微分方程的幂级数解法
高阶微分方程的降阶和幂级数解法
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程
d 2x p(t) dx q(t)x 0,
dt 2
dt
的非零解
(4.69)
令 x x1 y 则 x' x1 y' x1' y
代入(4.69)得
x'' x1 y'' 2x1' y' x1'' y
x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' [x1'' p(t)x1' q(t)x1]y 0
k 1, 2,
若取
a0
1 2n (n
1)
则可得(4.74)的另一个特解
y2
(1)k
k 0
1 k !(n
k
1)
( x)2kn 2
Jn (x),
(4.78)
Jn (x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
为-n阶Bessel函数.
由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.
k 0
k 0
(x2 n2 ) ak xk 0 k 0
比较x的同次幂系数得
a0 ( 2 n2 ) 0
a1[( 1)2 n2 ] 0
(4.76)
ak [( k)2 n2 ] ak2 0, k 2, 3,
因为a0 0, 则有 2 n2 0, 从而 n,
为确定起见暂令 n, 由(4.76)得
ui
( zi )', i zk 1
1, 2,
,k 2
以上做法一直下去,可降低n - k阶.
(4.68)
高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式
n
n!
绝对收敛,
因此级数 1 zn 在整个复平面上是绝对收敛的.
n0 n! ez
1 xn ex
n0 n!
定义 ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
当 x 0 时， z 为纯虚数 yi ，
( z )
e yi 1 yi 1 ( yi)2 1 ( yi)3 1 ( yi)n
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
un
u2 n
vn2
,
vn
u2 n
vn2
(
n 1, 2,
)
则级数 un 、 vn 绝对收敛，
n1
n1
从而级数 (un vni) 绝对收敛.
n1
复数项级数 1 z 1 z2 1 zn (z x yi) ,
2!
n!
1
x2 y2 1
x2 y2
2
2!
1
x2 y2
2!
3!
n!
1 yi 1 y2 1 y3i 1 y4 1 y5i 2 3! 4! 5!
(1 1 y2 1 y4 ) (y 1 y3 1 y5 )i
利用解微分方程求幂级数的和函数_孙艾明
(
)
[ ∫Q（ x） e
∫ P （ x） dx
dx + C ．
]
2. 二阶常系数线性微分方程的解法 形如 y″ + py' + qy = f（ x） 的方程我们称之为二阶常系数 q 为已知常数． 当 f （ x ） = 0 时称为齐 其中 p， 线性微分方程， 次方程； 当 f（ x） ≠0 时称为非齐次方程． y″ + py' + qy = 0 的 通解可用如下方法得到： 2 第一步： 写出微分方程的特征方程 r + pr + q = 0 ． r2 ． 第二步： 求出特征方程的两个根 r1 ， 第三步： 根据特征方程的两个根的不同情况， 写出微分 方程的通解， 即 r x r r1 ， r2 为实根， 若 r1 ≠ r2 ， 则通解为 y = C1 e 1 + C2 e 2 ； 若 r1 x r1 = r2 ， r2 = α － 则通解为 y = （ C1 + C2 x ） e ． ； 若 r1 = α + iβ， x iβ， 则通解为 y = e α （ C1 cosβx + C2 sinβx） ． y″ + py' + qy = f（ x） ， 当 f （ x） 为指数函数、 多项式函数和 sinβx， cosβx 或它们的乘积形式时， 可以根据这种函数形式 来推断出特解的形式， 再把形式解带入方程， 确定解中所含 的常数值， 这种方法称为待定系数法 ． x k x 当 f（ x） = e λ P m （ x ） 特解具有形式 x Q m （ x ） e λ 时， 其中 Q m （ x） 是与 P m （ x） 同次的多项式， k 按 λ 不是特征根、 是单 1， 2． 特征根或二重特征根依次取 0 ， x P l （ x） cosωx + P n （ x） sinωx］ 当 f（ x） = e λ ［ 特解具有形式 k λx 1 1 x e ［ R m （ x） cosωx + R2 （ x ） sin x ］ R （ R2 ω 时， 其中 m m x） ， m （ x） 是 m 次多项式， m = max（ l， n） ， k 按 λ + iω （ λ － iω ） 不是特征根 或是特征根分别取 0 或 1 ． 3. n 阶常系数线性齐次微分方程的解法 （ n） （ n － 1） ' + … + p n － 1 y' + p n y = 0 的方程， 形如 y + p1 y 我们 p2 ， …， p n 为已知 称之为 n 阶常系数线性微分方程， 其中 p1 ， （ n） （ n － 1） ' + … + p n － 1 y' + p n y = 0 的特征方程为 常数． y + p1 y n n －1 r + p1 r + … + pn － 1 r + pn = 0， 根据特征方程的根 （ 特征 1］ ． 写出微分方程的通解． 详见［ 根） 的各种不同情况， 二、 利用解微分方程求函数项级数的和函数 例1 解 xn 的和函数 S（ x） ． n = 0 n！ 易求得级数的收敛半径 R = + ∞ ， 当－∞ ＜x ＜ +∞ 求无穷级数 ∑∞ ∞ ຫໍສະໝຸດ ∞[][
微分方程幂级数解法
P( x)与Q( x)可在− R < x < R内展为x 的幂级数,
那么在− R < x < R内原方程必有形如
的解.
∞
∑ y = an xn n=0
∞
作法 设解为 y = ∑ an x n , n=0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x − x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
∑ ∞
∞
∑ (n + 2)(n + 1)an+2 x n− x ∑ nan x n−1−
∞
an xn
= 0,
n=0
n=0
n=0
∞
∑[(n + 2)(n + 1)an+2 − (n + 1)an ]x n ≡ 0,
n=0
an+2
=
an , n+2
n = 0,1,2,L
a2
=
a0 2
,
a3
=
a1 3
,
1、 y′ − xy − x = 1； 2、 xy′′ − ( x + m) y′ + my = 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y′
=
y2
+
x3
,
y x=0
=
1； 2
2、d 2 x dt 2
+
x cos t
=
0
,
x t=0
=
a
,
dx dt
t=0
=
0.
练习题答案
= =
3 2
y y
幂级数的定义及其收敛性分析
幂级数的定义及其收敛性分析幂级数是数学中重要的一类级数，它在各个数学分支中有着广泛的应用。
本文将介绍幂级数的定义，并对其收敛性进行分析。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an*x^n)的级数，其中an为系数，x为变量，n为指数。
其中，an可以是实数也可以是复数，x可以是实数或复数。
幂级数的一般形式为：∑(an*x^n) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n + ...二、幂级数的收敛性分析对于幂级数的收敛性，我们需要分析其收敛域。
收敛域是指幂级数在哪些点上收敛，以及在哪些点上发散。
1. 收敛半径收敛域的核心是收敛半径，记作R。
幂级数在收敛半径范围内收敛，在其外发散。
收敛半径的计算可以使用伯努利、根值或比值法等。
2. 收敛域类型根据收敛半径的值，幂级数的收敛域可以分为三种类型：a) 当R=0时，幂级数在x=0处收敛；b) 当0<R<∞时，幂级数在(x-R, x+R)范围内收敛；c) 当R=∞时，幂级数在整个定义域内收敛。
3. 边界收敛如果幂级数在某个或某些边界点上收敛，但在该边界范围内不一定绝对收敛，只是条件收敛。
这种情况称为边界收敛。
三、幂级数的应用幂级数在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 函数展开幂级数可以用来展开各种函数，使其在某个特定区间上变为幂级数形式。
利用这种展开，我们可以方便地对函数进行近似计算，提高计算的精度和效率。
2. 微分方程幂级数可以用来解微分方程。
通过将微分方程变换成幂级数形式，再求解该幂级数，可以得到微分方程的解析解。
3. 物理应用幂级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，波函数展开、场变量展开等都可以利用幂级数进行表示和计算。
四、结论幂级数作为一种重要的数学工具，在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文介绍了幂级数的定义，讨论了幂级数的收敛性及其应用领域。
通过对幂级数的研究，可以深入理解其在数学和自然科学中的重要作用。
幂级数解方程(偏微分方程)
pl ( x) ql ( x)
pl(x)仅含x的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含x的奇次
幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法) 为：
二、方程的常点和奇点概念
定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都 在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的
常点。
定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解
析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。
定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解
(11.1.1)
( z0 ) C0
( z0 ) C1
这里 z 是复变量，p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数，
称为方程的系数， ω(z)是待求的未知函数，z0为选
定的点，C0和C1为复常数。 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的 解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法 求解二阶常微分方程的具体过程为：
析，则称点z0 为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称
为方程的非正则奇点。
定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为 点z0的邻域 |z-z0|<R 中的解析函数，则方程在这个 圆中存在唯一的解析解ω(z)满足初始条件ω(z0)=C0 和ωʹ(z0)=C1 。 定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0 点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为
…………….
(2k 1 l )(2k 3 l )(1 l )(l 2)(l 4)(l 2k ) a2 k 1 a1 (2k 1)!
微分方程的经典解法
01
02
03
非线性变量代换法
变量代换法的应用
变量代换法在解决各种实际问题中有着广泛的应用，如物理、工程、经济等领域。
通过选择适当的代换变量，可以简化复杂的微分方程，从而更方便地求解。
变量代换法是解决微分方程的一种重要技巧，尤其在处理非标准形式的微分方程时非常有效。
01
高阶非线性微分方程的解法通常包括迭代法、摄动法和数值方法等。
02
迭代法是通过不断迭代方程的解来逼近真实解，常用的方法有牛顿迭代法和欧拉迭代法等。
03
摄动法是将非线性微分方程转化为摄动方程，然后通过小参数展开求解。
04
数值方法是通过离散化微分方程，然后使用计算机求解离散化后的方程组。
高阶微分方程在物理、工程、经济等领域有广泛应用，如振动分析、控制系统、信号处理等。
04
积分因子法
积分因子法是一种求解微分方程的方法，通过引入一个积分因子来消除方程中的导数项，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
积分因子法适用于可分离变量、线性、部分线性以及某些非线性微分方程。
积分因子法的关键是找到一个函数，使得该函数与微分方程的每一项相乘后，能够消去方程中的导数项。
方法概述
高阶线性微分方程的一般形式为$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_0(x)y(x) = 0$。
变量分离法是将方程转化为多个一阶微分方程，然后分别求解。
幂级数法是通过将解表示为幂级数的形式，然后代入初始条件求解系数。
高阶非线性微分方程的解法
02
通过引入新变量 (u = ax + by)，可以将原方程转化为 (y^{prime} = frac{1}{a} f(u))。
微分方程的幂级数解法
dy 例如 = x2 + y2, dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
dy = f ( x, y) 特解求法 二、 dx
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
∞
n
∞
n −1
∞
n= 0
n=0
n [( n + 2 )( n + 1 ) a − ( n + 1 ) a ] x ≡ 0, ∑ n+ 2 n n=0
a n+ 2
an = , n+ 2
n = 0,1,2,L
a0 a0 a2 = , a4 = , 8 2
a1 a3 = , 3 a1 a5 = , 15
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t 3 t C sin t 2 e + β β − 4 − αt αt t y C e C e C cos t C sin t e = + + β + β + 1 2 3 4
(n) ( n −1 ) y + a y + L + a n −1 y ′ + a n y = f ( x ) 例如， 1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
n −1
+ L + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意:
D n + a1 D n−1 + L + a n−1 D + a n 是 D 的多项式
微分方程解法总结
微分方程解法总结引言微分方程是数学中的重要概念，被广泛应用于物理学、工程学以及其他科学领域中，用于描述系统的动力学特征和变化规律。
解决微分方程是一个重要的数学技巧，本文将总结常见的微分方程解法方法，包括分离变量法、变量替换法、特征方程法和级数展开法等。
分离变量法分离变量法是最常见且简单的微分方程解法方法之一，适用于一阶和高阶微分方程。
对于一阶微分方程形如dy/dx = f(x)g(y)，可以通过将方程两边分别关于x 和y进行积分来解得y的表达式。
例如，考虑以下的一阶微分方程：dy/dx = x^2 + y^2我们可以将其改写为：dy/(y^2+1) = x^2 dx然后对方程两边进行积分，得到：arctan(y) = (1/3)x^3 + C其中C是常数。
对于高阶微分方程，也可以采用类似的方法将方程化简为一阶方程，并进行积分求解。
分离变量法的关键是将方程化简为形式简单的一阶微分方程。
变量替换法当一阶微分方程不适于分离变量法求解时，可以采用变量替换法。
这个方法的基本思想是通过引入一个新的变量来改变微分方程的形式，从而使其适于分离变量法或其他求解方法。
例如，考虑以下的一阶线性微分方程：dy/dx + p(x)y = q(x)可以通过引入一个新的变量v = y * exp(-∫p(x)dx)来改写方程，得到：dv/dx = exp(-∫p(x)dx)q(x)然后可以用分离变量法来求解新的微分方程，最后再通过原来的变量替换回来得到y的表达式。
对于高阶微分方程，变量替换法的思路是类似的，通过合适的替换将高阶微分方程化简为一阶微分方程。
特征方程法特征方程法是一种经典的用于求解常系数线性齐次微分方程的方法。
对于形如y^(n) + a_(n-1)y^(n-1) + … + a_1y’ + a_0y = 0的齐次微分方程，可以通过特征方程来求解。
特征方程是一个关于λ的代数方程，形如λ^n + a_(n-1)λ^(n-1) + … + a_1λ + a_0 = 0。
常微分方程高阶方程解法
常微分方程高阶方程解法常微分方程是描述变量关系的数学方程。
常微分方程可以分为一阶方程和高阶方程两种形式。
一阶方程是指方程中最高阶导数的阶数为一阶，高阶方程则是指方程中最高阶导数的阶数高于一阶。
高阶常微分方程解法较为复杂，需要借助一些特定的方法和技巧。
下面将介绍几种常见的高阶常微分方程解法。
1.常系数线性齐次方程的解法：齐次方程是指方程中没有出现自变量的项，且系数是常数的方程。
对于常系数线性齐次方程：a_n*y^n + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_0*y = 0可以使用特征根法来求解。
假设y=e^(rx)是方程的解，代入方程可得：a_n*r^n*e^(rx) + a_(n-1)*r^(n-1)*e^(rx) + ... + a_0*e^(rx) = 0化简得到特征方程：a_n*r^n + a_(n-1)*r^(n-1) + ... + a_0 = 0解特征方程得到方程的特征根r1, r2, ..., rn，则方程的通解为：y = C1*e^(r1x) + C2*e^(r2x) + ... + Cn*e^(rnx)其中，C1, C2, ..., Cn为任意常数。
2.可降阶的高阶常微分方程的解法：可降阶的高阶常微分方程是指可以通过变量代换和符号分解等方法将高阶方程转化为一阶方程的形式。
例如，对于二阶常系数线性非齐次方程：a_2*y'' + a_1*y' + a_0*y = f(x)可以通过令z=y'代换变量，得到一阶常系数线性非齐次方程：a_2*z' + a_1*z + a_0*y = f(x)这样，高阶方程就转化为了一阶方程，可以采用一阶方程的解法来求解。
解出z后再求一次积分即可得到y的解。
3.常微分方程的级数解法：对于某些高阶常微分方程，可以采用级数展开的方法得到解的近似表达式。
假设方程的解可以表示为幂级数的形式：y = ∑(n=0 to ∞) a_n*x^n将该表达式代入方程，逐次求出各个系数a_n，即可得到解的级数表达式。
幂级数解方程(偏微分方程)
1 l (l 1)(1 ) 1 1 k 1 2 k k 4 2 l (l 1) 2 k k
…………….
a2 k (2k 2 l )(2k 4 l )(2 l )( l )(l 1)(l 3)(l 2k 1) a0 (2k )!
(1 l )(l 2) a3 a1 3!
(3 l )(l 4) (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) a5 a3 a1 5 4 5!
代入勒让德方程，可得：
(1 x ) k (k 1)ak x
2 k 2
k 2
2 x kak x
k 1
k 1
l (l 1) ak x 0
k k 0
合并整理后可得：
k (k 1)ak x k k (k 1)ak x k 2 2kak x k
为 m 贝塞尔方程，不可直接求解
(2) 若 μ<0 ，作变换
2 2
k 2 , x k
d R dR x x x 2 m2 R 0 2 dx dx
为虚宗量贝塞尔方程，不可直接求解
…………………………..
用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波 动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让 德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程
等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏
微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊 函数方程，它们大多是二阶线性常微分方程。这向 我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定 解问题。 不失一般性，我们讨论复变函数ω(z)的
幂级数在函数领域的应用
幂级数在函数领域的应用赵青波（三门峡职业技术学院公共教学部，河南三门峡472000）摘要:幂级数是数学领域中的一种基础知识，同时也是数学计算中的一种重要“工具”，其在函数领域中有着较为广泛的应用，如在复变函数等领域中。
幂级数在函数领域中的应用决定了其在函数计算等过程中的重要性，一般来说，运用幂级数求函数的高阶导数、求数值级数的和、应用在近似计算中、应用在微分方程的解法、。
在数学解题过程中，通过把握幂级数在函数应用中的关键点，也能够起到事半功倍的作用，本论文通过分析幂级数在函数中具体应用的基础上，阐述幂级数在函数中应用的关键点，以此来多方位的展示出幂级数的在函数中的应用。
关键词：幂级数；函数；应用引言幂级数在函数中的应用是数学计算中解决函数问题的一种有效思路，同时也能够为函数类型题的计算提供一种“捷径”，通过对幂级数的性质进行分析，能够观察到，幂级数与函数之间存在着关联性，这也是幂级数作为函数解题“工具”的基础。
如幂级数是函数函数项级数中最基本的一类，在幂级数的收敛域上与函数之间存在的明确的关联性，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数。
本文通过对幂级数概念与性质的阐述，结合具体的解题思路，对幂级数与函数的应用进行分析。
一、幂级数概述幂级数是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
以幂级数常见的三个性质为例，以下进行阐述。
1.∑an xn在|x|＜R内绝对收敛，在|x|＞R内发散，其中R称n=a为收敛半径，此时再根据Hadamard公式进行相应计算。
2.如果函数S（x）是收敛域（-a,a）上的连续函数，则S（x）在x=a 左连续。
3.在收敛半径（-a,a）的范围内，幂级数可以任意次逐项求导或者求和，并且产生的新的幂级数的收敛半径不变。
二、幂级数在函数中的具体应用（一）利用幂级数求函数的高阶导数在常规数学计算中，将幂级数运用到求函数的高阶导数中，不仅能够降低计算的复杂性，也能够提高计算结果的准确性。
幂级数解法
幂级数解法幂级数解法是求解微分方程的一种技术，它可用于求解普通微分方程的无穷多解，也可用于求解常微分方程的特解，以及线性微分方程的非独立解。
因此，在研究微分方程的求解过程中，对“幂级数解法”的研究具有重要的实际意义。
一、幂级数的概念幂级数是由不同幂次的可积函数的和所组成的级数，可以表示为： $$sum_{k=0}^{infty}a_{k}x^{k}$$其中，$a_{k}$叫做幂级数的系数，$x$叫做幂级数的变量，$k$叫做幂级数的项次，$infty$叫做幂级数的项数。
幂级数不仅可用于数学上的应用，也可用于物理学上的应用，像振动波、涡旋波、周期性复原函数等物理概念都可以用幂级数来表示。
二、幂级数解法的内容1.入一类特殊的线性微分方程：$$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+cdots+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$式中，$y^{(n)}$表示微分方程的最高次导数，$p_{n-1}(x)$，$cdots$，$p_{1}(x)$，$p_{0}(x)$表示微分方程的n-1次，$cdots$，1次，0次项的系数函数，$Q(x)$表示微分方程右端项的函数。
2.先检查保守性，判断微分方程是否具有定常解。
微分方程具有定常解的充要条件是$p_{n-1}(x)=p_{n-2}(x)=cdots=p_{2}(x)=0$，此时微分方程可以化简为：$$y^{(n)}+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$无论$p_{1}(x)$、$p_{0}(x)$是否全等于0，都可以说明它具有定常解。
3.后利用相关定理，在特定条件下构造一个“幂级数解”，其形式为：$$y=sum_{k=0}^{infty}c_{k}x^k$$其中$c_{k}$是待求的系数，由解法的特殊条件所确定。
4.所得“幂级数解”代入微分方程，并根据其定义，求出$c_{0}$，$c_{1}$，$c_{2}$，$cdots$，$c_{n-1}$的值，即求出微分方程的解的系数。
幂级数的应用
降低感染率手段 引流的时间：1周内,最长≤2周。 引流管引出口：不能在原切口处直接引出,因在头皮下潜行约1～2cm后在原切口旁引出,防止细菌逆行感染。 引流瓶放置高度：适当,避免脑脊液倒流回脑内增加感染可能。 引流管冲洗：适时可用庆大霉素稀释液冲洗引流管, 不冲洗脑内段。操作要得当。 拔管时关闭引流管阀门,拔除后及时缝合拔管处头皮。
降低感染率手段 为减少切口脑脊液漏。术中应尽可能修补硬脑膜,关闭死腔,术中尽可能减少头皮止血。 为减少耳漏和鼻漏。术中发现打开额窦和乳突后立即用消毒液浸泡的棉球消毒窦璧黏膜并向内推开黏膜层,随后用骨蜡完全封闭窦口或乳突气房,更换与窦璧接触的手术器械。
是否污染手术？手术时间>4h？应用手术显微镜？二次手术？ 是则明显增加颅内感染率。
是否为后颅窝手术？ 手术体位复杂。 开颅时间长。 手术显微镜辅助。 术区蛛网膜易粘连,后颅窝手术一般不缝合硬脑膜。 肌肉和头皮间缝合不严,易形成储液囊腔,致脑脊液循环障碍,为细菌繁殖提供机会。 可能打开乳突气房。 故而术后颅内感染几率显著较高。
降低感染率手段 后颅窝关颅时肌层和头皮要求严格缝合,肌层紧贴硬膜,引流管保持通畅。 当切口脑脊液漏时,应在无菌条件下严密缝合。
降低感染率手段 开放性颅脑损伤需早期彻底清除坏死脑组织,清除脑组织内的碎骨片和异物,关闭硬脑膜和头皮伤口,将开放性的污染伤口变为清洁的闭合伤。 术中受污染部位的手术区域需彻底消毒;接触污染区域后的手术器械与清洁区域的器械需分开。关颅前常规用大量生理盐水冲洗。 尽量缩短手术时间。 严格按照规范使用显微镜。 二次手术打开硬脑膜前可用稀释的聚维酮碘冲洗术野。
是否存在脑脊液漏？ 可分为切口的脑脊液漏和脑脊液鼻漏、耳漏。
颅脑损伤常见的并发症, 据文献报道, 其发病率在2 %～9 % , 需手术治疗者占2.4 %。 颅脑损伤后, 颅底骨折伴有硬脑膜及蛛网膜同时破裂,脑脊液通过损伤的鼻窦或岩骨经鼻或耳流出, 即形成脑脊液鼻漏及耳漏。 漏的时间越长, 感染机会越大。
利用微分方程将函数展开为幂级数
将初等复变函数)(z f 展开为Taylor级数的方式通常有两类,即直接法和间接法。
直接法需要计算)(z f 的各阶导数,而其n 阶导数的一般表达式)()(z f n 往往很复杂,不易直接表示出来,因此,人们总是避免用直接法而采用间接法。
因为函数展开式是唯一的,所以两种方法所得结果一样。
常用的间接法有:通过变形或变换,利用已知的Taylor展开式;利用级数的逐项积分或逐项求导;利用两个已知级数的相乘或相除;等等。
这些方法在文后所列的许多专著中都有比较详细的说明。
但是,如果难以找到可以利用的已知展开式,上述方法就难以实现了。
本文将针对研究利用微分方程将其展开为幂级数的方法。
1 本方法的思路以0 z 处的展开式为例。
先对函数)(z f w 求导,因为导数中含有原来函数因式,将其还原为原来函数,得到一个微分方程0)()()( z r w z q w z p 。
(1)假设332210)(z a z a z a a z f , (2)求导,得342321432)(z a z a z a a z f , (3)将(2)式和(3)式代入(1)式,得恒等式)())(()432)((332210342321z r z a z a z a a z q z a z a z a a z p 。
当)(z p 、)(z q 和)(z r 都为已知展开式的函数时,通过比较系数法确定 ,,,,3210a a a a 的值后,代入⑵式,即可得到函数)(z f w 的Taylor展开式。
2 应用类型本方法可以应用于以下三种类型的函数:类型I:)()(z ez f 型函数求导,得)()()(z e z f z ,因为)()(z f e z ,得微分方程)()()(z f z z f 。
当)(z 为多项式函数或已知展开式的初等复变函数时,将(2)式和(3)式代入上式,通过比较系数法确定 ,,,,3210a a a a ,便可以得到函数)()(z e z f 的Taylor展开式。
高阶非线性微分方程的解法
高阶非线性微分方程的解法微分方程是自然科学和工程技术领域中最常见的数学模型之一。
相对于线性微分方程，非线性微分方程的求解更加困难，因为它没有通解。
对于高阶非线性微分方程，数值解法是一种有效的解决方案，但由于其运算量大、误差积累等问题，对于一些精确度要求较高的问题，并不是一个理想的选择。
因此，本文将介绍一些解高阶非线性微分方程的方法，包括变量分离法、常数变易法、待定系数法、级数展开法和等效线性化法。
1. 变量分离法变量分离法是求解高阶非线性微分方程的常用方法之一。
对于形如$y^{(n)} = f(x,y,y',...,y^{(n-1)})$的n阶微分方程，将其转化为$\frac{d^ny}{dx^n}=F(x)G(y)$的形式。
然后对两边积分多次，即可得到$y=f(x,C_1,C_2,...,C_n)$的解，其中$C_1,C_2,...,C_n$为任意常数。
2. 常数变易法常数变易法是一种利用特殊形式的解来求解微分方程的方法。
对于一般的高阶微分方程$y^{(n)}=F(x,y,y',...,y^{(n-1)})$，若已知其中一个解为$y_1=\varphi(x)$，则假设$y=y_1+u(x)$，其中$u(x)$为未知的新函数。
将其代入原方程，再对$u(x)$求导多次，整理得到一个关于$u(x)$和$\varphi(x)$的方程组。
解出$u(x)$后，将其代入$y=y_1+u(x)$即可得到一般解。
3. 待定系数法待定系数法是一种求解含有特定形式解的微分方程的方法。
对于形如$y^{(n)}=F(x)$的微分方程，假设其解为$y=p_1(x)+p_2(x)\cdot x+...+p_n(x)\cdot x^n$，其中$p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)$为待定函数。
将其带入原方程，整理得到一个关于$p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)$的方程组。
解出$p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)$后即可得到一般解。
幂级数和函数的研究现状
幂级数和函数的研究现状幂级数和函数的研究在现代数学中具有核心地位，特别是在分析学、泛函分析、复分析、微分方程和特殊函数等领域。
以下是一些关于幂级数和函数研究现状的概述：1. 复分析中的幂级数：在复分析领域，幂级数被用于定义并研究解析函数。
任何在某个区域内部解析的函数都可以通过泰勒级数或者洛朗级数展开成该区域内的幂级数。
当前的研究不仅关注经典理论的发展，还涉及到了奇异点分类、解析延拓以及复动力系统等方面。
2. 数值分析与计算方法：幂级数在数值计算中有广泛应用，如求解微分方程、进行函数逼近等。
研究者正在开发更高效、稳定的算法来处理带有复杂特性的幂级数，并利用高精度计算技术对幂级数的收敛性和截断误差进行深入分析。
3. 泛函分析视角下的幂级数：泛函分析中的希尔伯特空间理论为幂级数提供了新的框架，例如，在Lp空间中研究幂级数的完备性、基性质以及它们构成的函数系的正交性问题。
4. 特殊函数与幂级数的关系：特殊函数（如贝塞尔函数、勒让德多项式、超几何函数等）的定义往往通过特定形式的幂级数给出。
目前的研究包括探索这些特殊函数的新性质、应用以及它们在不同科学领域（如物理学、工程学等）中的具体表现。
5. 非线性系统的幂级数解法：非线性微分方程或差分方程可以通过幂级数方法求近似解。
现代研究集中在如何有效拓展这种方法以处理更复杂的非线性现象，例如发展多尺度分析方法和多参数幂级数展开技术。
6. 随机过程与概率论中的幂级数：在概率论和随机分析中，幂级数也扮演着重要角色，例如在研究马尔科夫过程、随机游走、布朗运动等问题时，可能涉及到随机变量序列的幂级数表示及其统计特性。
7. 量子力学与幂级数展开：在量子力学中，波函数和其他物理量常常采用幂级数形式表示，如狄拉克δ函数的展开、格林函数的幂级数解法等。
这方面研究继续深化对微观粒子行为的理解，以及对量子体系精确计算能力的提升。
总之，幂级数和函数的研究始终活跃在数学及交叉学科前沿，不断有新的理论成果和技术应用涌现出来。
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展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它).
设方程的解为 y ak xk , 代入③:
k 0
k (k 1) ak xk2 k (k 1) ak xk
k 2
k 2
2 k ak xk n(n 1) ak xk 0
k 1
k 0
整理后得:
(k 2)(k 1) ak2 (n k)(n k 1) ak xk 0
a3
0,
a4
0,
a5
1 , 20
,
所求解为 y 1 x2 1 x5 . 2 20
小结: 无初始条件求解
可设 y C an xn
n1
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P( x) y Q( x) y 0中的系数
P( x)与Q( x)可在 R x R内展为x 的幂级数,
n0
则 y nan x n1 ,
n0
y n(n 1)an xn2 (n 2)(n 1)an2 xn ,
n1
n0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
(n
2)(n
1)an2
x n
x
nan xn1
an
xn
0,
n0
n0
n0
[(n 2)(n 1)an2 (n 1)an ]xn 0,
解: 设特解为
代入原方程整理得
2a0 a0 x (n 1)(n 2)an (n 2)an1 xn x4
n2
比较系数得: a0 0, 6 a4 2 a3 1
(n 1)(n 2)an (n 2)an1 0 (n 2, n 4)
从而得 当n > 4
时,
可任意取值,
a3 0,
练习题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y xy x 1； 2、 xy ( x m) y my 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y
y2
x3
,
y x01； 22、源自d2 dtx2
x cos t
0
,
x t0
a
,
dx dt
t0
0.
练习题答案
y y0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 其中a1 ,a2 , ,an , 为待定的系数.
例1
求 dy dx
x
y2
满足y
|x0
0的特解.
解 x0 0， y0 0,
设 y a1 x a2 x2 a3 x3 an xn ,
y a1 2a2 x1 3a3 x2 nan xn1 ,
第十一节
第七章
微分方程的幂级数解法
微分方程解法: 积分法 — 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 — 本节介绍 数值解法 — 计算数学内容
本节内容: 一、一阶微分方程问题
二、二阶齐次线性微分方程问题
一、问题的提出
例如 dy x2 y2 , dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法;
将 y, y 的幂级数展开式带入原方程
a1 2a2 x 3a3 x2 4a4 x3 x (a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 )2
x a12 x2 2a1a2 x3 (a22 2a1a3 )x4
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
a1
0,
a2
1, 2
k 0
比较系数, 得
ak 2
(n (k
k)(n 2)(k
k 1) 1)
ak
(k 0,1, )
例如:
a2
n(n 1) 2!
a0
a3
(n
1)(n 3!
2)
a1
a4
(n
2)(n 34
2)
a2
(n
2)n(n 1)(n 4!
3)
a0
a5
(n
3)(n 45
4)
a3
(n 3)(n 1)(n 5!
2)(n
卡比逐次逼近法; 数值解法.
二、dy f ( x, y)特解求法 dx
问题
求 dy dx
f (x, y) 满足
y
x x0
y0 的特解.
其中 f ( x, y) a00 a10( x x0 ) a01( y y0 ) alm ( x x0 )l ( y y0 )m .
假设所求特解可展开为x x0的幂级数
4) a1
a0 , a1 可以任意取, 于是得勒让德方程的通解:
y
a0
1
n(n 2!
1)
x2
(n
2)n(n 4!
1)(n
3)
x4
a1
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n 3)(n 1)(n 2)(n 4) x5 5!
(1 x 1)
上式中两个级数都在(－1, 1 )内收敛, 它们是方程的
那么在 R x R内原方程必有形如
的解.
y an xn n0
作法 设解为 y an xn , n0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x x0 的幂级数， 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
例2 求方程 y xy y 0的解.
解 设方程的解为 y an xn ,
x2
一、1、 y Ce 2 [1 x
1
x3
1 3
x 2n1
]；
1 3 5 (2n 1)
2、 y
C1e x
C2
m k0
xk k!
.
二、1、 y 1 1 x 1 x2 1 x3 9 x4 ； 2 4 8 16 32
两个线性无关特解.
四、小结 微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
作变换
分离变量法
积分因子
全微分方程
常数变易法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
特征方程法
幂级数解法
待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
因是求特解,
a4
1 6
故取
a1
a2
0,
an
n
1
1 an 1
1
(n 1)(n 2)
4
a4
(n
1
1)!
因此
n 4(n
1
1)!
x
n
注意到:
ex
1 xn ,
n0 n!
此题的上述特解即为
y x(ex 1 x 1 x2) 2
例4. 求解勒让德 (Legendre) 方程 ③
解:
都可在 (1,1)内
n0
an2
an n
, 2
n 0,1,2,
a2
a0 2
,
a3
a1 3
,
a4
a0 8
,
a5
a1 , 15
a2k
a0 k! 2k
,
a2k1
a1 , (2k 1)!!
原方程的通解
k 1,2,3,
y
a0
n0
x2n 2n n!
a1
n0
x (2n
2n1
1)!!
(a0 ,a1是任意常数)
例3. 求方程 x2 y (x 2) (x y y) x4 的一个特解.