概率论精彩试题和问题详解

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概率论与数理统计试题及答案

概率论与数理统计是数学领域中的一个重要分支，它在科学研究、工程技术、经济管理等多个领域都有着广泛的应用。以下是一套概率论与数理统计的试题及答案，供学习者参考。

一、选择题

1. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，下列哪个选项是正确的？

A. X的均值是σ

B. X的中位数是μ

C. X的众数是σ

D. X的方差是μ

答案：B

2. 某事件的概率P(A)为0.3，其补事件的概率P(A')是多少？

A. 0.7

B. 1.0

C. 0.3

D. 不能确定

答案：A

二、填空题

1. 假设随机变量X和Y的协方差是-2，X的方差是4，Y的方差是9，那么X和Y的相关系数ρ(X,Y)等于______。

答案：-1/3

2. 某随机试验中，事件A和事件B是互斥的，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，那么P(A∪B)等于______。

答案：0.7

三、简答题

1. 什么是大数定律？请简述其主要内容。

答案：大数定律是概率论中的一个重要概念，它描述了随着试验次

数的增加，随机变量的样本均值会越来越接近其期望值。具体来说，

如果随机变量X1, X2, ..., Xn是独立同分布的，那么随着n的增大，样本均值(ΣXi/n)趋于X的期望值E(X)。

2. 什么是中心极限定理？它在实际应用中有何意义？

答案：中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它指出在一定

条件下，大量相互独立的随机变量之和经过标准化后趋近于正态分布，无论这些随机变量本身是否服从正态分布。这一定理在统计推断、质

量控制、风险管理等领域有着重要的应用价值。

概率论与数理统计试卷及问题详解

模拟试题一

一、填空题（每空3分，共45分）

1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =

2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为

，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：；

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率；

4、已知随机变量X 的密度函数为：,0

()1/4,

020,2

x Ae x x x x ϕ⎧<⎪

=≤<⎨⎪≥⎩

, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；

5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律：；

6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；

7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，

~(3)Y t =

；

8、设总体~(0,)

0X U θθ>为未知参数，12,,

,n X X X 为其样本，1

i i X X n ==∑为样本均值，则θ的

矩估计量为：。 9、设样本129,,

,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%

概率论解题示例详解

概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是不确定事件的规律性。通过概率的计算和推理，我们可以预测和评估各种事件发生的可能性。概率论在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融、统计、工程等领

域中都能看到它的身影。本文将通过详解一些概率论解题示例，来帮

助读者更好地理解和掌握概率论的基本概念和解题方法。

示例一：抛硬币问题

抛硬币是常见的概率论例题。假设有一枚公平的硬币，正反两面出

现的机会均等。现在我们抛掷这枚硬币三次，问以下几种情况的概率

是多少：

1. 出现三次正面的概率

2. 出现两次反面的概率

3. 至少出现一次正面的概率

解答：

1. 出现三次正面的概率：假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛

掷都有两种可能的结果，即正面和反面。因此，出现三次正面的概率

可以表示为：1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8。

2. 出现两次反面的概率：同样地，假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛掷都有两种可能的结果。根据排列组合的原理，两次反面和一

次正面可以有三种不同的组合，即反反正、反正反、正反反。因此，

出现两次反面的概率可以表示为：3 * (1/2 * 1/2 * 1/2) = 3/8。

3. 至少出现一次正面的概率：可以通过计算出至少出现一次反面的

概率，然后用1减去该概率即可。出现一次反面的概率可以表示为：

(1/2 * 1/2 * 1/2) = 1/8。因此，至少出现一次正面的概率为1 - 1/8 = 7/8。

示例二：生日悖论

生日悖论是概率论中一个有趣且常见的问题。假设有一个房间里有

n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？

概率论试题(附含答案)详细

事件表达式A B 的意思是事件A 与事件B 至少有一件发生

假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B 是不可能事件. 这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从自由度为2的χ2分布. 因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。

已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则X +Y ~N (0,5). 因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有123

X X X ++是μ的无偏估计. 因为样本均值是总体

期望的无偏估计.

随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的数学期望E (X )的值为3.5. 选C ，因为在(a ,b )区间上的均匀分布的数学期望为(a +b )/2。

已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (A B )= 0.18. 由乘法公式P (A B )=P (A )P (B |A )=0.6⨯0.3=0.18。

三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为0.784. 是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。

概率论例题与详解

例题

1.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求

（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？

（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？

解设),2,1,0(=i A i 表示箱中有i 件次品，B 表示顾客买下该箱玻璃杯

（1）由全概率公式

()()()94.01.01.018.04204184204192

0≈⨯+⨯+⨯=∑==C C C C A p A B P B P i i i （2）由贝叶斯公式

85.0)()

()()(000≈=B P A P A B P B A P

2.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求

（1）第一次取出的零件是一等品的概率；

（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.

解设),2,1,0(=i A i 表示从第i 箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），B 表示从第一箱中取零件，B 表示从第二箱中取零件

（1）由全概率公式

4.02

130********)()()()()(111=⨯+⨯=

+=B P B A P B P B A P A P （2）由全概率公式 2

129173018214995010)()()()()(212121⨯⨯+⨯⨯=

+=B P B A A P B P B A A P A A P 因此有 )

张宇1000题(最新版)概率论与数理统计习题详解

P(A1A2)=P(A1)P(A2) P(A1A3)=P(A1)P(A3) P(A2A3)=P(A2)P(A3) 但 P(A1A2A3) ≠ P(A1)P(A2)P(A3) 故 A1，A2，A3 两两独立，但不相互独立, 选(C). 15、【答案】B 【解】由 ϕ ( − x ) = ϕ ( x ) ，有和
2
np = 2.4, np (1 − p ) = 1.44
解方程组即得 n = 6, p = 0.4 22、【答案】B 【解】 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) 充要条件： X , Y 不相关
E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) 充分条件： X , Y 独立
23、【答案】D 【解】 EX = DX + ( EX ) = σ + µ
2
24、【答案】A 【解】用 φ 代表标准正态分布 N ( 0,1) 的分布函数，有 p1 = P
X −µ ≤ −1 = φ ( −1) ， 4
Y − µ Y − µ p2 = P ≥ 1 = 1 − P < 1 = 1 − φ (1) ，由于 φ ( −1) = 1 − φ (1) ，所以 p1 = p2 5 5
P ( A) = 0 时， P AC = 1, P AC I C = P ( C ) = P AC ⋅ P ( C ) ，此时 AC 与 C 也相互

概率论与数理统计练习题附答案详解

第一章《随机事件及概率》练习题

一、单项选择题

1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（）

（A ）()1()P A P B =-

；（B ）(|)()P A B P A =；

（C ）(|)1P A B =；（D ）(|)1P A B =。 2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（）一定成立（A ）(|)1()P A B P A =-；（B ）(|)0P A B =；

（C ）()1()P A P B =-

；（D ）(|)()P A B P B =。

3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（）成立时，事件A 与B 一定独立

（A ）()()()P AB P A P B =

；（B ）()()()P A B P A P B =；

（C ）(|)()P A B P B =

；（D ）(|)()P A B P A =。

4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（）

（A ）()()P AB P A =；（B ）()()P A

B P A =；

（C ）(|

)()P B A P B =；（D ）()()()P B A P B P A -=-。

5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A ）

A 与

B 互不相容；（B ）A 与B 相容；

（C ）()()()P AB P A P B =；（D ）()()P A B P A -=。

6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（）（A ）()()()P A

概率论课后习题解答

一、习题详解：

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;

解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；

(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;

解：}{12,11,4,3,22 =Ω；

(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{

,2,1,03=Ω； (4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：

(5)检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；

(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；

(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;

解：}{207 x x =Ω；

(8)在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.

解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；

1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：

(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；

(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；

概率论考试题及答案

在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更

好地复习和准备考试。

1. 选择题

1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？

A. 1/4

B. 1/2

C. 1/13

D. 1/3

答案：D. 1/3

1.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，

观察到另一个正整数出现的概率是多少？

A. 1/12

B. 1/6

C. 1/36

D. 1/18

答案：B. 1/6

2. 计算题

2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。求两次得到的和是

偶数的概率。

答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。其中，和为偶数的情况有：

(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。

因此，所求概率为18/36 = 1/2。

2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取

五张牌，求至少有一张黑桃的概率。

答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。

不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。

因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。

所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。

《概率论与数理统计》习题及问题详解

概率论与数理统计

第一部份习题

第一章概率论基本概念

一、填空题

1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。 9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

概率论试题与答案

一、填空题：(每题4分，共24分)

1．已知事件A 与B 相互独立，()0.4P A =，()0.7P A B +=，则概率()P B A 为。

2．某次考试中有4个单选选择题，每题有4个答案，某考生完全不懂，只能在

4个选项中随机选择1个答案，则该考生至少能答对两题的概率为， 3．若有 ξ～(0,1)N ，η=21ξ-，则η～N （，）

4．若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且DX EX -=4,则参数λ＝

5．设连续型随机变量ξ的概率密度为2(1)01()0x x f x -<<⎧=⎨⎩其他，且2ηξ=，则

η的概率密度为。

6．设总体2~(,)X N μσ的分布，当μ已知，12,,n X X X 为来自总体的样本，则

统计量∑=-n

i i X 12)(

服从分布。

二、选择题：(每小题4分，共20分)

1. 设事件,,A B C 是三个事件，作为恒等式，正确的是（） A.()ABC AB C

B = B.A B

C ABC =

C.()A B A B -=

D.()()()A B C A C BC =

2.n 张奖券有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概

率是（）。

A.11

k m n m k

C C C -- B. k n m C C. k n k m

n C C --1 D. 1r n

m k r n

C C =∑

3. 设EX μ=，2DX σ=，则由切比雪夫不等式知(4)P X μσ-≤≥（） A.

1416 B. 1516 C. 15 D. 1615

4. 如果随机向量),(ηξ的联合分布表为：

概率论题目和问题详解

【奥鹏】[东北大学]19春学期《概率论》在线作业1试卷总分:100 得分:100第1题X 服从标准正态分布(01)，如此Y=1+2X的分布是：A、N(12)；B、N(14)C、N(24)；D、

N(25)。正确答案:B第2题下面哪一种分布没有“可加性〞？〔即同一分布类型的独立随机变量之和仍然服从这种分布〕？A、均匀分布；B、泊松分布；C、正态分布；D、二项分布。正确答案:A第3题设电灯泡使用寿命在2000h以上的概率为0.15，如果要求3个灯泡在使用2000h以后只有一个不坏的概率，如此只需用〔〕即可算出A、全概率公式B、古典概型计算公式C、贝叶斯公式D、贝努利公式正确答案D第4题独立地抛掷一枚质量均匀硬币，连续出现了10次反面，问下一次抛掷时出现的是正面的概率是：A、1/11B、B.1/10C、

C.1/2D、

D.1/9正确答案:C第5题一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5从中任意去取3个，以X表示球中的最大，X=3的概率为：A、0.1B、0.4C、0.3D、0.6正确答案:A 第6题某人打靶的命中率为0.8，现独立地射击5次，那么，5次中有2次命中的概率为A、0.82 *0.2B、0.82C、0.4*0.82D、10*0.82 *0.23正确答案D第7题10个球中3个红，7个绿，随机分给10个小朋友，每人一球。如此最后三个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为A、9/10B、147/1000C、441/1000D、21/40正确答案D第8题设X是一随机变量，E〔X〕=u，D(x)=σ2〔uσ0常数〕，如此对任意常数c，必有A、E〔X-c〕2=E(X2)-c2B、E(X-c)2=E(X-u)2C、E(X-c)2 E(X-u)2D、E(X-c)2 =E(X-u)2正确答案D第9题某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭。假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，如此此人上班途中遇红灯的次数的期望为A、0.4B、1.2C、0.43D、0.6正确答案:B第10题设X、Y的联合分布函数是F(x，y)，如此F(+∞，y)等于：A、0；B、1；C、Y的分布函数；D、Y的密度函数。正确答案:C第11题如果随机变量X服从参数是0.2的两点分布，如此概率P{X=1}是：A、0.2；B、0.8；C、0.04；D、0.64。正确答案:A

概率论考试题及答案

概论：概率是研究不确定性的数学工具，通过数量化分析来描述事

件发生的可能性。在概率论考试中，学生需要掌握概率的基本概念、

计算方法和应用技巧。下面是一些概率论考试题及其答案，供大家参

考和学习。

题目一：

某班级有60位学生，其中30人喜欢足球，40人喜欢篮球。随机选

择一位学生，求他既喜欢足球又喜欢篮球的概率。

解答一：

根据题意，先确定喜欢足球和篮球的学生人数分别为30人和40人。选择一位学生，他既喜欢足球又喜欢篮球的情况相当于从这60人中选

出的人。根据概率计算的基本原理，该事件发生的概率为既喜欢足球

又喜欢篮球的人数除以总人数。因此，概率为(30+40-60)/60=10/60=1/6。

题目二：

一个箱子里有5只红球和3只绿球，从中不放回地依次摸两只球，

求摸到一只红球和一只绿球的概率。

解答二：

根据题意，有5只红球和3只绿球，共8只球。依次摸两只球，求

摸到一只红球和一只绿球的概率。首先，第一次摸出红球的概率为5/8，然后第二次摸出绿球的概率为3/7，因为第二次时箱子里还剩下7只球，

其中3只是绿球。所以，摸到一只红球和一只绿球的概率为

(5/8)*(3/7)=15/56。

题目三：

有一批产品，其中10%有缺陷。现在随机抽取5个产品进行检查，

如果其中有缺陷品，则该批产品被判定为不合格。求该批产品被判定

为不合格的概率。

解答三：

根据题意，产品有10%的概率有缺陷，因此没有缺陷的概率为90%。抽取5个产品进行检查，其中有缺陷品的概率为

(0.1)*(0.9)^4*(5!)/(1!*(5-1)!)=0.32805。所以，该批产品被判定为不合格

大学概率论习题四详解

(A)

1、设随机向量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，对任意d c b a ,,,（d c b a <<,），证明：

),(),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F d Y c b X a P +--=≤<≤<。

解 ),(),(),(d y c a X P d Y c b X P d Y c b X a P ≤<≤-≤<≤=≤<≤<

),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--=

2、一台仪表由二个部件组成，以X 和Y 分别表示这二个部件的寿命（单位：小时），设),(Y X 的分布函数为

⎩

⎨⎧>>+--=+---其他00

010*******y x e e e y x F y x y x ,,),()(...

求二个部件的寿命同时超过120小时的概率。解 ),(∞<<∞<<Y X P 120120

0907

01111120120120120424221212121.)()()(),(),(),(),(......==+--+----=+∞-∞-∞∞=------e e e e e e F F F F 3、设X 等可能的取1,2,3,4中的一个，Y 等可能的取1,… ,X 中的一个，求),(Y X 的联合分布及关于Y 的边缘分布列。

解易见，X 和Y 的取值都是1,2,3,4，且X 取i 的概率为

41,此时Y 取i ,, 1中一数j 的概率为i

张宇1000题(最新版)概率论与数理统计习题详解

P ( A B) + P A B = 1 ⇒ P ( A B) = 1− P A B = P A B
P ( AB ) P(B) P ( A ) − P ( AB ) 1− P ( B)
(
)
(
)
(
)
⇒
P ( AB ) P ( B)
=
=
⇒ P ( AB ) 1 − P ( B ) = P ( A ) − P ( AB ) P ( B)
2
np = 2.4, np (1 − p ) = 1.44
解方程组即得 n = 6, p = 0.4 22、【答案】B 【解】 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) 充要条件： X , Y 不相关
E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) 充分条件： X , Y 独立
23、【答案】D 【解】 EX = DX + ( EX ) = σ + µ
1 1 6 1 3 1 2
2 1 9
3 1 18 1 3 1 +α + β 3
1 2
α
1 +α 9
β
1 +β 18
α = P( X = 2, Y = 2) = P( X = 2)P(Y = 2)
1 1 2 1 = ( + α + β )( + α ) = ( + α ) 3 9 3 9