江苏省泰州中学宜兴中学等校2019届高三4月联考数学试题(含附加题) 含解析

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江苏省2019届高三数学4月质量检测试题(含解析)

江苏省2019届高三数学4月质量检测试题（含解析）一、填空题（请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.设集合，则________.【答案】【解析】【分析】由题，解不等式求得集合A，再求得得出答案.【详解】因为集合，集合，所以故选A【点睛】本题考查了集合的交集，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于第________象限.【答案】一【解析】【分析】先由题对复数进行运算化简，求得在复平面所对应的点，可得结果.【详解】复数所以复数在复平面所对应的点为在第一象限故答案为一【点睛】本题考查了复数的概念，运算化简是解题的关键，属于基础题.3.“”是“”的__________条件.（填：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）【答案】必要不充分条件【解析】【分析】由题，很明显必要性成立，再取可得充分性不成立，可得答案.【详解】由可以推出，故必要性成立；当，成立，但是无意义，所以不成立，故充分性不成立故答案为必要不充分条件【点睛】本题考查了充分必要条件，熟悉对数函数的性质是解题的关键，属于基础题.4.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，现场作的7个分数的茎叶图如图，则5个剩余分数的方差为_________.【答案】6 【解析】【分析】由题，先去掉最高和最低分，求得剩下数的平均数，再利用方差公式求得方差即可. 【详解】由图观察，最高分为99，最低分为87，所以剩下的5个数的平均数：所以方差：故答案是6【点睛】本题考查了茎叶图，熟悉平均数和方差的求法是解题的关键，属于基础题.5.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中概率为______. 【答案】【解析】从个社团中随机选择个，有6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有3种选法，所以概率为6.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.【答案】【解析】【分析】直接模拟运行程序即得解.【详解】s=1-,k=2,s=,k=3,输出s=.故答案为：【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为_____.【答案】【解析】【分析】设出双曲线方程，由已知条件易得，，求得a，b的值，可得方程. 【详解】设焦点在x轴上的双曲线方程为：一条渐近线方程倾斜角为，取焦点，因为焦点到渐近线的距离为2，所以解得所以双曲线方程：故答案为【点睛】本题考查了双曲线的性质，掌握好双曲线的性质是解题的关键，属于较为基础题.8.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为_____.【答案】【解析】【分析】由题意，先求得圆柱体的高和底面圆的半径，再利用表面积公式求得圆柱的表面积.【详解】因为圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，所以圆柱的高为：，底面直径：，底面周长为：所以其表面积为：故答案为【点睛】本题考查了圆柱体的表面积，熟悉公式，清楚圆柱展开图形的形状是解题的关键，属于较为基础题.9.设四边形为平行四边形，.若点满足，则=______.【答案】9【解析】【分析】利用向量的加减运算法则，对进行变形，最后用向量表示，再将代入可得答案.【详解】由题，故答案为9【点睛】本题考查了向量数量积，解题的关键是掌握平面向量的加减运算法则，属于中档题目.10.若在是减函数，则a的最大值是_____.【答案】【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【详解】解：f（x）＝cos x﹣sin x＝﹣（sin x﹣cos x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故答案为：．【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．11.已知函数，.若存在2个零点，则a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】把的零点问题归结为与函数有两个不同交点的问题，通过移动动直线得实数的取值范围.【详解】有两个不同的零点等价于有两个不同的解，即有两个不同的解，所以的图像与有两个不同的交点.画出函数的图像，当即时，两图像有两个不同的交点，故答案为.【点睛】含参数的函数的零点个数问题，可以利用函数的单调性和零点存在定理来判断，如果该函数比较复杂，那么我们可以把该零点个数问题转化为两个熟悉函数图像的交点问题，其中一个函数的图像为动直线，另一个函数不含参数，其图像是确定的.12.已知公差为d的等差数列满足，且是的等比中项；记，则对任意的正整数n均有，则公差d的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】先由等差数列性质，求得通项公式，即可得到数列的通项，再利用求和公式求得可得结果.【详解】因为公差为d的等差数列满足，且是的等比中项，所以，解得所以即所以故答案为【点睛】本题考查了数列的综合，解题的关键是在于通项公式的求法和求和公式的运用，属于中档题目.13.已知点，若分别是和直线上的动点，则的最小值为_____.【答案】6【解析】【分析】设出点P的坐标和点R的坐标，分别表示出其向量，利用坐标求其模长，可得表示为圆与直线上一点距离的问题，再利用点到直线的距离求得其最小值.【详解】因为分别是和直线上的动点，所以设点，点所以所以表示的是圆上一点与直线直线上一点距离的最小值，圆是圆心为(0,0)半径为2的圆直线一般式：最小值为：故答案为6【点睛】本题考查了直线与圆的综合，会结合到参数方程和向量的坐标运算，模长的求法，属于较难题目.14.用表示中的最大值，已知实数满足，设，则M的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】由题，先求得M最大值时，x和y的关系范围，再画出图像，分别求得不同范围的的最小值即可求得答案.【详解】由题，当当，解得所以当时，，即图像的区域1当，即解得，所以当，，即图像的区域3所以当在区域2时，综上可得：在区域1中，；在区域2中，；在区域3中，在区域1中，当且紧当时，取最小值为在区域2中，当且紧当时，取最小值为在区域3中，当且紧当时，取最小值为综上所述，可得M的最小值为【点睛】本题考查了函数与不等式综合，熟悉理解题意，求最值是解题的关键，属于难题.二、解答题（请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点. （1）求的值；（2）若角满足，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题，先求得的值，再利用倍角公式，求得；（2）由恒等变化，可得，再利用已知条件求得、、代入求解即可.【详解】（1）（2）∵，∴，∵，∴，又∵，且终边在第三象限，∴.①当时，.②当时，【点睛】本题考查了三角综合求值，熟悉三角函数线和恒等变化是解题的关键所在，属于较为基础题.16.如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点O，E是棱上一点，且平面.（1）求证：E是的中点；（2）若，求证：.【答案】（1）见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）连接，由∥平面结合线面平行性质定理可得∥，结合是中点及，可得结果；（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直.试题解析：（1）连接，因为∥平面，平面，平面平面，所以∥.因为侧面是菱形，，所以是中点，所以，E是AB中点.（2）因为侧面是菱形，所以，又，，面，所以面，因为平面，所以．17.已知椭圆的离心率为，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为。

江苏省泰州市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷含解析

江苏省泰州市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(2sin,cos ),,2cos )2222x x x xa b ωωωω==r r ，函数()f x a b =r r ·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]4【答案】B 【解析】【分析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=++ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围. 【详解】解： ()22cos cos 12xf x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=++令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω=+∈，(0)2f =，又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+ 解得7542ω≤<．故选：B ．【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 2．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④【答案】D 【解析】【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈，当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.3．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④【答案】A 【解析】【分析】【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ． 4．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-【答案】B 【解析】【分析】根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可．【详解】由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的，故错误的可能是B 或者是D ，若D 错误，则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件．故错误的是B ，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．5．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最大值是（）A B ．1C D ．2【答案】D 【解析】【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-u u u r u u u r u u u r，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则()1,0A ，12⎛-⎝⎭B ，1,2C ⎛- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-u u u r u u u r u u u r222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 6．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为( ) A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 【答案】A 【解析】【分析】求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可. 【详解】因为()11cos 222f x x x x sinx π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，故可得()12f x cosx '=-+，令()0f x '=，因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故可得3x π=-或3x π=，则()f x 在区间,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()f x 的极大值点为3π-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A 【解析】【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少. 8．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B 【解析】化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B9．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.10．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（）．A ．2B ．3C ．1D ．6【答案】B 【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为2221113l =++ 故选：B ．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．11．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0），若该双曲线的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=【答案】C 【解析】【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程. 【详解】由题得ce a== ①又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③ 由①②③可得：25a =，220b =，所以双曲线的标准方程为221520x y -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.12．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（）A ．54B ．43C ．32D ．2【答案】C 【解析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH V 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =，所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届江苏省等四校高三联考数学试卷【含答案及解析】

2019届江苏省等四校高三联考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 设集合，，，则实数的值为________．2. 设复数满足（是虚数单位），则 ________．3. 下图是一个算法流程图，则输出的的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为～，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有____________________________ 辆．5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，若函数的图象过原点，则 _________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率为________．7. 设偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是_______．8. 在等比数列中，已知，，且公比为整数，则________．9. 如图，正四棱锥的底面一边长为，侧面积为，则它的体积为________．10. 已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．11. 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是________．12. 已知外接圆的半径为2，且，，则________．13. 已知为正实数，则的最小值为________．14. 设对任意恒成立，其中是整数，则的取值的集合为________．二、解答题15. 在中，角所对的边分别为，且．（1）求的大小；（2）设的平分线交于，求的值．三、填空题16. 如图，在四棱锥中，，且，，点在棱上，且．（1）求证:平面平面；（2）求证: 平面．四、解答题17. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若点都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上．①求直线的斜率；②求面积的最大值．18. 如图，是海岸线OM，ON的两个码头，为海中一小岛，在水上旅游线上，测得到海岸线的距离分别为，．（1）求水上旅游线的长；（2）海中，且处的某试验产生的强水波圆，生成小时时的半径为．若与此同时，一游轮以的速度自码头开往码头，试研究强水波是否波及游轮的航行?19. 设，函数，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）求证:函数存在极小值；（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．20. 正项数列: ，满足:是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列．（1）若，求数列的所有项的和；（2）若，求的最大值；（3）是否存在正整数，满足若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21. 如图，已知圆上是弧 =弧，过点的圆的切线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）求证：．22. 已知矩阵的一个特征值所对应的一个特征向量，求矩阵的逆矩阵．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线为．曲线上的任意一点的直角坐标为，求的取值范围．24. 已知关于的不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）求的最大值．25. 某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金元。

江苏省高三泰州中学、宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试数学试题含附加题(解析版)

2019年江苏省泰州中学、宜兴中学、梁丰高中高考数学模拟试
卷（4月份）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答
案填写在答题卡相应的位置上．）
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于第象限．
3．（5分）为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为．
4．（5分）从集合A＝{0，1，2，3}中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是．
5．（5分）中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的n＝2，x＝1，依次输入的a为1，2，3，运行程序，输出的s的值为．
6．（5分）若双曲线＝1的离心率为，则实数a的值为．
7．（5分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．
8．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5+a7+a9＝10，﹣＝36，则S10的值为．
9．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（0）+f（1）。

精品解析：江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题(解析版)

2019/2020学年度第二学期高三质量测数学试卷一、填空题：（共14小题，每题5分）1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ______【答案】{|12}x x <<【解析】【分析】直接由集合的交集运算，即可得到本题答案.【详解】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<<I .故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.2.已知i 为虚数单位，则复数11z i=-在复平面内对应的点位于第_______象限【答案】一【解析】【分析】先化简得到z ，即可求出本题答案. 【详解】由题，得11111(1)(1)22i z i i i i +===+--+，所以复数z 在复平面对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限. 故答案为：一【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及复数的几何意义，属基础题.3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[]40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[)40,60内的汽车有______辆.【答案】80【解析】试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.⨯+⨯=考点：频率分布直方图4.袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．【答案】3 5【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率. 详解：设3个黑球用A，B，C表示；2个白球用甲，乙表示，摸出2个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为63105 P==.故答案为3 5 .点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.5.在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．答对题数 4 8 9 10人数分布 1 1 2 1【答案】22 5【解析】【分析】根据表中数据计算平均数和方差即可．【详解】根据表中数据，计算平均数为()1x 48921085=⨯++⨯+=，方差为(22222122s [(48)(88)(98)2108)55⎤=⨯-+-+-⨯+-=⎦．故答案为225．【点睛】本题考查了平均数与方差的计算问题，熟记计算公式，准确计算是关键，是基础题．6.如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案.详解：程序执行如下 2018T <T i 1 5Y 510 Y50 15故2018T <不成立时，25i =.故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键7.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面.①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥；②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n .上述命题中为真命题的是______（填空所有真命题的序号）.【答案】①④【解析】【分析】由平面与平面垂直的判定定理可知①正确；②中,m n 的关系无法确定垂直；③中两个平面平行，两个平面内的直线可能平行也可能异面；由直线与平面平行的性质定理可得④正确.【详解】对于①，由平面与平面垂直的判定定理可知正确；对于②，若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则,m n 可能平行，也可能相交，垂直；对于③，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则,m n 可能平行，也可能异面；对于④，由直线与平面平行的性质定理可得④正确.故答案为：①④.【点睛】本题主要考查空间直线与平面间的位置关系，借助已知定理和身边的实物模型能方便解决这类问题，侧重考查直观想象的核心素养.8.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快(每天增加的数量相同)，已知第一天织布5尺，一个月(30天)共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺.(1匹4=丈，1丈10=尺) 【答案】1629【解析】分析：设该女子织布每天增加d 尺，由等差数列前n 项和公式求出d 即可.详解：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知，15a =尺，3010(943)390S =⨯+=尺又由等差数列前n 项和公式得3013029303902S a ⨯=+=，解得1629d =尺故答案为1629点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用. 9.若πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则πtan α8⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】13【解析】【分析】 πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出．【详解】πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ，ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫∴+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππππππππcos αcos sin αsin 2cos αcos 2sin αsin 88888888⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为：ππππcos αcos 3sin αsin 8888⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ3tanαtan188⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，2π2tanπ8tan1π41tan8==-Q，解得πtan218=-．π121tanα83321（）+⎛⎫∴+==⎪-⎝⎭，故答案为213+【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA2=，OC4=，AC5=，则OB ODu u u r u u u r⋅=______．【答案】52-【解析】【分析】建立坐标系，设()O m,n，()C a,b，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算OB OD⋅u u u r u u u r的值．【详解】以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设()O m,n，()B a,0，()D0,b，则()C a,b，OA2Q=，OC4=，AC5=，222222a b 25m n 4()()16m a n b ⎧+=⎪∴+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：13am bn 2+=．又()OB a m,n =--u u u r ，()OD m,b n u u u r =--，()()()22135OB OD m m a n n b m n am bn 422∴⋅=-+-=+-+=-=-u u u r u u u r ．故答案为52-．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题． 11.已知关于x 的方程()x x a 1-=在()2,∞-+上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______．【答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】分析：将方程问题转换为函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案.详解：Q 方程()1x x a -=在()2,-+∞上有3个相异实根， ∴函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点，在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在(2,0)x ∈-上，函数()y f x =与()y g x =有两个不同的交点，在(0,)x ∈+∞上，函数()y f x =与()y g x =有一个交点 Q 1,0()=1,0x x g x x x⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，联立1y x y x a⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得210x ax -+=，24a ∆=-∴240(2)(2)a g f ⎧∆=->⎨>⎩，即240122a a ⎧->⎪⎨>--⎪⎩，解得522a -<<-∴实数a 的取值范围为5(,2)2-- 故答案为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力. 12.已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b 3a 2b a ++的最小值等于______．【答案】11【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b b a b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案. 详解：Q111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b++=+++=++ Q 0a >，0b >，∴0b a >，0a b>， ∴2b a a b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611b a b a++≥+=. ∴32b a b a ++的最小值等于11. 故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.13.如图，已知AC 8=，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C)，且BM BN ⊥，则AM CN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为______．【答案】4【解析】【分析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M ，N 的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得α2β=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．【详解】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得()A 0,0，()B 4,0，()C 8,0，以AB 为直径的半圆方程为22(x 2)y 4(x 0,y 0)-+=>>，以AC 为直径的半圆方程为22(x 4)y 16(x 0,y 0)-+=>>，设()M 22cos α,2sin α+，()N 44cos β,4sin β+，0α<，βπ<， BM BN ⊥，可得()()BM BN 22cos α,2sin α4cos β,4sin β0u u u u r u u u r ⋅=-+⋅=，即有()8cos β8cos αcos βsin αsin β0-++=，即为cos βcos αcos βsin αsin β=+，即有()cos βcos αβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即α2β=，则()()AM CN 22cos α,2sin α44cos β,4sin β⋅=+⋅-+u u u u r u u u r()88cos α8cos β8cos αcos βsin αsin β=--+++288cos α16cos β16cos β16cos β=--+=-2116(cos β)42=--+，可得1cos β02-=，即πβ3=，2πα3=时，AM CN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为4．故答案为4．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键．14.若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______【答案】(,2)-∞-【解析】【分析】由题，得243a x x x <-+-在[1,3]x ∈恒成立，通过求24()3g x x x x =-+-在[1,3]x ∈的最小值，即可得到本题答案.【详解】关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立,等价于3234x x ax -+<-对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，即243a x x x<-+-在[1,3]x ∈恒成立，设24()3g x x x x =-+-，则()222(2)224()23x x x g x x x x -++'=-++=，令()0g x '>，得12x <<，令()0g x '<，得23x <<，所以()g x 在(1,2)递增，在(2,3)递减，又4(1)2,(3)3g g =-=-，所以min ()(1)2g x g ==-，所以2a <-，即a 的取值范围是(,2)-∞-，故答案为：(,2)-∞-【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，参变分离是解决此题的关键，考查学生的转化能力，以及运算求解能力. 二、解答题：（本大题共6小题，计90分）15.已知ABC V 内接于单位圆，且()()112tanA tanB ++=，()1求角C()2求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）34C π=（2）12【解析】【分析】()1变形已知条件可得1tanA tanB tanA tanB+=-⋅，代入可得()11tanA tanBtanC tan A B tanAtanB+=-+=-=--，可得C 值；()2由正弦定理可得c ，由余弦定理和基本不等式可得ab 的取值范围，进而可得面积的最值．【详解】()()()1112tanA tanB ++=Q1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanBtanC tan A B tanAtanB+∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=Q ()2ABC QV 的外接圆为单位圆，∴其半径1R =由正弦定理可得2c RsinC ==由余弦定理可得2222c a b abcosC =+-，代入数据可得222a b =+(22ab ab ≥+=，当且仅当a=b 时，“=”成立ab ∴≤ABC V ∴的面积11222S absinC =≤=，B AC ∴V 面积的最大值为：12【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属中档题．16.如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=.（1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值；（2）求证：平面BCD ⊥平面AED . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的性质得出//EF AB ，可以判断点F 为AC 的中点，从而求出λ的值；（2）由AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，得到BC AE ⊥，BC DE ⊥，由面面垂直的判断定理即可证明平面BCD ⊥平面AED .【详解】（1）因为//EF 平面ABD ，得EF ⊂平面ABC ，平面ABC I 平面=ABD AB ，所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，所以点F 为AC 的中点，由AFAC λ=，得1=2λ；（2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又=AE DE E ⋂，AE ⊂平面AED ，DE ⊂平面AED ，所以BC ⊥平面AED ，又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED .【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题.17.如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4=AD .点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =. 现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M 、N 分别在边AB ，AD 上.（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.【答案】(1)见解析;(2)当233AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为323+. 【解析】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出NF 和ME ，进而得出四边形材料AMPN 的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角θ的范围.（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点N 在AD 上的位置.详解：解：（1）在直角NFP ∆中，因为3PF =FPN θ∠=，所以3tan NF θ=，所以()1113tan 322NAP S NA PF θ∆=⋅=+ 在直角MEP ∆中，因为1PE =，3EPM πθ∠=-，所以tan 3ME πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以113tan 1223AMP S AM PE πθ∆⎡⎤⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎦，所以NAP AMP S S S ∆∆=+ 31tan tan 3223πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为31tan tan 223S πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3tan 2θ=令1t θ=+，由0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]1,4t ∈，所以243S t t ⎫==+⎪⎝⎭ 2≥=+当且仅当t =时，即tan θ=时等号成立，此时，AN =，min 2S =+答：当3AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为23+. 点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.18.已知椭圆E ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．()1若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；()2证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；()3若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）[]7,1- （2）见证明；（3）见解析【解析】【分析】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F ，设(),K x y ，求出12KF KF ⋅u u u r u u u u r 的表达式，然后求解范围即可．()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，利用点差法转化求解即可．()3直线l 过点,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且1.3k ≠设(),P P P x y ，设直线()()0,03ml y k x m m k =-+≠≠：，代入椭圆方程，通过四边形OAPB 为平行四边形，转化求解即可．【详解】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F设(),K x y，()1F K x y =+u u u u r，()2F K x y =-u u u u r，()()2221212881KF KF FK F K x y x y x y y ⋅=⋅=+⋅-=+-=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，11y -≤≤Q ，12KF KF ∴⋅u u u r u u u u r的范围是[]7,1-()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则222112222299.x y m x y m ⎧+=⎨+=⎩两式相减，得()()()()1212121290x x x x y y y y +-++-=，()()()()12121212190y y y y x x x x +-+=+-，即190OM l k k +⋅=，故19OM l k k ⋅=-； ()3设(),P P P x y ，设直线()()0,03m l y k x m m k =-+≠≠：，即3m l y kx km =-+：，由()2的结论可知19OM y x k =-：，代入椭圆方程得，2222991P m k x k =+，由()3m y k x m =-+与19y x k =-，联立得222933,9191m km k m km M k k ⎛⎫- ⎪-- ⎪++ ⎪⎝⎭若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以2M p x x =，即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k -+=解得，49k =．经检验满足题意所以当49k =时，四边形OAPB 为平行四边形. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点差法，直线与椭圆的交点，考查分析问题解决问题的能力，准确转化平行四边形是关键，是中档题19.已知函数f （x ）=ae x ，g （x ）=ln x -ln a ，其中a 为常数，且曲线y =f （x ）在其与y 轴的交点处的切线记为l 1，曲线y =g （x ）在其与x 轴的交点处的切线记为l 2，且l 1∥l 2．（1）求l 1，l 2之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x mf x -成立，求实数m 的取值范围；（3）对于函数f （x ）和g （x ）的公共定义域中的任意实数x 0，称|f （x 0）-g （x 0）|的值为两函数在x 0处的偏差．求证：函数f （x ）和g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【答案】（1；（2）()0-∞，；（3）见解析【解析】【分析】（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l 1，l 2之间的距离；（2）利用分离参数法，求出h （x ）=x e x 的最大值即可；（3）根据偏差的定义，只需要证明()()f x g x -的最小值都大于2．【详解】（1）f ′（x ）=ae x ，g ′（x ）=1x， y =f （x ）的图象与坐标轴的交点为（0，a ）， y =g （x ）的图象与坐标轴的交点为（a ，0），由题意得f ′（0）=g ′（a ），即a =1a，又∵a ＞0，∴a =1． ∴f （x ）=e x ，g （x ）=ln x ，∴函数y =f （x ）和y =g （x ）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为： x -y +1=0，x -y -1=0，.（2）由()x m f x -，得x x me-，故m＜x e x在x∈[0，+∞）有解，令h（x）=x e x，则m＜h（x）max，当x=0时，m＜0；当x＞0时，∵h′（x）=1-e x，∵x＞0，，e x＞1，e x，故h′（x）＜0，即h（x）在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）max=h（0）=0，∴m＜0，即实数m的取值范围为（-∞，0）．（3）解法一：∵函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=e x-ln x，x∈（0，+∞），∴F′（x）=e x-1x，设x=t为F′（x）=0的解，则当x∈（0，t），F′（x）＜0；当x∈（t，+∞），F′（x）＞0，∴F（x）（0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增，∴F（x）min=e t-ln t=e t-ln 1t e=e t+t，∵F′（1）=e-1＞0，F′（12）＜0，∴12＜t＜1，故F（x）min=e t+t+12+12=2，即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．解法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=e x-ln x，x∈（0，+∞），令F1（x）=e x-x，x∈（0，+∞）；令F2（x）=x-ln x，x∈（0，+∞），∵F1′（x）=e x-1，F2′（x）=1-1x=1xx-，∴F1（x）在（0，+∞）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴F 1（x ）＞F 1（0）=1，F 2（x ）≥F 2（1）=1， ∴F （x ）=e x -ln x =F 1（x ）+F 2（x ）＞2，即函数y =f （x ）和y =g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，利用导数求解函数的最值问题,属于难度题.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.(2)①21n b n =-，*n N ∈.②见解析.【解析】分析：（1）当2n ≥时，类比写出1123n n S a --+=，两式相减整理得113n n a a -=，当1n =时，求得10a ≠，从而求得数列{}n a 的通项公式.；（2）①将113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列{}n b 的通项公式；②由n c 的通项公式分析，得12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，且s p r <<，则2p s r c c c =+，即()1112212121333p s r p s r ------=+，根据数列{}nc 的单调性，化简得722p ≤<，将2p =或3p =代入已知条件，即可得到结论. 详解：解：（1）由23n n S a +=， ① 得()11232n n S a n --+=≥， ② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥，对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数，所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.（2）①由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， ③则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n L -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ④则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， ⑤由③-⑤得()212n b n n =-≥，对③取1n =得，11b =也适合上式，因此21n b n =-，*n N ∈. ②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==，则()11412121333n n n n n n n n c c +--+--=-=，所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，故12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+（*），即()1112212121333p s r p s r ------=+，因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥，由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥，因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>，即()122212333p p p p ---->，化简得72p <，又2p ≥且*p N ∈，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意，当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入（*）式得19r c =，因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以5r =，综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列.点睛：本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当1n =时， 11a S =求出1a ；（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．21.如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．23【解析】【分析】连接OD ,则OD DC ⊥,在Rt OED ∆中,1122OE OB OD ==,则6ODE π∠=,在Rt OCD ∆中,π6DCO ?,由CD =2，求出BC 即可.【详解】解:连接OD ,则OD DC ⊥,在Rt OED ∆中,由E 是OB 的中点，则1122OE OB OD ==, 则6ODE π∠=,在Rt OCD ∆中,π6DCO?, 由CD =2，则23tan 63OD DC π==, 则2223432()3OC =+=, 故432323BC OC OB OC OD =-=-=-=. 【点睛】本题考查了圆的切线问题，重点考查了运算能力，属基础题.22.已知矩阵1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 的逆矩阵111202=B -⎡⎤⎢-⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB ．【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦【解析】【分析】由11001B B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求出矩阵B ，再由矩阵的乘法，即可求解.【详解】解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1110220122a c b d cd ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1121022021a c b d c d ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得114012a b c d =⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩，所以114102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 因此，151121*********AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查用待定系数法求逆矩阵，以及矩阵乘法计算，属于基础题.23.已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．【答案】87【解析】【分析】直接根据柯西不等式，即可得到本题答案.【详解】由柯西不等式，得()2222222[(2)(3)]1(2)(3)x y z x y z ⎡⎤+-+-+-+-++⎣⎦„，即()2222(23)14x y z x y z--++„，即()2221614x y z++„，所以22287x y z ++≥，当且仅当23y z x ==--，即246,,777x y z --===时，222x y z ++取最小值87. 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，属基础题.24.已知230123(1)(1)(1)(1)(1),n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-L （其中*n N ∈）（1）求0a 及1nn ii S a ==∑；（2）试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，并说明理由．【答案】（1）02n a =，32n n n S =-（2）当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2,3n =时，23(1)22n n n n <-+；当4,n n N *≥∈时，23(1)22n n n n >-+---7分【解析】试题分析：（1）赋值法求二项展开式的项的系数：令1x =，则02n a =，令2x =，则03n n i i a==∑，∴32n n n S =-；（2）要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，即比较：3n 与2(1)22n n n -+的大小，这需先归纳：当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2,3n =时，23(1)22n n n n <-+；当4,5n =时，23(1)22n n n n >-+；再猜想当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+，最后用数学归纳法证明，关键将1n k =+时的式子与(4)n k k =≥情形建立关系：1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k ++>-+=+++-+--试题解析：解：（Ⅰ）令1x =，则02n a =，令2x =，则03n n i i a==∑，∴32n n n S =-；（Ⅱ）要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，即比较：3n 与2(1)22n n n -+的大小，---1分当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2,3n =时，23(1)22n n n n <-+；当4,5n =时，23(1)22n n n n >-+；猜想：当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，4n =时结论成立，假设当(4)n k k =≥时结论成立，即23(1)22k k k k >-+，两边同乘以3 得：1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k ++>-+=+++-+-- 而22(3)2442(3)24(2)6(2)24(2)(1)60k k k k k k k k k k k k -+--=-+--+=-+-++>∴1123[(1)1]22(1)k k k k ++>+-++即1n k =+时结论也成立，∴当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+成立.综上得，当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2,3n =时，23(1)22n n n n <-+；当4,n n N *≥∈时，23(1)22n n n n >-+---7分考点：数学归纳法。

江苏省泰州市2019届高三第四次模拟考试数学试题

江苏省泰州市2019届高三第四次模拟考试数学★祝考试顺利★ 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________．3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________．9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值； (2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线BD的中点，E，F 分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD.求证：(1) 直线PB∥平面OEF；(2) 平面OEF⊥平面ABCD.如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O，Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝π3，记∠APQ＝θ rad，地下电缆管线的总长度为y千米．(1) 将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围； (3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2018～2019学年度第一学期期末考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为g n(0)，g n(1)．(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.数学参考答案1. π2. ±43. 54. [－1，1]5. 15 6. 87. 4 8. 2 9. 14 10. (－1，＋∞) 11. 212. －34 13. [－1，0) 14. 51015. (1) 因为a ∥b ，所以sin x cos x ＝12，即sin 2x ＝1.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π4.(2) 因为tan x ＝sin xcos x ＝－2，所以sin x ＝－2cos x .因为a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋12，1＋cos x ，所以|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋（1＋cos x ）2＝94＋sin x ＋2cos x ＝32.16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点，所以PB ∥FO.因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ，所以PB ∥平面OEF.(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点．因为E 为PC 的中点，所以PA ∥OE.因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD.因为OE ⊂平面OEF ，所以平面OEF ⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝π6，又∠APO ＝π－θ，∠OAP ＝θ－π6，由正弦定理，得PA sin π6＝OA sin （π－θ）＝OPsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，又OA ＝2，所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ，所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，因为∠APQ ＞∠AOP ，所以θ>π6，∠OAQ ＝∠OQA ＝12(π－π6)＝5π12，所以θ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π12. (2) 令f(θ)＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π12， f′(θ)＝1－2cos θsin 2θ＝0，得θ＝π3， f(θ)在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上单调递减，在区间(π3，5π12)上单调递增，所以当θ＝π3，即OP ＝233千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min ＝2 3.答：当工作坑P 与O 的距离为233千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得⎩⎨⎧c a ＝12，a ＋a 2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，3x 2＋4y 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6m 2－83m 2＋4，y ＝12m 3m 2＋4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0，即B(6m 2－83m 2＋4，12m 3m 2＋4)，则P(－83m 2＋4，6m 3m 2＋4)，所以k OP ＝－3m 4，OP ：y ＝－3m 4x.因为AB ⊥BQ ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，联立⎩⎨⎧y ＝－3m4x ，y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，得x 0＝8（3m 2＋2）3m 2＋4＝8－163m 2＋4∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′⎝⎛⎭⎫1x 对x ∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x ∈(0，1)，则f′(x)＝1x ＝2a x ＝f′⎝⎛⎭⎫1x 恒成立，即a ＝12，经验证，a ＝12符合题意．(2) 设A(t ，t 2)，B ⎝⎛⎭⎫1t ，1t 2(t ≠0且t ≠±1)，因为f′(x)＝2x ，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝2t x －1t 2，令2tx －t 2＝2t x －1t 2，解得x ＝12⎝⎛⎭⎫t ＋1t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t ，ln t)，b ⎝⎛⎭⎫1t ，－ln t ，t ∈(0，1)，因为f′(x)＝1x，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝1t x ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1，令1t x ＋ln t －1＝tx －ln t －1，解得x ＝2ln tt －1t>0，所以y ＝1t ·2ln tt －1t ＋ln t －1＝t 2＋1t 2－1(ln t －t 2－1t 2＋1)，设h(m)＝ln m －m 2－1m 2＋1，m ∈(0，1)，则h′(m)＝（m 2－1）2m （m 2＋1）2>0，所以h(m)单调递增，所以h(m)<h(1)＝0，即ln t －t 2－1t 2＋1<0.因为t 2＋1t 2－1<0，所以y ＝1t ·2ln tt －1t＋ln t －1>0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1，即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1，化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1. 因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1，所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1，解得r ＝1.(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1，得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n ≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n ≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ，两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1. 因为q ＝2或－1，所以q 2－q ≠0，所以上式不可能对任意n ≥3恒成立，故数列{a n }不可能是等比数列． (3) r ＝1时，令n ＝2，整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1，令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1，解得a 4＝7a 1，由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n ≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n ≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n ≥3)，所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n ≥4)，两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n ≥4)．因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n ≥4)，即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n ≥4)，又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x ＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t代入(x ＋1)2＋y 2＝4得⎝⎛⎭⎫12－t ＋12＋⎝⎛⎭⎫12＋t 2＝4，即4t 2－4t －3＝0，解得t 1＝－12，t 2＝32，则AB ＝2|t 1－t 2|＝2⎪⎪⎪⎪－12－32＝2 2. C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1，所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c≥(2a ×1a＋a ＋b ×1a ＋b＋b ＋c ×1b ＋c)2＝(2＋1＋1)2 ＝6＋42，当且仅当1a2a＝1a ＋ba ＋b＝1b ＋cb ＋c时，等号成立，所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c的最小值为6＋4 2.22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，所以BA 1→＝(－1，0，3)，AC 1→＝(1，1，3)，所以cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝－1＋910×11＝411055.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以A 1B →＝(1，0，－3)，A 1C →＝(1，1，－3)，AC 1→＝(1，1，3)，AD →＝(0，1，0)，设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧A 1B →·n 1＝0，A 1C →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0，令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n 2＝0，AD →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3z 2＝0，y 2＝0，令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－9＋110×10＝－45，所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为35.23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1，所以2(1－|2x －1|)＝1，所以1－|2x －1|＝12，所以2x －1＝±12，所以x ＝14或x ＝34，所以g 2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，所以f n (0)＝f n (1)＝0.因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]，当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)．下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)．当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)．所以方程f k ＋1(x)＝0(x ∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)，同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立，又因为f n (0)＝f n (1)＝0，所以g n (0)＝g n (1)＋1.。

江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2019-2020学年高三上学期11月月考数学试题(解析版)

江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2019-2020学年度高三年级第一学期第一次联合测试试卷数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合{}1|0A x x =-<<，{}|B x x a =≤，若A B ⊆，则a 的取值范围为：_______.【答案】[)0,+∞【解析】【分析】根据A B ⊆,列式解得.【详解】因为{}1|0A x x =-<<，{}|B x x a =≤，且A B ⊆,所以0a ≥.故答案为:[0,)+∞.【点睛】本题考查了子集关系,属于基础题.2.若幂函数()k f x x =的图像过点()4,2，则()9f =____.【答案】3【解析】【分析】根据(4)2f =解得12k =,由此可得12()f x x =,然后可得(9)f .【详解】因为幂函数()k f x x =的图像过点()4,2,所以(4)2f =,即42k =,所以222k =,所以21k =,所以12k =, 所以12()f x x =, 所以12(9)9f =122(3)3==,故答案为:3.【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,属于基础题.3.函数sin cos y x x =的最小正周期是______．【答案】p【解析】1sin 22y x =，周期2ππ2T ==. 4.已知角α的顶点在原点，始边为x 轴非负半轴，则“α的终边在第一象限”是“sin 0α>”的_________________条件.（从“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”中选填）【答案】充分不必要【解析】【分析】根据第一象限角,y 轴非负半轴上的角以及第二象限的角的正弦值都大于零可得.【详解】由α的终边在第一象限可以推出sin 0α>,由sin 0α>,可以推出α的终边在第一象限或者在y 轴非负半轴上或者在第二象限,所以“α的终边在第一象限”是“sin 0α>”的充分不必要条件.故答案为: 充分不必要.【点睛】本题考查了充分必要条件,正弦函数的符号法则,属于中档题.5.已知向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则a b -=____.【解析】【分析】利用2||()a b a b -=-可得.【详解】因为222()24221cos ,1a b a a b b a b -=-⋅+=-⨯⨯⨯<>+144132=-⨯+=, 所以||3a b -=.故答案为【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模,属于基础题.6.已知()P a 为角θ的终边上的一点，且1sin 2θ=，则实数a 的值为____. 【答案】1【解析】【分析】由三角函数的定义，即可求解a 得值，得到答案.【详解】由三角函数的定义可知1sin 2θ==，解得1a =±，又由sin 0θ>，所以1a =.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题.7.曲线()1e x y ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】3-【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可。

2020届江苏省泰州中学、宜兴中学等校高三4月联考数学试题(解析版)

2020届江苏省泰州中学、宜兴中学等校高三4月联考数学试题一、填空题1．已知集合，，则集合中元素的个数为____.【答案】42．在复平面内，复数对应的点位于第_______象限．【答案】四3．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_______．【答案】12004．从集合A＝{0，1，2，3}中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是_______．【答案】5．中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的n＝2，x＝1，依次输入的a为1，2，3，运行程序，输出的s的值为_______．【答案】66．若双曲线的离心率为，则实数a的值为_______．【答案】17．若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为。

【答案】8．设为等差数列的前n项和，若，，则的值为_______．【答案】9．函数(A＞0，＞0)的图象如图所示，则的值为_______．【答案】10．已知点P是△ABC内一点，满足，且，延长AP交边BC于点D，BD＝2DC，则＝_______．【答案】11．记不等式组，所表示的平面区域为.“点”是“”成立的____条件.（可选填：“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）【答案】充分必要12．椭圆M：的两个顶点A(a，0)，B(0，b)，过A，B分别作AB 的垂线交椭圆M于D，C（不同于顶点），若BC＝3AD，则椭圆M的离心率e＝_______．【答案】13．已知函数，若直线，是函数图像的两条平行的切线，则直线，之间的距离的最大值是____.【答案】2【解析】先对函数求导，设两切点，利用两切线平行找到两切点坐标间的关系，然后写出两切线方程，计算出两切线间距离再求最值.【详解】解：因为，记l1，l2的切点分别为、，且所以所以因为l1：，化简得同理l2：即所以因为所以，当且仅当时取等号所以距离最大值为2故答案为：2.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线方程，两平行线间距离的最值，曲线的切线斜率即为该点处的导数，求最值过程中常用到不等式或函数相关知识.14．若无穷数列满足：，当'，时，（其中表示，，…，中的最大项），有以下结论：① 若数列是常数列，则；② 若数列是公差的等差数列，则；③ 若数列是公比为的等比数列，则：④ 若存在正整数，对任意，都有，则，是数列的最大项.其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）.【答案】①②③④【解析】①令n=2，＝，若数列是常数列，则，所以，即得；②若数列是等差数列，则＝max{，，…，}=|d|，有最大值，只能递减；③若数列是等比数列，令n=2，＝，所以或（舍）；④，为周期数列，可先假设最大，由易证得，所以最大.【详解】解：①若数列是常数列，则＝max{，，…，}=0，所以（），①正确；②若数列是公差d≠0的等差数列，则＝max{，，…，}=|d|，所以有最大值，因此不可能递增且d≠0，所以d＜0，②正确；③若数列是公比为q的等比数列，则，且＝＝，所以，所以或，又因为，所以,所以q＞1，③正确；④若存在正整数T，对任意，都有，假设在中最大，则中都是最大，则＝，且，即＝，所以，所以是数列的最大项，④正确.故答案为：①②③④.【点睛】本题考查了数列的综合问题，涉及到常数数列、等差数列、等比数列、周期数列，对知识熟练度和推理分析能力要求较高，属于难题.15．对任给的实数a（a≠0）和b，不等式恒成立，求实数x的取值范围．【答案】【解析】先参变分离将恒成立问题转化成的最值问题，然后用绝对值不等式求出其最小值为2，再解绝对值不等式.【详解】解：因为所以恒成立又因为所以最小值为2所以当时，，所以当时，，所以当时，，所以综上所述：.【点睛】本题考查了绝对值不等式求最值，绝对值不等式的解法，恒成立问题中常采用参变分离法转化为最值问题，解绝对值不等式常采用分类讨论法.二、解答题16．如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）易证AD⊥平面CDE，从而AD⊥CE；（2）先证平面ABF∥平面CDE，可得BF∥平面CDE.【详解】证明：（1）因为矩形ABCD所以AD⊥CD又因为DE⊥AD，且CD DE=D，CD、DE平面CDE所以AD⊥平面CDE又因为CE平面CDE所以AD⊥CE（2）因为AB∥CD，CD平面CDE，AB 平面CDE所以AB∥平面CDE又因为AF∥DE，DE平面CDE，AF平面CDE所以AF∥平面CDE又因为AB AF=A，AB、AF平面ABF所以平面ABF∥平面CDE又因为BF平面ABF所以BF∥平面CDE【点睛】本题考查了异面直线垂直的证明和线面平行的证明，异面直线垂直常先证线面垂直，线面平行证明可用其判定定理，也可先证面面平行再得线面平行.17．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a＋c)＋c＝0．（1）求角B的大小；（2）若b＝，试求的最小值．【答案】（1）（2）－2【解析】（Ⅰ）因为，所以，即，则………………4分所以，即，所以…………………………8分（Ⅱ）因为，所以，即 (12)分所以=，即的最小值为………………………14分18．某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交元的管理费，预计当每件商品的售价为元时，一年的销售量为万件.（1）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式；（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润最大，并求出的最大值.【答案】（I）.（II）当每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元；当每件商品的售价为元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元.【解析】试题分析：（1）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L(x)= (x－4－a)(10－x)2，x∈[8,9]．（2）=(10－x)(18+2a－3x)，令，得x =6+a或x=10（舍去）．∵1≤a≤3，∴≤6+a≤8.所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减，故=L(8)=(8－4－a)(10－8)2=16－4a．即M(a) =16－4a.答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为16－4a万元．【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及利用导数求闭区间上函数最值的能力．19．在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分別与圆O：交于点A，B，与圆M：(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1交于点C，D．（1）若AB＝，求CD的长；（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先由AB的长度求出圆心O到直线AB的距离，列方程求出直线AB的斜率，从而得到直线CD的斜率，写出直线CD的方程，用垂径定理求CD得长度；（2）△ABE的面积，先考虑直线AB、CD平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB，再在△PME 中用勾股定理求出PE，将面积S表示成直线AB斜率k 的函数式，再求其范围.【详解】解：（1）因为AB＝，圆O半径为2所以点O到直线AB的距离为显然AB、CD都不平行于坐标轴可设AB：，即则点O到直线AB的距离，解得因为AB⊥CD，所以所以CD：，即点M（2,1）到直线CD的距离所以（2）当AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以△ABE 的面积S=4当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在，舍当AB与CD都不平行于坐标轴时由（1）知因为，所以因为点E是CD中点，所以ME⊥CD，所以所以△ABE的面积记，则则综上所述：【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理求弦长，三角形面积的最值，在设直线方程时一定要先考虑斜率可能不存在的情况.20．定义函数，(0，)为型函数，共中．（1）若是型函数，求函数的值域；（2）若是型函数，求函数极值点个数；（3）若是型函数，在上有三点A、B、C横坐标分別为、、，其中＜＜，试判断直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小并说明理由．【答案】（1）；（2）1个；（3）见解析.【解析】（1）先对函数求导求出其单调性，结合端点值求出值域；（2）先求导令导数等于0，求极值点个数只需判断导数零点的个数，化简整理后得，将导数零点转化为两个函数的交点问题，利用图像观察求出交点个数；（3）先求导再进行二阶求导，利用二阶导数研究一阶导数的单调性与范围，再得出原函数的单调性，因为二阶导数小于0，所以函数是三凸的单调递减函数，结合函数图像很容易得出两直线斜率的关系. 【详解】解：（1）因为，所以当时，，单调递增当时，，单调递减又因为，，所以函数的值域为（2）因为，所以，当时，结合函数图像易知与在上有且只有一个交点当，时，，当时，，，当时，，，且当时，当时，，函数单调递增当时，，函数单调递减所以函数只有一个极大值点，极值点个数为1个（3）因为，所以所以所以在上单调递减，且，所以构造函数,则记,则当时，，单调递增当时，，单调递减又因为，所以，所以所以在和上单调递减因为＜＜所以所以所以直线AB的斜率大于直线BC的斜率【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值、极值，遇到一阶导数等于0不好解时，常继续进行二阶求导，在解题的过程中多结合函数简图可以更加形象直观.21．已知数列的前项和为.数列满足，.（1）若，且，求正整数的值；（2）若数列，均是等差数列，求的取值范围；（3）若数列是等比数列，公比为，且，是否存在正整数，使，，成等差数列，若存在，求出一个的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2；（2）；（3）存在，k=1.【解析】（1）在原式中令n=m，代入，即可解出m；（2）设出数列，的首项和公差，代入原式化简得一个含n的恒等式，所以对应系数相等得到；（3）当时，，，为，，成等差数列.【详解】解：（1）因为，且所以解得（2）记数列，首项为，公差为；数列，首项为，公差为则，化简得：所以所以的取值范围（3）因为，所以所以，所以所以若，，成等差数列，则所以，所以，解得当时，，，为，，成等差数列.当时，，，为，，因为所以所以当时，，，不成等差数列综上所述：存在且仅存在正整数时，，，成等差数列【点睛】本题考查了等差等比数列的通项与求和，已知等差等比数列可直接表示出其通项与前n项和，然后寻找解题思路.22．已知直线C1：x＋y＝1，对它先作矩阵A＝对应的变换，再作矩阵B＝对应的变换（其中m≠0），得到直线C2：，求实数m的值．【答案】1【解析】先求出直线C1到直线C2的变换矩阵BA，设直线C1任一点，该点在矩阵BA对应的变换下变为，建立关系，解出代入C1，然后与C2比较得出答案.【详解】解：直线C1到直线C2的变换矩阵BA=在直线C1任取一点，设该点在矩阵BA对应的变换下变为则有所以，解得代入直线C1：x＋y＝1得，与直线C2：对比得所以.【点睛】本题考查了矩阵变换的性质，解题时要特别小心变换矩阵BA，而不是AB.23．已知点是曲线为参数，）上一点，为原点，若直线的倾斜角，求点的直角坐标.【答案】【解析】试题分析：先根据同角三角函数平方关系消去参数得曲线的普通方程，再根据点斜式得直线的方程，最后联立方程组解出点的直角坐标.试题解析：解：由题意得，曲线的普通方程为，，直线的方程为，联立得（舍去）或，所以点的坐标为.24．邗江中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由已知得，即可得到事件的概率.（2）由题意得，得到随机变量的所有可能取值，求得随机变量取每个值的概率，即可得到随机变量的分布列，并计算其数学期望.试题解析：（1）由已知得.所以事件发生的概率为.（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2计算，，；所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望为.点睛：本题主要考查了概率的计算及随机变量的分布列、数学期望，此类问题的解答中主要认真审题，正确把握试验的条件，合理求解每个取值对应的概率是解答的关键，同时注意概率公式的应用和准确计算.25．已知数列的前项和为，.（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；（2）若，求证：，…，，必可以被分为组，使得每组所有数的和小于1.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）先将最大的一个数一组，另两个一组，利用反证法证明这两个较小的数的和小于1；（2）先将其中介于和1之间的单独分一组，再把小于的数进行拼凑成若干组，保证每组都介于和1之间，最后剩余的分成一组，再分析介于和1之间组数小于等于k即可.【详解】解：（1）不妨设假设，则所以所以与矛盾，因此,所以必可分成两组、使得每组所有数的和小于1（2）不妨设，先将，，…，单独分为一组，再对后面项依次合并分组，使得每组和属于，最后一组和属于，不妨设将，，…，分为，，…，，，共组，且其中组，，…，，，最后一组首先必小于等于，否则，与，矛盾当时，则所以只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件；当时，可将与合成一组，且，否则，矛盾此时只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件，所以，，…，必可以被分为m组(1≤m≤k)，使得每组所有数的和小于1．【点睛】本题主要考查推理论证能力，抓住题中的关键点进行分组处理，同时结合反证法进行论述推理.。