 30:4216 :30Apr-2128-A pr-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。16:30: 4216:3 0:4216: 30Wed nesday, April 28, 2021
跟踪检测
5．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； (2)若∠CAE＝3 0°，求∠ACF的度数．
北师大版八年级数学(下)课件：1.2.1直角三角形
我掌握的概念_______：
我学会了_______；
我还知道了_______．
当堂检测
A组：
1．下列命题中，其逆命题成立的___________．（只填 写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角 形是直角三角形．
6，CB＝24，AB＝26．则四边形ABCD
的面积为
．
4．已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，
BC＝15，DB＝9．
C
3题图
（1）求DC的长；
（2）求AB的长； （3）求证：△ABC是直角三角形． A
DB
4题图
这节课大家通过自己的努力和小组的合 作，相信每个同学都有所收获．整理一下本 节课的所学，写下来．
DE=AB，DF=AC(如图)，
则 DE2 DF 2 EF 2 .(勾股定理)．
B
C
∵AB2 AC2 BC2, DE=AB，DF=AC,
∴ BC 2 EF 2.
∴BC= EF
D
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠A=∠D=90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
定理2证明：
a bc
c a
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
b)
1 2
(a2
2ab
b2 )
1 2
a2
1 2
b2
ab.
c
a
s2
1 2
我学会了_______；
我还知道了_______．
当堂检测
A组：
1．下列命题中，其逆命题成立的___________．（只填 写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角 形是直角三角形．
6，CB＝24，AB＝26．则四边形ABCD
的面积为
．
4．已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，
BC＝15，DB＝9．
C
3题图
（1）求DC的长；
（2）求AB的长； （3）求证：△ABC是直角三角形． A
DB
4题图
这节课大家通过自己的努力和小组的合 作，相信每个同学都有所收获．整理一下本 节课的所学，写下来．
DE=AB，DF=AC(如图)，
则 DE2 DF 2 EF 2 .(勾股定理)．
B
C
∵AB2 AC2 BC2, DE=AB，DF=AC,
∴ BC 2 EF 2.
∴BC= EF
D
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠A=∠D=90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
定理2证明：
a bc
c a
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
b)
1 2
(a2
2ab
b2 )
1 2
a2
1 2
b2
ab.
c
a
s2
1 2
北师大版八年级数学下册第一章《直角三角形(1)》公开课课件
2.直角三角形（1） 勾股定理与它的逆定理的证明
开启 智慧
勾股定理
w如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c， 那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥 拉斯定理（pythagoras theorem）.
c a
b
弦 勾
股
驶向胜利 的彼岸
•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/242021/10/24October 24, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/242021/10/242021/10/242021/10/24
回顾反思 1
w我们已经学习了一些互逆的定理,如: w勾股定理及其逆定理, w两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
w你还能举出一些例子吗?
w想一想:
w互逆命题与互逆定理有何关系?
驶向胜利 的彼岸
读一读 1
学无止境
P18《读一读》：
勾股定理的证明.
l勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──有 四百多种说明！
w你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的
平方相等”的逆命题吗?
w它们都是真命题吗?
w想一想:一个命题是真命题,
它逆命题是真命题还是假命题?
驶向胜利 的彼岸
开启 智慧
定理与逆定理
w一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. w如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
公式。
l图中三个三角形面积的和是
l2×ab/2＋c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2;
开启 智慧
勾股定理
w如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c， 那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥 拉斯定理（pythagoras theorem）.
c a
b
弦 勾
股
驶向胜利 的彼岸
•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/242021/10/24October 24, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/242021/10/242021/10/242021/10/24
回顾反思 1
w我们已经学习了一些互逆的定理,如: w勾股定理及其逆定理, w两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
w你还能举出一些例子吗?
w想一想:
w互逆命题与互逆定理有何关系?
驶向胜利 的彼岸
读一读 1
学无止境
P18《读一读》：
勾股定理的证明.
l勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──有 四百多种说明！
w你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的
平方相等”的逆命题吗?
w它们都是真命题吗?
w想一想:一个命题是真命题,
它逆命题是真命题还是假命题?
驶向胜利 的彼岸
开启 智慧
定理与逆定理
w一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. w如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
公式。
l图中三个三角形面积的和是
l2×ab/2＋c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2;
北师大版八年级下册数学课件：1.2直角三角形(1)课件(共15张PPT)
问题4：观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等． 如果两个角相等，那么它们是对顶角．
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧． 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
三角形中相等的边所对的角相等． 三角形中相等的角所对的边相等
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗? 与同伴交流．
合作探究
像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命题的条件和 结论分别是另一个命题的__________和__________
求证：△ABC≌△A'B'C'．
C
C'
A
D B A'
D' B'
4.已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'， BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线且BD—B'D' (如图)．
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
A
A'
D
D'
B
C B'
C'
课堂小结
1、了解勾股定理及逆定理的证明方法； 2、了解逆定理的概念，会识别两个互逆命题，知 道原命题成立，其逆命题不一定成立； 3、了解逆定理的概念，知道并非所有的定理都有 逆定理。
问题7：你能举例说出我们已学过的互逆定理?
例题解析
如图，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15， 求证：BA∥DC
A
12 D
15
9
C B
例题解析
如图，圆柱形容器高 18cm，底面周长为24cm ，在杯
如果两个角是对顶角，那么它们相等． 如果两个角相等，那么它们是对顶角．
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧． 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
三角形中相等的边所对的角相等． 三角形中相等的角所对的边相等
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗? 与同伴交流．
合作探究
像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命题的条件和 结论分别是另一个命题的__________和__________
求证：△ABC≌△A'B'C'．
C
C'
A
D B A'
D' B'
4.已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'， BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线且BD—B'D' (如图)．
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
A
A'
D
D'
B
C B'
C'
课堂小结
1、了解勾股定理及逆定理的证明方法； 2、了解逆定理的概念，会识别两个互逆命题，知 道原命题成立，其逆命题不一定成立； 3、了解逆定理的概念，知道并非所有的定理都有 逆定理。
问题7：你能举例说出我们已学过的互逆定理?
例题解析
如图，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15， 求证：BA∥DC
A
12 D
15
9
C B
例题解析
如图，圆柱形容器高 18cm，底面周长为24cm ，在杯
北师大八年级数学下课件：1.2直角三角形课件
C
A
′
在△ABC中
∵AC2+BC2=AB2(已知),
b (1)
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和 等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).
这是判定直角三角形的根据之一.
驶向胜利 的彼岸
开启 智慧
命题与逆命题
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这 个三角形是直角三角形
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
你还能举出一些例子吗?
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
驶向胜利 的彼岸
读一读 1
学无止境
P18《读一读》：
勾股定理的证明.
勾股定理是数学上有证明方法最多的定理── 有四百多种说明！
′
古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，
不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政
治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里
驶向胜利 的彼岸
开启 智慧
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称
为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆 命题.
你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的
平方相等”的逆命题吗?
它们都是真命题吗?
想一想:一个命题是真命题,它
逆命题是真命题还是假命题?
a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理 （pythagoras theorem）.
• 勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三 角形是直角三角形.
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15．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE， 将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1， 135 BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝ __ 度．
第13题图
第14题图
第15题图
三、解答题(共36分)
16．(12分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°， D为AC边的中点，过D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F， 若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
7．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝ 3 ， ∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝ 2 2 .求证：△ACD是直角三角形．
1 证明：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，∴BC＝ AC.又∵BC2＋AB2＝AC2，即 BC2＋( 3)2＝ 2 ＝(2 2) ＝8，∴CD ＋AC ＝AD ，∴△ACD 是直角三角形
直角三角形的性质
1．(4分)(2014· 海南)在一个直角三角形中，有一个锐角等 于60°，则另一个锐角的度数是( D ) A．120° B．90° C．60° D．30° 2．(4分)直角三角形的两边分别为3和4，则第三边长为( D ) A．5 B. 7 C. 5 D．5或 7 3．(4分)如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC，BE⊥AC， 3 AB＝5，AD＝4，则AE＝____ ．
一、选择题(每小题4分，共12分) 10．如图，含30°角的直角三角尺放置在△ABC上，30°角的 顶点D在AB边上，DE⊥AB，若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的 度数为( C ) A．30° B．45° C．60° D．75° 11．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距 8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少 飞行( B ) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 12．如图，有一个圆柱，它的高等于8 cm，底面直径为4 cm， 在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的 点B处的食物，需要爬行的最短路程大约是(π取3)( A ) A．10 cm B．12 cm C．19 cm D．20 cm
17．(12分)如图，在四边形ABCD中，AD＝4 cm，CD＝3 cm， AD⊥CD，AB＝12 cm，BC＝13 cm，求四边形的面积．
解：连接 AC，∵AD⊥CD，CD＝3，AD＝4， ∴AC2＝CD2＋AD2＝32＋42，∴AC＝5.在△ACB 中， AC＝5，AB＝12，BC＝13，∵AC2＋AB2＝52＋122＝169， BC2＝169，∴AC2＋AB2＝BC2，∴AC⊥AB， 1 1 ∴S 四边形 ABCD＝ (AD·CD＋AC·AB)＝ (3×4＋5×12)＝36(cm2) 2 2
解：连接BD，∵AB＝CB，D是AC的中点，∴BD⊥AC， ∴∠BDF＋∠FDC＝90°.∵AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°， ∴∠ABD＝∠C＝45°，∴BD＝AD.又∵ED⊥DF， ∴∠EDB＋∠BDF＝90°，∴∠EDB＝∠FDC， ∴△BED≌△CFD，∴BE＝CF，∴BF＝AE， ∴EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝52，∴EF＝5
勾股定理的逆定理 4．(4分)(2014· 滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的 是( B ) A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1， 2 ， 3 5．(4分)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式 等腰直角 三角形． c2－a2－b2 ＋|a－b|＝0，则△ABC是 6．(4分)如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只 蚂蚁从点M沿正方体的表面爬到点D1，蚂蚁爬行的最短距离 是____. 13
2 2 2 2
(2BC)2，∴BC＝1，AC＝2.在△ACD 中，CD＝2，AD＝2 2，CD2＋AC2＝22＋24分)定理“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理 是 ． 9．(4分)(2014· 广州)已知命题：“如果两个三角形全等， 那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题： 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等， 假 命题(填“真”或“假”)． 该逆命题是____ 两直线平行，同旁内角互补
【综合运用】
18．(12分)如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地点A 出发沿北偏东60°方向走了500米到达点B，然后再沿北偏西 30°方向走了500米到达目的地点C. (1)判断△ABC的形状； (2)求A，C两点间的距离； (3)确定目的地点C在营地点A的什么方向？
解：(1)△ABC 是直角三角形．理由：EF∥AD， ∴∠EBA＝∠DAB＝60°，∵∠FBC＝30°，∴∠ABC＝90°， ∴△ABC 是直角三角形 (2)AC＝ AB2＋BC2＝1 000(米) (3)目的地点 C 在营地点 A 的北偏东 30°方向上
第12题图
二、填空题(每小题4分，共12分) 13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，0)， (0，8)，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x的正半轴于点C， 则点C的坐标是 (4，0) ． 14．如图，以△ABC的三边向外作正方形，它们的面积分别 是S1，S2，S3，且S1＋S2＝S3，那么△ABC是 直角 ____ 三角形．
1.2 直角三角形
(第1课时)
1.2 直角三角形(第1课时) 得分________ 卷后分________ 评价________
1．直角三角形的两锐角 互余 ；直角三角形两直角边的 平方和等于 斜边的平方 ． 2．有两个角 互余 的三角形是直角三角形；如果三角形两边 的平方和等于第三边的 平方 ，那么这个三角形是直角三角形． 3．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个 结论和____ 条件，那么这两个命题称为互逆命题， 命题的____ 其中一个命题称为另一个命题的 逆命题 ．如果一个定理的 逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个 定理是一对 互逆定理 ．
第13题图
第14题图
第15题图
三、解答题(共36分)
16．(12分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°， D为AC边的中点，过D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F， 若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
7．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝ 3 ， ∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝ 2 2 .求证：△ACD是直角三角形．
1 证明：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，∴BC＝ AC.又∵BC2＋AB2＝AC2，即 BC2＋( 3)2＝ 2 ＝(2 2) ＝8，∴CD ＋AC ＝AD ，∴△ACD 是直角三角形
直角三角形的性质
1．(4分)(2014· 海南)在一个直角三角形中，有一个锐角等 于60°，则另一个锐角的度数是( D ) A．120° B．90° C．60° D．30° 2．(4分)直角三角形的两边分别为3和4，则第三边长为( D ) A．5 B. 7 C. 5 D．5或 7 3．(4分)如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC，BE⊥AC， 3 AB＝5，AD＝4，则AE＝____ ．
一、选择题(每小题4分，共12分) 10．如图，含30°角的直角三角尺放置在△ABC上，30°角的 顶点D在AB边上，DE⊥AB，若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的 度数为( C ) A．30° B．45° C．60° D．75° 11．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距 8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少 飞行( B ) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 12．如图，有一个圆柱，它的高等于8 cm，底面直径为4 cm， 在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的 点B处的食物，需要爬行的最短路程大约是(π取3)( A ) A．10 cm B．12 cm C．19 cm D．20 cm
17．(12分)如图，在四边形ABCD中，AD＝4 cm，CD＝3 cm， AD⊥CD，AB＝12 cm，BC＝13 cm，求四边形的面积．
解：连接 AC，∵AD⊥CD，CD＝3，AD＝4， ∴AC2＝CD2＋AD2＝32＋42，∴AC＝5.在△ACB 中， AC＝5，AB＝12，BC＝13，∵AC2＋AB2＝52＋122＝169， BC2＝169，∴AC2＋AB2＝BC2，∴AC⊥AB， 1 1 ∴S 四边形 ABCD＝ (AD·CD＋AC·AB)＝ (3×4＋5×12)＝36(cm2) 2 2
解：连接BD，∵AB＝CB，D是AC的中点，∴BD⊥AC， ∴∠BDF＋∠FDC＝90°.∵AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°， ∴∠ABD＝∠C＝45°，∴BD＝AD.又∵ED⊥DF， ∴∠EDB＋∠BDF＝90°，∴∠EDB＝∠FDC， ∴△BED≌△CFD，∴BE＝CF，∴BF＝AE， ∴EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝52，∴EF＝5
勾股定理的逆定理 4．(4分)(2014· 滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的 是( B ) A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1， 2 ， 3 5．(4分)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式 等腰直角 三角形． c2－a2－b2 ＋|a－b|＝0，则△ABC是 6．(4分)如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只 蚂蚁从点M沿正方体的表面爬到点D1，蚂蚁爬行的最短距离 是____. 13
2 2 2 2
(2BC)2，∴BC＝1，AC＝2.在△ACD 中，CD＝2，AD＝2 2，CD2＋AC2＝22＋24分)定理“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理 是 ． 9．(4分)(2014· 广州)已知命题：“如果两个三角形全等， 那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题： 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等， 假 命题(填“真”或“假”)． 该逆命题是____ 两直线平行，同旁内角互补
【综合运用】
18．(12分)如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地点A 出发沿北偏东60°方向走了500米到达点B，然后再沿北偏西 30°方向走了500米到达目的地点C. (1)判断△ABC的形状； (2)求A，C两点间的距离； (3)确定目的地点C在营地点A的什么方向？
解：(1)△ABC 是直角三角形．理由：EF∥AD， ∴∠EBA＝∠DAB＝60°，∵∠FBC＝30°，∴∠ABC＝90°， ∴△ABC 是直角三角形 (2)AC＝ AB2＋BC2＝1 000(米) (3)目的地点 C 在营地点 A 的北偏东 30°方向上
第12题图
二、填空题(每小题4分，共12分) 13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，0)， (0，8)，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x的正半轴于点C， 则点C的坐标是 (4，0) ． 14．如图，以△ABC的三边向外作正方形，它们的面积分别 是S1，S2，S3，且S1＋S2＝S3，那么△ABC是 直角 ____ 三角形．
1.2 直角三角形
(第1课时)
1.2 直角三角形(第1课时) 得分________ 卷后分________ 评价________
1．直角三角形的两锐角 互余 ；直角三角形两直角边的 平方和等于 斜边的平方 ． 2．有两个角 互余 的三角形是直角三角形；如果三角形两边 的平方和等于第三边的 平方 ，那么这个三角形是直角三角形． 3．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个 结论和____ 条件，那么这两个命题称为互逆命题， 命题的____ 其中一个命题称为另一个命题的 逆命题 ．如果一个定理的 逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个 定理是一对 互逆定理 ．