微分方程的幂级数解法
高阶微分方程的降阶和幂级数解法
解题步骤:
第一步: 令x(k) y,则方程化为
F (t, y, y',, y(nk) ) 0
第二步: 即
求以上方程的通解
y (t, c1,, cnk ) x(k) (t, c1,, cnk )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t, c1,, cn ), 这里c1,, cn为任常数
即
x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' 0
引入新的未知函数 z y', x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' 0
方程变为
x1
dz dt
[2x1'
p(t)x1]z
0
是一阶线性方程,解之得
z
c x12
e p(t )dt ,
则
y c2
1 x12
e
p(t )dt dt
c1,
例1
求方程
d5x dt5
1 t
d4x dt 4
0的通解.
解
令
d4x dt 4
y,
则方程化为
dy 1
y0
dt t
这是一阶方程,其通解为 y ct,
即有
d4x dt 4
ct,
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x c1t 5 c2t 3 c3t 2 c4t c5 ,
幂级数解法
幂级数解法
《幂级数解法》是数学中常用的一种数值解法，它既可以用来计算数值解，也可以用来求解解析解。它广泛应用于物理学、工程学、统计学等领域，其原理和方法能够有效解决复杂的数值模拟问题。本文将从简介、正式定义、求解、应用及优点等方面对幂级数解法进行介绍，以期让读者更加深入的了解这种数值解法。
一、简介
幂级数解法是一种用来解决数学问题的解法，它主要是利用了“幂级数”的性质，可以将复杂的问题化简为多项式，再求解。
二、正式定义
幂级数解法是一种由多项式组成的数列，它具有自然界现象的性质，在求解数值问题时，可以将它用来表示物理量，并以尽可能高精度的形式求出未知物理量的数值解。
三、求解
求解幂级数通常要经过三个步骤：首先，将问题转化为多项式的形式；其次，通过恰当的拆分多项式，可以将问题分解为更容易求解的子问题；最后，利用化简法、分解法和拆分法等算法，逐步求解。
四、应用
幂级数解法在计算机科学领域有着广泛的应用，主要用于以下几种情况：
1、非线性问题的求解：
例如常见的微分方程，在数值解法上通常都采用幂级数解法来求
解。
2、离散数学和抽象代数问题的求解：
幂级数解法将问题从离散的表达形式转化为多项式的形式，通过对函数的分析、转换和处理，让问题更加容易解决。
3、函数逼近：
采用幂级数解法可以进行函数逼近，也是一种精确地数值拟合方法，能够有效减少数据的误差。
五、优点
1、计算简单：
幂级数解法可以有效的缩小多项式的规模，使计算更加简单，具有高精度的数值计算能力，适合求解复杂的数值模拟问题。
2、易于理解：
幂级数解法比较容易理解，步骤简单，过程易懂，很容易用数学公式表达出来，非常合适于实验室等场合使用。
高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
微分方程的 幂级数解法
dy
求一阶微分方程
dx
f (x,
y) 满足初值条件
y |xx0
y0
的特解, 其中
f (x, y)=a00 a10 (x x0 ) a01( y y0 )
alm
(x
x )l 0
(
y
y )m 0
.
幂级数解法:设所求特解可展开为 x x0 的幂级数:
y=y a (x x ) a (x x )2 a (x x )n + ,
).
从这递推公式可以推得a 7
a4 76
1, 7643
a8
a5 87
0,
a9
a6 98
0,
a10
a7 10 9
微分方程的幂级数解法
此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用, 很多 重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.
3
例2. 求解勒让德 (Legendre) 方程 (2) 解:
都 在(−1,1)内 可
∞
展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它). 设方程的解为 y = ∑ ak xk , 代入(2):
L L
5
a0, a1 可以任意取, 于是得勒让德方程的通解: 1− n(n +1) x2 + (n − 2)n(n +1)(n + 3) x4 +L y = a0 2! 4! x − (n −1)(n + 2) x3 + + a1 3! (n − 3)(n −1)(n + 2)(n + 4) 5 + x +L 5! (−1< x <1)
∞
(n − k)(n + k +1) ak (k = 0,1,L ) 比较系数, 得 ak +2 = − (k + 2)(k +1) 例如: (n −1)(n + 2) n(n +1) a3 = − a1 a2 = − a0 3! 2! (n − 2)(n + 2) (n − 2)n(n +1)(n + 3) a4 = − a2 = a0 3⋅ 4 4! (n − 3)(n + 4) (n − 3)(n −1)(n + 2)(n + 4) a5 = − a3 = a1 4⋅ 5 5!
微分方程幂级数解法
+ a y(n−1) 1
+ L + an−1 y′ + an y =
f (x)
用记号D 可表示为
(Dn
+
a Dn−1 1
+
L+
an−1 D
+
an
)y
=
f (x)
注意:
Dn
+
a Dn−1 1
+L+
an−1 D
+
an
是D
的多项式
可进行相加和相乘的运算．
x2
一、1、 y = Ce 2 + [−1 + x +
1
x3 +
1⋅ 3
L
+
1
⋅
3
⋅
5
x 2n−1 ⋅L⋅ (2n
−
1)
+
L]；
∑ 2、
y
=
C1e x
+
C2
m k=0
xk k!
.
二、1、 y = 1 + 1 x + 1 x2 + 1 x3 + 9 x4 + L； 2 4 8 16 32
2、 x = a(1 − 1 t 2 + 2 t 4 − 9 + 55 t 8 − L. 2! 4! 6! 8!
高等数学 第十一节 微分方程的幂级数解法
y
o y(t )
解 . 设 y = y ( t ) 为浮筒高出平衡位置的 高度 ( c m ) , m 为浮筒的质量 (克 ) .
则
′′ = − π ⋅ 252 y g my
2
(水 度 1, g 为 力 速 ) 密 为 重 加 度
25 π g y′′ + y=0 m
2 25 πg = 0 ⇒ r = ±25 π g/ m i r + m 2
m =0
∑
∞
m 1 ∏ k =1 (3k + 1) ⋅ 3k
3m +1 x .
> P10
5
例3
求勒让德 ( Legendre) 方程的通解 .
(1 − x ) y′′ − 2 x y′ + n (n + 1) y = 0
2
n−常 数
k −1
解
a 设 y = ∑ kx ,
E
A B K C
L
已 E = 20V , C = 0.5×10 F , 知
−6
R
L= 0.1 H , R = 2000 Ω.
解. 记 Uc = u ( t ) ,
则
qc ( t ) = C u ( t ) , i ( t ) = C u′
→ 0.5 × 10
−7 −3 u′′ + 10 u′ + u = 0
幂级数展开的微分方程法
幂级数展开的微分方程法
幂级数展开的微分方程法是一种重要的数学方法，用于求解一些微分方程的解析解。它的主要思想是将未知函数表示成幂级数的形式，将微分方程代入幂级数展开式中，得到关于幂级数系数的递推关系式，然后求解这个递推关系式，就可以得到未知函数的解析式。这种方法简便、通用，适用于大部分的微分方程，特别适用于线性微分方程和特殊函数的求解。
一、幂级数展开的基本概念
幂级数是一种函数的表示方式，它是由一系列同一种类型的项按照次数递增排列而成的无穷级数。它的一般形式为：
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}
a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$$其中 $x$ 为自变量，$a_n$ 为系数，$n$ 为幂数。幂级数可以表示为函数的一种无限多项式形式，可以表示任意光滑的函数，是数学中重要的工具之一。
二、幂级数展开的微分方程法
幂级数展开的微分方程法基于一个重要的定理——幂级数唯一性定理，该定理表明了一个幂级数可以通过它的收敛半径内的函数唯一确定。因此，我们可以将未知函数
表示成幂级数的形式，将微分方程代入幂级数展开式中，得到关于幂级数系数的递推关系式，然后求解这个递推关系式，就可以得到未知函数的解析式。
幂级数展开的微分方程法的步骤如下：
1. 假设未知函数 $y(x)$ 可以表示为幂级数的形式：
$$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$$
2. 将幂级数代入微分方程中，得到关于幂级数系数的递推关系式：
$$\sum_{n=0}^{\infty}
微分方程的幂级数解法
= y0 的特解 .
其中 f ( x , y ) = a00 + a10 ( x − x0 ) + a 01 ( y − y0 ) + L + a lm ( x − x0 ) l ( y − y0 ) m .
y = y0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) 2 + L
其中 a1 , a 2 ,L , a n ,L为待定的系数 .
定理 如果方程 y′′ + P ( x ) y′ + Q( x ) y = 0 中的系数
P ( x ) 与Q( x ) 可在 − R < x < R 内展为 x 的幂级数,
那么在 − R < x < R 内原方程必有形如 y = ∑ an x n
n= 0 ∞
的解.
作法
设解为 y = ∑ a n x n ,
易求一个特解 y ∗ = e t , 于是通解为
y = C1e
− αt
+ C 2e + C 3 cos β t + C 4 sin β t + e .
t
αt
(６ )
将(６)代入(３)得
x = α 3C1e −αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t + β 3C 4 sin β t − 2e t .
二阶线性常微分方程的幂级数解法
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二阶线性常微分方程的幂级数解法
从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程
''0y xy -=的通解
解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……
为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到
x -∞<<∞2210
a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=
或一般的可推得
32356(31)3k a a k k =
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，
1
3134673(31)
k a a k k +=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，
其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：
这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到
00a =， 11a =，
因而
将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而
最后得
21111(1)!!
k a k k k +=
⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。
微分方程的幂级数解法
微分方程的幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时, 我们就要寻求其它解法. 常用的有幂级数解法和数值解法. 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法.
求一阶微分方程
),(y x f dx dy =满足初始条件00|y y x x ==的特解, 其中函数f (x , y )是(x -x 0)、(y -y 0)的多项式:
f (x , y )=a 00+a 10(x -x 0)+a 01(y -y 0)+ ⋅ ⋅ ⋅ +a im (x -x 0)l (y -y 0)m .
这时我们可以设所求特解可展开为x -x 0的幂级数:
y =y 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ ,
其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅ , 是待定的系数. 把所设特解代入微分方程中, 便得一恒等式, 比较这恒等式两端x -x 0的同次幂的系数, 就可定出常数a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 从而得到所求的特解. 例1 求方程2y x dx
dy +=满足y |x =0=0的特解. 解 这时x 0=0, y 0=0, 故设
y =a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+ ⋅ ⋅ ⋅ ,
把y 及y '的幂级数展开式代入原方程, 得
a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4+ ⋅ ⋅ ⋅
=x +(a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+ ⋅ ⋅ ⋅ )2
=x +a 12x 2+2a 1a 2x 3+(a 22+2a 1a 3)x 4+ ⋅ ⋅ ⋅ ,
用广义幂级数求解下列微分方程
用广义幂级数求解下列微分方程
微分方程是数学中的一个重要分支，它在物理学、工程学、生物学等领域都有着广泛的应用。其中，广义幂级数方法是一种有效的求解微分方程的方法之一。本文将介绍如何用广义幂级数方法求解微分方程。
一、广义幂级数的引入
广义幂级数是一种特殊的函数展开式，它可以表示任意光滑函数。将一个光滑函数展开为广义幂级数的形式，可以方便地进行微积分运算。为了方便起见，下面我们用$y(x)$表示函数$y$。
二、用广义幂级数求解微分方程
考虑如下形式的微分方程：
$$F(x,y(x),y'(x),cdots,y^{(n)}(x))=0,$$
其中，$F$是一个关于$x,y,y',cdots,y^{(n)}$的函数。我们假
设$y(x)$在$x_0$处有一个$n$阶导数。那么，我们可以将$y(x)$在$x_0$处展开为广义幂级数的形式：
$$y(x)=sum_{k=0}^{infty}a_k(x-x_0)^k.$$
将上式代入微分方程，可以得到如下关于$a_k$的递推式：
$$[F(x_0,a_0,a_1,cdots,a_n,cdots,a_{n+k})]_k=0,qquad
k=0,1,2,cdots,$$
其中，$[F]_k$表示函数$F$关于第$k$个参数的$k$阶导数。
由于$y(x)$的展开式是无限的，我们只能取前几项进行计算。当计算到某一项时，如果其系数全为零，则可以停止计算。
三、数值例子
为了更好地理解广义幂级数方法，我们考虑用该方法求解如下微分方程：
$$y''+y=0,$$
其中，$y(0)=1$，$y'(0)=0$。该微分方程的通解为$y(x)=cos x$。
幂级数展开的微分方程法
幂级数展开的微分方程法
随着科学技术的不断进步，微分方程作为一种重要的数学工具被广泛应用于各个领域。在解决微分方程时，一种常见的方法是通过幂级数展开来得到近似解。本文将介绍幂级数展开的微分方程法，并结合实例进行详细说明。
一、幂级数展开的基本概念
幂级数是一种形式为∑anxn的级数，其中an是常数，x是变量。幂级数在数学中有着广泛的应用，如在微积分、常微分方程、偏微分方程、复分析等领域中都有重要的作用。幂级数展开是指将一个函数表示成幂级数的形式。例如，f(x)可以表示为：
f(x) = ∑anxn
幂级数展开的应用范围很广，其中一项就是在求解微分方程时使用。
二、幂级数展开的微分方程法
当我们遇到一些微分方程难以求解时，可以尝试使用幂级数展开的方法来得到近似解。具体步骤如下：
1. 假设所求解的函数可以表示成一个幂级数。
2. 将所得到的幂级数代入微分方程中，得到一个关于幂级数系数的递推关系式。
3. 利用递推关系式求出幂级数系数，从而得到所求解的函数。
下面通过一个具体的实例来说明幂级数展开的微分方程法。
例1 求解微分方程y'' + y = 0
解：假设所求解的函数可以表示成一个幂级数，即：
y(x) = ∑anxn
将y(x)代入微分方程中，得到：
∑n(n-1)anxn-2 + ∑anxn = 0
对于幂级数展开中的每一项，都有：
n(n-1)an + an = 0
解得：
an = (-1)n/(n!)
因此，所求解的函数为：
y(x) = ∑(-1)n/(n!)xn
这就是微分方程y'' + y = 0的解。
三、幂级数展开的优缺点
微分方程的幂级数解法
y — x + 奶 X + • • • + bnxn + • • •.
— 1 + 2^2 x + + nbnx" 1 + y" = 2b? + 3• 2b^x• • • + n(n — 1代)b入nx方n 2程+得• • •.
2b@ + 3 , 2bg x + (4 • 3b^ — 1) x? + (5 • 4b^ — b=
n+1
故所求得解为：
y = 1 x 2 + 丄 x5 + 丄 x8 + ….
> 2 20 160
■二、二阶变系数齐次方程—
问题：求方程y" + p(x)y + q(x)y = 0的解.
结论：若p(x)与q(x)在区间(-A,R)内可快展开为
x的幕级数，则方程在(-R, R)内公有形如
的解.
8
y =£bnXn n=0
一、求一阶方程的初值问题
求
了 = P (X, y)
、y x=Xo = y 0 的解，其中
P (x, y ) = + aoo aio( x - xo)+aoi( y - y°)+…+aim(x - xo)1 (y - y°)m 设 y = yo + b1(x—xo)+b2( x—xo)2 H—F bn (x—xo)) H—, 代入方程确定系数 402,…,与
幂级数解法
幂级数解法
幂级数解法是求解微分方程的一种技术，它可用于求解普通微分方程的无穷多解，也可用于求解常微分方程的特解，以及线性微分方程的非独立解。因此，在研究微分方程的求解过程中，对“幂级数解法”的研究具有重要的实际意义。
一、幂级数的概念
幂级数是由不同幂次的可积函数的和所组成的级数，可以表示为： $$sum_{k=0}^{infty}a_{k}x^{k}$$
其中，$a_{k}$叫做幂级数的系数，$x$叫做幂级数的变量，$k$叫做幂级数的项次，$infty$叫做幂级数的项数。
幂级数不仅可用于数学上的应用，也可用于物理学上的应用，像振动波、涡旋波、周期性复原函数等物理概念都可以用幂级数来表示。
二、幂级数解法的内容
1.入一类特殊的线性微分方程：
$$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+cdots+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x
)$$
式中，$y^{(n)}$表示微分方程的最高次导数，$p_{n-1}(x)$，$cdots$，$p_{1}(x)$，$p_{0}(x)$表示微分方程的n-1次，$cdots$，1次，0次项的系数函数，$Q(x)$表示微分方程右端项的函数。
2.先检查保守性，判断微分方程是否具有定常解。微分方程具有定常解的充要条件是$p_{n-1}(x)=p_{n-2}(x)=cdots=p_{2}(x)=0$，
此时微分方程可以化简为：
$$y^{(n)}+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$
无论$p_{1}(x)$、$p_{0}(x)$是否全等于0，都可以说明它具有定常解。
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x2
一、1、 y Ce 2 [1 x
1
x3
1 3
x 2n1
]；
1 3 5 (2n 1)
2、 y
C1e x
C2
m k0
xk k!
.
二、1、 y 1 1 x 1 x2 1 x3 9 x4 ； 2 4 8 16 32
练习题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y xy x 1； 2、 xy ( x m) y my 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y
y2
x3
,
y x0
1； 2
2、
d2 dt
x
2
x cos t
0
,
x t0
a
,
dx dt
t0
0.
练习题答案
第十一节
第七章
微分方程的幂级数解法
微分方程解法: 积分法 — 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 — 本节介绍 数值解法 — 计算数学内容
本节内容: 一、一阶微分方程问题
二、二阶齐次线性微分方程问题
一、问题的提出
例如 dy x2 y2 , dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法;
解: 设特解为
代入原方程整理得
2a0 a0 x (n 1)(n 2)an (n 2)an1 xn x4
n2
比较系数得: a0 0, 6 a4 2 a3 1
(n 1)(n 2)an (n 2)an1 0 (n 2, n 4)
从而得 当n > 4
时,
可任意取值,
a3 0,
k 0
比较系数, 得
ak 2
(n (k
k)(n 2)(k
k 1) 1)
ak
(k 0,1, )
例如:
a2
n(n 1) 2!
a0
a3
(n
1)(n 3!
2)
a1
a4
(n
2)(n 34
2)
a2
(n
2)n(n 1)(n 4!
3)
a0
a5
(n
3)(n 45
4)
a3
(n 3)(n 1)(n 5!
2)(n
n0
则 y nan x n1 ,
n0
y n(n 1)an xn2 (n 2)(n 1)an2 xn ,
n1
n0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
(n
2)(n
1)an2
x n
x
nan xn1
an
xn
0,
n0
n0
n0
[(n 2)(n 1)an2 (n 1)an ]xn 0,
n0
an2
an n
, 2
n 0,1,2,
a2
a0 2
,
a3
a1 3
,
a4
a0 8
,
a5
a1 , 15
a2k
a0 k! 2k
,
a2k1
a1 , (2k 1)!!
原方程的通解
k 1,2,3,
y
a0
n0
x2n 2n n!
a1
n0
x (2n
2n1
1)!!
(a0 ,a1是任意常数)
例3. 求方程 x2 y (x 2) (x y y) x4 的一个特解.
卡比逐次逼近法; 数值解法.
二、dy f ( x, y)特解求法 dx
问题
求 dy dx
f (x, y) 满足
y
x x0
y0 的特解.
其中 f ( x, y) a00 a10( x x0 ) a01( y y0 ) alm ( x x0 )l ( y y0 )m .
假设所求特解可展开为x x0的幂级数
y y0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 其中a1 ,a2 , ,an , 为待定的系数.
例1
求 dy dx
x
y2
满足y
|x0
0的特解.
解 x0 0， y0 0,
设 y a1 x a2 x2 a3 x3 an xn ,
y a1 2a2 x1 3a3 x2 nan xn1 ,
a3
0,
a4
0,
a5
1 , 20
,
所求解为 y 1 x2 1 x5 . 2 20
小结: 无初始条件求解
可设 y C an xn
n1
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P( x) y QFra Baidu bibliotek x) y 0中的系数
P( x)与Q( x)可在 R x R内展为x 的幂级数,
两个线性无关特解.
四、小结 微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
作变换
分离变量法
积分因子
全微分方程
常数变易法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
特征方程法
幂级数解法
待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
4) a1
a0 , a1 可以任意取, 于是得勒让德方程的通解:
y
a0
1
n(n 2!
1)
x2
(n
2)n(n 4!
1)(n
3)
x4
a1
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n 3)(n 1)(n 2)(n 4) x5 5!
(1 x 1)
上式中两个级数都在(－1, 1 )内收敛, 它们是方程的
将 y, y 的幂级数展开式带入原方程
a1 2a2 x 3a3 x2 4a4 x3 x (a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 )2
x a12 x2 2a1a2 x3 (a22 2a1a3 )x4
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
a1
0,
a2
1, 2
那么在 R x R内原方程必有形如
的解.
y an xn n0
作法 设解为 y an xn , n0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x x0 的幂级数， 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
例2 求方程 y xy y 0的解.
解 设方程的解为 y an xn ,
展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它).
设方程的解为 y ak xk , 代入③:
k 0
k (k 1) ak xk2 k (k 1) ak xk
k 2
k 2
2 k ak xk n(n 1) ak xk 0
k 1
k 0
整理后得:
(k 2)(k 1) ak2 (n k)(n k 1) ak xk 0
因是求特解,
a4
1 6
故取
a1
a2
0,
an
n
1
1 an 1
1
(n 1)(n 2)
4
a4
(n
1
1)!
因此
n 4(n
1
1)!
x
n
注意到:
ex
1 xn ,
n0 n!
此题的上述特解即为
y x(ex 1 x 1 x2) 2
例4. 求解勒让德 (Legendre) 方程 ③
解:
都可在 (1,1)内