2019版高考数学一轮复习第七章解析几何第4讲直线与圆的位置关系课时作业理

合集下载

《直线与圆的位置关系》教学设计

《直线与圆的位置关系》教学设计一、教学内容解析《直线与圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容，它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用坐标法进一步研究直线与圆的位置关系，体会数形结合思想，初步形成代数法解决几何问题的能力，并逐渐内化为学生的习惯和基本素质，为以后学习直线与圆锥曲线的知识打下基础．本节课内容共一个课时．教学过程中，让学生利用已有的知识，自主探索用坐标法去研究直线与圆的位置关系的方法，体验有关的数学思想，培养学生“用数学”以及合作学习的意识．二、教学目标设置由于本节课在初中已有涉及，教师准备“学案”先让学生提前思考，归纳出直线与圆的三种位置关系以及代数与几何的两种判定方法．通过学生的观察、分析、概括，促使学生把解析几何中用方程研究曲线的思想与初中已掌握的圆的几何性质相结合，从而把传授知识和培养能力融为一体，完成本节课的教学目标．三、学生学情分析在经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯．根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能目标：（1）理解直线与圆三种位置关系．（2）掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法．过程与方法目标：（1）通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．情感、态度与价值观目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神．四、教学策略分析本节课以问题为载体，学生活动为主线，让学生利用已有的知识，自主探究，培养学生主动学习的习惯．通过建立数学模型、数形结合，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生的数学素质；通过对直线与圆的位置关系判断方法的探究，进一步提高学生的思维能力和归纳能力．在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位．五、课前准备：直线与圆的位置关系学案（附后）例如图，已知直线直线与圆已知过点，求直线的方程．（课件）六、教学评价设计新课程强调学习过程的评价，因此，在对学生学习结果评价的同时，更应高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、合作意识、独立思考的能力及学习的兴趣等．根据本节课的特点，我从以下几个方面进行教学评价：通过问题情境，激发学生的学习兴趣，使学生找到要学的与以学知识之间的联系；问题串的设置可让学生主动参与到学习中来；在判断方法的形成与应用的探究中，师生的相互沟通调动学生的积极性，培养团队精神；知识的生成和问题的解决，培养学生独立思考的能力，激发学生的创新思维；通过练习检测学生对知识的掌握情况；根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学．。

2019高考数学一轮复习9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件理新人教B

故选 A
A.
关闭
关闭
解析答案
-10-
知识梳理考点自测
12345
5.(2017山东枣庄一模)圆(x-2)2+(y+1)2=4与圆(x-3)2+(y-2)2=4的
位置关系是
.
关闭
由题意可得,两圆的圆心距 C1C2= (2-3)2 + (-1-2)2 = √10.
∵0<√10<4,∴两圆相交.
关闭
A
√1+��
2
=r=2,化简得

k2=3.
∵切点在第二象限,∴k=-√3.
∴直线方程为 y=-√3x,故选 B.
关闭
(1)B (2)B
解析答案
考点1 考点2 考点3
-12-
思考在直线与圆的位置关系中,求参数的取值范围的常用方法有哪些?
解题心得1.判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.
(2)圆(2)心(2坐01标7北为京(0东,4)城,半一径模为文2，. 4)如果过原点的直线l与圆x2+(y-
由4)直2=线4切过于原第点二,当象直限线,那斜么率直不线存l的在方时程,不是合(题意,)
设直A.线y=方√3程x为 y=Bk.xy,=即-√k3xx-y=0.
则圆C.心y=到2x直线的D距.y离=-d2=x 4
-6-
知识梳理考点自测
12345
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.( )
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解,则这两个圆的位置关系为

2019版高考数学一轮复习第七章解析几何第4讲直线与圆的位置关系配套课件理20180712290

考情风向标从近几年的高考看，对这部分内容的考查呈上升的趋势，逐渐成为热点问题，要引起重视 . 预计 2019 年高考仍将以圆与圆、直线与圆的位置为主要考点，尤其是直线与圆的位置关系是重中之重，备考时应特别关注利用圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断位置关系及有关计算的方法
1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置关系为 ( B )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解析：两圆心之间的距离为 d＝－2－22＋0－12＝ 17，两圆的半径分别为 r1＝2，r2＝3，则r2－r1＝1<d<r1＋r2＝5.故两
圆相交.故选 B.
2.已知圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 截直线 x＋y＋2＝0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值为( B )
4x－3y＋a＝0，由方程组 2 2 x ＋y ＝100，
消去 y，得
25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000. ① 当直线和圆相交时， Δ>0 ，即－36a2 ＋ 90 000>0 ，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，即 a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ<0，即 a<－50 或 a>50. 方法二，(几何法)
解析：由点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方
程为 x2＋y2＝5，所以该圆在点 P 处的切线方程为 1×x＋2×y
＝5，即 x＋2y－5＝0.
考点 1 直线与圆的位置关系考向 1 直线与圆位置关系的判断例 1：若直线4x－3y＋a＝0与圆 x2＋y2＝100 有如下关系： ①相交；②相切；③相离.试分别求实数 a 的取值范围. 解：方法一，(代数法)

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

解由题意，得圆心 C(1,2)，半径 r＝2.

(1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4，
∴点 P 在圆 C 上．
又
2－ 2－2 kPC＝ 2＋1－1＝－1，∴切线的斜率
k＝－k1PC＝1，
∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝1×[x－( 2＋1)]，即 x－y
＋1－2 2＝0.
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
D．x－ 3y＋2＝0
解析圆 Q 的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.∵P(1， 3)在圆 Q 上，∴所求
切线方程为(1－2)(x－2)＋( 3－0)·(y－0)＝4，即 x－ 3y＋2＝0.
解析答案
3．对任意的实数 k，直线 y＝kx－1 与圆 C：x2＋y2－2x－2＝0 的位置
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点 M 在圆 C 外部．
当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x＝3，即 x－3＝0. 解
又点 C(1,2)到直线 x－3＝0 的距离 d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线 x－3＝0 是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为 y－1＝k(x－3)，即 kx－y＋1－3k
3.(2020·浙江高考)设直线 l：y＝kx＋b(k＞0)，圆 C1：x2＋
3 y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线 l 与 C1，C2 都相切，则 k＝____3____，b
＝___－__2_3__3___.
解析由题意，两圆圆心 C1(0,0)，C2(4,0)到直线 l 的距离等于半径，即
|2c| a2＋b2
>2，所以

2024年高考数学一轮复习第七章第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件

B.线段 AB 中垂线方程为 x＋y－1＝0
C.公共弦
AB
的长为
2 2
D.P 为圆 O1 上一动点，则 P 到直线 AB 距离的最大值为 22＋1
外离
d＝R＋r d>R＋r
3
4
【名师点睛】(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋ y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
解析：设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16 的圆心为 M(5，5)，由题易知直线 AB 的方程为4x＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0，则圆心 M 到直线 AB 的距离 d＝|5＋2×55－4|＝ 115＞4，所以直线 AB 与圆 M 相离，所以点 P 到直线 AB 的距离的最大值为 4＋d＝4＋115，4＋ 115＜10，故 A 正确；易知点 P 到直线 AB 的距离的最小值为 d－4＝115－4，
a2，0，半径 r＝a2，
a
圆心 O1 到直线 x－y＝0 的距离 d＝ 22＝2 a 2，所以由题意可
得弦长 2 2＝2 r2－d2＝2
a42－a82，解得 a＝4，所以圆 O1 的
方程为 x2＋y2－4x＝0，即圆心坐标 O1(2，0)，半径 r＝2，圆 O2 的圆心 O2(4，2)，半径 r′＝1，
程中，体会用代数方法处理几何主，难度中等中出现
1.直线与圆的位置关系
判断方法
相交
几何法
d<r

直线与圆、圆锥曲线的关系

当堂检测
2 2 y x 2 a x y 2ay 2 0 相交于 2.设直线与圆Ｃ：
Ａ，Ｂ两点，若 AB 2 3 ，求圆Ｃ的面积．
R 4, S 4
2
课堂小结
1、直线与圆的位置关系关系；
2、直线与圆锥曲线的位置关系；
3、弦长公式及应用； 4、数学思想：数形结合，函数与方程，分类讨论思想
0：有两个不同的交点 0：有一个交点 0：无交点
交点的分布
2)若f(x,y)=0是双曲线时， 10若a=0，直线l与双曲线的渐近线平行或重合 20若a≠0，设Δ=b2-4ac
0：有两个不同的交点 0：有一个交点 0：无交点
展示环节————展现自我
展示内容位置或方式展示安排
合作探究1 合作探究2
前黑板前黑板
3C1 8B1
合作探究3
后黑板
9C2
要求： 1.展示小组在小先生的安排下有序进行 2.展示同学书写工整、迅速
精彩点评————共同进步
点评内容点评安排
合作探究1 合作探究2 合作探究3
2B1
6A2 5A1
代数法判断直线与曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入曲线方程
得到一元一次方程直线与双曲线的渐近线
得到一元二次方程计算判别式 >0 =0 <0
或抛物线的对称轴平行相交（一个交点）
相交
相切
相离
判断直线和圆锥曲线的位置关系的方程观
设直线l的方程为:Ax+By+C=0;圆锥曲线方程为:f(x,y)=0 消元（消x或y）不妨消去y后得ax2+bx+c=0 1)若f(x，y)=0表示椭圆，则a≠0

高考数学一轮复习配套讲义：第8篇第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系[最新考纲]1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2.设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).1．对直线与圆位置关系的理解(1)直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1恒有公共点．(√)(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)(3)(教材习题改编)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于2 5.(×)2．对圆与圆位置关系的理解(4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)3．关于圆的切线与公共弦(6)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(√)(8)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(√)[感悟·提升]1．两个防范一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍，如(3)；二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两圆外切与内切，(5)应为两圆相交、内切、内含． 2．两个重要结论一是两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．二是当两圆相交时，把两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.考点一直线与圆的位置关系【例1】 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )．A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)(·山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )．A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1.故直线与圆O 相交．(2)如图，圆心坐标为C (1,0)，易知A (1,1)，又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0. 答案 (1)B (2)A规律方法判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．【训练1】 (1)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(·郑州模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 取值范围是 ( )． A ．(3，2) B ．(3，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 解析 (1)若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m |1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1，解得m ＝233，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233. 答案 (1)A (2)D考点二圆与圆的位置关系【例2】已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2(11)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. 规律方法 (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．【训练2】 (1)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )． A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )． A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析 (1)圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径为r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2，故两圆相交．(2)依题意，可设圆心坐标为(a ，a )、半径为r ，其中r ＝a ＞0，因此圆的方程是(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，由圆过点(4,1)得(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C 1，C 2的横坐标，|C 1C 2|＝2×(－10)2－4×17＝8.故选C. 答案 (1)B (2)C考点三有关圆的综合问题【例3】 (·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．审题路线 (1)由两条直线解得圆心C 的坐标⇒设过点A 与圆C 相切的切线方程⇒由点到直线的距离求斜率⇒写出切线方程；(2)设圆C 的方程⇒设点M (x ，y )⇒由|MA |＝2|MO |得M 的轨迹方程⇒由两圆有公共点，列出关于a 的不等式⇒解不等式可得．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.整理得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.规律方法 (1)圆与直线l 相切的情形——圆心到l 的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l .(2)圆与直线l 相交的情形——圆心到l 的距离小于半径，过圆心而垂直于l 的直线平分l 被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．【训练3】 (·江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－ 3解析由y ＝1－x 2得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S △AOB 取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin 45°＝22.设此时直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有22＝|0－0－2k |k 2＋1，解得k ＝±33，由图象可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－33. 答案 B1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形． 3．圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].答题模板10——与圆有关的探索问题【典例】 (12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．[规范解答] 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C (1，－2)．假设在圆C 上存在两点A ，B 满足条件，则圆心C (1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1.(2分)于是可知，k AB ＝1.设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程，整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0，即b 2＋6b －9＜0. 解得－3－32＜b ＜－3＋3 2.(6分)设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2. 也就是x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0.由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， (8分) ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0.∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0. (10分) 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ＞0， (11分) 即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0 . (12分) [反思感悟] 本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，解题的关键有两点：(1)假设存在两点A 、B 关于直线对称，则直线过圆心．(2)若以AB 为直径的圆过原点，则OA ⊥OB .转化为OA →·OB →＝0. 答题模板第一步：假设符合要求的结论存在．第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解．第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．第四步：给出明确结果．第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．【自主体验】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．解析圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，如图，直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离不大于2即可．圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离d＝|4k－2|(－1)2＋k2＝|4k－2|1＋k2，由题意知|4k－2|1＋k2≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤4 3.故k max＝4 3.答案4 3基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·广州二测)直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是()．A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值解析由y＝kx＋1知直线过定点(0,1)，由x2＋y2－2y＝0得x2＋(y－1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．答案 B3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.答案 C4．(·宝鸡二检)若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为( )． A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0解析由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0. 答案 B5．(·威海期末考试)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )． A ．k ＝12，b ＝－4 B ．k ＝－12，b ＝4 C ．k ＝12，b ＝4 D ．k ＝－12，b ＝－4解析因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A 二、填空题6．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________．解析显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝07．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 答案 2x －4y ＋3＝08．(·三门峡二模)两圆相交于两点(1,3)和(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m ，c 均为实数，则m ＋c ＝________.解析根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m ，－1)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x －y ＋c ＝0上，并且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m 2－1＋c ＝0，3－(－1)1－m ×1＝－1，∴m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3. 答案 3三、解答题9．求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ② ①－②得2x －y ＝0代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45. 10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·安徽宣城六校联考)已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A2．(·重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )．A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′1C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.选A.答案 A二、填空题3．(·福建质检)已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于________．解析依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3(x －1)，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34.答案 34三、解答题4．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)， ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。

高考数学一轮总复习教学课件第八章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

则直线与圆相切.( √ )
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交
√
C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r

+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.

B.
C.2
)
D.
√

解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,

解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0
√
D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.

【高中数学】直线与圆的位置关系(第一课时) 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

直线与圆的位置关系
用代数法判断直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系
的步骤：
(1)联立它们的方程, 得到方程组
Ax By C 0
2
2
x y Dx Ey F 0
(2)消元, 得到关于x(或y)的一元二次方程.
(1)
典例分析
回顾点到直线的距离公式：
点 P ( x0 , y 0 )到直线 l： Ax By C 0的距离公式
d
Ax 0 By 0 C
A2 B 2
典例分析
直线与圆的位置关系
例1 已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C
的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
04 | 重点难点
05 | 教法分析
06 | 教学过程
教材分析
《直线与圆的位置关系》是对上节课《圆的方程》的延续和拓展，又是后续研究圆
与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。
新课标中强调了要帮助学生用代数方法，认识直线与圆的位置关系，运用平面解析
几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。
难点：
● 直线与圆三种位置关系的研究。
教法分析
教学方法
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”教学法，用环环相扣的问题将探
究活动层层深入，站在学生思维的最近发展区上启发诱导。
教学过程
复习回顾，引入新课
1.点与圆的位置关系的判断
2
2

4 第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

3，圆心 O 到直线 l 的距离 d＝
|c| a2＋b2
＝ 3，所以直线 l 被圆 O 所截得的弦长为 2 r2－d2＝2 （2 3）2－（ 3）2＝6，故选
C.
上一页
返回导航
下一页
第九章平面解析几何
24
(2)由于直线 x＋ay－1＝0 是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的对称轴，所以圆心 C(2，1) 在直线 x＋ay－1＝0 上，所以 2＋a－1＝0，所以 a＝－1，所以 A(－4，－1)．所以|AC|2＝36＋4＝40.又 r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.
上一页
返回导航
下一页
第九章平面解析几何
位置关系
方法
相交相切相离
几何法
d__<__r d_＝__r d__>_r
3
代数法 Δ__>_0 Δ_＝__0 Δ_<__0
上一页
返回导航
下一页
第九章平面解析几何
2.圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．
方法位置关系
几何法：圆心距 d 与 r1，r2 的关系
外离外切相交
_d__>_r1_＋__r_2_ d_＝___r1_＋__r_2_ |_r_1－__r_2_|<_d__<_r1_＋__r_2_
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
4
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 _无__解___ 一组实数解两组不同的实数解 _一__组__实__数__解___ _无__解___

2023年高考数学一轮复习课件——直线与圆、圆与圆的位置关系

跟踪训练1 (1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与
圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是
√A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 √B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
√D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
相交，A选项错误；
对于B选项，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l
的斜率不存在，B选项正确；
对于 C 选项，当 k＝1 时，直线 l 的方程为 x－y＋1＝0，圆心 C 到直线
l 的距离为 d＝ 22，所以直线 l 被 C 截得的弦长为 2
5－
222＝3
2，C l 的距离为 d＝ k21＋1≤1，所以直线 l 被 C 截得的弦长为 2 5－d2≥4，D 选项正确.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.
(√) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
教材改编题
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为
内切内含
_d_＝__|_r1_－__r_2_| ___d_<_|r_1_－__r2_|_
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长 |AB|＝_2___r_2－__d_2___.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝__1_＋__k_2·___x_M_＋__x_N_2_－__4_xM__xN_.

2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系教案理

(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点 M 在圆 C 外部．当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x＝3，即 x－3＝0. 又点 C(1,2)到直线 x－3＝0 的距离 d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线 x＝3 是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为 y－1＝k(x－3)，即 kx－y＋1－3k＝0，则圆心 C 到切线的距离 d＝|k－2k＋2＋1－1 3k|＝r＝2，解得 k＝34.
关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
[注意] 当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的
情况．(如典题领悟(2))
3．常用结论 (1)过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为 x0x＋y0y ＝r2； (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； (3)过圆 x2＋y2＝r2 外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为 A，B，则过 A，B 两点的直线方程为 x0x＋y0y＝r2； (4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则切点弦 AB 所在直线方程为 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(一)直接考——判断直线与圆的位置关系
1．直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的位置
关系是
()
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：法一：由mx2x＋－yy－＋11－2＝m5＝，0，
消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，

2019年全国高考数学第一轮复习第7讲.直线与圆 (1)

第07讲直线与圆本讲分三小节，分别为直线与圆的基本量与方程、位置关系、线性规划，建议用时3课时．直线的基本量有倾斜角、斜率与截距，直线方程重点掌握点斜式方程、斜截式方程与一般式方程，注意这三种直线方程分别在什么形式下使用，以及设立方程时要讨论斜率不存在的直线．直线与圆的位置关系中，注重对圆的几何性质的应用．直线系问题是选讲考点．第一小节为直线与圆的基本量与方程，共3道例题．其中例1主要讲直线的基本量；例2主要讲解直线方程；例3主要讲解圆的基本量与方程；第二小节为位置关系，共4道例题．其中例4主要讲解直线与直线的位置关系；例5主要讲解对称问题；（之后有直线系的选讲知识点与例题，学生版不出现）例6主要讲直线与圆的相离与相切问题；例7主要讲解直线与圆相交与弦长问题；第三小节为线性规划，共1道例题．例8主要讲解线性规划的一些问题．注：本讲铺垫学生版出现，可以作为知识点与基本方法的复习；拓1到拓5学生版不出现，可以作为一些程度非常好的班级的拓展思考．知识结构图过直线y x =上的一点作圆()()22512x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 【解析】 C设不等式组 1103305390x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≤表示的平面区域为D ，若指数函数x y a =的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（）A ．(]13，B ．[23]，C ．(]12，D ．[)3+∞，【解析】 A1、下面命题中正确的是（）A ．经过定点000()P x y ，的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过任意两个不同的点111222()()P x y P x y ，，，的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示D ．经过点(0)A b ，的直线都可以用方程y kx b =+表示 2、点(4)a ，到直线431x y -=的距离不大于3，则实数a 的取值范围是（）A ．[212]，B ．[112]，C ．[010]，D ．[19]-， 3、已知过点(2)A m -，和(4)B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（） A ．0 B ．8- C ．2 D ．104、0A C =≠且0B =是方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件5、“a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 6、圆222690x y x y +--+=关于直线50x y -+=对称的圆的方程是（）A ．22(6)(2)1x y -++=B ．22(6)(2)1x y ++-=C ．22(2)(6)1x y ++-=D ．22(2)(6)1x y -++= 7、圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、点(13)A ，，(52)B -，，点P 在x 轴上使AP BP -最大，则P 的坐标为（） A ．(40)，B ．(130)，C ．(50)，D ．(10)， 9、直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是（）A．0m < B．1m <<C．1m <≤D．1m ≤ 10、ABC △中，a b c ，，是内角A B C ，，的对边，且lgsin A 、lgsin B 、lgsin C 成等差数列，则下列两条直线1l ：2sin sin 0A x A y a ⋅+⋅-=与2l ：2sin sin 0B x C y c ⋅+⋅-=的位置关系是（） A ．重合 B ．相交（不垂直） C ．垂直 D ．平行小题热身真题再现1．直线⑴直线l 的倾斜角α：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．⑵直线l 的斜率k ：①tan k α=；②()211221y yk x x x x -=≠-；倾斜角为90︒的直线斜率不存在．⑶直线方程①点斜式 ()00y y k x x -=-，()00P x y ，为直线上任一点，k 为直线的斜率．②斜截式 y kx b =+．③截距式 ()10x yab a b+=≠．④一般式 ()2200Ax By C A B ++=+≠．⑷两条直线的位置关系：11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，．①1l 与2l 重合⇔12120A B B A -=且12120B C C B -=；若2l 的系数均不为0可以写成：111222A B C A B C ==； ②12l l ∥⇔12120A B B A -=且12120B C C B -≠；若2l 的系数均不为0可以写成：111222A B CA B C =≠；③1l 与2l 相交⇔12120A B B A -≠； ④12l l ⊥⇔12120A A B B +=． ⑸距离公式：点到直线距离公式：点()00A x y ，到直线:0l Ax By C ++=的距离d ；平行线间距离公式：1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，的距离d =2．圆⑴圆的方程①标准方程：()()222x a y b r -+-=，()C a b ，为其圆心，0r >为其半径；②一般方程 220x y Dx Ey F ++++=，圆心22DE C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，半径r 当2240D E F +->时，方程表示圆； ⑵位置关系①直线与圆的位置关系：圆心到直线l 的距离为d ，r 为圆的半径． d r >时，相离；d r =时，相切；d r <时，相交． ②圆与圆的位置关系：两圆半径12r r ，，圆心距为d ．12d r r >+时，外离；12d r r =+时，外切；1212r r d r r -<<+时，相交；12d r r =-时，内切；当12d r r <-时，内含．3．线性规划当0B >时，0Ax By C ++>所表示的平面区域是直线0Ax By C ++=的上半部分； 0Ax By C ++<所表示的平面区域是其下半部分；反之，当0B <时，则0Ax By C ++>表示的平面区域是直线0Ax By C ++=的下半部分； 0Ax By C ++<所表示的平面区域是其上半部分．也可根据A 的正负，确定不等式对应的是直线的左半部分还是右半部分．知识梳理考点：直线的基本量<教师备案> 直线的倾斜角、斜率、截距、直线上的点等等都属于直线的基本量的范畴．一般来说，知道直线的两个基本量就可以确定一条直线．注意倾斜角变化时，斜率的变化规律；当倾斜角[090)θ∈︒︒，时，斜率k 都随θ的增加而增加，从0增加到+∞；当倾斜角(90180)θ∈︒︒，时，斜率k 都随θ的增加而增加，从-∞增加到0．倾斜角为90︒时，斜率不存在．直线的截距要注意的是可正可负，与距离无关，是与坐标轴交点对应的坐标值．【例1】 ⑴直线cos20sin 2030x y ︒+︒-=的倾斜角是（）A ．20︒B ．160︒C ．70︒D ．110︒⑵已知(24)(30)A B -，，，，直线l 过原点(00)O ，且与线段AB 相交，则直线l 斜率的取值范围是_____．⑶如果直线0Ax By C ++=经过第一、二、四象限，则（）A ．0AC >，0BC <B ．0AC <，0BC > C ．0AC <，0BC <D ．0AC >，0BC >【解析】 ⑴D ；⑵()2[0)-∞-+∞ ，，；⑶ C【拓1】直线sin 10x y θ--=的倾斜角的范围是__________．【解析】 π3π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；考点：直线方程<教师备案> 直线的五种形式里面，常用的形式是斜截式、点斜式与一般式．已知直线上一点，用点斜式方程；已知直线的斜率用斜截式方程．注意这两种形式都不能表示斜率不存在的直线．有时已知直线的横截距我们会将直线设为倒斜横截式，即my x b =+的形式，这种形式不能表示斜率为零的直线，斜率为1m．一般式方程在求点到直线的距离公式时用到，它可以表示所有的直线．直线的截距式使用较少，一般在比较明显涉及到横纵截距或其关系时使用，要注意单独讨论截距为零的情况；直线的两点式很少使用，给出两点求直线方程通常也会先求斜率，再用点斜式写出．【例2】直线l 过点()21M ，且分别交x 、y 轴于A 、B 点，O 为坐标原点， ⑴若直线的横截距与纵截距相等，则符合条件的直线l 有_____条． ⑵若直线的横截距与纵截距之和为3-，则符合条件的直线l 有______条． ⑶若M 为AB 中点，则直线l 的方程为___________； ⑷若:1:2MA MB =，则直线l 的方程为____________． ⑸A B ，在x y 、轴正半轴时，AOB △的面积的最小值为______．【解析】 ⑴ 2；⑵ 2；⑶ 240x y +-=；⑷ 3x y +=；⑸ 4； 7.1直线与圆的基本量与方程考点：圆的基本量与方程<教师备案> 求圆的方程可以先通过几何关系求圆心坐标与半径，再写出圆的标准方程；也可以直接设圆的一般方程，通过条件得到参数的方程，求得结果，后者的计算量更大．例3求圆的方程的题有些如果通过几何关系求圆心，需要用到线段的中垂线的求法．注意圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆需要2240D E F +->，可以通过配方成圆的标准方程得到此不等式．例：方程2222210x y a x a ya a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是_______．解：()2222221024a a x y a a a a ⎛⎫+++=+--+> ⎪⎝⎭，解得223a -<<【铺垫】写出满足下列各条件的圆的方程：⑴ 以(31)A --，，(55)B ，为直径的圆； ⑵ 圆心为(12)，且与直线51270x y --=相切的圆的方程．【解析】 ⑴ 22(1)(2)25x y -+-=；⑵ 22(1)(2)4x y -+-=．【例3】写出满足下列各条件的圆的方程：⑴与x y ，轴均相切且过点(18)，的圆； ⑵圆心在直线40x y +=上，且与直线:10l x y +-=切于点(32)P -，的圆的方程；⑶过点(11)A ，，(35)B -，，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程．【解析】 ⑴ 22(5)(5)25x y -+-=或22(13)(13)169x y -+-=；⑵ 22(1)(4)8x y -++=； ⑶ 22(2)(2)10x y ++-=．考点：直线与直线的位置关系<教师备案>铺垫复习两直线平行、垂直的条件，以及平行线间的距离公式．【铺垫】⑴“两直线的斜率相等”是“两直线平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件⑵“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 ⑶ 已知直线:220l x y +-=，与直线l的直线方程为______________．【解析】 ⑴ A ；⑵ A ；⑶ 20x y +=或240x y +-=．7.2位置关系【例4】 ⑴直线210x y --=绕(11)，逆时针旋转90︒，再向上平移1个单位，所得到的直线为（） A ．210x y --= B ．250x y --= C ．210x y +-= D ．250x y +-=⑵已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，正方形一边所在直线的方程为350x y +-=，其它三边所在的直线方程分别为_______________________________．⑶若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为m 的倾斜角是 ①15︒ ②30︒ ③45︒ ④60︒ ⑤75︒ 其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）【解析】 ⑴ D ⑵ 370x y ++=，390x y -+=，330x y --=；⑶ ①⑤【拓2】已知两点(1A、(0B 到直线l 的距离等于a ，且这样的直线l 可作4条，则a 的取值范围为（） A ．1a ≥ B ．01a << C ．01a <≤ D ．021a <<【解析】 B ；考点：对称问题<教师备案>1．点关于直线的对称点：点00()P x y ，关于直线0Ax By C ++=的对称点()Q x y ，可以通过解方程组0000()()()()20A y y B x x A x x B y y C -=-⎧⎨++++=⎩来求出，第一个方程代表PQ 与对称轴垂直，第二个方程代表PQ 的中点在对称轴上．对于几个特殊情形可以单独总结：⑴ 00()P x y ，关于x 轴的对称点是00()Q x y -，，关于y 轴的对称点是00()Q x y -，，关于原点O 的对称点是00()Q x y --，；⑵ 00()P x y ，关于直线y x =的对称点是00()Q y x ，，关于y x =-的对称点是00()Q y x --，．⑶ 00()P x y ，关于直线y x m =+的对称点是00()Q y m x m -+，，关于y x m =-+的对称点是00()Q y m x m -+-+，． 2．直线l 关于点P 对称直线l '；l l '∥，且l 上的点关于P 的对称点在l '上．如：直线10x y ++=关于点(12)，的对称直线方程可设为0x y m ++=，又(10)-，在直线10x y ++=上，(10)-，关于(12)，的对称点为(34)，，故7m =-，即所求直线为70x y +-=． 3．直线0l 关于直线l 的对称直线0l '：⑴若0l l ∥，则00l l '∥，且0l 与l 之间的距离等于0l '与l 之间的距离；⑵若0l 与l 相交，则交点在0l '上，且0l 上任一点关于直线l 的对称点也在0l '上．【例5】 ⑴已知(12)A -，，(43)B ，，在x 轴上有一点P ，使PA PB +最小，则P 点的坐标为______． ⑵直线:210l x y +-=关于点(11)，的对称直线方程为____________________． ⑶ABC △中，点A 的坐标为(22)-，，点B 的坐标为(42)--，，A ∠的角平分线恰好经过原点，则边AC所在的方程为．【解析】 ⑴ (10)，；⑵ 250x y +-=；⑶ 260x y -+=；**************************************************************************************** 直线系选讲（学生版不出现）<教师备案>直线系问题是选讲考点，不作常规要求，可以根据学生情况选择讲解．圆系与曲线系问题因为使用较少，不再介绍．知识点：⑴过定点00()x y ，的直线系方程00()y y k x x -=-；⑵和直线0Ax By C ++=平行的直线系方程0Ax By C '++=（C C '≠）；和直线y kx b =+平行的直线系方程y kx b b b ''=+≠，； ⑶和直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程0Bx Ay C '-+=；⑷经过两相交直线1110A x B yC ++=和2220A x B y C ++=的交点的直线系方程11122()0A x B y CA xB yC λ+++++=（不包括直线2220A x B y C ++=）．【例题】⑴ 直线l 经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；⑵ 求经过直线3210x y -+=和340x y ++=的交点，垂直于直线340x y ++=的直线l 的方程； ⑶ 求经过两直线231x y -=，322x y +=的交点，且平行于直线30y x +=的直线方程；⑷ 已知过点()3,1P 的直线l 被两平行直线1:210l x y +-=与2:230l x y +-=所截的线段中点在直线2:10l x y --=上，求直线l 的方程．【解析】 ⑴ 显然直线2570x y +-=不满足要求，∴设直线l 的方程为()()3262570x y x y λ++++-=根据截距相等列方程，解得l 的方程为340x y +=或10x y ++=． ⑵ 320x y -+=；⑶ 253013x y +-=； ⑷ 设点()3,1P 的直线l 被两平行直线1:210l x y +-=与2:230l x y +-=所截的线段中点为M ，则容易知道点M 在直线220x y +-=上，于是可以利用过两直线交点的直线系方程求解：设直线l 的方程是()()2210x y x y λ+-+--=，则由于该直线过点()3,1P ，解得3λ=-．于是直线l 的方程是2510x y --=．****************************************************************************************考点：直线与圆的位置关系<教师备案> 圆的位置关系问题我们主要讨论直线与圆的位置关系，有相离、相交与相切三类，因为圆有很好的几何性质，所以直线与圆的位置关系问题常常是通过圆的几何性质求解的，很少联立方程求解．这是直线与圆的位置关系与直线与圆锥曲线的位置关系问题明显不同的地方．圆与圆的位置关系问题涉及较少，我们不专门提及，在例题中有所涉及．在直线与圆的位置关系里面有几类问题是比较有代表性的： ⑴过切点的切线方程与切点弦方程：若直线与圆222x y r +=相切于点00()x y ，，则切线方程可以写成：200x x y y r +=；更一般地，与圆222()()x a y b r -+-=相切于点00()x y ，的切线方程为：200()()()()x a x a y b y b r --+--=．如果点00()x y ，在圆外，则与切线方程同样形式的方程表示过该点所作的圆的两条切线对应的切点线的方程，即切点弦方程．⑵ 定圆外一动点引圆的切线问题：设圆的圆心为O ，半径为r ，过圆外一点P 引圆的切线PA 、PB ，PO d =，那么POA △ 和POB △是关于PO 对称的直角三角形，PA PB =以下几个条件完全等价：d 越短⇔切线长PA 越短⇔圆心角AOB ∠越小⇔弧长AB 和弦长AB 越短⇔四边形PAOB 面积越小．⑶ 定圆上到定直线距离为定值的点的个数问题：设圆的圆心为O ，半径为r ，圆心O 到定直线l 的距离为d ．求圆上到直线l 距离为m 的点的个数．到直线l 距离为m 的点的轨迹是两条与l 平行，距离为m 的直线；和圆心在l 同侧的那条记为1l ，另外一条记为2l ．则O 到1l 的距离为d m -，O 到2l 的距离为d m +，圆与1l 和2l 的交点就是圆上到l 距离为m 的点．分别判断d m -和d m +与r 的大小，可知圆与1l 和2l 的交点个数．θO BAP【铺垫】⑴ 已知圆22:5O x y +=和点(12)A ，，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于．⑵ 过圆O ：222x y +=外一点(42)P ，向圆引切线，切点为12P P ，，则切线方程为________，直线12P P 的方程为__．【解析】 ⑴254⑵ 20x y --=与7100x y -+=；210x y +-=；【例6】 ⑴圆222210x y x y +--+=上的动点Q 到直线3480x y ++=距离的最小值为______． ⑵与直线20x y +-=相切且与曲线221212540x y x y +--+=相外切的半径最小的圆的标准方程是【解析】 ⑴ 2；⑵ 22(2)(2)2x y -+-=【拓3】已知点()P x y ，是直线40kx y ++=(0)k >上一动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（）A ．3 BC． D ．2【解析】 D【例7】 ⑴若()21P -，为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（） A ．30x y --= B ．230x y +-=C ．10x y +-= D ．250x y --= ⑵直线l 过点(40)-，且与圆22(1)(2)25x y ++-=交于A B ，两点，如果8AB =，那么直线l 的方程为（） A ．512200x y ++= B ．512200x y -+=或40x += C ．512200x y -+= D ．512200x y ++=或40x += ⑶直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N两点，若MN ≥，则k 的取值范围是（） A ．304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．[)304⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ，， C．⎡⎢⎣⎦ D ．205⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 ⑴A ；⑵ D ⑶ A【拓4】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是______________．【解析】 (1313)-，．考点：线性规划【铺垫】⑴ 原点和点(11)，在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是． ⑵在平面直角坐标系中，不等式组040x y x y x a +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为．⑶ 在约束条件252400x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥下，34z x y =+的最大值是_______．【解析】 ⑴ ()0,2；⑵ 1；⑶11．【例8】 ⑴已知点()P x y ，的坐标满足条件12220x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≤，≥，那么22x y +的取值范围是_________，11y x ++的取值范围是_________． ⑵若变量x ，y 满足约束条件00x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤4表示的平面区域为M ，则当42a -≤≤时，动直线x y a +=所经过的平面区域M 的面积为______．⑶若不等式组220x y x y y x y a-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）A ．43a ≥B ．01a <≤C ．413a ≤≤D ．01a <≤或43a ≥【解析】 ⑴ 455⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；⑵ 7；⑶ D ；【拓5】设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数x y a =(01)a a >≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（）A ．[13]， B．2⎡⎣ C ．[29]， D．9⎤⎦【解析】 C 7.3线性规划一、选择题 1、设A B ，为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（）A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．50x y +-=【解析】 D2、“4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 C 3、若过点(40)A ，的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A．⎡⎣ B．(C．⎡⎢⎣⎦ D．⎛ ⎝⎭【解析】 C4、（2011东城高三期末理6）直线0ax by a b +++=与圆222x y +=的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切【解析】 D 5、直线3y x =-与圆22215x y x +-=相交于P ，Q 两点，点M 是圆上一点，且MPQ △的面积等于8，这样的点M 有且仅有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 D二、填空题 6、设直线10x my --=与圆()()22124x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为，则实数m 的值是．【解析】7、如果直线2(2)(32)2m x m m y m ++++=+与y 轴平行，则m =_____．【解析】 1-；8、已知圆C ：22(1)2x y -+=，过点(10)A -，的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为．【解析】10x +=；9、已知点()P x y ，的坐标满足条件28x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于＿＿＿．【解析】课后习题- 11 - 10、若实数x y ，满足221420x y xx y x ⎧⎪⎨⎪+-+⎩≤≤≥，则32z x y =+的最小值是；在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是．【解析】 0；π22-．三、解答题6、求由三条直线220x y ++=，260x y --=，260x y -+=所构成的三角形的外接圆方程．【解析】 2227180x y x y +---=．7、已知圆O ：221x y +=，圆C ：22(2)(4)1x y -+-=，由两圆外一点()P a b ，引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如右图，满足PA PB =．⑴求实数a 、b 间满足的等量关系； ⑵求切线长PA 的最小值．⑶是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切，并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴250a b +-=．⑵min ||2PA =．⑶不存在符合题设条件的圆P ．。

2021版高考数学一轮复习第七章解析几何第4讲直线与圆的位置关系课时作业理20210712289

2021版高考数学一轮复习第七章解析几何第4讲直线与圆的位置关系课时作业理202107122891．(2020年安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b ＝( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或122．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 23．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y ＋3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝04．(2020年重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2105．(2020年山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32 或－23C ．－54或－45D ．－43或－346．由直线y ＝x ＋1上的动点P 向圆C ：(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．37．(2021年广东调研)若直线x ＋y ＝1与曲线y ＝a －x 2(a >0)恰有一个公共点，则a 的取值范畴是( )A ．a ＝12B ．a >1或a ＝12C.12≤a <1D.12<a <1 8．(2021年新课标Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝____________.9．(2021年吉林实验中学三模)已知圆C 的圆心C 在第一象限，且在直线3x －y ＝0上，该圆与x 轴相切，且被直线x －y ＝0截得的弦长为2 7，直线l ：kx －y －2k ＋5＝0与圆C 相交．(1)求圆C 的标准方程；(2)求出直线l 所过的定点；当直线l 被圆所截得的弦长最短时，求直线l 的方程及最短的弦长．10．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范畴；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．11．(2020年广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k 的取值范畴；若不存在，说明理由．第4讲直线与圆的位置关系1．D 解析：∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b |32＋42＝1⇒b ＝2或12.故选D.2．D 解析：易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2；圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切．∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，∴a ＋b ≤3 2(当且仅当a ＝b ＝3 22时取“＝”)，∴a ＋b 的最大值为3 2. 3．A 解析：方法一，设过点(3,1)的切线为y －1＝k (x －3)，变形可得kx －y ＋1－3k＝0.由圆心(1,0)到切线的距离d ＝|k ＋1－3k |k 2＋1＝1，得k ＝43或k ＝0.联立切线与圆的方程可得切点A ，B 的坐标，可得直线AB 的方程．方法二，以点(3,1)与圆心(1,0)的连线为直径求得圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54，x －12＋y 2＝1.两式相减，得2x ＋y －3＝0.故选A.4．C 解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝－4－22＋－1－12－4＝6.故选C.5．D 解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为：y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.又因为反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，因此|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1.整理，得12k 2＋25k ＋12＝0.解得k 1＝－43，或k 2＝－34.故选D.6．C 解析：如图D129，切线长|PM |＝|PC |2－1，明显当|PC |为圆心C 到直线y ＝x＋1的距离，即3＋12＝2 2，因此|PM |最小值为7.故选C.图D1297．B 解析：曲线y ＝a －x 2表示一个半圆，如图D130.当直线与半圆相切时，满足条件，即12＝a ，解得a ＝12；图D130当直线的横截距小于圆的半径时，满足条件，即1<a ，a >1.综上所述，a 的取值范畴是a ＝12或a >1.故选B.8．4 解析：由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6.代入圆的方程，并整理，得y 2－3 3y ＋6＝0.解得y 1＝2 3，y 2＝ 3.因此x 1＝0，x 2＝－3. 因此|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2 3.又直线l 的倾斜角为30°，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，|CD |＝|AB |cos 30°＝4.9．解：(1)设圆心C (a ，b )，a ＞0，b ＞0，半径为r ，则b ＝3a ，r ＝3a .则圆心C (a,3a )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －3a |12＋12＝2a ，则有(2a )2＋(7)2＝(3a )2.即a 2＝1. ∵a ＞0，∴a ＝1.∴圆心C (1,3)，半径为3.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.(2)∵直线l ：kx －y －2k ＋5＝0，即(x －2)k －(y －5)＝0. ∴直线l 过定点M (2,5)．∴|CM |＝5，k CM ＝2.当弦长最短时，直线l 与直线CM 垂直，即k l ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －12＝0.最短弦长为2r 2－|CM |2＝4.10．解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m . 若此方程表示圆，则5－m >0，即m <5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x ，得(4－2y )2＋y 2－2(4－2y )－4y ＋m ＝0，即5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165，①y 1y 2＝m ＋85.②由OM ⊥ON 知y 1x 1·y 2x 2＝－1.即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，代入上式，得(4－2y 1)(4－2y 2)＋y 1y 2＝0，即16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0.将①②代入上式，得16－8×165＋5×m ＋85＝0.解得m ＝85.(3)将m ＝85代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，得25y 2－80y ＋48＝0.解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，125，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，45. ∴MN 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85， |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－1252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125－452＝85. ∴所求圆的半径为45.∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.11．解：(1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，因此圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由圆的性质可得C 1Μ垂直于直线l .设直线l 的方程为y ＝mx (易知直线l 的斜率存在)，因此kC 1Μ·m ＝－1，y 0＝mx 0.因此y 0x 0－3·y 0x 0＝－1. 因此x 20－3x 0＋y 20＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94.因为动直线l 与圆C 1相交，因此|3m |m 2＋1<2.因此m 2<45.因此y 20＝m 2x 20<45x 20.因此3x 0－x 20<45x 20.解得x 0>53或x 0<0.又因为0<x 0≤3，因此53<x 0≤3.因此M (x 0，y 0)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x 0≤3. 即Μ的轨迹C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3. (3)由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线．结合图形(如图D131)，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－2 53按逆时针方向运动到⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2 53的圆弧．依照对称性，只需讨论在x 轴下方的圆弧．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－2 53，则kPT＝2 534－53＝2 57，而当直线L 与轨迹C 相切时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k 2－4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.在那个地点暂取k ＝34.因为2 57<34，因此k ΡΤ<k .结合图形(如图D132)，可得在x 轴下方的圆弧，当0<k ≤2 57或k ＝34时，直线L 与x轴下方的圆弧有且只有一个交点，依照对称性可知：当－2 57≤k <0或k ＝－34时，直线L与x 轴上方的圆弧有且只有一个交点．当k ＝0时，明显也只有一个交点．综上所述，当－2 57≤k ≤2 57或k ＝±34时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点．图D131 图D132。

新人教版通用2019高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书文新人教A版

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系———————————————————————————————— [考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析]依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋－－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]的位置关系是( )【导学号：31222298】A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________． (1)A (2)x ＋2y －5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.](2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－12＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍．又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.]心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．图841[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.5分(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.8分因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.12分[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． [解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，则r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.5分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.7分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.10分所以直线MN的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0.12分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十八)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．(2017·山西太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8B [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0，得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是( )【导学号：31222299】A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20A [由题意知，O ，A ，B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)．又圆的半径r ＝12|OP |＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]5．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )【导学号：31222300】A ．1013B ．921C ．1023D ．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________. 【导学号：31222301】x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则 |OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017·安徽十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________．－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 三、解答题9．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值． [解] (1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3.2分当a ＝3时，A (1，3)，易知所求切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，易知所求切线方程为x －3y －4＝0.5分 (2)设过点A 的直线方程为x ＋y ＝b ，则1＋a ＝b ，即a ＝b －1，8分又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2，∴⎝⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝± 2. 因此a ＝b －1＝±2－1.12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1).3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1；当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知直线l ：kx ＋y －2＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0的对称轴，过点A (0，k )作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为( )A ．2B ．2 2C ．3D ．2 3D [由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0得(x －3)2＋(y ＋1)2＝1，则C (3，－1)．依题意，圆C 的圆心(3，－1)在直线kx ＋y －2＝0上，所以3k －1－2＝0，解得k ＝1，则点A (0,1)，所以|AC |＝13，故|AB |＝|AC |2－r 2＝13－1＝2 3.]2．(2017·济南质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________.32[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°.故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.] 3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．【导学号：3122302】[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).5分(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2.8分在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2，故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k 2＝2， ∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)，10分故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x .12分。