运筹学动态规划习题
运筹学习题解答(chap8 动态规划)
第八章 动态规划
一、用逆序法求解下列问题
1、P237, 8.1 有600万元资金用于三个工厂的更新改造，投资数以百万元为单位取整数，已知工厂II 的投资不超过300万元，工厂I 和III 的投资均不少于100万元，又不超过400万元，已知各工厂投资更新改造后，每年可增加的效益如下表，试用动态规划方法确定投资分配方案，使预期效益为最大。(单位：万元)
解：该问题可分为3个阶段，分别为分配资金给Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个厂。 设k 为阶段变量，第k 个阶段给第k 个厂分配设备；
k S 是第k 个阶段的状态变量，表示可分配给第k 个厂到第3个厂的设备数；
k x 是第k 个阶段的决策变量，表示分配给第k 个厂的设备数；
状态转移方程：k k k x S S -=+1，并且41=S 。 指标函数：)](),([max )(11+++=k k k k k x k k S f x s r S f k
0)(44=S f
下面按照逆序解法求解。
第三阶段：500400,300,200,1003，
=S 万，33x S =, 第二阶段：500,400,300,2002=S 万。223x S S -=
第1阶段：6001=S 万。112x S S -=
按照与计算相反的顺序可推知有一个最优解：
3001=*X ，2002=*
X ，1003=*X ，最大利润为25万。
2、P237, 8.2 如图，要铺设一条从A 到E 的输油管线，箭线旁数字为各点间相应距离（km ）一个运筹学小组正研究讨论线路选择，使得总距离为最短。甲提出用求最短距离的Dijkstra 算法求解；乙认为这个问题也可用动态规划方法求解，但丙丁认为从A 到E 经B1、D1的线路，与经B2、C1、D2的线路阶段数不等，故动态规划行不通；丙提出建立整数规划模型求解，甲乙对此持怀疑的态度；丁设想用破圈法或避圈法找出图中最小部分树，树图中A-E 的唯一链即为A 至E 铺设管道的最佳选择，对此甲和乙不同意。因此除对甲的意见一致外，其余均有分歧。请说明乙丙丁的方法是否可行，并说明依据。
运筹学04-动态规划(2)
元件 1 2 3
单价 40 35 20
可靠性 0.95 0.8 0.6
数学模型为
max Z (1 0.05x1 )(1 0.2x2 )(1 0.4x3 )
40x1 35x2 20x3 200
x1
,
x2 ,
x3
0并且为整数
最优解X=(1，2，4)；可靠性Z=0.888653， 总费用190。
由于 s2 9/2，
因此 x2*=0,
s3=s2-x2*= 10-0=10
所以
x3*= s3 = 10
最优投资方案为全部资金投入第3个项目可
得最大收益200万元。
机器负荷问题
有某种机床，可以在高低两种不同的 负荷下进行生产。在高负荷下生产时，产 品的年产量为g，与年初投入生产的机床 数量u的关系为
dh1/dx1=4+4(s1-x1)(-1)=0 解得
x1=s1-1
而
d2h1/dx12=1>0
所以 x1=s1-1 是极小点， 比较[0，10]两个端点， x1=0时, f1(10) = 200 x1=10时, f1(10) = 40 所以 x1*=0
再由状态方程得
s2=s1-x1*= 10-0=10
1
5
5
g1(x1)=8x12+ f2(s1-3x1)
f1(s1)
1003运筹学复习题动态规划部分
动态规划
一、填空题
1．一个过程的最优策略具有这样的性质，无论其初始状态及其初始决策如何，其以后诸决策对以第一个决策所形成的状态作为初始状态而言，必须构成（ ）。 2．下列规划问题
⎪⎩⎪⎨⎧=≥>==∑∑==),,1(,0)0(,.)
(max 1
1
n i x b b x t s x g z i
n
i i
n
i i i 的动态规划的基本方程为（ ）
3．动态规划研究的是（ ）问题。
4．多阶段决策问题是指（ ）一类活动过程。
5．旅行售货员问题的动态规划问题模型是（ ）。 6．多阶段资源分配问题其递推公式是（ ）。
二、简答题
1． 简述动态规划方法的基本思想。
2． 简要说出给一个实际问题建立动态规划模型要做到的几点。 3． 简要阐述动态规划和静态规划的关系。
4． 最短线路问题我们可将所在位置即顶点v 表示状态，请说出旅行售货员
问题中为什么不能这样做？ 5．对于多阶段资源分配问题，当)(),(y h y g 是很复杂函数时，其解不容易找，请简要说明为什么当)(),(y h y g 为凸函数，且0)0()0(==h g 时我们能求其解。
6．简要阐述策略空间迭代法的基本思想。 三、计算题 1．设某台机床每天可用工时5小时，生产每单位产品A 或B 都需要1小时，其成本分别为4元和3元。已知各种单位产品的售价与该产品的产量具有如下线性关系:
产品A 1112x P -=
产品B 22213x P -=
其中x 1 ,x 2分别为产品AB 的产量.问如果要求机床每天必须工作5小时,产品A 或B 各应生产多少,才能使总的利润最大?
动态规划 运筹学 例题
动态规划运筹学例题
动态规划是运筹学中常用的一种优化技术，它利用规划、三角函数和其他数学技术来解决日常生活中的各种问题，比如最优路线问题、最优资源分配问题、最优出行路线问题等。本文将通过一个例题，来介绍动态规划的基本思想，以及如何利用动态规划来解决问题。
例题一：已知一条路线，由A点到B点，有N个途经的节点，每个节点之间的距离已知。求从A到B的最短路线。
按照动态规划的思想，首先将该问题分解为若干个子问题，并根据子问题的解来解决原问题，这种分解和解决问题的方式称为动态规划。对于上面的问题，可以将其分解为N个子问题，分别是从A到第1个节点、从第1个节点到第2个节点、从第2个节点到第3个节点，以此类推，最后一个子问题是从第N-1个节点到B点的最短路程。
将上面的N个子问题中，从第i个节点到B点的最短路程记为
d[i]，由于从第i个节点到B点可能经过i+1、i+2、……、N-1节点，因此要找到d[i]，只需要找到经过i+1、i+2、……、N-1节点的最
短路程即可，即求
d[i]=Min{d[i+1]+length[i][i+1],d[i+2]+length[i][i+2],…,d[N
-1]+length[i][N-1]}，其中length[i][j]是第i个节点到第j个节点的距离。
以上就是动态规划的解题步骤，它能将原问题分解成若干个子问题，并找到最优解。对于本例来说，通过上述步骤，就可以得到从A 到B的最短路程。
这种分解和求解问题的方法是动态规划，可以用来解决许多类似的问题，如：1）最优路线问题；2）旅行推销员问题；3）硬币找零问题。动态规划的一大特点是，他能很好地将问题分解为多个子问题，并能从子问题的解中求解出最优解。
运筹学第5章：动态规划
5.2.2 资源分配问题
例4 项目选择问题
某工厂预计明年有A,B,C,D四个新建项 目，每个项目的投资额 wk及其投资后的 收益 vk如下表所示。投资总额为30万元， 问如何选择项目才能使总收益最大。
• 上述问题的静态规划模型如下：
max f ( x ) vk xk
k
wk xk 30 k 0 k 项 未 入 选 xk 1 k 项 入 选
x1 , x 2 , x3 i 1
10
3
例3 第一阶段：给第三市场分配
s1 有0~9种可能，第一阶段最优决策表如下：
为什么与例1 的第一阶段的表有差别？
11
例3 第二阶段：给第二市场分配
s2 有0~9种可能，第二阶段最优决策表如下：
12
例3 第三阶段：给第一市场分配
由边界条件 s3=9，第三阶段最优决策表如下：
得第三阶段最优决策表，如下
8 9 1908 1832 1756 1680 1604 s 2 =6 10 1902* 1826* 1750* 1674* 1598* s 2 =7 x 3 * f 3 (s 3 ,x3 *) 10 10 10 10 10 1902 1826 1750 1674 1598
skxkyk为都取实数状态转移方程为sk1skxkyk仍采用反向递推但注意阶段编号是正向的目标函数为仍采用反向递推但注意阶段编号是正向的目标函数为??????4121005
运筹学第五章动态规划1
s3 T2 ( B3 , d2 ( B3 ))
D2 ( B3 ) {B3C1 , B3C2 , B3C3 }
C D f 4 ( D1 ) f3 (C1 ) min 1 1 v3 (C1 , d3 (C1 )) f 4 (s4 ) d (Cmin 3 1 )D3 ( C1 ) C D f ( D ) 1 2 4 2
vk (sk , xk , yk ) qk yk pk xk k 4,3, 2,1 ； (5) 阶段指标： ，
(6) 动态规划基本方程：
max vk ( sk , xk , yk ) f k 1 ( sk 1 ) f k ( sk ) ( xk , y k )Dk ( sk ) k 4,3, 2,1 f5 ( s5 ) 0
5.2.1 动态规划的最优化原理
下面我们先研究一下例5.1这个特殊问题的求解。 最短路线问题有一个重要特性：如图
有
AB1 f 2 ( B1 ) f1 ( A) min AB2 f 2 ( B2 ) min v1 ( A, d1 ( A)) f 2 ( s2 ) d ( A )D1 ( A ) AB f ( B ) 1 2 3 3
求解（要求板书）
辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【 例 5.3】 图 5.3 所 示 为 一 水 利 网 络 ， A 为 水 库 ， B1 , B2 , B3 ; C1 , C2 , C3 ; D1 , D2 分别为不同的供水目的地，试找出给各供水目的地供水 的最短路线。
运筹学简答题
运筹学简答题
1、运用动态规划方法解决多阶段决策问题应采取哪些步骤？
参考答案：1、分阶段，确定阶段变量；
2、选择状态变量。
3、确定决策变量及其之间关系；
4、列出状态转移方程；
5、确定阶段指标函数和指标函数以及他们之间的关系。
2、运用动态规划理论求解的经典问题有哪几类？
参考答案：1、分配问题；
2、装载问题。
3、可靠性问题。
3、（1）谈一谈你在生活中遇到过哪些与运筹学有关的现象。
2）你是如何解决的？（涉及计算的不用书写计算过程，说明原理即可）参考答案：本题是自由发挥题目，只要言之有理即可。
4、1）通过本学期对军事运筹学的研究，你都掌握了哪些知识？
2）在这些知识中，你对哪方面的知识最感兴趣？说明原因（要简单叙述一下该知识点的原理）
参考答案：本题是自由发挥题目，第（1）题，知识点主要有网络规划原理与运用、线性规划模型、动态规划、排队论、矩阵对策、序贯决策技术、遗传算法，写全这几个大标题即可得满分，不用做具体说明，写不全酌情扣分。第（2）题，说明喜欢的原因可以得2分，在写出原因的基础上写出原理可得满分。
5、资源优化过程中一般要考虑如下几项基本原则？
参考谜底：1、任什么时候刻资源需求均不能跨越保证能力
2、绝对包管关键工作的资源需求。
3、优先包管机动时间小的资源需求；
4、优先包管资源需求总量大的工作的资源需求；
5、有限包管不能中断的工作的资源需求。
6、优先保证工作强度大的资源需求
7、优化处理一般从前向后进行。
6、性计划数学模型由几部分构成？分别是什么？
1.确定决策变量---可以不算组成部分；
2.确定目标函数；
运筹学 动态规划-作业及答案
1
第五章 动态规划作业题及答案
1．用动态规划法求解求最短路径
从起点A 到终点E 之间各点的距离如图所示。求A 到E 的最短路径。
B A
C B
D B C D E
C 21
23
12
31
2
5
11214
10610
41312113
96
5810
5
2
2．用动态规划法求解资源分配问题
有资金4万元，投资A 、B 、C 三个项目，每个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。三个项目A 、B 、C 的投资效益（万吨）和投入资金（万元）的关系见下表：
用动态规划法求解对三个项目的最优投资分配，使总投资效益最大。 3．用动态规划法求解生产库存问题
一个工厂生产某种产品，1～7月份生产成本和产品需求量的变化情况如下表：
为了调节生产生产和需求，工厂设有一个产品仓库，库容量H=9。已知期初库存量为2，要求期末（七月低）库存量为0。每个月生产的产品在月末入库，月初根据当月需求发货。求七个月的生产量，能满足各月的需求，并使生产成本最低。 4．用动态规划法求解背包问题
第i 种每件价值c 1=65，c 2=85，c 3=40元; 第i 种物品每件重量为:w 1=2，w 2=3，w 3=1公斤;现有一只可装载重量为5公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入背包，使背包中物品的价值最高。
128503-管理运筹学-习题-06-动态规划
习题
6-1. 考虑下面的网络图，箭头上的数字代表相连两个节点之间的距离。
（1）用动态规划找出从节点1到节点10的最短路。 （2）从节点4到节点10的最短路呢？
6-2. 从北京到上海的包机的剩余装载能力为2000kg ，某一运输公司现有4种货物需要从北京运输到上海。每种货物的单位、单位重量和单位运输费用如下表所示。
（1）用动态规划找出包机应该运输的每种货物的单位数。
（2）假设包机同意装载另一批货物，剩余装载能力降为1800kg ，计算结果会怎样变化？
6-3. 假定有一个3阶段的过程，每一阶段的产量是需要做出决策的函数。使用数学符号，问题表述如下：
Max ()()()332211d r d r d r ++ s.t.
1000321≤++d d d 每个阶段的决策变量和相应的返回值如下所示：
6-4. 某制造公司为一家汽车工厂提供发动机的部件，以下是3个月的生产计划的数据。
量是10单位，并且生产批量是10的倍数（例如，10,20或者30单位）。
6-5. 某物流公司雇佣了8名新员工，现决定如何把他们分配到4项作业上。公司给出了以下每项作业分配不同的作业人员的估计利润表。
(1) 用动态规划决定每项作业应该分配的新员工数目。
(2) 如果公司只雇佣了6名新员工，应该把这些员工分配给哪些作业？
6-6. 一个锯木厂采购了一批20ft 长的原木，想要把这些原木切成更短的原木，然后把切后的小原木卖给制造公司。制造公司已经订购了一批4种尺寸的原木：l 1=3ft ，l 2=7ft ，l 3=11ft ，l 4=16ft 。锯木厂现在有2000个长度为20ft 的原木的库存，并希望有选择地裁截原木以最大化利润。假定锯木厂的订单是无限的，唯一的问题就是确定把现有原木裁成的类型以最大化利润。原木的利润如下表所示：
运筹学动态规划习题
二、某厂有100台机床，能够加工两种零件， 要安排4个月的任务，根据以往经验，用这 些机床加工第一种零件，一个月后损坏率 为1/3；加工第二种零件时，一个月后损坏 率为1/10。又已知机床加工第一种零件时一 个月的受益为10万元，机床加工第二种零 件时一个月的受益为7万元。现安排4个月 的任务，使总收益为最大。
习题三
一、某工厂购进100台机器，准备生产A、B 两种产品。如生产产品A，每台机器每年可 收入45万元，损坏率为65%；若生产产品B， 每台机器每年可收入35万元，损坏率为 35%；估计三年后有新机器出现，旧的机 器将全部淘汰。试问每年应然后安排生产， 使在三年内收入最多？
答案： 第一年将100台机器全部生产产品B，第二年 将余下的机器生产产品B，第三年把所有的 机器生产产品A。三年的总收入为7676.25 万元。
• 首先建立动态规划的模型 • 划分成3个阶段，每个阶段决策一个项目 的投资额，每个阶段决策的投资时可以使 用的资金作为状态变量，利润为阶段的指 标函数。 • 利用基本递推方程从第3阶段开始求解 • 给企业的投资额为 95万元 在城市购买房 地产的投资额为 105万元 • 最大利润为 681万元
三、某公司有资金200万元，打算全部参与三 个方面的投资。（1）参与一个企业投资， 当投资额为X1（万元）时，可得利润为 J1=4X1-2（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ元）；（2）参与一个电视片 制作，当投资额为X2（万元）时，可得利 润为J2=1/16X2-1/5X2-2（万元）；（3）在 城市购买房地产，当投资额为X3（万元） 时，可得利润为J3=3X3-10（万元）。又知 投资额的上限为X1≤95万元；X2≤50万元。 用动态规划法决策使总利润最大？
运筹学5(动态规划)
* 2
（ B2 ）＝ C 3
B2→C3 →D1 →E
1 S1 S2
2 S3
3
S4
4
d ( B3 , C1 ) + f 3 (C1 ) 7+7 f 2 ( B3 ) =min d ( B3 , C 2 ) + f 3 (C 2 ) =min 8 + 5 =13 d ( B3 , C 3 ) + f 3 (C 3 ) 9+5
* 2
（ B1 ）= C2
1
S1 S2
2
S3
3 S4
4
同理有:
d ( B2 , C1 ) + f 3 (C1 ) 8+7 f 2 ( B2 ) =min d ( B2 , C 2 ) + f 3 (C 2 ) =min 7 + 5 =11 d ( B2 , C 3 ) + f 3 (C 3 ) 6+5
7.2.2
动态规划求解的基本步骤
求解动态规划 , 就是分析问题并建立问题的动态规划基本方程。 成功地应用动态规划方法的关键 ;在于识别问题的多阶段特征 , 将问题 分解成可用递推关系式联系起来的若干子问题 , 或者说是要正确地建立具 体问题的基本方程 。而正确地建立关于递推关系基本方程的关键，又 在于正确地选择状态变量 保证各阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。 s k +1 ＝ Tk ( s k , x k ) 。 这是建立动态规划模型的两个要点。
《运筹学教程》胡云权 第五版 第四章 动态规划
f 4 ( D2 ) 3 5 min 8 f 4 ( D3 ) 4 5 d (C4 , D2 ) f 4 ( D2 ) 8 5 f3 (C4 ) min min 9 4 5 d (C4 , D3 ) f 4 ( D3 )
时段1
时段2
S4 {D1 , D2 , D3}
d ( D1 , E1 ) f5 ( E1 ) 3 4 f 4 ( D1 ) min min 7 5 3 d ( D1 , E2 ) f5 ( E2 ) d ( D2 , E1 ) f5 ( E1 ) 6 4 f 4 ( D2 ) min min 5 2 3 d ( D2 , E2 ) f5 ( E2 ) d ( D3 , E1 ) f5 ( E1 ) 1 4 f 4 ( D3 ) min min 5 d ( D3 , E2 ) f5 ( E2 ) 3 3
B3
3
阶段4
动态规划的基本概念和原理
4 A 5 3
B1 4
2
C1 6 1
5 D1 3 4 D2 E
8
B2 7
9
2 5
C2 2 C3
6 4
基本概念 阶段3 阶段1 阶段2 • 状态转移方程 任一阶段的状态，由上一阶段状态和上一阶段决策的结果决定。 若给定第k阶段的状态sk，决策为uk(sk) ，则第k+1阶段的状态 sk+1也就完全确定，它们之间的关系可用式（4.1）表示，称状体 转移方程。Tk为变化算子
运筹学：动态规划、图与网络优化习题与答案
一、判断题
1.动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。（）
正确答案：×
2.对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。（）
正确答案：×
3.在用动态规划解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。（）
正确答案：√
4.动态规划计算中的“维数障碍”主要是由问题中阶段数的急剧增加而引起的。（）
正确答案：×
二、选择题
1.关于图论中图的概念，以下叙述（）正确。
A.图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。
B.图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。
C.图中任意两点之间必有边。
D.图的边数必定等于点数减1。
正确答案：B
2. 关于树的概念，以下叙述（）正确。
A.树中的点数等于边数减1
B.连通无圈的图必定是树
C.含n个点的树是唯一的
D.任一树中，去掉一条边仍为树。
正确答案：B
3. 一个连通图中的最小树（）。
A.是唯一确定的
B.可能不唯一
C.可能不存在
D.一定有多个。
正确答案：B
4.关于最大流量问题，以下叙述（）正确。
A.一个容量网络的最大流是唯一确定的
B.达到最大流的方案是唯一的
C.当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案
D.当最大流方案不唯一时，得到的最大流量应相同。
正确答案：D
5. 图论中的图，以下叙述（）不正确。
A.图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B.图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。
C.图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。
D.图论中的图，可以改变点与点的相互位置。只要不改变点与点的连接关系。
《运筹学》 第五章习题及 答案
《运筹学》第五章习题
1．思考题
（1）试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。（2）动态规划的阶段如何划分？
（3）试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。
（4）试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界函数等概念。
（5）试述建立动态规划模型的基本方法。
（6）试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。
2．判断下列说法是否正确
（1）动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。
（2）动态规划只是用来解决和时间有关的问题。
（3）对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
（4）在用动态规划的解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。
（5）在动态规划模型中，问题的阶段等于问题的子问题的数目。
（6）动态规划计算中的“维数障碍”，主要是由于问题中阶段数的急剧增加
而引起的。
3．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题
4．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题
5．计算从A 到B、C、D 的最短路线。已知各线段的长度如下图所示。
6．设某油田要向一炼油厂用管道供应油料，管道铺设途中要经过八个城镇，各
城镇间的路程如下图所示，选择怎样的路线铺设，才使总路程最短？
7．用动态规划求解下列各题
（1）．2
22211295max x x x x z -+-=；
⎩⎨
⎧≥≤+0,52
121x x x x ；
（2）．
3
3
221max x x x z =
⎩⎨
⎧≥≤++0,,6321
321x x x x x x ；
运筹学例题
DP
1. 下列关于动态规划问题的说法不正确的是（ ）。 A ．应用推理或逆推法可能会得出不同的最优解 B ．状态变量应具有无后效性
C ．动态规划模型中，阶段是按时间或空间划分的
D ．问题的阶段数等于问题中的子问题的数目
2. 用动态规划方法求解多阶段问题时，指标函数应满足（ ）。 A ．定义在全过程和后部子过程上的数量函数 B ．具有可分离性，满足递推关系 C ．严格单调
D ．以上A 、B 、C 都是
3. 下述的（ ）不能设为动态规划中的状态变量。 A ．生产企业某种产品的每月月初库存 B ．某种设备每年年末的可利用量 C ．送货车辆行驶过的路程 D ．送货车辆行驶时的速度
4. 某求极大值的线性规划问题的单纯形表如下：其中d 、1a 、1c 为待定常数。
该线性规划问题无界的时候，满足下面（ ）。 A ．110,00d c a ≥<且 C ．110,00d c a ≥>>且
一、某投资者有总数为40万元的固定资金，他可在三个不同的投资机会中投资（比如，股票、银行、土地），投资额分别为(1,2,3)i x i =。假定他做过预测，知道从每项投资中可获得效益分别为111()g x x =，2
222()g x x =，333()g x x =，问如何分配投资数额才能使从所有投资中获得的总效益最大？ 二、某公司现有资金5千万元，拟对3个分公司增加投资，已知投资所获年效益如下表所示，问公司如何应对分配资金，才能使公司总的年收益最大？（用动态规划方法求解）
三、某农业种植基地有某种肥料共5单位，准备供给三块农田施用，每块农田至少需要一个单位的肥料，肥料必须按整数单位施用。每块农田施肥数量与增产数量关系如下表所示。试求对每块田施多少单位的肥料，才使总的增产量最多。要求：用动态规划方法求解，有必要的求解过程。 四、（包含两个小题）
运筹学第七章动态规划
习题七
7.1 计算如图所示的从 A 到 E 的最短路线及其长度（单位：
km ）：
（ 1） 用逆推解法； 2 用标号法。
3 B 1
4
D 1
4
2
3
C 1
3
A
2
1
1
5
D 21E
B 2
3
3
5 C 2
4 2 3
5
1 B 3 3
D 3
7.2 用动态规划方法求解下列问题
（ 1） max z ＝x 12 x 2
x 33 x 1＋x 2＋x 3 ≤6 x j ≥0 （j ＝1,2,3）
（ 2）min z ＝ 3x 12＋4x 22 ＋ x 32
x x x
9
1 2 3 ≥
x j ≥ 0
（j ＝1,2,3）
7.3 利用动态规划方法证明平均值不等式：
(x 1
x 2
x n )
1
x n ) n
设
i ≥
， ＝ ， ，⋯，
n 。
n
(x 1 x 2
x0
i
1
2
7.4 考虑一个有 m 个产地和 n 个销地的运输问题。设
a i （i ＝1，2，⋯， m ）为 产地 i 可发运的物资数，
b j （j ＝1，2，⋯， n ）为销地 j 所需要的物资数。又从产地
i 到销地 j 发运 x ij 单位物资所需的费用为
h ij （ x ij ），试将此问题建立动态规划的模型。
7.5 某公司在今后三年的每一年的开头将资金投入
A 或
B 项工程， 年末的回收
及其概率如下表所示。每年至多做一项投资，每次只能投入 1000 万元。求出三年
后所拥有的期望金额达到最大的投资方案。
投 资
回 收
概 率 A 0
0.4
2000 0.6 B
1000 0.9
2000
0.1
7.6 某公司有三个工厂，它们都可以考虑改造扩建。每个工厂都有若干种方案可供
选择，各种方案的投资及所能取得的收益如下表所示 (单位：千万元 )。现公司有资 金 5 千万元，问应如何分配投资使公司的总收益最大
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二、某厂有100台机床，能够加工两种零件， 要安排4个月的任务，根据以往经验，用这 些机床加工第一种零件，一个月后损坏率 为1/3；加工第二种零件时，一个月后损坏 率为1/10。又已知机床加工第一种零件时一 个月的受益为10万元，机床加工第二种零 件时一个月的受益为7万元。现安排4个月 的任务，使总收益为最大。
• 答案： • 设每个月为一个阶段，共4个阶段。每个阶 段可投入生产的机床数为状态变量SK，加 工第一种零件的机床数为决策变量UK，加 工第二种零件的机床数为SK-UK，阶段指标 函数为DK=7SK+3UK，SK+1=9/10SK-7/30UK。 用逆序的递推方法求解：前两月全部加工 第二种零件，后两月全部加工第一种零件。 其最大收益为2680
• 首先建立动态规划的模型 • 划分成3个阶段，每个阶段决策一个项目 的投资额，每个阶段决策的投资时可以使 用的资金作为状态变量，利润为阶段的指 标函数。 • 利用基本递推方程从第3阶段开始求解 • 给企业的投资额为 95万元 在城市购买房 地产的投资额为 105万元 • 最大利润为 681万元
三、某公司有资金200万元，打算全部参与三 个方面的投资。（1）参与一个企业投资， 当投资额为X1（万元）时，可得利润为 J1=4X1-2（万元）；（2）参与一个电视片 制作，当投资额为X2（万元）时，可得利 润为J2=1/16X2-1/5X2-2（万元）；（3）在 城市购买房地产，当投资额为X3（万元） 时，可得利润为J3=3X3-10（万元）。又知 投资额的上限为X1≤95万元；X2≤50万元。 用动态规划法决策使总利润最大？
习题三
一、某工厂购进100台机器，Baidu Nhomakorabea备生产A、B 两种产品。如生产产品A，每台机器每年可 收入45万元，损坏率为65%；若生产产品B， 每台机器每年可收入35万元，损坏率为 35%；估计三年后有新机器出现，旧的机 器将全部淘汰。试问每年应然后安排生产， 使在三年内收入最多？
答案： 第一年将100台机器全部生产产品B，第二年 将余下的机器生产产品B，第三年把所有的 机器生产产品A。三年的总收入为7676.25 万元。