高中数学第一章解三角形1.2.2三角形中的几何计算课后作业(含解析)新人教A版必修5

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高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时三角形中的几何计算巩固提升含解析新人教A版必修50621

高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时三角形中的几何计算巩固提升含解析新人教A 版必修50621125[学生用书P85(单独成册)][A 基础达标]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a ＝4，b ＝3，C ＝60°，则△ABC 的面积为( )A ．3 B.3 3 C ．6D ．6 3解析：选B.△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×4×3×32＝3 3.2．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A.12 B.14 C ．1D ．2解析：选A.由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12或sin A ＝－1(舍去)，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.3．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15 C ．2D ．3解析：选A.因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c . 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4，因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.4．已知△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 边的长为( ) A ．5B.6C ．7D ．8解析：选C.由题设a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，所以bc ＝40.a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－120.所以a ＝7.即BC 边的长为7.5．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A. 3 B.2 C ．2 3D ．4解析：选B.因为S ＝12bc sin A ，所以3＝12×2c sin 120°，所以c ＝2，所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，所以2R ＝a sin A ＝2332＝4，所以R ＝2.6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：因为cos C ＝13，0<C <π，所以sin C ＝223，所以S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3. 答案：4 37．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：由2B ＝A ＋C ，及A ＋B ＋C ＝π知，B ＝π3.在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝BC2＝2，所以AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.因此AD ＝ 3. 答案： 38．在△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________．解析：设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝103k 2＝103，所以k＝1，AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以BC ＝7，所以△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝20.答案：209．在△ABC 中，已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △ABC . 解：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋22－2×33×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝49，所以b ＝7.S △ABC ＝12ac sin B ＝12×33×2×12＝332.10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝π6时，求a 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求a ＋c 的值．解：(1)因为cos B ＝45>0，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得asinπ6＝103，解得a ＝53. (2)由△ABC 的面积S ＝12ac sin B ，得12ac ×35＝3，得ac ＝10.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20，所以(a ＋c )2－2ac ＝20，即(a ＋c )2＝40，所以a ＋c ＝210.[B能力提升]11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝2，C ＝π3，且a ＋b ＝3，则△ABC 的面积为( )A.13312 B.534C.512D ．5312解析：选D.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以22＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即4＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝3，所以ab ＝53，所以S △ABC ＝12ab sin π3＝5312，故选D.12．(2019·株洲二中期末)如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ＝32BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值是________．解析：设AB ＝x ，则AD ＝x ，BD ＝233x ，BC ＝433x .在△ABD 中，由余弦定理，得cos A＝x 2＋x 2－43x 22x2＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理，得x sin C ＝BC sin A ＝433x 223，解得sin C ＝66. 答案：6613.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠CAD ＝π4，AC ＝72，cos ∠ADB ＝－210.(1)求sin C 的值；(2)若BD ＝5，求△ABD 的面积．解：(1)因为 cos ∠ADB ＝－210，所以sin ∠ADB ＝7210，又因为∠CAD ＝π4，所以∠C ＝∠ADB －π4，所以 sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠ADB －π4 ＝sin ∠ADB ·cos π4－cos ∠ADB ·sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)在△ACD 中，由AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，得AD ＝AC ·sin C sin ∠ADC ＝72×457210＝2 2.所以S △ABD ＝12AD ·BD ·sin ∠ADB＝12×22×5×7210＝7. 14．(选做题)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解：(1)由题意可知12ab sin C ＝34×2ab cos C .所以tan C ＝3，因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<A <2π3. 当A ＝π3，即△ABC 为等边三角形时取等号．所以sin A ＋sin B 的最大值为 3.。

学年高中数学第章解三角形..三角形中的几何计算课时作业含解析新人教A版必修

即6＝b2＋c2－ bc，①
由b2－bc－2c2＝0得b＝2c或b＝－c(舍去)，
代入①得c＝2.
∴b＝4，sinA＝＝ .
S△ABC＝ bcsinA＝ ×4×2× ＝ .
答案：
13．a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋ asinC－b－c＝0.
(1)求A的大小．
(2)假设a＝7，求△ABC的周长的取值范围．
解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，
∵4· bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.
答案：45°
三、解答题(每题10分，共20分)
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解析：(1)因为cosB＝ >0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝ .
由正弦定理＝可得＝，
所以a＝ .
(2)因为△ABC的面积S＝ ac·sinB，
sinB＝，所以 ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
即4＝a2＋c2－ ac＝a2＋c2－16，
cos60°＝，解得x＝2.
两边长是16与10，
三角形的面积是 ×16×10×sin60°＝40 .
答案：A
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.假设c2＝(a－b)2＋6，C＝，那么△ABC的面积是()
A．3 B.
C. D．3
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，

2021学年高中数学第一章解三角形1.2.3三角形中的几何计算课时作业含解析新人教A版必修5

课时作业6 三角形中的几何计算时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在△ABC 中，A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2，BC ＝23，则△ABC 的面积为( A ) A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．6解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3sin A ＋cos A ＝1，sin 2A ＋cos 2A ＝1，得⎩⎨⎧sin A ＝32，cos A ＝－12.∴A ＝120°.由正弦定理，得2sin C ＝23sin A ，∴sin C ＝12.∴C ＝30°，∴B ＝30°，∴S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2×23×sin30°＝ 3.2．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( A ) A. 3 B ．3 C.7 D ．7解析：∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3，即BC ＝ 3.3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积S 为( D ) A.32 B.34 C.32或33D.32或34解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin B b ＝3sin30°1＝32，所以A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝90°，S ＝ab 2＝3×12＝32；当A ＝120°时，C ＝30°，S ＝12ab sin C ＝12×3×1×sin30°＝34. 4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( A )A ．1＋ 3 B.1＋32C.2＋32D ．2＋ 3解析：由12ac sin30°＝32，得ac ＝6，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos30°＝(a ＋c )2－2ac－3ac ＝4b 2－12－63，得b ＝3＋1.5．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( B ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394解析：如图，在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3＝0. 解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3sin60°＝332. 6．如图，在四边形ABCD 中，已知B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( B )A. 3 B ．5 3 C ．6 3D ．7 3解析：连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝22＋22－2×2×2·cos120°＝12，即BD ＝2 3. 因为BC ＝CD ，所以∠CBD ＝30°，所以∠ABD ＝90°，即△ABD 为直角三角形．故S 四边形ABCD ＝S △BCD ＋S △ABD ＝12×2×2×sin120°＋12×4×23＝5 3.二、填空题7．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝12.解析：由三角形的面积公式S ＝12AB ·BC sin π3＝32易求得AB ＝1，由余弦定理得AC ＝3，再由三角形的面积公式S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.8．等腰三角形底边长为a ，腰长为2a ，则腰上的中线长等于62a . 解析：如图，AB ＝AC ＝2a ，BC ＝a ，设BC 中点为D ，连接AD ，则AD ⊥BC . 在Rt △ABD 中，cos B ＝BD BA ＝12a 2a ＝14.设AB 中点为点E ，连接CE ，则在△BEC 中，BE ＝BC ＝a ，由余弦定理CE 2＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE ·cos B ＝a 2＋a 2－2a 2·14＝2a 2－12a 2＝32a 2.所以CE ＝62a . 9．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为16.解析：因为AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16.三、解答题10．已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2b sin C ＝3c . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c 的值．解：(1)因为2b sin C ＝3c ，所以根据正弦定理得2sin B sin C ＝3sin C ，所以sin B ＝32，又因为B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以B ＝60°. (2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，12ac sin B ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋c 2－ac ＝4，ac ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝2.11．在△ABC 中，若角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证： cos2A a 2－cos2B b 2＝1a 2－1b 2. 证明：左边＝cos2A a 2－cos2B b 2＝1－2sin 2A a 2－1－2sin 2Bb 2＝1a 2－2sin 2A a 2－1b 2＋2sin 2B b2＝1a 2－1b 2－2sin 2A 4R 2sin 2A ＋2sin 2B 4R 2sin 2B ＝1a 2－1b2＝右边，所以等式成立． ——能力提升类——12．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的长等于( C ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：如图，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20， ①12bc sin60°＝103， ②a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°， ③由②得bc ＝40.由③得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40，所以a ＝7.故选C.13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边．若△ABC 的面积为a 24，A ＝15°，则b c ＋cb的值为( D ) A. 2 B ．2 6 C ．2 2D. 6解析：△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝a 24，所以2bc ＝a 2sin A.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 22bc －a 22bc ＝b 2＋c 22bc －a 2a 2sin A＝b 2＋c 22bc－sin A ，所以b c ＋c b ＝b 2＋c 2bc＝2(sin A ＋cos A )＝22sin(A ＋45°)＝22sin60°＝ 6.故选D.14．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝60°.解析：设BD ＝a ，则DC ＝2a ，由已知条件有S △ADC ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝12×2×2a sin60°＝3a ＝3－3，解得a ＝3－1，由余弦定理分别得到AB 2＝6，AC 2＝24－123，再由余弦定理得cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小； (2)求sin A ＋sin B 的最大值．解：(1)由题意可知12ab sin C ＝34×2ab cos C .所以tan C ＝3，因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3⎝⎛⎭⎫0<A <2π3. 当A ＝π3，即△ABC 为等边三角形时取等号．所以sin A ＋sin B 的最大值为 3.。

(新课标)高中数学第1章解三角形 1.2 应用举例第2课时高度、角度问题课时作业新人教A版

角度问题课时作业新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2017春高中数学第1章解三角形1.2 应用举例第2课时高度、角度问题课时作业新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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问题课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长导学号 54742144( A )A．1002m B．100错误!mC．50(错误!＋错误!）m D．200m[解析］如图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25（错误!＋错误!)，CD＝100cos75°＝25(6－错误!），BD＝错误!＝错误!＝25(3错误!＋错误!)．∴BC＝BD－CD＝25(3错误!＋错误!）－25(错误!－错误!）＝100错误!（m）．2．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m,则电视塔的高度为错误! ( D ）A．102m B．20mC．203m D．40m［解析]设AB＝x m，则BC＝x m，BD＝3x m，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos120°,∴x2－20x－800＝0,∴x＝40(m)．3．若甲船在B岛的正南方A处,AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行,同时,乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是错误!（ A )A．错误!min B．错误!hC．21.5min D．2.15h[解析］当时间t<2。

高中数学第一章解三角形1.2第3课时三角形中的几何计算课时跟踪训练含解析新人教A版必修

学习资料第3课时三角形中的几何计算[A组学业达标]1．在△ABC中，若a＝7,b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.错误!C．28 D．6错误!解析：cos A＝错误!＝错误!＝错误!，A＝60°，S△ABC＝错误!bc sin A＝6错误!.答案:D2．在△ABC中，已知a＝3错误!，cos C＝错误!，S△ABC＝4错误!,则b＝（）A。

错误!B．2错误!C．4错误!D．3错误!解析:因为cos C＝错误!＞0，且0＜C＜π，所以sin C＝错误!＝错误!.因为S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!×3错误!×b×错误!＝4错误!，所以b＝2错误!。

答案：B3．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a,b,c，若S△ABC＝错误!，则角A的大小为(）A。

错误!B．错误!C。

错误! D.错误!解析:因为S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!(b2＋c2－a2），所以sin A＝错误!＝cos A，所以A＝错误!。

答案:B4．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．40错误!B．20错误!C．40错误!D．20错误!解析：设另两边长为8x,5x，则cos 60°＝错误!,解得x＝2,所以另两边长分别为16和10，所以S＝错误!×16×10×sin 60°＝40错误!。

答案：A5．在△ABC中,AB＝2，AC＝3,错误!·错误!＝1，则BC＝（)A.错误!B．错误!C．2错误!D。

错误!解析：由错误!·错误!＝1得2｜错误!｜cos(π－B)＝1，所以cos B＝－错误!。

由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B,即9＝4＋BC2－4BC cos B，5＝BC2＋4BC·错误!，BC2＝3，所以BC＝错误!。

人教版2019版高中数学第一章解三角形1.2.3三角形中的几何计算练习新人教A版必修5

第3课时三角形中的几何计算课后篇巩固探究A组1.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于()A. B.± C.- D.±S=AB·BC·sin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,从而cos∠ABC=±. 2某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要()A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元S=×20×30sin 150°=150(m2),则购买草皮的费用为150元.3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于()A.1+B.C.D.2+ac sin 30°=,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,得b=+1.4.在△ABC中,若AC=BC,C=,S△ABC=sin2A,则S△ABC=()A. B. C. D.2AB2=BC2+3BC2-2×BC×BC×=BC2,所以A=C=,所以S△ABC=sin2A=,故选A.5.若△ABC的周长等于20,面积是10,B=60°,则边AC的长是()A.5B.6C.7D.8△ABC中,设A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,由题意,得解得b=7,故边AC的长为7.6.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且面积S=,则角C=.ABC中,S△ABC=,而S△ABC=ab sin C,∴ab sin C.由余弦定理,得c2=a2+b2-2ab cos C,∴cos C=sin C,∴C=45°.7已知三角形的面积为,其外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积等于.R,则由πR2=π,得R=1.由S=ab sin C=,故abc=1.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c.cos B=,cos A=,代入等式右边,得右边=c==左边,故原式得证.9.如图,在△ABC中,BC=5,AC=4,cos∠CAD=,且AD=BD,求△ABC的面积.CD=x,则AD=BD=5-x.在△CAD中,由余弦定理,得cos∠CAD=,解得x=1.∴CD=1,AD=BD=4.在△CAD中,由正弦定理,得,则sin C==4.∴S△ABC=AC·BC·sin C=×4×5×,故△ABC的面积为.10.导学号04994016若△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积S的最大值.2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-(a2+b2-c2).由余弦定理,得a2+b2-c2=2ab cos C,∴c2-(a-b)2=2ab(1-cos C),即S=2ab(1-cos C).∵S=ab sin C,∴sin C=4(1-cos C).又sin2C+cos2C=1,∴17cos2C-32cos C+15=0,解得cos C=或cos C=1(舍去).∴sin C=,∴S=ab sin C=a(2-a)=-( a-1)2+.∵a+b=2,∴0<a<2,∴当a=1,b=1时,S max=.B组1.在钝角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,c=5,sin C=,则△ABC的面积等于()A.10B.C.D.钝角三角形ABC中,∵a=7,c=5,sin C=,∴A>C,C为锐角,且cos C=.由c2=a2+b2-2ab cos C,得b2-11b+24=0,解得b=3或b=8.当b=8时,角B 是钝角,cos B=>0,∴b=8舍去.同理验证可知b=3符合条件.∴S△ABC=ab sin C=×7×3×.2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3a cos C=4c sin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为()A. B. C. D.3a cos C=4c sin A,得.又由正弦定理,得,∴tan C=,∴sin C=.又S=bc sin A=10,b=4,∴c sin A=5.根据正弦定理,得a=,故选B.3.在△ABC中,ab=60,S△ABC=15,△ABC的外接圆半径为,则边c的长为.S△ABC=ab sin C=15,ab=60,∴sin C=.由正弦定理,得=2R,则c=2R sin C=3.4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.S△ABC=bc sin A=bc bc×=3,∴bc=24.又b-c=2,∴a2=b2+c2-2bc cos A=(b-c)2+2bc-2bc×=4+2×24+×24=64.∵a为△ABC的边,∴a=8.5.在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-,则∠BAC=.图,由S△ADC=3-和S△ADC=AD·DC sin 60°,得3-×2×DC×,解得DC=2(-1),则BD=DC=-1.在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·AD cos 120°=(-1)2+4-2(-1)×2×=6,∴AB=.在△ADC中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC cos 60°=22+[2(-1)]2-2×2×2(-1)×=24-12, ∴AC=-1).在△ABC中,cos∠BAC=,∴∠BAC=60°.6.导学号04994017如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.BD,则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CDB=AB·AD sin A+BC·CD sin C.180°,∴sin A=sin C,∴S= (AB·AD+BC·CD)sin A= (2×4+6×4)sin A=16sin A.在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos A=22+42-2×2×4cos A=20-16cos A.在△CDB中,由余弦定理,得BD2=CB2+CD2-2CB·CD cos C=62+42-2×6×4cos C=52-48cos C.∴20-16cos A=52-48cos C.∵cos C=-cos A,∴64cos A=-32,∴cos A=-.又A∈(0°,180°),∴A=120°,∴S=16sin 120°=8.7.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)·sin B,求△ABC面积的最大值.,得a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理,得cos C=.∵C∈(0,π),∴C=.∴S=ab sin C=×2R sin A·2R sin B·=R2sin A sin B=R2sin A=R2(sin A cos A+sin2A)=R2=R2.∵A∈.∴2A-,∴sin,∴S∈, ∴△ABC面积的最大值为R2.。

高中数学第一章解三角形1.2应用举例第一课时正、余弦定理在实际中的应用课时作业新人教A版必修5

高中数学第一章解三角形1.2应用举例第一课时正、余弦定理在实际中的应用课时作业新人教A版必修5[选题明细表]知识点、方法题号测量距离问题1,2,3,5,6,10测量高度问题7,8测量角度问题4,9基础巩固1.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为( A )(A) n mile/h (B)34 n mile/h(C) n mile/h (D)34 n mlie/h解析:如图所示,在△PMN中,=,所以MN==34,所以v== n mile/h.故选A.2.我舰在敌岛A处南偏西50°的B处,且A,B距离为12海里,发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行,若我舰要用2小时追上敌舰,则速度大小为( B ) (A)28海里/小时(B)14海里/小时(C)14海里/小时(D)20海里/小时解析:如图,设我舰在C处追上敌舰,速度为v,在△ABC中,AC=10×2=20(海里),AB=12海里,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=784,所以BC=28海里,所以v=14海里/小时.故选B.3.(2019·郑州高二期末)一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶 4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔距离为km.解析:如图,由题意,∠BAC=30°,∠ACB=105°,所以B=45°,由正弦定理得=,所以BC=30 km.答案:304.(2019·济南高二期末)在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20 km/h,水的流向是正东,流速是20 km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东,大小为km/h.解析:如图,∠AOB=60°,∠COY=30°+30°=60°.由余弦定理知OC2=202+202-800cos 120°=1 200,故OC=20.答案:60°205.如图,货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155°的方向航行.为了确定船的位置,在B点处观测到灯塔A的方位角为125°.半小时后,货轮到达C处,观测到灯塔A的方位角为80°.求此时货轮与灯塔之间的距离.(得数保留最简根号)解:∠ABC=155°-125°=30°,∠ACB=80°+(180°-155°)=105°.所以∠A=180°-30°-105°=45°,在△ABC中,由正弦定理可得=,所以=,解得AC=.所以此时货轮与灯塔之间的距离为海里.能力提升6.(2019·西安高二期末)如图,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD是60 m,则河流的宽度BC是( C )(A)240(-1)m (B)180(-1)m(C)120(-1)m (D)30(+1)m解析:由题意知,在Rt△ADC中,C=30°,AD=60 m,所以AC=120 m.在△ABC中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,得BC===120(-1)(m).故选C.7.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°, 30°,在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距500 m,则电视塔AB的高度是( D )(A)100 m (B)400 m(C)200 m (D)500 m解析:设AB=x,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,所以BC=AB=x.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,所以BD=x.在△BCD中,∠BCD=120°,CD=500 m,由余弦定理得(x)2=x2+5002-2×500xcos 120°,解得x=500 m.故选D.8. (2019·海南海口中学月考)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D.现测得∠BCD=α,∠BDC =β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB为.解析:在△BCD中,∠CBD=π-(α+β).由正弦定理=,得BC==.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=.答案:9.如图,某军舰艇位于岛屿A的正西方C处,且与岛屿A相距120海里.经过侦察发现,国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜,同时,该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.(1)求该军舰艇的速度;(2)求sin α的值.解:(1)依题意知,∠CAB=120°,AB=100×2=200,AC=120,∠ACB=α,在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=2002 +1202-2×200×120cos 120°=78 400,解得BC=280.所以该军舰艇的速度为=140海里/小时.(2)在△ABC中,由正弦定理,得=,即sin α===.探究创新10.甲船在岛A的正南B处,以每小时4千米的速度向正北航行,AB=10千米,同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为( A )(A)分钟(B)分钟(C)21.5分钟(D)2.15小时解析:如图,设t小时后甲行驶到D处,则AD=10-4t,乙行驶到C处,则AC=6t.又∠BAC=120°,所以DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos 120°=(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos120°=28t2-20t+100= 28(t-)2+.当t=时,DC2最小,即DC最小,此时它们所航行的时间为×60=分钟.故选A.。

高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理课后作业(含解析)新人教A版必修5

1.1.2 余弦定理1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,且c=2a,则cos B等于( )A. B. C. D.解析:因为b2=ac,且c=2a,由余弦定理得cos B=.答案:B2.在△ABC中,若a=7,b=8,cos C=,则最大角的余弦值是( )A.-B.-C.-D.-解析:因为c2=a2+b2-2ab cos C=9,所以c=3.根据三边的长度知角B为最大角,故cos B==-.所以cos B=-.答案:C3.在△ABC中,已知sin A=2cos B sin C,则△ABC是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.不确定解析:(方法一)由正弦定理可得a=2c cos B.由余弦定理得a=2c·,化简得b=c.∴△ABC是等腰三角形.(方法二)sin A=2cos B sin C⇒sin(B+C)=2cos B sin C⇒sin B cos C+cos B sin C=2cos B sin C⇒sin B cos C-cos B sin C=0⇒s in(B-C)=0.可知-π<B-C<π,∴B-C=0.∴B=C.故△ABC为等腰三角形.答案:B4.在△ABC中,已知A=30°,且3a=b=12,则c的值为( )A.4B.8C.4或8D.无解解析:由3a=b=12,得a=4,b=4,利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A,即16=48+c2-12c,解得c=4或c=8.答案:C5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B为( )A.B.C.D.解析:∵(a2+c2-b2)tan B=ac,∴tan B=,即cos B tan B=,∴sin B=,B=.答案:D6.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则C的大小为.解析:∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q,∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理,得cos C=,∵0<C<π,∴C=.答案:7.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则=.解析:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,即49=b2+25+5b,解得b=3或b=-8(舍去),所以.答案:8.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,则△ABC的形状是.解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B.因为B=60°,2b=a+c,所以=a2+c2-2ac cos60°.整理上式可得(a-c)2=0,所以a=c.又2b=a+c,所以b=a=c.因此,△ABC为正三角形.答案:正三角形9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin A=a cos B.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解:(1)由b sin A=a cos B及正弦定理,得sin B=cos B,所以tan B=,所以B=.(2)由sin C=2sin A及,得c=2a.①由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得9=a2+c2-ac.②所以由①②得,a=,c=2.10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.解:由正弦定理得=2cos A,∴.又a+c=10,∴a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得,∴b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B.又C=2A,且A+B+C=π,∴A=,与已知cos A=矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,∴b=5.。

高中数学第一章解三角形1.2.2高度角度问题课时作业含解析新人教A版必修5

课时作业5 高度、角度问题时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．某次测量中，若A在B的北偏东55°方向上，则B在A的(D)A．北偏西35°方向上B．北偏东55°方向上C．南偏西35°方向上D．南偏西55°方向上解析：根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°，所以B 在A的南偏西55°方向上．2.如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A，B两点(点A，B与树根部在同一直线上)，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(A)A．(30＋303)m B．(30＋153)mC．(15＋303)m D．(15＋33)m解析：设树高为h，则由题意得3h－h＝60，∴h＝603－1＝30(3＋1)＝(303＋30)(m)．3．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2 3 m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别为(B)A.33，60° B.3，60°C.3，30°D.33，30° 解析：如图所示，横断面是等腰梯形ABCD ，AB ＝10 m ，CD ＝6 m ，高DE ＝2 3 m ，则AE ＝AB －CD2＝2 m ，∴tan ∠DAE ＝DE AE ＝232＝3，∴∠DAE ＝60°.4.如图，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿( )方向行驶( )海里至海岛C ( B )A ．北偏东60° 10 2B ．北偏东40° 10 3C ．北偏东30° 10 3D ．北偏东20° 10 2解析：由已知得在△ABC 中∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×10×(－12)＝300，所以AC ＝10 3.5．如图，为了测量河对岸的塔高AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D ，测得CD ＝200 m ，在点C 和点D 测得塔顶A 的仰角分别是45°和30°，且∠CBD ＝30°，则塔高AB 为( A )A ．200 mB ．100 3 mC ．200 3 mD ．300 m解析：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，设AB ＝h ，则BC ＝h .在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2·BC ·BD ·cos ∠CBD ，即2002＝h 2＋(3h )2－2·h ·3h ·32，解得h ＝200(h ＝－200舍去)，即塔高AB ＝200 m.6．一艘客船上午9：30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距82海里，则灯塔S 在B 处的( C )A ．北偏东75°B ．东偏南75°C ．北偏东75°或东偏南75°D ．以上方位都不对解析：根据题意画出示意图，如图，由题意可知AB ＝32×12＝16，BS ＝82，A ＝30°.在△ABS 中，由正弦定理得AB sin S ＝BS sin A， sin S ＝AB sin A BS ＝16sin30°82＝22.∴S ＝45°或135°，∴B ＝105°或15°，即灯塔S 在B 处的北偏东75°或东偏南75°. 二、填空题7．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进103米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是15米．解析：作出示意图如图所示，由题意知∠ABC＝θ，∠ACD＝2θ，∠ADE＝4θ，AC＝BC＝30米，AD＝CD＝103米．在△ACD中，cos2θ＝12ACCD＝15103＝32，所以sin2θ＝12.在Rt△ACE中，AE＝AC sin2θ＝30×12＝15(米)．8．若某人从A处出发，沿北偏东60°方向行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km 到C处，则A，C两地之间的距离为7 km.解析：画出草图，如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos150°＝49，所以AC＝7，所以A，C两地之间的距离为7 km.9．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是32km.解析：如图，由条件知，AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°， ∴∠ASB ＝45°.由正弦定理，得BS sin30°＝AB sin45°，∴BS ＝6sin30°sin45°＝3 2.三、解答题10．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解：设B 为塔正东方向一点，AE 为塔，沿南偏西60°行走40 m 后到达C 处，即BC ＝40，且∠CAB ＝135°，∠ABC ＝30°. 如图在△ABC 中，ACsin ∠ABC ＝BC sin ∠CAB ，即AC sin30°＝40sin135°.∴AC ＝20 2.由点A 向BC 作垂线AG ，此时仰角∠AGE 最大等于30°. 在△ABC 中，∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°， AG ＝AC sin15°＝202sin15°＝10(3－1)．∴AE ＝AG ·tan30°＝10(3－3)3.即塔高为10(3－3)3m.11．某单位有A ，B ，C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ．假定A ，B ，C ，O 四点在同一平面内．(1)求∠BAC 的大小； (2)求点O 到直线BC 的距离．解：(1)在△ABC 中，因为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ，所以由余弦定理得 cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝802＋502－7022×80×50＝12.因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝π3.(2)设△ABC 外接圆的半径为R ，由(1)知A ＝π3，所以sin A ＝32，由正弦定理得2R ＝BC sin A ＝7032＝14033，即R ＝7033. 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，在Rt △OBD 中，OB ＝R ＝7033，BD ＝BC2＝35，所以OD ＝OB 2－BD 2＝⎝⎛⎭⎫70332－352＝3533，所以点O 到直线BC 的距离为3533m.——能力提升类——12．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( D )A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m解析：设建筑物的高度为h m ，由题图知，P A ＝2h m ，PB ＝2h m ，PC ＝233h m ，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝602＋2h2－4h22×60×2h，①cos∠PBC＝602＋2h2－43h22×60×2h.②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.13.如下图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(C)A．240(3－1) m B．180(2－1) mC．120(3－1) m D．30(3＋1) m解析：由题意可知，AC＝60sin30°＝120.因为∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24.在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，所以BC＝120×222＋64＝24022＋6＝120(3－1)．14．一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝1063.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB 中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB ＝60°.由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10sin45°sin60°＝1063(cm)．15．在海岛A 上有一座海拔1 km 的山峰，山顶设有一个观察站P .有一艘船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°，俯角为30°的B 处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°且俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度；(2)求船从B 到C 的行驶过程中与观察站P 的最短距离．解：(1)如图，在Rt △P AB 中，∠PBA ＝30°， ∴AB ＝1tan30°＝3(km)．同理，在Rt △PCA 中，AC ＝1tan60°＝33(km)．在△ACB 中，∠CAB ＝15°＋45°＝60°， ∴由余弦定理得BC ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫332－2×3×33cos60°＝213(km)，∴213÷16＝221 (km/h)， ∴船的航行速度为221 km/h.(2)作AD ⊥BC 于点D ，连接PD .当船行驶到D 时，离A 点距离最小，从而离P 点距离最小．此时，cos ∠CBA ＝CB 2＋AB 2－CA 22CB ·AB＝⎝⎛⎭⎫2132＋(3)2－⎝⎛⎭⎫3322×213×3＝5714，∴sin ∠CBA ＝2114，即AD AB ＝2114，∴AD ＝3714(km)． ∴PD ＝1＋⎝⎛⎭⎫37142＝25914 (km)．即船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为25914km.。

高中数学第一章解三角形 1.2 解三角形的实际应用举例—距离问题同步测试(含解析)新人教A版必修

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《解三角形的实际应用举例—距离问题》同步测试一、课前练习：1、为测一河两岸相对两电线杆BA,间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB）测得∠=50°，则BACBA,间的距离应为（）A．15︒tan米D．15︒50cot米5050cos米 C．15︒sin米 B．15︒502、已知有长为100米的斜坡AB，它的坡角是45°，现把它改成坡角是30°的斜坡AD，则DB的长是__________米。

3、如图，某船向东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离（结果不取近似值）二、课堂练习：1.一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．214海里 C．7海里D．14海里7海里B．22．我舰在敌岛A南50°西相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰,则需要速度的大小为3. 隔河可看到两目标BC,两点，并测得A,，但不能到达，在岸边选取相距3km的D∠30ADC,︒=ADB，（D∠45=∠45=BCD，︒∠75︒ACB，︒=,,在BCA,同一平面内)，求两目标BA,之间的距离。

2020_2021学年高中数学第一章解三角形1.2.3三角形中的几何计算同步作业含解析新人教A版必修

三角形中的几何计算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在△ABC中,已知2cosB=错误!未找到引用源。

,则此三角形的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.不能确定【解析】选B.由余弦定理的推论可得:2cosB=2×错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

, 整理可得:c2-b2=0,即b=c,则△ABC为等腰三角形.2.等腰三角形一腰上的高是错误!未找到引用源。

,这条高与底边的夹角为60°,则底边长等于( ) A.2B.错误!未找到引用源。

C.3D.2错误!未找到引用源。

【解析】选D.如图所示,BD=错误!未找到引用源。

,∠DBC=60°,则∠DCB=30°.在直角△BCD中,根据正弦定理可得BC=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

.3.(2019·某某高一检测)在△ABC中,a2+b2-ab=c2=2错误!未找到引用源。

S△ABC,则△ABC一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cosC=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,又0<C<π,所以C=错误!未找到引用源。

,因为c2=2错误!未找到引用源。

S△ABC=2错误!未找到引用源。

absinC=错误!未找到引用源。

ab,又错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=2R,所以sin2C=错误!未找到引用源。

sinAsinB⇒sinAsinB=错误!未找到引用源。

,又A+B=错误!未找到引用源。

,所以sinAsinB=sinAsin(错误!未找到引用源。

-A)=sinA错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,所以sin(2A-错误!未找到引用源。

)=错误!未找到引用源。

,因为0<A<错误!未找到引用源。

高中数学第一章解三角形 1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算学业分层测评新人教A版

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1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算(建议用时：45分钟）[学业达标]一、选择题1．已知方程x2sin A＋2x sin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a,b，c的关系满足( ）A．b＝ac B．b2＝acC．a＝b＝c D．c＝ab【解析】由方程有重根,∴Δ＝4sin2B－4sin A sin C＝0，即sin2B＝sin A sin C，∴b2＝ac.【答案】B2．在△ABC中，A＝60°，b＝1,S△ABC＝错误!，则角A的对边的长为( ）A。

错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!【解析】∵S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!×1×c×sin 60°＝错误!，∴c＝4。

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×错误!＝13，∴a＝13。

【答案】D3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2,则此三角形的外接圆的半径R＝( )A。

高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题练习(含解析)新人教A版必修5(最新整理)

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第一章解三角形1。

2 应用举例第1课时距离问题A级基础巩固一、选择题1．有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为（）A．1 B．2sin 10°C．2cos 10°D．cos 20°解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．答案：C2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5错误! m，起吊的货物与岸的距离AD为( ）A．30 m B.错误!错误! mC．15 3 m D．45 m解析：在△ABC中，cos ∠ABC＝错误!＝错误!，∠ABC∈（0°，180°），所以sin∠ABC＝错误!＝错误!,所以在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABC＝519×错误!＝错误!错误! (m)．答案：B3．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( ）A．6 km B．3 3 km C．3 2 km D．3 km解析：由题意知，AB＝24×错误!＝6 （km），∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°。

高中数学第一章解三角形1.2应用举例第3课时几何计算问题优化练习新人教A版必修5

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————第3课时几何计算问题[课时作业] [A 组基础巩固]1．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则asin A 等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 3解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝3可知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8cos60°＝13，所以a ＝13.所以a sin A ＝13sin 60°＝2393.答案：A2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( ) A.62 B ．1 C.32D.22解析：由正弦定理得6sin 120°＝2sin C ，∴sin C ＝12，∴C ＝30°或150°(舍去)． ∵B ＝120°，∴A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×2×sin 30°＝32.答案：C3．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角A的大小为( )A.π6B.π4 C.3π4D.5π6解析：∵S ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4.答案：B4．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，3a ＝2c sin A ，c ＝7，且a ＋b ＝5，则△ABC 的面积为( ) A.332B.92C.532D.72解析：由3a ＝2c sin A 及正弦定理得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C ，∵sin A ≠0，∴sin C ＝32，故在锐角△ABC 中，C ＝π3. 再由a ＋b ＝5及余弦定理可得7＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，解得ab ＝6，故△ABC 的面积为12ab ·sin C ＝332.答案：A5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，若△ABC 的面积S ＝10，b ＝4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263D.283解析：由3a cos C ＝4c sin A ，得asin A ＝4c 3cos C .又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得csin C＝4c 3cos C ，∴tan C ＝34，∴sin C ＝35.又S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，∴c sin A ＝5.根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253，故选B.答案：B6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝2，△ABC 的面积为2，则sin A ＝________.解析：∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴sin A ＝2S △ABC bc ＝223×2＝23.答案：237．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝32AC ＝3，∴AC ＝2，∴△ABC为等边三角形，∴AB ＝2. 答案：28．锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则AB ＝________. 解析：由三角形面积公式得12×3×4·sin C ＝33，sin C ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°.根据余弦定理AB 2＝16＋9－2×4×3×12＝13.AB ＝13.答案：139．已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．解析：由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32. ∵AB >AC ，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝ 3.故△ABC 的面积为23或 3.10．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，求边BC 上的中线AD 的长．解析：∵2B ＝A ＋C ，∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60°，∵BC ＝4，D 为BC 中点，∴BD ＝2，在△ABD 中，由余弦定理知：AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝12＋22－2×1×2·cos 60° ＝3， ∴AD ＝ 3.[B 组能力提升]1．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3D ．7 3解析：连接BD (图略)，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°2＝30°，∴∠ABD＝90°.在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝23，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋12×2×2×sin 120°＝5 3.答案：B2．已知△ABC 中，a 比b 大2，b 比c 大2，且最大角的正弦值为32，则△ABC 的面积为( ) A.1534B.154C.2134D.932解析：由题目条件，知a ＝c ＋4，b ＝c ＋2，故角A 为△ABC 中的最大角，即sin A ＝32，解得A ＝60°(舍去)或A ＝120°.由余弦定理，得cos A ＝cos 120°＝c 2＋c ＋2－c ＋22c c ＋＝－12，解得c ＝3，所以b ＝5，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝1534.答案：A3．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24，解方程组{ b －c ＝bc ＝24得b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，所以a ＝8.答案：84．在△ABC 中，若a ＝2，B ＝60°，b ＝7，则BC 边上的高等于________．解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即7＝4＋c 2－2×2c ×12，整理得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3.所以BC 边上的高为c sin B ＝3×sin 60°＝332.答案：3325．(2016·高考全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cosB ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解析：(1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C ，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，所以a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为5＋7.6．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解析：如图，连接BD ，则四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°， ∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△BCD 中，由余弦定理，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝62＋42－2×6×4cos C ＝52－48cos C . ∴20－16cos A ＝52－48cos C . ∵A ＋C ＝180°， ∴cos A ＝－cos C ， ∴64cos A ＝－32， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.∴S ＝16sin 120°＝8 3.。

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