多种微分方程数值计算方法分析_王建强
微分方程数值方法,书籍
微分方程数值方法,书籍微分方程数值方法是一种数值计算方法，用于求解微分方程的数值解。
微分方程是描述自然现象和工程问题的重要数学模型，在物理学、化学、生物学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
由于大多数微分方程没有解析解，因此需要使用数值方法来近似求解。
微分方程数值方法可以分为两类：常微分方程数值方法和偏微分方程数值方法。
在常微分方程数值方法中，最基本的方法是欧拉方法。
欧拉方法使用微分方程的导数来估计下一个时间步长的解。
然而，这种方法的精度很低，尤其是在步长比较大的情况下。
更常用的数值方法是Runge-Kutta方法，它使用多个导数的估计值来计算下一个时间步长的解，从而提高了精度。
在偏微分方程数值方法中，最常用的方法是有限差分法和有限元法。
有限差分法是将偏微分方程连续的微分算子近似为差分算子，然后将偏微分方程转化为线性方程组求解。
有限元法则是将求解区域分割为若干个小区域，并在每个小区域内构造适当的基函数来近似解，然后将偏微分方程转化为线性方程组求解。
这里推荐几本关于微分方程数值方法的书籍：1. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations by Atkinson（《普通微分方程的数值解法》）2. Numerical Methods for Partial Differential Equations by Morton and Mayers（《偏微分方程的数值方法》）3. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations by LeVeque（《普通和偏微分方程的有限差分方法》）4. The Finite Element Method: Theory, Implementation, and Applications by Elman, Silvester, and Wathen（《有限元方法：理论、实现与应用》）这些书籍均为经典教材，内容详尽，适用于本科及研究生阶段的学习。
微分方程数值解算方法比较分析
微分方程数值解算方法比较分析微分方程是数学中的重要概念，它描述了各种自然现象和物理规律。
然而，解析求解微分方程并不总是容易的，特别是对于复杂的问题。
因此，数值解算方法成为了解决微分方程的常用途径。
本文将比较分析几种常见的微分方程数值解算方法，包括欧拉方法、改进的欧拉方法和龙格-库塔方法，并讨论它们的优缺点以及适用范围。
首先我们来介绍欧拉方法。
欧拉方法是最基础的数值解算方法之一。
它基于微分方程的离散化，将微分方程转化为差分方程。
欧拉方法通过对微分方程进行近似，将微分方程的导数用差分替代，从而得到递推公式。
欧拉方法的优点是简单易用，计算速度较快。
然而，由于欧拉方法的局部截断误差较大，它的精度较低。
因此，欧拉方法适用于一些简单的问题，但对于具有高精度要求的问题来说并不是一个理想的选择。
接下来是改进的欧拉方法，它是对欧拉方法的改进和优化。
改进的欧拉方法采用更精确的逼近公式，提高了数值解的精度。
具体来说，改进的欧拉方法利用前向欧拉方法和后向欧拉方法的加权平均来获得更精确的递推公式。
改进的欧拉方法相比于欧拉方法，具有更高的精度，并且仍然保持了相对较简单的计算步骤。
因此，改进的欧拉方法适用于那些要求精度较高但不需要过多计算复杂性的问题。
最后，我们来介绍龙格-库塔方法。
龙格-库塔方法是数值解算方法中最为常用的一种方法。
它通过迭代计算来逼近微分方程的解，并且具有较高的精度。
龙格-库塔方法的主要思想是通过多步迭代，不断修正和逼近数值解，从而提高精度。
具体来说，龙格-库塔方法通过计算多个局部斜率来得到数值解的修正值，进而更新数值解。
由于龙格-库塔方法采用多步迭代计算，它的精度较高，适用于那些对精度要求较高的问题。
然而，相对于欧拉方法和改进的欧拉方法，龙格-库塔方法的计算复杂性较高，因此在一些计算资源有限的情况下可能不适用。
综上所述，我们比较分析了欧拉方法、改进的欧拉方法和龙格-库塔方法这三种常见的微分方程数值解算方法。
微分方程数值解法
微分方程数值解法
微分方程是天文学、力学、电磁学等领域很重要的概念，这些领域的研究需要利用到微分
方程的数值解法去求解。
微分方程数值解法是一种将数学模型转换成计算机可以计算的过程，也就是将复杂的问题表达成一组导数和数值，然后利用计算机把这些数值分析和解决
出来。
微分方程数值解法的基本原理是通过二阶多项式的拟合，得出最优的近似解，这种解法是
在一维常微分方程组上应用的，由多个单个微分方程构成，所计算出来的值是多项式函数，这就是微分方程数值解法计算出来的结果。
微分方程数值解法有很多，其中最常用的有有限差分法、有限体积法、有限元法、网格化法、积分中心方法等。
有限差分方法是将问题分解成若干小的结点，然后把微分方程分割
成若干子部分，再做到多次离散估算的过程，最后可以得出拟合函数的解；有限体积方法
是通过将物理风险划分成多个单元，再用均匀的离散步长取点，最后以数值积分法解决微
分方程；有限元方法是利用有限元积分理论，将物理场定义在离散网格中，再利用数学技巧，得出最终的近似解；网格化法是把问题的空间划分成若干小的子空间，再基于某些准则利用焦点或者双精度网格单元，得出空间的分段函数；积分中心方法是把微分方程的方程组再利用积分解析的方法去求解，其中采用了梯形法或者抛物线法等数值积分方法。
最后，无论是那种方法，它们都将在一个规定的步长内对问题做出最有系统、最准确的近
似解，并且它们之间都具有某种交互性，当使用有限元方法可以基于积分中心法得出近似解，而积分中心法又可以基于有限差分方法进行改进，因此在实际领域，结合不同的数值
解法才能更好的满足需求。
各类微分方程的解法
各类微分方程的解法一、常微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法是解常微分方程的一种常见方法，适用于一阶微分方程。
其基本思想是将微分方程中的变量分离开来，然后对两边分别积分得到解。
例如，对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将其化为dy/g(y) = f(x)dx，然后对两边积分得到解。
2. 积分因子法。
积分因子法适用于一阶线性微分方程，通过求解积分因子来将微分方程化为恰当微分方程，进而求解。
其基本思想是通过乘以一个适当的函数来使得微分方程的系数函数具有某种特殊的性质，使得微分方程变为恰当微分方程。
3. 特征方程法。
特征方程法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，通过求解特征方程来得到微分方程的通解。
其基本思想是将二阶微分方程化为特征方程，然后求解特征方程得到微分方程的通解。
4. 变量替换法。
变量替换法是一种常见的解微分方程的方法，通过引入新的变量替换原微分方程中的变量，从而将原微分方程化为更简单的形式，然后求解。
例如，对于形如dy/dx = f(ax+by+c)的微分方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来简化微分方程的形式，然后求解得到解。
二、偏微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法同样适用于偏微分方程，其基本思想是将偏微分方程中的变量分离开来，然后对各个变量分别积分得到解。
例如，对于形如∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2的一维热传导方程，可以将其化为∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2，然后对各个变量分别积分得到解。
2. 特征线法。
特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入特征线变量来化简偏微分方程的形式，然后求解。
例如，对于一维波动方程∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，可以通过引入特征线变量ξ=x-ct和η=x+ct来化简方程的形式，然后求解得到解。
3. 分析法。
分析法是一种常见的解偏微分方程的方法，通过分析偏微分方程的性质和特征来求解。
偏微分方程数值解法比较
偏微分方程数值解法比较偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中重要的研究对象，用于描述自然界中各种物理和工程现象。
然而，大多数情况下，我们无法通过解析方法得到精确的解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
本文将对几种常见的偏微分方程数值解法进行比较，包括有限差分法、有限元法和谱方法。
1. 有限差分法有限差分法（Finite Difference Method）是一种常见的数值解PDEs 的方法。
其基本思想是将偏微分方程中的导数近似为差商，从而将微分方程转化为一个差分方程，再通过离散化求解。
有限差分法的优点是易于理解和实现，但其精度较低，适用于简单的偏微分方程问题。
2. 有限元法有限元法（Finite Element Method）是一种广泛应用的数值解PDEs 的方法。
有限元法将求解域划分为互不相交的有限个子域，称为有限元，通过对每个有限元进行逼近，得到整个求解域上的近似解。
有限元法具有较高的精度和适用性，适用于各种复杂的偏微分方程问题。
3. 谱方法谱方法（Spectral Method）是一种通过在全局点上进行逼近来求解偏微分方程的方法。
谱方法基于特定的基函数，如Legendre多项式或Chebyshev多项式，并使用最佳逼近理论来提高逼近精度。
谱方法具有高精度和快速收敛的特点，适用于解决高维问题和非线性问题。
除了上述几种常见的偏微分方程数值解法，还有其他一些方法，如边界元法、有限体积法等。
这些方法在不同的问题和应用场景中有其独特的优势和适用性。
在选择合适的数值解法时，需要考虑问题的类型、求解。
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程（Differential Equation）是描述自然界中变化的现象的重要工具，具有广泛的应用范围。
对于一般的微分方程，往往很难找到解析解，这时候就需要使用数值解法来近似求解微分方程。
本文将介绍几种常见的微分方程数值解法及其原理。
一、欧拉方法（Euler's Method）欧拉方法是最基本也是最容易理解的数值解法之一。
它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过给定的初始条件，在离散的点上逐步计算出函数的近似值。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，利用欧拉方法可以得到近似解：y_n+1 = y_n + h * f(x_n, y_n)其中，h是步长，x_n和y_n是已知点的坐标。
欧拉方法的优点在于简单易懂，但是由于是一阶方法，误差较大，对于复杂的微分方程可能不够准确。
二、改进的欧拉方法（Improved Euler's Method）改进的欧拉方法又称为改进的欧拉-柯西方法，是对欧拉方法的一种改进。
它通过在每一步计算中利用两个不同点的斜率来更准确地逼近函数的值。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，改进的欧拉方法的迭代公式为：y_n+1 = y_n + (h/2) * [f(x_n, y_n) + f(x_n+1, y_n + h * f(x_n, y_n))]相较于欧拉方法，改进的欧拉方法具有更高的精度，在同样的步长下得到的结果更接近真实解。
三、四阶龙格-库塔方法（Fourth-Order Runge-Kutta Method）四阶龙格-库塔方法是一种更高阶的数值解法，通过计算多个点的斜率进行加权平均，得到更为准确的解。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，四阶龙格-库塔方法的迭代公式为：k1 = h * f(x_n, y_n)k2 = h * f(x_n + h/2, y_n + k1/2)k3 = h * f(x_n + h/2, y_n + k2/2)k4 = h * f(x_n + h, y_n + k3)y_n+1 = y_n + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6四阶龙格-库塔方法是数值解法中精度最高的方法之一，它的计算复杂度较高，但是能够提供更为准确的结果。
多种微分方程数值计算方法分析
７ ｋ ０ ５ ＋ ．Ｋ１ ＋ ． ，ｋ Ｏ ５ ） ｋ Ｏ ５ ，ｋ Ｏ ５ ） ＋ ． ｈ ） ＋ ． ， （） ４
改进 的欧拉方 法 是一个 预报 ～ 正 的公 式 ， 的稳 校 它
定性 要有 余 两步 欧拉 方 法 。龙 格 一 塔 方 法 有 多种 形 库
式， 并且 有 多种 阶数 ， 常用 的是标 准 ４阶龙 格一 塔法 。 库 龙格 一 库塔 方 法 的推 导 基 于泰 勒 （ ａｌ ） 数 展开 ， Ｔｙｏ 级 ｒ 它
＝
Ｋ ＝ 厂 ｋ ，＋ ） ４ （ ＋ ，ｋ ， ｙ ＝ ｋ （ ＋ ＋ ＋ ）６ … ｙ＋ Ｋｌ２ ２ ／
到很 高的精度 。 常微分 方 程 的初 值对 计 算 方法 的收 敛 是有影响 的 Ｊ 。为 了更好地 比较这 几种 常用 的方法 ， 本 文采用这几种数 值方法对 被积 函数光 滑连 续 ， 初值 精确
１ 引 言
在科 学研究和工程 应用 中 ， 建立 的数 学模 型多是 所
式 （） ， １ 中 ｋ为节 点序 列 ， 步长 ，（ ｙ 为 已知 ｈ为 ｆ ， ） 函数 。两 步欧拉 方法 具有 ２阶代 数精 度 ：
Ｙ＋＝ ｋ ＋ ｈ（ ｋＹ ） ｋ ｙ一 ２ｆ ，ｋ １ １ （） ２
题 的重要方法。本文对几种 常用 的数值微 分方法进行 了简要 的分析 ， 并用这 几种方法对具 有光滑性质 的被积 函数进 行数值计算 ， 龙格 一 库塔方法和 ４阶阿达姆斯方 法的数值计 算稳 定性 和计算精度 都比较好 。
微分方程的数值解法与稳定性分析
微分方程的数值解法与稳定性分析微分方程是研究自然现象和物理问题的重要数学工具。
在实际问题中，许多微分方程往往难以解析求解，因此需要借助计算机进行数值求解。
本文将介绍微分方程的数值解法以及稳定性分析。
一、欧拉法欧拉法是最简单、最基础的数值解法之一。
基本思想是将微分方程中的导数用差商逼近，得到差分方程，再求解差分方程以获得离散的数值解。
考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，将自变量 x 分割为若干小区间，步长为 h。
欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i)，其中 y_i 和 x_i 是第 i 个点的数值解和自变量值。
欧拉法的简单易懂，但存在局限性。
当步长过大时，数值解的稳定性较差，可能出现数值误差增大、解发散等问题。
二、改进的欧拉法（改进欧拉法）为克服欧拉法的局限性，改进的欧拉法在迭代过程中增加了更高阶的差商项，提高了数值解的精度和稳定性。
举例说明，考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，改进的欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * (f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y_i + h * f(x_i, y_i))) / 2。
改进的欧拉法相比于欧拉法具有更好的数值稳定性和精度，但复杂度略高。
三、龙格-库塔法（RK方法）龙格-库塔法是一类常用的高精度数值解法，其思想是通过多个对函数 f(x, y) 的估计来提高数值解的准确性。
最常见的四阶龙格-库塔法（RK4）是利用四个不同的斜率估计来计算数值解。
其迭代公式为：k_1 = h * f(x_i, y_i)k_2 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_1/2)k_3 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_2/2)k_4 = h * f(x_i + h, y_i + k_3)y_{i+1} = y_i + (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) / 6龙格-库塔法具有较高的精度和数值稳定性，适用于各种类型的微分方程。
微分方程的数值解法比较
微分方程的数值解法比较
微分方程是自然界中描述变化的数学工具之一。
在科学与工程领域, 微分方程的解对于预测系统行为、找到最优控制和优化过程等方面具有重要意义。
然而，通常情况下，微分方程很难通过解析的方式得到解析解。
因此，数值解法成为了解决微分方程的重要手段之一。
本文将介绍并比较几种常见的微分方程数值解法：
欧拉方法
欧拉方法是一种简单直观的数值解法，通过将一个微分方程转化为差分方程来近似求解。
其基本思想是通过微分方程在某一点的导数值来估计在该点邻近的函数值，然后逐步迭代以获得整体的近似解。
改进欧拉方法
改进欧拉方法在欧拉方法的基础上做出了改进，通过取相邻两点的斜率平均值来提高数值解的精度和稳定性。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一类广泛应用的数值解法，其基本思想是通过组合多个简单欧拉法来获得更高阶的精度，是当前应用最广泛的微分方程数值解法之一。
有限元方法
有限元方法是另一种常见的微分方程数值解法，主要用于处理偏微分方程。
通过将求解区域离散化为有限个单元，再进行有限维空间上的逼近来求解微分方程，其精度和收敛速度较高。
总结与比较
在实际应用中，不同的微分方程数值解法各有优缺点。
欧拉方法和改进欧拉方法简单易懂，但精度较低；龙格-库塔方法精度高但计算量大；有限元方法适用于处理复杂的偏微分方程，但较为复杂。
因此，在选择数值解法时需要根据具体情况综合考虑精度、计算量等因素。
以上就是一些常见微分方程数值解法的介绍，希望能对读者有所帮助。
多种微分方程数值计算方法分析
多种微 分方程数值计算方法分析
敬 久 旺
（ 西藏农 牧学 院 ， 西藏
林芝
８００ ） ６ ０ ０
摘要 ： 本文首先从理论上分析 了两种主要用于解偏微分 方程 的数值方法— Ｌ＿有 限元 方法和有限差分法的基 本 思想和主要 的步骤 ； 其次 ， 分别用工程上有很 大应 用的两类 方程进行 两种数值 方法的数值 算例分析 ； 最后 ， 总结两
统的 Ｒ ｔ Ｇ ｌ ｋｎ法 ，但是它运用样 条 函数提供 了一 ｉ— ａ ｒｉ ｚ ｅ 种选取 “ 局部基 函数” “ 片多项式 空 间” 或 分 的技 巧 ， 克
服 了 Ｒ ｔ Ｇ ｌ ｋｎ法选取基 函数 的 固有 困难 ，它 已成 ｉ— ａ ｒｉ ｚ ｅ
界区域 ， 界 ＤｕＦ ａ ， ， ｄ为给定 常数 。 边 ， Ｑ， ， ， 本文 对 区域 采取 三角 剖分 ， 在每个 单元 ｅ 上 ， ） 在 该 单元上 的有 限元解 可 以表示为 ：＝ ￣ ＋ 印 ｕ ｕ９ Ｍ “ 。其 中， 为节 点（ ， ） ｙ 的基 函数 ， 选取如下 ：
（） ３ 构造节点基函数 ， 形成有 限元空 间。 （） ４ 以某种方法给 出单元 各状态变量 的离散关系 ，
一
＋ ＋
一 ＋
一 ＋
一 十
一 十
－ ＋
一 ＋ ＋
“ ＋
一 ＋
－ ＋ 一 ＋
音节组成的英语基本词 汇。
３ ． 利用构词法教单词 。联系是记忆 的桥梁 ， 孤立 的 东西好像一盘散沙 ， 怎么也抓不住 ， 有联 系 的东西好像 根链子 ， 抓住一个环节就 可带 动其他环节 。英语 词汇 总量虽上百万 ， 基本构词成分却是有 限的。我们 教师 但 在课 堂教学 中应该 利用词 汇 的这些特 点来进行 教，ｕ ｈａ ｈ ” “ｎ ｅｌ ｉ ” 同 ｈａ ｈ ” “ｅｌ ｉ ” “ｎ ｅｌ ｙ ，Ｌ ｈａ ｈ ｙ ， ｔ ｔｌ ｔ ｉ ｔｌ
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程是数学中的一种重要的基础理论，广泛用于科学技术的研究中。
微分方程的解析解往往比较难求得，而数值解法则成为了解决微分方程的重要手段之一。
本文将阐述微分方程的数值解法，探讨一些经典的数值方法及其应用。
一、数值解法的基本思想微分方程的数值解法的基本思想是建立微分方程的差分方程，然后通过数值计算的方法求得差分方程的近似解，最终得到微分方程的数值解。
其中，差分方程是微分方程的离散化，将微分方程转化为差分方程的过程称为离散化或网格化。
离散化的目的是将连续问题转化为离散问题，使问题求解更为方便。
差分方程的计算通常需要将区间分成若干份，每一份都对应着一个节点，节点的个数与区间长度有关。
在每个节点处采集函数值，根据这些函数值计算出差分方程的值，再根据差分方程的迭代公式计算出每个节点的函数值。
因此差分方程的求解问题就转化成了求解节点函数值的问题。
二、欧拉法欧拉法是微分方程数值解法中最简单的一种方法，广泛应用于各种领域。
欧拉法的基本思想是运用泰勒公式，将函数在某一点展开成一次多项式，用两个相邻节点之间的差分来逼近导数的值，从而得到连续问题的离散解。
具体实现过程如下：1. 将微分方程的初始值问题区间[a,a]分成若干个小区间，每个小区间长度为a，共有a个节点，其中节点序列为a0,a1,a2,⋯,aa，节点之间的间隔为a。
2. 根据微分方程的迭代公式得到差分方程，即令aa+1=aa+aa(aa,aa)3. 按照差分方程的迭代公式，从初始值a0开始，逐一计算得到函数值，a1,a2,⋯,aa。
欧拉法的精度比较低，误差常常会较大，但是它运算速度快，实现简单，计算量小，因此在计算简单模型时常常使用。
三、龙格-库塔法龙格-库塔法是微分方程数值解法中精度最高的一种方法，具有比欧拉法更精确、更稳定的特点，广泛应用于各种实际问题中。
龙格-库塔法的主要思想是用多阶段逼近法估算每一步的函数值，从而提高时间的精度。
具体实现过程如下：1. 将微分方程的初始值问题区间[a,a]分成若干个小区间，每个小区间长度为a，共有a个节点，其中节点序列为a0,a1,a2,⋯,aa，节点之间的间隔为a。
微分方程数值解法概述
微分方程数值解法概述微分方程是描述自然界和社会科学中许多现象的重要数学模型，它们在科学研究和工程技术中具有广泛的应用。
为了求解微分方程，人们开发了多种数值解法。
本文将对微分方程数值解法进行概述，介绍其中常用的几种方法。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值解法，它基于微分方程的定义。
欧拉方法将微分方程的解曲线离散化为一系列连接相邻点的线段，并通过计算斜率来近似曲线的切线。
具体步骤如下：1. 将解曲线上的点等距离地选取为x0, x1, x2, ..., xn。
2. 根据微分方程得出差分方程：y_(k+1) = y_k + h * f(x_k, y_k)，其中h为步长。
3. 通过迭代计算，得到近似解的数值解。
尽管欧拉方法简单直观，但由于是一阶方法，它的精度相对较低，容易出现截断误差。
二、改进的欧拉方法为了提高数值解的精度，人们改进了欧拉方法，例如改进的欧拉方法、改进的欧拉法和四阶改进的欧拉法等。
这些方法主要通过引入更高阶的项来减小截断误差，从而提高数值解的精度。
其中最常用的是四阶改进的欧拉法，也称为四阶龙格-库塔法（RK4）。
该方法具体步骤如下：1. 根据微分方程的定义，设置初始值y0。
2. 根据微分方程，计算中间点的斜率k1，k2，k3和k4。
3. 计算步长h * (k1+2k2+2k3+k4)/6，得到下一个节点的近似解。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到满足要求的数值解。
三、龙格-库塔方法（RK方法）龙格-库塔方法是一类经典的数值解法，常用于求解常微分方程。
与欧拉方法和改进的欧拉方法不同，龙格-库塔方法中的每个节点都有自己的权重。
最常用的是四阶龙格-库塔方法（RK4），其步骤与上述四阶改进的欧拉法类似。
四、有限差分法有限差分法是求解微分方程的一种常见数值方法。
该方法将微分方程中的导数用差商的形式进行近似，然后通过在离散的网格点上求解代数方程组来得到数值解。
有限差分法的核心思想是使用差商来逼近导数。
数值分析方法在微分方程数值解中的应用研究
数值分析方法在微分方程数值解中的应用研究微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
然而，解析求解微分方程的过程常常复杂且耗时，特别是对于高阶、非线性的微分方程。
为了解决这一问题，数值分析方法应运而生。
数值分析方法通过将微分方程转化为代数方程，利用计算机进行数值计算，从而得到近似解。
本文将探讨数值分析方法在微分方程数值解中的应用研究。
一、常微分方程的数值解法常微分方程是微分方程中最基本的一类，其解决了只涉及一个自变量的情况。
常微分方程的数值解法主要包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
欧拉法是最简单的数值解法之一，其基本思想是通过离散化自变量的步长，利用微分方程的导数来逼近方程的解。
欧拉法的缺点在于精度较低，容易积累误差。
改进的欧拉法则通过引入更高阶的近似方法来提高精度。
龙格-库塔法是常微分方程数值解法中最常用的方法之一，其通过多次逼近来提高精度。
龙格-库塔法的基本思想是通过计算两个不同的逼近值，然后根据这两个逼近值的差异来修正结果。
龙格-库塔法具有较高的精度和稳定性，广泛应用于实际问题中。
二、偏微分方程的数值解法偏微分方程是微分方程中较为复杂的一类，其解决了涉及多个自变量的情况。
偏微分方程的数值解法主要包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
有限差分法是偏微分方程数值解法中最常用的方法之一，其通过将偏微分方程离散化为代数方程组，然后利用差分格式进行数值计算。
有限差分法的优点在于简单易实现，适用范围广。
然而，有限差分法的精度受到网格分辨率的限制，对于复杂的问题可能不够精确。
有限元法是一种更为精确的偏微分方程数值解法，其将求解区域划分为多个小区域，然后在每个小区域上构建逼近函数。
有限元法的优点在于适用于任意形状的求解区域，能够得到较高精度的数值解。
谱方法是偏微分方程数值解法中精度最高的方法之一，其基于傅里叶级数展开的思想，通过选择适当的基函数来逼近方程的解。
谱方法的优点在于收敛速度快、精度高，适用于求解高阶、非线性的偏微分方程。
微分方程求解的数值方法
微分方程求解的数值方法微分方程是数学中的重要概念之一，它描述了自然界中的各种变化规律。
求解微分方程是数学建模和科学研究中常见的问题，而数值方法则是解决这些问题的重要工具之一。
本文将介绍微分方程求解的数值方法，探讨其原理和应用。
一、数值方法的基本原理微分方程的解析解往往难以求得，因此需要借助数值方法来近似求解。
数值方法的基本思想是将连续的微分方程转化为离散的差分方程，通过计算机进行迭代运算，最终得到近似解。
常见的数值方法包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
其中，欧拉法是最简单的数值方法之一。
它将微分方程中的导数用差商来近似表示，通过迭代计算来逼近真实解。
而改进欧拉法则是对欧拉法的改进，通过使用更精确的差分公式来提高近似解的精度。
龙格-库塔法是一种更高阶的数值方法，通过多次迭代和加权平均来提高解的准确性。
二、数值方法的应用数值方法在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用领域。
1. 物理学中的应用微分方程在物理学中有着广泛的应用，例如描述运动规律的牛顿第二定律、描述电路中电流变化的电路方程等。
数值方法可以帮助我们求解这些微分方程，从而得到系统的运动轨迹、电流变化等信息。
通过数值模拟，我们可以更好地理解物理规律，并进行科学研究。
2. 经济学中的应用经济学中的许多问题可以通过微分方程来描述，例如经济增长模型、消费者行为模型等。
数值方法可以帮助经济学家求解这些微分方程，从而预测经济变化趋势、评估政策效果等。
通过数值模拟，我们可以更好地理解经济规律，并为决策提供依据。
3. 生物学中的应用生物学中的许多问题也可以用微分方程来描述，例如生物种群的增长模型、药物代谢动力学模型等。
数值方法可以帮助生物学家求解这些微分方程，从而研究生物系统的行为和相互作用。
通过数值模拟，我们可以更好地理解生物过程，并为疾病治疗、生物工程等提供指导。
三、数值方法的局限性和改进尽管数值方法在求解微分方程中具有重要作用，但也存在一些局限性。
微分方程数值解算法的应用与分析
微分方程数值解算法的应用与分析微分方程在科学和工程学的各个领域中都被广泛地应用。
为了解决现实问题，研究人员需要解析解或数值解的方法。
然而，通常情况下，微分方程没有解析解。
这就成为了一个计算数值解的问题。
微分方程数值解算法是一种广泛应用的数值计算方法，能够有效地解决微分方程问题。
在微分方程数值解算法的研究中，最重要的就是数值解方法的选择。
经典的数值解方法包括欧拉法，改进欧拉法和龙格-库塔法。
这些方法思路简单、易于实现，特别是欧拉法在数值训练中广泛使用，已经有了很长的历史。
然而，在特殊的数值求解问题中，这些方法的精度很难得到保证。
为了提高微分方程数值解的精度，科学家们不断提出新的解法。
比如Adams-Bashforth法能够对高阶微分方程进行数值解算，而Crank-Nicolson方法可以更好地处理带有边界条件的微分方程问题。
微分方程数值解法的算法研究和应用完全可以使用计算机和其他现代工具来实现。
Matlab和Python等数学计算软件为微分方程的数值解提供了可视化的平台，并通过图形化界面帮助用户实现高质量的数据分析。
这些软件不仅提供了经典的数值解方法，还提供了高级数值方法，如多层叠加状态空间的积分解法，导致微分方程高效且精准的求解。
除了传统的数值解算方法，近年来，深度学习的发展也为微分方程的数值解提供了新思路。
研究人员开始探索将神经网络结构与微分方程数值解算法结合。
神经网络可以通过学习得到非线性系统的表达，这样就可以更好地处理微分方程问题。
很多学者已经提出基于神经网络的数值微分方程求解方法，并且取得了较高的性能和精度。
总之，微分方程数值解算法是研究科学、工程和其他应用技术的必备工具。
随着计算机和神经网络技术的发展，微分方程数值解的算法研究将不断迎来新的变革，为更准确地解决现实问题做出更大的贡献。
几类微分方程的高效数值算法研究
几类微分方程的高效数值算法研究摘要：微分方程作为数学中的基础和重要内容，具有广泛的应用价值，是物理学、工程学、生命科学等领域研究中不可或缺的工具。
本文主要研究几类微分方程的高效数值算法，包括常微分方程、偏微分方程和微分代数方程。
常微分方程常常用于描述物理过程中的变化，偏微分方程则更多地涉及到空间变化，在流体力学、电磁学和热传导等领域有广泛的应用。
微分代数方程则是一个更为复杂的问题，需要结合数值代数的相关知识进行求解。
文章介绍了几种经典的数值算法，包括泰勒级数方法、欧拉法、龙格-库塔法等，并针对特定的微分方程问题，提出了相应的解决方案。
本文的研究结果有望为微分方程的数值求解提供新的思路和方法，同时也有利于更好地推动微分方程领域的发展。
关键词：微分方程；常微分方程；偏微分方程；微分代数方程；数值算法；泰勒级数方法；欧拉法；龙格-库塔法。
1. 引言微分方程是数学中一个经典而重要的问题，它以函数、函数的导数以及自变量之间的关系为基础，表达了物理过程、经济模型、生物学以及生态学等科学中所涉及到的变化规律。
几乎所有的科学领域都离不开微分方程，因此微分方程的求解过程一直是数学研究的重中之重。
在实际应用中，由于微分方程往往是复杂的，解析法往往难以解决问题，因此，从数值方法出发进行求解，一直是微分方程研究领域的重要方向。
2. 常微分方程的高效数值算法常微分方程是微积分中的一个重要问题，常常被用于描述物理过程中的变化。
基于的数值方法包括泰勒级数方法、欧拉法、龙格-库塔法等。
泰勒级数方法是一种构造级数解法的技术，非常适用于小量近似计算。
欧拉法是一种基本的数值积分方法，通过分段线性函数来逼近曲线进行计算。
龙格-库塔法则是基于欧拉法的改进，更加精确地逼近曲线，减小了误差。
3. 偏微分方程的高效数值运算偏微分方程则更多地涉及到空间变化，在流体力学、电磁学和热传导等领域有广泛的应用。
偏微分方程的求解常常需要结合梯度算法和有限元方法等相关知识，包括迭代法、变分法、泊松方程求解法等等。
数学中的微分方程数值解研究
数学中的微分方程数值解研究数学中的微分方程是一种描述自然界中变化的关系的数学工具，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
微分方程数值解研究旨在通过使用计算机数值方法，求得微分方程的近似解，解决实际问题。
本文将介绍微分方程数值解的基本原理和常见方法。
一、微分方程数值解的原理微分方程是描述变化过程的数学模型，包含导数或微分项。
求解微分方程的精确解并不易于实现，因此需要借助数值方法来近似求解。
基本思路是将微分方程转化为离散的差分方程，通过计算机进行迭代计算，得到数值解。
二、常见的微分方程数值解方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的数值解法之一，将微分方程转化为差分方程。
通过将自变量上的区间进行离散化，得到相应的插值点，然后利用差分逼近导数，进而求解差分方程。
欧拉法的优点是简单易懂，但对于复杂的微分方程可能会导致较大误差。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进，通过使用自变量在区间上的中点进行近似，减小误差。
改进的欧拉法是一种较为稳定和精确的数值解法，但对于某些特殊的微分方程，仍可能存在一定误差。
3. 龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常用的数值解法，通过利用几个不同阶数的差分逼近，得到更精确的解。
常用的龙格-库塔法有四阶和二阶方法，其中四阶方法较为常用。
龙格-库塔法相较于前两种方法，具有更高的精确性和稳定性。
4. 有限差分法有限差分法是一种将微分方程转化为差分方程的数值解法。
通过将自变量上的区间分成若干个小区间，利用差商逼近导数，将微分方程转化为差分方程。
有限差分法适用于各种类型的微分方程，但需要选择合适的差分格式和网格，以保证数值解的准确性。
5. 贝尔斯托法贝尔斯托法是一种针对刚性微分方程的数值解法。
刚性微分方程是指在某些自变量的取值区间上，解的变化速度差别很大的微分方程。
贝尔斯托法通过选择合适的步长，以及使用隐式差分格式，对刚性微分方程进行数值求解，能够得到较为准确的结果。
三、微分方程数值解研究的应用微分方程数值解研究在实际问题中具有广泛的应用。
微分方程求解数值方法
微分方程求解的欧拉法、龙格-库塔法实验报告日期：2008-6-27一、实验目的1.学习matlab的使用方法。
2.掌握常微分方程的几种数值解法：欧拉法，改进的欧拉法，龙格—库塔法。
3.比较各方法的数值解及误差，了解各方法的优缺点。
二、实验题目给定的初值问题按(1)欧拉法，步长h=0.025, h=0.1;(2)改进的欧拉法，步长h=o.o5, h=0.01;(3)四阶标准龙格—库塔法，步长h=0.1;求在节点处的数值解及误差比较各方法的优缺点。
三、实验原理1.对于欧拉法：利用Yn+1 = Yn + hf（Xn, Yn）①Y0 = Y(X0) ②二式可以完成计算需要将微分方程表达式和精度计算表达式作为两个函数保存在m文件里并在程序中调用：①微分方程（wei_fen）function z=wei_fen(x,y)z=(2/x)*y+x*x*exp(x);end②精确解计算(jing_que)function z=jing_que(x)z=x*x*(exp(x)-exp(1))end2.对于改进的欧拉法：利用Yn+1 = Yn + 1/2*K1 + 1/2*K2①n = 1, 2, 3……K1 = hf（Xn, Yn）②K2 = hf（Xn + h, Yn + K1）③三式可以完成计算3.对于龙格—库塔法：利用Yn+1 = Yn + 1/6(K1 + 2K2 + 2K3 +K4)①K1 = hf（Xn, Yn）②K2 = hf（Xn + 1/2*h, Yn + 1/2*K1）③K3 = hf（Xn + 1/2*h, Yn + 1/2*K2）④K4 = hf（Xn + h, Yn + K3）⑤四式可以完成计算四、实验内容由上述实验原理叙述的欧拉法，改进的欧拉法，龙格—库塔法几种常微分方程数值解法分别对已给定的初值问题进行求解，比较各方法的数值解及误差，了解各方法的优缺点。
五、实验结果1.对于欧拉法：①若h=0.025>> h=0.025;>> y=0;>> x=1;for i=1:40;y=y+h*wei_fen(x,y)x=x+hvpa(y)z=jing_que(x)t=y-zend结果：h=0.025X y 真实值误差1.000 0.000000 0.0000000.0000001.100 0.325473 0.345920-0.0204471.200 0.816532 0.866643-0.0501111.300 1.516394 1.607215 -0.0908211.4002.475742 2.620360 -0.1446171.500 3.753885 3.967666 -0.2137811.600 5.420087 5.720962 -0.3008741.700 7.555102 7.963873 -0.4087711.800 10.252917 10.793625 -0.5407081.900 13.622756 14.323082 -0.7003262.000 17.791364 18.683097 -0.891733②若h=0.1>> h=0.1;>> y=0;>> x=1;for i=1:10;y=y+h*wei_fen(x,y)x=x+hvpa(y)z=jing_que(x)t=y-zend结果：h=0.1X y 真实值误差1.000 0.000000 0.0000000.0000001.100 0.271828 0.345920-0.0740921.200 0.684756 0.866643-0.1818871.300 1.276978 1.607215-0.3302371.4002.093548 2.620360-0.5268121.500 3.187445 3.967666-0.7802211.600 4.620818 5.720962-1.1001441.700 6.466396 7.963873-1.4974771.800 8.809120 10.793625-1.9845051.900 11.747997 14.323082-2.5750852.000 15.398236 18.683097-3.2848612.对于改进的欧拉法（预估—校正）：>> h=0.05;>> y=0;>> x=1;for i:20k1=h*wei_fen(x,y);k2=h*wei_fen(x+h,y+k1);y=y+0.5*k1+0.5*k2;x=x+h;z=jing_que(x)t=y-zend结果：h=0.05X y真实值误差1.000 0.000000 0.0000000.0000001.100 0.344915 0.345920 -0.0010051.200 0.864291 0.866643 -0.0023521.300 1.603146 1.607215 -0.0040691.4002.614174 2.620360 -0.0061851.500 3.958938 3.967666 -0.0087291.600 5.709234 5.7209621.700 7.948663 7.963873-0.0152111.800 10.774418 10.793625-0.0192071.900 14.299337 14.323082-0.0237442.000 18.654245 18.683097-0.028852②若h=0.01>> h=0.01;>> y=0;>> x=1;for i:100k1=h*wei_fen(x,y);k2=h*wei_fen(x+h,y+k1);y=y+0.5*k1+0.5*k2;x=x+h;z=jing_que(x)t=y-zend结果：h=0.01X y 真实值误差1.000 0.0000000000 0.00000000000.00000000001.100 0.3459102873 0.3459198765-0.00000958921.200 0.8666216927 0.8666425358-0.00002084301.300 1.6071813477 1.6072150782-0.00003373051.4002.6203113059 2.6203595512-0.00004824541.500 3.9676018980 3.9676662942-0.00006439621.600 5.7208793242 5.7209615256-0.00008220141.700 7.9637717926 7.9638734778-0.00010168521.800 10.7935017836 10.7936246605-0.00012287681.900 14.3229357276 14.3230815359-0.00014580832.000 18.6829265677 18.6830970819-0.00017051423.对于龙格—库塔法：>> h=0.1;>> y=0;>> x=1;for i=1:10;k1=h*wei_fen(x,y);k2=h* wei_fen (x+h/2,y+k1/2);k3=h* wei_fen (x+h/2,y+k2/2);k4=h* wei_fen (x+h,y+k3);y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;x=x+hz=jing_que(x)t=y-zend结果：h=0.1X y 真实值误差1.000 0.0000000000 0.0000000000 0.00000000001.100 0.3459198753 0.3459198765 -0.00000000121.200 0.8666425332 0.8666425358 -0.00000000261.300 1.6072150740 1.6072150782 -0.00000000411.4002.6203595453 2.6203595512 -0.00000000591.500 3.9676662864 3.9676662942 -0.00000000781.600 5.7209615157 5.7209615256 -0.00000000991.700 7.9638734656 7.9638734778 -0.00000001221.800 10.7936246457 10.7936246605 -0.00000001471.900 14.3230815184 14.3230815359 -0.00000001742.000 18.6830970615 18.6830970819 -0.0000000203六、实验结果分析1.对于欧拉法，步长越小，精度越高，而产生的误差越小。
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2010年8月第4期城 市 勘 测U r b a n G e o t e c h n i c a l I n v e s t i g a t i o n ＆S u r v e y i n gA u g .2010N o .4文章编号:1672-8262(2010)04-117-03中图分类号:O 175文献标识码:A多种微分方程数值计算方法分析王建强1＊,沈愉乐2＊ 收稿日期:2009—12—26作者简介:王建强(1981—),男,博士研究生,研究方向为全球重力场模型研究。
(1.武汉大学测绘学院,湖北武汉 430072; 2.吴江市建设房产测量有限公司,江苏吴江 215200)摘 要:数值微分方程的数值解法是计算方法、数值分析理论中非常重要的内容,数值微分方法也是解决实际计算问题的重要方法。
本文对几种常用的数值微分方法进行了简要的分析,并用这几种方法对具有光滑性质的被积函数进行数值计算,龙格-库塔方法和4阶阿达姆斯方法的数值计算稳定性和计算精度都比较好。
关键词:微分方程;计算方法;数值分析;数值实验1 引 言在科学研究和工程应用中,所建立的数学模型多是常微分方程或微分方程组,但是除了少数特殊类型的微分方程能用解析方法求得其精确解外,大多数情况下要得出解的解析表达式是极其困难的,因此,就需要用数值逼近方法求得其近似解。
微分方程组的数值解的存在性和稳定性取决于被积函数的特性和初值。
求初值问题的数值解法可区分为两大类:单步法和多步法。
常用的方法中欧拉(E u l e r )方法、改进的欧拉方法、龙格-库塔方法(R u n g e -K u t t a )等[1～4]是单步法的典型代表,线性多步法是多步法的典型代表,对于一些特别的数值微分方程使用这些方法效果很差[5,6]。
微分方程的数值解法有显式解和隐式解法,一般来说,隐式解要优于显式解[4]。
欧拉方法是一种最简单的单步法,计算量小,但精度比较低。
一般的初值问题,多采用改进的欧拉方法,因为它的数值稳定性和计算精度都比一般的欧拉方法好。
龙格-库塔方法是一类应用较广的高精度单步法,当解充分光滑时的4阶龙格-库塔方法一般可以达到很高的精度。
常微分方程的初值对计算方法的收敛是有影响的[7]。
为了更好地比较这几种常用的方法,本文采用这几种数值方法对被积函数光滑连续,初值精确的微分方程做了数值试验。
2 数值计算方法本文直接给出这几种方法的公式,具体推导过程见文献[3]。
欧拉方法是常微分方程初值问题解中最简单的方法。
欧拉折线公式具有1阶代数精度及其改进形式:y k =y k -1+h f (x k -1,y k -1)(1)式(1)中,k 为节点序列,h 为步长,f (x ,y )为已知函数。
两步欧拉方法具有2阶代数精度:y k +1=y k -1+2h f (x k ,y k )(2)改进的欧拉方法,即欧拉方法的隐式公式:z k =y k -1+h f (x k -1,y k -1)y k =y k -1+0.5h [f (x k -1,y k -1)+f (x k ,y k)](3)改进的欧拉方法是一个预报-校正的公式,它的稳定性要有余两步欧拉方法。
龙格-库塔方法有多种形式,并且有多种阶数,常用的是标准4阶龙格-库塔法。
龙格-库塔方法的推导基于泰勒(T a y l o r )级数展开,它要求方程解具有良好的光滑性质。
反之,如果解的光滑性差,使用4阶龙格-库塔方法求得的数值解,其精度可能不如2阶改进的欧拉方法。
K 1=h f (x k ,y k )K 2=h f (x k +0.5h ,y k +0.5K 1)K 3=h f (x k +0.5h ,y k +0.5K 2)K 4=h f (x k +h ,y k +K 3)y k +1=y k +(K 1+2K 2+2K 3+K 4)/6(4)以上4种方法都是单步法,由于线性多步法需要利用前面的若干个点,所以初始计算时使用单步法计算得到若干个点,再利用多步法进行计算,一般使用龙格-库塔作为初始计算方法。
利用辛普森公式建立的递推公式为:z k =y k -3+3(y k -1-y k -2)y k =y k -2+h [f (x k -2,y k -2)+4f (x k -1,y k -1) +f (x k ,y k )]/3(5)如果只计算一次,这是一个预报-校正方法。
实际计算时可以进行多次迭代,迭代次数不宜过多,本文迭代计算两次。
在线性多步法的应用中,目前最常用城 市 勘 测2010年8月的方法为4阶阿达姆斯(A d a m s )外推于内插法所形成的预报-校正方法。
z k =y k -1+h (55f k -1-59f k -2+37f k -3-9f k -4)/24y k =y k -1+h (9f k ±19f k -1-5f k -2+f k -3)/24(6)由于多步法计算需要前面几步的数值解,公式(5)需要前面的3步,公式(6)需要前面的4步,因此数值计算时用龙格-库塔作为初始计算起始时的几步数值解。
3 计算分析利用以上6种方法,计算了两个微分方程,这两个微分方程都有解析表达式,因此可以求出积分误差。
第一个微分方程为:y ′=4e 0.8x-0.5y y (0)=2(7)它的解析式为:y (x )=41.3(e 0.8x -e -0.5x )+2e-0.5x(8)图1 试验1误差曲线(h =0.1)图2 试验1误差曲线(h =0.05) 通过数值计算结果如图1、图2所示。
图1和图2分别是步长h =0.1和h =0.05的计算结果。
在图1和图2中,(a )图中的点线曲线是由欧拉折线公式计算的结果,精度最低,可以精确到小数点后1位。
实线是由两步欧拉方法计算的结果,它比欧拉折线公式得到结果精度要高,可以精确到小数点后2位,从图中可以看出它的误差有明显的振荡,而不是随着k 值的增加而增加,表明计算方法的数值稳定性不好。
虚线表示改进的欧拉方法,它的计算精度和两步欧拉方法基本相同,在有些点上甚至不如两步欧拉方法,但是它的误差随着k 的增加而增加,数值计算的稳定性较好。
(b )图中的点线是龙格-库塔计算的结果,它的误差随着k 的增加而增加,数值计算的稳定性较好,实线是辛普森公式建立的递推公式的结果,它的误差有较小的振荡,虚线的是4阶阿达姆斯方法求得的数值解。
从图1和图2中可以看出,当步长减小后,4阶阿达姆斯方法计算精度提高得最明显。
第二个微分方程:y ′=y -2.0x /y y (0)=1(9)它的解析表达式为:y (x )=1+2x(10)通过数值计算结果如图3、图4所示。
图3和图4分别是步长h =0.1和h =0.05的计算结果,图中的不同曲线和图1、图2中曲线代表的计算方法相同。
计算方法的精度和前一个试验相当,在这个试验中,h =0.1时,龙格-库塔方法的计算精度比4阶阿达姆斯的差,而在h =0.05是,4阶阿达姆斯的计算精度比龙格-库塔法、辛普生方法精度都要低,计算精度的提高最不明显。
对这两个数值试验,从图1～图4中可以看出,对于解比较光滑的曲线,龙格-库塔法、4阶阿达姆斯方法和辛普生方法的计算精度比欧拉方法、两步欧拉方法和改进的欧拉方法要高一个数量级。
辛普生方法的118第4期王建强等.多种微分方程数值计算方法分析积分误差曲线存在较小的波动,数值稳定性不好,4阶阿达姆斯方法和龙格-库塔法的误差曲线随着步长的增加而增加,数值稳定性较好。
从这两个试验中,随着步长的减小,计算精度的提高随着微分方程、计算方法的不同而不同。
图3 试验2误差曲线(h =0.1)图4 试验2误差曲线(h =0.05)4 结 论通过理论分析和两个数值试验可以得出,数值微分方程的隐式解比同阶的显式解的数值稳定性要好,龙格-库塔法、辛普生方法和4阶阿达姆斯方法具有较高的代数精度,可以得到比较好的结果。
数值微分方程的数值解有很多种方法,建议使用计算精度较高,稳定性较好的数值计算方法,比如龙格-库塔法、4阶阿达姆斯方法等,并且有必要使用多种方法做检核。
参考文献[1] 奚梅成.数值分析方法[M ].北京:中国科学技术大学出版社,2003[2] 王能超.计算方法简明教程[M ].北京:高等教育出版社,2004[3] 甄西丰.实用数值计算方法[M ].北京:清华大学出版社,2006[4] 吴勃英.数值分析[M ].北京:高等教育出版社,2007[5] I s e r l e s A .O nt h e M e t h o do f N e u m a n nS e r i e s f o r H i g h l y O s -c i l l a t i n g E q u a t i o n s [J ].B I T ,2004,44:473～488[6] I s e r l e s A .O nt h e G l o b a l E r r o r o f D i s c r e t i z a t i o nM e t h o d s f o rH i g h l y-O s c i l l a t o r yO r d i n a r yD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s[J ].B I T ,2002,42:561～599[7] 陈清明.B a n a c h 空间常微分方程初值问题弱解的一个逼近定理[J ].西南大学学报(自然科学版),30(4):49～52.关于初值问题的解的探讨.N u m e r i c a l C a l c u l a t i o nA n a l y s i s o nD i f f e r e n t Me t h o d s o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o nW a n g J i a n Q i a n g 1,S h e n Y u L e2(1.S c h o o l o f G e o d e s y a n d G e o m a t i c s ,W u h a n U n i v e r s i t y ,W u h a n 430079,C h i n a ;2.W u j i a n g c o n s t r u c t i o n a n d r e a l e s t a t e o f s u r v e y C o .,L t d .W u j i a n g 215200,C h i n a )A b s t r a c t :N u m e r i c a l s o l u t i o n o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i s t h e v e r y i m p o r t a n t c o n t e n t o f n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n m e t h o d a n d n u m e r i c a l a n a l y s i s ,a n d n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n m e t h o d i s i m p o r t a n t t o s o l v e p r a c t i c a l c o m p u t i n g p r o b l e m s .I n t h i s p a p e r ,s e v e r a l c o m m o n l y u s e d m e t h o d s o f n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n a r e g i v e n a b r i e f a n a l y s i s a n d u s e t h e s e m e t h o d s w i t h t h e i n t e g r a n d i s s m o o t h t o c a r r y o u t n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s ,R u n g e-K u t t a m e t h o d a n d f o u r t h -o r d e r A d a m s m e t h o d N u -m e r i c a l c a l c u l a t i o n a r e b e t t e r t h a n o t h e r s w i t h t h e s t a b i l i t y a n d c a l c u l a t i o n a c c u r a c y .K e y w o r d s :d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ;c a l c u l a t i o n m e t h o d ;n u m e r i c a l a n a l y s i s ;n u m e r i c a l e x p e r i m e n t119。