系统的能控性能观测性稳定性分析报告
现代控制理论能控性、能观测性
0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
a1 a2 a3 an1
0
0
b 0
1
且：
证明： PA AP (由A PAP1 推得 )
P1A P2
P2 A P1A2 P3
Pn2 A P1 An2 Pn1 Pn1 A P1 An1 Pn
例：
. 1 1 1 求x能控1标准0型x． 1u
设线性定常连续系统状态空间表式： . x Ax Bu y Cx Du
1. 定义：对任意给定u(t)，在[t0 , t f ]
rank P1[B AB An1B]
rank[B AB An1B]
rank SC
P1 满秩矩阵
系统的能控性不变
7. 定理4：
.
设 x Ax bu
如则果必系存统在能 一控 个， 非则 奇异SC变换[BXABPA1nx1B]
可将状态方程化为能控标准型：
.
x Ax bu
其中：
A PAP1 b pb
第八章 现代控制理论能控性、能观测性
一、线性系统能控性和能观性的概念 二、线性定常系统的输出能控性 三、线性定常连续系统的能观性 四、线性定常连续系统的能观性
例1: 给定系统的状态空间描述:
.
x1
.
x 2
4 0
0 5
x1 x2
1 2u
解:展开 y 0. 6x
.
x1 4x1 u x2 5x2 2u
rank Sc =rank[Sc ScT ]nn
.
3. 定理2：若x Ax Bu ，
若Ａ为对角型，则状态完全能控的 充要条件为：
Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
线性离散系统的分析
§10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。
本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。
一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。
本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。
有两大类的稳定性分析方法。
一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。
一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。
当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。
但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。
另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。
本节只介绍代数判据法。
Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。
如果已知一个系统的特征多项式()n n na za z a z A +++=- 110 (10.87)Jury 把它的系数排列成如下的算表：11110a a a a a a a a a a nn n nn n =--α―――――――――――――――――――10111101211111110-------------=n n n n n n n n n n n n n a a aaaa a a α――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10111110a a a a 10111a a =α―――――――――――――――――――0a 其中kk i k kik k k i k i a a a a a a 01=-=--α表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。
计算机控制技术-13离散系统的能控(观测)性及稳定性
rank
CG
CG 2
2 rank 1
4
0 2 0
0 0 2 3 0
系统状态 不完全能观测
0 4 0
3/3/2020
12
3、能观测性判别准则二（标准型法） 同线性连续定常系统的标准型判据：
1）对角线标准型：特征值互异时，C中不包含元素全为0的列； 重特征根时，一定不可观测。
（1）
如果G非奇异阵，则式(1)是系统状态完全能控的充分必要条件； 如果G是奇异阵，则式(1)是系统 状态完全能控的充分条件。
3/3/2020
3
线性定常离散系统 x(k 1) Gx(k) Hu(k)
k 1
解为 x(k) G k x(0) G ki1Hu(i) i0
n1
端状态的控制序列是否存在，不涉及具体转移几步。 2）对于n阶SI定常系统，若在第n步上不能将初始状态（零
态）转移到零态（任意终端状态），则在n+1及以后的任 何一步都不能转移。
[例]：系统的状态方程如下，试判定系统的状态能达性和能控性。
x1(k 1) 1 0 0 x1(k) 1
所以 x(n) G n x(0) G ni1Hu(i) i0
证明：对能达性，有 x(0) 0
n1
所以 x(n) G ni1Hu(i) G n1Hu(0) GHu(n 2) Hu(n 1) i0
u(n 1)
H GH Gn1H
统，也可能可控。所以：可达系统一定可控，可控系统
不一定可达。
结论2：如果一个离散时间系统为连续时间线性时不变系统的时
系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置
实 验 报 告课程 自动控制原理 实验日期 12 月26 日 专业班级 姓名 学号实验名称 系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置 评分批阅教师签字一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的最小实现；3、进行状态反馈系统的极点配置；4、研究不同配置对系统动态特性的影响。
二、实验内容1.能控性、能观测性及系统实现（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s as s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；（c ）已知系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；（d ）求系统1827101)(23++++=s s s s s G 的最小实现。
2.实验内容原系统如图1-2所示。
图中，X 1和X 2是可以测量的状态变量。
图1-2 系统结构图试设计状态反馈矩阵,使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求:(1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤20%，ts≤1秒。
(2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤5%，ts≤0.5秒。
状态反馈后的系统，如图1-3所示：图1-3 状态反馈后系统结构图分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能指标是否满足设计要求。
三、实验环境 1、计算机1台；2、MATLAB6.5软件1套。
四、实验原理（或程序框图）及步骤 1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如下：p m n R y R u R x Du Cx y Bu Ax x∈∈∈⎩⎨⎧+=+=&（1-1）其中A 为n ×n 维状态矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。
控制系统稳定性和能控能观分析
分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散 时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内 部状态的变换过程，其一般形式为：
其中，t是时间变量，u(t)是输入变量。 6.输出方程
描述系统输出量与系统状态变量和输入 变量之间函数关系的代数方程称为输出方程， 它表征了系统内部状态变化和输入所引起的 系统输出变换，是一个变化过程。输出方程 的一般形式为：
该秩判据说明连续系统状态能观测性只 与状态方程中的A、C矩阵有关数字、离散控制系统与连续控制系统的根本区别在于：
（1）离散控制系统中既可以包含连续信号，又可以包含离 散信号，是一个混合信号系统。
（2）连续系统中的控制信号、反馈信号以及偏差信号都是 连续型的时间函数，而在离散系统中则不然。一般情况下， 其控制信号是离散型的时间函数，因此取自系统输出端的 负反馈信号在和离散控制信号进行比较时，同样需要采用 离散型的时间函数，那么比较后得到的偏差信号也将是离 散型的时间函数。
第二题的系统的零极点模型为：
（1）比例微分环节： jw+1 0~π/2 （2）比例微分环节：（jw)/0.5666+1 0~π/2 （3）二阶微分环节：（jw)2/1.177-0.8999/1.177jw+1 0~π （4）惯性环节： 1/(jw/1.607+1) 0~-π/2 （5）振荡环节：1/((jw)2/0.3288+0.8806/0.3288jw+1)
在编译源程序之前，请在保存matlab 源程序的路径下建立四个文件夹，它们分 别是：“第一题的txt文档”，“ 第二题的 txt文档和截图”，“ 第三题的txt文档和截 图”，“ 第四题的txt文档和截图”，这四 个文件夹用来保存相应的矩阵、零极点和 figure图形。
自动化--能控性与能观测性
能控性与能观测性现代控制理论的能控性能观测性是建立在状态空间描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程，输出方程则描述了由状态的变化引起输出y(t)的变化，能控性能观测性就是分析输入u(t)对状态x(t)的控制能力和输出y(t)对状态的反映能力，一个系统若具有能控性和能观测性，人们就可以对它实施最优控制。
一、引言1960年卡尔曼提出系统的能控性和能观测性问题，它是系统的两个基本特征。
对经典控制理论所讨论的SISO(单输入单输出系统)，它的输入量和输出量之间的动态关系可唯一的由系统的传递函数确定，即唯一输入对应唯一输出，而且输出可观测也可唯一确定输入。
现代控制理论着眼于分析、优化和控制MIMO（多输入多输出）系统内部特性和动态变化状态，其状态变量向量维数一般比输入向量维数高，并且有时还不能测量，所以存在系统内部状态能量控制和能观测问题。
二、能控性能控系统：假设系统初时刻处于状态空间任一点x=x(t0),倘若能够找到容许控制函数(输入)u在有限时间区间j内将系统由初态x转移到状态空间原点x(tj)=0则称为能控系统。
能达系统：假设系统初始时刻位于状态原点x(t)=0,倘若能够找到容许函数(输入)u 在有限时间内将系统由初态转移到状态空间任一点x(t)=x则称系统为能达系统。
对于线性连续系统，能控和能达是等价的，对线性离散系统则不同。
线性定常系统状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵QK=[B AB……An-1B]满秩(代数判据)，如果A为某个特征值有一个或者多个约旦矩阵则系统能控的充要条件是对于A的每个特征值的约旦块的B分块的最后一行都不全为零。
线性定常连续系统的输出的能控性判据为能控矩阵[CB CAB……CAn-1B]满秩（模态判据）。
能控性判据可以通过MATLAB直接得出矩阵的秩。
三、能观测性为了抑制干扰，降低参数灵敏度以构成最优系统，控制系统大多采用反馈形式，而反馈信息一般由系统的状态变量组合而成，但并非所有的状态变量在物理上都能测取到，于是提出能否通过输出的测量获得全部变量信息的问题，既可观测性。
(整理)控制系统的能控性和能观测性
第三章 控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据 一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。
二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令 上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。
判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。
对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。
现代控制理论能控性和能观测性
I A1
B
I A
B f
(3-21)
式中B 为元素埏是I A的伴随矩阵。方程(3-21)两端右 乘 I A得：
BI A f I
(3-22)
由于 B 的元素 I A代数余子式，均为 n 1 次多项式，
故据矩阵加法运算规则，可将其分解为n个矩阵之和：
B
B n1 n1
B n2 n2
Bn1 I
Bn2 Bn1A an1I
Bn3 Bn2A an2I
M
B0 B1A a1I
B0A a0I
Bn1An An
Bn2An1 Bn1An an1An1
Bn3An2 Bn2An1 an2An2 M
0 1 M 1 －2 M 2 3
S2 G2 G2 L 2G2 0 0 M 0 1 0 M 0
0 M 0 0 1 M 1 －2
显见出现全零行，rankS2 2 3 ，故不能控。
多输入系统能控阵 S2，其行数小于列数，在计算列写能控阵时， 若有显时见可通过矩计S阵2算的秩为Sn的2，秩S便T2 是不否必为把n来判矩断S阵2多的输所入有系列统都的写能出控。性。 这只是需因计为算，一当次n阶非行奇列S异式2 时即，可确定能必S控非2 性奇ST2，异但，在而计算 为S方2 S阵T2 ，
系统矩阵 的阶数，或系统特征方程的阶次数。
以上研究假定了终态 x 0 0。若令终态为任意给定状态xn
则方程(3-2)变为：
n 1
nx 0 x n n1igu i
i0
(3-9)
方程两端左乘 n ，有
x 0－nx n 1g 2g L
u0
ng
u 1
M
u n 1
(3-10)
系统的能控性能观测性稳定性分析
系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。
如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。
对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。
控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。
如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。
能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。
当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。
2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。
一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。
对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。
观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。
如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。
能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。
当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。
3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。
对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。
零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。
有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。
无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。
2-d 连续-离散系统的稳定性、可控性与可观测性判据
2-d 连续-离散系统的稳定性、可控性与可观测性判据
一、稳定性
连续离散系统稳定性是指系统状态值不断变化，但随着时间的推移，系统的解不会离开某一区域或范围，满足系统的平衡。
可以用Lyapunov准则来判断一个系统的稳定性，即找出一个函数V，系统的长期行为是满足V的进行，且由此可以确定系统的长期行为的变化趋势。
此外，系统稳定性还可以通过极点分析方法来判断，即系统极值处被定义为极点，并从中探索该系统在极点上是否稳定，以及该极点处系统解是否存在漂移和消失。
二、可控性
可控性是指系统的响应是通过控制器实现的，系统可以通过增加输入电压或输出力量来改变系统的输出响应，从而达到预期的解决方案。
可控性分析要求系统具有足够的响应能力，可以通过增加输入电压来改变系统的行为，但它的响应有限制，不能随意增加，而且可能受外界环境约束。
三、可观测性
可观测性是指系统的特性是可以通过测量来获取的，即可以观察系统的特性，推断出它是如何变化的，并且根据以往所观察到的特征来推测它在将来的变化趋势。
可观测性分析可以使用状态空间方程，用于获得关于系统的当前及未来设计状态的量化描述，从而确定系统的特征及其变化趋势。
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
能控性和能观测性分析
.1.2 能控性判据 按定义，要求寻找到一个具体的控制律。 由 可得 矩阵指数函数 可以表示成有限项的和 记 则转化成线性方程组的求解问题
例检验由以下状态方程描述的系统的能控性： 解 能控性检验矩阵 不是满秩的，故系统不能控。
例3.1.2 倒立摆系统线性化状态空间模型的系数矩阵是 能控性检验矩阵 故系统是能控的。
3.3 能控能观性的对偶原理
由于 定理3.3.1 能控的充分必要条件是 能观 能观标准型（能控标准型的转置）是能观的
对于互为对偶的系统 系统（I）能控（能观）的充分必要条件是系统（II）能观（能控）。 优点：能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理。 例 能观与能控标准型互为对偶系统(特征多项式同)
2。若 非奇异，则可以构造出将非零初始状态转移到零状态的控制律
3。若系统能控，由（1），可在任意短时间内将非零状态转移到零状态 称为能控格拉姆矩阵
定理的说明
.1.3 能控性的性质 能控性基于状态方程系数矩阵A、B定义。 定理3.1.3 等价的状态空间模型具有相同的能控性。 由T是非奇异矩阵可得结论。
在 中的零极相消 考虑 没有零极相消的充分必要条件是 ，能控！
在 中无零极相消 考虑 类似可得 是能观的充分必要条件。 例 判别系统的能控性 显然系统不能控！
例3.1.8 判断以下系统的状态和输出能控性 系统的状态能控性矩阵 由于 ，故系统不是状态完全能控的。 输出能控性矩阵 显然它是行满秩的，故输出能控。 结论：系统输出能控，但不是状态能控的。
3.2 系统的能观性
所考虑的系统 状态变量未必都可以从外部观测到！ 1。检测手段的限制； 2。一些状态变量不是物理量。 问题：如何（可否）通过输入输出信息来了解系统内部的状态？
现代控制工程-第5章能控性和能观性分析
传递函数判据
如果系统的传递函数的极点和零 点都位于复平面的左半部分，则 该系统是能控的。
能控性的应用
系统设计和ห้องสมุดไป่ตู้化
在系统设计和优化过程中，能控性分析可以帮助确定系统的可控性 和可观性，从而更好地选择和设计控制器和观测器。
控制性能评估
通过能控性分析，可以对系统的控制性能进行评估和比较，从而选 择更优的控制方案。
现代控制工程-第5章能控性 和能观性分析
目录
• 能控性分析 • 能观性分析 • 能控性和能观性的关系 • 系统设计中的能控性和能观性 • 现代控制工程其他章节概述
01
能控性分析
定义与概念
能控性定义
对于一个给定的线性时不变系统，如果存在一个状态反馈控制器，使得系统的任何初始状态都能通过 该控制器在有限的时间内被控制到任意指定的状态，则称该系统是能控的。
快速性
系统应具有快速的响应能力，以便在短时间 内达到设定值或消除外部扰动。
准确性
系统应具有高精度的输出，以满足各种控制 要求和保证产品质量。
可靠性
系统应具有高的可靠性和稳定性，以确保长 期稳定运行和减少故障率。
系统设计中的能控性和能观性考虑
能控性考虑
在系统设计中，需要考虑系统的能控性，即 能否通过输入信号控制系统的输出状态。对 于不能控制的系统，需要采取措施进行改进 或重新设计。
描述
分解性是控制系统分析中的一个重要性质。在大型复杂系统中，如果系统具有分解性， 那么我们可以将系统分解为若干个子系统，分别对子系统进行能控性和能观性分析，从
而简化系统分析和设计的难度。
04
系统设计中的能控性和能观 性
系统设计的基本原则
稳定性
现代控制理论实验报告三系统的能控性、能观测性分析
nc =
3
system is completely state controllable
system is completely state observe
（3）
A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];
Uc=ctrb(A,B);
p1=[0,0,1]*inv(Uc);
else
disp('system is not completely state controllable')
end
if nc==n2
disp('system is completely state observe')
else
disp('system is not completelystate observe')
3、构造变换阵，将一般形式的状态空间描述变换成能控标准形、能观标准形。
六、数据处理
题3.1已知系数阵A和输入阵B分别如下，判断系统的状态能控性
，
解：
A=[6.666,-10.6667,-0.3333;1,0,1;0,1,2];B=[0;1;1];
Uc=ctrb(A,B)
n=det(Uc);%de计算矩阵对应的行列式的值,abs为求n的绝对值
Co=C*T
T =
-0.5000 0 -1.0000
0.5000 0 2.0000
1.0000 1.0000 0
Ao =
0 0 -10
1 0 12
0 1 1
Co =
0 0 1
七、分析讨论
1、掌握了能控性和能观测性的概念。学会了用MATLAB判断能控性和能观测性。
现代控制理论线性控制系统的能控与能观性
判断线性控制系统稳定性的方法有多 种，如劳斯判据、赫尔维茨判据等。
03
能控性与能观性概念
能控性概念
能控性是指对于一个线性控制系统，如果存在一个控 制输入，使得状态变量从任意初始状态能够被驱动到
任意目标状态，则称该系统是能控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩阵，如果该矩阵 非奇异，则系统是能控的，否则系统不能控。
线性控制系统是控制系统的一种重要 类型，其能控性和能观性是评价系统 性能的重要指标。
研究意义
能控性和能观性是现代控制理论中的基本概念，对线性控制系统的分析和设计具有重要意义。
研究线性控制系统的能控性和能观性有助于深入了解系统的动态行为，为优化控制策略和控制系统的 稳定性提供理论支持。
02
线性控制系统基础
04
线性控制系统的能控性分析
能控性的判断方法
矩阵判据
通过判断线性系统的状态矩阵是否满足能控性矩阵的 条件，从而判断系统的能控性。
传递函数判据
根据线性系统的传递函数，通过分析其极点和零点， 判断系统的能控性。
状态方程判据
通过分析线性系统的状态方程，判断其是否具有能控 性。
能控性的改善方法
增加控制输入
能观性分析
能观性分析在智能交通系统中同样重要，它 有助于确定交通系统的状态是否能被其传感 器完全监测。这涉及到对传感器精度、道路 条件以及传感器布局等因素的考虑。
07
结论与展望
研究结论
1
线性控制系统能控性与能观性是现代控制理论中 的重要概念，对于系统的分析和设计具有重要意 义。
2
通过研究线性控制系统的能控性和能观性，可以 深入了解系统的动态特性和行为，为控制系统设 计和优化提供理论支持。
线性定常系统的能控性和能观测性
线性定常系统的能控性和能观测性一、实验设备PC 计算机，MATLAB 软件，控制理论实验台。
二、实验目的（1）学习系统状态能控性、能观测性的定义及判别方法；（2）通过用 MATLAB 编程、上机调试，掌握系统能控性、能观测性的判别方法，掌握将一般形式的状态空间描述变换成能控标准形、能观标准形。
（3）掌握能控性和能观测性的概念。
学会用 MATLAB 判断能控性和能观测性。
（4）掌握系统的结构分解。
学会用 MATLAB 进行结构分解。
（5）掌握最小实现的概念。
学会用 MATLAB 求最小实现三、实验原理（1）参考教材 P117~118“4.2.4 利用 MATLAB 判定系统能控性”P124~125“4.3.3 利用 MATLAB 判定系统能观测性”（2）MATLAB 现代控制理论仿真实验基础（3）控制理论实验台使用指导四、实验内容（1）已知系统状态空间描述如下（1）判断系统状态的能控性和能观测性，以及系统输出的能控性。
说明状态能控性和输出能控性之间有无联系。
代码：A=[0 2 -1;5 1 2;-2 0 0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];D=[0];Uc=[B,A*B,A^2*B,A^3*B];rank(Uc)%能控性判断Uo=[C,C*A,C*A^2,C*A^3];rank(Uo)%判断能观性Uco=[C*B,C*A*B,C*A^2*B,C*A^3*B];rank(Uco)%判断输出能控性（2）令系统的初始状态为零，系统的输入分别为单位阶跃函数和单位脉冲函数。
用 MATLAB 函数计算系统的状态响应和输出响应，并绘制相应的响应曲线。
观察和记录这些曲线。
当输入改变时, 每个状态变量的响应曲线是否随着改变？能否根据这些曲线判断系统状态的能控性？单位阶跃输入：代码：A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];D=[0];Uc=[B,A*B,A^2*B,A^3*B];rank(Uc)%判断状态能控性Uo=[C,C*A,C*A^2,C*A^3];rank(Uo)%判断能观性Uco=[C*B,C*A*B,C*A^2*B,C*A^3*B];rank(Uco)%判断输出能控G=ss(A,B,C,D);t=[0:.04:2];[y,t,x]=step(G,t);%单位阶跃输入plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线legend('original target positions ','original target positions','X','Y')单位脉冲输入：代码：A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];D=[0];G=ss(A,B,C,D);t=[0:.04:2];[y,t,x]=impulse(G,t)%单位脉冲输入plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线legend('original target positions','original target positions','X','Y')当输入改变时, 每个状态变量的响应曲线并没有随着改变。
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实 验 报 告课程 线性系统理论基础 实验日期 年 月 日专业班级 学号 同组人实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现 评分批阅教师签字一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。
掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的稳定性分析；3、系统的最小实现。
二、实验容（1）能控性、能观测性及系统实现（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ；（b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s a s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；（c ）已知系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；（d ）求系统1827101)(23++++=s s s s s G 的最小实现。
（2）稳定性 （a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：)20)(1()2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性（b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为)22)(6)(5()3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。
（c ）Bode 图法判断系统稳定性已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为ss s s G s s s s G 457.2)(,457.2)(232231-+=++= 用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。
（d ）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。
[]x y u x x 0525,100050250100010-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=三、实验环境1、计算机120台；2、MATLAB6.X 软件1套。
四、实验原理（或程序框图）及步骤1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。
系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t 1-t 0），能把任一给定的初态x(t 0)转移至预期的终端x(t 1)，则称此状态是能控的。
若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。
能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。
状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
输出能控性判别式为：[]p B CA CAB CBRank RankQ n cy ==-1（2-1）状态能控性判别式为：[]n B A AB B Rank RankQ n c ==-1（2-2）系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）,如果对t 0时刻存在t a ，t 0<t a <∞，根据[t 0,t a ]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t 0时刻的任意初始状态x 0，则称系统在t 0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t 0,t a ]区间上能观测。
状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能观测性判别式为：[]n CA CA CRank RankQ T n o ==-1（2-3）系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。
已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。
实现的方式不唯一，实现也不唯一。
其中，当状态矩阵A 具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。
五、程序源代码1.(a) 了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ；gram:求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian 矩阵num=[6 -0.6 -0.12];den=[1 -1 0.25 0.25 -0.125];H=tf(num,den,'Ts',0.1)Lc=gram(ss(H),'c')H = 6 z^2 - 0.6 z - 0.12-------------------------------------z^4 - z^3 + 0.25 z^2 + 0.25 z - 0.125Sample time: 0.1 secondsDiscrete-time transfer function.Lc =10.7651 7.8769 3.6759 -0.00007.8769 10.7651 7.8769 1.83793.6759 7.8769 10.7651 3.9385-0.0000 1.8379 3.9385 2.6913Ctrb：计算矩阵可控性A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5] B=[6 9;4 6;4 4;8 4];Tc=ctrb(A,B);rank(Tc)A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.00000.2000 -6.3000 6.0000 -1.50000.6000 -0.9000 -2.0000 -0.50001.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000ans =3Obsv:计算可观察性矩阵A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5] B=[6 9;4 6;4 4;8 4];C=[1 2 3 4];Qo=obsv(A,C);Ro=rank(Qo)A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.00000.2000 -6.3000 6.0000 -1.50000.6000 -0.9000 -2.0000 -0.50001.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000Ro =4Lyap:解lyapunov方程A=[0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6];B=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];X=lyap(A,B)X =-3.2833 -3.9000 -0.1167-5.5000 -8.6500 -0.40000.2833 -0.0000 -0.0333Ctrbf:对线性系统进行能控性分解A=[0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6];B=[3;1;0];C=[0 0 1];[Abar,Bbar,Cbar,T,K]=ctrbf(A,B,C)Abar =-3.0000 0.0000 -0.00009.4868 -3.3000 0.95398.6189 -3.1344 0.3000Bbar =-0.0000-0.00003.1623Cbar =-0.9435 0.3315 0T =-0.1048 0.3145 -0.9435-0.2983 0.8950 0.33150.9487 0.3162 0K =1 1 0Obsvf:对线性系统进行能观性分解A=[-2 1;1 -2];B=[1;0];C=[1 -1];[AO,BO,CO,T,K]=obsvf(A,B,C)AO =-1.0000 00.0000 -3.0000BO =0.70710.7071CO =0 1.4142T = 0.7071 0.70710.7071 -0.7071K =1 0Minreal最小实现num=[1 1];den=[1 5 20];sys=tf(num,den)[A B C D]=tf2ss(num,den)sys=ss(A,B,C,D);sysr=minreal(sys)sys =s + 1--------------s^2 + 5 s + 20Continuous-time transfer function.A = -5 -201 0B =1C =1 1D =sysr =a = x1 x2x1 -5 -20x2 1 0b = u1x1 1x2 0c = x1 x2y1 1 1d = u1y1 0Continuous-time state-space model.（b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s a s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性； a=-1num=[1,-1];den=[1,10,27,18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n==nc,disp('系统可控'), else disp('系统不可控'),end Qo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n==no,disp('系统可观'), else disp('系统不可观'),enda=0num=[1,0];den=[1,10,27,18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n==nc,disp('系统可控'), else disp('系统不可控'),end Qo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n==no,disp('系统可观'), else disp('系统不可观'),enda=1num=[1,1];den=[1,10,27,18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n==nc,disp('系统可控'), else disp('系统不可控'),end Qo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n==no,disp('系统可观'), else disp('系统不可观'),end矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；a=[6.666 -10.6667 -0.3333;1 0 1;0 1 2];b=[0;1;1];c=[1 0 2];d=0;n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n==nc,disp('系统可控'),else disp('系统不可控'),endQo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n==no,disp('系统可观'),else disp('系统不可观'),end（d ）求系统1827101)(23++++=s s s s s G 的最小实现。