闭链级联式机器人基于旋量理论的运动学分析方法
第01章_螺旋理论基础
第一篇 螺旋理论应用螺旋理论做空间机构的某些分析是比较方便的，它是诸种常用的数学方法中较好的一种。
螺旋也称旋量。
一个旋量可以表示空间的一组对偶矢量，从而可以用来同时表示矢量的方向和位置，同时表示运动学中的角速度和线速度，以及同时表示刚体力学中的力和力矩。
这样一个含六个标量的旋量概念，就易于应用于空间机构的运动和动力分析。
它也易于与其他方法如矢量法、矩阵法和运动影响系数法之间的相互转化。
它具有几何概念清楚、物理意义明确、表达形式简单、代数运算方便、理论上的难度也不是很高等优点，因而得到广泛的应用。
对目前机构学上的许多前沿性的研究问题，螺旋理论也做出了贡献。
螺旋理论形成于19世纪。
首先Poinsot 在19世纪初通过对刚体上力系的简化，得到具有旋量概念的力矢与共线的力偶矢，这是一组对偶矢量。
Pl ücker [1]确定了空间直线的方向位置的六个坐标，这就称为Pl ücker 线坐标。
1900年，Ball 写出经典的著作《螺旋理论》[2]，书中以螺旋讨论了在复合约束下刚体的运动学和动力学。
在20世纪的前半叶，螺旋理论几乎无人问津。
直到1950年Dimentberg 在分析空间机构时，首次应用了螺旋理论[3, 4]，引起了人们的关注。
接着Freudenstein 、Yang 等[5]应用对偶四元素、螺旋微分于空间机构的位移和动力分析。
Phillips [6]应用螺旋理论分析三物体的相互运动。
1978年Hunt 的《运动几何学》是螺旋理论的现代发展[7]。
Waldron [8], Sugimoto 和Duffy [9]等在螺旋理论及其应用上都做出了贡献。
Duffy [10]在1984年首先将螺旋理论应用到并联机器人上，其后黄真[11]于1985年用螺旋理论分析并联机器人的瞬时螺旋运动。
这些是早期的在并联机器人上的研究。
本篇主要的内容选自1983年Duffy 在佛罗里达大学的课堂讲义[12]，这里谨向已去世的Duffy 教授表示诚挚的敬意。
机器人机构学的数学基础(第2版)课件第8章 运动与约束
sac sa
SΔS r 0
$e21 sa ; ra labsab sa SΔS r 0
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0 ;
sac sa
$1r1 0 ; sac sa
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与自由度和约束相关的基本概念
• 【实例1】：考察Scott-Russell机构的过约束情况。
$2r
B
3
$3r
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A2 1
4
C
5O
• 【实例2】：考察斜面机构的过约束情况。
3 $3 $2
2
1
$1
机构自由度计算的基本公式
系统的自由度F = 所有活动构件的自由度-系统损失的自由度
g
g
3 f1 3 f2 3 fi 3 fg 3 fi 3g fi
从机构的自由度和约束的角度讲，Blanding法则所述一组 对偶线图（自由度线与约束线）之间的“相交”是一种双向映 射。即，已知自由度线图可以确定相应的约束线图，反之亦然。 且当某一种线图给定时，其对偶线图是唯一确定的。
广义Blanding法则
【Blanding广义法则】：
① 机构的所有转动自由度的转动轴线都与其受到的所有约束 力的作用线相交；
末端运动模式或自由度类型为自由度空间
【约束空间】：约束空间（constraint space）是物体所受力旋量所张成 的空间，它表征了物体受限的空间运动，即所受约束情况。当物体受基本约 束（力或力偶）时，其力旋量也退化为线矢量及偶量，约束空间也可简单地 描述成约束线图的形式，这时更便于几何表达使其可视化、图谱化，而且其 中蕴含着局部自由度、冗余约束等诸多信息。
串联式结构机器人逆运动学的求解分析
２０１８年１１月第４６卷第２１期机床与液压ＭＡＣＨＩＮＥＴＯＯＬ＆ＨＹＤＲＡＵＬＩＣＳＮｏｖ ２０１８Ｖｏｌ ４６Ｎｏ ２１ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ ｉｓｓｎ １００１－３８８１ ２０１８ ２１ ０１６收稿日期：２０１６－０８－２５作者简介：高威（１９８６ ），男，硕士，讲师，研究方向为机器人技术㊂Ｅ－ｍａｉｌ：７８５７８８１８５＠ｑｑ ｃｏｍ㊂串联式结构机器人逆运动学的求解分析高威１，李莎１，黄高荣２（１ 商丘工学院机械工程学院，河南商丘４７６０００；２ 江西理工大学机电工程学院，江西赣州３４１０００）摘要：针对机器人逆运动学的封闭求解和数值求解法，以５自由度串联式机器人ＨＣ５Ｒ为例，简要阐述了ＨＣ５Ｒ的传统封闭求解法，详细推导一种基于正运动学的雅克比矩阵迭代数值求解法，最后运用这２种方法分别对ＨＣ５Ｒ机器人可达空间中的３个目标点Ｔ１㊁Ｔ２㊁Ｔ３进行逆运动学求解㊂得出结论：数值求解法相对封闭求解更具通用性，但迭代过程运算复杂，需占用较多的计算资源，所以其用时很长，且所求解为唯一解；相比之下，实际工程中都会针对具体结构，采用求解更快速的封闭解法，并且能够求解出所有满足条件的解㊂关键词：机器人；逆运动学；封闭解；数值解中图分类号：ＴＰ２４２ ２㊀㊀文献标志码：Ａ㊀㊀文章编号：１００１－３８８１（２０１８）２１－０７７－４ＳｏｌｖｉｎｇＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅＳｅｒｉａｌＲｏｂｏｔ ｓＩｎｖｅｒｓｅＫｉｎｅｍａｔｉｃｓＧＡＯＷｅｉ１，ＬＩＳｈａ１，ＨＵＡＮＧＧａｏｒｏｎｇ２（１ ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａｎｇｑｉｕＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＳｈａｎｇｑｉｕＨｅｎａｎ４７６０００，Ｃｈｉｎａ；２ ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＪｉａｎｇｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＧａｎｚｈｏｕＪｉａｎｇｘｉ３４１０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｃｌｏｓｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｏｆｔｈｅｒｏｂｏｔ，ｔａｋｉｎｇｔｈｅ５ｄｅｇｒｅｅｏｆｆｒｅｅｄｏｍｓｅｒｉｅｓｒｏｂｏｔＨＣ５Ｒａｓａｎｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｃｌｏｓｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆＨＣ５Ｒｗａｓｂｒｉｅｆｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｎ，ａｍｅｔｈｏｄｏｆＪａｃｏｂｉａｎｍａｔｒｉｘｉｔｅｒａｔｉｖｅｂａｓｅｄｏｎｆｏｒｗａｒｄｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｗａｓｅｌａｂｏｒａｔｅｄ．Ｔｈｅ２ｍｅｔｈｏｄｓｗｅｒｅｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｏｆＴ１㊁Ｔ２㊁Ｔ３ｉｎＨＣ５Ｒｒｏｂｏｔ ｓｒｅａｃｈａｂｌｅｓｐａｃｅ．Ｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｉｓ：ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌｒｅｌａｔｉｖｅｌｙｔｏｃｌｏｓｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｂｕｔｔｈｅｉｔｅｒ⁃ａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｉｓｃｏｍｐｌｅｘ，ａｎｄｍｏｒｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｒｅｓｏｕｒｃｅｉｓｒｅｑｕｉｒｅｄ，ｓｏｉｔｔａｋｅｓａｌｏｎｇｔｉｍｅ，ａｌｓｏｔｈｅｒｅｓｕｌｔｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｏｎｌｙｏｎｅ；ｂｙｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ，ｃｌｏｓｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｕｓｕａｌｌｙｕｓｅｄｉｎｐｒａｃｔｉｃａｌｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ｂｙｗｈｉｃｈａｌｌｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｃａｎｂｅｓｏｌｖｅｄｍｏｒｅｑｕｉｃｋｌｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｒｏｂｏｔ；Ｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ；Ｃｌｏｓｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ；Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ０㊀前言机器人的逆运动学是机器人在工作中需要时刻进行实时运算的，求解过程特性在很大程度上将直接影响机器人的控制性能［１］，所以逆运动学的研究对于整个机器人系统而言具有举足轻重的地位㊂目前串联结构机器人的全部求解方法分为两大类：封闭解（也称为解析解）和数值解法㊂对于结构满足Ｐｉｅｐｅｒ准则的，即机器人末端相邻关节轴交于一点或末端相邻关节轴相互平行，ＡＢＢ㊁ＫＵＫＡ等机器人厂商几乎都采用这类结构，其逆运动学解通常采用封闭解法，这主要是因为封闭解法求解简单㊁速度快并能求出机器人各关节的准确解㊂但对于结构不满足Ｐｉｅｐｅｒ准则的，就很难求得其封闭解，这时可以通过数值解法对其运动特性进行分析㊂不仅如此，数值解法可以针对任意结构的串联式机械手，且求解过程不会碰到有奇异形位［２］的问题㊂下面来求解一个满足Ｐｉｅｐｅｒ准则的５自由度串联式机器人ＨＣ５Ｒ的逆运动学解，分别采用传统的封闭求解法和基于正运动学的雅克比矩阵迭代数值求解法，通过分析２种方法的结果，从而直观地总结出数值解法在机器人逆运动学求解中的优势㊂１㊀ＨＣ５Ｒ运动学逆解的封闭求解ＨＣ５Ｒ是具有腰部回转㊁大臂举升㊁小臂伸缩及腕部２个旋转自由度的液压机器人，按照ＤＨ参数规则［５］建立的机器人连杆坐标系简图如图１所示，５个连杆具体ＤＨ参数见表１㊂按照表１中的参数列出描述相邻连杆之间空间位姿关系的齐次矩阵ｊｉＴ（连杆ｉ相对于连杆ｊ）㊂０６Ｔ＝［ｎｏａｐ］＝ｎｘｏｘｎｙｏｙａｘｐｘａｙｐｙｎｚｏｚ００ａｚｐｚ０１éëêêêêêùûúúúúú［０１Ｔ（θ１）］－１０６Ｔ＝１２Ｔ（θ２）２３Ｔ（ｄ３）３４Ｔ（θ４）４５Ｔ（θ５）（１）图１㊀机器人连杆坐标系简图表１㊀机器人连杆ＤＨ参数关节θｉ／（ʎ）ｄｉ／ｍｍａｉ－１／ｍｍαｉ－１／（ʎ）１θ１（变量）０００２θ２（变量）００－９０３－９０ｄ３（变量）０９０４θ４（变量）２２６０－９０５θ５（变量）００９０㊀㊀式（１）中，０６Ｔ为已知，ｉ－１ｉＴ（ｉ＝１，２，３，４，５）为含有各关节变量的未知数㊂按照式（１）中方程两边乘以同一逆变换的技巧，列出等式，并令等式两边对应的矩阵元素相等，可先后求得各关节变量θ１㊁ｄ３㊁θ２：θ１＝ａｒｃｔａｎ２（ｐｙ，ｐｘ）或ａｒｃｔａｎ２（－ｐｙ，－ｐｘ）（２）ｄ３＝ʃｐ２ｚ＋（ｐｘｃ１＋ｐｙｓ１）２－ｄ２４（３）ｃ２＝（ｄ４ｐｘｃ１＋ｄ４ｐｙｓ１＋ｄ３ｐｚ）／（ｄ２４＋ｄ２３）ｓ２＝（ｄ３ｐｘｃ１＋ｄ３ｐｙｓ１－ｄ４ｐｚ）／（ｄ２４＋ｄ２３）θ２＝ａｒｃｔａｎ２（ｓ２，ｃ２）（４）对式（１）重新进行变量分离：［０１Ｔᶄ（θ１）０２Ｔᶄ（θ２）０３Ｔᶄ（θ３）］－１０５Ｔᶄ＝３４Ｔᶄ（θ４）４５Ｔᶄ（θ５）同理可求得θ４㊁θ５：ｓ４＝ａｘｓ１－ａｙｃ１ｃ４＝ａｚｃ２＋ａｘｃ１ｓ２＋ａｙｓ１ｓ２θ４＝ａｒｃｔａｎ２（ｓ４，ｃ４）（５）ｓ５＝ｎｘｃ１ｃ２－ｎｚｓ２＋ｎｙｃ２ｓ１ｃ５＝ｏｘｃ１ｃ２－ｏｚｓ２＋ｏｙｃ２ｓ１θ５＝ａｒｃｔａｎ２（ｓ５，ｃ５）（６）式中：ｓ１㊁ｃ１为ｓｉｎθ１㊁ｃｏｓθ１的缩写㊂图２㊀空间坐标系｛ｗ｝㊁｛ｏ｝２ 运动学逆解数值解法的推导假设图２所示的空间中的坐标系｛ｗ｝相对于坐标系｛ｏ｝进行微小变换，从位姿Ｔ０到Ｔ１，这其中包括了微分旋转及微分平移两部分的变换㊂坐标系｛ｗ｝相对于坐标系｛ｏ｝的旋转可以用一个角速度矢量ω＝［ωｘ㊀ωｙ㊀ωｚ］表示，该矢量即为坐标系｛ｗ｝的瞬时旋转轴，一般而言旋转轴是随着时间不断变化的，矢量的大小即其旋转速度㊂在力学中，有一个众所周知的有关时变旋转矩阵表达式［３］：Ｒ㊃（ｔ）＝Ｓ（ω）㊃Ｒ（ｔ）（７）式中：Ｒ（ｔ）为空间旋转矩阵；Ｓ（ω）为角速度矩阵，其具体形式如下：Ｒ（ｔ）＝ｎｘｏｘａｘｎｙｏｙａｙｎｚｏｚａｚéëêêêùûúúúＳ（ω）＝０－ωｚωｙωｚ０－ωｘ－ωｙωｘ０éëêêêêùûúúúú（８）将Ｒ㊃（ｔ）写成微分形式：Ｒ㊃（ｔ）ʈＲ（ｔ＋Δｔ）－Ｒ（Δｔ）Δｔ（９）将式（７）代入式（９）中可得到：Ｒ（ｔ＋Δｔ）ʈ（Δｔ㊃Ｓ（ω）＋Ｉ３ˑ３）Ｒ（ｔ）（１０）式中：Ｉ３ˑ３为３ˑ３的单位矩阵㊂上式即为利用角速度矩阵描述坐标系的微分旋转公式㊂假设坐标系｛ｗ｝相对于坐标系｛ｏ｝姿态从Ｒ０到姿态Ｒ１，由式（１０）得：Ｒ１＝（Δｔ㊃Ｓ（ω）＋Ｉ３ˑ３）Ｒ０（１１）其中：姿态Ｒ０和Ｒ１可描述为：Ｒ０＝ｎ０ｘｏ０ｘａ０ｘｎ０ｙｏ０ｙａ０ｙｎ０ｚｏ０ｚａ０ｚéëêêêêùûúúúú㊀㊀Ｒ１＝ｎ１ｘｏ１ｘａ１ｘｎ１ｙｏ１ｙａ１ｙｎ１ｚｏ１ｚａ１ｚéëêêêêùûúúúú（１２）又因为Ｒ０和Ｒ１为正交矩阵，所以式（１１）可写为：ΔｔＳ（ω）＝Ｒ１ＲＴ０－Ｉ３ˑ３（１３）空间中的任意姿态都可描述为绕Ｘ㊁Ｙ㊁Ｚ轴转动的合成：Ｒ（θｘ）＝１０００ｃθｘ－ｓθｘ０ｓθｘｃθｘéëêêêùûúúúＲ（θｙ）＝ｃθｙ０ｓθｙ０１０－ｓθｙ０ｃθｙéëêêêùûúúúＲ（θｚ）＝ｃθｚ－ｓθｚ０ｓθｚｃθｚ０００１éëêêêùûúúú（１４）式中：Ｒ表示绕坐标轴转动的旋转矩阵，所以姿态Ｒ１ＲＴ０也可表示成：Ｒ１ＲＴ０＝Ｒ（θｘ）Ｒ（θｙ）Ｒ（θｚ）＝ｃθｙｃθｚｃθｘｃθｚ－ｓθｘｓθｙｓθｚｃθｘｃθｙéëêêêêùûúúúú（１５）㊃８７㊃机床与液压第４６卷式中只描述了主对角线的数值，ｃθ㊁ｓθ为ｃｏｓθ㊁ｓｉｎθ的简写㊂对于坐标系的微小空间旋转运动，相应的正㊁余弦函数值为：ｌｉｍθң０ｓｉｎθ＝０，ｌｉｍθң０ｃｏｓθ＝１（１６）由此可得出：Ｒ１ＲＴ０－Ｉ３ˑ３＝０ ０ ０éëêêêùûúúú（１７）联立式（１３）㊁（１７）可得：㊀㊀Δｔ０－ωｚωｙωｚ０－ωｘ－ωｙωｘ０éëêêêùûúúú＝０ａ１ｘｏ０ｚ＋ｎ１ｘｏ０ｘ＋ｏ１ｘｏ０ｙａ１ｘａ０ｚ＋ａ０ｘｎ１ｘ＋ａ０ｙｏ１ｘａ１ｙｎ０ｚ＋ｎ０ｘｎ１ｙ＋ｎ０ｙｏ１ｙ０ａ１ｙａ０ｚ＋ａ０ｘｎ１ｙ＋ａ０ｙｏ１ｙａ１ｚｎ０ｚ＋ｎ０ｘｎ１ｚ＋ｎ０ｙｏ１ｚａ１ｚｏ０ｚ＋ｎ１ｚｏ０ｘ＋ｏ０ｙｏ１ｚ０éëêêêêùûúúúú㊀㊀使上式两边的矩阵各元素对应相等：δΘ＝Δｔωｘωｙωｚéëêêêêùûúúúú＝Δｔ㊃１２ａ１ｚｏ０ｚ＋ｎ１ｚｏ０ｘ＋ｏ０ｙｏ１ｚ－ａ１ｙａ０ｚ－ａ０ｘｎ１ｙ－ａ０ｙｏ１ｙａ１ｘａ０ｚ＋ａ０ｘｎ１ｘ＋ａ０ｙｏ１ｘ－ａ１ｚｎ０ｚ－ｎ０ｘｎ１ｚ－ｎ０ｙｏ１ｚａ１ｙｎ０ｚ＋ｎ０ｘｎ１ｙ＋ｎ０ｙｏ１ｙ－ａ１ｘｏ０ｚ－ｎ１ｘｏ０ｘ－ｏ１ｘｏ０ｙéëêêêêùûúúúú（１８）δΘ即为姿态Ｒ０到Ｒ１的微分旋转变换㊂空间当中坐标系｛ｗ｝相对于坐标系｛ｏ｝的微分平移变换相比之下就简单多了，可由位姿Ｔ０和Ｔ１的３个位置分量直接得出：δｄ＝ｄｐｘｄｐｙｄｐｚéëêêêêùûúúúú＝ｐ１ｘ－ｐ０ｘｐ１ｙ－ｐ０ｙｐ１ｚ－ｐ０ｚéëêêêêùûúúúú（１９）由式（１８）㊁（１９）便可得到位姿Ｔ０到Ｔ１的微分变换的表达式，该表达式分别包括位移增量δｄ和旋转增量δΘ：ξ＝Δ（Ｔ０，Ｔ１）＝δｄδΘéëêêùûúú（２０）假设位姿Ｔ０及Ｔ１分别由与固定坐标系｛ｏ｝重合的单位齐次矩阵ＴＥ变换而来，那么齐次矩阵Ｔ０及Ｔ１可通过式（２０）改写成包含位移增量及旋转增量的矢量形式：ξ０＝Δ（ＴＥ，Ｔ０）＝δ０ｄδ０Θéëêêùûúú，ξ１＝Δ（ＴＥ，Ｔ１）＝δ１ｄδ１Θéëêêùûúú（２１）基于正运动学的雅克比矩阵迭代法的主要原理可以用图３来表示，用实线描绘的是机器人的初始位姿Ｔｓ，假设机械手各机构有一个微小的变动，期望位姿为Ｔｆ㊂利用式（２１）将Ｔｓ及Ｔｆ描述为６元素的矢量ξｓ㊁ξｆ，其位姿增量用ξΔ表示：ξｆ＝ξｓ ξΔξΔ＝ ξｓ ξｆ假设机械手末端有一个特殊弹簧，并且各关节没有驱动装置，末端位姿的变动全靠特殊弹簧拉动，弹簧对末端产生３个方向的力作用和３个方向的力矩作用，用矢量Ｅｇ表示㊂由于位姿增量ξΔ和弹簧效应Ｅｇ都为６元素的矢量，所以两矢量之间的关系可用下式表述：Ｅｇ＝γξΔ＝γ（ξｓ，ξｆ）（２２）式中：γ是该弹簧的刚度，为一常量㊂ξｓ的计算可先通过其正运动学ｆ（ｑ）求出Ｔｓ，再利用式（２１）求出，将其求解过程记为：ξｓ（ｑ）＝Ｌ（ｆ（ｑ））（２３）图３㊀雅克比矩阵迭代过程原理简图利用机器人雅克比矩阵的转置，将机械手末端笛卡尔坐标下的力－力矩映射成各关节驱动力－力矩［４］：τ（ｑ）＝ＪＴ（ｑ）㊃Ｅｇ（ｑ）（２４）假设各关节之间只有黏性阻尼，那么各关节的速度将与其受力成比例关系：ｑ㊃＝τ（ｑ）Ｂ（２５）式中：Ｂ为黏性阻尼系数（假设所有关节的系数相同）㊂将速度写成微分形式：ｑ（ｋ＋１）＝αｑ㊃（ｋ）＋ｑ（ｋ）（２６）式中：α是固定增益，将式（２３）至（２６）进行迭代运算，直至驱动力－力矩Ｅｇ足够小，若假设迭代收敛精度为ｅ，若ｑ（ｋ）的范数小于精度ｅ，这时求出的ｑ即为相应位姿的逆运动学解㊂上述求解过程中：（１）只运用到了雅克比矩阵的转置，并没有去求解其逆矩阵，这就避免了机械手奇异形位的问题，也就是说运用该方法一定能够求解出其逆运动学解；（２）对于所要求解的机器人，该求解过程只用到了机器人的正运动学公式ｆ（ｑ），而机器人的正运动学解的推导是十分简单的，只需要将机器人连杆ＤＨ参数代入指定公式中即能推出，也就是说其求解过程具备一定的通用性质，不必像封闭求解法那样，需根据机器人具体结构列出等式，再逐一㊃９７㊃第２１期高威等：串联式结构机器人逆运动学的求解分析㊀㊀㊀求出式（２） （６）的结果㊂３㊀两种方法的求解及分析以ＨＣ５Ｒ机器人可达空间中的３个目标点Ｔ１㊁Ｔ２㊁Ｔ３为例求其运动学逆解，目标点Ｔ１：Ｔ１＝－１ ００００００１６８６ １０５６００ ０９１１０－０ ９９５８－１８４０ ８５９５－０－０ ９９５８０ ０９１１－４５６ ００８１０００１éëêêêêùûúúúúＴ２㊁Ｔ３为在Ｔ１基础上朝Ｘ轴负方向上偏移一段距离，即将Ｔ１的第一行第四列分别减去７００ｍｍ㊁１４００ｍｍ㊂将式（２） （６）的求解过程代入得３个目标点的封闭解，运算在ＭＡＴＬＡＢ软件中进行，其结果如表２所示㊂从表２可看出：ＨＣ５Ｒ结构机器人的运动学逆解有４组独立解，求解过程用时极快，几乎可以忽略㊂通常由于关节运动范围的限制，所有的解机器人并不能全部到达，将超出运动范围的解去除，再在余下的有效解中，选取一个关节运动量最小的解［５］㊂表２㊀ＨＣ５Ｒ机器人逆运动学封闭解关节１／（ʎ）关节２／（ʎ）关节３／ｍｍ关节４／（ʎ）关节５／（ʎ）耗时ｔ／ｍｓＴᶄ１－４７．５０６５－４７．５０６５１３２．４９３４１３２．４９３４５．０７９７－１６４．１５９８－１９５．８４０２－５．０７９７７９５．０６００－４２５９．０６０７９５．０６００－４２５９．０６０４２．３８１２１３７．１１２３－４２．３８１２－１３７．１１２３３．４２８９９－１６９．２７１０－１６９．２７１０３４．２８９９０．０９７Ｔᶄ２－６１．８２３１－６１．８２３１１１８．１７６９１１８．１７６９５．９２５０－１６１．２８９６－１９８．７１０４－５．９２５０３９２．２５７０－３８５．６２５７３９２．２５６９－３８５．６２５７２８．０４９４１５１．３４９５－２８．６５０５－１５１．９５０６２．７９４０－１７１．１１５－１７１．１１５２．７９４００．１４４Ｔᶄ３－８１．１６５８－８１．１６５８９８．８３４２９８．８３４２６．６２６０－１５９．１１７６－２００．８８２４－６．６２６０１７１．１３４１－３６３５．１３４１１７１．１３４１－３６３５．１３４１８．７９９６１７０．８７２２－９．１２７８－１７１．２００４１．０１５７－１７６．７４４８－１７６．７４４８１．０１５７０．１０３㊀㊀同样将式（２３） （２６）的过程在软件ＭＡＴ⁃ＬＡＢ中进行数值迭代运算，其中，虚拟弹簧的刚度γ㊁黏性阻尼系数Ｂ及固定增益α都设为１，迭代精度设为ｅ＝１０－１２ｍｍ，计算结果如表３所示㊂表３㊀ＨＣ５Ｒ机器人逆运动学数值解Ｔ１Ｔ２Ｔ３关节值ｑｉ４５．５０６５ʎ５．０７９７ʎ７９５．０６００ｍｍ４２．３８１２ʎ３．４２９０ʎ６１．８２３０ʎ５．９２５０ʎ３９２．２５６９ｍｍ２８．０４９４ʎ２．７９４０ʎ８１．１６７７ʎ６．５０７７ʎ１７０．５８７４ｍｍ８．７７６３ʎ０．９９７２ʎ误差ｅ１．１ˑ１０－１５ｍ２．４６ˑ１０－１４ｍ５．０７ˑ１０－１６ｍ计算用时ｔ３０．７ｍｓ２６．６ｍｓ２９．１ｍｓ迭代次数ｎ７７９㊀㊀将表３的数值结果与表２的解析解对比可看出：数值解法只能求出一组解，表３中的结果为表３中４组逆解中的第一组解，且部分关节值存在一定误差㊂虽然整个计算过程仅需要迭代几次就能满足小于误差ｅ的要求，但从式（２３） （２６）的计算过程较为复杂，需要占用较多的计算资源，导致最终的用时达到近３０ｍｓ㊂４㊀结束语在机器人的设计过程中，往往需要一种通用的求解方法来帮助设计人员快速验证所设计的机构能否满足其运动学的要求㊂而上述基于正运动学的雅克比矩阵迭代法就是一种很好的选择，因为其求解过程只需要将机械手的ＤＨ参数代入即可得到结果，而不需要根据机器人具体结构推出㊂但它却难以用于实际的工程运用，首先其逆运动学解是唯一的，而一般条件下，机械手的逆运动学解有多组，从求解过程可以看出这个唯一解是相对于初始位姿的最短路程解，多数情况下会选择这组解，但有时机器人由于关节行程或路径当中的障碍等限制因素而不得不选取其他满足条件的解㊂其次，这种迭代计算会占用大量的计算资源，表３中３个目标点的求解过程都耗时３０ｍｓ左右，机器人的整个伺服过程还包括轨迹规划及控制策略的计算，目前以市面上ＡＢＢ机械手为例，其伺服频率为２４ｍｓ［６］，所以求逆解的耗时应保证在几毫秒或更低㊂实际工程中都会针对具体结构，采用求解更快速的封闭解法，并且能够求解出所有满足条件的解，然后通过关节运动限制及关节运动量最小的解最小等条件选择一个最优解㊂（下转第１７２页）（３）有限元分析技术为行星架系统的结构设计与改进提供了可靠的依据，对于材料和制造工艺的改进也提供有力的分析参考，从而提高了生产效率，降低了成本㊂参考文献：［１］ＡＹＯＤＥＬＥＴＲ，ＯＧＵＮＪＵＹＩＧＢＥＡＳＯ．ＷｉｎｄＥｎｅｒｇｙＲｅｓｏｕｒｃｅ，ＷｉｎｄＥｎｅｒｇｙＣｏｎｖｅｒｓｉｏｎＳｙｓｔｅｍＭｏｄｅｌｌｉｎｇａｎｄＩｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ：ＡＳｕｒｖｅｙ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｕｓｔａｉｎ⁃ａｂｌｅＥｎｅｒｇｙ，２０１３，３４（１０）：６５７－６７１．［２］刘波，安宗文．考虑零件寿命相关的风电齿轮箱可靠性分析［Ｊ］．机械工程学报，２０１５，５１（１０）：１６４－１７１．ＬＩＵＢ，ＡＮＺＷ．ＳｙｓｔｅｍＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＷｉｎｄＴｕｒ⁃ｂｉｎｅＧｅａｒｂｏｘＣｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇＣｏｍｐｏｎｅｎｔＬｉｆｅＤｅｐｅｎｄｅｎｃｙ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１５，５１（１０）：１６４－１７１．［３］王征兵，刘忠明，张志宏．行星齿轮传动行星架的轻量化设计技术研究［Ｊ］．机械传动，２０１４（１０）：１８－２１．ＷＡＮＧＺＢ，ＬＩＵＺＭ，ＺＨＡＮＧＺＨ．ＳｔｕｄｙｏｎＬｉｇｈｔｗｅｉｇｈｔＤｅｓｉｇｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＰｌａｎｅｔＣａｒｒｉｅｒｏｆＰｌａｎｅｔａｒｙＧｅａｒＴｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＴｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ，２０１４（１０）：１８－２１．［４］陈永龙．大型球墨铸铁件风电调速器行星架的铸造［Ｊ］．铸造技术，２０１１，３２（４）：４３９－４４２．ＣＨＥＮＹＬ．ＦｏｕｎｄｒｙＴｅｃｈｎｉｑｕｅｏｆＬａｒｇｅＳｉｚｅｄＳｐｅｅｄＧｏｖｅｒｎｏｒＰｌａｎｅｔＣａｒｒｉｅｒＤｕｃｔｉｌｅＩｒｏｎＣａｓｔｉｎｇｆｏｒＷｉｎｄＰｏｗ⁃ｅｒＧｅｎｅｒａｔｏｒ［Ｊ］．ＦｏｕｎｄｒｙＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０１１，３２（４）：４３９－４４２．［５］张志宏，刘忠明，张和平，等．大型风电齿轮箱行星架结构分析及优化［Ｊ］．机械设计，２００８，２５（９）：５４－５６．ＺＨＡＮＧＺＨ，ＬＩＵＺＭ，ＺＨＡＮＧＨＰ，ｅｔａｌ．ＳｔｒｕｃｔｕｒａｌＡｎａｌ⁃ｙｓｉｓａｎｄＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｎｔｈｅＰｌａｎｅｔＦｒａｍｅｏｆＬａｒｇｅＳｃａｌｅｄＧｅａｒｂｏｘｏｆＷｉｎｄＴｕｒｂｉｎｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｃｈｉｎｅＤｅｓｉｇｎ，２００８，２５（９）：５４－５６．［６］项生田，李剑敏，黄俊，等．轮边减速器行星架结构强度和疲劳寿命分析［Ｊ］．汽车工程，２０１１，３３（５）：４１７－４２１．ＸＩＡＮＧＳＴ，ＬＩＪＭ，ＨＵＡＮＧＪ，ｅｔａｌ．ＡｎＡｎａｌｙｓｉｓｏｎｔｈｅＳｔｒｕｃｔｕｒａｌＳｔｒｅｎｇｔｈａｎｄＦａｔｉｇｕｅＬｉｆｅｏｆｔｈｅＰｌａｎｅｔＣａｒｒｉｅｒｉｎａＨｕｂＲｅｄｕｃｔｏｒ［Ｊ］．ＡｕｔｏｍｏｔｉｖｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１１，３３（５）：４１７－４２１．［７］ＸＩＡＯＹ，ＳＨＩＷ，ＬＵＯＪ，ｅｔａｌ．ＣｏｎｔａｃｔＣｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＯｒｔｈｏｇｏｎａｌＦａｃｅＧｅａｒｗｉｔｈＳｐｕｒＩｎｖｏｌｕｔｅＰｉｎｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒ⁃ｎａｌｏｆＶｉｂｒｏｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１４，１６（５）：２３３０－２３４０．［８］李龙，李剑敏，陈丽丽，等．风电齿轮箱行星轮系柔性销轴的强度与疲劳寿命分析［Ｊ］．机械传动，２０１４（１）：１０１－１０６．ＬＩＬ，ＬＩＪＭ，ＣＨＥＮＬＬ，ｅｔａｌ．ＳｔｒｅｎｇｔｈａｎｄＦａｔｉｇｕｅＬｉｆｅＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅＦｌｅｘｉｂｌｅＰｉｎｏｆＰｌａｎｅｔａｒｙＧｅａｒＴｒａｉｎｉｎＭｅｇａｗａｔｔＷｉｎｄＴｕｒｂｉｎｅＧｅａｒｂｏｘ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＴｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ，２０１４（１）：１０１－１０６．［９］历海宁，王铁．兆瓦级风电齿轮箱行星架有限元分析［Ｊ］．机械传动，２０１２，３６（４）：７０－７２．ＬＩＨＮ，ＷＡＮＧＴ．ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅＰｌａｎｅｔａｒｙＣａｒｒｉｅｒｏｆｔｈｅＭＷＰｌａｎｅｔａｒｙＧｅａｒｂｏｘｉｎＷｉｎｄＴｕｒｂｉｎｅＧｅｎｅｒａｔｏｒ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＴｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ，２０１２，３６（４）：７０－７２．［１０］李庆梅．风力发电机齿轮箱传动系统扭转振动分析［Ｄ］．保定：华北电力大学，２０１１．（责任编辑：张艳君）（上接第８０页）参考文献：［１］刘松国，朱世强，王宣银，等．一般６Ｒ机器人的高精度逆运动学优化算法［Ｊ］．农业机械学报，２００７，３８（１１）：１１８－１２２．ＬＩＵＳＧ，ＺＨＵＳＱ，ＷＡＮＧＸＹ，ｅｔａｌ．ＯｐｔｉｍｉｚｅｄＩｎｖｅｒｓｅＫｉｎｅｍａｔｉｃｓＡｌｇｏｒｉｔｈｍｗｉｔｈＨｉｇｈＡｃｃｕｒａｃｙｆｏｒＧｅｎｅｒａｌ６ＲＲｏｂｏｔｓ［Ｊ］．ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＣｈｉｎｅｓｅＳｏｃｉｅｔｙｆｏｒＡｇｒｉｃｕｌ⁃ｔｕｒａｌＭａｃｈｉｎｅｒｙ，２００７，３８（１１）：１１８－１２２．［２］刘成良，张凯，曹其新，等．机器人奇异形位分析及协调控制方法［Ｊ］．上海交通大学学报，２００２，３６（８）：１１３８－１１４２．ＬＩＵＣＬ，ＺＨＡＮＧＫ，ＣＡＯＱＸ，ｅｔａｌ．ＳｉｎｇｕｌａｒＣｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＣｏｏｒｄｉｎａｔｅＣｏｎｔｒｏｌｏｆＲｏｂｏｔ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｇｈａｉＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００２，３６（８）：１１３８－１１４２．［３］哈尔滨工业大学理论力学教研室．理论力学：第Ⅱ册［Ｍ］．６版．北京：高等教育出版社，２００２：１１０－１１１．［４］张鹏程，张铁．基于矢量积法的六自由度工业机器人雅可比矩阵求解及奇异位形的分析［Ｊ］．机械设计与制造，２０１１（８）：１５２－１５４．ＺＨＡＮＧＰＣ，ＺＨＡＮＧＴ．ＡｎａｌｙｓｉｓｏｎＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆ６ＤｏｆＲｏｂｏｔＪａｃｏｂｉａｎＭａｔｒｉｘａｎｄＳｉｎｇｕｌａｒｉｔｙＣｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎＢａｓｅｄｏｎＶｅｃｔｏｒＰｒｏｄｕｃｔＭｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＭａｃｈｉｎｅｒｙＤｅｓｉｇｎ＆Ｍａｎｕ⁃ｆａｃｔｕｒｅ，２０１１（８）：１５２－１５４．［５］ＣＲＡＩＧＪＪ．ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏＲｏｂｏｔｉｃｓ：ＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ［Ｍ］．ＰｅｒｓｏｎＥｄｕｃａｔｉｏｎ，２００５：４２．［６］丁涛，王枫，侯建飞．瑞典ＡＢＢＩＲＢ２０００工业机器人控制系统初探［Ｊ］．装备维修技术，２０１２（４）：２７－２９．（责任编辑：张艳君）。
【2019年整理】第2章多体系统动力学基本理论
多刚体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况——自由质点和一般简单的情况——少数多个刚体，是经典力学的研究内容。多刚体系统动力学就是为多个刚体组成的复杂系统的运动学和动力学分析建立适宜于计算机程序求解的数学模型，并寻求高效、稳定的数值求解方法。由经典力学逐步发展形成了多刚体系统动力学，在发展过程中形成了各具特色的多个流派。
在国内召开的关于多体系统动力学方面的重要会议主要有：
1986年由中国力学学会一般力学专业委员会在北京主持召开“多刚体系统动力学”研讨会。
1988年在长春召开“柔性多体系统动力学研讨会”。
1992年在上海召开“全国多体系统动力学—理论、计算方法与应用学术会议”。
1996年由中国力学学会一般力学专业委员会与中国空间学会空间机械委员会联合在山东长岛召开“全国多体系统动力学与控制学术会议”。
变分方法是不同于矢量力学或分析力学的另一类分析方法，高斯最小拘束原理是变分方法的基本原理，保保夫和里洛夫从这一原理出发发展了两种不同风格的计算方法。该方法有利于结合控制系统的优化进行综合分析，而且由于其不受铰的约束数目的影响，适用于带多个闭环的复杂系统。
这几种方法构成了早期多刚体系统动力学的主要内容，借助计算机数值分析技术，可以解决由多个物体组成的复杂机械系统动力学分析问题。但是多体系统动力学在建模与求解方面的自动化程度，相对于结构有限元分析的成熟来说相差甚远。正是为了解决多体系统动力学建模与求解的自动化问题，美国Chace和Haug于80年代提出了适宜于计算机自动建模与求解的多刚体系统笛卡尔建模方法，这种方法不同于以罗伯森-维滕堡方法为代表的拉格朗日方法，它是为以系统中每个物体为单元，建立固结在刚体上的坐标系，刚体的位置相对于一个公共参考基进行定义，其位置坐标统一为刚体坐标系基点的笛卡尔坐标与坐标系的方位坐标，再根据铰约束和动力学原理建立系统的数学模型进行求解。
应用基于运动螺旋的机器人正解映射求解搬运机器人的逆运动学问题
陕西科技大学学报
Ｊ） （ＵＲＮＡＬ ＨＡＡＮＸＩＵＮＩ ＲＳ ＴＹ ＣＩ ＯＦ Ｓ ＶＥ Ｉ ＯＦ Ｓ ＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬ ＯＧＹ
Ｄｅ ．２ ８ ｃ ００
・
１ ３３ ・
文章编号 ：０ ０５ １ （０ ８ ０ １３０ １０ —８ １ ２ ０ ） ６０ ３—５
作者简介 ： 学东（ ９ ８ ， ， 荆 １ ６ 一）男 安徽省颍上县人 ， 副教授 ， 博士 ， 研究方向 ： 器人技术及智能检测技术 机
・
１４ ・ ３
陕西科技大学学报
第 ２ 卷 ６
式（） 矩阵南一 １ ３ ２中： ∞
一
ｌｕ 一（ （ － Ｕ ０ Ｉ ３
２ ｌ ０＿ ｊ
论， 旋量理论更新 的方法是用矩阵的指数映射描述刚体运动 ， 而基于这种方法的指数积公式为开链机器人 提 供 了完整 的几何 描述 ． 文首先 利 用开链 机器 人 的指数 积公 式求 出搬 运机器 人 的正解 映射 ， 本 再设 法 寻求 其 运动 学逆解 ． 文献 Ｅ］ 出 了利 用旋 量理 论求解 开 链 机器 人逆 运 动学 问题 的方 法 ， ４提 即利用 旋 量 本 身 的性 质 ， 逆运 动学 问题分 解 为若干 个子 问题加 以求 解． 将 这种 方 法 的有 效性 依 赖 于逆 解 子 问题 的划分 方 法 、 机 器 人关 节轴线 相 交 的数 量 以及机 器人 采用 开链 还是 闭链结 构 ． 经过 尝试 发现 ， 于结构类 似 的搬运 机器 人 对 采用 这 种方法 时会 增加 求解 的复 杂性 ， 因而本 文将注 意力 转 向运动 学正解 映射 本 身 ， 即通 过对 运动 学正 解 映射 进行 矩 阵变换 求解 机器 人 的逆运 动学 问题 ．
基于SCARA机器人的运动学分析及关节解耦
键 ，其结构如 图 ３所 示 ；但是 基于该 结构 的特殊性 ， 两关节 的运动 不能 单独 完成 （ 丝杠 螺母 旋 转 ，则丝 杠既旋转又垂直移 动 ） ，而是相 互耦合 ；需要 丝杠螺 母端 同步轮和花键螺母端 同步轮配合动作 。在工程应
用 和控制 中 ，直接控制 的是 电机 的转速和转角 ，因此
图 １ Ｓ Ａ Ａ机器人结构图 ＣＲ
件的联合运 动被滚珠丝杠花键一个构件所取代 ，提高
了机器人 的结构 特性 ，但 同时也 引入 ３ ４关节 的运 、 动耦合 问题 。作者基 于 Ｓ Ａ Ａ机器人 的运动耦 合特 ＣＲ 性 ，进行 了解耦 分 析和求 解 ，并 验证 了结论 的正确
性。
・２ ９・
１ 运动 学分 析 １１ 坐标 系的建 立 ．
回转 变 换 张 量 法 基 于牧 野 坐 标 系 分 析
各连 杆 之 间 的变 化 关 系 ，并 求 解 末 端 的位 姿 。牧 野 坐 标 系 是 在
Ｅ ｌｎ・０ ０ ｃ（＋ ＋）０ （＋ ＋ ） 。 ・ ２０ １ Ｌ ０ ２ ３ ｓ ００ ３ ｊ ｉ Ｉ
基于 Ｓ Ａ Ａ机器人的运动学分析及关节解耦 ＣＲ
胡 杰 ，张铁
（ 南理 工大 学机 械 与汽 车工程 学 院 ，广 东广 州 ５０４ ） 华 １６０
摘要 ：应用牧野坐标系建立 Ｓ Ａ Ａ机器人 运动学模 型 ， ＣＲ 采用 回转变 换张量 法计算 运动学 正 、逆解 。针对机 械臂末 端
关节滚珠丝杠滚珠花键运动耦合 ，完成运动学解耦 。采用 Ａ Ａ Ｓ建立虚拟 模型 ，进行运 动仿 真 ，验证 了运 动学解耦 的正 ＤＭ 确性 ，为 Ｓ Ａ Ａ机器人的运动控制提供理论依据。 ＣＲ 关键词 ：Ｓ Ａ Ａ机器人 ；滚珠丝杠滚珠花键 ；回转变换张量法 ；Ａ Ａ ＣＲ Ｄ ＭＳ软件 中图分 类号 ：Ｔ ２２ ２ Ｐ ４ ． 文献标识码 ：Ａ 文章编 号 ：１０ ３ ８ ２ １ ）２ ０ ８－ ０ １— ８ １（０ １ １— ２ ４
基于旋量理论的移动机械手动力学建模
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｃ ｅ ｔ ｏ ｙ ｃ ｎ ｂ ａ ｉ ｅ ｏ ｂ ｉｄ ｕ ｈ ｙ ａ ｉ ｏ ｅ ｆａ ｂ ｓ —ｉ ｅ ｐ ｎ—ｈ ｉ ｅ ｓ ｒ ｗ ｈｅ ｒ ａ ｅ ｅ ｓｌ ｕｓ ｄ ｔ ｕ ｌ ｐ ｔ ｅ ｄ ｎ ｍ ｃｍ ｄ ｌｏ ａ ｅ ｆｘ ｄ ｏ ｅ ｃ ａ ｎ ｙ ｏ ｌ ｓ ｄ— ｈ ｉ ｏ ｔ ｏ ｖ ｒ ｏ ｈ ｂ ｌ ｎｉ ｌｔｒ ，ｉｓａ ｐ ｉａ ｉｎ ｉ ｒｈ ｅ ｐ ｏ ｉ ． Ｂａ ｅ ｎ ｒ ｃｏ ｅ ｃ ａｎ ｒ ｂｏ ，ｈ ｗｅ ｅ ，ｆｒｔ ｅ ｍｏ ｉｅ ｍａ ｐｕ ａｏ ｓ ｔ ｐ ｌｃ ｔｏ ｓｗｏｔ ｘ ｌｒｎｇ ｓｄｏ ｔ ｅ ｓ ｒ ｗ ｈ ｏ ，ａ ｍｅｈ ｄ ｏ ｈ ｙ ｍｉ ｓ ｍｏ ｅｉ ｇ ｆｒ ｔ ｅ ｍｏ ｌ ｎ ｐ ｌｔ ｒｉ ｒ ｐ ｓ ｄ． Ｆｉｓ ， ｂ ｈ ｃｅ ｔｅ ｒ ｙ ｔ ｏ ｆｔ ｅ ｄ ｎａ ｃ ｄ ｌｎ ｏ ｈ ｂｉ ｍａ ｉ ｕ ａｏ ｓ ｐ ｏ ｏ ｅ ｅ ｒｔ ｙ ｃ ｎ ｔｕ ｔｎ ｉｔａ ｉ ｓ ｈ ｂｉ ｎｐｕａ ｏ ａ ｅ ｔａ ｓｏ ｍｅ ｎ ｏ ａ ｑ ｖ ｌｎｔｂ ｓ — ｘ ｄ ｏ ｅ ｏ ｓｒ ｃ ｉ ｇ ｖｒｕ ｌｌｎｋ ，ｔ ｅ ｍｏ ｌ ｍａ ｉ ｌｔｒｃ ｎ ｂ ｒ ｎ ｆｒ ｄ ｉ ｔ ｎ ｅ ｕｉａｅ ａ ｅ ｆ ｅ ｐ ｎ— ｅ ｉ
第 ３ 卷 第 ６期 １
２０ １０年 ６月
机器人动力学
机器人动力学研究的典型方法和应用（燕山大学 机械工程学院）摘 要：本文介绍了动力学分析的基础知识，总结了机器人动力学分析过程中比较常用的动力学分析的方法：牛顿—欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、虚功原理法、微分几何原理法、旋量对偶数法、高斯方法等，并且介绍了各个方法的特点。
并通过对PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构动力学方法研究，详细分析了各个研究方法的优越性和方法的选择。
前 言：机器人动力学的目的是多方面的。
机器人动力学主要是研究机器人机构的动力学。
机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，也是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，同时也是机器人系统中被控制的对象。
目前用计算机辅助方法建立和求解机器人机构的动力学模型是研究机器人动力学的主要方法。
动力学研究的主要途径是建立和求解机器人的动力学模型。
所谓动力学模指的是一组动力学方程（运动微分方程），把这样的模型作为研究力学和模拟运动的有效工具。
报告正文：（1）机器人动力学研究的方法1）牛顿—欧拉法应用牛顿—欧拉法来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动和转动分别用牛顿方程和欧拉方程。
把机器人每个连杆（或称构件）看做一个刚体。
如果已知连杆的表征质量分布和质心位置的惯量张量，那么，为了使连杆运动，必须使其加速或减速，这时所需的力和力矩是期望加速度和连杆质量及其分布的函数。
牛顿—欧拉方程就表明力、力矩、惯性和加速度之间的相互关系。
若刚体的质量为m ，为使质心得到加速度a 所必须的作用在质心的力为F ，则按牛顿方程有：ma F =为使刚体得到角速度ω、角加速度εω= 的转动，必须在刚体上作用一力矩M ，则按欧拉方程有：εωI I M +=式中，F 、a 、M 、ω、ε都是三维矢量；I 为刚体相对于原点通过质心并与刚体固结的刚体指标系的惯性张量。
牛顿—欧拉方程法是利用牛顿定律和欧拉方程建立动力学模型的方法。
此法物理意义清晰，适合进行并联机构的正动力学问题和逆动力学问题。
机器人的逆运动学名词解释
机器人的逆运动学名词解释机器人的逆向运动学是，已知末端的位置和姿态，以及所有连杆的几何参数下，求解关节的位置。
二、两大类求解逆运动学的方法逆运动学求解通常有两大类方法：解析法、数值法。
1.解析法（Analytical Solution）特点：运算速度快（达到us级），通用性差，可以分为代数法与几何法进行求解。
串联机械臂有逆运动学解析解的充分条件是满足Pieper准则。
即如果机器人满足两个充分条件中的一个，就会得到封闭解，这两个条件是：•三个相邻关节轴相交于一点；•三个相邻关节轴相互平行。
现在的大多数商品化的工业机器人在设计构型时，都会尽可能满足满足Pieper准则，因为解析法求解能够很快的使用较少的算力，使用较低成本的控制器就能求解，之后随着芯片算力的提升，感觉在未来，机器人公司也会在是否采用满足解析解的构型和采用特定构型并开发对应的逆解算法之间找一个平衡。
以PUMA560机器人为例，它的最后3个关节轴相交于一点。
我们运用Pieper方法解出它的封闭解。
对于UR5机械臂，其第2、第3、第4关节轴平行，满足Pieper准则其中的一条，即三个相邻的关节轴两两平行。
2.数值法（Numerical Solution）特点：通用性高，但是求解速度较慢（ms级）。
除了一些特殊的机械臂构型外，机械臂逆运动学问题很难用解析解求解，因此在许多情况下会使用数值解求解。
通常设定一个优化目标函数，是把逆解求解问题转化为一个优化问题求数值解。
Newton-Raphson（NR）是数值解的一种方法。
它需要基本的雅可比矩阵。
然而，当且仅当原始方程的函数具有逆函数，且原始方程可解时，NR方法才会成功。
从运动学的角度来看，前一个条件意味着机器人需要非冗余，机器人在从初始配置到最终配置的运动过程中不通过奇异点。
后一个条件意味着机械臂的期望位置和方向需要在机器人的工作空间内，是可解的。
由于这些限制，NR方法不能保证全局收敛性，因此它在很大程度上取决于初始值。
基于旋量理论的移动机械手建模及轨迹跟踪
ｂｅｔ ｊｃｏｙｔ ｃ ｉｇｃ ｎｒｌ ｒｏ ｅｎ ｎ ｏｏ ｏ ｃｍｏ ｉ ｎｐ ｌｔｒ ｙｔｍ ｅ ｉｎ ｄ ｌ ａｅ ｔｒ ａ ｋｎ ｏ ｔ ｌ ｆ ｈ ｏ ｈ ｌｎ ｍｉ ｂｌ ｍａ ｉｕａｏ ｓ ｒ ｒ ｏｅ ｔ ｅ ｓ ｅ ｉ ｄ ｓｇ ｅ ．Ａｎ ｌｓｓａ ｄ ｓ ｓ ａｙ ｉ ｎ ｉ ｍ－
第 ２ ９卷 第 ５期 ２１ ０ ０年 ｌ ０月
河南理工大学学报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ｅ Ａ Ｏ Ｙ Ｅ ＨＮ Ｃ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ （ Ａ Ｕ Ａ Ｃ Ｅ Ｃ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｈ Ｎ Ｎ Ｐ Ｌ Ｔ Ｃ Ｉ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ Ｎ Ｔ Ｒ Ｌ Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ）
Ｖ １２ Ｎ ． ０．９ ｏ５ Ｏ ｔ ００ ｃ． １ ２
基 于旋 量 理 论 的移 动机 械 手 建模 及 轨迹 跟 踪
王 红旗 ，胡 伟 ，孙 雪凤
（ 南 理 工 大 学 电 气 工程 与 自动 化 学 院 ，河 南 焦作 河 ４４ ０ ） ５０ ０
摘 要 ：研 究 了 非 完 整 移 动 机 械 手 系统 的 建 模 及 轨 迹 跟 踪 控 制 方 法 ． 首 先 应 用 旋 量 理 论 建 立 了
ｉ ｅ ｅ ｒ ｈ ｄ Ｆｉｓｌ ｓｒ ｓ ａｃ ｅ ． ｒ ｔ ｙ，ｂ ｐ ｌ ｉ ｃ ｅ ｈ ｏ ｙ，ｄ ｎ ｍｉｓ ｍｏ ｌｏ ｈ ｏ ｈｏｏ ｏ ｃ ｍｏ ｉ ａ ｉ ｕ ａｏ ｙ — ｙ ａ ｐ ｙｎｇ ｓ ｒ ｗ ｔ ｅ ｒ ｙ ａ ｃ ｄｅ ｆｔ ｅ ｎ ｎ ｌｎ ｍｉ ｂ ｌ ｍ ｎ ｐ ｌ ｔｒｓ ｓ ｅ
ｔｍ ｓ ｅ ｔｂｌ ｈ ｄ，ａ ｄ ｔ ｅ ｙ ｃ ｎ ｉ ｅ ｉ ｙ ａ ｃ ｆｔ ｅ ｍ ｏ ｉｅ ｐ ａｆｒ ａ ｄ ｔ ｅ ｍａ ｐ ａ ｏ ｕ ｓ ｓｅ ｅ ｉ ｓａ ｉ ｅ ｓ ｎ ｈ ｎ ｂ ｏ ｓｄ ｒｎｇ ｄ ｎ ｍｉ ｓｏ ｈ ｂ ｌ ｌｔｏ ｍ ｎ ｈ ｎｉｕｌｔｒｓ ｂ ｙ ｔ ｍｓ，
多体动力学读书报告
计算机辅助工程与分析读书报告院系：机电工程学院专业：机械工程年级： 2011级学生姓名：张敏明学号： 20117030252012年6月多体动力学读书报告机械工程张敏明 20117030251多体动力学研究对象多体系统动力学是研究由多个柔性体和（或）刚性体所构成的系统的运动规律的学科。
它主要研究系统的动力学建模、分析、求解和控制等问题。
随着科技的发展，在航空、航天、机器人、车辆等工程领域，对一些较为复杂的多体系统的设计和分析提出来更高的要求。
例如：如何较准确地预测系统在一定输入条件下的动态响应以及如何使系统满足人们预先给定的运动要求等，尤其是当采用了更轻更柔的材料，并且所要求的运转速度和运动精度更高时，研究系统的动态特性愈加困难。
多体系统动力学的产生为解决这种多维、时变、高度非线性的复杂动力学问题提供了一种新的理论分析方法。
2多体动力学研究现状多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。
从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义近年来，多动力学在汽车技术领域的应用不断增多。
汽车本身是一个复杂的多体系统。
外界载荷的作用更加复杂，加上人-车-环境的相互作用，给汽车系统动力学的研究带来了很大困难。
由于理论方法和计算手段的限制，该学科曾一度发展较为缓慢。
汽车系统动力学发展的主要障碍在于无法有效地解决复杂的受力条件下多自由度分析模型的建立和求解问题。
多体系统动力学的出现为解决上述问题提供了有效的途径。
经过30多年的努力，现在有许多大型通用多体动力学软件可以对汽车进行分析和计算。
基于螺旋理论的3-RRS 并联机器人运动学分析
基于螺旋理论的3-RRS 并联机器人运动学分析毕亚东【摘要】提出了一种新的3-RRS 并联机器人运动学分析方法：应用螺旋理论建立了螺旋和反螺旋模型，通过模型分析得其运动自由度与 Kutzbach Grubler 公式计算结果一致；推导了并联机器人的位置正反解模型，用仿真软件 Matlab 中牛顿迭代法进行了先正解后反解和先反解后正解计算，验证了数值的正确性。
该方法同样适用其他并联机器人，具有应用价值。
%A new type of 3-RRS parallel robot kinematics analysis method was proposed.Based on the screw theory,a 3-RRS parallel robot kinematics and anti-helix spiral model was established,obtaining the freedom of movement through the model analysis and Kutzbach Grubler calculated results,deriving a paral-lelp osition of the robot inverse solution ing Newton′s iterative method of simulation software Matlab,the first positive solution and then inverse solution and then inverse solution after the first positive solution were calculated to verify the numerical accuracy.The 3-RRS method also applied to other parallel robots,and had application value.【期刊名称】《郑州轻工业学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)006【总页数】6页(P67-72)【关键词】螺旋理论;并联机器人;运动学分析;正反解;运动自由度【作者】毕亚东【作者单位】安徽国防科技职业学院机械工程系，安徽六安 237011【正文语种】中文【中图分类】TP24并联机器人的运动学分析对于了解机器人机构的运动情况非常重要，而应用用螺旋理论进行3-RRS并联机器人运动学分析方面的研究在公开发表的学术文献中还未见到.鉴于此，本文拟应用螺旋理论对3-RRS并联机器人进行运动学分析.1.1 3－RRS并联机器人坐标系的建立如图1所示，3-RRS并联机器人共有3个分支构成，各分支有2个转动副和1个球面高副构成，上下平台为等边三角形，外接圆半径为r和R，下平台ABC为基平台(固定不动)，上平台abc为动平台.基坐标O－XYZ固定在基平台ABC上，原点位于基平台ABC的中心，X轴平行于BC，Y轴由O到A，Z轴沿基平台的法向向上;动坐标系o'－xyz在动平台abc 上，原点位于动平台abc的中心，x轴平行于bc，y轴由o'到a，z轴沿动平台的法向向上.在分支Aa，Bb，Cc上分别建立分支坐标系O1－X1Y1Z1，O2－X2Y2Z2，O3－X3Y3Z3，原点Oi位于点A，B，C处，分支坐标系的Zi轴平行于基坐标系的Z轴，Yi轴指向ΔABC的形心，Xi轴沿转动副的轴线方向.1.2 分支位置坐标如图2所示，用Aa分支来阐释在正视图中的长度与角度的关系，Lij表示i分支中j杆件的长度，αij表示i分支中远离Yi坐标轴的第j个角度(i=1，2，3)，Aa表示第1分支，Bb表示第2分支，Cc表示第3分支.在分支坐标系Oi－XiYiZi中，各运动副节点在坐标系Oi－XiYiZi中的位置坐标分别为(0，0，0)，(0，Li1cosαi1，Li1sinαi1)，(0，Li1cosαi1 + Li2cosαi2，Li1sinαi1+Li2sinαi2).坐标系Oi－XiYiZi与基坐标系O－XYZ之间的变换矩阵可表示为i分支中，各运动副节点在坐标系Oi－XiYiZi的位置坐标转换到基坐标系O－XYZ 中可表示为式中，j为偏离Yi轴的运动副节点，i=1，2，3.把各分支中在坐标系Oi－XiYiZi的运动副节点位置坐标代入式①中可以得到在基坐标系O－XYZ中的坐标分别如下.1.3 基于螺旋理论的运动自由度分析［12］机构转动副螺旋可表示为R=(S;S0)的形式，S为转动副旋转中心线的单位矢量，S0=r×S，为从基坐标系原点到该转动副轴线的矢量r与S的叉乘积.关于反螺旋有以下2个命题:命题1 在三维空间中，线性无关的螺旋数目是6，当螺旋系的线性无关的螺旋数目r＜6时，就有6－r个反螺旋Rr，且反螺旋Rr为约束反力.命题2 机构的公共约束可以定义为:一个机构的运动副均以螺旋表示时形成一个螺旋系，若存在与该螺旋系中每一螺旋均相逆的反螺旋时，这就是机构的一个公共约束，反螺旋数目就是公共约束数目.为了方便用转动副螺旋来进行分析，对于并联机器人中的球面副S进行如下转化分析，由于球面副允许2个构件间具有3个独立的相对转动，具有3个相对自由度，因此可以把球面副螺旋表示成3个转动副螺旋，如图3所示(以Aa分支为例，其他分支相对转60°).Aa(i=1)分支中，所有运动副在基坐标系中的螺旋可以表示为式中，α，β分别是 R15与 X1，Z1轴夹角的余弦，且α2+β2=1.Aa分支的反螺旋为Bb(i=2)分支中，所有运动副在基坐标系中的螺旋可以表示为则第Bb分支的反螺旋为Cc(i=3)分支中，所有运动副在基坐标系中的螺旋可以表示为则Cc分支的反螺旋为由②③④可见3条支链共同对动平台施加了3个约束，分别是沿Xi，Yi方向的移动，沿Zi方向的约束力偶.此反螺旋为一个力线矢，且该力线矢过球副中心，在YiZi平面内.由Kutzbach Grubler公式，该并联机构的自由度计算公式表示为式中，d为机构的阶数，若λ为机构的公共约束数，d=6－λ;n为杆件数;g为运动副数;fi为第i个运动副的自由度.对于本文中的并联机器人机构，λ=0，d=6，，将以上各数值代入式⑤得到机构的自由度F=3，与反螺旋分析结果吻合.2.1 位置正解图1中3-RSS并联机器人的上下平台以3个分支相连，每个分支的两端分别是一个转动副和一个球铰，中间是一个转动副，驱动器推动转动副做相对转动，改变杆件与下平台的夹角，使上平台变化空间的位置和姿态.3－RRS并联机器人的位置正解，则已知3个驱动R副的输入角度α1i(i=1，2，3)，确定动平台的位姿.点A，B，C在基坐标系O－XYZ中的位置矢量为点di(i=1，2，3)在基坐标系O－XYZ的位置矢量为点a，b，c在动坐标系o'－xyz中的位置矢量为动平台上的原点O'在基坐标系中的位置矢量为根据文献［9］，在动坐标系中的任一位置矢量可以通过如下的坐标变换方法变换到基坐标系中去.式中，R'表示点在动坐标系中的矢量形式，R表示点在基坐标系中的矢量形式，Cθ=cosθ，Sθ=sinθ，θX，θY，θZ动平台的动坐标系相对于固定平台的基坐标系的3个独立的转角.由于θZ=0，则矩阵T可简化为将⑥⑦式代入⑧⑨得点a，b，c在基坐标系中的坐标矢量为根据杆长约束条件，可以得方程组将式⑦⑩代入式○11后整理后得式○12:式○12为一个三元非线性方程组，求解该非线性方程组是比较困难的，但是利用牛顿迭代法来构造迭代函数G(X)却是非常的简便，牛顿迭代式是其中，DF(X)称为F(X)的Jacobi矩阵.2.2 位置反解3－RRS并联机器人的位置反解就是已知动平台上的参考点O'和动平台的位姿角θX和θY，求基平台的3个R副的输入角度α1i(i=1，2，3)，根据公式○12，可以求出3个R副的输入角度α1i构成的非线性方程组可以表示为同样利用牛顿迭代法可以求出3个R副的输入角度α1i.3.1 求解方法在Matlab中求解非线性方程组的函数名称是fsolve，使用的格式是其中，X0为预估计值，option为参数设置选项，X为返回解，myfun为定义求解非线性方程组的函数名，可以表达为以下的形式可以选用的迭代法有牛顿迭代法、拟牛顿法、割线法和Steffenson法等，这里选用牛顿迭代法来进行求解.3.2 仿真求解设3-RRS并联机器人的结构参数L11=L12= L21=L22=L31=L32=200，R=200，r=100.在验证结果的时候，采用先正解后反解，即根据α11，α12，α13参数求解输出参数θX，θY，ZP，再根据求解出的θX，θY，ZP参数反求α11，α12，α13参数，然后把该输入参数与原输入参数进行偏差比较(见表1).再采用先反解后正解，即根据θX，θY，ZP参数求解输入参数α11，α12，α13，再根据求解出的α11，α12，α13参数反求θX，θY，ZP参数，然后把该输出参数与原输出参数进行偏差比较(见表2).本文提出了一种新的3-RRS并联机器人运动学分析方法，得出如下结论.1)基于螺旋理论分析了3-RRS并联机器人的运动螺旋和反螺旋，结果与Kutzbach Grubler公式计算结果相同.2)分析了该并联机器人的位置正反解，并且利用数值方法-牛顿迭代法和Matlab软件进行了位置正反解的偏差比较求解，求解结果的偏差数量级满足正常的控制要求.【相关文献】［1］ Gosselin C M，Lemieux S，Merlet J P.A new architecture of planar three-degreesof-freedom parallel manipulator［C］//Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation，Minneapolis:M N，1996.［2］李伟，曹晓彦，庐江，等.基于5R并联堆垛机构的运动学分析与示教再现［J］.郑州轻工业学院学报:自然科学版，2013，28(1):62.［3］ Hunt K H.Structural kinematic of in-parallel-actuated robot arms［J］.Journal of Mechanism Transmissions and Automation in Design，1983，105(4):705.［4］ Gosselin C，Angeles J.The optimum kinematic design of a planar three degree of freedom parallel manipulator［J］.ASME Journal of Mechanisms Transmissions and Automation in Design，1988，110(1):35.［5］刘善增，余跃庆.平面3自由度并联机器人的动力学设计［J］.机械工程学报，2008，44(4):47.［6］杨春辉，刘平安.3-RRR平面微动机器人的运动学分析［J］.机械科学与技术，2008，27(6):770.［7］刘善增，余跃庆，苏丽颖，等.3-RRS柔性并联机器人的动力学建模与频率特性分析［J］.中国机械工程，2008，19(10):1219.［8］刘善增，余跃庆，刘庆波，等.3-RRS并联机器人的动力学分析［J］.中国机械工程，2008，19(15):1778.［9］刘永均，张静，李柏林.基于条件数的3-RRS并联机器人运动性能优化［J］.机械设计与研究，2008，24 (6):32.［10］李艳文，黄真，王鲁敏，等.新型4自由度并联机器人运动学分析［J］.机械工程学报，2008，44(10):66.［11］车林仙.4-RUPaR并联机器人机构及其运动学分析［J］.机械工程学报，2010，46(3):35. ［12］黄真，孔令富，方跃法.并联机器人机构学理论与控制［M］.北京:机械工业出版，1997.。
并联机器人-习题解答-第7章 并联机器人的动力学分析习题解答-20210528
（4）
再运用三矢量的两重叉积的运算方法，由式（4），得铰链bi的垂直于第i 根连杆轴线的 作用力：
Fbiuv li
1 lCi
wi
M bfi I Cib i i
i 1
i 1
（12） （13）
6
6
6
bi fbiwwi I P P P I P P bi Fbiuv M P M bfi
i 1
i 1
i 1
由式（13）和式（14）得铰链bi的沿连杆轴线方向的作用力的大小的列向量：
f bw U 1W
式(15)中:
fbw fb1w
的反摩擦力矩。
7-7. 根据式(17)，写出6-SPS并联机构的驱动力的计算步骤。
解：
计入重力时驱动力的计算步骤如下：
第1步：计算式（7-8）、式（7-14）、式（7-16）、式（7-24）或式（7-25）中等号右边的 可计算的量。
根据并联机构的结构参数、构件的重力及作用在动平台的力和力矩，先确定并联机器人
w~ ~ bli
、bli
i
i
、 bli
bli
i
i
a G I M 、bli
、bli
bGi
、bli
biCib ；取Bfi来自cBii 和 M bfi
cbi
i
P
，
cBi 和 cbi
分别为铰链Bi和铰链bi的摩擦阻尼系数，计算
Bli
M
和 bli
Bfi
M
bfi ；用式（7-24）求
fbw
时，先求 D wi 、
mbiabGi FDi FCi Fbi Gbi
协作机器人逆运动学形式化建模与验证
Abstract: In the age of rapid development of robots, the safety of human-machine collaboration is the focus of people's attention. The modeling and solving of robotic inverse kinematics are the necessary factors which determine the safety of robots. A common method for inverse kinematics solution of robots is screw theory. It avoids the singularity problem which traditional Denavit-Hartenberg param eters (D-H parameters)can not. However, in the use of the screw theory, there will be some loopholes in the model due to human factors or software defects. Therefore, it is necessary to introduce formal method based on theorem proving to verify the model of ro botic inverse kinematics. For this purpose, some basic concepts such as exponential products and Paden-Kahan subproblems ( sub prob-R )are formalized based on the library of screw theory. And then, the inverse kinematics of collaborative robots is formally veri fied in HOL-Light. It is proved that Paden-Kahan subproblems ( subprob-R) based inverse kinematics of collaboration is safe and reli able. Key words: inverse kinematics: screw; Paden-Kahan subproblems: HOL-Light; formal verification
基于螺旋理论的球面并联机构动力学解析模型
第 4 期
张均富 等: 基于螺旋理论的球面并联机构动力学解析模型
123
阵的数值符号表达式, 使在线计算量大为减少, 从而
为实时控制打下良好的基础。
近年来, 少自由度并
联机构引起了许多机构学
者 的 研 究 兴 趣, 1999 年
Go sselin C M 等提出了一
种球面五杆机构的新构
型[8 ] (图 1) , 但目前尚缺少
·
q
(10)
式中 Ε3(1) ——支链 1 中构件 3 的绝对角加速度
于是, 机构中任一支链 j 中的构件 i 的绝对角
加速度可表示为
Εi (j) =
J i(j) q+
·q TW
i(j)
·
q
(11)
式中 Εi(j) ——构件的绝对角加速度
W i(j) ——机构的二阶影响系数矩阵
式 (7)、(11) 中的一、二阶影响系数矩阵元素均
＄2(2) 始 终 与 末 端 执 行 器 O P 垂 直, 则 各 旋 量 的
P lücker 坐标确定如下
0＄1 (1) = (1, 0, 0; 0, 0, 0)
1＄2 (1) = (0, co sq1, sinq1; 0, 0, 0)
2＄3 (1) = (2sδ3 (1) ; 0, 0, 0)
vci(j) —— 构件质心绝对速度
J i(j) ——一阶影响系数矩阵
112 加速度分析
设末端执行器相对基础构件的绝对瞬时加速度
为0A 3 (1) =
(
0
·
Ξ3
(1)
,
0) ,
根据 R ico
J
M
等人用旋量进
行加速度分析的研究[1], 对机构的两个分支写出如
基于螺旋理论的Delta并联机器人自由度分析
２ ０ １ ７年 ３ 月
机床与液压
ＭＡＣＨＩ ＮＥ Ｔ０ＯＬ ＆ ＨＹＤＲＡＵＬ Ｉ ＣＳ
Ｍａ ｒ ． ２ ０ １ ７
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第４ ５ 卷 第５ 期
Ｖｏ １ ． ４ ５ Ｎｏ ． ５
ＤＯ Ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ — ３ ８ ８ １ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ５ ． ０ ０ ２
并联机构 ，往往无 法便 捷、正确地求解其 自由度 。为解决 以上 问题 ，以一种 拓扑结 构为 ［ ３ 一 Ｒ （ ４ Ｓ ） ＆１ 一 Ｒ Ｕ Ｐ Ｕ］ ＋ Ｒ型 的 Ｄ ｅ ｌ ｔ ａ
并联机器人为研究 对象 ，对其 ４ ｓ闭环子链进行 了等效运 动副螺旋系的求解 ，并判别 了机构 的局部 自由度 以及公共约束 ；利 用修正 的 Ｇ— Ｋ公式 ，分别对原机构 和等效后的机构进行 了 自由度 的验证 。结果表 明 ：两 种情形下 的 自由度数 均为 ４ ，且 自 由度 的性质 为 ３ 平移 １ 旋转 ，与实际设计相符 。 关键词 ：螺旋理论 ；闭环子链 ；等效运动副螺旋系 ； 自由度 ；公共 约束
ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｄ ｐ ａ ｒ ａ ｌ ｌ ｅ ｌ ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｓ ｍｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ｃ ｌ ｏ ｓ ｅ ｄ — ｌ ｏ ｏ ｐ ｓ ｕ ｂ ｃ ｈ ａ ｉ ｎ ｓ ，ｉ ｔ ｉ ｓ ｄ ｉ ｉｃ ｆ ｕ ｌ ｔ ｔ ｏ ｇ ｅ ｔ ａ ｒ ｅ ａ ｓ ｏ ｎ ａ ｂ ｌ ｅ ＤＯＦ ．Ａ Ｄｅ ｌ ｔ ａ ｒ ｏ ｂ ｏ ｔ ｗ ａ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ｗｈ ｉ ｃ ｈ
连续体机器人运动学分析及跟踪控制
连续体机器人运动学分析及跟踪控制连续体机器人运动学分析及跟踪控制摘要：连续体机器人是一类具有连续可变形能力的机器人系统，其机构不仅包括刚性链接，还包括柔性部件。
本文主要讨论连续体机器人的运动学分析和跟踪控制。
首先介绍了连续体机器人的运动学模型，然后给出了连续体机器人的运动学方程，并通过一个实例对其进行了分析。
接着，讨论了连续体机器人的跟踪控制问题，提出了基于自适应控制的跟踪控制方案，并给出了仿真实验结果。
1. 引言连续体机器人是一种新型的机器人系统，具有连续变形的能力。
与传统的刚性链接机器人相比，连续体机器人可以实现更加灵活、多样化的运动。
由于具备柔性部件，连续体机器人的运动学分析和跟踪控制具有一定的特殊性。
如何在连续体机器人的运动中充分考虑机构的柔性特性，实现精确的运动控制，是当前研究的重点和难点。
2. 运动学模型连续体机器人的运动学模型可以由刚性链接的运动学模型和柔性部件的运动学模型组成。
对于刚性链接，可以采用传统的欧拉角和转动矩阵描述其姿态变化。
而柔性部件的运动学模型则需要考虑物体的变形和扭曲，通过弯曲曲线和张量描述其运动特性。
3. 运动学方程连续体机器人的运动学方程可以通过广义坐标法或拉格朗日方法得到。
其中，广义坐标法可以将连续体机器人的运动分解为无限个自由度的关节，通过广义坐标对其进行描述。
而拉格朗日方法则可以将连续体机器人的动力学问题转化为优化问题，通过最小化势能和动能的和来求解运动方程。
4. 运动学分析实例为了更好地理解连续体机器人的运动学特性，本文给出了一个实例来进行分析。
假设连续体机器人由两个刚性链接和一个柔性部件组成，柔性部件为弯曲弹性杆。
首先，通过刚性链接的运动学模型，计算出机器人的姿态变化。
然后，通过柔性部件的运动学模型，分析弯曲弹性杆的形变与扭曲。
最后，将刚性链接和柔性部件的运动学模型结合起来，得到连续体机器人的整体运动学模型。
5. 跟踪控制方案在连续体机器人的运动过程中，如何实现准确的轨迹跟踪是一个重要问题。
杨廷力-机器人机构结构综合方法的基本思想_特点及其发展趋势
2
罗玉峰
3
杭鲁滨Hale Waihona Puke 4沈惠平5
石志新
3
(1. 中国石化金陵石油化工公司 南京 210042； 2. 解放军理工大学工程兵工程学院 南京 210007； 3. 南昌大学机电工程学院 南昌 330031； 4. 上海工程技术大学机械工程学院 上海 200030； 5. 江苏工业学院机械与能源工程学院 常州 213016)
表1
机构简图
主要特点 基于螺旋理论的综合方法具有以下特点。 (1) 得到瞬时机构和瞬时自由度，均须要进行 非瞬时性判定。 (2) 综合得到机构的几何条件较特殊， 机构可能 失去一般性(图 3a)。 (3) 约束螺旋系的并运算与互易运动螺旋系的 交运算完全等价。一个平面可用平面内两相交直线 表示，也可用平面的法线表示，两者完全等价。
图1
机构学基本方程的映射关系
本文对三种结构综合方法的基本原理与特点进 行比较研究，并探讨构建机构拓扑结构学、运动学 和动力学三者密切相关的新理论与方法的可行性。
图2
串联机构
月 2010 年 5 月
杨廷力等：机器人机构结构综合方法的基本思想、特点及其发展趋势
3
例 2：对图 3a 所示的并联机构，由式(2)得到动 平台的运动螺旋系，式(3)得到机构自由度，见表 1。
0 前言*
以机器人机构为背景的现代机构创新设计包括