1.1.2弧度制(必修一 数学 优秀课件)

位制，角度制是以“度”为单位来度量角的
单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 1 心角的大小，而1度是圆周 所对的圆心角 360 的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实
数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
二、弧度与角度的换算
设弧AB的长为: l 若 l =r,则∠AOB= 若 l=2r,则∠AOB= 若 l=3r,则∠AOB=
l r l r
l
=1弧度 =2 rad
B
l=r
O
r
A
r
= 3 rad
思考：若圆心角∠AOB表示一个顺时针方
向旋转的角，且它所对的弧的长为3r,则 ∠AOB的弧度数的绝对值是？弧度数是？
︱∠AOB ︳=
l =3 r l r
B
O
r
A
即∠AOB=－
= －3 rad
-3弧度
l=3r
1.定义：
我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数
为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度 数的绝对值： l ︱α所对的弧长
r —— α角所在圆的半径
这种
用“弧度” 做单位来度量角的制度，叫做 弧度制。
1.1.2 弧度制
问：我们是用什么单位来度量 角的？1º 的角是怎样规定的？
(1)用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。 单位为“度”（即“ º ”） 不能省略 (2) 规定周角的1/360叫做1度的角。
一、弧度制
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 “弧度”常用“rad”表示。
例3：请用弧度制表示下列角度所在区间。 0 , 锐角：{θ|0°＜θ＜90°}

2
直角： {θ|θ=90°}



2
钝角： {θ|90°＜θ＜180°}
平角： {θ|θ=180°}
, 2

[0,
2 )
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}
n 2 R 360
用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
1 ② 扇形面积公式 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
度量单位 弧度(10进制)
角度制
度(60进制,1=60,1′=60)
把长度等于半径长 周角的1/360叫做1度的 的弧所对的圆心角 角。 单位规定 叫做1弧度的角。
360 2rad
1

180
rad 0.01745 rad

换算关系
180 rad
基本关系
180 1rad 57 .30 57 18 导出关系
弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的比 值来表示，那么一个角的弧度数与所在的圆 的半径之间存在一定的联系么？若存在，请 阐述是什么关系？若不存在，说明理由。
结论：当圆心角一定时，它所对的弧长与半
径的比值是一定的，与所在圆的半径大小无关。
2. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
1°等于多少弧度么？
你可推算出：
180°= 1°× 180
1弧度又等于多少度呢？
π 结论： 1°= ——弧度≈ 0．01745弧度 180 180）°≈ 57．30°= 57°18′ 1弧度 =（—— π
例题1.
（1） 把 67°30′化成弧度。
1 解： 67 30 ' 67
360( 1)

)º
2
扇形面积是 ( 1) R
小 结 1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个
仅与角α大小有关的常数,所以作为度 量角的标准. 2.角度是一个量,弧度数表示弧长与半 径的比,是一个实数,这样在角集合与实 数集之间就建立了一个一一对应关系.
正角
零角
正实数
零 负实数
负角
弧度制
度 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
弧 度 数
0
6

4
3
2
2 3
3 4
5 6

3 2
2
注:
1.用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字或“rad” 通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 2.用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式, 如无特别要求，不用将π化成小数。
AB
AB
所对的圆心角是60º ，
米）。
解：因为60º = 3 ,所以
×50≈52.5 . 3
l=α· r=
⌒
答：AB 的长约为52.5米.
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
中心角等于
，面积为2R2的扇形的
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
4 l R 3 1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
n 1 2 S R R 360 2
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 2 R 2 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
1 所以它的面积是 S lR 2
例4. 扇形AOB中，⌒
⌒ 半径是50米，求 的长l（精确到0.1


1 3 67 30' rad 67 rad 180 2 8
3 （ 2） 把 — π 弧度化成度。 5 3 3 rad 180 108 解： 5 5

2
练习: (1)把112º30′化成弧度（用π 表示）。
8 (2)把 化为角度。 5
例2.请写出一些特殊角的弧度数
小于90°角：{θ|θ＜90°}
(, )
2

三.弧长及扇形面积
你能根据角度制下的弧长公式和扇形面积公式换算
出弧度制下的弧长公式和扇形面积公式么？
角度制： 弧长公式：l = nπ R/180 扇形面积公式： S扇形 弧度制： 弧长公式：l = αR 2 扇形面积公式：s = ½αR = ½ l R
所以 α=4.
例6.与角－1825º 的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
5 合 36
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于
所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合(
思考： 1.若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是多少？ 2.若弧是一个半圆，其圆心角的弧度数是多少？ 若l=2 π r,则∠AOB= 若l=π r, 则∠AOB=
l r l r
= 2πrad =
πrad
l=2 π r
360°= 2π 弧度 O 180°= π 弧度
r
（B）
由公式 180°= π 弧度