高数一期中训练

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2023秋高等数学(一)期中复习卷

高等数学（一）期中复习题一、选择题1.函数)(x f 在0x 处连续的是)(lim 0x f x x →存在的()．A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．无关条件2.)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在0x 处连续的()．A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．无关条件3.设22)(--=x x f ，则)(lim 2x f x →是()．A．1B．1-C．0D．不存在4.下列数列中收敛的是()．A．()nn x n 11+-=B．nx n =C．()211nn x -+=D．n25.在给定的变化过程中，()是无穷小．A．0,sin →x x xB．∞→x xx ,1sin C．∞→x xx ,cos D．0,tan →x xx6.函数()()412)(-++=x x x x f 的连续区间为()．A．[)()4,11,2--⋃--B．()()+∞⋃-,44,1C．[)()+∞⋃-,44,2D．[)),4()4,1(1,2+∞⋃-⋃--7.若,432lim 23=-+-→x kx x x 则()=k ．A．3B．3-C．1D．1-8.)(x f 在),(b a 内连续，且lim (),lim ()x ax bf x f x +-→→都存在，则)(x f 在),(b a 内()．A．有界B．无界C．有最大值D．有最小值9.若.)(lim )(lim 0A x f x f x x x x ==-+→→则下列说法中正确的是（）．A ．)(x f 在0x 处有定义B ．)(x f 在0x 处连续C ．Ax f =)(0D ．Ax f x x =→)(lim 010.函数xx x f 1sin)(=在点0=x 处（）．A ．有定义且有极限B ．无定义但有极限C ．有定义但无极限D ．既无定义又无极限11.设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ()A．()x x f ∆+0B．()xx f ∆+0C．()()00x f x x f -∆+D．()xx f ∆012.设()x f 在0x 处可导，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ()A．()0x f '-B．()0x f -'C．()0x f 'D．()02x f '13.函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14.设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=xy d d ()A．()2xf 'B．()2xf x 'C．()22xf x 'D．()22x f x 15.若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ()A．左导数存在；B．右导数存在；C．左右导数都存在D．有定义16.()2-=x x f 在点2=x 处的导数是()A．1B．0C．-1D．不存在17.曲线x y ln =上某点的切线平行于直线32-=x y ,该点的坐标是（）.A.)2ln ,21( B.)2ln ,21(- C.)21ln ,2( D.21ln ,2(-18.设函数)(x f y =在0x 处可导,且2)(0='x f ,则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 切线与x 轴（）.A.平行B.垂直C.夹角是锐角D.夹角是钝角19.函数x x f sin )(=在点0=x 处是（）.A.无定义B.有定义但不连续C.连续且可导D.连续但不可导20.导数等于x 2cos 21的函数是（）.A.x 2cos 21 B.x 2sin 41 C.x 2sin 21D.x 2sin 211-21.在区间[1,1]-上满足拉格朗日中值定理条件的函数是()A 1y x=B 23y x=C 43y x =D ln y x=22.下列函数为单调函数的是()A ()2ln 1y x =+B exy x =C y x=D sin y x x=+23.设函数22ln y x x =-,那么在区间()1,0-和()0,1内,y 分别为().A 单调增加,单调减少B 单调增加,单调增加C 单调减少,单调增加D 单调减少,单调减少24.下面结论正确的是()A 若()0'0f x =,则0x 一定是函数()f x 的极值点B 可导函数的极值点必是此函数的驻点C 可导函数的驻点必是此函数的极值点D 若0x 是函数()f x 的极值点,则必有()0'0f x =25.设在区间(),a b 内,函数()f x 的一阶导数()'0f x >,二阶导数()0f x "<,则曲线()y f x =在此区间内()A 单调下降且是凸的B 单调下降且是凹的C 单调上升且是凹的D 单调上升且是凸的26.函数sin y x x =-在()2,2ππ-内的拐点个数是()A 1个B 2个C 3个D 4个27.曲线31xy x =-的渐近线方程为()A 1x =和3y =B 3x =和1y =C 1x =D 3y =28.已知曲线3262a b y x x =-的拐点是()1,1-,则,a b 的值分别为()A 1,3B 3,1C 3,3D 3,-329.下列求极限问题不能使用洛必达法则的是()A 2tan limtan 3x x xπ→B 0limsin x x x→C cos lim x x x x →∞+D 432216lim 5616x x x x x →-+--30.设M 和m 分别是函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值,若m M =,则()'f x ()A 等于0B 小于0C 等于1D 不确定二、填空题1.已知函数f(x)=1x−1−x 2，则f(x)的定义域为；2.已知函数f(x)=1，则f(x)的定义域为；3.已知函数f(x)=f(x)的定义域为；4.函数2lglg xy =是由简单函数复合而成；5.函数31x y +=是由简单函数复合而成；6.函数()1sin 2+=x y 是由简单函数复合而成；7.设⎩⎨⎧<≤+<<-=20,1,02,sin )(2x x x x x f ，()ππf f f ,4,)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；8．已知函数2,10g()1+1,1--<<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩x x x x x ，则g(1)=____，g(3)=_____，g(2)-=____;9．已知函数31,3()2,0331,0⎧+≥⎪=--≤<⎨⎪-<⎩x x f x x x x x ，则(2)f -=____,(1)f =____,(2)f =_____;10.21()9=-f x x 的间断点是.11.21()4=-f x x 的间断点是.12.21()1=-f x x 的间断点是.13.当x →________时，函数12+=-x y x 是无穷大,当x →________时，函数12+=-x y x 是无穷小。

大学高数期中考试试卷

大学高数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=$\frac{1}{x}$在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 可积2. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则：A. 必存在最大值B. 必存在最小值C. 必存在零点D. 以上都不对3. 微分方程$\frac{dy}{dx} + y = e^x$的解是：A. $y = e^x - xe^x$B. $y = e^x + ce^{-x}$C. $y = e^x - ce^x$D. $y = e^x$4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 无法确定5. 函数$\sin(x)$的原函数是：A. $x$B. $\cos(x)$C. $-\cos(x)$D. $\sin(x)$6. 若f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在该区间内：A. 必定单调递增B. 必定单调递减C. 必定连续D. 以上都不对7. 曲线y=$\sqrt{x}$与直线x=4所围成的面积是：A. $\frac{16}{3}$B. $\frac{32}{3}$C. $\frac{64}{3}$D. $\frac{128}{3}$8. 函数$\ln(x)$的泰勒展开式是：A. $x - 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + \cdots$B. $x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots$C. $x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots$D. $\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} -\cdots$9. 若$\int_{0}^{1} f(x)dx = 2$，则$\int_{0}^{1} x f(x)dx$的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定10. 函数$\frac{1}{1+x^2}$的不定积分是：A. $\ln(1+x^2)$B. $\arctan(x)$C. $\ln|x|$D. $\ln|x+1|$二、填空题（每空1分，共10分）1. 若$\frac{dy}{dx} = 3x^2$，则$dy$ = __________。

高数(一)期中考试试题

高等数学（上）期中考试试题一、填空题（5×5=25分）1．()的连续区间为x x x f 1arctan 3+-= 。

2．()()()=--+='→h h x f h x f ,x f h 0000lim 2则已知。

3．(),y x cos x sin y 0=--已知.y =d 则4．()()()==02cos 102f ,x x x f 则若 . 5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 2在点(0,1)处的法线方程为 .二、选择题（5×5=25分）1．的极限是函数时当12120x 1x 1+-→,x （）（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）不存在2．()()()的是则设x f x ,x ,x ,x x x f 000011=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=（A ）可去间断点（B ）无穷间断点（C ）连续点（D ）跳跃间断点3.().n x e e x n x x tan 为是同阶无穷小，则与时，设-→0（A ）1 （B ）2 （C ）3 （C ）44．下列结论一定正确的是（）（A ）驻点一定是极值点（B ）极值点一定是驻点（C ）()为极小值点则若000x x ,x f =>''（D ）()()()()()内不取得极值在则内可导，在若b ,a x f ,x f b ,a x f 0>' 5． x xe y -=曲线的拐点是（）（A ）()222-e , （B ）()00, （C ）()11-e , （D ）()e ,1-三、计算题（6×3=18分）()()().a x f ,x ,x x x ,ax x f .x x 存在，求若设0lim 02sin 0111→⎪⎩⎪⎨⎧><+= ().x x .x 2tan 1lim 221π-→求()()().x f x x x f .x '++=，求1ln 32cos四、证明题（6×2=12分）.x x .x -≤<11e 11时，证明：当 ()[]()()()()()()().f b ,a ,c f ,b ,a c ,b f a f b ,a ,b a x f .0002<''∈>∈==ξξ内，使得证明：至少存在一点使得且存在点内二阶可导，且在上连续，在设五、综合题（10×2=20分）1．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面面积为5m 2，洞底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？2．讨论方程()0>=a ax x ln 其中有几个实根？。

大一期中高数复习题

大一期中高数复习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是：A. RB. [0, +∞)C. (-∞, 0]D. (-∞, 0) ∪ [1, +∞)2. 已知函数f(x)=2x-1，求f(a+h)-f(a)的极限当h趋于0时的值是：A. 0B. 1C. 2D. -13. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 若f(x)=x^3-2x^2+x-5，求f'(x)的值：A. 3x^2-4x+1B. 3x^2-4x+2C. 3x^2-4x+3D. 3x^2-4x+45. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=2处的切线斜率是：A. -3B. 0C. 3D. 6二、填空题（每题2分，共10分）1. 若f(x)=x^2+1，则f'(x)=________。

2. 函数g(x)=x^3在x=-1处的导数为________。

3. 若f(x)=ln(x)，则f'(x)=________。

4. 函数h(x)=e^x的导数是________。

5. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)=________。

三、计算题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。

2. 求曲线y=x^2-4x+7在x=2处的切线方程。

四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

2. 证明：若函数f(x)在x=c处可导，则f(x)在x=c处连续。

五、应用题（每题10分，共10分）1. 某公司生产的产品成本函数为C(x)=5x+1000，其中x为生产量。

求该公司生产100件产品时的平均成本。

六、综合题（每题10分，共10分）1. 假设某函数f(x)满足f'(x)=2x+1，且f(0)=0，求f(x)的表达式。

高一数学期中考试测试题（必修一含答案）

高一数学期中考试测试题（必修一含答案）高一年级上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A ∩C U B A ．{}45， B ．{}23， C ．{}1 D ．{}2 2．下列表示错误的是（A ）0?Φ （B ）{}12Φ?，（C ）{}{}21035(,)3,4x y x y x y +=-== （D ）若,A B ?则A B A ?=3．下列四组函数，表示同一函数的是A ．f （x ）=2x ，g （x ）=x B ．f （x ）=x ，g （x ）=2x xC ．2(),()2ln f x lnx g x x ==D ．33()log (),()xa f x a a g x x =>0,α≠1=4．设1232,2,log (1), 2.(){x x x x f x -<-≥=则f ( f (2) )的值为A ．0B ．1C ．2D ．35．当0＜a ＜1时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图象是6．令0.760.76,0.7,log 6a b c ===，则三个数a 、b 、c 的大小顺序是A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 7．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是 A ．（1，2） B ．（2，3）C ．11,e ?? ???和（3，4） D ．(),e +∞ 8．若2log 31x =，则39xx+的值为A ．6B ．3C ．52 D ．129．若函数y = f （x ）的定义域为[]1,2，则(1)y f x =+的定义域为A ．[]2,3B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．[]3,2-- 10．已知()f x 是偶函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =+，则当x ＞0时，()f x = A ．(1)x x - B ．(1)x x -- C (1)x x + D ．(1)x x -+11．设()()f x x R ∈为偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，则(2)f -、()f π-、(3)f 的大小顺序是A ．()(3)(2)f f f π->>-B ．()(2)(3)f f f π->->C ．()(2)f f f π-<(3)<-D ．()(2)(3)f f f π-<-<12 已知函数f(x)的图象是连续不断的，x 与f(x)的对应关系见下表，则函数f(x)在区间[1,6] 上的零点至少有(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。

【必考题】高一数学上期中试题(及答案)

【必考题】高一数学上期中试题(及答案)一、选择题1．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③4．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 6．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（）A ．32B ．23-C ．23D ．32-9．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．610．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（）A ．7B ．72C ．74D ．7811．函数2y 34x x =--+的定义域为（）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 12．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．17．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．18．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.19．函数2()log 1f x x =-________．20．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩0x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式 22．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 23．已知函数()f x 对任意的实数m ,n 都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,有()1f x >.(1)求()0f ;(2)求证:()f x 在R 上为增函数;(3)若()12f =,且关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围. 24．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+25．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？（2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论．【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+，则有101xx->+，解可得11x -<<，即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称，又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+，即函数()f x 为奇函数，设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数，而y lnt =在()0,∞+上为增函数，故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；故选:D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)；当x <0时，f (x )>0＝f (－1)．又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数．所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．C解析：C 【解析】【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．4．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}AB ，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．6．D解析：D 【解析】【分析】利用换元法将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论【详解】设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1，令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．D解析：D 【解析】【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--，故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．D解析：D 【解析】【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +，则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根，函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根，即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．10．C解析：C 【解析】【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论．【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．11．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C12．B解析：B 【解析】【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数，由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】【分析】设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案．【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩，则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±，所以1a =±，故答案为：±1．【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2．【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-．故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案解析：][()2,33,2⋃--【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--．故答案为][()2,33,2⋃--．【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．17．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =．综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．18．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题解析：2 【解析】因为()42(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以x =2个零点.点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.19．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。

高数期中考试题目及答案

高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。

答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。

答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。

答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。

答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。

答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。

2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。

答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。

答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。

5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。

答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。

答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。

北师大版高一数学必修1上期中试题及答案

北师大版高一数学必修1上期中试题及答案高一数学期中试卷（满分120分，考试时间90分钟）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1.设集合 $A=\{(x,y)|y=-4x+6\}$，$B=\{(x,y)|y=5x-3\}$，则 $A\cap B=$（）A。

$\{1,2\}$ B。

$\{x=1,y=2\}$ C。

$\{(1,2)\}$ D。

$(1,2)$2.已知函数 $f(x)$ 是定义在 $[1-a,5]$ 上的偶函数，则$a$ 的值是（）A。

0 B。

1 C。

6 D。

-63.若 $a>0$ 且 $a\neq1$，则函数 $y=ax-1$ 的图像一定过点（）A。

$(0,1)$ B。

$(0,-1)$ C。

$(1,0)$ D。

$(1,1)$4.若 $f(x)=x+1$，则 $f^{-1}(2)=$（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

$-1/3$5.下列四个图像中，是函数图像的是（）A。

B。

C。

D。

6.下列函数中既是奇函数，又在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增的是（）A。

$y=-x^2$ B。

$y=1/x$ C。

$y=x+1/x$ D。

$y=e^{|x|}$7.若方程 $2ax^2-x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内恰好有一个解，则$a$ 的取值范围是（）A。

$a1$ C。

$-1<a<1$ D。

$a\leq1$8.已知函数 $f(x)=\begin{cases} \log_2x & (x>1) \\ x^3 & (x\leq1) \end{cases}$，则 $f[f(9)]=$（）A。

1 B。

3 C。

4 D。

99.为了得到函数 $y=3x$ 的图像，可以把函数 $y=3|x|$ 的图像（）。

A。

向左平移3个单位长度 B。

向右平移3个单位长度C。

向左平移1个单位长度 D。

向右平移1个单位长度10.设 $a=\log_{0.3}4$，$b=\log_43$，$c=0.3^{-2}$，则$a$、$b$、$c$ 的大小关系为（）A。

高等数学(一)期中测试题答案

高等数学(一)期中测试题答案一、选择题（10×2分=20分） 1．函数)ln(ln x y=的定义域为（ D ）A ．（0 ，＋∞）B ．（1 ，+∞）C ．（e ，+∞）D ．[e ，+∞） 2．下列（ A ）是初等函数 A ．112--=x xyB ．⎪⎩⎪⎨⎧--=0112x x y11=≠x xC ．2cos -=x yD ．)1ln(2--=xy3．下列极限存在的是（ A ） A ．2)1(limxx x x +∞→ B ．121lim-→xx C ．xx e1lim→ D ．xxx 1lim2+∞→4．下列各式中正确的是（ D ） A ．ex xx =+→)11(limB ．exx x =+∞→1)11(limC ．e x x x =+∞→1)1(lim D ．ex x x =+→1)1(lim5．=--→4)2sin(lim22xx x （ B ）A ．0B ．41 C ．21 D ．16．函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin xx y0=≠x x 在0=x 处（ C ）A ．没定义B ．不连续C ．连续但不可导D ．可导7．下列函数在给定区间上满足罗尔定理的是（ A ）Ａ．[]3,2,652∈+-=x x xyＢ．[]2,0,)1(132∈-=x x yＣ．[]1,0,∈=-x xeyxＤ．[]3,0,1∈+=x x y8．若函数)(x f y =在区间0)(,0)(),('''<>x f x f b a 内，则）内，在（b a x f )(（ B ）A ．单调递增且是凹的B ．单调递增且是凸的C ．单调递减且是凹的D ．单调递减且是凸的 9．若)(2)('x x f x f ，则的一个原函数是=（ D ） A ．x2 B ．2ln 2xC ．2ln 2xD ．2ln22x10．若等于则dx ef eC x F dx x f xx)(,)()(⎰⎰--+=（ D ）A ．C e F x +)(B ．Ce F x+-)( C ．C e F x +-)( D ．CeF x+--)(二、填空题（10×2分=20分） 1．=+→xx x )11(lim12．曲线处的切线方程是在0=+=x e x yx012=+-y x3．若函数⎩⎨⎧+=,,)(x a e x f x 00>≤x x 在==a x处连续，则0 14．设函数==)0(,‘则y xe y x15．302.1的近似值为 1.0076．设函数==)(,ln )2(x f x x f ‘则x17．设=----=）（则‘0),4)(3)(2)(1()(f x x x x x x f 24 8．若⎰=+=)(,3arctan )(x f c x dx x f 则 2913x+9．曲线12+=xy的渐近线为xy±=10．拉格朗日定理是柯西定理在xx g =)(时的特殊情形。

高等数学1期中考试试题参考答案

《高等数学（Ⅰ）》试卷学院：______ 班级：_____学号：________姓名：________任课教师：_____题类一二三四五总分阅卷人得分一、选择题（每题2分，共16分）1、下列极限存在的是…………………………………………………………( )（A ）（B ）（C ）（D ） xx 21lim ∞→1310lim -→x x x e x 1lim ∞→xx 3lim ∞→2、，，则下列不正确的是…………………………()0)(lim =→x f ax ∞=→)(lim x g ax （A ）（B ） ∞=+→)]()([lim x g x f ax ∞=→)]()([lim x g x f ax （C ）（D ） 0][lim )()(1=+→x g x f ax 0)](/)(lim[=→x g x f ax 3、则下列正确的是…………………………(),0)(lim >=→A x f ax ,0)(lim <=→B x g ax （A ） f (x )>0, （B ） g(x )<0, （C ） f (x )>g (x ) （D ）存在a 的一个空心邻域，使f (x )g (x )<0。

4、已知，则………………………………………………( ),2lim)(0=→xx f x =→)2x (sin3x 0limf x （A ） 2/3, （B ） 3/2 （C ） 3/4 （D ）不能确定。

5、若函数在[1，2]上连续，则下列关于函数在此区间上的叙述，不正确的是……（）（A ）有最大值（B ）有界（C ）有零点（D ）有最小值6、下列对于函数y =x cos x 的叙述，正确的一个是………………………………………( )（A ）有界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（B ）有界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大，（C ）无界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（D ）无界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大。

高等数学期中复习题加答案

高等数学期中复习题加答案一、选择题1. 函数$ f(x) = x^2 - 3x + 2 $在区间$ (0, 2) $上的值域是：A. $ (-1, 1) $B. $ (-\infty, 1) $C. $ (-\infty, 2) $D. $ (-1, +\infty) $答案： A2. 极限$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $的值是：A. 0B. 1C. $ \frac{\pi}{2} $D. $ \infty $答案： B二、填空题1. 函数$ y = x^3 - 2x^2 + x $的导数是 $ y' =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$。

答案： $ 3x^2 - 4x + 1 $2. 定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ $。

答案： $ \frac{1}{3} $三、计算题1. 计算极限 $ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} $。

答案： 12. 求函数 $ f(x) = \ln(x) $ 在区间 $ [1, e] $ 上的定积分。

答案： $ x - e^x $ 在 $ [1, e] $ 上的定积分为 $ e - 2 $。

四、证明题1. 证明：函数 $ f(x) = x^3 $ 是严格递增函数。

答案：首先求导 $ f'(x) = 3x^2 $，由于 $ x $ 为实数，$ x^2 \geq 0 $，所以 $ f'(x) \geq 0 $。

当 $ x \neq 0 $ 时，$ f'(x) > 0 $，因此函数 $ f(x) = x^3 $ 是严格递增函数。

高等数学A(1)期中测试题A+答案

xy y x xy
3.
求由参数方程
x y
ln(1 t 2) t arctan t
的所确定的函数
y
y(x)
的一阶导数dy dxFra bibliotek和二阶导数
d2y dx2
.
解:
dx dt
1
2t t
2
,
dy dt
t2 1t2
,
则 dy dx
t 2
;
d2y dx 2
d ( t ) / dt 2
dx / dt
1t2 . 4t
则 (0) f (0) (03 3* 02 0) 0, (1) f (1) (13 3*12 1) 0 ,
由罗尔定理,至少存在一点 1 (0,1), 使得(1) 0 , 又有(1) f (1) (3 6 1) 0 ,
由罗尔定理,至少存在一点 2 (1,1), 使得(2 ) 0 , 又有(1) f (1) (6 6) 0 ,
=e lim x0
ln(cos x2
x
)
e lim sin x x0 2 x cos x
1
e 2
(2) lim( 1 1 ) x0 x ln(1 x)
lim ln(1 x) x x0 x ln(1 x)
lim
x0
ln(1
x) x2
x
1 1 lim 1 x
x0 2x lim x 1
18-19（1）《高等数学 A(1)》期中测试题 A
一、陈述:略
（1）
lim (1
1
x) x
e; lim
sin bx
b
，故 a
=b
e
x0
x x0
（2）

高等数学期中复习题加答案

高等数学期中复习题加答案# 高等数学期中复习题加答案一、选择题1. 函数f(x) = sin(x) + 2x^2在区间(-π, π)内是：- A. 单调递增- B. 单调递减- C. 有增有减- D. 常数函数答案：C2. 若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求导后f'(x) = 0的解为： - A. x = 1- B. x = 2- C. x = 1 或 x = 2- D. 无解答案：C3. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(2, 6)处的切线斜率为： - A. 0- B. 6- C. 12- D. 18答案：A4. 若∫(0 to 1) f(x) dx = 2，则∫(0 to 1) (2f(x) + 3) dx =： - A. 10- B. 8- C. 7- D. 无法确定答案：A5. 函数f(x) = e^x在区间[0, 1]的定积分的值为：- A. e - 1- B. 1 - e- C. 1- D. 0答案：A二、填空题1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5，则f''(x) = __________。

答案：6x + 22. 函数y = ln(x)的导数是 __________。

答案：1/x3. 若f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1，则f'(1) = __________。

答案：04. 定积分∫(1 to e) (x^2 - 1) dx的值是 __________。

答案：(e^3 - e^2 - 1)/35. 若曲线y = x^2与直线y = 4x相切于点(2, 8)，则切线方程是__________。

答案：y = 4x - 4三、解答题1. 求导数：给定函数f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1，求其导数f'(x)。

解答：\[ f'(x) = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 1 \]2. 求不定积分：计算不定积分∫(3x^2 - 2x + 1) dx。

高数一期中训练

一、填空题1. 设n n n x n x f )(lim )1(+=-∞→ ，则=)(x f . 2．已知函数xe y x 1arctan 21+=+，则dy = . 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,30,sin )(x x x kx x f 在点0=x 处连续，则常数=k . 4.已知曲线方程为43ln 2x y y =+，则该曲线在点(1,1)处的切线方程为5．设函数)1ln(312arcsin )(x x x f -+-=，则其定义域为． 6．设极限)(lim 1x f x →存在，且)(lim 32)(13x f x x x f x →+=，则． 7．设函数,0()sin 3,0ax e x f x x b x ⎧≥=⎨+<⎩，则=a ，=b 时，()f x 在0x =点可导．8．曲线22+-=x x y 在点)2,1(的切线方程为．二、单项选择题1．设x x x f 3t a n )(=，1cos )(-=x x g ，则当0→x 时，下列表达式正确的是（）.A. ))(()(x g o x f =；B. ))(()(x f o x g =；C. )(~)(x g x f ；D. )(x f 与)(x g 同阶但不等价． 2. )(x f y =在点0x 处可导是)(x f y =在点0x 处连续的（）．Ａ. 必要条件且不是充分条件；Ｂ. 充分条件且不是必要条件；Ｃ. 充分必要条件；Ｄ. 既不是充分条件，也不是必要条件．3．设物体的运动规律为t s 4=米，则在第4秒末，物体的加速度为（）.A. 536⋅；B. 2)4(ln ；C.424)4(ln ；D. 444ln ⋅.4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≠+-=0,10,1212)(11x x x f x x ，则0=x 为)(x f 的（）. A ．连续点； B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．无穷间断点.5．设2()1x f x e =-，()1g x =-0x →+时，下列表达式正确的是（）A ．))(()(x g o x f =；B ．))(()(x f o x g =；C ．)(~)(x g x f ；D ．)(x f 与)(x g 同阶但不等价．6．设()f x 是奇函数，且(0)f '存在，则0x =是函数()f x x的（ B ） A ．连续点； B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．无穷间断点．7．函数2sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（） A ．极限不存在； B ．极限存在，但不连续； C ．连续，但不可导； D ．可导．8．在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的函数是（）A ．21()f x x=； B ．()||f x x =； C ．2()21f x x x =--； D ．()1sin f x x x =-．三、计算题：1.求极限1sin 1)1ln(lim20-++→x x x x .2. 设8arcsin tan )cos (ln 2+⋅-+=x x x x y ，求y '.3. 设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y t t x ，求22,dx y d dx dy .4. 设)(x f 在0=x 处可导，且31)0(='f ，又对任意的x ，有)(3)3(x f x f =+，求)3(f '. 5．求极限 2011lim()sin x x x x→-．6．设2ln 1xy x =+，求dy ．7．设方程0y e xy e +-=确定隐函数()y y x =，求y '，0|x y =''．8．设有参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x 2cos 2sin 1，求22,dx y d dx dy ． 9、某船由一绳索牵引靠岸，绞盘位于岸边比船头高5m 处，绳索在绞盘上卷绕的速率是4 m/s.问船距岸边4m 处的速率是多少？10、一长为5米的梯子斜靠在墙上，如果梯子下端以1 米/秒的速率滑离墙壁，试求梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速率．四、证明题1、设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =，令()()F x f x x =-，证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=．2、设函数)(x f 在[]3,0上连续，在()3,0内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f ，试证：必存在()3,0∈ξ，使0)(='ξf。

大一高等数学期中试卷

高等数学期中试卷班级姓名计分一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．函数（）2．已知，2lim (2)0,2x x x →-=-则称函数当( )时为无穷小。

3．设x x x y arcsin 12-+=，则='y ______________________．4．设函数()x y y =由方程42ln 2x y y =+所确定，则=dx dy _______________．5.设 = _________．6.函数()22sin x x e x f x +--=在区间()∞+∞-，上的最小值为_____________． 7.3201sin limsin 2x x x x →=8.设()231ln e x y ++=，则='y 9.设⎩⎨⎧==t y t x ln 2 则=dxdy10.曲线23bx ax y +=有拐点()3,1，则，a= . b=二选择题（请选择一个正确答案序号填在括号中，共8小题，每小题3分共24分）1、指出下列哪些是基本初等函数（）（1）2y x =；(2) y =； 3；(sin y x = 4；)32ln(x y +=2、设在[0,1]上函数f(x)的图像是连续的，且()f x '>0,则下列关系一定成立的是( ) 1；f(0)<0 2；f(1)>0 3；f(1)>f(0) 4；f(1)<f(0)3、函数y=1+3x-x3有（）（A ）极小值-1,极大值1 （B ）极小值-2,极大值3 （C ）极小值-2,极大值2 （D ）极小值-1,极大值34、曲线1704,4y P x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭上一点处的切线方程是( )（A ）5x+16y+8=0 （B ）5x-16y+8=0 （C ）5x+16y-8=0 （D ）5x-16y-8=0351lim 232+--→x x x x5、31xy +=的反函数是（）A ；3ln 1y x =+（）B ；1y =C ；13-=x yD ；31x y e +=（）6、函数f(x)=xsinx+2x 2是（）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.有界函数7、设函数f(x)在区间I 连续,那么f(x)在区间I 的原函数（）A.不一定存在B.有有限个存在C.有唯一的一个存在D.有无穷多个存在8.函数y=ex-x-1单调增加的区间是（） A.[)+∞-,1 B.()+∞∞-, C.(]0,∞- D.[)+∞,0 三、求函数321)(2--+=x x x x f 的连续区间，并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x →（10分）四、求函数 y=e -x ×conx 的二阶及三阶导数（8分）五、判断曲线21y x x =- 的凹凸性和拐点（10分）六、某质点的运动方程是S=t 3-(2t-1)2,则在t=1s 时的瞬时速度为。

高数1-1期中考试试卷

2023-2024第一学期高等数学1-1期中考试试题一、填空题1. 求325(21)2lim [(1)]33x x x x x x→+∞⋅-+-=+ 2．___________________])311(112[lim 33=++++-+∞→x x xx x x . 3.若sin 0()2cos 0x ax x f x x x e x -⎧ > ⎪= ⎨⎪+ ≤⎩在),(∞+-∞内连续，则=a4．若函数0()sin 20x x x f x xa e x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩ 在),(∞+-∞上连续，则__________=a5 设函数)(x y y =由方程10y xe y +-=所确定,则__________________y '=6. 设函数()y y x =由方程21xy x y e ++=所确定，则________________y '=二、选择题1．当0→x 时，下列无穷小量与x 是等价无穷小量的是 ( )（A ）x cos 1- (B)21x e - (C) 22x x + (D) 2ln(1)x -2. 函数134+-=x x y 的单调递减凸区间为（）（A ）)43,0( （B ）)43,21( （C ）)21,0( （D ）),43(∞+3.曲线43()341f x x x =-+ 的单调递增凹区间为（）（A ）(,0)-∞ （B ）)32,0( （C ）)1,32( （D ）)),1(∞+ 4.当0→x 时，下列结论正确的是（） (A) x cos 1-与x 为等价无穷小 (B) ()ln 12x +与x 为等价无穷小（C ）1-x e 与x sin 为等价无穷小 (D) 112-+x 与2x 为等价无穷小三、求下列极限1. 2011lim()21x x x e →--2. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim π3、.cos 1sin )1(lim 230x x e x x --→ 4. ).1sin cos (lim 0x x x x -→5. 20sin limsin x x x x x →- 6.])1ln(11[lim 0+-→x x x四、求下列函数的导数（共12分,每小题6分）1. 设函数1)1ln(21arctan 2+++=x x x y ，求y '与y ''.2、设函数2arcsin 2422x x x y +-=，求y '与y ''.3、求参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=t t y t t x 3arctan 23所确定的函数的导数dx dy 与22dx y d .4．求参数方程cos cos sin x t y t t t=⎧⎨=-⎩ 所确定的函数)(x y y =的导数dx dy 与22dx y d .五、应用题1、某房地产公司有60套公寓要出租，当租金定为每月160元时，公寓会全部租出去.当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费.试问：房租定为多少可获得最高收入？2、某工厂需要围建一个面积为392平方米的矩形露天厂房，一边可以利用原有的墙壁，其它三边需要砌新的墙壁。

高数期中练习题

高等数学（上）期中练习题一、单项选择题1.下列函数中，是奇函数.A.32xx y += B.xx y sin =C.x x y cos =D.xx y -+=ee 2.当0→x 时，下列说法正确的是.A.1e 2-x 是比x sin 高阶的无穷小B.32x x +是比2x 高阶的无穷小C.)1ln(2x -与2x 是等价无穷小D.x cos 1-与1sec -x 是等价无穷小3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，则0=x 是函数)(x f 的.A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点4.设1)(='a f ，则=∆-∆-→∆xa f x a f x )()2(lim.A.1B.-1C.2D.-25.下列说法正确的是.A.函数3x y =在点0=x 处可导B.曲线3x y =在点)0,0(处有切线C.函数||x y =在点0=x 处可导D.曲线||x y =在点)0,0(处有切线二、填空题6.=--+→132lim 221x x x x .7.=∞→xx 1e lim .8.曲线13222-++=x x x y 的水平渐近线是.9.设)2023()3)(2)(1()(++++++=x x x x x x f ，则=')0(f .10.设函数)(x f 可导，则函数)e (xf y =的导数=xy d d .11.函数3x y =当1=x ，01.0=∆x 时的微分=y d .12.设函数x y 2sin =，则=y d x d .13.设函数)cos (sin e x x y x+=，则==0d d x xy .三、判断题（）14.若n n x ∞→lim 存在，则该极限唯一.（）15.若)(lim x f ax →与)(lim x g ax →都不存在，则)]()([lim x g x f ax +→一定不存在.（）16.两个无穷小的商一定是无穷小.（）17.单调递增且有上界的数列必有极限.（）18.基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.（）19.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.（）20.函数)(x f 在点x 处可微，那么函数在该点处一定连续.（）21.函数)(x f 在点x 处可导是函数在该点处连续的必要不充分条件.（）22.)(lim x f x ∞→存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞→与)(lim x f x -∞→都存在且相等.四、计算题23.求)1)(cos 121(sin tan lim0----→x x xx x .24.求145lim1---→x xx x .25.求)1ln(1)211(lim 3220x x x x +--→.26.求2163lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x .27.求由方程yx xy +=e所确定隐函数的导数.28.设)(1ln 2x y +=，求y ''.29.求曲线⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 4y x 在3π=θ相应点处的切线方程及法线方程.五、综合题30.证明方程0155=+-x x 在)1,0(内至少存在一个根.31.讨论⎩⎨⎧≥+<=0),1ln(,0,sin )(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性.32.讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,0,1cos )(2x x xx x f 在0=x 处的连续性与可导性.。

高等数学期中考试练习题

高等数学练习题
一、单选题 1．设 | a | 3 , | b | 4 , 且 a b , 则 | (a b ) (a b ) | (
)．
(A) (C)
4
24
(B) 14 (D) 25
2．已知直线 l1 :
x 4 y 1 z 2 x 1 y 1 z 3 和 l2 : , 则它们是( 2 3 5 3 2 4
1 y sin
x
.
x2 y2 2 f 2 f 17．设 f (u, v) 有二阶连续偏导数, 且满足 2 2 1 , 又 g ( x, y ) f xy, , 则 u v 2
2
2 g 2 g x 2 y 2
三、综合题
．．
18. 函数 u ln( x 2 y 2 z 2 ) 在点 M(1,2, 2 )处的梯度 gradu M
12．设 l0 是直线 l :
.
x 1 y z 1 在平面 : x y 2 z 1 0 上的投影直线, 则 l0 绕 y 轴旋 1 1 1
．
转一周而成的曲面方程为
13．设 0 是曲面 z 4 x 2 y 2 的平行于 : 2 x 2 y z 3 0 的切平面, 则与 0 的距离
19 ．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品 , 两个市场需求函数分别是
p1 18 21 , p2 12 2 , 其中 p1 , p2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨),
1 和 2 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量, 单位: 吨), 并且该企业生产这种产
d
.
14 ．设 u f ( x, y, z ) 有一阶连续偏导数 , 又函数 y y ( x) 与 z z ( x) 分别由下列两式确定,

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一、填空题
1. 设n n n x n x f )(lim )1(+=-∞
→ ，则=)(x f . 2．已知函数x
e y x 1arctan 21+=+，则dy = . 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,
30,sin )(x x x kx x f 在点0=x 处连续，则常数=k . 4.已知曲线方程为43ln 2x y y =+，则该曲线在点(1,1)处的切线方程为
5．设函数)1ln(3
12arcsin )(x x x f -+-=，则其定义域为． 6．设极限)(lim 1
x f x →存在，且)(lim 32)(13x f x x x f x →+=，则． 7．设函数,0()sin 3,0ax e x f x x b x ⎧≥=⎨+<⎩
，则=a ，=b 时，()f x 在0x =点可导．
8．曲线22+-=x x y 在点)2,1(的切线方程为．
二、单项选择题
1．设x x x f 3t a n )(=，1cos )(-=x x g ，则当0→x 时，下列表达式正确的是（）.
A. ))(()(x g o x f =；
B. ))(()(x f o x g =；
C. )(~)(x g x f ；
D. )(x f 与)(x g 同阶但不等价． 2. )(x f y =在点0x 处可导是)(x f y =在点0x 处连续的（）．
Ａ. 必要条件且不是充分条件；Ｂ. 充分条件且不是必要条件；Ｃ. 充分必要条件；Ｄ. 既不是充分条件，也不是必要条件．
3．设物体的运动规律为t s 4=米，则在第4秒末，物体的加速度为（）.
A. 536⋅；
B. 2)4(ln ；
C.424)4(ln ；
D. 444ln ⋅.
4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≠+-=0
,10,1212)(11
x x x f x x ，则0=x 为)(x f 的（）. A ．连续点； B ．可去间断点；
C ．跳跃间断点；
D ．无穷间断点.
5．设2()1x f x e =-
，()1g x =-0x →+时，下列表达式正确的是（）
A ．))(()(x g o x f =；
B ．))(()(x f o x g =；
C ．)(~)(x g x f ；
D ．)(x f 与)(x g 同阶但不等价．
6．设()f x 是奇函数，且(0)f '存在，则0x =是函数()f x x
的（ B ） A ．连续点； B ．可去间断点；
C ．跳跃间断点；
D ．无穷间断点．
7．函数2sin ,0()0
,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（） A ．极限不存在； B ．极限存在，但不连续； C ．连续，但不可导； D ．可导．
8．在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的函数是（）
A ．21()f x x
=； B ．()||f x x =； C ．2()21f x x x =--； D ．()1sin f x x x =-．
三、计算题：
1.求极限1sin 1)1ln(lim
20-++→x x x x .
2. 设8arcsin tan )cos (ln 2+⋅-+=x x x x y ，求y '.
3. 设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=32
32t
t y t t x ，求22,dx y d dx dy .
4. 设)(x f 在0=x 处可导，且3
1)0(=
'f ，又对任意的x ，有)(3)3(x f x f =+，求)3(f '. 5．求极限 2011lim()sin x x x x
→-．
6
．设2ln 1x
y x =+，求dy ．
7．设方程0y e xy e +-=确定隐函数()y y x =，求y '，0|x y =''．
8．设有参数方程⎩
⎨⎧=+=t y t x 2cos 2sin 1，求22,dx y d dx dy ． 9、某船由一绳索牵引靠岸，绞盘位于岸边比船头高5m 处，绳索在绞盘上卷绕的速率是4 m/s.问船距岸边4m 处的速率是多少？
10、一长为5米的梯子斜靠在墙上，如果梯子下端以1 米/秒的速率滑离墙壁，试求梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速率．
四、证明题
1、设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且
(0)(1)0f f ==，1()12
f =，令()()F x f x x =-，证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=．
2、设函数)(x f 在[]3,0上连续，在()3,0内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f ，试证：必存在()3,0∈ξ，使0)(='ξf。