选修3-5学案：1.4 美妙的守恒定律 2

学案6 美妙的守恒定律

[学习目标定位] 1.进一步掌握碰撞问题的特点.2.进一步熟练动量和能量的综合问题的分析思路．

一、子弹打木块模型及拓展应用

动量守恒定律应用中有一类典型的物理模型——子弹打木块模型．此类模型的特点： 1．由于子弹和木块组成的系统所受合外力为零(水平面光滑)，或者内力远大于外力，故系统动量守恒．

2．由于打击过程中，子弹与木块间有摩擦力的作用，故通常伴随着机械能与内能之间的相互转化，故系统机械能不守恒．系统损失的机械能等于阻力乘以相对位移，即：ΔE ＝fs 相对． 例1 一质量为M 的木块放在光滑的水平面上，一质量为m 的子弹以初速度v 0水平飞来打进木块并留在其中，设相互作用力为f . (1)子弹、木块相对静止时的速度v ?

(2)系统损失的机械能、系统增加的内能分别为多少？ (3)子弹打进木块的深度l 深为多少？

解析 (1)由动量守恒得：m v 0＝(M ＋m )v ，子弹与木块的共同速度为：v ＝m M ＋m v 0.

(2)系统损失的机械能，由能量守恒定律

ΔE k ＝12m v 20－12

(M ＋m )v 2

得：ΔE k ＝Mm v 20

2(M ＋m )

系统增加的内能Q ＝ΔE k ＝Mm v 20

2(M ＋m )

(3)方法一：对子弹利用动能定理得

－fs 1＝12m v 2－12m v 20

所以s 1＝Mm (M ＋2m )v 20

2f (M ＋m )

2 同理对木块有：fs 2＝1

2

M v 2

故木块发生的位移为s 2＝Mm 2v 202f (M ＋m )2.子弹打进木块的深度为：l 深＝s 1－s 2＝Mm v 20

2f (M ＋m ) 方法二：对系统根据能量守恒定律，得：

f ·l 深＝12m v 20－12

(M ＋m )v 2

得：l 深＝Mm v 2

2f (M ＋m )

l 深即是子弹打进木块的深度．

答案 (1)m M ＋m v 0 (2)Mm v 202(M ＋m ) Mm v 2

02(M ＋m ) (3)Mm v 20

2f (M ＋m )

图1

例2 如图1所示，有一质量为M 的长木板(足够长)静止在光滑的水平面上，一质量为m 的小铁块以初速度v 0水平滑上木板的左端，小铁块与木板之间的动摩擦因数为μ，试求小铁块在木板上相对木板滑动的过程中，若小铁块恰好没有滑离长木板，则木板的长度至少为多少？

解析 此题为另类的“子弹打木块”的模型，即把铁块类似于有初动量的“子弹”，以小铁块和木板为一个系统，系统动量守恒．在达到共同速度的过程中，m 给M 一个向右的滑动摩擦力f ＝μmg ，M 向右做匀加速直线运动；M 给m 一个向左的滑动摩擦力f ′＝μmg ，m 向右做匀减速直线运动，m 相对M 向右运动，最后两者达到共同速度．

由动量守恒得：m v 0＝(M ＋m )v ，得v ＝m v 0

M ＋m .

设板长至少为l ，则

Q ＝μmgl ＝ΔE k ＝12m v 20－1

2(M ＋m )v 2

所以l ＝M v 20

2μg (M ＋m ).

答案 M v 20

2μg (M ＋m )

二、动量和能量的综合问题分析

动量和能量的综合问题往往涉及的物体多、过程多、题目综合性强，解题时要认真分析物体间相互作用的过程，将过程合理分段，明确在每一个子过程中哪些物体组成的系统动量守恒，哪些物体组成的系统机械能守恒，然后针对不同的过程和系统选择动量守恒定律或机械能守恒定律或能量守恒定律列方程求解．

图2

例3 如图2所示，A 为一具有光滑曲面的固定轨道，轨道底端是水平的，质量M ＝40 kg 的小车B 静止于轨道右侧，其板与轨道底端靠近且在同一水平面上，一个质量m ＝20 kg 的物体C 以2.0 m/s 的初速度从轨道顶端滑下，冲上小车B 后经一段时间与小车相对静止并继续一起运动．若轨道顶端与底端水平面的高度差h 为0.8 m ，物体与小车板面间的动摩擦因数μ为0.40，小车与水平面间的摩擦忽略不计，(取g ＝10 m/s 2)求： (1)物体与小车保持相对静止时的速度； (2)物体冲上小车后相对于小车板面滑动的距离．

解析 (1)下滑过程机械能守恒，但动量不守恒，即有：mgh ＝12m v 22－12m v 2

1，

得v 2＝v 21＋2gh ＝2 5 m/s

在物体C 冲上小车B 到与小车相对静止的过程中，两者组成的系统动量守恒， 即有：m v 2＝(m ＋M )v ，

得：v ＝m v 2m ＋M ＝20×2520＋40 m/s ＝2

3 5 m/s

(2)由功能关系有：μmgl ＝12m v 22－12

(m ＋M )v 2

代入数据解得：l ＝5

3

m

答案 (1)23 5 m/s (2)5

3 m

图3

例4 如图3所示，光滑水平面上放置质量均为M ＝2 kg 的甲、乙两辆小车，两车之间通过一感应开关相连(当滑块滑过感应开关时，两车自动分离)．其中甲车上表面光滑，乙车上表面与滑块P 之间的动摩擦因数μ＝0.5.一根通过细线(未画出)拴着而被压缩的轻质弹簧固定在甲车的左端，质量为m ＝1 kg 的滑块P (可视为质点)与弹簧的右端接触但不相连，此时弹簧储存的弹性势能E 0＝10 J ，弹簧原长小于甲车长度，整个系统处于静止．现剪断细线，求：

(1)滑块P 滑上乙车前瞬间速度的大小．

(2)要使滑块P 恰好不滑离小车乙，则小车乙的长度至少为多少？

解析 (1)设滑块P 滑上乙车前的速度为v 0，两车的速度为v ，选甲、乙和P 为系统，对从滑块P 开始运动(初状态)到滑上乙车前(末状态)的过程，应用动量守恒有： m v 0－2M v ＝0①