§7-2 简谐振动的叠加 (2)

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简谐振动的合成与分解(原创)

下图给出了用傅里叶级数合成方波的公式及图像演示。
心得与体会：
用MATHCAD软件画出各种振动的图像过程，过程比较繁琐。进行分析，得出结论，虽然所做的研究比较简单，但在此过程中更好的了解振动的合成。
，
只考虑A1=A2的情况
振幅部分（振幅随时间变化）合振动频率（振动部分）
振动角频率：；振幅：，Amax=2A，Amin=0；
拍频（振幅变化频率）： .
下图例：
三、两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
质点运动方程（椭圆方程）
情况：
（1）或2 时，。如图1，图中A1=3，A2=4。
（2）时，。
一、两个同方向同频率简谐运动的合成
讨论两个特例
(1)两个振动同相，则A=A1+A2。如图一
(2)两个振动反相，则A=|A1-A2|。如图二
图一
图二
上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着重要作用。
二、两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。
（3）时，。
（4）为任意值时，合振动的轨迹一般为椭圆。
（5）不同频率垂直方向简谐振动的合成
一般轨迹曲线复杂，且不稳定。
而当两振动的频率成正数比时，合成轨迹稳定，称为李萨如图形。如右图：
四、例子

简谐振动的合成及应用

简谐振动是一种周期性的、能够用正弦函数的形式来描述的振动。它可以通过合成多个简谐振动来实现不同形态的振动，且在实际应用中具有广泛的用途。

简谐振动的合成是指将多个简谐振动叠加在一起，形成一个复合振动的过程。这种合成可以通过简单叠加每个简谐振动的位移、速度或加速度来实现。例如，当多个简谐振动具有相同的频率和相位时，它们的位移叠加在一起，形成一个更大的振幅的振动。当简谐振动具有不同的频率或相位时，它们的合成将产生出现谐波现象的复合振动。

简谐振动的合成在实际应用中具有很大的意义。首先，它可以用来模拟各种复杂的振动现象。例如，在音乐中，各种乐器发出的声音可以看作是不同频率和相位的简谐振动的叠加。通过合成这些简谐振动，我们可以模拟出乐曲中的各种音调和音色。此外，合成简谐振动还可以用来模拟地震、力学振动等实际现象，从而为工程设计和科学研究提供参考。

其次，简谐振动的合成可以用来解决实际问题。例如，在无线通信中，调制信号的合成就是通过合成不同频率和相位的简谐振动来实现的。调制信号的合成可以实现信号的调频、调幅、调相等功能，从而满足不同的通信需求。另一个例子是振动传感器中的信号处理。振动传感器通常可以检测到复杂的振动信号，但我们通常只对其中某些特定频率范围的振动感兴趣。通过合成多个简谐振动，我们可以提取出目标频率范围的振动信号，从而实现信号的滤波和分析。

最后，简谐振动的合成也可以用来研究物体的振动性质。通过合成不同频率和相位的简谐振动，我们可以得到物体在不同条件下的振动响应。这对于研究物体的固有振动频率、共振现象等具有重要意义。例如，在工程设计中，我们需要确定一个物体的固有振动频率，以避免共振现象。通过合成简谐振动，我们可以模拟不同频率的激励对物体产生的响应，从而确定合适的工作频率范围。

6-1简谐振动

4
2 简谐振动简谐运动简谐运动谐振子最简单、最基本的振动合成复杂振动
分解
作简谐运动的物体
5
弹簧振子的振动
l0 k
m
x
A
o
A
x0 F 0
6
振动的成因：回复力+惯性
7
3 弹簧振子的运动分析
F
o
m
x
2
x
F kx ma
2
k 令 m
d x 2 x a 2 x 得即 2 dt 简谐运动的特征：加速度 a 与位移的大小x 成正比，方向相反
T
N
y

M

P
O ωt
x
G A
I
H
J
M
KT
L
39
谐振动的矢量图解法.
t
简谐量的复数表示
~ A e i ( t ) A cos( t ) i A sin( t ) x
简谐量 x 是复数 ~ 的实部，振幅与模相对应，相 x 位与辐角相对应。
例 1：有一劲度系数为32.0 N m-1 的轻弹簧, 放置在光滑的水平面上，其一端被固定, 另一端系一质量为500 g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置10.0 cm 处，然后将物体由静止释放, 物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动的位移、速度和加速度与时间的关系。

叠加原理例题

叠加原理是物理学中的一个重要概念，它在解决复杂物理问题时起着至关重要的作用。通过叠加原理，我们可以将一个复杂的物理系统分解成若干简单的部分，分别进行分析，最后再将它们的效果叠加在一起，得到整个系统的行为。下面，我们通过几个例题来深入理解叠加原理的应用。

例题一，弹簧振子叠加。

假设有两个弹簧振子，它们的振动方程分别为：

振子A，$x_1 = A_1 \sin(\omega_1 t + \phi_1)$。

振子B，$x_2 = A_2 \sin(\omega_2 t + \phi_2)$。

其中，$A_1$和$A_2$分别为振幅，$\omega_1$和$\omega_2$分别为角频率，$\phi_1$和$\phi_2$分别为初相位。现在将这两个振子连接起来，形成一个新的系统。根据叠加原理，整个系统的振动方程可以表示为：

$x = x_1 + x_2 = A_1 \sin(\omega_1 t + \phi_1) + A_2 \sin(\omega_2 t + \phi_2)$。

通过叠加原理，我们可以将复杂的双振子系统简化为两个单振子系统的叠加。这样，我们就可以更容易地分析整个系统的振动特性。

例题二，电场叠加。

假设有两个点电荷，它们分别产生的电场分别为：

电荷A产生的电场，$E_1 = \frac{kQ_1}{r_1^2}$。

电荷B产生的电场，$E_2 = \frac{kQ_2}{r_2^2}$。

现在将这两个点电荷放在同一空间中，根据叠加原理，整个空间中的电场可以表示为：

$E = E_1 + E_2 = \frac{kQ_1}{r_1^2} + \frac{kQ_2}{r_2^2}$。

简谐振动的叠加(课堂PPT)

动能 E k1 2m 2 v1 2m (l )21 2m 20 l22si2(n t)
势能 Ep = m g h = m g l (1—cos )
将cos 展开
Βιβλιοθήκη Baidu
cos1246
2! 4! 6!
因为很小，上式只取前两项，
.
5
所以
E p2 1m gl22 1m gl02co s2(t)
总能量 E Ek Ep
根据牛顿第二定律得
d2 ml dt2 mgsin
当偏角很小时， sin
d2
所以
ml
dt2
mg
.
A
θ
F
O
h
mgsinθ
mgmgcosθ
4
即
d2 2 0
dt2
其中 2 g
l
解微分方程得 = 0 cos ( t+)
说明了在偏角θ很小时, 单摆的振动是简谐振动。
单摆系统的机械能包括两部分：
y A
A2
φ2
φ
A1
O
x2 φ1 x1 x x
讨论：1. 2 1 2 k πk 0 ,1 ,2 ,
AA1A2
合振幅最大，振动加强
A
A2 A1
2. 2 1 ( 2 k 1 ) π k 0 , 1 , 2 ,
A A1A2

《大学物理》课程教学日历

开课学院：物理学院学分：4 周学时：4 总学时：144 讲课学时：136 （大学物理开课两个学期，每学期各有一周复习考试）

§17-2-3碱金属原子光谱的精细结构、自旋轨道相互作用

(25)简谐振动2能量、单摆和复摆new

3
简谐振动（2）能量、单摆和复摆
机械振动
（5）当物体的位移为振幅的一半时动能、势能各占总能量的多少?
1 2 1 A E E p kx k 2 2 2 4
2
3E Ek E E p 4
简谐振动（2）能量、单摆和复摆四、单摆和复摆（自习）
1、单摆
机械振动转动正向
1 t T 1 2 Ek E k dt kA T t 4
势能
E p 1 kx2 2
1 2 kA cos2 ( t 0 ) 2
E p max , E p min , E p
情况同动能。
1 2 E E k E p kA 2
机械能
简谐振动系统机械能守恒
简谐振动（2）能量、单摆和复摆
机械振动
2
例质量为 0.10kg 的物体，以振幅 1.0 10 作简谐运动，其最大加速度为 4.0m s 2 ，求：
m
（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？
（5）当物体的位移为振幅的一半时动能、势能各占总能量的多少?
简谐振动（2）能量、单摆和复摆
T 2π
J
mgl
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒
k/m
简谐振动（2）能量、单摆和复摆

第物理学第三版(刘克哲张承琚)课后习题答案七章

[物理学7章习题解答]

7-2 一个运动质点的位移与时间的关系为

m ,

其中x的单位是m，t的单位是s。试求：

(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；

(2) t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。

解

(1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式

相比较，可以得到

角频率s 1, 频率, 周期, 振幅,

初相位.

(2) t = 2 s时质点的位移

t = 2 s时质点的速度

t = 2 s时质点的加速度

7-3 一个质量为2.5 kg的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。若弹簧受10 n的拉力，其伸长量为5.0 cm，求物体的振动周期。

解根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数

于是，振动系统的角频率为

所以，物体的振动周期为

7-4求图7-5所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2。

解以平衡位置o 为坐标原点，建立如图7-5所示的坐标系。若物体向右移动了x ，则它所受的力为

根据牛顿第二定律，应有

改写为

所以

7-5 求图7-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m ，两个轻弹簧的劲度系数分别为k 1 和k 2。

解以平衡位置o 为坐标原点，建立如图7-6所示的坐标系。当物体由原点o 向右移动x 时，弹簧1伸长了

x 1 ，弹簧2伸长了x 2 ，并有

物体所受的力为

式中k 是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得

, .

于是，物体所受的力可另写为

由上式可得

所以

. 图

7-5 图7-6

装置的振动角频率为

装置的振动频率为

7-6仿照式(7-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

简谐振动的合成实验

一、实验目的

1.掌握谐振动的表达与合振动的分析

2.掌握信号的相位、幅度、频率等参数的物理含义

3.掌握用示波器观察波形以及测量电压、周期和频率的方法。

4.掌握使用信号发生器。

5.利用李萨茹图分析待测信号的相位频率等信息

二、实验仪器

Waveace1012型数字示波器1台、DG4062型数字信号发生器一台、传输线2条等。

三、示波器的使用（三四节的内容在实验报告中仅需概述即可）

示波器就是显示波形的机器，它还被誉为“电子工程师的眼睛”。它的核心功能就是为了把被测信号的实际波形显示在屏幕上，以供工程师查找定位问题或评估系统性能等等。它的发展同样经历了模拟和数字两个时代，如图1和图2所示。

图1 模拟示波器图2 数字示波器

模拟示波器采用的是模拟电路（示波管，其基础是电子枪）电子枪向屏幕发射电子,发射的电子经聚焦形成电子束,并打到屏幕上。屏幕的内表面涂有荧光物质,这样电子束打中的点就会发出光来。而数字示波器则是数据采集，A/D转换，软件编程等一系列的技术制造出来的高性能示波器。数字示波器一般支持多级菜单，能提供给用户多种选择，多种分析功能。还有一些示波器可以提供存储，实现对波形的保存和处理。模拟示波器显示的波形是连续的，是信号真实的波形，而且反应速度特快。而数字示波器显示的波形是经过数字电路采样得来的点组成的，是个不连续的波形，采样率越高的示波器，越与真实波形接近，但显示速度没有模拟机快。反应速度快是模拟示波器最大的优点之一，是数字机很难取代的，比如，在测试某一信号时，模拟示波器能在瞬间显示波形，几乎没有延时，而数字机还需要将测试的信号进过数字电路处理后，再显示出模拟的波形，在显示时间上落后模拟示波器。

92简谐运动的叠加

x2
1
x1
A1
x
两振动的位相差 2 1 =常数
第七章振动与波动
4
物理学
旋转矢量法图解的合成
第七章振动与波动
5
物理学
x x1 x2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A A1 sin 1 A2 sin 2 A2 tan 2 A1 cos 1 A2 cos 2 A1 1 O x2 x1 x x
2.两相互垂直同频率谐振动合成 x A1 cos(t 1 ) 分振动 y A2 cos(t 2 )
合振动轨迹方程
2 2
x y 2xy cos( 2 1 ) 2 sin ( 2 1 ) A1 A2 A1 A2
x2 0.06 cos(2t 2 3) m
解：设合振动的方程为
x A cos( t )
01 02
2 ( ) 3 3
第七章振动与波动

反相
10
物理学
附加练习：有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2m，合振动与第一分振动的相位差为。已知第一分振动的振幅为 6
x 2 y 2 2 xy 2 2 cos( ) sin ( ) 2 A B AB

7-2平面简谐波的波动方程

振动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
[(t x ) ] [(t 0 ) ] x 2 x
u
u
u
x 2 π x
u
λ
2u
y( x, t) y( x, t T ) （波具有时间的周期性--振动周期性）
波线上各点的简谐运动图
（波具有时间的周期性--振动周期性）
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
2.5
0.01
T
例2 平面简谐波
y 0.02 cos 5x 200t
式中 x，y 以（m）计，t 以（s）计。（1）求振幅、波长、频率、周期和波速。（2）画 t = 0.0025 s 波形图。
解：(1)设波动方程为: y Acos 2 t x T
此波可变为 y 0.02 cos 5x 200t
y
cos[(t
x
)
u
]
cos[2 ( t
Tx )
]
m
u2
22 2
2）求t 1.0s 波形图.
y 1.0cos[2 π( t x ) π] m 2.0 2.0 2
t 1.0s
波形方程
y 1.0cos( π π x) m 2
1.0sin(π x) m
波形图为 y / m
1.0
பைடு நூலகம்

7-2简谐振动的叠加

ϕ2 −ϕ1 ≠ π
A1 − A2 < A < A1 + A2
A2
二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成两简谐振动分别为
x1 = A1 cos( ω 1t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos( ω 2 t + ϕ 2 )
y
ω1
合振动 x = x1 + x2 = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) + A2 cos(ω 2t + ϕ 2 ) 合振动不再是简谐振动，合振动不再是简谐振动，而是一种复杂振动如图] 矢量图解法 [如图如图由矢量图得合振动的振幅为
1
o
x2
讨论：1. ϕ2 −ϕ1 = ±2kπ k = 0,1,2,⋯
A = A1 + A2
A A1
A2
合振幅最大，合振幅最大，振动加强
2.
ϕ2 −ϕ1 = ±(2k +1)π k = 0,1,2,⋯
A = A1 − A2
A2
合振幅减小，合振幅减小，振动减弱
A
A1
A A1
2
3. 一般情况 ∆ϕ 为任意值
2A cos(
ω2 − ω1
2
t)
2 2 T=( )= ω2 −ω1 ω2 −ω1
x = A cos( ω t + α )

高二物理有关简谐运动的几个问题(二)

嘴哆市安排阳光实验学校高二物理有关简谐运动的几个问题（二）知识精讲人教版

一. 本周教学内容：

有关简谐运动的几个问题（二）（一）巧用简谐运动中的对称性解题

做简谐运动的物体其运动具有对称性，因此描述简谐运动的一些物理量也具有对称性，若能灵活运用这一点来解决简谐运动问题，常能收到出奇制胜的效果。下面举例说明，以供同学们参考。 1. 巧用时间的对称性

[例1] 如图1所示，一质点在平衡位置O 点两侧做简谐运动，在它从平衡位置

O 出发向最大位移A 处运动过程中经s 15.0第一次通过M 点，再经s 1.0第2次通

过M 点。则此后还要经多长时间第3次通过M 点，该质点振动的频率为多大？图1

解析：由于质点从A M →和从M A →的时间是对称的，结合题设条件可知

A M →所需时间为s 05.0，所以质点从平衡位置A O →的时间为

s s t t t MA OM OA 2.0)05.015.0(=+=+=，又因为4

t OA =

，所以质点的振动周期为s T 8.0=，频率Hz T

f 25.11

。根据时间的对称性可知O M →与M O →所需时间相等为s 15.0，所以质点第3次通过M 点所需时间为s t T

t OM 7.022

=+=

。 2. 巧用加速度的对称性

[例2] 如图2所示，小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，全过程中弹簧为弹性形变。试比较弹簧压缩到最大时的加速度a 和重力加速度g 的大小。图2

解析：小球和弹簧接触后做简谐运动，如图2所示，点B 为弹簧为原长时端点的位置。小球的重力与弹簧的弹力的大小相等的位置O 为平衡位置。点A 为弹簧被压缩至最低点的位置（也就是小球做简谐振动的最大位移处），点A '为与A 对称的位移（也是最大位移处）。由对称性可知，小球在点A 和点A '的加速度的大小相等，设为a ，小球在点B 的加速度为g ，由图点B 在点A '和O 之间，所以g a >。

6-2简谐振动的叠加

12
C
A
O a1 P
0
a3 a2
0
a4
0
a5
M 0
0
x
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 0 ，上图中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上，令其半径为R，根据简单的几何关系，可得
OCM N0
13
在三角形OCM中,OM 的长度就是合振动位移矢量的位移,角度 MOP 就是合振动的初相，据此得
A2 A1
ω2
A
A2 ω 1 A 1
x
A
O
ω2
A A12 A2 2 2 A1 A2 cos[( 2 1 )t ( 2 1 )]
16
由于两个分振动频率的微小差异而产生的合振
动振幅时强时弱的现象称为拍现象。
合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。拍频为三角函数法设两个简谐振动的振幅和初相位相同
A2 A1
π π A1 cos 1 0 1 1 2 2 π π A2 cos 2 0 2 2 2 2
π 由矢量图: 2
2π T
O A2
x2 (t )
T
A2
t
A1
A
2π π x A2 A1 cos( t ) T 2
o
-B

振动叠加原理的应用实例

1.音乐制作和演奏

在音乐制作和演奏中，振动叠加原理被广泛应用于声音的合成和混音。音乐是由不同频率和振幅的声波振动组合而成，通过叠加原理可以将各个

乐器或人声的振动叠加起来得到最终的音频输出。音乐制作中的合成器或

混音器可以利用振动叠加原理对各个声音进行加和或混合，从而实现各种

不同的音效和音乐效果。

2.电路中的交流信号处理

在电路中，交流信号往往由许多不同频率的正弦波振动组成。根据振

动叠加原理，我们可以将不同频率的信号通过线性电路叠加得到合成信号。这在无线通信中尤为重要，因为无线信号往往由不同频率的振荡器产生，

然后通过电路进行叠加和处理。

3.振荡测量仪器

振动叠加原理在振动测量仪器中也有重要的应用。例如，在频谱分析中，振动信号可以通过傅里叶变换等方法分解为不同频率的分量。通过叠

加原理，我们可以将这些频率分量重新叠加起来，以还原原始振动信号。

这在振动测量和分析中非常有用，可以帮助我们了解结构的振动性能以及

识别异常或故障。

4.声音降噪

振动叠加原理还可以应用于声音降噪技术中。在嘈杂的环境中，我们

可能希望通过降低噪音的振动幅度来减少噪音的影响。在噪音降低系统中，传感器可以记录噪音的振动信号，并且通过叠加原理将噪音信号和反相的

信号相加，从而相互抵消。这样，通过合理的叠加和控制，我们可以有效

地降低噪音水平。

5.振动吸收材料

振动叠加原理也被应用于制造振动吸收材料。这些材料可以吸收振动

能量，并将其转化为其他形式的能量。通过叠加原理，我们可以设计出复

合材料结构，使得它们能够吸收不同频率的振动，并通过互相叠加实现更

医用物理学教学课件第二节两个简谐振动的合成-PPT精选文档32页

因为ω1和ω2差值很小，所以有：
21 21
则有: cos 2 1 t 随时间变化比 cos 2 1 t 慢得多
2
2
可以将拍看成以
2A0
cos1
2
2
t
为振幅，
以 1 2 为圆频率的简谐振动。
2
A2A0
cos2 1 t
2
而函数 cos1 2 t 的周期为π
作业二
已知两个振动方向相同的简谐振动：
x 15co 1ts 03 (4 ) x26co 1ts 0 (4 )
其中x、t的单位采用SI制。
求（1）合振动的振幅和周期。
（2）另有一同方向的简谐振动
x37co1st0 ()
问α何值时， x1 x3 的振幅最大，
x2 x3的振幅最小。
XA
t2

2
Y 0
t3

X 0 Y B
3 X A t4 2 Y 0
t4
t3
t2
t1 Y超前π /2
右旋振动
t1 t2
t3
t 4 Y落后π /2
左旋振动
例七
一质点同时参与相互垂直的两个振动：
X8cost() cm
36
Y6cost() cm
33
请你画出合振动运动轨迹图。