高中数学竞赛训练题二
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)
加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值． 解：令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩ 则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩ 于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 123411*********10.y y y y =++++≤ 当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U = 2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 证明: 设a a ab b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即 b b b n ≤≤21,因为b i是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121又因为n 222111132>>>>所以由排序不等式得:n a a a n 22212+++ (乱序) n bb b n22212+++≥ (倒序) n 1211+++≥即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】 将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
高中数学竞赛模拟试题二
高中数学竞赛模拟试题二一、选择题：1.设a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，则下列四个结论中正确的是 （ D ） （A ）ac b ≤2（B ）ac b >2（C ）ac b >2且0>a （D ）ac b >2且0<a提示：若0=a ,则0≠b ,则02=>ac b .若0≠a ,则对于二次函数c bx ax x f +-=2)(,由0)1(,0)2(<->f f 可得结论.2.在△ABC 中，若a BC AB A ===∠,2,450，则2=a 是△ABC 只有一解的 （ A ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件3.已知向量)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x x x m ,定义函数x f ⋅=)(.若对任意的]2,0[π∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，则m 的取值范围是 （ A ） （A ）),81(+∞（B ）)81,0[（C ）)2,81(（D ）),2(+∞4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是 （ D ） （A ）36arcsin （B ）33arccos 2+π（C ）2arctan 2-π（D ）22cot arc -π5.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为 （ A ） （A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）18916.设n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2)1(1+=∑=n n x ni i ，!21n x x x n =⋅⋅⋅ ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是 （ C ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9二、填空题：7. 若实数x 、y 满足条件122=-y x ，则x yx 212+的取值范围是___________________. 【答案】)2,2(-.提示:令ααtan ,sec ==y x .8. 对于给定的正整数4≥n ，等式423n m C C =成立，则所有的m 一定形如_____________.（用n 的组合数表示）【答案】21-=n C m (4≥n ).提示:由423n m C C =得222)13()12(+-=-n n m ,从而21-=n C m (4≥n ).9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.【答案】3.0 提示: ξ取值为0,1,2,3，且有43)0(11219===C C P ξ，4492)1(2121913===C C C P ξ，22092)2(3121923===C C C P ξ，22012)3(4121933===C C C P ξ. 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . 10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。
高中数学竞赛模拟试卷二 试题
2021年HY 高级中学高中数学竞赛模拟试卷二一、制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日二、选择题：a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，那么以下四个结论中正确的选项是 〔 〕〔A 〕ac b ≤2〔B 〕ac b >2〔C 〕ac b >2且0>a 〔D 〕ac b >2且0<a △ABC 中，假设a BC AB A ===∠,2,450，那么2=a 是△ABC 只有一解的〔 〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分又不必要条件)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x b x x m a ,定义函数b a x f ⋅=)(.假设对任意的]2,0[π∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，那么m 的取值范围是 〔 〕〔A 〕),81(+∞〔B 〕)81,0[〔C 〕)2,81(〔D 〕),2(+∞4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，那么二面角C —FG —E的大小是〔 〕〔A 〕36arcsin〔B 〕33arccos 2+π〔C 〕2arctan 2-π〔D 〕22cot arc -π}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为〔3〕，〔5，7〕，〔9，11，13〕，〔15，17，19，21〕，〔23〕，〔25，27，〕，〔29，31，33〕，〔35，37，39，41〕，…，在第100个括号内各数之和为〔 〕〔A 〕1992 〔B 〕1990 〔C 〕1873 〔D 〕1891n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2)1(1+=∑=n n x ni i ，!21n x x x n =⋅⋅⋅ ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是 〔 〕〔A 〕4 〔B 〕6 〔C 〕8 〔D 〕9三、填空题：7. 假设实数x 、y 满足条件122=-y x ，那么x yx212+的取值范围是___________________.8. 对于给定的正整数4≥n ，等式423n m C C =成立，那么所有的m 一定形如_____________.〔用n 的组合数表示〕9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在获得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。
高中数学竞赛二试题
高中数学竞赛二试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是有理数？A. √2B. πC. -1/3D. 02. 如果一个函数f(x)在x=a处可导，那么下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=a处一定连续B. f(x)在x=a处不一定连续C. f(x)在x=a处一定不连续D. 以上都不对3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，那么该数列的第10项是：A. 17B. 19C. 21D. 234. 在一个平面直角坐标系中，点A(1,2)和点B(4,6)，直线AB的斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么这个直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知等差数列的首项为3，公差为2，该数列的第5项是________。
7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点是________。
8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其外接圆的半径是________。
9. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，求直线l与x轴的交点坐标________。
10. 将圆x^2 + y^2 = 25沿着x轴正方向平移3个单位后，新的圆的方程是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。
12. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
13. 已知椭圆的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0)，且椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于10。
求椭圆的方程。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：对于任意实数x和y，不等式(x + y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)总是成立。
15. 证明：如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
全国高中数学联赛选择填空训练题(2)
全国高中数学联赛选择填空训练题（2）一、选择题：（每小题6分，共36分）1.设集合A={a 1,a 2,a 3,a 4,a 5},B={a 12,a 22,a 32,a 42,a 52},a i (i=1,2,3,4,5)为正整数,且a 1<a 2<a 3<a 4<a 5,若A ∩B={a 1,a 4}, a 1+a 4=10,A ∪B 的元素之和为224,则a 5的值为( )A.8 B.9 C.10 D.112.一直线平分三角形的周长和面积,则该直线必通过三角形的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心3.设四面体三组对棱分别相等,下面命题中正确的是( )A.四个面都是钝角三角形B. 四个面都是锐角三角形C.三个面是钝角三角形,另一面是锐角三角形D. 三个面是锐角三角形,另一面是钝角三角形4.已知实数x,y 满足4x 2-5xy+4y 2=5,w=x 2+y 2,则1w max +1w min的值为( ) A.45 B.85 C.16039 D.不存在5.某民航站有1到6个入口处,每个入口处每次只能进一个人,一小组9个人进站的方案数共有( ) A.C 514A 66 B.A 514A 66 C.C 514A 99 D.C 614A 996.连接凸五边形的每两个顶点总共可得到十条线段(包括边在内),现将其中的几条线段着上着颜色,为了使得心该五边形中任意三个顶点所构成的三角形都至少有一条边是有颜色的则n 的最小值是( )A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题：（每小题9分，共54分）7.已知a<b<c<d<e 是连续的正整数,b+c+d 是完全平方数,a+b+c+d+e 是完全立方数,则c 的值是___________.8.已知x 0=2003,x n =x n-1+1x n-1(n>1,n ∈N),则x 2003的整数部分为___________ 9.已知x+2y+3z+4u+5v=30,则w=x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为___________10.在棱长为a 的正方体内容纳9个等球,八个角各放一个,则这些等球最大半径是_______ 11.已知a,b,c 都不为0,并且有⎩⎪⎨⎪⎧sinx=asin(y-z)siny=bsin(z-x)sinz=csin(x-y),则有ab+bc+ca=__________. 12.已知a k ≥0,k=1,2,…,2003,且a 1+a 2+…+a 2003=1,则S=max{a 1+a 2+a 3, a 2+a 3+a 4,…, a 2001+a 2002+a 2003}的最小值为_________.(9提示:用柯西不等式:(a 2+b 2+c 2+d 2+e 2) (f 2+g 2+h 2+i 2+j 2)≥(af+bg+ch+di+ej)2. 答案:1.C.2.B.3.B.4.B.5.C.6.B.7.675.8.2003.9.60.10.0.5(23-3)a.11.-1.12.3/2007.。
高中数学竞赛典型题目(二)
数学竞赛典型题目（二）1.（1994年伊朗数学奥林匹克） 设a、b、c、S分别为锐角三角形ABC的三边的边长及它的面积。
证明在三角形ABC内存在一点P，由P到顶点A、B、C的距离为x、y、z的充份和必要条件是存在三个三角形：第一个的边长分别是a、y、z及其面积为S1，第二个的边长分别是b、z、x及其面积为S2，第三个的边长分别是c、x、y及其面积为S3及S=S1+S2+S3。
2 .（1995年伊朗数学奥林匹克） 假设ABCD为一正方形及K、N分别在线段AB和AD的点使得AK x AN = 2 BK x DN.设L和M分别为对角线BD与CK及CN的交点。
证明K、L、M、N和A五点共圆。
（1995年伊朗数学奥林匹克）A,B,C三点在圆O上,线CO交AB于D且BO交AC 于E,如果角度都是,求.（1995年伊朗数学奥林匹克）内切圆和边AB,AC及BC交于M,N,P,证明:垂心, 外心和内心三点共线.3.（1996年伊朗数学奥林匹克）中，，O、H、I、分别为外心、垂心、内心和关于A的旁心. 和分别在AC和AB上，且证明：（1）八点B、C、H、O、I、、、共圆；（2）若OH交AB、AC分别于E、F，则周长等于（3）4.（1996年伊朗数学奥林匹克）为不等边三角形，从A、B、C出发的中线交外接圆于另一点L、M、N.若证明：5.（1996年伊朗数学奥林匹克）中，D在AB上，E在AC上，且DE//BC.P为内任一点，PB和PC交DE分别于F、G.若为外心，为外心，证明：6.(1997年伊朗数学奥林匹克)边BC的中点是N,以AB和AC为直角边向外构造等腰直角,证明:也是等腰直角三角形.7.(1997年伊朗数学奥林匹克)圆心为O,直径为AB的圆上有两点C,D,直线CD交AB于M,且MB<MA,MD<MC,K是和外接圆的交点(不是O),证明:即有向角8.(1997年伊朗数学奥林匹克)锐角外心为O,垂心为H,且BC>CA,F为高CH的垂足,过F作OF的垂线交AC于P,证明:有向角9.(1997年伊朗数学奥林匹克) 外接圆弧AB上有一个动点(不包含A),分别为的内心,证明:(1)的外接圆是否过定点?(2)以为直径的圆过定点.(3) 中点在定圆上.10. (1998年伊朗数学奥林匹克)KL和KN是圆C的切线，切点是L，N，M为KN延长线上一点，的外接圆交圆C的另一交点为P，点Q是N向ML所引垂线的垂足，证明：11. (1998年伊朗数学奥林匹克)锐角的高是AD，角B和C的内角平分线交AD于点E，F；若BE=CF，证明：是等腰三角形。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。
4.5_高中数学竞赛训练题
高中数学竞赛训练题深圳中学 余祖良第一试一、选择题1、方程cos x = x + sin x 的实根个数为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、设函数f （x ）=（βαsin cos ）x +（αβsin cos ）x ，α，β为锐角；如果对任何x ＞ 0 ，都有f （x ）＜2，则 （ ） A 、0＜α+β＜4π B 、0＜α+β＜2πC 、4π＜α+β＜2πD 、α+β＞2π3、复数z 满足条件 | z | =1，则 | z 2 + i z 2 +1 | 的范围是 （ ） A 、[1—22，1+22] B 、[2—1，2+1]C 、[22—1，22+1]D 、[2—2，2+1]4、过球的中心的10个平面，其中任何三个平面都不交于同一直线，它们将球面分成m 个部分，则m 的值为 （ ） A 、92 B 、1024 C 、516 D 、1005、一直角三角形的两直角边与坐标轴平行，两直角边上的中线为y = 3 x + 1和y = m x + 2，则满足条件的m 的个数为 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、若a n =[（2173+）n ]，n = 1，2，…；则数列｛a n ｝ （ ）A 、各项均为奇数B 、奇数项为奇数，偶数项为偶数C 、各项均为偶数D 、奇数项为偶数，偶数项为奇数 二、填空题7、三棱台ABC—A 1B 1C 1的任意两个侧面所成的二面角都是直二面角，高为17344 ，且底面ABC 中，AB=AC=5，BC=42，则此棱台的体积为 ； 8、双曲线 xy = 1的内接三角形的垂心的轨迹方程是 ； 9、若0＜a ＜3sin θ ，θ∈[4π，65π]；则f （a ， θ）= sin 3θ +32sin 34a a -θ 的最小值是 ；10、设实数x ，y 满足x 3—3x 2 + 5x = 1 ， y 3—3y 2 + 5y = 5 ，则x + y= ；11、用红、黄、蓝三种颜色的纸各做一套卡片，每套中有A 、B 、C 、D 、E 字母卡片各一张；若从这15张卡片中每次取出5张，要求字母各不相同且三色齐全，则不同的取法共有 种；12、正整数m 和n 互质，2000n+m 与2000m+n 的最大公约数为d ，则d 的最大值是 ； 三、解答题 13、关于 x 的函数12222)(+-+⋅=x x a a x f （a 为常数）；∈ 若f ( x ) 没有反函数，求出a 的值；∈ 若f ( x ) 存在反函数 ()x f 1-，a ＜0，且对任意 x∈R ，都有f (－ x ) =－f ( x ) 成立 . 解不等式()()0,log 221≠∈>--k R k x fkx且 . 14、抛物线 y 2= 5p ( x + 5 ) ( p ＞0 ) 与椭圆1801622=+y x 在x 轴上方交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆恰好过椭圆的中心O ，椭圆左顶点为F ； 求 ∈ 实数 p 的值； ∈ | AF | + | BF | 的值 ； 15、设a 是实数且方程x 4+3ax 3+a （1－5a 2）x －3a 4+a 2+1=0 有实根且不同的实根至多有两个，求a ；第二试一、⊙O 为△ABC 的外接圆，⊙O 1在△ABC 的外面，在⊙O 的里面且与⊙O 相切，切点为D ，且D 在»BC 上；过A 、B 、C 分别作⊙O 1的切线，切线长分别为p , q , r ；设三边长分别为a , b , c ，求证：a p = b q + c r ；二、一个正整数为项的等差数列中，如果有一项是完全平方数，又有一项是完全立方数；证明：这数列中必有项是正整数的六次方．三、n 个队进行足球单循环赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分；已知有一队得分最多，比其余任一队都多；但它胜的场次最少，比任何一队都少；试求n 的最小值；答案：第一试一、A D B A C B二、7、20827 8、x y = 1 9、3 10、2 11、150 12、3999999三、13、解：12222)(+-+⋅=x x a a x f()()0,log 221≠∈>--k R k x fkx且 ①,当 a 2－a －2 ≠ 0 时，f ( x ) 单调必有反函数，故 a 2－a －2 = 0 ，a = 2 或 a =－1 . ② 由f (－ x ) =－f ( x ) ，a ＜0，则a =－2 .())22(,log 2221<<-=+--x x fx x22,0222<<->>-+-x kx xx故不等式的解集为： ⑴ k ＜0 , 空集 ⑵ 0＜k ＜4 , (－2 , k －2 ) ⑶ k≥4 , (－2 , 2 )14、解：⑴ 5 x 2 + y 2 = 8 0 , y 2 = 5 p ( x + 5 ) ; x 2 + p x + 5 p －16 = 0 , x 1 + x 2 =－p , x 1 x 2 = 5 p －16 ,ax f x a a +=+--1222)(22122221259)5)(5(25p x x p y y ⨯=++= ,y 1 y 2 = 1 5 p ,12121-=x x y y ,54=p ;⑵ 抛物线y 2 = 4 ( x + 5 ) 的焦点 (－4 , 0 ) 为椭圆左顶点F ， 准线为 x =－6 ;由抛物线的定义，| AF | + | BF | = ( x 1 + 6 ) + ( x 2 + 6 ) = 556 ;15、解：令x = y －a ，代入原方程，有： y 4－ay 3－3a 2y 2＋ay ＋1=0，又y≠0，故 y 2＋21y －a （y －y 1）－3a 2=0，（y －y1）2－a （y －y1）－3a 2＋2=0，对任t ∈R ，y －y1= t ，y 2－ty －1=0，△＞0，如果方程t 2－at －3a 2＋2=0无实根，则原方程无实根，而这方程一实根对应原方程两不同实根，故有： a 2－4（－3a 2＋2）=0，即a = ±13262；第二试一、证：分别连AD 、BD 、CD 与⊙O 1分别交于点A 1、B 1、C 1，过D 作两圆的公切线DE ，则∠EDC=∠D A 1C 1=∠DAC ，A 1C 1∥AC ，同理：B 1C 1∥BC ，A 1B 1∥AB ，则1112AA BB CC ADBDCDk===,p 2 =AA 1·AD = k 2·AD 2 , p = k AD, 同理：q = k AD , r = k CD ;由托勒密定理：a AD = b BD + c CD , 两边除以k, 则a p = b q + c r ； 二、证明：设等差数列首项为a ，公差为d ，且 ( a , d ) = b ． 先证明引理：必存在正整数p ＞1，使a p ≡ a ( mod d ) ． 设d = k b , 则 ( a , k ) = 1 ；在数列 a , a 2 , … , a k ，a k + 1中，必有两项关于k 同余，设a i ≡a j ( mod k ) ( i ＞j ) , 则a j ( a i － j －1) ≡ 0 ( mod k )由于( a , k ) = 1 ，所以a i－j ≡ 1( mod k )∴a i－j + 1≡ a ( mod d ) ．即引理成立．故存在非负整数s , t ，使 3 s + 2 t = p ．又依题意，存在正整数m , n ，使m 2 ≡ a ( mod d ) ，n 3 ≡ a ( mod d ) ．所以( m 2 ) 3 s · ( n 3 ) 2 t ≡ a 3 s + 2 t ≡ a p ≡ a ( mod d ) ．即( m s · n t ) 6 ≡ a ( mod d ) ．故此数列中存在一项为正整数的六次方．三、解：设得分最多的是A队；（1）A队比其它队至少多得1分，至少少胜一场，故A队比其它队至少多平4场；而其它队至少平一场，A队至少平5场，即至少有6队；（2）若只有6队，则6队至少得2C26=30分，但A恰好平5场得5分，不可能比其它队都多，即n＞6；（3）若n=7，A最多得8分，这7队最多得8+7×6=50分，故至少有3×C27—50=13场比赛打平；A至多平6场，其余各队至少有一队平了[]66213-⨯+1= 4场；则A至少平8场，矛盾；（4）可举例说明，n=8成立；。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题一．选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．若椭圆的离心率215-=e ，则我们称这种椭圆为“黄金椭圆”，对于椭圆:E )0(12222>>=+b a by a x ，如果c b a ,,不是等比数列，那么椭圆E （ ）A ．一定是“黄金椭圆”B ．一定不是“黄金椭圆”C ．可能是“黄金椭圆”D ．可能不是“黄金椭圆”2．如果θθθθcos )cos 1(sin )sin 1(22+>+，且)2,0(πθ∈，那么角θ的取值范围是（ ） A .)4,0(πB .)43,2(ππC .)45,4(ππD .)2,45(ππ3. 若点(),a b 是圆()2211x y ++=内的动点,且函数()2f x x ax b =++的一个零点在()1,0-内, 则该函数的另一个零点在()0,1内的概率为（ ） A .14 B .1π C .12 D .2π4．对于给定的一个Z n ∈，方程n z y x =-+222的正整数解的组数为（ ） A ．1 B ．3 C ．8 D ．无穷多组5．数列{}n a 中，相邻两项1,+n n a a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b 的值为（ ）A ．5800B ．5840C ．5860D ．60006．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面11D A B C 均成030角，则这样的直线l 的条数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 二．填空题（本题满分42分，每小题7分） 7．设M 是函数xx x f 1)(+=图象上的任意一点，过点M 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，则=⋅||||MB MA 8. 函数 ∈+=x x x y |)(2cos ||cos (|2R ) 的最小值是 .9．设函数)(x f )0,(≠∈x R x 对任意的非零实数21,x x ，有)()()(2121x f x f x x f +=，且)(x f 在),0(+∞上为增函数，则不等式0)21()(≤-+x f x f 的解为 10．定义运算：ba b a 1+=⊗，设z y x ,,为互不相等的三个实数，且x z z y y x ⊗=⊗=⊗，则=xyz11．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]11.31,234⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦等等）则334032004⎤⎤⎤++++⎢⎣＝________________．12．给定正整数n （3≥n ），设正数n λλλλ,,,,321⋅⋅⋅满足n n =+⋅⋅⋅+++λλλλ321，n P P P P ,,,,321⋅⋅⋅ 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的n 个点，且332211=+⋅⋅⋅+++n n OP OP OP λλλλ.若M 是圆O 所在平面上的任意一点，则||||||||332211n n MP MP MP MP λλλλ+⋅⋅⋅+++的最小值是三．解答题（要求必须写出必要的演算或证明的过程）13．（本题满分16分）一个人随机地将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做这个小球放对了，否则叫做放错了．求：四个小球都放错了的概率．14．（本题满分16分）已知ββαsin 3)2sin(=+，设x =αt a n ，y =βtan ，记)(x f y =（1）求)(x f 的表达式； （2）定义正数数列{}n a ：211=a ，)(221n n n a f a a ⋅=+（*N n ∈）．试求数列{}n a 的通项公式。
高中数学竞赛试题及解答
高中数学竞赛试题及解答试题（一）一、 过圆的直径AB 上一定点C 作任意弦DE ，过B 作圆的切线L ，并设直线AD 与直线AE 分别与L 交于F 、G 。
若4,AB = 3,AC =求BF BG ⋅。
(12分)二、 证明x 的三次方程式3210x x π--=只有一个正实根。
(12分)三、 试证明2009不能表示成三个正整数的立方和。
(12分)四、有各张分别标有1, 2,, n 的一叠n 张卡片。
洗过卡片后，重复进行以下操作：若最上面一张卡片的标号是k ，则将前k 张卡片的顺序颠倒；例如，若4n =且卡片排列成3124，则操作一次后的卡片将排列成2134。
证明：经过有限次操作后，标号为1的卡片会在最上面。
(13分)试题（二）一、求2222(1.1)(1.2)(1.3)(3.1)++++。
(3分)二、设, , x y z 为实数且满足222 1x y z ++=，求xy yz zx ++的最小值。
(3分)三、空间中一四面体的四个顶点分别为(0, 0, 1), (2, 4, 0), (0, 0, 0),A B C (4, 2, 0)D ，平面E 通过A 点与BD 中点且与BC 有交点。
若平面E 将此四面体分成两块，其中一块的体积为原四面体的13，求E 的方程式。
(3分)四、求n ∞=，其中[]x 表示小于或等于x 的最大整数，例如[1.2]1=。
(4分)五、假设有5根电线杆，其中有2根会漏电，以致于停在它们上面的小鸟会立刻被电昏而摔落地面。
今有5只小鸟各自独立的随机选择其中一根电线杆逗留休息，试计算只有2根电线杆上有小鸟的机率。
(4分)试题（一）解答一、 【解】过C 作HI //FG ，与AF , AG 分别交I 和H ，连结BE , BH 。
因90BEH ∠=, 90BCH ∠=，所以四边形CBEH 是圆内接四边形BEC BHC ∠=∠而BED BAD ∠=∠BHI BAD ∴∠=∠由此可知，B , H , A , I 共圆 CI CH AC CB ∴⋅=⋅ (1)ACI ABF ∆∝∆ ::AC AB CI BF =又 ACH ABG ∆∝∆::AC AB CH BG ∴=22::AC AB CI CH BF BG ∴=⋅⋅ (2)由(1), (2), 22::AC AB AC CB BF BG =⋅⋅22AC CB AC BF BG AB ⋅=⋅, 2222()()4311633AB AC CB BF BG AC ⋅⋅⋅⋅===.二、 【证】令 32()1f x x x π=--则 (0)1f =-, (100)0f >由堪根定理，0与100之间有一个根r令 2()()()f x x r x ax b =-++32()()x a r x b ra x rb =+-+--得 a r π-=-b ra -= 1rb = (2)由(2) 0b >由(1) 0a => ,a b ∴皆为正数 20x ax b ∴++> for 0x ≥()f x ∴没有第二个正根。
湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题
湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）姓名： 班级 ： 分数 ：一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程9135x x +-=的实数解为 ．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅= ，12AB BC ⋅=- ，则A B＝ .4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ． 5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 ． 8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．9．在三棱锥A B C D -中，已知A C B C B D ∠=∠，A C D A D C B C D B D C ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=．已知棱A B的长为，则此棱锥的体积为 ．10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ． 二、解答题（本题满分80分，每小题20分） 11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14xC y +=上的三点．若（第7题）3455O M O A O B =+ ，证明：线段A B 的中点在椭圆22212x y +=上．12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．13．如图，圆内接五边形A B C D E 中，A D 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于C E 的直线，与直线A C 、D C 分别交于点F 、G ． 证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形B F C G 是矩形．14．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）详细解答一、填空题（本题满分70分，每小题7分） 1．方程9135x x +-=的实数解为 ．提示与答案：x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x=2，x =log 32．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .提示与答案：与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z ．3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅= ，12AB BC ⋅=- ，则A B＝ .提示与答案：216AB AC AB BC AB⋅-⋅==，得4AB =．4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ．提示与答案：极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0． 5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ． 提示与答案：画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.提示与答案：f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的 一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点. 7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 ． 提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中 镀2金2银的概率是 ．提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13．（第7题）9．在三棱锥A B C D -中，已知A C B C B D ∠=∠，A C D A D C B C D B D C ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=．已知棱A B的长为，则此棱锥的体积为 ．提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ． 10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ． 提示与答案：由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n ax a x ++=++()3211nn n a x x aa x =+++恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以122a i =-±．二、解答题（本题满分80分，每小题20分） 11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14xC y +=上的三点．若3455O M O A O B =+ ，证明：线段A B 的中点在椭圆22212x y +=上．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1．由3455O M O A O B =+ ，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2)．因为M 是椭圆C 上一点，所以(35x 1＋45x 2)24＋(351＋45y 2)2＝1， …………………6分即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)=1，得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)＝1，故x 1x 24＋y 1y 2＝0． …………………14分 又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22y 1＋y 22)，所以 (x 1＋x 22)22＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12)+12(x 224＋y 22)+x 1x 24＋y 1y 2＝1，从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 22＋2y 2＝1上． ………………20分12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数. 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5．…………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分 当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 . 故所求 m = 1，或m =3． …………………20分 13．如图，圆内接五边形A B C D E 中，A D 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于C E 的直线，与直线A C 、D C 分别交于点F 、G ．证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形B F C G 是矩形．ABC DEFH证明：(1) 由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，又同弧的圆周角∠BAF=∠BEC，∴∠BAF=∠BHF，∴点A、B、F、H共圆；…………………8分(2) 由(1)的结论，得∠BHA=∠BFA，∵BE⊥AD，∴BF⊥AC，又AD是圆的直径，∴CG⊥AC，…………………14分由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG，∴B、G、C、F共圆.∴∠BGC=∠AFB=900, ∴BG⊥GC，∴所以四边形BFCG是矩形．…………………20分14．求所有正整数x，y，使得23y x+都是完全平方数．+与23x y解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，∴x2+3x= (x+1)2，∴x=y =1. ………………5分若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.∵x2+3y是完全平方数，∴x2+3y= (x+1)2，得3y =2x+1，由此可知y是奇数，设y =2k+1，则x=3k+1，k是正整数.又y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，得k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)．…………………20分。
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 F.G.online 整理 默认采用非官方解法2007联赛二试 类似九点圆如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。
求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。
（官方解答）证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。
同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。
于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。
因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
充分性：设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O =∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆 必要性：设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = πABDCEFP1O2O注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。
因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2π- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得： （∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π ， 即∠ABP =∠ACP 。
数学竞赛高中试题及答案
数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。
A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。
答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。
答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。
答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。
答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。
答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。
10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。
答案：证明略。
11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。
答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。
答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。
答案：函数的最小值为0。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案试题（一）一、 ABC ∆为等边三角形，P 为其内一动点，且120APC ∠=。
AP 交BC 于N 、CP交AB 于M 。
求BMN ∆外心O 的轨迹。
(12分)二、 任意选24个相异且小于88的正奇数，试证：其中必有两个数它们的和是90。
(12分)三、 试证：对实数,,,0a b c d ≥，()()()()()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。
(12分) 四、定义：设A 是二阶整系数方阵，若存在二阶整系数方阵B ，使得1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦，则称A 可逆。
(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。
试证：A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。
(2) 设A , B 均为二阶整系数方阵，且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可逆，试证：5A B +亦可逆。
试题（二） 一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭，试求A 。
(5分)二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。
求方程 22[2]2[][]x x x x -+=在03x ≤<内所有实数解。
(5分)三、设a 和b 为实数，且使方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根，对所有这种数对(,)a b ，求出22a b +的最小可能值。
(6分)四、令N 为自然数集，若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =，求(54)f 。
(5分)试题（一）解答一、 【解】令G 为ABC ∆的外心。
因120MPN APC ∠=∠=与B ∠互补，P 在BMN ∆的外接圆上。
因120APC AGC ∠=∠=，A 、P 、G 、C 共圆，且30CPG CAG ∠=∠=。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。
2020年全国高中数学联合竞赛二试试题卷(高联二试含答案及评分标准)
2020全国高中数学联赛二试一、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=BC ，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上的一点，满足AP=3PC ，PI 延长线上一点H 满足MH ⊥PH ，Q 为△ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点，证明：BH ⊥QH二、给定整数n ≥3，设1232122,,...,,,,...,n n a a a a b b b 是4n 个非负实数，满足122122......0n n a a a b b b ++=+++>，且对任意1,2,...,2i n =，有21i i i i a a b b ++≥+，（这里211222211,,n n n a a a a b b +++===）， 求122...n a a a +++的最小值。
三、设12121,2,2,3,4,...n n n a a a a a n −−===+=证明：对整数5,n n a ≥必有一个模4余1的素因子 四、给定凸20边形P ，用P 的17条在内部不相交的对角线将P 分割成18个三角形，所得图形成为P 的一个三角形剖分图。
对P 的任意一个三角剖分图T ，P 的20条边以及添加的17条对角线均称为T 的边，T 的任意10条两两无公共端点的边的集合称为T 的一个完美匹配。
当T 取遍P 的所有三角剖分图时，求T 的完美匹配个数的最大值。
B2020年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图，在等腰ABC 中，AB BC ，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上一点，满足3AP PC ，PI 延长线上一点H 满足MHPH ，Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点．证明：BHQH ．证明：取AC 的中点N ．由3AP PC ，可知P 为NC 的中点．易知,,B I N 共线，90INC ．由I 为ABC 的内心，可知CI 经过点Q ，且QIB IBC ICB ABI ACQ ABI ABQ QBI ，又M 为BI 的中点，所以QM BI ．进而||QM CN ． ……………10分考虑HMQ 与HIB ．由于MH PH ，故90HMQ HMI HIB ．又90IHM INP ，故HM NPHI NI，于是 1122HM NP NC MQ MQHI NI NI MI IB．所以HMQ ∽HIB ，得HQMHBI ． ……………30分 从而,,,H M B Q 四点共圆．于是有90BHQBMQ ，即BH QH ． ……………40分二．（本题满分40分）给定整数3n ．设122122,,,,,,,n n a a a b b b 是4n 个非负实数，满足1221220n n a a a b b b ， 且对任意1,2,,2i n ，有21i i i i a a b b （这里211222211,,n nna a a ab b ）．求122n a a a 的最小值．解：记122122n n Sa a ab b b ． 不失一般性，设13212nS T a a a ． 当3n时，因为32212113k kk Ta a 2221335511()()()02a a a a a a ，故结合条件可知233221212121133()34k k k k k k S T a a b b S ． 又0S ，所以12S ．当2(16)i i a b i 时，S 取到最小值12． ……………10分当4n时，一方面有212121211()nnk kkk k k a a b b S ．另一方面，若n 为偶数，则22121152337211()()4nk kn n k T a a a a a a a a ， 其中第一个不等式是因为15233721()()n n a a a a a a 展开后每一项均非负，且包含2121(1)k k a a k n 这些项，第二个不等式利用了基本不等式．……………20分若n 为奇数，不妨设13a a ，则12121212121311n n k k k kn k k a a a a a a215213723()()4n n T a a a a a a ． 从而总有2221211416nk k k T S S a a ．又0S ，所以16S ． ……………30分 当1234124,0(52),0,16,0(32)i i a a a a a i n b b b i n 时，S 取到最小值16．综上，当3n 时，S 的最小值为12；当4n 时，S 的最小值为16．……………40分。
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数学训练题（二）一、选择题 2、满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）（ ） （A ）只有一对 （B ）恰有有两对 （C ）至少有三对 （D ）不存在3、设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有3是奇数，则这样的映射f 的个数是（ ）（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11 4、设方程1)19cos()19sin(2007220072=+y x 所表示的曲线是（ ） （A ）双曲线 （B ）焦点在x 轴上的椭圆（C ）焦点在y 轴上的椭圆 （D ）以上答案都不正确5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个。
（A ）100 （B ）120 （C ）160 （D ）2006、函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域，且对定义域中的任何x ，有。
若1)(=x g 的解集是}0|{=x x ，则函数)(1)()(2)(x f x g x f x F +-=是（ ）A 、奇函数B 、及函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数又不是偶函数二、填空题7、边长均为整数且成等差数列，周长为60的钝角有 个。
已知关于x 的实系数方程0222=+-x x 和0122=++mx x 的四个不同的根在复平面上对应的点，则m 的取值范围是 。
10、设平面上的向量→→→→y x b a ,,,满足关系→→→→→→+=-=y x b y x a 2,，又设→a 与→b 的模为1，且互相垂直，则→x 与→y 的夹角为 。
11、设函数|2)(|)(|,1)(|)(|,|)(12010-=-==x f x f x f x f x x f ，则函数)(2x f 的图象与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 。
12、若正整数n 恰有4个正约数，则称n 为奇异数，例如6，8，10都是奇异数，那么在27，42，69，111，125，137，343，899，3599，7999这10个正整数中奇异数有 个。
三、的答题13、已知△ABC 的三边长分别为b 、c ，且满足abc=).1)(1)(1(2---c b a（1）是否存在边长均为整数的△ABC ？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。
（2）若a ＞1，平＞1，c ＞1，求出△ABC 周长的最小值。
14、已知椭圆12222=+by a x 过达到A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y|=x 的交点为B 、C 。
现有以A 为焦点，过点B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为M （m ，0）。
当椭圆的离心率e 满足1322<<e 时，求实数m 的取值范围。
答案：1．（A ） 解：=5153)427(53415⋅=⋅⋅，等号当且仅当x x3213321-=⋅，即)2l o g 1(533+=x 时成立，故f （x ，y ）的最小值是51)427(5⋅2、（B ）解：设2007,322+=+=x b x a ，其中a ，b 均为自然数，则y=a+b ，167322004))((222⨯⨯==+-=-a b a b a b 。
因为b+a 与b-a 有相同的奇偶性，且b+a>b-a,所以⎩⎨⎧=-=+21002a b a b 或⎩⎨⎧=-=+6334a b a b 解得⎩⎨⎧==502500b a 或⎩⎨⎧==170164b a3、（A ） 解：当x=-2时，x+f （x ）+xf （x ）=-2-f （-2）为奇数，则f （-2）可取1，3，5，有三种取法；当x=0时，x+f （x ）+xf （x ）=f （0）为奇数，则f （0）可取1，3，5，有3种取法；当x=1时，x+f （x ）+xf （x ）=1+2f （1）为奇数，则f （1）可取1，2，3，4，5，有5种取法。
由乘法原理知，共有3×3×5=45个映射。
4、（C ） 解：))(1360(19)1360(19)19(19191003100322007+∈+=+⨯=⨯=N n n 于是， 19sin )1919360sin()19sin(2007=+⨯=n ，同理 19cos )19cos(2007=。
因为019sin 19cos >>，故应选（C ）5、（A ）解：设三位数是321a a a ，则321a a a +)()(10)(100312231123a a a a a a a a a +++++=。
若31a a +不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，所以31a a +=11，13，15，17。
因11=9+2=8+3=7+4=6+5，所以3,1a a 取值有224A 种可能； 因13=9+4=8+5=7+6，所以3,1a a 取值有223A 种可能； 因15=9+6=8+7，所以3,1a a 取值有222A 种可能； 因17=9+8，所以3,1a a 取值有22A 种可能；由于22a a +不能进位，所以2a 只能取0，1，2，3，4。
因此，满足条件的数共有：5（224A +223A +222A +22A ）=100（个） 6、（B ） 解：由,,12511,1256122111⋅⋅⋅+⨯==+⨯==--a a 猜想：1251+⨯=-n n a 。
由已知递推关系式，易用数学归纳法给予证明（略）于是，当n>1时,).10(mod 1≡n a故)10(mod 220066200721≡+=+⋅⋅⋅++a a a 因此,应选(B) 7．（20，60，100）解：记方程组中的两个方程为（1），（2），消去x 得038522=+-z yz y ，即0))(35(=--z y z y 所以035=-z y ， （3） 或 0=-z y ， （4）由（1）、（3）得x z x y 5,3==，即x ：y ：z=1：3：5，于是，由已知条件，必有x=20，y=60，z=100； 由（1）（4），得x=-y=-z ，与已知条件矛盾。
8．{m|-1<m<1或m=-3/2}解：易知方程0222=+-x x 的两根为.1,121i x i x -=+=当0442<-=∆m ，即11<<-m 时，方程0122=++mx x 有两个共轭的虚根4,3x x ，且4,3x x 的实部为1≠-m ，这时4321,,,x x x x 在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆。
当0442>-=∆m ，即1-<m 或0>m 时，方程0122=++mx x 有两个不等的实根4,3x x ，则21,x x 对应的点在以4,3x x 对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为0))((243=+--y x x x x ，即0)(434322=++-+x x x x x y x ，将1,24343=-=+x x m x x 及21,x x 对应点的坐标（1，±1）代入方程，即得23-=m 。
故m 的取值范围是{m|-1<m<1或m=-3/2} 9、)1010arccos(-π 解：由已知，得32,3ab b a -=+=，设→x 与→y 的夹角为θ，则1010||||cos -=⋅⋅=→→→→y x yx θ，所以θ=)1010arccos(-π10、 7解：函数)(2x f y =的图象如图的实线部分所示。
所求的封闭部分的面积为712212)62(21=⨯⨯-⨯+=-∆CDE ABCD S S 梯形 11、xy --=3626解：当AQ=x 时，设GQ 与面BDE 交于 点N ，作NM ⊥BD 于点M ，联结QM 交直 线BC 于点'P ，取点'P 为点P ，知此时y=|MN|最小。
建立如图1的空间直角坐标系，则Q （0，x ，1）且△BDE 所在平面上的点（x ，y ，z ）满足x+y=z ，故可令),,(0000y x y x N +。
由点N 在QG 上，知在（0，1）内存在λ使QN=λQG 。
代入消去λ得.)1(,120000x y x x y x =-=+从而，x xy x x x -+=--=31,3100 于是，).32,31,31(xx x x x N --+--= 而点M 在BD 上，故可令).1,1,(11x x M - 由0=⋅BD MN ，知).31(231xxx --= 于是，.3626)31(26||xx x MN y --=--== 12、20074012解：设i i a x +=22，则i i i x x a -⋅=12，且120071=∑=i i x ，所以)()()(122006212007312007322007212007200721x x x x x x x x x x x x a a a +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅200620062120062007312006200732200721200720062006200612x x x x x x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥=200720072007401220062=⋅13解：（1）不妨设整数a ≥b ≥c ，显然c ≥2。
若c ≥5，这时.51111≤≤≤c b a 由)1)(1)(1(2---=c b a abc ，可得3)54()11)(11)(11(21≥---=c b a 。
矛盾，故c 只可能取2，3，4。
当c=2时，)1)(1(--=b a ab ，有.1=+b a又a ≥b ≥2，故无解。
当c=3时，）1-)(1(43b a ab -=，即12)4)(4(=--b a又a ≥b ≥3，故⎩⎨⎧=-=-14124b a 或⎩⎨⎧=-=-2464b a 或⎩⎨⎧=-=-3444b a 解得⎩⎨⎧==516b a 或⎩⎨⎧==610b a 或⎩⎨⎧==78b a能构成三角形的只有a=8，b=7，c=3。
当c=4时，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5。
能构成三角形的只有a=6，b=5，c=4。
故存在三边长均为整数的△ABC ，其三边长分别为4，5，6或3，7，8 （2）由)1)(1)(1(2---=c b a abc ，可得3]3)11()11()11([)11)(11)(11(21c b a c b a -+-+-≤---= 所以，3223111-≤++c b a 又9)111)(≥++++c b a c b a （，则有122322391119333-=-≥++≥++c b a c b a 故△ABC 的周长最小值为122333-，当且仅当12233-===c b a 时，取得此最小值。