2015届高考数学二轮解题方法篇：专题2 临场必备答题模板 第3讲

第3讲空间中的平行与垂直问题

例4如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、

BD的中点，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝

2

2AD.

(1)求证：EF∥平面P AD；

(2)求证：平面P AB⊥平面PCD.

审题破题(1)根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．(2)先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理．

证明(1)连接AC，则F是AC的中点，又∵E为PC的中点，

∴在△CP A中，EF∥P A，

又∵P A⊂平面P AD，

EF⊄平面P AD，

∴EF∥平面P AD.

(2)∵平面P AD⊥平面ABCD，

平面P AD∩平面ABCD＝AD，

又∵CD⊥AD，

∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥P A.

又P A＝PD＝

2

2AD，

∴△P AD是等腰直角三角形，

且∠APD＝90°，即P A⊥PD.

又∵CD∩PD＝D，∴P A⊥平面PCD，

又∵P A⊂平面P AB，

∴平面P AB⊥平面PCD.

第一步：将题目条件和图形结合起来；

第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；

第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系；

第四步：严格按照定理条件书写解题步骤.

跟踪训练4(2013·山东)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

(1)求证：CE ∥平面P AD ；

(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .

证明 (1)方法一 取P A 的中点H ，连接EH ，DH .

又E 为PB 的中点，

所以EH 綊12AB .

又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .

所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH .

又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD .

所以CE ∥平面P AD .

方法二 连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .

又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .

又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形．因此CF ∥AD ， 又AD ⊂平面P AD ，CF ⊄平面P AD ，所以CF ∥平面P AD . 因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A .

又P A ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD .

又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .

(2)因为E 、F 分别为PB 、AB 的中点，所以EF ∥P A .

又因为AB ⊥P A ，所以EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG .

又因为EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . 所以AB ⊥平面EFG .

又因为M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥CD ， 又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG .

又因为MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN .