论洛必达法则

小论

洛必达法则

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一、引言

洛必达法则是数学分析中用于求未定式或极限的一种较普遍的有效方法，灵活地运用洛必达法则也是我们自身数学解题能力的体现，具有重要的应用价值。而洛必达法则在计算未定式极限中洛必达法则扮演着十分重要的角色。这是因为对于未定式极限来讲其极限是否存在,等于多少是不能用极限的四则运算法则。而通过对分子分母分别求导再求极限的洛必达法则能够很有效的计算出未定式的极限。洛必达法则,是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。求函数极限是高等数学中的一项重要内容，是研究微积分学的工具。在众多求极限方法中，洛必达法则因其使用简单方便又可解决绝大部分极限问题而备受青眯，但如果使用不当也容易产生误区，得出错误结果。

二、概念

1.0

型 洛必达法则1：若函数f (x)与g(x)满足下列条件：

（1）在a 的某去心邻域()a U O

可导，且g '(x)≠0；

（2）lim x a → f (x)=0与lim x a →g (x)=0； （3）()()

''lim x a f x l g x →=, 则()()

lim x a f x g x →=()()''lim x a f x l g x →= 洛必达法则2：若函数f (x)与g(x)满足下列条件：

（1）∃A>0，在(),A -∞-与(),A +∞可导，且g '(x)≠0；

（2）lim x a → f (x)=0与lim x a

→g (x)=0； （3）()()

''lim x a f x l g x →= 则()()

lim x a f x g x →=()()''lim x a f x l g x →=

● 2.∞∞

型 洛必达法则3：若函数f (x)与g(x)满足下列条件：

（1）在a 的某去心邻域()a U O

可导，且g '(x)≠0；

（2）lim x a → f (x)= ∞与lim x a →g (x)= ∞； （3）()()

''lim x a f x l g x →=, 则()()

lim x a f x g x →=()()''lim x a f x l g x →=

三、应用

● 1. 0""0型及""∞∞

型不定式

例：求数列极限211lim 1n n n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 解：先求函数极限211lim 1x

x x x →+∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭.取对数后的211ln 1x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭极限为： ()222ln 1ln 11lim ln 1lim 1x x x x x x x x x

→+∞→+∞++-⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 222221221lim lim 111x x x x x x x x x x x

→+∞→+∞+-+++===++- 所以，211lim 1n n n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭=211lim 1x

x x x →+∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭e =. ●

2.可转化为基本类型的未定式极限 洛必达定理只能解决0""0型及""∞∞

型未定式函数极限，而对于某一极限过程中"0"⋅∞，""∞-∞，0"0"，0""∞，"1"∞等5种类型的极限也可经过一定变形，

转化为基本类型，再用法则求之。

⑴对于"0"⋅∞型，可将乘积化为除的形式，即化为0""0型或""∞∞

型； ⑵对于""∞-∞型，可通过通分化为0""0

型未定式计算； ⑶对于0"0"，0""∞，"1"∞型，可先化为以e 为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，转为直接求指数的极限，而指数的极限形式为

"0"⋅∞型，再转化为0""0型或""∞∞

型计算。 1. 例：求1lim 1x x x e →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭

. 解：1110lim 1lim ""10x x x x e x e x →∞→∞⎛⎫-⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11221lim lim 11

x

x x x e x e x →∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭==-

2. 例：求111lim 1ln x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭

解：

()1111ln 10lim lim ""1ln 1ln 0x x x x x x x x →→--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝

⎭⎝⎭200211101lim ""lim 11102ln 1x x x x x x x x

→→--⎛⎫===- ⎪⎝⎭+-+ 3.洛必达法则求极限

例：求()()203sin 3lim tan ln 1x x x x x →-⋅+.

解：显然，当0x →时，tan ~x x ，()ln 1~x x +，

故()()203sin 3lim tan ln 1x x x x x →-⋅+32003sin 333cos3lim lim 3x x x x x x x →→--==03sin 39lim 22

x x x →==. 该法则是通过计算函数的导数，利用导数的极限求出原函数的极限，故只适用于函数极限的求解。然而在应用时，对0""0型及""∞∞

型数列极限也可间接

应用。

四、总结

求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。

1.在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型构型，否则滥用洛

必达法则会出错。当不存在时（不包括情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求

解。

2.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

3.洛必达法则是求不定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，

往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合。