2.1.3《两条直线的位置关系》课件(北师大版必修2),
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高一数学：1.3两条直线的位置关系 课件 (北师大必修2)
16 k 1或k 3
2 2 6 16 k 4, , ,1, 3 3 3
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 2
x
1
结论3： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不成立．
一般地，我们把与直线Ax+By+C=0垂直 的直线方程表示为Bx-Ay+D=0 ，其中D待 定（垂直直线系）
同样可证明与
直线可表示为
例5.求通过下列各点且与已知直线垂直 的直线方程：
（1）（－1，3），y=2x-3
（2）（1，2），2x+y-10=0
练习 已知直线(a 2) x (1 a ) y 3 0
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
x
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2 那么 L1∥L2 k1=k2 且b1 b2
l1与l2重合 k1 k2且b1 b2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才 成立的，缺少这个前提，结论并不成立． 特殊情况下的两直线平行:
同样可证明与直线y=kx+b平行的 直线可表示为y= kx+ b1
例2.求通过下列各点且与已知 直线平行的直线方程。
1 (1)( 1,2), y x 1 2
(2)(1,4),2 x 3 y 5 0
1 若直线 x 2ay 1和 2 x 2ay 1 平行，则 a =
2 2 6 16 k 4, , ,1, 3 3 3
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 2
x
1
结论3： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不成立．
一般地，我们把与直线Ax+By+C=0垂直 的直线方程表示为Bx-Ay+D=0 ，其中D待 定（垂直直线系）
同样可证明与
直线可表示为
例5.求通过下列各点且与已知直线垂直 的直线方程：
（1）（－1，3），y=2x-3
（2）（1，2），2x+y-10=0
练习 已知直线(a 2) x (1 a ) y 3 0
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
x
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2 那么 L1∥L2 k1=k2 且b1 b2
l1与l2重合 k1 k2且b1 b2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才 成立的，缺少这个前提，结论并不成立． 特殊情况下的两直线平行:
同样可证明与直线y=kx+b平行的 直线可表示为y= kx+ b1
例2.求通过下列各点且与已知 直线平行的直线方程。
1 (1)( 1,2), y x 1 2
(2)(1,4),2 x 3 y 5 0
1 若直线 x 2ay 1和 2 x 2ay 1 平行，则 a =
高一数学：1.3两条直线的位置关系 课件 (北师大必修2)
一般地，我们把与直线Ax+By+C=0垂直 的直线方程表示为Bx-Ay+D=0 ，其中D待 定（垂直直线系）
同样可证明与
直线可表示为
例5.求通过下列各点且与已知直线垂直 的直线方程：
（1）（－1，3），y=2x-3
（2）（1，2），2x+y-10=0
练习 已知直线(a 2) x (1 a ) y 3 0
同样可证明与直线y=kx+b平行的 直线可表示为y= kx+ b1
例2.求通过下列各点且与已知 直线平行的直线方程。
1 (1)( 1,2), y x 1 2
(2)(1,4),2 x 3 y 5 0
1 若直线 x 2ay 1和 2 x 2ay 1 平行，则 a =
0
。
1
2 若直线 x ay 2a 2和 ax y a 1平行，则 a =
3 直线 Ax 2 y 1 0和直线 6 x 4 y C 0平行 的条件是
A 3且C －2 。
4.设三条直线 l1 : x 2 y 1, l2 : 2x ky 3, l3 : 3kx 4 y 5 （1）若三条直线交于一点，求k的值； （2）若三条直线不能构成三角形，求k的值.
两直线的斜率都不存在时，互相平行.
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0
那么L1∥L2
A1 A2
B1 B2
2相交
A1 或A1B2－A2 B1＝0而B1C2－B2C1 0或 B1 = C1 ( A2 B2C2 0) A2 B2 C2
同样可证明与
直线可表示为
例5.求通过下列各点且与已知直线垂直 的直线方程：
（1）（－1，3），y=2x-3
（2）（1，2），2x+y-10=0
练习 已知直线(a 2) x (1 a ) y 3 0
同样可证明与直线y=kx+b平行的 直线可表示为y= kx+ b1
例2.求通过下列各点且与已知 直线平行的直线方程。
1 (1)( 1,2), y x 1 2
(2)(1,4),2 x 3 y 5 0
1 若直线 x 2ay 1和 2 x 2ay 1 平行，则 a =
0
。
1
2 若直线 x ay 2a 2和 ax y a 1平行，则 a =
3 直线 Ax 2 y 1 0和直线 6 x 4 y C 0平行 的条件是
A 3且C －2 。
4.设三条直线 l1 : x 2 y 1, l2 : 2x ky 3, l3 : 3kx 4 y 5 （1）若三条直线交于一点，求k的值； （2）若三条直线不能构成三角形，求k的值.
两直线的斜率都不存在时，互相平行.
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0
那么L1∥L2
A1 A2
B1 B2
2相交
A1 或A1B2－A2 B1＝0而B1C2－B2C1 0或 B1 = C1 ( A2 B2C2 0) A2 B2 C2
2.1.3两条直线的位置关系 课件(高中数学必修二北师大版)
法二 (1)设所求直线方程为 3x＋4y＋C＝0， ∵点(2,2)在直线上， ∴3×2＋4×2＋C＝0，∴C＝－14. ∴所求直线方程为 3x＋4y－14＝0. (2)设所求直线方程为 4x－3y＋λ＝0， ∵点(2,2)在直线上， ∴4×2－3×2＋λ＝0， ∴λ＝－2，即所求直线方程为 4x－3y－2＝0.
课标 1.能根据斜率判定这两条直线平行或垂直(重点)． 解读 2．能根据直线平行或垂直
【问题导思】 1．直线 y＝x＋1 与 y＝x－1，它们的斜率分别是多少？ 它们有什么位置关系？ 2．直线 y＝－x 与 y＝x 的斜率是什么？它们有什么位置 关系？ 3．直线 x＝3 和 y＝3，有什么位置关系？
●重点难点 重点：两条直线平行或垂直的判定和性质的应用． 难点：直线无斜率时平行或垂直的关系． 教学时要抓住知识的切入点，从学生原有的认识水平和 所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习的平面几何知 识，不断观察、分析发现平行、垂直的判定，引导学生从倾 斜角与斜率的关系入手思考，从而化解难点，强化重点．
若直线 l1： ax＋4y－2＝0， l2 ： x＋ay＋1＝0， 求： a 取何值时，(1)l1∥l2，(2)l1⊥l2.
【思路探究】 由于 l2 的斜率未必存在，故应从 l2 的斜
●教学建议 在初中学习了平面几何中两直线平行或垂直的判定、性 质定理的基础上，本节内容进一步在直角坐标系中根据直线 方程特征来判断两直线平行或垂直关系，教学时引导学生从 倾斜角与斜率的关系寻找两直线平行或垂直的条件，让学生 讨论、探究，总结出两直线平行或垂直的结论．
●教学流程
演示结束
(3)直线 l1、l2 的斜率均不存在，且 2≠4. ∴l1∥l2. (4)直线 l1 的斜率 k1＝0，直线 l2 斜率不存在． ∴l1⊥l2.
2.1.3《两条直线的位置关系》课件(北师大版必修2),
线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为_________. 【解析】由题意可知kAB=-2,又 k AB = 4-m , m+2 所以 4-m =-2,得m=-8. m+2 答案：-8
6.已知点A（1，5），B（-1，1），C（3，2），则平行四边 形ABCD的两边AD和CD所在直线的方程分别是___、___. 【解析】由题意可知AD∥BC,CD∥AB.
当x=2时，点P与点M重合，点P（2，3）的坐标也满足方程
2x+3y-13=0，所以(x,y)满足的关系式为2x+3y-13=0.
一、选择题（每题4分，共16分）
1.（2010·兰州高一检测）和直线 x+ 3y-1=0 平行的直线的
倾斜角为( （A）30° ) （B）60° （C）120° （D）150°
【解析】选D.将直线 x+ 3y-1=0 化为斜截式得，
【解题提示】设出P点坐标，并表示出A、B点的坐标，利
用MA⊥MB建立等量关系，进而求解.
【解析】如图所示，因为PA⊥x轴， P（x,y），所以A（x,0）.又因为 PB⊥y轴，所以B（0,y）.因为MA⊥MB， 所以kMA·kMB=-1,即 3 3-y =-1(x 2), 2-x 2 化简得2x+3y-13=0.
-3 1 =-1, ∴x=0或x=2,即C为（0，0）或（2，0）. x+1 3-x
②设C（0,y），则由kAC·kBC=-1, 得 3-y 1-y =-1, -1 3 ∴y=0或y=4.即C为（0，0）或（0，4）. 故这样的点C有3个.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.（2010·营口高一检测）已知过点A（-2,m)和B(m,4)的直
6.已知点A（1，5），B（-1，1），C（3，2），则平行四边 形ABCD的两边AD和CD所在直线的方程分别是___、___. 【解析】由题意可知AD∥BC,CD∥AB.
当x=2时，点P与点M重合，点P（2，3）的坐标也满足方程
2x+3y-13=0，所以(x,y)满足的关系式为2x+3y-13=0.
一、选择题（每题4分，共16分）
1.（2010·兰州高一检测）和直线 x+ 3y-1=0 平行的直线的
倾斜角为( （A）30° ) （B）60° （C）120° （D）150°
【解析】选D.将直线 x+ 3y-1=0 化为斜截式得，
【解题提示】设出P点坐标，并表示出A、B点的坐标，利
用MA⊥MB建立等量关系，进而求解.
【解析】如图所示，因为PA⊥x轴， P（x,y），所以A（x,0）.又因为 PB⊥y轴，所以B（0,y）.因为MA⊥MB， 所以kMA·kMB=-1,即 3 3-y =-1(x 2), 2-x 2 化简得2x+3y-13=0.
-3 1 =-1, ∴x=0或x=2,即C为（0，0）或（2，0）. x+1 3-x
②设C（0,y），则由kAC·kBC=-1, 得 3-y 1-y =-1, -1 3 ∴y=0或y=4.即C为（0，0）或（0，4）. 故这样的点C有3个.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.（2010·营口高一检测）已知过点A（-2,m)和B(m,4)的直
高中数学课件-2.1.3两条直线的位置关系课件( 北师大版必修2 )
4.已知经过两点(3，2)和(m,n)的直线l. (1)若l与x轴平行，则m,n的取值情况是__________; (2)若l与x轴垂直，则m,n的取值情况是__________.
【解析】(1)∵l与x轴平行,由图①可知m∈R且m≠3,n=2. (2)∵l与x轴垂直,由图②可知m=3,n∈R且n≠2.
【例2】如图,在平行四边形OABC中， 点A(3,0),点C(1,3). (1)求AB所在直线的方程; (2)过点C作CD⊥AB于点D， 求CD所在直线的方程. 【审题指导】已知四边形OABC是平行四边形，可以利用 平行四边形的有关性质求AB的斜率，利用两条直线垂直的 条件求CD的斜率,进而求相应直线的方程.
解得h≈14.92(m).
故灯柱高h约为14.92 m.
【典例】(12分)已知A(0，3)、B(-1，0)、C(3，0)，求D点 的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方 向排列). 【审题指导】解答本题可先对直角梯形中哪个角为直角进 行讨论，然后借助于平行、垂直的关系列方程组求D点的坐 标.
【例3】已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下 列条件的a的值：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
【审题指导】直线l1和l2的方程均以一般式的形式给出，要
判断l1∥l2及l1⊥l2时，参数a的取值，求解思路有二：一是把
方程均化成斜截式利用斜率及在y轴上截距的关系求解；二
答案：(1)m∈R且m≠3,n=2 (2)m=3,n∈R且n≠2
5.已知P(2,1),直线l:x-y+4=0. (1)求过点P与直线l平行的直线方程; (2)求过点P与直线l垂直的直线方程. 【解析】(1)设过点P与直线l平行的直线方程为x-y+m=0. 由题意可知2-1+m=0,解得m=-1. 所以过点P与直线l平行的直线方程为x-y-1=0. (2)设过点P与直线l垂直的直线方程为x+y+n=0. 由题意可知2+1+n=0,解得n=-3. 所以过点P与直线l垂直的直线方程为x+y-3=0.
【数学】2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)
用这些公式时，有 要注意的地方吗？
2 m 法一：据 k1k 2 1 有， 1 5 2
得，m=-5.
法二：据
A1 A2 B1 B2 0 有，2m+(-5)(-2)=0
得， m=-5.
例2.
3 求经过直线 l1 ： x 2 y 1 0 和 直线 l 2 ： 5 x 2 y 1 0 的交点，且
解：因为点N在直线2x+y-8=0上，故
可设N(t,8-2t).又A是线段MN的中点，
由中点坐标公式得M(-t,2t-6)，因为 点M在直线x-3y+10=0上，所以 -t-3(2t-6)+10=0，解得t=4,有 M(-4,2),N(4,0)，所求直线方程为 x+4y-4=0.
解：设点A关于l的对称点为 A( x0 , y0 ),则
3
5 斜率为,于是由直线的点斜式方程 5 3
求出l:y-2=-
(x+1),即5x+3y-1=0.
方法二:l是直线系5x+3y+C=0中的一条， 而l过两直线的交点(-1,2)， 故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出C=-1, 故l的方程为5x+3y-1=0.
（2）l ∥l 3 ,故是直线系 3x 5 y c 0 中的一条,而l过两直线的交点(-1,2), 故 3 (1) 5 2 c 0 ， 由此求出 c 13 ，故l的方程为
2. 两直线 l1 ：A1 x B1 y C1 0 和 A2 x B2 y C2 0
l2 ：
（1）l1 ∥ l 2
（2）l1 l 2
A1 B2 A2 B1 0, B1C2 B2C1 0
2014年(北师大版)数学必修二课件：2.1.3两条直线的位置关系
3 3
②B(2，-3)，2x+y-5=0.
【解题探究】1.题(1)中，平行四边形的对边所在的直线的斜 率有什么关系？ 2.题(2)中已知直线上一点，怎样求直线的方程？
【探究提示】1.平行四边形对边平行，所以可以得到kAB=kCD，
kAD=kBC，
2.可以先求直线的斜率，再根据已知的一个点，利用点斜式求
对应
关系
l1 ⊥ l2 ⇔
k1·k2=-1
图示
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条不重合直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等.( (2)斜率相等的两条直线一定平行.( ) ) )
(3)若两条直线垂直，则它们的斜率之积为-1.(
【解析】(1)错误，当两条不重合直线l1，l2平行时，它们的斜 率可能相等，也可能不存在.
线斜率都存在且相等时，两直线平行 .
【即时练】 直线l1：( 2 -1)x+y＝2与直线l2：x+( 2 +1)y＝3的位置关系 是_____________. 【解析】由于 k1 2 1 1 2，k 2 则k1=k2，且 2 答案：平行
1 3 所以l1∥l2. ， 2 1 1 （ 2 1） 1 2， 2 1
为0或有字母时，一般用整式形式避免漏解 . 两直线垂直： 系数所满足的条件是A1A2+B1B2=0.
【微思考】 当两条直线垂直时，它们的倾斜角存在什么关系？ 提示：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，若两直线垂直， 则|α2-α1|=90°.
【即时练】
1.直线y=kx与直线y=2x+1垂直，则k=________. 【解析】由于直线y=2x+1的斜率为2，两条直线的斜率之积为 -(1)能化成斜截式方程的，先化成斜截式方程后再判断 .
②B(2，-3)，2x+y-5=0.
【解题探究】1.题(1)中，平行四边形的对边所在的直线的斜 率有什么关系？ 2.题(2)中已知直线上一点，怎样求直线的方程？
【探究提示】1.平行四边形对边平行，所以可以得到kAB=kCD，
kAD=kBC，
2.可以先求直线的斜率，再根据已知的一个点，利用点斜式求
对应
关系
l1 ⊥ l2 ⇔
k1·k2=-1
图示
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条不重合直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等.( (2)斜率相等的两条直线一定平行.( ) ) )
(3)若两条直线垂直，则它们的斜率之积为-1.(
【解析】(1)错误，当两条不重合直线l1，l2平行时，它们的斜 率可能相等，也可能不存在.
线斜率都存在且相等时，两直线平行 .
【即时练】 直线l1：( 2 -1)x+y＝2与直线l2：x+( 2 +1)y＝3的位置关系 是_____________. 【解析】由于 k1 2 1 1 2，k 2 则k1=k2，且 2 答案：平行
1 3 所以l1∥l2. ， 2 1 1 （ 2 1） 1 2， 2 1
为0或有字母时，一般用整式形式避免漏解 . 两直线垂直： 系数所满足的条件是A1A2+B1B2=0.
【微思考】 当两条直线垂直时，它们的倾斜角存在什么关系？ 提示：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，若两直线垂直， 则|α2-α1|=90°.
【即时练】
1.直线y=kx与直线y=2x+1垂直，则k=________. 【解析】由于直线y=2x+1的斜率为2，两条直线的斜率之积为 -(1)能化成斜截式方程的，先化成斜截式方程后再判断 .
2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)
已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)， D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[错解] 由斜率公式 4－2 2 kAB＝ ＝ ， －2m－4－－m－3 －m＋1 3m＋2－m 2m＋1 kCD＝ ＝ . 3－－m m＋3 ∵AB⊥CD， ∴kAB·CD＝－1， k 2m＋1 2 即 · ＝－1， －m＋1 m＋3 解得m＝1，∴m的值为1.
－1－1 (3)直线 l1 的斜率 k1＝ ＝1， －2－0 3－4 直线 l2 的斜率 k2＝ ＝1， 2－3 4－1 所以 k1＝k2，而 kGE＝ ＝1， 3－0 所以 E，F，G，H 四点共线，直线 l1 与 l2 重合． 5 3 (4)k1＝－ ，k2＝ ，k1·2＝－1，∴l1⊥l2. k 3 5 (5)直线 l1 的斜率不存在，直线 l2 的斜率为 0， ∴l1⊥l2.
法二：利用直线系方程求解．
设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为 3x＋4y＋m＝0. 由点A(2,2)在直线l1上，得 3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14. 故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0.
(2)法一：设过点 A 与 l 垂直的直线为 l2. 4 因为 klkl2＝－1，所以 kl2＝ ， 3 4 故直线 l2 的方程为 y－2＝ (x－2)， 3 即 4x－3y－2＝0.
1 (2)由直线 l1 的方程，知 l1 的斜率为 k1＝ ； 2 由直线 l2 的方程，知 l2 的斜率为 k2＝－2. 1 显然，k1k2＝ × (－2)＝－1，所以 l1⊥l2. 2
[研一题]
[例2] 已知直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，
l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值． [自主解答] (1)当m＝0时，l1：x＋2＝0，
2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)
[错因]
两直线垂直⇔k1k2＝－1的前提条件是k1、k2均
存在且不为零，本题出错的原因正是忽视了前提条件，这
类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论． [正解] ∵A、B两点纵坐标不等，
∴AB与x轴不平行． ∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
3．若两条直线垂直，它们斜率之积一定为－1吗？ 提示：不一定．两条直线垂直，只有在斜率都存在 时，斜率之积才为－1.若其中一条直线斜率为0，而
另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率之积
不是－1.
[研一题]
[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平
行或垂直．
(1)直线l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，直线l2经过C(3，－2)， D(8，－7)； (2)直线l1平行于y轴，直线l2经过P(0，－2)，Q(0，5)； (3)直线l1经过E(0,1)，F(－2，－1)，直线l2经过G(3，4)，
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[自主解答] (1)法一：利用直线方程的点斜式求解． 3 由 l：3x＋4y－20＝0，得 kl＝－ . 4 设过点 A 且平行于 l 的直线为 l1， 3 则 kl1＝kl＝－ ， 4 3 所以 l1 的方程为 y－2＝－ (x－2)， 4 即 3x＋4y－14＝0.
H(2,3)；
(4)直线l1：5x＋3y＝6，直线l2：3x－5y＝5； (5)直线l1：x＝3，直线l2：y＝1.
5－1 4 [自主解答] (1)直线 l1 的斜率 k1＝ ＝－ ， 5 －3－2 －7－－2 直线 l2 的斜率 k2＝ ＝－1， 8－3 显然 k1≠k2，直线 l1 与 l2 不平行； ∵k1·1≠－1，∴l1 与 l2 不垂直． k (2)直线 l2 的斜率不存在，就是 y 轴，所以直线 l1 与 l2 平行；
(北师大)高中数学必修2课件：2.1.3两条直线的位置关系
数学第二章解析几何初步1・3两条直线的位置关系必修2I第二章解析几何初步数学必修2自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升入门答疑在平面几何中，两条直线平行，同位角相等.［问题1］在平面直角坐标系中，若厶加2,那么它们的倾斜角有什么关系? 斜率有什么关系？［提示］倾斜角相等”斜率相等或不存在.【问题2］若片,仏的斜率相等，心与仏一定平行吗?必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升【提示］平行.目标导航1. 理解两条直线平行或垂直的判断条件.2. 会利用斜率来判断两条直线平行或垂直.3. 能够利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线的平行或垂直.自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评•知能提升1\、<2的倾斜角«1> «2间的关系高效测评•知能提升走进教材知识点两条直线平行、垂直的判断/11/211l«7~90°0）②③ ④所示）若厶、＜2的斜率都不存在，则miL_（如图②所示）或h与b重合③所示）若＜1、b有一条直线的斜率不存在，则厶丄b©另一条直线的斜率盘伽图④所示）必修2I斜率间的关系偌h、＜2的斜率都存在,设仁y=kx +加，h『=席+若厶、b的斜率都存在，则h//l2若li、b的斜率都存在，1/10处=屆，且久秋图①1/2＜4 处•他=一1（如I［强化拓展］如果已知两直线的一般式方程，可以利用方程系数间的关系来判断两直线的 平行或垂直.设两直线厶：Aix+Bij+Ci=O, %： 42兀+〃"+。
2=0, 则人2〃1=。
且 AQ -A2GHO;必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升［自主练习］1.已知A(0, -4), B(5, —4),则直线AB 与直线兀=0的位置关系是()A.平行 D.非以上情况解析：•・•点的纵坐标相等,• • ^AB = 0，直线与兀=0垂直• 答案：B必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升B.垂直C.重合2.下列说法正确的有（）①若不重合的两直线斜率相等，则它们平行; ② 若则 ki=k 2；③ 若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0,则两直线 垂直;④若与b 的斜率都不存在，则厶仏 A. 4个B. 3个必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升D. 1个C. 2个正确;④不正确，两条直线可能重合.答案：C3.已知直线厶的斜率为冃，直线b 经过点A ⑶，一2), B(0, J+1),且h 丄b ，则实数 ______解析：因为/山2,所以臥2=-1, 3『+1_(-2)即 4X 0—3« =一1， 解得a=l 或a=3, 所以当a=l 或a=3时，必修2I答案：1或34.如图在-OABC 中，0为坐标原点，点C(l,3).(1)求0C 所在直线的斜率；⑵过C 作CD 丄仙于D,求直线CD 的斜率.解析：⑴：•点 0(0,0), C(l,3),必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升3—0・：OC所在直线的斜率^c=Po=3.数学第二章 解析几何初步1(2)在口OABC 中，AB//OC,T CD 丄 AB, :・CD 丄0C,~1 1.\k 0C 9k CI)=—lf kcD=k°c=—3・ 故直线CD 的斜率为-必修2 自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升第二章解析几何初步数学必修2自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升合作探究•课堂例DM判断下列各小题中的直线A, b是否平行：⑴厶经过点A(-l, -2), 5(2,1), %经过点M(3, 4), N(-1, -1)；(2)h经过点A(-3,2), 5(-3,10), %经过点M(5, -2), N(5,5)；(3)厶的倾斜角为60。
北师大版必修二 两条直线的位置关系 课件(41张)
பைடு நூலகம்
3．与直线 x－2y－3＝0 平行，且在 y 轴上的截距等于－3 的直线 的方程为________．
x－2y－6＝0 [设所求直线方程为 x－2y＋c＝0， 令 x＝0 得 y＝2c＝－3，所以 c＝－6， 因此所求直线方程为 x－2y－6＝0.]
合作 探究 释疑 难
两条直线平行与垂直的判定
【例 1】 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
自主 预习 探新 知
两条直线的位置关系
l1、l2 的倾斜角 α1、 α2 间的关系
l1∥l2 α1＝α2
图示
l1⊥l2 |α2－α1|＝90°
斜率间的关系(若 l1，l2的斜率都存
若l1，l2的斜率都存在， 则l1∥l2⇔ k1＝k2且b1≠b2 (如图①所示)；
若l1，l2的斜率都存在， 则l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 (如 图③所示)；
[跟进训练] 1．判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 的位置关系． (1)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)； (2)l1 经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2 经过点 M(－1,3)，N(2,0)； (3)l1 的斜率为－10，l2 经过点 A(10,2)，B(20,3)； (4)l1 经过点 A(3,4)，B(3,100)，l2 经过点 M(－10,40)，N(10,40)．
则 m 的值是________．
14 5
[由已知得m2－－m3×(－4)＝－1，解得 m＝154.]
3．与直线 x－2y－3＝0 平行，且在 y 轴上的截距等于－3 的直线 的方程为________．
x－2y－6＝0 [设所求直线方程为 x－2y＋c＝0， 令 x＝0 得 y＝2c＝－3，所以 c＝－6， 因此所求直线方程为 x－2y－6＝0.]
合作 探究 释疑 难
两条直线平行与垂直的判定
【例 1】 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
自主 预习 探新 知
两条直线的位置关系
l1、l2 的倾斜角 α1、 α2 间的关系
l1∥l2 α1＝α2
图示
l1⊥l2 |α2－α1|＝90°
斜率间的关系(若 l1，l2的斜率都存
若l1，l2的斜率都存在， 则l1∥l2⇔ k1＝k2且b1≠b2 (如图①所示)；
若l1，l2的斜率都存在， 则l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 (如 图③所示)；
[跟进训练] 1．判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 的位置关系． (1)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)； (2)l1 经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2 经过点 M(－1,3)，N(2,0)； (3)l1 的斜率为－10，l2 经过点 A(10,2)，B(20,3)； (4)l1 经过点 A(3,4)，B(3,100)，l2 经过点 M(－10,40)，N(10,40)．
则 m 的值是________．
14 5
[由已知得m2－－m3×(－4)＝－1，解得 m＝154.]
高中数学北师大版必修二2.1.3【教学课件】《两条直线的位置关系》
答案是肯定的。
北京师范大学出版社 | 必修二
探索新知
两直线平行或垂直的判断
l1∥l2
l1、l2的倾斜角
α 1、α 2间的关系
l1⊥l2
|α 2－α 1|＝900
α 1=α 2
图示
北京师范大学出版社 | 必修二
斜率间的关系(若l1、 则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2 l2的斜率都存在， 设l1：y＝k1x＋b1，
北京师范大学出版社 | 必修二
例2 已知三点A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，求证：△ABC是直角三角形。
−������ − ������ ������ =− ������ − ������ ������
������ − ������ = ������ ������ − ������
−������ − ������ ������ =− ������ − ������ ������
������������ + ������ − ������ = ������ 即 ������ ≠ −������
北京师范大学出版社 | 必修二
������ ������ 法二：当m≠－1时，直线l1的斜率k1＝− ，在y轴上的截距b1＝− ； ������ + ������ ������ + ������ ������ ������ 直线l2的斜率k2＝ − ，在y轴上的截距b2＝ 。 ������ ������ ������ ������ =− ∵l1∥l2，∴ − ������ + ������ ������ ������ ������ 且 − ，解得m＝－3或m＝2。 ≠ ������ + ������ ������ ������ 当m＝－1时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝ ，显然不平行。
两条直线的位置关系2PPT课件(北师大版)
相等 互补
探究
数学思想
方程思想
转化思想
爱学数学
爱再数学见周报
同理可得：∠1=∠3 A
4 O3
D
对顶角的性质: 对顶角相等.
邻补角有什么性质呢？
两个邻补角互补
1 .如图,直线a、b相交，∠1=40°,求
∠2、∠3、∠ 4的度数。
b
1（ a
（2 4）
）3
变式1：把∠1＝40°变为∠1＝50°
变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠1的2倍
？ 变式3：把∠1=40°变为
F
2、如图，直线AB、CD相交于点
O，∠AOC=80°，∠1=30°， A
D
求∠2的度数.
)1 O )2 E
C
B 变式1：若OE为∠BOD的角平分线，求∠2的度数.
变式2：若OE为∠BOD的角平分线，OF 为∠AOD的角平分线， 求∠EOF的度数?
任取一对邻补角的的角平分线，角平分 线所夹的角的度数为多少？
3.想一想：
图中这种测量工
具，可以量出图
中零件上AB、CD
这两条轮廓线的
延长线所成的角，
你能说出其中的
道理吗？
B
D
A
C
4、要测量两堵墙所成的∠AOB的度数， 但人不能进入围墙，如何测量？
B
C
O
A
D
知识
过程与方法
两直线的位置关系
视察
思考
相交
平行（后面 会学到）
(位置关系)
对顶角 邻补角
(数量关系)
A
E 14
32
C 76 58 F
9 11 12
10
D B
问题5:用这把剪刀，紧握剪子 的把手去剪，就能剪开纸片， 在用剪刀去剪纸片的过程中, 剪刀的张角产生了改变,而在 改变中什么又是没有变的?
高一数学：1.3两条直线的位置关系 课件 (北师大必修2)
16 k 1或k 3
2 2 6 16 k 4, , ,1, 3 3 3
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 2
x
1
O
2
甲
乙
丙
结论3： 如果两ห้องสมุดไป่ตู้线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不成立．
与
(a 1) x (2a 3) y 2 0 互相垂直，求的值
a 1
小结：
两直线平行 两直线垂直
例3.判断下列各组中的两条直线是否垂直 （1）2x-4y-7=0与2x+y-5=0
1 （2）y=3x+1与y= x+5 3
（3）2x＝7与3y-5=0
例4.求证：直线Ax+By+ C1 直线 C 2 Bx-Ay+ =0垂直. 证明：因为 AB＋B(-A)＝0 所以这两条直线垂直
=0与
结论4：
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
x
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2 那么 L1∥L2 k1=k2 且b1 b2
l1与l2重合 k1 k2且b1 b2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才 成立的，缺少这个前提，结论并不成立． 特殊情况下的两直线平行:
当B 0时，已知 1 C 2，所以 C
BC2 BC1 0,因此两直线平行；
2 2 6 16 k 4, , ,1, 3 3 3
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 2
x
1
O
2
甲
乙
丙
结论3： 如果两ห้องสมุดไป่ตู้线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不成立．
与
(a 1) x (2a 3) y 2 0 互相垂直，求的值
a 1
小结：
两直线平行 两直线垂直
例3.判断下列各组中的两条直线是否垂直 （1）2x-4y-7=0与2x+y-5=0
1 （2）y=3x+1与y= x+5 3
（3）2x＝7与3y-5=0
例4.求证：直线Ax+By+ C1 直线 C 2 Bx-Ay+ =0垂直. 证明：因为 AB＋B(-A)＝0 所以这两条直线垂直
=0与
结论4：
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
x
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2 那么 L1∥L2 k1=k2 且b1 b2
l1与l2重合 k1 k2且b1 b2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才 成立的，缺少这个前提，结论并不成立． 特殊情况下的两直线平行:
当B 0时，已知 1 C 2，所以 C
BC2 BC1 0,因此两直线平行；
2018学年北师大版高中数学必修2课件：2.1.3两条直线的位置关系 精品
1．理解两条直线平行或垂直的判断条件． 2．会利用斜率来判断两条直线平行或垂直． 3．能够利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线的平行或垂直．
两条直线平行、垂直的判断
l1、l2 的倾斜角 α1、α2 间的关系
l1∥l2 α1_＝___α2
图示
l1⊥l2 |α2－α1|＝_9_0_°_
斜率间的关系(若
1．3 两条直线的位置关系
自主学习·新知突破
在平面几何中，两条直线平行，同位角相等． [问题 1] 在平面直角坐标系中，若 l1∥l2，那么它们的倾斜角有什么关系？ 斜率有什么关系？ [提示] 倾斜角相等，斜率相等或不存在． [问题2] 若l1，l2的斜率相等，l1与l2一定平行吗？ [提示] 平行．
两直线垂直的判定
(1)判断下列各小题中的两直线是否垂直： ①直线 l1 的斜率为－10，直线 l2 经过 A(10,2)，B(20,3)； ②直线 l1 经过点 A(3,4)，B(3,100)，直线 l2 经过点 M(－1,40)，N(1,40)． (2)已知三点 A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，求证：△ABC 是直角三角形．
2．判断两直线平行的关键点是什么？
1－－2 [边听边记] (1)直线 l1 的斜率 k1＝2－－1＝1，
－1－4 5 直线 l2 的斜率 k2＝－1－3＝4，
因为 k1≠k2，所以 l1 与 l2 不平行． (2)因为 l1，l2 都与 x 轴垂直且 l1，l2 不重合， 故 l1∥l2. (3)由题意可知直线 l1 的斜率 k1＝tan 60°＝ 3，
－1－1 1 (2)由斜率公式得：kAB＝ 5－1 ＝－2，
3－1
－1－3 4
kBC＝2－1＝2，kAC＝ 5－2 ＝－3.
2-1-3两条直线的位置关系课件(北师大版必修二)(2)
即
第6页，共33页。
A1B2－A2B1＝0， B1C2－B2C1≠0. 当 B1＝0，B2＝0 时，直线 l1、l2 分别可化为： l1：x＝－CA11，l2：x＝－CA22. 若 l1∥l2，则－CA11≠－CA22，即 A2C1≠A1C2. 综上可知，若 l1∥l2，则 A1B2－A2B1＝0 且 B1C1－B2C1≠0 或 A1C2 －A2C1≠0.
第5页，共33页。
名师点睛
利用直线的一般式方程判断两直线的平行与垂直关系
设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 (1)当 B1B2≠0 时，直线 l1、l2 分别可化为： l1：y1＝－AB11x－CB11， l2：y＝－BA22x－CB22.
若 l1∥l2，则－－BCAB1111＝≠－－ABCB2222，，
第26页，共33页。
【示例】 (1)已知两直线 l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my ＋2m＝0，若 l1∥l2，求实数 m 的值； (2)已知两直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和 l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0. 若 l1⊥l2，求实数 a 的值． [思路分析] 运用两直线平行、垂直的条件求解，并注意斜率为 0 或斜率不存在的情况．
第3页，共33页。
想一想：为什么斜率相等的两条直线不一定平行呢？ 提示 我们知道确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要 素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．斜率相等，说明它 们的倾斜角相等，而倾斜角相等的直线不一定平行，还有可能 重合，这是由于还需要确定它们是否经过一个不同的定点．通 常验证这两条直线与 y 轴的交点，即在 y 轴上的截距是否相等 即可．
第10页，共33页。
(3)∵k1＝－10，k2＝230－－210＝110，k1k2＝－1， ∴l1⊥l2. (4)直线 l1 的斜率 k1＝tan 60°＝ 3， 在 y 轴上的截距 b1＝－2， 直线 l2 的截距式方程为3x＋ y3＝1， 其斜率 k2＝－ 33，所以 k1·k2＝－1，则 l1⊥l2.
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)
(D)1或2
4.已知A（-1，3），B（3，1），点C在坐标轴上,若
∠ACB=90°，则这样的点C的个数为(
（A）1 （B）2 （C）3
)
（D）4
【解题提示】由于题目只告诉点C在坐标轴上，没明确x 轴还是y轴，因此求解时应分类讨论.
【解析】选C.①设C（x,0），则由kAC·kBC=-1, 得
3.(2009·上海高考）已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与
l2:2（k-3)x-2y+3=0平行，则k的值是(
(A)1或3 (B)1或5 (C)3或5 【解析】选C.由l1∥l2可得 (k-3)·(-2)-(4-k)·2(k-3)=0, 整理得k2-8k+15=0,解得k=3或k=5. 经检验k=3或k=5时，l1与l2不重合.
∴中线AQ的斜率为 k= 5-0 =-5, 3-4 从而AQ的方程为：y-0=-5(x-4),即5x+y-20=0.
8.△ABC的顶点A（5，-1）、B（1，1）、C（2，m），若 △ABC为直角三角形，求m的值. 【解析】若∠A为直角，则AC⊥AB，
m+1 1+1 =-1,得m=-7; 2-5 1-5 若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC=-1,
3 3 3 倾斜角α=150°. x+ , k= , 3 3 3 又∵两直线平行, y=-
∴所求直线的倾斜角为150°.
2.已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2过点A（1，2），
B（-5，-4），则l1与l2的位置关系是( （A）平行 （C）垂直 （B）相交但不垂直 （D）平行或重合 )
【解析】选D.由题意可知l1的斜率k1=tan45°=1， l2的斜率 k2 = 2-(-4)= 6 =1. 1=k2, ∴k 1-(-5) 6 又由于直线l1与l2在y轴上的截距无法判断，故l1与l2可能平行 或重合.
1 1 ,kAB=2,∴kAD= ，kCD=2, 4 4 ∴边AD所在的直线方程为：
又kBC=
y-5= 1 (x-1),即x-4y+19=0. 4 边CD所在的直线方程为： y-2=2(x-3),即2x-y-4=0. 答案：x-4y+19=0 2x-y-4=0
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·南阳高一检测）已知三角形的三个顶点是
-3 1 =-1, ∴x=0或x=2,即C为（0，0）或（2，0）. x+1 3-x
②设C（0,y），则由kAC·kBC=-1, 得 3-y 1-y =-1, -1 3 ∴y=0或y=4.即C为（0，0）或（0，4）. 故这样的点C有3个.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.（2010·营口高一检测）已知过点A（-2,m)和B(m,4)的直
所以kAC·kAB=-1,即 即 1+1 m-1 =-1, 得m=3; 1-5 2-1 若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC=-1，
m+1 m-1 =-1, 得m=〒2. 2-5 2-1 综上可知，m=-7或m=3或m=〒2.
即
9.(10分)已知点A是x轴上的一动点，一条直线过点 M（2，3），且垂直于MA交y轴于点B，过A，B分别作x轴，y轴 的垂线交于点P，求点P的坐标(x,y)满足的关系式.
线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为_________. 【解析】由题意可知kAB=-2,又 k AB = 4-m , m+2 所以 4-m =-2,得m=-8. m+2 答案：-8
6.已知点A（1，5），B（-1，1），C（3，2），则平行四边 形ABCD的两边AD和CD所在直线的方程分别是___、___. 【解析】由题意可知AD∥BC,CD∥AB.
【解题提示】设出P点坐标，并表示出A、B点的坐标，利
用MA⊥MB建立等量关系，进而求解.
【解析】如图所示，因为PA⊥x轴， P（x,y），所以A（x,0）.又因为 PB⊥y轴，所以B（0,y）.因为MA⊥MB， 所以kMA·kMB=-1,即 3 3-y =-1(x 2), 2-x 2 化简得2x+3y-13=0.
A（4，0），B（6，7），C（0，3）， （1）求BC边上的高所在的直线方程； （2）求BC边上的中线所在的直线方程.
【解析】（1）∵直线BC的斜率kBC = 3-7 = 2 , 0-6 3 ∴BC边上的高的斜率 k=- 1 =- 3 . k BC 2 ∴BC边上的高所在的直线方程为：y-0= - 3 (x-4), 2 即3x+2y-12=0. (2)∵BC的中点坐标为Q（3，5），
一、选择题（每题4分，共16分）
1.（2010·兰州高一检测）和直线 x+ 3y-1=0 平行的直线的
倾斜角为( （A）30° ) （B）60° （C）120° （D）150°
【解析】选D.将直线 x+ 3y-1=0 化为斜截式得，
当x=2时，点P与点M重合，点P（2，3）的坐标也满ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程
2x+3y-13=0，所以(x,y)满足的关系式为2x+3y-13=0.