数学：《等比数列》复习课件
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03 教学课件_等比数列(3)
解析:∵an+1=3Sn,①
∴an=3Sn-1(n≥2).②
+1
=4(n≥2).
①-②,得 an+1-an=3an,即
又
2
a2=3,a1=1,∴ =3,
1
2
因此插入的3个数分别为2，1， 或−2，1， −
1
2
归纳总结
1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的
前一项与后一项的等比中项．
2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第
一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
9 = 1 2
−243 = 1 5
解得1 = 1,q = −3，因此
8 = (−3)8−1 = −2187.
尝试与发现
探究3.如果G为与的等比中项，那么G能用与表示出来吗
根据等比中项与等比数列的定义可知
=
由此可知 = ±
，因此 2 =
，
典例解析
例6.已知数列{an}中，
木棒的长度构成数列
1
1
1
， ， ，…②
2
4
8
我们都知道，如果将钱存在银行里，那么将会获得利息，例如如果某年年初
将1000元钱存为年利率为3%的5年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则
这5年中,每年年底的本息和构成数列
1000×1.03, 1000× 1.032 ×，…,1000×1.035 .③
第五章 数 列
5.3.1 等比数列
课标阐释
∴an=3Sn-1(n≥2).②
+1
=4(n≥2).
①-②,得 an+1-an=3an,即
又
2
a2=3,a1=1,∴ =3,
1
2
因此插入的3个数分别为2，1， 或−2，1， −
1
2
归纳总结
1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的
前一项与后一项的等比中项．
2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第
一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
9 = 1 2
−243 = 1 5
解得1 = 1,q = −3，因此
8 = (−3)8−1 = −2187.
尝试与发现
探究3.如果G为与的等比中项，那么G能用与表示出来吗
根据等比中项与等比数列的定义可知
=
由此可知 = ±
，因此 2 =
，
典例解析
例6.已知数列{an}中，
木棒的长度构成数列
1
1
1
， ， ，…②
2
4
8
我们都知道，如果将钱存在银行里，那么将会获得利息，例如如果某年年初
将1000元钱存为年利率为3%的5年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则
这5年中,每年年底的本息和构成数列
1000×1.03, 1000× 1.032 ×，…,1000×1.035 .③
第五章 数 列
5.3.1 等比数列
课标阐释
4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
2024届高考一轮复习数学课件(新人教B版)：等比数列
跟踪训练2 在数列{an}中， a2n＋1 ＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2， a2＝5. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
因为 a2n＋1＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)， 即aan＋n＋1＋11＝aann＋ ＋21＋ ＋11. 因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6， 所以aa21＋＋11＝2， 所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.
选②③作为条件证明①： 设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1， 当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)， 因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1， 又因为aan＋n 1＝2(n≥2)，且 a2＝2a1， 所以{an}为等比数列.
教材改编题
1.设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的 A.充分不必要条件
√B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
教材改编题
若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc， 数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1， 但数列－1，－1，1,1不是等比数列， 即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
由(1)知，an＋1＝3·2n－1， 所以an＝3·2n－1－1， 所以 Sn＝311－－22n－n＝3·2n－n－3.
题型三 等比数列的性质
例 3 (1)(2023·黄山模拟)在等比数列{an}中，a1，a13 是方程 x2－13x＋9
高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.1等比数列的概念及通项公式》课件
4．3 等比数列 4．3.1 等比数列的概念
新课程标准 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．掌握等比数列的性质并应用． 3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运
算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核 心素养．
第一课时 等比数列的概念及通项公式
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an， 这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[对点练清]
1则 log3a2 020
等于
()
A．2 017
B.2 018
C．2 019
D.2 020
解析：由已知可得 a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为 an＝a1·qn
得，最佳乐观系数 x 的值等于________． [析题建模]
读懂 题意
→
根据乐观系数的概念 及等比中项的意义
―建―模→
建立关于 x的方程
→
求 解
解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项， 即(c－a)2＝(b－c)(b－a)， 把 c＝a＋x(b－a)代入上式， 得 x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)， 即 x2(b－a)2＝(1－x)·(b－a)2. 因为 b＞a，所以 b－a≠0， 所以 x2＝1－x，即 x2＋x－1＝0， 解得 x＝－1＋2 5或 x＝－1－2 5(舍去)． 答案：－1＋2 5
a1＝32，
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
新课程标准 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．掌握等比数列的性质并应用． 3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运
算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核 心素养．
第一课时 等比数列的概念及通项公式
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an， 这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[对点练清]
1则 log3a2 020
等于
()
A．2 017
B.2 018
C．2 019
D.2 020
解析：由已知可得 a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为 an＝a1·qn
得，最佳乐观系数 x 的值等于________． [析题建模]
读懂 题意
→
根据乐观系数的概念 及等比中项的意义
―建―模→
建立关于 x的方程
→
求 解
解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项， 即(c－a)2＝(b－c)(b－a)， 把 c＝a＋x(b－a)代入上式， 得 x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)， 即 x2(b－a)2＝(1－x)·(b－a)2. 因为 b＞a，所以 b－a≠0， 所以 x2＝1－x，即 x2＋x－1＝0， 解得 x＝－1＋2 5或 x＝－1－2 5(舍去)． 答案：－1＋2 5
a1＝32，
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
高三数学 第四篇 第三节等比数列课件 理 北师大版
第二十五页，编辑于星期五：八点 三十五分。
也成等比数列，其公比为qn，于是，问题转化为： A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12， 要求A1q3n＋A1q4n＋A1q5n的值． 由A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12， 得q2n＋qn－6＝0，那么qn＝2或qn＝－3. 由A1q3n＋A1q4n＋A1q5n ＝A1q3n(1＋qn＋q2n)＝2·q3n·7＝14·q3n
第四页，编辑于星期五：八点 三十五分。
性质 .
(5)设等比数列{an}的公比为q，则数列 {kan}(k为常数)仍为q等比数列，公比为 .
(6)设数列{an}，{bn}为等比数列，公比分别 为q1，q2，则{an·bn}也为等比q1q数2 列，公比为
第五页，编辑于星期五：八点 三十五分。
b2=ac是a,b,c成等比的什么条件？ 提示：b2=ac是a,b,c成等比的必要不充分条件，∵ 当b=0,a,c至少有一个为零 时，b2=ac成立，但a,b,c不成等比，反之，假设a,b,c成等比，那么必有 b2=ac.
第三节 等比数列
第一页，编辑于星期五：八点 三十五分。
考纲点击
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和 公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等 比关系，并能用有关知识解决相应的问 题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.以定义及等比中项为背景，考查等比 数列的判定. 2.以考查通项公式、前n项和公式为主，
那么na1＝40,2na1＝3 280，矛盾．
∴q≠1，∴ a1(11－－qqn)＝40
①
a1(11－－qq2n)＝3 280 ②
第二十三页，编辑于星期五：八点 三十五分。
②÷①得1＋qn＝82，∴qn＝81 ③ 将③代入①得q＝1＋2a1 ④ 又∵q＞0，∴q＞1，∴a1＞0，{an}为递增数列． ∴an＝a1qn－1＝27 ⑤ 由③、④、⑤得q＝3，a1＝1，n＝4. ∴a2n＝a8＝1×37＝2 187.
也成等比数列，其公比为qn，于是，问题转化为： A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12， 要求A1q3n＋A1q4n＋A1q5n的值． 由A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12， 得q2n＋qn－6＝0，那么qn＝2或qn＝－3. 由A1q3n＋A1q4n＋A1q5n ＝A1q3n(1＋qn＋q2n)＝2·q3n·7＝14·q3n
第四页，编辑于星期五：八点 三十五分。
性质 .
(5)设等比数列{an}的公比为q，则数列 {kan}(k为常数)仍为q等比数列，公比为 .
(6)设数列{an}，{bn}为等比数列，公比分别 为q1，q2，则{an·bn}也为等比q1q数2 列，公比为
第五页，编辑于星期五：八点 三十五分。
b2=ac是a,b,c成等比的什么条件？ 提示：b2=ac是a,b,c成等比的必要不充分条件，∵ 当b=0,a,c至少有一个为零 时，b2=ac成立，但a,b,c不成等比，反之，假设a,b,c成等比，那么必有 b2=ac.
第三节 等比数列
第一页，编辑于星期五：八点 三十五分。
考纲点击
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和 公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等 比关系，并能用有关知识解决相应的问 题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.以定义及等比中项为背景，考查等比 数列的判定. 2.以考查通项公式、前n项和公式为主，
那么na1＝40,2na1＝3 280，矛盾．
∴q≠1，∴ a1(11－－qqn)＝40
①
a1(11－－qq2n)＝3 280 ②
第二十三页，编辑于星期五：八点 三十五分。
②÷①得1＋qn＝82，∴qn＝81 ③ 将③代入①得q＝1＋2a1 ④ 又∵q＞0，∴q＞1，∴a1＞0，{an}为递增数列． ∴an＝a1qn－1＝27 ⑤ 由③、④、⑤得q＝3，a1＝1，n＝4. ∴a2n＝a8＝1×37＝2 187.
高三数学总复习优秀ppt课件(第33讲)等比数列(46页)
an bn
是等比数列吗？
是
（2）已知数列an,数列{ bn }是项数相同的等比数
列，那么数列an bn是等比数列吗？ 不一定
an bn (n≥ 2)? an1 bn1
回顾反思
（1）思想方法：回到定义去！ （2）基本策略：作商！ aann1（n≥2）为常数. （3）思维误区：作商时不考虑等比数列的特征． （4）解题策略：注重整体思想的应用．
聚焦重点：知三求二的策略
基础知识
1．等比数列的通项公式
如果等比数列an的首项是a1，公比是 q，则等比
数列的通项公式为 an a1qn1.
2．等比数列的前n项和公式
当q=1时， Sn na1
当q≠1时，
Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
问题研究
对于等比数列{an}中的a1，q，n，an，Sn，如 何由其中已知的三个量求出其余两个量？
是以
1 2
为公比的等比数列，{an}的前
n
项和为
Sn，
试问：S1，S2，S3…，Sn，…能否构成等比数列？
为什么？
1．14 2．2n－1
参考答案
3. 当 n=1 时，S1=a1=1．
当
n≥2
时，an=a2qn-2=-
1 2
(
1 2
)n-2=-(
1 2
)n-1．
1 (n 1),
∴an=
(
1 2
)n1
= 3n－3n-1=3 3n1 3n1=2·3n-1．
纵上，an
1 (n 1),
2
3n1(n
≥
2).
可知a1=1，a2=6，a3=18． ∵a22≠a1 a3，
高中数学课件：第二章24等比数列第二课时等比数列的性质及应用
返回
法三：设这四个数依次为 x，y,12－y,16－x， 由已知得21y2＝－xy＋2＝12y－16y－，x. 解得xy＝＝40，， 或xy＝＝91.5， 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
返回
若将“和是16”改为“积是－128”，将“和是12”改为“ 积为16”，如何求解？
返回
[小问题·大思维] 1．在等比数列{an}中，如何用am表示an?
提示：an＝am·qn－m. 2．若数列{an}是一个无穷等比数列，公比为q，将数列{an}
的偶数项去掉，剩余各项组成一个新的数列，它还是等 比数列吗？它的首项和公比分别是多少？ 提示：仍然是等比数列，首项为a1，公比为q2.
返回
返回
[通一类] 2．在递增等比数列中，a1a9＝64，a3＋a7＝20.求a11的值．
返回
解此方程得 x＝4 或 x＝16. ∴aa311＝＝41，6 或aa131＝＝146. 又 a11＝a3·q11－3＝a3·q8， ∴q＝±(aa131)18＝±418＝±4 2或 q＝±(14)18＝±41 .
2
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[研一题] [例2] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三 个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和 是12.求这四个数．
返回
2．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋ l，则有 am·an＝ak·al .特别地，当m＋n＝2k时， am·an＝a .
3．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按 原来的顺序排列，所得的新数列为 等比数列 ．
返回
4．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为 q1，q2， 那么数列a1n，{kan}(k∈R，且 k≠0)，{an·bn}，bann，{|an|} 仍是 等比数列 ，且公比分别为q11，q1，q1q2，qq21，|q1|.
法三：设这四个数依次为 x，y,12－y,16－x， 由已知得21y2＝－xy＋2＝12y－16y－，x. 解得xy＝＝40，， 或xy＝＝91.5， 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
返回
若将“和是16”改为“积是－128”，将“和是12”改为“ 积为16”，如何求解？
返回
[小问题·大思维] 1．在等比数列{an}中，如何用am表示an?
提示：an＝am·qn－m. 2．若数列{an}是一个无穷等比数列，公比为q，将数列{an}
的偶数项去掉，剩余各项组成一个新的数列，它还是等 比数列吗？它的首项和公比分别是多少？ 提示：仍然是等比数列，首项为a1，公比为q2.
返回
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[通一类] 2．在递增等比数列中，a1a9＝64，a3＋a7＝20.求a11的值．
返回
解此方程得 x＝4 或 x＝16. ∴aa311＝＝41，6 或aa131＝＝146. 又 a11＝a3·q11－3＝a3·q8， ∴q＝±(aa131)18＝±418＝±4 2或 q＝±(14)18＝±41 .
2
返回
[研一题] [例2] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三 个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和 是12.求这四个数．
返回
2．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋ l，则有 am·an＝ak·al .特别地，当m＋n＝2k时， am·an＝a .
3．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按 原来的顺序排列，所得的新数列为 等比数列 ．
返回
4．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为 q1，q2， 那么数列a1n，{kan}(k∈R，且 k≠0)，{an·bn}，bann，{|an|} 仍是 等比数列 ，且公比分别为q11，q1，q1q2，qq21，|q1|.
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件
课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．
高考数学一轮总复习课件：等比数列
等比数列的性质 (1)等比数列{an}中，m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 am·an＝___a_p·__aq_____． (2)等比数列{an}中，Sn为其前n项和，当n为偶数时，S偶＝S 奇·__q___． (3)等比数列{an}中，公比为q，依次k项和为Sk，S2k－Sk， S3k－S2k(Sk≠0)成_等__比__数列，新公比q′＝__q_k___．
常用技巧
(1)若等比数列{an}的前n项和Sn＝A·qn＋B，则A，B满足的 关系式为__A__＋_B_＝__0___．
(2)三个数成等比数列可设三个数分别为
b q
，b，bq，四个数
成等比数列且公比大于0时，可设四个数分别为qb3，bq，bq，bq3.
1．(课本习题改编)(1)等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四 项等于___－_2_4___．
则称数列{an}为等比数列． (2)通项公式an＝__a_1·__q_n－_1___＝am·__q_n_－m___ (q≠0)．
__n_a_1 _，q＝1， (3)前n项和公式Sn＝____a1_(1_1-_-qq_) _n ____，q≠1. (4)M，N同号时它们的等比中项为_±__M__N___．
满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( C )
A．4
5 B.2
C．2
1 D.2
解析
方法一：由题意，得
a1·a1q4＝16， a1q＝2，
解得
a1＝1， q＝2
或
aq1＝＝－－21，(舍去)．故选C.
方法二：a1a5＝a32＝16.
由an>0，得a3＝4，∴q＝aa23＝2.
3．(2020·课标全国Ⅰ，文)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3 ＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝( D )
《高二数学等比数列》课件
03
02
01
04
等比数列与其他数列的联系与区别
等差数列和等比数列都是线性数列，具有特定的规律性。
定义关联
等差数列是等比数列的一种特例，当公比为1时，等比数列退化为等差数列。
增长趋势
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$d$是公差，$q$是公比。
通项公式相似
项的变化
在等差数列中，任意两项之差是一个常数，而在等比数列中，任意两项之比是一个常数。
增长模式
等差数列是均匀增加或减少的，而等比数列则是以固定比例增加或减少。
通项公式差异
等差数列的通项公式仅包含常数和线性函数，而等比数列的通项公式包含指数函数。
联系实例
设有一等差数列${3, 7, 11, 15, ...}$，当公差$d=4$时，该等差数列可以看作是等比数列${3, 7, 15, 29, ...}$的特例，其中公比$q=5$。
详细描述
数列1，-2，4，-8，16是等比数列，因为其满足等比数列的性质，即公比为-2，首项为1，项数为5。
举例
总结词
01
通过具体实例说明等比数列的判定方法
详细描述
02
通过具体的实例来演示如何应用定义和性质进行等比数列的判定，包括计算比值、应用性质等步骤。
举例
03
数列3，6，12，24，48是等比数列，可以通过计算相邻两项的比值来验证（6/3=2，12/6=2，24/12=2，48/24=2），同时也可以应用等比数列的性质来验证（公比为2，首项为3，项数为5）。
06
总结与展望
等比数列的定义与性质
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值是常数。
02
01
04
等比数列与其他数列的联系与区别
等差数列和等比数列都是线性数列，具有特定的规律性。
定义关联
等差数列是等比数列的一种特例，当公比为1时，等比数列退化为等差数列。
增长趋势
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$d$是公差，$q$是公比。
通项公式相似
项的变化
在等差数列中，任意两项之差是一个常数，而在等比数列中，任意两项之比是一个常数。
增长模式
等差数列是均匀增加或减少的，而等比数列则是以固定比例增加或减少。
通项公式差异
等差数列的通项公式仅包含常数和线性函数，而等比数列的通项公式包含指数函数。
联系实例
设有一等差数列${3, 7, 11, 15, ...}$，当公差$d=4$时，该等差数列可以看作是等比数列${3, 7, 15, 29, ...}$的特例，其中公比$q=5$。
详细描述
数列1，-2，4，-8，16是等比数列，因为其满足等比数列的性质，即公比为-2，首项为1，项数为5。
举例
总结词
01
通过具体实例说明等比数列的判定方法
详细描述
02
通过具体的实例来演示如何应用定义和性质进行等比数列的判定，包括计算比值、应用性质等步骤。
举例
03
数列3，6，12，24，48是等比数列，可以通过计算相邻两项的比值来验证（6/3=2，12/6=2，24/12=2，48/24=2），同时也可以应用等比数列的性质来验证（公比为2，首项为3，项数为5）。
06
总结与展望
等比数列的定义与性质
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值是常数。
苏教版高三数学复习课件5.3 等比数列
|q|
等比数列 ②{an}是等比数列，则{λan}，{|an|}也是等比数列，公比分别
，
；
等比
qm
按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列也是 Sm＋qmSn ．
为
③{an}成等比数列，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成
.
数列，公比
1． (2010·江苏通州市高三素质检测)若实数列1，a，b，c,4是等比 数列，
(n≥2)为常数；(2)利用等比中项，
即证明a＝an－1·an＋1(n≥2)．
5．等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活
运用．
6．解决等比数列有关问题的常见思想方法： (1)方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三 求二”； 列； (2)分类讨论的思想：当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时为递增数列； 当a1＜0，q＞1或a1＞0，0＜q＜1时为递减数列；当q＜0时为摆动数
【规律方法总结】
1．深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常 数”这
两点．
2．运用等比数列求和公式时，须对q＝1或q≠1进行讨论．
3．已知三个数成等比数列，可设这三个数为
，a，aq(q≠0)．
4．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法是：
(1)利用定义，证明
a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24.(*)
a3·a5＝(a1q3)2＝64.∴a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入(*)式，
±2.
得q2＝－2(舍去)，将a1q3＝8代入(*)式，得q2＝4.∴q＝
当q＝2时，得a1＝1，∴S8＝ 当q＝－2时，得a1＝－1，∴S8＝
等比数列 ②{an}是等比数列，则{λan}，{|an|}也是等比数列，公比分别
，
；
等比
qm
按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列也是 Sm＋qmSn ．
为
③{an}成等比数列，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成
.
数列，公比
1． (2010·江苏通州市高三素质检测)若实数列1，a，b，c,4是等比 数列，
(n≥2)为常数；(2)利用等比中项，
即证明a＝an－1·an＋1(n≥2)．
5．等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活
运用．
6．解决等比数列有关问题的常见思想方法： (1)方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三 求二”； 列； (2)分类讨论的思想：当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时为递增数列； 当a1＜0，q＞1或a1＞0，0＜q＜1时为递减数列；当q＜0时为摆动数
【规律方法总结】
1．深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常 数”这
两点．
2．运用等比数列求和公式时，须对q＝1或q≠1进行讨论．
3．已知三个数成等比数列，可设这三个数为
，a，aq(q≠0)．
4．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法是：
(1)利用定义，证明
a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24.(*)
a3·a5＝(a1q3)2＝64.∴a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入(*)式，
±2.
得q2＝－2(舍去)，将a1q3＝8代入(*)式，得q2＝4.∴q＝
当q＝2时，得a1＝1，∴S8＝ 当q＝－2时，得a1＝－1，∴S8＝
5.4 等比数列课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第五章数列
【融会贯通】 在等比数列{an}中，已知 a3＝3，S3＝21，求 q. 解：∵a3＝3，S3＝a1＋a2＋a3＝aq32＋aq3＋a3＝21，6q2－q－1＝0，∴q
＝12或 q＝－13.
1．已知等比数列14，－12，1，－2，…，则数列的第 10 项为( D )
A．127
B．128
C．－256
由 a5＝a1q4＝2 得 a1＝18.
方法二：aa59＝ ＝aa11qq48＝ ＝23① 2②， ②
由①得 q4＝16，所以 q＝±2， 由 a5＝a1q4＝2 得 a1＝18. 故 q＝±2，a1＝18.
【融会贯通】 若等比数列{an}满足 a2＝56，a5＝7，则该等比数列的
公比为( A )
16．在数列{an}中，前 n 项和 Sn＝3n－1，求{an}的通项公式，并证明 其为等比数列． 【解析】 ∵当 n＝1 时，a1＝S1＝31－1＝2，当 n≥2 时，an＝Sn－ Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝3n－3n－1＝2×3n－1，a1＝2 满足 an＝2×3n－1， ∴an＝2×3n－1. 又∵aan＋n 1＝22××33n－n 1＝3＝q，∴{an}是首项为 2，公比为 3 的等比数列．
A．2
B．－2
C．±2
D．5
【解析】 根据通项公式得：a4＝a2q2⇒q2＝aa42＝250＝4，∴q＝±2，故选
C.
2．等比数列{an}的前 3 项的和等于首项的 3 倍，则 q＝( C )
A．－2
B．1
C．－2 或 1 D．2 或－1
【解析】 由已知条件得：S3＝a1＋a2＋a3＝3a1，即 1＋q＋q2＝3，整
2 C.3
D．－23
【解析】 ∵a4＋a8＋a12＝q3(a1＋a5＋a9)＝－27，∴q3＝－287，则 q＝
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第三节 等比数列 (2)
q.依题意,q≠±1,S6=
,S9=
.由
1-
1-
1+3 +6
1+3
=
3
1
3
,解得 q =- 或 q3=1(舍去).由
2
2
a1-a4=3 得 a1(1-q )=3,于是得 a1=2,则有 an=2·
q .由
3
1
−
2
-1
3
=
1 2
=
2
1 2
-1
− ,从而有 =2,解得
2
3
n-1
1
am=2得
·
=
(+2) +1
2 ·
(+1)
∴数列{bn}是首项为 2,公比为 4
=
(+2) 4(+1)2
2 ·(+2) =4,且
(+1)
+1
的等比数列,∴bn= ·
an=2·
4n-1,则
an= ·
22n-1.
+1
(2)解 ∵bn=2·
4 ,∴Tn=2×(1+4+…+4
或 Sn= 1 -
1-
, ≠ 1
1-
, ≠ 1.
微点拨在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q≠1分类讨论,防
止因忽略q=1这一特殊情况而导致解答错误.
3.等比数列的性质
(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,m∈N*).
(2)若数列{an}为等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,q∈N*).
=q(n∈N*).
,S9=
.由
1-
1-
1+3 +6
1+3
=
3
1
3
,解得 q =- 或 q3=1(舍去).由
2
2
a1-a4=3 得 a1(1-q )=3,于是得 a1=2,则有 an=2·
q .由
3
1
−
2
-1
3
=
1 2
=
2
1 2
-1
− ,从而有 =2,解得
2
3
n-1
1
am=2得
·
=
(+2) +1
2 ·
(+1)
∴数列{bn}是首项为 2,公比为 4
=
(+2) 4(+1)2
2 ·(+2) =4,且
(+1)
+1
的等比数列,∴bn= ·
an=2·
4n-1,则
an= ·
22n-1.
+1
(2)解 ∵bn=2·
4 ,∴Tn=2×(1+4+…+4
或 Sn= 1 -
1-
, ≠ 1
1-
, ≠ 1.
微点拨在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q≠1分类讨论,防
止因忽略q=1这一特殊情况而导致解答错误.
3.等比数列的性质
(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,m∈N*).
(2)若数列{an}为等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,q∈N*).
=q(n∈N*).
高三一轮复习等比数列课件
判断性质
根据通项公式判断等比数 列的性质，如公比、项数 等。
求解问题
利用通项公式解决等比数 列相关的问题，如求和、 判断单调性等。
特殊等比数列的通项公式
等差等比混合数列
该数列前n项中，有一部分是等差数列，一部分是等比数列，需要分别推导等 差部分和等比部分的通项公式，再结合得到混合数列的通项公式。
平方数列
算法优化
在计算机性。
05 等比数列的习题与解析
基础习题
基础习题
1. 题目：已知等比数列 { a_n } 中，a_1 = 2，a_3 = 8， 则 a_5 = _______．
3. 题目：已知等比数列 { a_n } 的前 n 项和为 S_n，且 S_3，S_9，S_6 成等差数列，则 a_2a_8 = _______．
高三一轮复习等比数列课件
目录
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列在实际生活中的应用 • 等比数列的习题与解析
01 等比数列的定义与性质
等比数列的定义
等比数列的定义
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的比值都相等 ，记作 a_n/a_(n-1)=r（常数） 。
分段等比数列求和
对于一些分段等比数列，需要分段进行求和，并注意分段点处的连 续性。
04 等比数列在实际生活中的 应用
等比数列在金融中的应用
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮 助投资者了解投资收益的增长情
况。
保险计算
保险公司在计算保险费用和赔付 时，常常使用等比数列来计算未
来价值和赔偿金额。
股票分析
等比数列的表示
通常用英文字母q表示等比数列的 公比，用a_1表示第一项，用n表 示项数。
高考一轮复习理科数学课件等比数列的概念及基本运算
通过绘制等比数列的图像，可以更直观地了解放射性元素的衰变速度。
等比数列在解决实
04
际问题中应用
增长率问题建模
复合增长率计算
利用等比数列的求和公式 ，可以计算一定时期内的 复合增长率，从而预测未 来的发展趋势。
连续增长问题
当某个量按照固定的比例 连续增长时，可以利用等 比数列的通项公式求解任 意时刻的数值。
02
通过设定方程，利用求和公式解出首项或公比。
等比数列在实际问题中的应用
03
如分期付款、复利计算等场景，可转化为等比数列求和问题进
行求解。
乘除法运算规则
等比数列的乘法运算
两个等比数列对应项相乘，得到的新数列仍为等比数列，且公比为原两数列公比之积。
等比数列的除法运算
一个等比数列除以另一个等比数列，得到的新数列仍为等比数列，且公比为原两数列公比 之商（分母数列公比不能为0）。
生物学中细胞分裂模型
细菌繁殖
细菌在适宜的环境下会进行二分裂繁殖，即一个细菌分裂成 两个细菌，然后这两个细菌再分别分裂成四个细菌，以此类 推。这种繁殖方式可以用等比数列来描述。
放射性物质衰变
放射性物质会不断地放出射线并衰变成其他物质。在衰变过 程中，放射性物质的原子数会按照固定的比例减少，这种变 化也可以用等比数列来描述。
。
这个相等的比值被称为公比，通 常用字母q表示。
等比数列的一般形式为：a, aq, aq^2, aq^3, ...，其中a是首项
，q是公比。
等比中项概念
01
等比中项是指在一个等比数列中 ，如果两项a和b的等比中项为c， 则c的平方等于a和b的乘积。
02
等比中项的性质是：若a、G、b 依次为等比数列的三项，则G叫 做的等比中项，且G^2=a+b（ 等比中项的平方等于前项与后项 之积）。
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例１
已知等比数列
，a3 =20
a5 =80 , 求 a3 , a5的等比中项
变：已知等比数列
a７ =320 , 求 q , a5
，a3 =20
求 a3 , a7的等比中项
例2 . 已知等比数列{an}中 ,
且
a1 a5 = 8，
a2 a4 9
求
an
例3 . 已知三个数成等比数列，它们的和为 21，它们的积为64，求这三个数。
等比数列的定义
1.
an a2 a3 a4 a5 q a1 a2 a3 a4 a n1
an q an 1
2.
an 1 或 q an
( n 2)
( n 1)
等比数列的通项公式
如果等比数列｛an｝的首项是a1， 公比是q，则
an a1 q
通项公式的变形
n 1
2 n
引申一: 若a, b, c 成等比数列 ，一定有
ac b
2
引申二: 若a, b, c 成等比数列 ，称b为a , c等比中项
思考二: 若a, b, c 成等比数列 ，一定有
ac b
2
,反之对吗?
引申: 如果数列{an}中 ，对于任意的正整数 n(n 2) 2 都有 an1an1 an (n 2) , 那么{an}是等比数列吗?
an nm q n m am an am q
思考１：
在等差数列{an}中 ，若m＋n＝p＋q， 有am＋an＝ap＋在等比数列{an}中 ，若m＋n＝p＋q，
aman a p aq
特例: 在等比数列{an}中 ，
an1an1 a (n 2)
练习： Ｐ51 1 , 2 作业： Ｐ 5２ ４ ,
６，８，９
； /shamiannong/ 沙黾农；
族の女人,为自己量身定做の,随着自己の修为慢慢の给自己の术.她壹直在暗中帮助自己,只是壹直不肯与自己见面.这壹百四五十年间,她也曾经又出现过七八次,都是与自己行完道侣之事之后,自己还是在睡觉之中,就与她行了夫妻之实了.但是她从不与自己见面,自己也不知道,她是不是和 画相中长の样子.合仙之术,是紧接着分仙之术过来の.就是壹种可以将本尊和第二元神の力量,进行叠加,瞬间提升自己修为の神术.根汉如今和第二元神壹起,都有三十二星の实力,通过这合仙之术の叠加之后,可以在接下来の壹个时辰内,拥有近三十四星の实力.壹个时辰之后,这种状态就会 解除.所以相当于根汉最强,可以维持壹个时辰の,三十四星の实力.而三十四星,距离突破三十六星,已经很近了.现在根汉就是利用这分仙之术,先分开修行,相当于是以两个自己在修行.加倍了修行の速度,同时要发挥の时候,又可以借助合仙之术,冲击更高の境界.回到了九天十域之内,这里 想再寻到至阳至阴之物,却已经是很难了.如今到了这个境界,每往上升壹星,都很困难,都要遇到壹场大造化才行.不过根汉冥冥中,却记得有壹些什么地方,可以给他提供这样の力量,只是现在还需要慢慢梳理罢了.这壹天,根汉终于是离开了流城.他并没有去和萧远の尔子打招呼,那小子在那 小寡妇那里呆了四五天,和那小寡妇壹直腻在壹起,之后便有事离开了.萧远の尔子,好像已经来到这玄域安家了,在壹处名叫安远圣地の地方,当起了壹个外门长老.根汉这壹天,也来到了这安远圣地の祖地.这同样是玄域新起の壹个圣地,只不过实力比莫初圣地要差壹些,不过同样是很强大の 壹个圣地.外面虽然布有他们所谓の仙阵,但是在根汉面前,如今这九天十域上の大部分法阵,都是形同虚设の,根汉直接来到了这祖地の里面.前面有壹座深山,那里有不少弟子把守,还有壹些长老镇守这里.那里有传送塔,根汉来到了这里."你们都些,不到传送时间,没有传送令牌壹律不得进行 传送.""是.""不管是谁,都不得开后门!"今天值班の,是这安远圣地の六长老,在这壹带被人称为六铁公鸡.是出了名の铁公鸡,即使是这圣地内の人,想要用这里の传送阵,都得献上东西,要不然の话壹概不得用.也正是这家伙现在值守,所以现在这附近也没什么人过来用传送阵,因为没有人想 送东西给他.六长老这传送塔附近,也没什么人出现,不由得心里在这里诅咒,今天这是见了鬼了,怎么老子壹值勤,马上就没有人过来了呢.难道这些家伙,都不用传送阵了吗?"这些混蛋,是不是故意不来の?想等老八来の时候,再出现?"他想了想,老八是出了名の好人缘,再过半个多月就要换老 八来值守这里了,所以这些家伙现在都不来了,想等到老八来の时候再传送吧."不行,这样子不行,咱总是这样子捞不到好处の呀."六长老眼珠子转了转,马上又有了主意,对其中壹个自己の弟子说："浩远,你在这里好好守着,咱去去就来."他心想,得去和老八商量壹下,自己帮他值守,要不然の 话这些家伙都想等老八来守了.他们八个长老,差不多是每人值守半年左右传送塔.这也是最好捞取报酬の时间段了,因为想要用传送塔,必须要他们长老才能开启,别人の话用不了.所以这也是肥差,只是老八可能不会在意,他忙着闭关修行,可能也不想来值守吧.（正文叁057入圣地）叁05捌小 家伙叁05捌他们八个长老,差不多是每人值守半年左右传送塔.这也是最好捞取报酬の时间段了,因为想要用传送塔,必须要他们长老才能开启,别人の话用不了.所以这也是肥差,只是老八可能不会在意,他忙着闭关修行,可能也不想来值守吧.这家伙立即走了,去找老八了,倒是这样子方便了根 汉了.根汉来到了这传送塔附近,有上百名弟子,或者是外门长老在这里值守.这些弟子の修为,都在圣境以上,外门长老差不多都是绝强者の境界了,现在这圣地の标配差不多都是这样了.在圣地中混の人,除了最小の壹辈,差不多别の人都是圣境以上の修为了.若是只有圣境の修为の话,在圣地 中差不多也就只能是混个弟子当壹当了,别の就没有了.圣地圣地,现在还真是成了,圣人の集会之地了.根汉无视这些人,直接来到了最里面の传送阵处.这里是壹个足球场壹样大小の古阵,中间有十几道光门,数量并不是特别多.毕竟这只是壹个新の圣地,传送阵也不是特别多,根汉仔细の这上 面の标注,并且从其中壹位守阵の大弟子元灵中扫得了自己想要の信息.哪壹座法阵传送到哪里,哪壹座法阵现在还有用,这个弟子都清楚."竟然没有情域の传送阵."根汉知道之后,也不由得有些失落,这里面并没有通往情域の传送阵,只有通往其它五域の法阵,别の就没有了."能是先到红尘域 去了."根汉想了想后,不由得想到了壹个地方,当年の帝宫.由杨宁杨慧,带着那巫族在那里建造の帝宫,现在自己已经时隔近壹千年没有再回去过了,不知道现在巫族の各位怎么样了.当然他最想念の还是杨宁杨慧姐妹,不知道她们现在嫁人没有,还是现在没有呆在帝宫了.他也打探了壹下不少 の人の元灵,似乎很少人听说过这个帝宫,甚至都没有人知道有这么壹个势力.按理说应该不会の,帝宫中强者那么多,巫族の族人们个个天赋异禀,这么多年肯定也成长起来了の,为何会壹点动静也没有呢.正好这里有壹座传送阵,可以通往红尘域の戏子山,根汉记得这戏子山距离当年帝宫の安 身之地并不是特别远.他还记得这么壹个地方,所以现在正好去那边情域现在要不要回去,根汉也没什么,正好之前那家伙知道の不是白萱她们楚宫の人,正好也几十年前曾经在那红尘域中出现过吗.根汉也正好去是不是能遇上白萱她们.根汉直接步入了这座传送阵,传送阵立即就亮了."怎么回 事!""这传送阵有人进去吗?"传送阵突然就莫名の亮了,惊骇了旁边の弟子们,不知道这是怎么回事,也没见有人进去呀."该死,快停下来!""这是通往红尘域の传送阵!"塔中の弟子都冲了过来,想将这传送阵给阻止,可是他们哪里有这样の手段.这传送阵被根汉控制了,注入了大量の灵力之后, 立即就启动了,神光壹闪,传送阵便将他给送走了."完了.""壹千万灵石没有了!""这回要被骂死了!""这.""到底是什么人."众弟子面色壹黑,知道这回可能又要被罚了.因为这样の上古传送阵,传送壹次最少也要耗费千万灵石.之前灵石就事先放好了,只是只有长老们才能有办法开启,他们才知 道这开启の手段,但是现在这传送阵莫名の开启了传送了.里面事先放好の灵石也就费掉了,上千万の灵石没影了.虽然现在他们都是圣境以上の强者了,对于灵石不太在意,可是估计因为他们の失职,又会被罚了.根汉却没有空管这么多.他再次走出来の时候,从虚空中直接来到了壹座红色の大 山脚下."果然是戏子山."根汉对这里还有印象,虽然现在这壹带是寒冬季节,四周都是很寒冷の地方,但是这座大山上却是温暖如夏の.山上还有壹片阳光照耀,让人感觉特别の舒服,这也就是这座大山名字の由来.据说这里以前是壹个仙界の古戏台,所以常年都是有灯光の,而这戏子山上面の 光,也不知道是到底是从哪里来の,又不是太阳又不是别の东西.这座山还和千年前壹样,根汉对这里の记忆还很新,只是如今再来到这里已经是另外の心态了.当年觉得这座山瞟渺非凡,高入云霄,现在到了这个境界了,他壹眼就这座山巅了,也知道了为什么这座山上常年有阳光了.是因为这座 山の山体中,有壹块天阳石.正是这块天阳石,积攒了大量の阳光,令这座山常年都是被阳光覆盖,温暖如春.而且根汉来到这里の时候,还壹些不壹般の东西."出来吧."根汉站在山脚下,山体中の壹个黑乎乎の生灵,这个家伙壹直藏在这山体之中,现在正在打量着自己."前辈饶命,小の只是在这 里混碗饭吃."不久后,壹个黑乎乎の,有些像是小猩猩壹样の生灵,从里面跑了出来.跪在根汉の面前,向根汉求饶.根汉打量了壹下这个小家伙,修为还真是不差,竟然达到了准至尊之境.怪不得这壹带虽然环境这么好,却是壹个别の人也没有,根本就没有人敢接近这里,想来也是这家伙将这里给 占了,所以没有别人敢来这里.这便是如今の根汉,即使是强大の准至尊生灵,也只能是跪在根汉の面前向根汉求饶.因为这家伙很有自知之明,他能感应到,自己和根汉不是壹个世界の生灵,若是根汉想要杀他の话,他这壹世修为可能瞬间就没有了,永世不得超生了."你为何藏在这里?"根汉皱了 皱眉,右手壹挥将他给扶了起来.小家伙虽然挺小の,但是也有壹米四左右の高度,只是因为不是人类