2.3模式性质

d2X 2 + (r - x ) X = 0 2 dx d 2Y 2 + (c - h )Y = 0 2 dh
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解法：求 x 令
时，X的渐近解为
- x 2 /2
e
- x 2 /2
X (x) = H (x)e
代入X的方程，为得到有限解，须
r = 2m - 1, m = 1, 2,3, 垂直横模模数 c = 2s - 1, s = 1, 2,3, 水平横模模数
2.3 半导体激光器的模式性质
一. 激光器的拓扑结构和模式
二、波动方程和基本波导方程式
三、厄密-高斯模式
四、激光器的纵模和横模性质
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一. 激光器的拓扑结构和模式
1、F-P腔激光器的波导谐振腔结构
（1）横向构成介质波导
宽面激光器— 介质板波导
条形激光器— 矩形介质波导： 用横模表示谐振腔横截面上场分量的分布形式 （2）纵向构成谐振腔 用纵模表示谐振腔方向上光波的振荡特性
2 2 抖X Y x 2 y 2 2 Y 2 + X 2 + {k0 e p [1- ( ) - ( ) ] - b 2 ]} XY = 0 抖 x y xe ye
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两边同除以XY
2 1 抖X 1 2Y x 2 y 2 2 + + {k0 e p [1- ( ) - ( ) ] - b 2} = 0 2 2 X 抖 x Y y xe ye
L ( dm p xe
L ds + dq) p ye
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(D l )q
-l
2
l dn p 2n p L(1) n p dl
dm=0, ds=0,dq=1
(D l )m
-l 2 l dn p 2n p (1)p xe n p dl
- l 2 l dn p 2n p (1)p ye n p dl
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波导方程式
Ex = Hx = Ey = Hy = 抖z E Hz i (b + wm ) 2 K 抖 x y 抖 z H Ez i (b - we ) 2 K 抖 x y 抖z E Hz i (b - wm ) 2 K 抖 y x 抖 z H Ez i (b + we ) 2 K 抖 y x
2 2
1 抖X x 2 1 Y y 2 2 2 2 2 + {k0 e p [1- ( ) ] - b } = + k0 e p ( ) = D 2 2 X 抖 x xe Y y ye
ì d2X ï x 2 2 2 2 ï + {k0 e p [1- ( ) ] - b - D } X = 0 ï 2 ï dx xe ï í 2 ï d Y y 2 2 2 ï + [ D - k0 e p ( ) ]Y = 0 ï 2 ï dy ye ï ï î
3、解的情况
（1）介质板波导的求解过程可得到清晰的横模的概念， 但得不到相移系数的解析表达式。 （2）矩形介质波导的解都是混合模，其中厄密-高斯模 式可以通过中间过程求出相移系数，从而得到清晰的纵 模概念。
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二、波动方程和波导方程式
1. 各向同性、无源媒质中的波动方程
¶B 汛 E= ¶t ¶ 汛 汛 E= (汛 B ) ¶t 抖 D 2 蜒 ?E ) ? E ( (m ) 抖 t t 炎 D = 炎 (e E ) = 炎 E + e 炎 E = 0 e Ñe 炎 E= E e
分量的分布,一种以Ey和Hx为主,类似于TE模;
另一种以Ex和Hy为主,类似于TM模.
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先考虑主要场分量Ey Hx，设光场以exp(iwt - ib z )
形式振荡，先求Ey，后求
骣2 ¶ Ey 1 1 ç¶ 2÷ Ez = ，H x = ç 2 + b ÷E y ÷ ç y ÷ ib 抖 y wmb 桫 - 1 抖E y i Ey Hy = , Hz = wmb 抖 y x wm x
= - iwm(H x ax + H y ay + H z az )
¶ Ey ¶ Ez = - iwmH x 抖 y z ¶ Ex ¶ Ez = - iwmH y 抖 z x ¶ Ey ¶ Ex = - iwmH z 抖 x z
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¶D 汛 H = = iwe E ¶t -ib z iwt E = Re[ E0 ( x, y )e e ] ¶ ® iw ¶t ¶ ? ib ¶z
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令
x = (k0 2 e p / xe 2 )1/ 4 x h = (k0 2 e p / ye 2 )1/ 4 y r = xe (k0 e p - b - D ) / k0 e p c = ye D / k0 e p
2 2 2 2
得
ì ï ï ï ï ï í ï ï ï ï ï î
dm=1, ds=0,dq=0
(D l ) s
dm=0, ds=1,dq=0
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（4）纵模性质
发射波长随注入电流而变化
当激光器仅注入直流电流时，随注入电流的增加， 纵模数减少；
峰值波长随温度而变化 当结温升高时，半导体材料的禁带宽度变窄，而使 激光器发射光谱的峰值波长移向长波长；
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解为:
Eyms = Nms H m- 1 ( 2x / x) H s- 1 ( 2 y / y)exp[- ( x / x)2 - ( y / y)2 ]
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x = (l xe / p n p )1/ 2 y = (l ye / p n p ) np =
2) 求
1/ 2
光束宽度
K 2 = k 2 - b 2 = w 2 me - b 2
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三、厄密-高斯模式的解 1.概况
x 2 y 2 e ( x, y ) = e0 e p [1- ( ) - ( ) ] xe ye ? t 2j ?
2 t
[w 2 me ( x, y ) - b 2 ]j = 0 抖 + 2 抖 x
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? E
2
炎e E ?( ) e
2
me
E
¶ t2
矢量波动方程
对于均匀介质或
2 ? E
2 k E= 0
2
Ñe ® 0 的简谐场 e
k 2 = w2me
在直角坐标系中,任一场分量满足
? j
2
kj =0
2. 波导方程式
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ax a y az 汛 E= 抖 = - iwmH 抖 y z x Ex E y Ez
2
若主要场分量Ex Hy，先求Hy，后求其他。
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2、求解波动方程 1) 用分离变量法求以Ey、Hx为主的模式，令:
抖Ey
2
2
抖 x
2
+
x 2 y 2 + {k0 e p [1- ( ) - ( ) ] - b 2 ]}Ey = 0 2 y xe ye
2
Ey
E y ( x, y ) = X ( x)Y ( y )
ep
r = xe (k0 e p - b - D ) / k0 e p = 2m - 1 c = ye D / k0 e p = 2s - 1
消去D 2得到
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2
2
2
2
b ms
2m - 1 2s - 1 1/2 = k0 n p (1) k0 n p xe k0 n p ye
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3、激光器的纵模——发射光谱 1）由相位条件定发射光谱 b ms L = qp , q = 1, 2,3 纵模模数 w 2pn k0 = = c c c 2m - 1 2 s - 1 cq L 2m - 1 2s - 1 2 1/2 n msq = ( + )+ {1 + [ ( + )] } 4p n p xe ye 2 Ln p 2p q xe ye
希望激光器仅工作于基横模振荡情况
m = 1, s = 1, H 0 ( x) = 1 E y11 = N11 exp[- ( x / x) 2 - ( y / y ) 2 ]
高斯分布函数
m = 2, s = 1,
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E y 211 = N 21 (2 2 x / x) exp[- ( x / x) 2 - ( y / y) 2 ]
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ì X (x ) = H (x )e- x 2 /2 ï ï m- 1 í ï Y (h ) = H (h )e- h 2 /2 ï s- 1 ï î
Hm为厄密函数
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厄密函数
d m- 1 m- 1 2 2 H m- 1 (x ) = (- 1) exp(x ) m- 1 exp(- x ) dx H 0 (x ) = 1 H 1 ( x ) = 2x H 2 ( x ) = 4x - 2
动态谱线展宽
对激光器进行直接强度调制会使发射谱线增宽，振 荡模数增加，调制速率越高，调制电流越大，谱线 展宽也越多。 2013-6-13 23
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4、激光器的横模——光场的空间分布
横向场分布（垂直于谐振腔方向的光场分布）
垂直于PN结方向：垂直横模 平行于PN结方向：水平横模 模数m 模数s
np l msq 1 2m - 1 ? ( 4p xe 2 s - 1 2p q + ) ye L