高中数学选修2-1同步练习 1.3.“或”“且”与“非''(含答案)
2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第1章 1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或” Word版含解析
1．2简单的逻辑联结词1．2.1逻辑联结词“非”、“且”和“或”[读教材·填要点]1．联结词“非”设p是一个命题，用联结词“非”对命题p作全盘否定，得到新命题，记作綈p，读作“非p”或“不是p”．2．联结词“且”用联结词“且”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∧q，读作“p且q”．3．联结词“或”用联结词“或”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∨q，读作“p或q”．4．含有逻辑联结词的命题的真假判断[小问题·大思维]1．逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同？提示：有所不同．日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思．而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．2．“或”“且”联结词的否定形式分别是什么？提示：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”．3．命题“綈p”与命题“p的否命题”有何不同？提示：命题“綈p”与“否命题”完全不同，前者是对命题的结论否定，后者是既否定条件又否定结论．如：若命题p为“若s，则t”，则綈p：若s，则綈t，否命题：若綈s，则綈t.写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p：3＋4>6；(2)p：杨振宁是数学家或物理学家；(3)p：不等式x2－3x＋2≥0的解集是{x|1≤x≤2}．[自主解答](1)3＋4>6是一个简单命题，“>”的否定即是“≤”，所以“非p”：3＋4≤6.由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．(2)命题是一个“p∨q”形式的命题，其否定为“(綈p)∧(綈q)”的形式，所以“非p”：杨振宁既不是数学家又不是物理学家．由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．(3)“非p”：不等式x2－3x＋2≥0的解集不是{x|1≤x≤2}．由于p是假命题，故命题“非p”是真命题．若将例1(2)中的“或”改为“且”，如何解答？解：綈p：杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家，由于p是假命题，故命题綈p是真命题．写“非p”应先弄清p的条件与结论．另外，要注意改变原命题的真假，一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定．如“等于”的否定是“不等于”，“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”．1．写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假．(1)若a，b都是奇数，则a＋b是偶数；(2)全等的三角形是相似三角形．。
高中数学选修2-1练习题
常用逻辑用语一、选择题1．命题“如果x≥a 2+b 2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A ．如果x<a 2+b 2,那么x<2ab B ．如果x≥2ab,那么x≥a 2+b 2 C ．如果x<2ab,那么x<a 2+b 2 D ．如果x≥a 2+b 2,那么x<2ab 2．三角形全等是三角形面积相等的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．下列四个命题中，真命题是( ) A ．2是偶数且是无理数 B ．8≥10 C ．有些梯形内接于圆 D ．∀x ∈R,x 2-x+1≠0 4．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 二、填空题5．命题“若a=-1,则a 2=-1”的逆否命题是______________________． 6．b=0是函数f(x)=ax 2+bx+c 为偶函数的______________________．7．全称命题“∀a ∈Z,a 有一个正因数”的否定是________________________． 8．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是______________________． 9．设p ：|5x -1|>4；2210231x x x x ++³-+，则非p 是非q 的______ ___条件．三、解答题10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．11．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 范围．12．给定两个命题,P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4; q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4;q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．圆锥曲线练习题一．选择题1.若椭圆经过原点，且焦点分别为12(1,0),(3,0)F F ，则其离心率为（ ） A.34 B.23 C.12 D.142.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）A.10B.8C.6D.43.若双曲线x 24＋y2k1的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）A.(),0-∞B.()3,0-C.()12,0-D.()60,12-- 4.与y 轴相切且和半圆x 2+y 2=4(0≤x ≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ） A.()()24101y x x =--<≤ B.()()24101y x x =-<≤C.()()24101y x x =+<≤ D.()()22101yx x =--<≤5.过点M(-2,0)的直线L 与椭圆2222x y +=交于12,P P 两点，设线段12P P 的中点为P ，若直线l 的斜率为11(0)k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于（ ）A.2-B.2C.12D.－126.如果方程x 2-p ＋y2q ＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）A.2212xyq pq+=+ B.2212xyq pp+=-+ C.2212xyp qq+=+ D.2212xyp qp+=-+二．填空题7.椭圆x 212＋y 23＝1的焦点分别是12F ,F ，点P 在椭圆上，如果线段1P F 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的 倍．8.椭圆x 245＋y 220＝1的焦点分别是12F ,F ，过原点O 做直线与椭圆交于A ，B 两点，若∆ABF 2的面积是20，则直线AB 的方程是 ．9.与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，并且经过点（2的双曲线方程是10.已知直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支相交于不同的两点，则k 的取值范围是 ．三．解答题11.抛物线y=－12x 2与过点M(0,-1)的直线L 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为１，求直线L 的方程．12.已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．13．21,F F 是椭圆x 29＋y27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=45︒，求∆12AF F 的面积．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题11. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．12. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题13. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．14. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．空间向量练习题一．选择题1．直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a →,CB →=b →,CC 1→=c →,则A 1B →=( )A ．a →+b →-c →B ．a →-b →+c →C ．-a →+b →+c →D ．-a →+b →-c →2．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，下列条件中能确定点M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →=OA →+OB →+OC → C ．OM →=2OA →-OB →-OC →C ．OM →=OA →+12OB →+13→D ．OM →=13OA →+13OB →+13OC →3．若向量m →同时垂直向量a →和b →,向量n →=λa →+μb →(λ,μ∈R, λ,μ≠0)，则（ ）A ．m →∥n →B ．m →⊥n → C.m →与n →不平行也不垂直 D ．以上均有可能 4．以下四个命题中，正确的是( )A ．若OP →=12OA →+13OB →,则P ，A ，B 三点共线B ．若{a →,b →,c →}为空间一个基底，则{a →+b →,b →+c →,c →+a →}构成空间的另一个基底 C ．|(a →⋅b →)c →|=|a →|⋅|b →|⋅|c →|D ．∆ABC 为直角三角形的充要条件是AB →⋅AC →＝05．已知a →=(λ+1,0,2λ),b →=(6,2μ-1,2),a →∥b →,则λ和μ的值分别为( ) A ．15,12B ．5,2C ．-15,-12D ．-5,-2二．填空题6．若a →=(2,-3,1),b →=(2,0,3),c →=(0,2,2),则a →⋅(b →+c →)=________.7．已知G 是∆ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →+OB →+OC →＝λOG →，则λ的值为_______. 8．已知|a →|=1,|b →|=2,<a →,b →>=60︒,则|a →-25(a →+2b →)|=________.三．解答题9．若向量(a →+3b →)⊥(7a →-5b →)，(a →-4b →)⊥(7a →-2b →)，求a →与b →的夹角．10．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试求实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立．11．正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角． 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4．空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x ,1,2)．依题意πcos 422=⇒=．2x =-∴2x =+．2AE =-∴空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x,1,2)．依题意πcos 422=⇒=2x =-∴2x =+．2AE =-∴。
高中数学选修2-1同步习题（答案详解）
（数学选修（数学选修2-12-1）第一章）第一章）第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c f ++<¹”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个 C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +¹” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a Î<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p Ø是q Ø的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ×不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
2．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=¹的两实数根；12:b B x x a +=-,则A 是B 的 条件。
人教a版高中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案
⼈教a版⾼中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～1 全册章节同步检测试题⽬录1.1.1课时同步练习1.2课时同步练习1.3课时同步练习1.4.1、2课时同步练习1.4.3课时同步练习第1章单元过关试卷同步练习2.1.1课时同步练习2.1.2课时同步练习2.2.1课时同步练习2.2.2（第1课时）同步练习2.2.2（第2课时）同步练习2.3.1课时同步练习2.3.2（第1课时）同步练习2.3.2（第2课时）同步练习2.4.1课时同步练习2.4.2（第1课时）同步练习2.4.2（第2课时）同步练习第2章单元过关试卷同步练习3.1.1课时同步练习3.1.2课时同步练习3.1.3课时同步练习3.1.4课时同步练习3.1.5课时同步练习3.2第3课时同步练习3.2第4课时同步练习3.2（第1课时）同步练习3.2（第2课时）同步练习第3章单元过关试卷同步练习模块质量检测A卷同步练习模块质量检测B卷同步练习第1章 1.1.1⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③⼤边所对的⾓⼤于⼩边所对的⾓；④2是⽆理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直⾓相等”的条件和结论分别是“直⾓”和“相等”B．语句“最⾼⽓温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对⾓线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，⽅程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个⾓是直⾓，则这两个⾓相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“⽤边长为3的等边三⾓形与底边为3，腰为2的等腰三⾓形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正⽅形}是{x|x是平⾏四边形}的⼦集吗？④3⼩于2；⑤矩形的对⾓线相等；⑥9的平⽅根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是⾃然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选⼀个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数⼜是增函数；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ⾄多有⼀个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ?2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析：①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确．④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ?2x ＋π2的图象．答案：①②③6．命题“⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此⽅程有两个不相等的实数根假三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题的条件p 和结论q ：(1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果⼀个函数的图象是⼀条直线，那么这个函数为⼀次函数．解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数．(2)条件p ：⼀个函数的图象是⼀条直线，结论q ：这个函数为⼀次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0解析：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1，∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4.∴x ≥4或x ≤－1.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满⾜的条件．⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1ax 2，求a 满⾜的条件．解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，⽅程有解x ＝－1b . 当a ≠0时，⽅程为⼀元⼆次⽅程，有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)∵命题当x 1a x 2为假命题，∴应有当x 1即a x 2－x 1x 1x 2≤0. ∵x 1∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∴a ≤0.第1章 1.2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |?x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ?|x |＝|y |.故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件．答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成⽴的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，⽽tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成⽴的充分不必要条件．故选A. 答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；⽽x 2＋y 2≥4不⼀定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成⽴，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分⼜不必要条件解析：由题意得：故D 是A 的必要不充分条件答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号)(1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件(2)A ∩B ≠?是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形解析： (1)因x >2且y >3?x ＋y >5， x ＋y >5?/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件．(2)因A ∩B ≠??/ A B, A B ?A ∩B ≠?.故A ∩B ≠?是A B 的必要不充分条件．(3)因b 2－4ac <0?/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ， ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ?a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件．(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形．答案： (1)(2)(3)6．设集合A ＝x |x x －1<0，B ＝{x |0x |x x －1<0＝{x |0∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ?q 但q ?/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1. ∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满⾜条件的a 的取值范围为0，12. 8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．证明：充分性：∵0，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．⽽当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴，∴a ＝0或 a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45. 故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ?B ，从⽽有 a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3.或 a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )A ．p 为真命题，p 且q 为假命题B ．p 为假命题，q 为假命题C ．q 为假命题，p 或q 为真命题D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析：∵p 为真命题，q 为假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题；③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：∵綈p ∨綈q 是假命题∴綈(綈p ∨綈q )是真命题即p ∧q 是真命题答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题．若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件．答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是() A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝? ????12x在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－? ????12x在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B和D，q2：p1∧p2是假命题，q3：綈p1是假命题，(綈p1)∨p2是假命题，故q3是假命题，排除A.故选C.答案： C⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．“a≥5且b≥3”的否定是____________；“a≥5或b≤3”的否定是____________．答案：a＜5或b＜3 a＜5且b＞36．在下列命题中：①不等式|x＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A?A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“⾮p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的⼀个解，所以p是真命题，所以⾮p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“⾮p”的形式，其中p：A?A∪B.因为p为真命题，所以“⾮p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8?{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：⽅程x2－x＋1＝0有实根；(2)p ：函数y ＝tan x 是周期函数；(3)p ：??A ；(4)p ：不等式x 2＋3x ＋5<0的解集是?.解析：题号判断p 的真假綈p 的形式判断綈p 的真假 (1)假⽅程x 2－x ＋1＝0⽆实数根真 (2)真函数y ＝tan x 不是周期函数假 (3)真 ? A 假 (4)真不等式x 2＋3x ＋5<0的解集不是? 假尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满⾜x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满⾜ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.⼜a >0，所以a当a ＝1时，1即p 为真命题时实数x 的取值范围是1由 x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2所以q 为真时实数x 的取值范围是2若p ∧q 为真，则 1所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ?綈q 且綈q ?/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以03，即1所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章 1.4.1、2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列命题中的假命题是( )A ．?x ∈R ，lg x ＝0B ．?x ∈R ，tan x ＝1C ．?x ∈R ，x 2>0D ．?x ∈R,2x>0 解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题． C 中当x ＝0时，x 2＝0不⼤于0，是假命题．D 中?x ∈R,2x>0是真命题．答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )．∴f (x )是偶函数⼜∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.答案： A3．下列4个命题： p 1：?x ∈(0，＋∞)，? ????12xx ； p 2：?x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：?x ∈(0，＋∞)，? ????12x >log 12x ； p 4：?x ∈? ????0，13，? ????12xx . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有? ????12x >? ??13x 成⽴．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平⾯直⾓坐标系中作出函数y ＝? ??12x 与函数 y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝? ????12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x 图象的上⽅，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：?x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3或a >2B ．a ≥2C ．a >－2D ．－2即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成⽴，所以有： a ＋2>0，16－4a ＋2a －1≤0 a >－2，a 2＋a －6≥0?a ≥2.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题“有些负数满⾜不等式(1＋x )(1－9x )>0”⽤“?”或“?”可表述为________．答案： ?x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：?x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题； x 2－x ＋1＝? ????x －122＋34>0恒成⽴，∴命题q 为真命题，∴“p 且q ”为真命题．答案：真三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)?x0∈R，使x20＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成⽴，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的⼀个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(?、?)，加在p(x)的前⾯，使其成为⼀个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是⽆理数，则x2是⽆理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表⽰)解析：(1)?x∈R，x>2.(2)?x∈R，x2≥0；?x∈R，x2≥0都是真命题．(3)?x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是⽆理数，则x2是⽆理数．(如42)(5)?a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，⼆次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成⽴，即4m2＋4am＋1≥0恒成⽴．⼜4m2＋4am＋1≥0是⼀个关于m的⼆次不等式，恒成⽴的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章 1.4.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．命题：对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p ：?m 0∈R ，使⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( )A ．?m 0∈R ，使得⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0⽆实根B ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根C ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．⾄多有⼀个实数m ，使得⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根”．故选B.答案： B3．“?x 0?M ，p (x 0)”的否定是( )A ．?x ∈M ，綈p (x )B ．?x ?M ，p (x )C ．?x ?M ，綈p (x )D ．?x ∈M ，p (x )答案： C 4．已知命题p ：?x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧?q ”是假命题；③命题“?p ∨q ”是真命题；④命题“?p ∨?q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1∴p ∧q 为真，p ∧?q 为假，?p ∨q 为真，?p ∨?q 为假．答案： D⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题p ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成⽴，所以命题p是假命题．答案：特称命题假?x∈R，x2＋2x＋5≥0真6．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案：(1)?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3(2)?x∈R，x2＋2x＋5≠0三、解答题(每⼩题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)所有正⽅形都是矩形；(2)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)?θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正⽅形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：?α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：?θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在⼀个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，并说明理由．(2)若存在⼀个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成⽴，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成⽴，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)?a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a·c＝b·c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等⽐数列．。
新人教A版高中数学选修2-1：1.3简单的逻辑联结词--且或非同步练习
p 是“第一次击中飞
机”，命题 q 是“第二次击中飞机”．试用 ∧， ﹁) 表示下列命题：
p， q 以及逻辑联结词“或”“且”“非” ( ∨，
(1) 命题 s：两次都击中飞机；
(2) 命题 r ：两次都没击中飞机；
(3) 命题 t ：恰有一次击中了飞机；
(4) 命题 u：至少有一次击中了飞机．
【答案】 (1) 两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题
)
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
【答案】 C [ ①中使用逻辑联结词“且”； ②中没有使用逻辑联结词； ③中使用逻辑联
结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”．命题①③④使用了逻辑联结词，
共有 3 个，故选
C． ]
2．已知 p： x∈A∩ B，则 ﹁p 是 (
)
A． x∈A 且 x∈/ B
q 为真时， 5－ 2a>1，即 a<2，由 p∨q 为真命题， p∧ q 为假命题知， p 和 q 一真一假，
即 p 真 q 假或 p 假 q 真
－ 2<a<2
a≤－ 2或 a≥２
所以
或
，解得 a≤－ 2.]
a≥２
a<2
5．已知命题 p：关于 x 的方程 x2＋ 2ax＋ 1＝ 0 有两个大于－ 1 的实数根，命题 q：关于 x 的不等式 ax2－ ax＋ 1>0 的解集为 R，若 p∨ q 与 ﹁q 同时为真命题，求实数 a 的取值范围 .
【答案】A [ 依题意，﹁p：“甲没有降落在指定范围”， ﹁ q：“乙没有降落在指定范围”，
因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
( ﹁p) ∨( ﹁ q) ． ]
高中数学(A版)选修2-1 1.3.3逻辑联结词“非”
否定 ≠
≤
例题讲解
例4 写出下列命题的否定,并判断它 们的真假:
(1) p : 3 2 ; ( 2 ) p : 空集是集合 A 的子集 ;
( 3 ) p : 等腰三角形底边上的高 和底边上的中线重合 .
解 : (1) p : 3 2 , ( 2 ) p : 空集不是集合 A 的子集 ;
真 假
和底边的
( 3 ) p : 等腰三角形底边上的高 上中线不重合
假
强调:在数学中,逻辑联结词“且”, “或”,“非”不 定联结命题.有时我们也可以用它们联结一些 “条件”,形成一些新的条件.如:
(1)" x 3" 且 " x 5 " , 它表示的是 ( 2 )" x 0 " 或 " x 5 " , 它表示的是 ( 3 )" x 0 " 的否定 , 它表示的是 :" 3 x 5 ". :" x 0 或 x 5 ". :" x 0 ".
p
读作”非p”或”p的否定”
若p是真命题,则 p 必是假命题;若 p是假命题,则 p 必是真命题.
强调:在命题和它ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ非命题中,有一个且只有 一个是真命题.
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 = > 是 至多有 至少有 任 一个 一个 意 的 不是 不都是 至少有 没有一 某 两个 个 个 都是 所有 的 某些
• (1)35能被5整除;
• (2)35不能被5整除. (2)是(1)的否定
再看以下列: (1)p:平面内垂直于同一直线的二条直线平行, q:平面内垂直于同一直线的二条直线不平行; (2)p: y sin x 是周期函数, q: y sin x 不是周期函数. 其中q都是p的否定
人教A版高中数学选修2-1练习-且或非
[A 基础达标]1.命题“三角形中最多有一个内角是钝角”的否定是( ) A.三角形中有两个内角是钝角 B.三角形中有三个内角是钝角 C.三角形中至少有两个内角是钝角 D.三角形中没有一个内角是钝角解析：选C.三角形有三个内角,“最多有一个内角是钝角”的含义是“有0个或1个内角是钝角”,它的否定是“有2个或3个内角是钝角”,即“至少有两个内角是钝角”,选C.2.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称.下列判断正确的是( ) A.p 为真 B.﹁q 为假 C.p ∧q 为假D.p ∨q 为真解析：选C.由函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π可知命题p 是假命题；由函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称可知命题q 是假命题,所以p ∧q 是假命题,可知应选C.3.设p ,q 是简单命题,则“‘p 且q ’为假”是“‘p 或q ’为假”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.“p 且q ”为假,即p 和q 中至少有一个为假；“p 或q ”为假,即p 和q 都为假.故“‘p 且q ’为假”是“‘p 或q ’为假”的必要不充分条件.4.设a ,b ,c 是非零向量.已知命题p ：若a·b ＝0,b·c ＝0,则a·c ＝0.命题q ：若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.则下列命题中真命题是( )A.p ∨qB.p ∧qC.(﹁p )∧(﹁q )D.p ∨(﹁q )解析：选A.取a ＝c ＝(1,0),b ＝(0,1),显然a·b ＝0,b·c ＝0,但a·c ＝1≠0,所以p 是假命题. a ,b ,c 是非零向量,由a ∥b 知a ＝x b ,由b ∥c ,知b ＝y c ,所以a ＝xy c ,所以a ∥c ,所以q 是真命题.综上,p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题. 又因为﹁p 为真命题,﹁q 为假命题, 所以(﹁p )∧(﹁q ),p ∨(﹁q )都是假命题.5.下列各组命题中,满足“p 或q ”为真,且“非p ”为真的是( ) A.p ：0＝∅；q ：0∈∅B.p ：在△ABC 中,若cos 2A ＝cos 2B ,则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数C.p ：a ＋b ≥2ab (a ,b ∈R )；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞,0)D.p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条解析：选C.A 中,p ,q 均为假命题,故“p 或q ”为假,排除A ；B 中,由在△ABC 中,cos 2A ＝cos 2B ,得1－2sin 2 A ＝1－2sin 2 B ,即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0,所以A ＝B ,故p 为真,从而“非p ”为假,排除B ；C 中,p 为假,从而“非p ”为真,q 为真,从而“p 或q ”为真；D 中,p 为真,故“非p ”为假,排除D.故选C.6.已知命题(﹁p )∨(﹁q )是假命题,则下列结论中： ①命题p ∧q 是真命题； ②命题p ∧q 是假命题； ③命题p ∨q 是真命题； ④命题p ∨q 是假命题. 正确的是________(只填序号).解析：由(﹁p )∨(﹁q )是假命题,知﹁p 与﹁q 均为假命题,所以p ,q 均为真命题.故p ∧q 是真命题,p ∨q 是真命题.答案：①③7.已知命题p ：{2}∈{1,2,3},q ：{2}⊆{1,2,3},则下列结论：①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假.其中所有正确结论的序号是________.解析：因为p ：{2}∈{1,2,3},q ：{2}⊆{1,2,3},所以p 假q 真,故①④⑤⑥正确. 答案：①④⑤⑥8.已知p ：x 2－x ≥6,q ：x ∈Z .若“p ∧q ”“﹁q ”都是假命题,则x 的值组成的集合为________.解析：因为“p ∧q ”为假,“﹁q ”为假,所以q 为真,p 为假.故⎩⎨⎧x 2－x ＜6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z .因此,x 的值可以是－1,0,1,2. 答案：{－1,0,1,2}9.写出由下列命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”形式的命题,并判断其真假. (1)p ：集合中的元素是确定的,q ：集合中的元素是无序的； (2)p ：梯形有一组对边平行,q ：梯形有一组对边相等. 解：(1)p ∧q ：集合中的元素是确定的且是无序的,真命题. p ∨q ：集合中的元素是确定的或是无序的,真命题.﹁p ：集合中的元素不是确定的,假命题.(2)p ∧q ：梯形有一组对边平行且有一组对边相等,假命题. p ∨q ：梯形有一组对边平行或有一组对边相等,真命题. ﹁p ：梯形没有一组对边平行,假命题.10.已知命题p ：1∈{x |x 2<a },命题q ：2∈{x |x 2<a }. (1)若“p 或q ”为真命题,求实数a 的取值范围； (2)若“p 且q ”为真命题,求实数a 的取值范围. 解：若p 为真命题,则1∈{x |x 2<a }, 故12<a ,即a >1；若q 为真命题,则2∈{x |x 2<a }, 故22<a ,即a >4.(1)若“p 或q ”为真命题,则a >1或a >4,即a >1. 故实数a 的取值范围是(1,＋∞).(2)若“p 且q ”为真命题,则a >1且a >4,即a >4. 故实数a 的取值范围是(4,＋∞).[B 能力提升]11.已知命题p ：函数y ＝2|x －1|的图象关于直线x ＝1对称；q ：函数y ＝x ＋1x 在(0,＋∞)上是增函数.由它们组成的新命题“p 且q ”“p 或q ”“﹁p ”中,真命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析：选B.易知命题p 是真命题,y ＝x ＋1x 在(0,1)上递减,在(1,＋∞)上递增,故q 是假命题.因此“p 且q ”假,“p 或q ”真,“﹁p ”假,故选B.12.已知命题p ：y ＝a x (a >0,且a ≠1)是增函数；命题q ：对任意的x ∈[2,4],都有a ≤x 成立,若命题p ∧q 为真命题,则实数a 的取值范围是________.解析：当p 真时,a >1,当q 真时,a ≤2.又因为p ∧q 为真时,p ,q 都为真, 所以实数a 的取值范围是1<a ≤2. 答案：(1,2]13.设命题p ：a ∈{y |y ＝－x 2＋2x ＋8,x ∈R },命题q ：关于x 的方程x 2＋x －a ＝0有实根. (1)若p 为真命题,求a 的取值范围；(2)若“p ∧q ”为假命题,且“p ∨q ”为真命题,求a 的取值范围. 解：(1)由题意得,y ＝－x 2＋2x ＋8＝－（x －1）2＋9∈[0,3],故p 为真命题时,a 的取值范围为[0,3].(2)当q 为真命题时a 的取值范围为a ≥－14,由题意得,p 与q 一真一假,从而当p 真q 假时有⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤3，a <－14，a 无解； 当p 假q 真时有⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a >3，a ≥－14， 所以a >3或－14≤a <0.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－14，0∪(3,＋∞). 14.(选做题)设p ：函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －32x是R 上的减函数.q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在[0,a ]上的值域为[－1,3],若“p ∧q ”为假命题,“p ∨q ”为真命题,求a 的取值范围.解：由0＜a －32＜1得32＜a ＜52.因为g (x )＝(x －2)2－1在[0,a ]上的值域为[－1,3], 所以2≤a ≤4.因为“p ∧q ”为假,“p ∨q ”为真, 所以p ,q 为一真一假.若p 真q 假,得32＜a ＜2；若p 假q 真,得52≤a ≤4.综上可知,a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，2∪⎣⎡⎦⎤52，4.。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：1-2-1“且”与“或”
1.2.1“且”与“或”一、选择题1．下列为假命题的是()A．3是7或9的约数B．两向量平行，其所在直线平行或重合C．菱形的对角线相等且互相垂直D．如果x2＋y2＝0，则x＝0且y＝0[答案] C[解析]菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故对于“且”形式的命题C，其一为假必为假．A、B、D皆真．2．命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是()A．没有使用联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“非”[答案] B[解析]x＝±2是指x＝2或x＝－2.3．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是()A．10或15是5的倍数B．方程2x2－4x－6＝0的两根是3和－1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形[答案] B[解析]由联结词意义知选B.4．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”；其中假命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] A[解析]命题①②③都正确．5．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[答案] B[解析] ∵p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，故选B.6．如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么( )A ．命题p ，q 都是真命题B ．命题p ，q 都是假命题C ．命题p ，q 只有一个是真命题D ．命题，p ，q 至少有一个是真命题[答案] C[解析] “p ∨q ”为真，则至少p 、q 有一真，p ∧q 为假，则至少p 、q 有一假，∴p 、q 一真一假，故选C.7．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( )A ．简单命题B ．“p ∨q ”形式的复合命题C ．“p ∧q ”形式的复合命题D ．“¬p ”形式的复合命题[答案] C[解析] 由定义可知选C.8．(2009·烟台4月考)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ”，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1 [答案] A[解析] ∵x 2－a ≥0在x ∈[1,2]上恒成立，∴a ≤x 2max ，∴p ：a ≤1；由Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴q ：a ≥1或a ≤－2.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2， ∴a ＝1或a ≤－2，故选A.9．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)[答案] C[解析] 点p (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3y ＝－x 2，可验证各选项中，只有C 成立． 10．已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集是R ，命题q ：f (x )＝2－m x在区间(0，＋∞)上是减函数．如果命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,2)C ．[0,2)D ．(－∞，2)[答案] C[解析] 由命题p 可得m <0，由命题q 可得m <2，又由命题“p 或q ”为真，命题“p且q ”为假，得命题p 与q 一真一假，如果命题p 真q 假，则可得⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，m ≥2，此不等式组无解；如果命题p 假q 真，则可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m <2，得0≤m <2.故应选C. 二、填空题11．选用“∧”、“∨”填空，使下列命题成为真命题．(1)x ∈(A ∪B )，则x ∈A ________x ∈B ；(2)x ∈(A ∩B )，则x ∈A ________x ∈B ；[答案] ∨；∧12．命题p ：如果两三角形全等，则这两个三角形相似；q ：如果两三角形相似，则这两三角形全等．在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”中，真命题是________，假命题是______．[答案] p ∨q p ∧q[解析] 由题意知，p 真q 假．13．分别用“p ∨q ”、“p ∧q ”填空：(1)命题“集合A B ”是________的形式；(2)命题“(x －1)2＋4≥2”是________的形式；(3)命题“60是10与12的公倍数”是______的形式．[答案] (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∧q14．若命题p ：a ∈{a ，b }，q ：{a }⊆{a ，b }，则：①p ∨q 为真；②p ∨q 为假；③p ∧q 为真；④p ∧q 为假．以上对复合命题的判断正确的是________(填上所有你认为正确的序号)．[答案] ①③[解析] 因为命题p ：a ∈{a ，b }是真命题，命题q ：{a }⊆{a ，b }是真命题，所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题．三、解答题15．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题．(1)96是48与16的倍数；(2)方程x2＋3x＋2＝0的根是x＝±1；(3)不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2，或x<－1}．[解析](1)这个命题是p且q的形式，其中p：96是48的倍数；q：96是16的倍数．(2)这个命题是p或q的形式，其中p：方程x2＋3x＋2＝0的根是1，q：方程x2＋3x＋2＝0的根是－1；(3)这个命题是p或q的形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}；q：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}．16．分别指出由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”的真假．(1)p：正多边形有一个内切圆；q：正多边形有一个外接圆．(2)p：角平分线上的点到角两边距离不相等；q：线段中垂线上的点到线段两端点距离相等．(3)p：2∈{2,3,4}；q：{矩形}∩{菱形}＝{正方形}．(4)p：正六边形的对角线都相等；q：凡是偶数都是4的倍数．[解析](1)∵p真、q真．∴p或q真；p且q真．(2)∵p假、q真，∴p或q真；p且q假．(3)∵p真、q真，∴p或q真；p且q真．(4)∵p假、q假，∴p或q假；p且q假．17．已知命题p：1∈{x|x2<a}，q：2∈{x|x2<a}(1)当a为何值时，“p或q”为真命题；(2)当a为何值时，“p且q”为真命题．[解析]当a>1时，1∈{x|x2<a}成立，命题p为真；当a≤1时，p为假；当a>4时，2∈{x|x2<a}成立，q为真；当a≤4时，q为假．∴(1)当a>1时，p或q为真；(2)当a>4时，p且q为真．18．命题p：函数g(x)＝lg(x2＋2ax＋4)的值域为R.命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是增函数．若p或q为假，求实数a的取值范围．[解析]∵p或q为假，∴p假q假p为假，则4a2－4×4<0，∴a2<4即－2<a<2；q为假，则5－2a>1，∴a<2，∴－2<a<2.∴实数a的取值范围(－2,2)．。
高中数学人教版选修2-1教师专用同步作业解析(含答案)第一章 1.3 简单的逻辑联接词
1.13[学习目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点一且“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∧q.知识点二或“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∨q.知识点三命题的否定一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”.知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断[思考](1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.题型一p∧q命题及p∨q命题例1分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等.解(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p∧q为假.p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p∨q为真.(2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∨q为真.(3)p∧q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p∨q为真.(4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∨q为真.反思与感悟(1)判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2＋1＝0没有实数根.(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p：李明是男生；q：李明是高一学生.(2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.题型二綈p命题例2写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形. (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 不全为零. (3)若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.反思与感悟 綈p 是对命题p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p 的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p ∧q ”的否定是“綈p ∨綈q ”等.跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p ：y ＝ sin x 是周期函数； (2)p ：3＜2；(3)p ：空集是集合A 的子集； (4)p ：5不是75的约数.解 (1) 綈p ：y ＝ sin x 不是周期函数.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (2) 綈p ：3≥2.命题p 是假命题，綈p 是真命题；(3) 綈p ：空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (4) 綈p ：5是75的约数.命题p 是假命题，綈p 是真命题.题型三 p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的综合应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].反思与感悟 由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围. 解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假， 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6；②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.1.命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则( ) A.p 真q 假 B.p ∧q 为真 C.p ∨q 为假 D.p 假q 真答案 D解析 命题p 假，命题q 真. 2.给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题.3.已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数.则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，为真命题的是() A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.q2，q4答案 C解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题.∴为真命题的是q1，q4.4.已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p∨q”为真C.“p∧q”为真D.“綈p”为真答案 B解析由(x＋2)(x－3)<0得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p真.∵∅≠{0}，∴q为假，∴“p∨q”为真.5.若p是真命题，q是假命题，则()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案 D解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假.p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真.4.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.一、选择题1.已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()A.“p∨q”为假，“綈q”为假B.“p∨q”为真，“綈q”为假C.“p∧q”为假，“綈p”为假D.“p∧q”为真，“p∨q”为假答案 B解析显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故选B.2.已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若p：2∈(A∪B)，则“綈p”是()A.2D∈/AB.2D∈/∁S BC.2D∈/(A∩B)D.2∈(∁S A)∩(∁S B)答案 D解析p：2∈(A∪B)，綈p：2∈∁S(A∪B)，即2∈(∁S A)∩(∁S B).3.“p是真命题”是“p∧q为真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B4.设a，b，c是非零向量.已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)答案 A解析方法一命题p中，取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.命题q中，a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题.综上可知：p∨q是真命题，p∧q是假命题.又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题， ∴(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题. 方法二命题p 中，由于a ，b ，c 都是非零向量，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b .∵b ·c ＝0，∴b ⊥c .如图，则可能a ∥c ，∴a ·c ≠0，∴命题p 是假命题，∴綈p 是真命题.命题q 中，a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反；b ∥c ，则b 与c 方向相同或相反.故a 与c 方向相同或相反，∴a ∥c ，即q 是真命题，则綈q 是假命题，故p ∨q 是真命题，p ∧q ，(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题.5.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A.(綈p )∨(綈q ) B.p ∨(綈q ) C.(綈p )∧(綈q ) D.p ∨q答案 A解析 至少有一位学员没有降落在指定范围意味着甲或乙没有降落在指定范围.6.命题p ：若a >0，b >0，则ab ＝1是a ＋b ≥2的必要不充分条件，命题q ：函数y ＝log 2x －3x ＋2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则( ) A.“p ∨q ”为假 B.“p ∧q ”为真 C.p 真q 假 D.p 假q 真 答案 D解析 由命题p ：a >0，b >0，ab ＝1得a ＋b ≥2ab ＝2，所以p 为假命题； 命题q ：由x －3x ＋2>0得x <－2或x >3，所以q 为真命题.7.已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：∀k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交.则下面结论正确的是( ) A.(綈p )∨q 是真命题 B.p ∧(綈q )是真命题 C.p ∧q 是假命题 D.p ∨q 是假命题 答案 A解析 命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝|0|k 2＋1<1，命题q 是真命题.故(綈p )∨q 是真命题.8.给定命题p ：函数y ＝ln [(1－x )(x ＋1)]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是( ) A.p ∨q 是假命题 B.(綈p )∧q 是假命题 C.p ∧q 是真命题 D.(綈p )∨q 是真命题答案 B解析 p 中，f (－x )＝ln [(1＋x )(1－x )]＝f (x )，又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p 为真；q 中，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e xe x ＋1＝－f (x )，定义域为R ，故函数为奇函数，故q 为假，故(綈p )∧q 为假. 二、填空题9.命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________________，命题的否定为________________. 答案 若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b解析 命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”.10.若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 且q ”“p 或q ”“非p ”中真命题是________. 答案 非p解析 因为命题p ，q 均为假命题，所以“p 或q ”“p 且q ”均为假命题，而“非p ”为真命题.11.已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则有平面α∥平面β.对以上两个命题，下列结论中： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假. 其中，正确的是________(填序号). 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交，命题q 也是假命题，这两个平面α，β也可能相交. 三、解答题12.已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减，q ：曲线y ＝4x 2－4c (x ＋12)＋c 2＋1与x 轴交于不同的两点，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围. 解 方法一 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减， ∴0<c <1.令A ＝{c |0<c <1}.由y ＝4x 2－4c (x ＋12)＋c 2＋1与x 轴交于不同的两点，可得方程4x 2－4cx ＋c 2－2c ＋1＝0所对应的判别式Δ＝16c 2－16(c 2－2c ＋1)>0. 解得c >12，令B ＝{c |c >12}.根据题意，如果p 真，q 假，则0<c ≤12；如果p 假，q 真，则c ≥1， ∴c 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞).方法二 同方法一，问题等价于求集合 [(∁R B )∩A ]∪[(∁R A )∩B ]＝(0，12]∪[1，＋∞).∴c 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞).13.已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ” 是假命题，求实数a 的取值范围. 解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0. 显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a .若命题p 为真，∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴|a |≥1. 若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 的图象与x 轴只有一个交点. ∴Δ＝4a 2－8a ＝0， ∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}.。
(新教材)高中数学苏教版选修2-1全册同步练习(含解析)
课时分层作业(十四)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．以q 为公比的等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“q >1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [等比数列{a n }中，若a 1>0，则a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1；若q >1，则有q 2>1，所以a 1q 2>a 1，即a 1<a 3，所以“a 1<a 3”是“q >1”的必要不充分条件．]2．已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p 綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A.]3．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0，有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1 A [因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇒ 函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇒ 函数y ＝2x 的图象(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合可知a ≤0或a ＞1，根据集合之间的关系{a |a ＜0}{a |a ≤0或a ＞1}，可知选A.]二、填空题4．已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．[解析]α∥β⇒a，b无公共点，反之不成立．故p是q的必要不充分条件．[答案]必要不充分5．给出下列三个命题：①“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件；②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a＞b”是“2a＞2b”的充分不必要条件．其中正确命题的序号为________．[解析]对于①，当a＝0时，f(x)＝x3＋ax2＝x3为奇函数．即“a＝0”⇒“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数．”若f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数，则任意x∈R，都有f(－x)＝(－x)3＋a(－x)2＝－f(x)＝－x3－ax2成立，即2ax2＝0对任意x∈R都必成立，所以a＝0.故“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”⇒“a＝0”．综上所述，可知“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件，是正确的；对于②，因为“α＞β”是“cos α＜cos β”的既不充分又不必要条件，故②错误；对于③，因为指数函数y＝2x是R上的单调增函数，所以“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件，故③错误．[答案]①6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________(填序号)．①b≥0；②b＞0；③b＜0；④b≤0.[解析]∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴根据二次函数＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的的性质得出：－b2≤0，b≥0，∴函数y＝x2充要条件是b≥0，故填①.[答案] ①7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的________条件．[解析] 充分性：“x ≠y ”不一定能推出“cos x ≠cos y ”，如x ＝0，y ＝2π，此时cos x ＝cos y ．必要性：“cos x ≠cos y ”一定能推出“x ≠y ”，所以“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．[解析] 由题意可知p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a .p 是q 的充分不必要条件，所以a ≥2.[答案] [2，＋∞)三、解答题9．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件．[解] 方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，则方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3，一根小于3的充要条件是f (3)<0，即32－3m ＋2m <0，解得m >9.故其中一根大于3，一根小于3的充要条件是(9，＋∞)．10．已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 解不等式x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，解不等式|x －3|<a (a >0)，得－a ＋3<x <a ＋3，设A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A B .故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5，解得a >4.所以实数a 的取值范围是(4，＋∞)．[能力提升练]1．设p：x2－x－20＞0，q：1－x2|x|－2＜0，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[不等式x2－x－20＞0的解集A＝{x|x＜－4或x＞5}，不等式1－x2|x|－2＜0的解集B＝{x|x＞2或x＜－2或－1＜x＜1}，由于A B，所以p⇒q且q p，所以p是q的充分不必要条件．故选A.]2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．[解析]若函数f(x)在[0,1]上是增函数，则根据f(x)是偶函数可知f(x)在[－1,0]上是减函数，结合f(x)的周期为2可知f(x)在[3,4]上是减函数．反过来，若函数f(x)为[3,4]上的减函数，则根据f(x)的周期为2，可知f(x)为[－1,0]上的减函数．因此“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．[答案]充要3．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．[解析]①当k>4，b<5时，一次函数y＝(k－4)x＋b－5的大致图象如图．②若一次函数y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，当x＝0时，y＝b－5<0，∴b<5.当y＝0时，x＝5－bk－4>0.∵b<5，∴k>4.故“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．[答案]充要4．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.[证明]必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0，故a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 课时分层作业(十五)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中为全称命题的是()A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数B[命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]2．下列命题中为存在性命题的是()A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形C[A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为存在性命题．] 3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数D[A中的命题是全称命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]二、填空题4．命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是________．[解析]因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是“∃x＞0，x2＋x≤0”．[答案]∃x＞0，x2＋x≤05．已知命题p：∃x∈N，x2＜4，则非p为________．[解析]因为存在性命题的否定是全称命题，所以非p为∀x∈N，x2≥4.[答案]∀x∈N，x2≥46．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.[答案](－∞，3]7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]由条件知，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1<a<3.[答案](－1,3)8．对下列命题的否定说法错误的是________．①p：能被2整除的数是偶数，非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；④p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0，非p：∀x∈R，x2＋x＋2>0.[解析]根据含有一个量词的命题的否定知③错误．[答案]③三、解答题9．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)p：每一个非负数的平方都是正数；(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；(4)p：有的四边形没有外接圆；(5)p：某些梯形的对角线互相平分．[解](1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．[解]法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax ＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0.整理得a＞－3或a＞－2，即a ＞－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：非p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ＞0无解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3. 故命题p 中，a ＞－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．[能力提升练]1．有四个关于三角函数的命题：p 1：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 3A [∵∀x ∈R ，均有sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，而不是12，故p 1为假命题．当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z)时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．∵cos2x ＝1－2sin 2x ，∴1－cos 2x 2＝1－1＋2sin 2x 2＝sin 2x .又x ∈[0，π]时，sin x ≥0，∴∀x ∈[0，π]，均有1－cos 2x 2＝sin x ，故p 3是真命题．当sin x ＝cos y ，即sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y 时，x ＝2k π＋π2－y 或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y ＝(2k ＋1)π，即x ＋y ＝2k π＋π2或x －y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故p 4为假命题．故选A.] 2．下列命题中，是假命题的是 ( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D [∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，∴f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故A 中的命题为真命题；∵y ＝(ln x )2＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴∀a ＞0，方程(ln x )2＋ln x －a ＝0有解，即函数f (x )有零点，故B 中的命题为真命题；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 中的命题为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 中的命题为假命题．]3．若命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为________．[解析] 命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为“∃x ≥1，x 2＜a ”为真命题，所以a ∈(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)4．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ∶∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 和q ”都是真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.∴a ≤－2或a ≥1.又p 和q 为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， ∴a ≤－2或a ＝1. 课时分层作业(十六)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( )A 一个椭圆B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线ABB [定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上．]2．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当方程表示双曲线时，一定有ab <0，反之，当ab <0时，若c ＝0， 则方程不表示双曲线．]3．已知F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3或5时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线D [依题意得|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，2a ＝6<|F 1F 2|，故点P 的轨迹为双曲线的一支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，故点P 的轨迹为一条射线．故选D.]二、填空题4．已知双曲线的焦点为F 1，F 2，双曲线上一点P 满足|PF 1－PF 2|＝2.若点M 也在双曲线上，且MF 1＝4，则MF 2＝________.[解析] 由双曲线的定义可知，|MF 1－MF 2|＝2.又MF 1＝4，所以|4－MF 2|＝2，解得MF 2＝2或6.[答案] 2或65．已知点A (－1,0)，B (1,0)．曲线C 上任意一点P 满足PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0.则动点P 的轨迹是________．[解析] 由条件可化简为PA ＋PB ＝4，因为4>2＝AB ， 所以曲线C 是椭圆． [答案] 椭圆6．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为______．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)[解析] 由题意P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹为一条抛物线．[答案] 抛物线7．已知平面上定点F 1，F 2及动点M ，命题甲：|MF 1－MF 2|＝2a (a 为常数)，命题乙：点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．[解析] 根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D 乙，只有当0<2a <|F 1F 2|时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．△ABC 的顶点A (0，－4)，B (0,4)，且4(sin B －sin A )＝3sin C ，则顶点C 的轨迹是________．[解析] 运用正弦定理，将4(sin B －sin A )＝3sin C 转化为边的关系，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫b2R －a 2R ＝3×c 2R ，则AC －BC ＝34AB ＝6<AB .显然，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)．[答案] 以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3) 三、解答题9．已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．[解] 方程可变形为(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1，∵(x －1)2＋(y －1)2表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离． 又由(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M 的轨迹是抛物线．10．一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？[解] 由声速为340 m/s ，可知F 1，F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000(m)，且小于F 1F 2＝10 000(m)，因此爆炸点在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，又因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的双曲线一支上．[能力提升练]1．已知点P (x ，y )的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2－(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝±4，则动点P 的轨迹是________．[解析] 方程表示点到(1,1)和(－3，－3)两点的距离差，∵4<(1＋3)2＋(1＋3)2，∴点P 的轨迹是双曲线．[答案] 双曲线2．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________．[解析] 由条件知PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 22 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫202 2＝100.当且仅当PF 1＝PF 2时取得等号．[答案] 1003．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．[解析] 连接FP (图略)，∵M ，F 关于直线CD 对称， ∴PF ＝PM ，∴PF ＋PO ＝OP ＋PM ＝OM (定值)． ∵OM >OF ，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆． [答案] 以F ，O 为焦点的椭圆4．在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且sin B ，sin A ，sin C 成等差数列． (1)顶点A 的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．[解] (1)由sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得AB ＋AC ＝2BC .又因为BC ＝10，所以AB ＋AC ＝20，且20>BC ， 所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)． (2)椭圆的焦点为B ，C ，焦距为10.课时分层作业(十七)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．7C ．5D ．8 D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1.由题意知m －2＞10－m ＞0，即6＜m ＜10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8，满足题意．]2．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．42 A [由椭圆的定义得， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．22B [因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.]二、填空题4．若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是________．[解析] ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m ＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1. [答案] (0,1)5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，点P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)[解析] 不妨设PF 1>PF 2，由条件知PF 1－PF 2＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ＝8，解得PF 1＝5，PF 2＝3.又∵F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴F 1F 22＋PF 22＝PF 21， 故△PF 1F 2是直角三角形． [答案] 直角6．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．[解析] 根据椭圆定义有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，|PF 1|＋|PF 2|＝7，因此|PF 1|＝4，|PF 2|＝3.又因为|F 1F 2|＝5，因此△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12×3×4＝6.[答案] 67．过点(3，－ 5 )且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．[解析] 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x24＝1.[答案] y 220＋x 24＝18．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．[解析] 设椭圆的另一焦点为F 2，由条件可知PF 2∥OM ，∴PF 2⊥x 轴．设P 点纵坐标为y ，则由x 212＋y 23＝1，得y ＝±32，∴点M 的纵坐标为±34. [答案] ±34三、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．[解] 如图所示，PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝2c ， 根据椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ，在Rt △F 1PF 2中，PF 21＋PF 22＝4c 2. 又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝9，即PF 1·PF 2＝18.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4c 2＋36＝4a 2， ∴4a 2－4c 2＝36，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，∴b ＝3.10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围； (2)若椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值． [解] (1)原方程可化为x 22＋y 22k ＝1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k <2，解得k >1.故k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)原方程可化为x 21k 2＋y 28－k＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－8k >0，－8k >1k 2，－8k －1k 2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k <－18，k ＝－1或k ＝－17.故k 的值为－1或－17.[能力提升练]1．以圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程为( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.4x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋4y 29＝1 B [由已知c ＝1，且焦点在x 轴上， 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入求得a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]2．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．[解析] 由题意知椭圆焦点在x 轴上，设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1.[答案] x 216＋y 212＝13．“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件． [解析] 由方程mx 2＋ny 2＝1，得x 21m ＋y 21n＝1，所以要使 方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，m ≠n ，即m >0，n >0且m ≠n .所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分4．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，焦距为6，求实数m 的值．[解] ①当椭圆焦点在x 轴上时， 由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝25，b 2＝m 2， 所以m 2＝25－9＝16. 因为m >0，所以m ＝4.②当椭圆焦点在y 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3. 由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝m 2，b 2＝25， 所以m 2＝25＋9＝34. 因为m >0，所以m ＝34.综上所述，实数m 的值为4或34.课时分层作业(十八)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9B [由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.]2．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 ( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对C[⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝45，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.] 3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 A [由题意，得4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2＜4，则－2＜m ＜2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.]二、填空题4．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．[解析] 由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1. [答案] x 236＋y 29＝15．椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为12，则实数m 的值为________．[解析] 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，且m ＞4，则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－4m ＝14，∴m ＝163； 当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，且0＜m ＜4， 则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－m 4＝14，∴m ＝3. [答案] 3或1636．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线的距离等于b7，则椭圆的离心率为________． [解析] 由题意知直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.左焦点为F (－c,0)，则|－cb ＋ab |a 2＋b 2＝b 7. ∴7(a －c )＝a 2＋b 2，∴7(a －c )2＝a 2＋b 2＝a 2＋a 2－c 2＝2a 2－c 2，即5a 2－14ac ＋8c 2＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54.又∵0<e <1，∴e ＝12.[答案]127．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至 1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．[解析] 可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750. 又a ＋c ＝1 700＋1 800，∴c ＝750. ∴e ＝c a ＝7502 750＝311.[答案]3118．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A ，B 两点，则弦长AB ＝________.[解析] 椭圆左焦点为(－2，0)， ∴直线方程为y ＝33(x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋2)，x 2＋2y 2＝4得5x 2＋42x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－425，x 1x 2＝－85，∴弦长AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4252－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＝165. [答案] 165三、解答题9．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．[解] 令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a . 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.[解] (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0， 解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423. [能力提升练]1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32B ．26C ．27D ．42C [设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n >0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋3y ＋4＝0，消去x ，得(3m ＋n )y 2＋83m m y ＋16m －1＝0，Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n )＝0，整理得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m ＝16 ①.又由焦点F 1(－2,0)，F 2(2,0)在x 轴上，得1m －1n ＝4②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝13，故椭圆的方程为x 27＋y 23＝1，所以长轴长为27.故选C.]2．若A 为椭圆x 2＋4y 2＝4的右顶点，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．[解析] 由题意得，该三角形的两直角边关于x 轴对称，且其中一边在过点A (2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为y ＝x －2，代入x 2＋4y 2＝4，得5x 2－16x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝65.把x ＝65代入椭圆方程，得y ＝±45，所以三角形的面积S ＝12×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－65＝1625.[答案]16253．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是________．[解析] 因为13 <k <12，所以点B 在第一象限．由题意可知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .因为点A 的坐标为(－a ，0)， 所以k ＝b 2a －0c ＋a，所以13<b 2a －0c ＋a <12.又因为b 2＝a 2－c 2，所以b 2a －0c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2a 2＋ac＝a －c a ＝1－e ，所以13 <1－e <12，解得12<e <23，故椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，234.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点Q 在椭圆C 上，且∠F 1QF 2＝π3，求QF 1·QF 2的值；(3)设直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．[解] (1)∵椭圆过点P (3,1)， ∴9a 2＋1b2＝1. 又S △PF 1F 2＝12×2c ×1＝22，解得c ＝2 2.又a 2＝b 2＋c 2解得a 2＝12，b 2＝4，∴椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)当∠F 1QF 2＝π3时，有⎩⎨⎧QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－2QF 1·QF 2cos π3＝(2c )2＝32，∴QF 1·QF 2＝163.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0，故x 1＋x 2＝－3k2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124.∵以AB 为直径的圆经过坐标原点，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6， 此时Δ＝120＞0，满足条件，因此k ＝± 6.课时分层作业(十九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．双曲线x 2a ＋y 2a －1＝1的焦距为( )A ．1B ．2C ．22a －1D ．21－2aB [∵a (a －1)＜0，∴0＜a ＜1，方程化为标准方程为x 2a －y 21－a＝1，∴c 2＝a ＋1－a ＝1，∴焦距2c ＝2.]2．若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是 ( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6 C [由题意知c ＝4＋12＝4，设双曲线的左焦点为F 1(－4,0)，右焦点为F 2(4,0)，且|PF 2|＝8.当P 点在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝4，解得|PF 1|＝12；当P 点在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝4，解得|PF 1|＝4，所以|PF 1|＝4或12，即P 到它的左焦点的距离为4或12.]3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48 C [由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.]二、填空题4．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P (－3,2)的双曲线的标准方程是________．[解析] 由题意，焦点在y 轴上，且c ＝2，可设双曲线方程为y 2m －x 24－m ＝1(0<m <4)，将P (－3,2)代入，解得m ＝1.因此所求双曲线标准方程为y 2－x 23＝1. [答案]y 2－x 23＝1 5．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．[解析] 不妨设P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝PF 21＋PF 22，又因为|PF 1－PF 2|＝2，所以(PF 1－PF 2)2＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2 3.[答案] 236．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．[解析] 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5代入双曲线可得|y M |＝163，即双曲线上一点M 到右焦点的距离为163，故利用双曲线的定义可求得点M 到左焦点的距离为2a ＋|y M |＝6＋163＝343. [答案]3437．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.[解析] 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|.由双曲线方程知a 2＝16，b 2＝25， ∴c 2＝a 2＋b 2＝16＋25＝41， 又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.[答案] －18．若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3.∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0,3)，且a ＝3,2c ＝18， ∴b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822－32＝72，∴双曲线方程为y 29－x 272＝1.[答案] y 29－x 272＝1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时， 设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b 2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.10．已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[能力提升练]1．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为 ( )A.x 25－y 2＝1 B.y 25－x 2＝1 C.x 225－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 A [依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，故双曲线标准方程为x 25－y 2＝1.]2．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________________________________________．[解析] 对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13， 又离心率e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5.由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1共焦点， ∴c 2＝5.又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 22－a 22＝3，又焦点在x 轴上，故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.[答案] x 216－y 29＝13．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．[解析] 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2. 根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义，有PF 1－PF 2＝±2a . 两边平方并代入PF 1·PF 2＝2，得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1.故双曲线的标准方程是x24－y2＝1.[答案]x24－y2＝14．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB 送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．[解]矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)，所以界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为a ＝25,2c ＝|AB | ＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507，所以c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3 750， 故双曲线的标准方程为x 2625－y 23 750＝1.注意到点C 的坐标为(257，60)，故y 的最大值为60，此时x ＝35，故界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35，y >0)．课时分层作业(二十)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5 B ．5 C.2 D ．2 A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.] 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 A [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，∴a ＝2，又∵e ＝ca ＝5，∴c ＝25，∴b ＝c 2－a 2＝20－4＝4.则双曲线的标准方程x 24－y 216＝1.]3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为 ( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0A [由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2， ∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0，∴x ±2y ＝0.] 二、填空题4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．[解析] 由2a ＋2c ＝4b ，得a ＋c ＝2b ＝2c 2－a 2，即a 2＋2ac ＋c 2＝4c 2－4a 2，得5a 2＋2ac －3c 2＝0，(5a －3c )·(a ＋c )＝0，即5a ＝3c ，e ＝c a ＝53.[答案] 535．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．[解析] 双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，则双曲线的标准方程是x 29－y 216＝1.[答案] x 29－y 216＝16．当双曲线C ：x 2m 2－y 22m ＋4＝1(－2＜m ＜0)的焦距取得最小值时，双曲线C 的渐近线方程为________．[解析] 由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋4＝(m ＋1)2＋3， ∴当m ＝－1时，焦距2c 取得最小值， 此时双曲线C 的标准方程为x 2－y 22＝1。
人教B版高中数学选修2-1创新设计练习1.2.1“且”与“或”(含答案详析)
1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与”“或”双基达标(限时20分钟)1．命题：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是()．A．使用了逻辑联结词“且”B．使用了逻辑联结词“或”C．没有使用逻辑联结词D．以上选项均不正确解析“x＝±1”可以写成“x＝1或x＝－1”，故选B.答案 B2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()．A．“p或q”为假B．“p或q”为真C．“p且q”为真，“p或q”为假D．以上均不对解析显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.答案 B3．已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}．由他们构成的新命题“p∧q”，“p∨q”，真命题有()．A．1个B．2个C．3个D．0个解析容易判断命题p：∅⊆{0}是真命题，命题q：{1}∈{1，2}是假命题，所以p∧q是假命题．p∨q真命题，故选A.4．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________．解析方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．答案方向相同或相反的两个向量共线5．若命题p∨q为假命题，则命题“p∧q”是______命题(用“真”、“假”填空)．解析命题p∨q为假，其否定为“p∧q”，是假命题．答案假6．分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题：(1)p：π是无理数，q：e是有理数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任一个内角．解(1)“p∧q”：π是无理数且e是有理数．“p∨q”：π是无理数或e是有理数．(2)“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任一个内角．“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任一个内角．综合提高（限时25分钟）7．下列命题：①5＞4，或4＞5；②9≥3；③命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”，其中假命题的个数为()．A．0个B．1个C．2个D．3个8．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )．A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1) 解析 点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中，只有C 正确．答案 C9．分别用“p ∨q ”、“p ∧q ”填空：(1)命题“集合A B ”是________的形式；(2)命题“（x －1）2＋4≥2”是________的形式；(3)命题“60是10与12的公倍数”是________的形式．答案 (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∧q10．对于函数①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝(x －2)2；③f (x )＝cos(x －2)．有命题p ：f (x＋2)是偶函数；命题q ：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，能使p ∧q 为真命题的所有函数的序号是______．解析 对于①，f (x ＋2)＝|x ＋4|不是偶函数，故p 为假命题．对于②，f (x ＋2)＝x 2是偶函数，则p 为真命题：f (x )＝(x －2)2在(－∞，2)上是减函数，在(2， ＋∞)上是增函数，则q 为真命题，故p ∧q 为真命题．对于③，f (x )＝cos(x －2)显然不是(2，＋∞)上的增函数，故q 为假命题．故填②.答案 ②11．已知命题p ：1∈{x |x 2<a }，命题q ：2∈{x |x 2<a }．(1)若“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 若p 为真，则1∈{x |x 2<a }，所以12<a ，即a >1；若q 为真，则2∈{x |x 2<a }，(1)若“p 或q ”为真，则a >1或a >4，即a >1.故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p 且q ”为真，则a >1且a >4，即a >4.故实数a 的取值范围是(4，＋∞)．12．(创新拓展)已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1，1]恒成立；命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解．若p ∧q 是假命题，p 是真命题．求实数a 的取值范围． 解 ∵p ∧q 是假命题，p 是真命题，命题q 是假命题．∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－2.∴|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝m 2＋8，∴当m ∈[－1，1]时，|x 1－x 2|max ＝3.由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1，1]恒成立，可得 a 2－5a －3≥3.∴a ≥6或a ≤－1，∴当命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，①当a >0时，显然有解；②当a ＝0时，2x －1>0有解；③当a <0时，∵ax 2＋2x －1>0，∴Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0.从而命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解时，a >－1.又命题q 是假命题，∴a ≤－1.综上所述：⎩⎨⎧a ≥6或a ≤－1，a ≤－1⇒a ≤－1. 所以所求a 的取值范围为(－∞，－1]．。
高中数学选修2-1 各章节同步练习及答案解析
第一章 1.1第1课时一、选择题1．下列语句中命题的个数为()①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．2．若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数()A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关[答案]B[解析]当a>1时，指数函数f(x)＝a x是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数”是真命题．3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α[答案]D[解析]验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n⊄α.4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案]B[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是()A. a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[答案]B[解析]A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D 选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c)6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形[答案]C[解析]该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．二、填空题7．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是__________________(写出所有真命题的编号)．[答案]②④[解析]②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．8．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是__________________．[答案]0[解析]∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．(1)末位是0的整数能被5整除；(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；(3)余弦函数是周期函数吗？(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．[解析](1)是命题，真命题．(2)是命题，真命题．(3)、(4)不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)对角线相等的四棱柱是长方体；(2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．[解析](1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．(3)可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思[答案]A[解析]“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.2．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β；③如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c ⊂α，∴c 与β无公共点，∴c ∥β，故②正确；由c ∥γ，c ⊂β，β∩γ＝m 得c ∥m ，同理可得c ∥n ，∴m ∥n ，故③正确．3．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题； 当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．4．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定向量b 和正数μ，总存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e 与b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使a ＝λb ＋y e ，若y >0，则取μ＝y ，c ＝e ，若y <0，则取μ＝－y ，c ＝－e ，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．二、填空题5．给出下列四个命题：①若a >b >0，则1a >1b； ②若a >b >0，则a －1a >b －1b； ③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >a b； ④若a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为9. 其中正确命题的序号是__________________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ②④[解析] ①在a >b >0两端同乘以1ab 可得1b >1a，故①错； ②由于⎝⎛⎭⎫a －1a －⎝⎛⎭⎫b －1b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0， 故②正确；③由于2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b <0，即2a ＋b a ＋2b <a b， 故③错；④由2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2a b，即a ＝b ＝13时取得等号，故④正确． 6．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是__________________．[答案] ①④[解析] 由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才可能在x ＝a 时，f (x )取最小值b －a 2，所以③错误，④正确．三、解答题7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)方程x 2－2x －3＝0的解为x ＝3或x ＝－1.[解析] (1)若ac >bc ，则a >b .(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． (3)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0.解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4， 所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．第一章 1.1 第2课时一、选择题1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] 原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.2．“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为( )A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠1[答案]C[解析]“若p则q”的否命题形式为“若¬p则¬q”．3．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[答案]B[解析]命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．4．“a2＋b2≠0”的含义是()A．a、b不全为0B．a、b全不为0C．a、b至少有一个为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0[答案]A[解析]若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0，或a＝0且b≠0，或a≠0且b＝0，即a、b不全为0，故选A.5．原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是()A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题[答案]C[解析]否命题是“非圆内接四边形不是等腰梯形”，为真命题．6．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案]D[解析]命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.二、填空题7．(2015·福建八县一中高二期末测试)命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为__________________．[答案]假[解析]原命题的否命题是“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．8．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为__________________．[答案]若a∉B，则a∉A[解析]一个命题的逆否命题是结论的否定作条件，条件的否定作结论，故原命题的逆否命题为“若a∉B，则a∉A”．三、解答题9．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．10．判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[解析]逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
最新人教A版高中数学选修2-1第3章3.1.3同步练习习题(含解析)
高中数学人教A版选2-1 同步练习1.设a、b、c是任意地非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确地有( )A．①② B．②③C．③④D．②④解析：选 D.根据数量积地定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选 D.2.在如图所示地正方体中，下列各对向量地夹角为135°地是( )A.AB →与A ′C ′→B.AB →与C ′A ′→C.AB →与A ′D ′→D.AB →与B ′A ′→解析：选 B.〈AB →，A ′C ′→〉＝〈AB →，AC →〉＝45°；〈AB →，C ′A ′→〉＝180°－〈AB →，AC →〉＝135°；〈AB →，A ′D ′→〉＝〈AB →，AD →〉＝90°；〈AB →，B ′A ′→〉＝180°.3.已知i 、j 、k 是两两垂直地单位向量，a ＝2i －j＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a ·b 等于________．解析：a ·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 答案：－24.在棱长为1地正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AD ′→·BC ′→＝__________．解析：由正方体知BC ′∥AD ′，∴〈AD ′→，BC ′→〉＝0，又|AD ′→|＝|BC ′→|＝2，所以AD ′→·BC ′→＝2·2·1＝2. 答案：2[A 级基础达标]1.若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R，且λμ≠0)，则( )A．m∥n B．m⊥nC．m，n既不平行也不垂直D．以上三种情况都可能解析：选 B.因为m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n.2.已知向量a、b是平面α内地两个不相等地非零向量，非零向量c是直线l地一个方向向量，则c·a ＝0且c·b＝0是l⊥α地( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c ·b ＝0，不能够推出l ⊥α；l ⊥α一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0，故选B.3.已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于()A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：选 C.∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →，∴PC →2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2 AB →·BC→＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144. ∴PC ＝12.4.已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，且m⊥n ，则实数λ等于__________．解析：∵m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos135°＋32×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∴m ·n ＝0＝6＋4λ，∴λ＝－32.答案：－325.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1地棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝__________．解析：连接向量A 1D →.A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →〉＝2a ×2a ×cos 60°＝a 2.答案：a26.如图所示，已知四面体ABCD 地每条棱地长都等于1，点E ，F 分别是棱AB ，AD 地中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →.解：(1)EF →·BA →＝12|BD →||BA →|·cos 〈BD →，BA →〉＝12cos π3＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD→＝12. (3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|·cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 2π3＝－14. [B 级能力提升]7.已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成地角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C.AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1，又|AB→|＝2，|CD →|＝1.∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB ，→·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12.∴a 与b 所成地角是60°.8.设A 、B 、C 、D 是空间不共面地四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：选 B.BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB→·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉＝BC ，→·BD →|BC →|·|BD →|>0.∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．9.空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉地值为__________．解析：cos 〈OA →，BC →〉＝OA ，→·BC→|OA →||BC →|＝OA ，→·（OC→－OB →）|OA →||BC →|＝|OA ，→||OC →|cos π3－|OA →||OB →|cosπ3|OA →||BC →|＝0. 答案：010.直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′地中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角地余弦值．解：(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，又|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角地余弦值为1010. 11.(创新题)如图所示，已知空间四边形ABCD 地各边和对角线地长都等于a ，点M、N 分别是AB 、CD 地中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求MN 地长．解：(1)证明：连接AN (图略)．设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB→＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD .(2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )．∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14a 2＋a 2＋a 2＋2a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a22.∴|MN →|＝22a ，∴MN 地长为22a .。
人教A版选修2-1第一章第5课时同步练习§1.3简单的逻辑联结词
§1.3简单的逻辑联结词一、选择题1、命题“p ”或“非p ”( )A 、可能都是真命题B 、可能都是假命题C 、一真一假D 、只有p 是真命题2、“a+b>2c ”的一个充分不必要条件是（ ）A 、a>c 或b>cB 、a>c 且b<cC 、a>c 且b>cD 、a>c 或b<c3、用反证法证明命题“如果a>b,那么33b a >”时，假设的内容应是（ ） A 、33b a =B 、33b a <C 、且33b a =33b a < D 、或33b a =33b a < 4、如果原命题的结论是“p 且q ”形式，那么否命题的结论形式是（ ）A 、q p ⌝⌝且B 、q p ⌝⌝或C 、q p 或⌝D 、p q 或⌝5、如果原命题的结论是“p 或q ”形式，那么否命题的结论形式是（ ）A 、q p ⌝⌝或B 、q p 或⌝C 、p q 或⌝D 、q p ⌝⌝且6、|x|+|y|0≠等价于（ ）A 、x=0且y=0B 、x=0或y=0C 、00≠≠y x 且D 、00≠≠y x 或7、命题“存在实数x,使|x+1|4,02<≤x 且”是（ ）A 、“p 或q ”的形式B 、“非p ”的形式C 、真命题D 、假命题8、的是且""""B A x B x A x ⋂∉∉∉（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件9、若命题p:0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真的是（ ）A 、q p ∧B 、q p ∨C 、p ⌝D 、q p ⌝∧⌝10、如果命题“非p 或非q ”是假命题，则在下列各结论中正确的是（ ）（1）命题“q p ∧”是真命题； （2）命题“q p ∧”是假命题；（3）命题“q p ∨”是真命题； （4）命题“q p ∨”是假命题；A 、（1）（3）B 、（2）（4）C 、（2）（3）D 、（1）（4）11、设A 、B 是全集U 的子集，命题p 为“3B A ⋂∈”，则命题“非p ”为（ ）：A 、)()(3BC A C U U ⋃∈ B 、 )()(3B C A C U U ⋂∈C 、B A ⋃∈3D 、B A ⋃∉312、设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是（ ）A 、p 、q 中至少有一个为真B 、p 、q 中至少有一个为假C 、p 、q 中只有一个为真D 、p 为真，q 为假13、由下列各组命题构成“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是（ ）A 、p ：3为偶数；q ：4是奇数B 、p ：3+2=6；q ：5＞3C 、{}b a a p ,:∈；q ：{a}≠⊂ {a,b}D 、Q ≠⊂R ；N=N14、下列命题：（1）5>4或4>5；（2）9≥3；（3）命题“若a>b,则a+c>b+c ”；（4）命题“菱形的两条对角线互相垂直”，其中，假命题的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、315、若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有（ ）A 、p 真q 真B 、p 假q 假C 、p 真q 假D 、p 假q 真二、填空题16、由命题p:6是12的约数，q: 6是24的约数,构成“p 或q ”的形式的命题是 ；“p 且q ”的形式的命题是 ；“非p ”的形式的命题是 ；17、若把命题""B A ⊆看成一个复合命题，那么复合命题的形式是 ，其中构成它的两个简单命题是 、 。
高中数学 选修2-1 北师大版 逻辑联结词“且”“或”“非” 作业(含答案)
1．从集合的角度理解“且”“或”“非”设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p且q⇔x∈A且x∈B⇔x∈A∩B；p或q⇔x∈A或x∈B⇔x∈A∪B；綈p⇔x∉A⇔x∈∁U A.2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断当p、q都为真，p且q才为真；当p、q有一个为真，p或q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．3．含有逻辑联结词的命题的否定“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)”．——————————————————————————————————————————————————————————————————————————[A级基础夯实]1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是()A．“p或q”为真，“綈q”为假B．“p且q”为假，“綈p”为真C．“p且q”为假，“綈p”为假D．“p或q”为真，“綈p”为真解析：因为p假，q真，所以“p且q”为假，“綈p”为真，“p或q”为真，綈q为假．答案：C2．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：a∈(A∪B)，则命题“綈p”是() A．綈p：a∈AB．綈p：a∈∁U BC．綈p：a∉(A∩B)D．綈p：a∈(∁U A)∩(∁U B)解析：复合命题“p或q”的否定为“綈p且綈q”，所以綈p：a∉(A∪B)⇔a∈(∁U A)∩(∁U B)．答案：D3．若p是真命题，q是假命题，则()A．p且q是真命题B．p或q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题解析：根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．答案：D4．“p且q为真命题”是“p或q为真命题”的________条件．解析：p且q为真⇔p真，q也真⇒“p或q”为真，反过来不能推出．答案：充分不必要5．设命题p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若“p且q”为真命题，则x＝________，y＝________.解析：由“p且q”为真命题得{2x＋y＝3 x－y＝6，∴{x＝3 y＝－3.答案：3－36．指出下列命题的构成形式并判断其真假．(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；(2)命题：“－1是偶数或奇数”；(3)命题：“2属于集合Q，也属于集合R”；(4)命题：“A (A∪B)”．解析：(1)此命题为“綈p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该不等式的一个解，所以p是真命题，即綈p为假命题，故原命题为假命题．(2)此命题为“p或q”的形式，其中p：“－1是偶数”，q：“－1是奇数”．因为p 为假命题，q为真命题，所以“p或q”为真命题，故原命题为真命题．(3)此命题为“p且q”的形式，其中p：2属于Q，q：2属于R.因为p为假命题，q 为真命题，所以p且q为假命题，故原命题为假命题．(4)此命题为“綈p”的形式，其中p：A⊆(A∪B)，因为p为真命题，所以“綈p”为假命题，故原命题为假命题．[B级能力提升]7．已知p：∅ {0}，q：{2}{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p 且q”，“p或q”中，真命题有()A．1个B．2个C ．3个D ．4个解析：∵p 真，q 假，∴綈p 假，綈q 真，p 或q 真，p 且q 假．答案：B8．下列有关命题的叙述错误的是( )A ．对于命题p ：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0B ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”C ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件解析：选项A ，要注意否命题和命题的否定的区别，否命题是对原命题的条件和结论都进行否定，命题的否定是只否定原命题的结论．故A 正确；互为逆否关系的命题的条件、结论相反且条件、结论都否定，可用此结论判定选项B 正确；“且”命题的真假性满足“一假俱假”，故C 选项中的命题p 和命题q 至少有一个是假命题，所以选项C 错误；不等式x 2－3x ＋2>0的解集是x >2或x <1，故x >2一定能够得到不等式成立，但是，反之不一定成立，符合充分不必要条件的定义，故D 正确．答案：C9．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)若2x >4，则x >2；(2)若m ≥0，则x 2＋x －m ＝0有实数根；(3)可以被5整除的整数，末位是0；(4)被8整除的数能被4整除；(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．解析：(1)若2x >4，则x ≤2，假命题．(2)若m ≥0，则x 2＋x －m ＝0无实数根，假命题．(3)存在一个可以被5整除的整数，末位不是0，真命题．(4)存在一个数能被8整除，但不能被4整除，假命题．(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边不全相等，假命题．10．命题甲：a ∈R ，关于x 的方程|x |＝ax ＋1(a >0)有两个非零实数解，命题乙：a ∈R ，关于x 的不等式(a 2－1)x 2＋(a －1)x －2>0的解集为空集，当甲、乙有且仅有一个为真命题时，求实数a 的取值范围．解析：当甲为真时，设y ＝|x |和y ＝ax ＋1(a >0)，若两函数图像有两个交点，则0<a <1；当乙为真时，a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0Δ≤0，则－79≤a ≤1， ∴当甲、乙中有且仅有一个命题为真命题时，。
高中北师大版数学选修2-1学案：1.4 逻辑联结词“且”“或”“非” 含答案
§4逻辑联结词“且”“或”“非”知识点一逻辑联结词“且”的理解[填一填]用“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”，当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是真命题；在两个命题p 和q之中，只要有一个命题是假命题，新命题“p且q”就是假命题．[答一答]如图：串联电路中，怎样才能使灯泡发光？提示：闭合任一个开关p(或q)，灯泡均不会发光；当两个开关同时闭合时，灯泡才会发光．知识点二逻辑联结词“或”的理解[填一填]用“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”，在两个命题p和q之中，只要有一个命题是真命题时，新命题“p或q”就是真命题，当两个命题p和q都是假命题时，新命题“p或q”是假命题．[答一答]如图，并联电路中，怎样才能使灯泡发光？提示：只闭合一个开关p(或q)，灯泡就会发光；两个开关均闭合，灯泡也会发光；两个开关都断开时，灯泡不会发光．知识点三逻辑联结词“非”的理解[填一填]若命题q是对命题p的否定，我们就称命题q是命题p的非命题，记作綈p，读作“非p”．在命题和它的非命题中，有且只有一个是真命题，也就是说一真一假．[答一答]比一比：命题的非命题和否命题的联系与区别．提示：否命题是对原命题的条件和结论都作否定，否命题与原命题可同真也可同假，也可一真一假，而非命题是对命题的结论作否定，原命题和它的非命题必须一真一假．1．关于逻辑联结词“且”的几个注意点：(1)对于“p且q”形式的命题，它的真假情况可用口诀“一假必假”来记忆．(2)对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念．A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”，它是指“x∈A”“x∈B”都要满足的意思，即x既属于集合A又属于集合B.由“且”联结两个命题p，q构成的新命题“p且q”，当且仅当“p真q真”时，“p且q”为真．2．关于逻辑联结词“或”的几个注意点：(1)对于“p或q”形式的命题，它的真假情况可用口诀“一真必真”来记忆．(2)对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的概念．A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”，它是指x∈A，或x∈B中至少有一个是成立的，既可以是x∈A，且x∉B；也可以是x∈B，且x∉A；还可以是x∈A，且x∈B.逻辑联结词“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活中的“或”的含义，生活中的“或”的含义表示“不兼有”，而在数学中“或”的含义则表示“可兼有但不必须兼有”．(3)“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者．日常生活中有时采用这一解释．例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能．二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两个．3．关于逻辑联结词“非”的几个注意点：(1)对于“非p”形式的命题，它的真假情况可用口诀“真假相对”来记忆．(2)对“非”的理解，可联想到集合中“补集”的概念．“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个新命题“非p”．当p为真时，则“非p”为假，当p为假时，则“非p”为真．(3)对于用逻辑联结词“且”“或”“非”联结的新命题的结构特点，不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题．例如：5≥3 的意思是5>3 或5＝3.类型一命题的构成形式【例1】分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的命题．(1)p：6 是自然数；q：6 是偶数．(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．(3)p：3 是9 的约数；q：3 是18 的约数．【思路探究】先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．【解】(1)p或q：6 是自然数或是偶数．p且q：6 是自然数且是偶数．綈p：6 不是自然数．(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．綈p：菱形的对角线不相等．(3)p或q：3 是9 的约数或是18 的约数．p且q：3 是9 的约数且是18 的约数．綈p：3 不是9 的约数．规律方法用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．判断下列命题的构成形式，若含有逻辑联结词“且”“或”“非”，请指出其中的p，q.(1)12 能被3 或4 整除．(2)2 是4 和6 的约数；(3)x＝1 不是不等式x2－5x＋6>0 的解．解：(1)是“p或q”形式的命题，其中p：12 能被3 整除；q：12能被4 整除．(2)是“p且q”形式的命题，其中p：2 是4 的约数；q：2 是6 的约数．(3)是“綈p”形式的命题，其中p：x＝1 是不等式x2－5x＋6>0 的解．类型二判断含逻辑联结词的命题的真假【例2】指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假．(1)p：3 是13 的约数，q：3 是方程x2－4x＋3＝0 的解；(2)p：x2＋1≥1，q：3>4；(3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等；(4)p：1∈{1,2}，q：{1}{1,2}．【思路探究】要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据p，q的真假判断命题的真假．【解】(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真；(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假；(3)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真；(4)因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．规律方法判断含逻辑联结词的命题真假的步骤：(1)确定命题的形式；(2)判断构成该命题的两个命题的真假；(3)根据“p或q”“p且q”“綈p”的真假性与命题p，q的真假性的关系作出判断．分别指出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题的真假．(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：1 是奇数，q：1 是质数；(3)p：5≤5，q：27 不是质数；(4)p：不等式x2＋2x－8<0 的解集是{x|－4<x<2}，q：不等式x2＋2x－8<0 的解集是{x|x<－4 或x>2}．解：(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真．(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．(3)因为p为5<5 或5＝5，而5＝5 为真，故p为真，又q也为真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．(4)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．类型三利用含逻辑联结词的真假求参数的取值范围【例3】设命题p：函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，命3题q：关于x的方程x2＋2x＋log a＝0 的解集只有一个子集．若“p或2q”为真，“非p或非q”也为真，求实数a的取值范围．【思路探究】由“p或q”为真，“綈p或綈q”也为真可知p、q中有一真一假，分别求满足p真q假或p假q真时a的范围．【解】当命题p是真命题时，应有a>1；当命题q是真命题时，3 3关于x的方程x2＋2x＋log a＝0 无解，所以Δ＝4－4log a<0，解得1<a<2 23.由于“p或q”为真，所以p和q中至少有一个为真，又“綈p或綈2q”也为真，所以綈p和綈q中至少有一个为真，即p和q中至少有一个为假，故p和q中一真一假．p假q真时，a无解；p真q假时，a≥Earlybird晨鸟教育3综上所述，实数a的取值范围是a≥.2规律方法由真值表可判断p或q、p且q、非p命题的真假，反之，由p或q、p且q、非p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．1 已知c>0，设命题p：函数y＝c x为减函数，命题q：当x∈[ ，2]21 1时，函数f(x)＝x＋> 恒成立，如果“p或q”为真命题，“p且q”为x c假命题，求c的取值范围．解：因为c>0，函数y＝c x为减函数，故命题p为真命题时，0<c<1.由当x∈[1，2]时，函数f(x)＝x＋> 恒成立，得f(x)min> .因为f(x)1 1 12 x c c＝x＋1≥2，当且仅当x＝1 时，“＝”成立．所以1<2，故c>1.所以命x c2题q为真命题时c>1.由于“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，2所以命题p，q中一真一假．若p真q假，则0<c≤1；若p假q真，2则c≥1.故c的取值范围是(0，1]∪[1，＋∞).2Earlybird——数学思想——分类与整合思想的应用分类与整合思想在高考中占有比较重要的地位，通常以解答题为主，要求考生懂得为什么要分类，如何分类，如何整合，为解决这些问题，考生必须有严谨、周密的逻辑思维能力和一定的分析问题、解决问题的能力．特别要注意引起分类的原因，我们知道，有些概念就是通过分类定义的，如绝对值的概念，整数分为奇数和偶数等．有些公式和运算法则是分类给出的，例如等比数列的求前n项和公式就分为q＝1 和q≠1 两种情况，对指数函数和对数函数就分为底数a>1 和0<a<1 两种情况．此外，很多图形的变化也会引起分类等．根据含有逻辑联结词命题的真假性判断求参数的取值范围问题，常常要运用分类与整合的思想．【例4】已知p：方程x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．【解】若方程x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负根，则Error!解得m>2，即p：m>2.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，解得1<m<3，即q：1<m<3.因“p或q”为真，所以p、q至少有一个为真，又“p且q”为假，所以p、q至少有一个为假．因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真．∴Error!或Error!解得m≥3 或1<m≤2.规律方法综合问题中对于“p或q”为真，“p且q”为假，同时满足这两个条件的命题p和q必须要在一真一假中进行分类，即p为真，q为假或p为假，q为真．只有分类后再整合，才能得到参数的取值范围．这种题目综合性比较强，往往要合理的等价转化为满足条件的不等式组，要求解题能力较高，这是我们要必须掌握的．1设命题p：不等式|2x－1|<x＋a的解集是{x|－<x<3}；命题q：不3等式4x≥4ax2＋1 的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的取值范围．－a＋1解：由|2x－1|<x＋a得<x<a＋1，3由题意得Error!⇒a＝2.∴命题p：a＝2.由4x≥4ax2＋1 的解集是∅，得4ax2－4x＋1≤0 无解，即对任意x∈R,4ax2－4x＋1>0 恒成立，∴Error!得a>1.∴命题q：a>1.由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题．若p、q均为假命题，则Error!⇒a≤1，故当p、q中至少有一个真命题时，a>1.∴实数a的取值范围是(1，＋∞).1．“xy≠0”指的是(A)A．x≠0 且y≠0 B．x≠0 或y≠0C．x，y至少有一个不为0 D．不都是0解析：因为x，y中只要有一个为0，则xy＝0，所以x与y全不为0.2．下列“p或q”形式的命题中，是真命题的是(B)A．x2－x－6>0 的解集为{x|x<－1 或x>2}B．10 或15 是5 的倍数C．7≥8D．2>3 或8＋7≠15解析：p或q形式的命题中，p，q全为假命题时，p或q为假命题，否则为真命题，只有B 项中p：10 是5 的倍数，q：15 是5 的倍数，都为真命题，其他选项p或q都为假命题．3．若命题“p且q”为假命题，且“非p”为假命题，则(B)A．p或q为假命题B．q为假命题C．q为真命题D．不能判断p，q的真假解析：因为非p为假命题，则p为真命题，又p且q为假命题，则q为假命题，p或q为真命题．4．如果命题“非p或非q”是假命题，则下列各结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p 或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的有①③(把正确结论的序号填在横线上)．解析：“非p或非q”是假命题，则非p是假命题，非q为假命题，∴p和q均为真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题．5．分别写出下列各组命题构成的“p且q”命题，并判断其真假．(1)p：2是有理数，q：2是无理数；(2)p：函数f(x)＝0 是奇函数，q：函数f(x)＝0 是偶函数；(3)p：不等式x2＋2x＋2>1 的解集为R，q：不等式x2＋2x＋2≤1 的解集为∅.解：(1)p且q：2是有理数且是无理数．因为p假，q真，所以“p且q”为假．(2)p且q：函数f(x)＝0 既是奇函数，又是偶函数．因为p真，q真，所以“p且q”为真．(3)p且q：不等式x2＋2x＋2>1 的解集为R且不等式x2＋2x＋2≤1 的解集为∅.因为p假，q假，所以“p且q”为假．。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习1.3.1~1.3.2且 与或
§1.3简单的逻辑联结词1．3.1且(and)1．3.2或(or)一、基础过关1．“p是真命题”是“p∧q为真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sinA>sin B”的充要条件，则()A．p真q假B．p∧q为真C．p∨q为假D．p假q真3．命题“ab≠0”是指() A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a、b中至少有一个不为0D．a、b不都为04．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③若a>b，则a＋c>b＋c；④菱形的两条对角线互相垂直，其中假命题的个数为() A．0 B．1 C．2 D．35．“1不大于2”可用逻辑联结词表示为____________________________________．6．给定下列命题：p：0不是自然数，q：2是无理数，在命题“p∧q”“p∨q”中，真命题是__________．7．对于命题p：对任意的实数x，有－1≤sin x≤1，q：存在一个实数使sin x＋3cos x ＝π成立，下列结论正确的是() A．p假q真B．p真q假C．p、q都假D．p、q都真二、能力提升8．命题p：函数y＝log a(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x)的图象关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，则有()A．“p且q”为真B．“p或q”为假C．p真q假D．p假q真9．用“或”、“且”填空：(1)若x∈A∪B，则x∈A________x∈B；(2)若x∈A∩B，则x∈A________x∈B；(3)若a2＋b2＝0，则a＝0________b＝0；(4)若ab＝0，则a＝0________b＝0.10．(1)用逻辑联结词“且”将命题p和q联结成一个新命题，并判断其真假，其中p：3是无理数，q：3大于2.(2)将命题“y＝sin 2x既是周期函数，又是奇函数”改写为含有逻辑联结词“且”的命题，并判断其真假．11.判断下列命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)x＝±1是方程x2＋3x＋2＝0的根．12．已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x ＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．三、探究与拓展13．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．答案1．B 2.D 3.A 4.A5．1<2或1＝2 6.p ∨q 7.B 8.C9．(1)或 (2)且 (3)且 (4)或10．解 (1)p ∧q ：3是无理数且大于2，是假命题．(2)y ＝sin 2x 是周期函数且是奇函数，是真命题．11．解 (1)这个命题是“p 且q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假q 真，则“p 或q ”真，所以该命题是真命题．12．解 若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－m 2≤－1，∴m ≥2，即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎨⎧ m ≥2m ≥3或m ≤1， 得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎨⎧m <21<m <3， 得1<m <2.综上，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m <2}．13．解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0.显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a.若命题p 为真，∵x ∈[－1,1]， 故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1，∴|a |≥1.若命题q为真，即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点．∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∵命题“p或q”为假命题，∴a的取值范围是{a|－1<a<0或0<a<1}．。
人教B版选修2-1：1.3.1同步训练及解析
高中数学人教B 选修2-1 同步训练1.(2011·高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.若a ＝1，则有|a |＝1是真命题，即a ＝1⇒|a |＝1，由|a |＝1可得a ＝±1，所以若|a |＝1，则有a ＝1是假命题，即|a |＝1 a ＝1，所以a ＝1是|a |＝1的充分而不必要条件，故选A.2.(2012·台州市高二期末)已知直线a ⊂α，则“l ⊥a ”是“l ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B3.用符号“⇒”或“ ”填空：(1)整数a 能被4整除________a 的个位数为偶数；(2)a >b ________ac 2>bc 2.答案：⇒4.a <1是1a>1的________条件． 解析：由1a >1得0<a <1，所以a <1是1a>1的必要不充分条件． 答案：必要不充分[A 级 基础达标]1.tan α＝1是α＝π4的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当tan α＝1时，α＝k π＋π4，k ∈Z ；当α＝π4时，tan α＝1. 2.若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2，4}，则m ＝2是A ∩B ＝{4}的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当m ＝2时，A ＝{1，4}，A ∩B ＝{4}，当A ∩B ＝{4}时，A ＝{1，4}，∴m 2＝4，m ＝±2.3.(2012·福建三明高二期末)已知a 、b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.对于“a >0且b >0”可以推出“a ＋b >0且ab >0”，反之也成立，故选C. 4.不等式x 2－3x ＋2<0成立的充要条件是________．解析：x 2－3x ＋2<0⇔(x －1)(x －2)<0⇔1<x <2.答案：1<x <25.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立．答案：充要6.“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的什么条件？解：充要条件．当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0，即2x ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行， 因为直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1， 所以a 2＝1，a ＝2， 综上，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．[B 级 能力提升]7.已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β ”是“m ⊥β ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当α⊥β，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当平面α内的直线垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，两个平面一定垂直，故α⊥β是m ⊥β的必要不充分条件．应选B.8.(2010·高考福建卷)若向量a ＝(x ，3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.9.下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中，可以是x 2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x 2<1即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②③④满足题意． 答案：②③④10.已知p ：(5x －2)2≥9，q ：1x 2＋4x －5≥0，则¬p 是¬q 的什么条件？ 解：由p ：(5x －2)2≥9知，x ≤－15或x ≥1， 则¬p ：－15<x <1. 又由q ：x 2＋4x －5>0知，x <－5或x >1，则¬q ：－5≤x ≤1.由数轴得：{x |－15<x <1}{x |－5≤x ≤1}，所以¬p 是¬q 的充分不必要条件．11.(创新题)已知p ：A ＝{x |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，解得1≤x ≤2.即B ＝{x |1≤x ≤2}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴AB .①若A＝∅，则有A B，此时应有Δ＝a2－4<0，即－2<a<2.②若A≠∅，设x1，x2是方程x2＋ax＋1＝0的两根，则有1≤x1≤2，1≤x2≤2，又∵x1x2＝1，∴x1＝x2＝1，∴a＝－(x1＋x2)＝－2，综上所述，－2≤a<2.。
高中数学1.2.1“且”与“或”练习新人教B版选修2-1
1.2.1“且”与“或”一、选择题1．命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是( )A．p∨q B．p∧qC．¬p D．以上都不对[答案] B[解析]△ABC是等腰直角三角形是由△ABC是等腰三角形与△ABC是直角三角形用“且”联结而成，是p∧q命题．2．对命题p：A∩∅＝∅，命题q：A∪∅＝A，下列判断正确的是( )A．p且q为假B．p或q为假C．p且q为真，p或q为假D．p且q为真，p或q为真[答案] D[解析]由题意知，p真，q也真．故p且q为真，p或q为真．3．命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是( )A．没有使用联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“非”[答案] B[解析]x＝±2是指x＝2或x＝－2.4．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( )A．10或15是5的倍数B．方程2x2－4x－6＝0的两根是3和－1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形[答案] D[解析]由联结词意义知选D.5．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是( )A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[答案] B[解析]∵p为真，q为假，∴“p∨q”为真，故选B.6．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么( )A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题，p，q至少有一个是真命题[答案] C[解析]“p∨q”为真，则至少p、q有一真，p∧q为假，则至少p、q有一假，∴p、q一真一假，故选C.二、填空题7．已知命题p：1∈{x|x2<a}，命题q：2∈{x|x2<a}，若“p或q”为真命题，则实数a 的取值范围是________．[答案](1，＋∞)[解析]若p真，则12<a，即a>1；若q真，则可得a>4.“p或q”为真，则a>1或a>4，得a>1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．8．已知条件p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．[答案]3≤m<8[解析]由p(1)是假命题，知12＋2×1－m＝3－m≤0，得m≥3；由p(2)是真命题，知22＋2×2－m＝8－m>0，得m<8.所以m的取值范围是3≤m<8.三、解答题9．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”形式，并判断真假．(1)p：2n－1(n∈Z)是奇数；q：2n－1(n∈Z)是偶数．(2)p：a2＋b2<0(a∈R，b∈R)；q：a2＋b2≥0.(3)p：集合中元素是确定的；q：集合中元素是无序的．(4)p：π是无理数；q：12不是实数．(5)p：9是质数；q：8是12的约数．(6)p：∅＝{0}；q：∅⊆∅.[解析](1)“p或q”：2n－1(n∈Z)是奇数或是偶数，真命题；“p且q”：2n－1(n ∈N)既是奇数又是偶数，假命题．(2)“p或q”：a2＋b2<0或a2＋b2≥0(a，b∈R)，真命题；“p且q”：a2＋b2<0且a2＋b2≥0(a，b∈R)，假命题．(3)“p或q”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题；“p且q”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．(4)“p或q”：π是无理数或者12不是实数，真命题；“p且q”：π是无理数并且12不是实数，假命题．(5)“p或q”：9是质数或者8是12的约数，假命题；“p且q”：9是质数且8是12的约数，假命题．(6)“p或q”：∅＝{0}或∅⊆∅，真命题；“p且q”；∅＝{0}且∅⊆∅，假命题.一、选择题1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( )A．简单命题B．“p∨q”形式的复合命题C．“p∧q”形式的复合命题D．“¬p”形式的复合命题[答案] C[解析]由定义可知选C.2．若p是真命题，q是假命题，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬ p是真命题D．¬q是真命题[答案] D[解析]本题主要考查逻辑连接词．利用命题真值表进行判断．根据命题真值表知，q是假命题，¬q是真命题．3．命题p：如果∀a，b∈R，|a|＋|b|>1，那么|a＋b|>1；命题q：函数y＝|x－1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，那么( )A．“p或q”为假命题B．“p且q”为真命题C．命题p为真命题，命题q为假命题D．命题p为假命题，命题q为真命题[答案] D[解析]因为∀a，b∈R，都有|a|＋|b|≥|a＋b|，所以|a|＋|b|>1不能推出|a＋b|>1，故p为假命题；显然函数y＝|x－1|－2的定义域，满足不等式|x－1|－2≥0，解得x≤－1或x≥3，所以q是真命题，故选D.4．已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集是R ，命题q ：f (x )＝2－mx在区间(0，＋∞)上是减函数．如果命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,2)C ．[0,2)D ．(－∞，2)[答案] C[解析] 由命题p 可得m <0，由命题q 可得m <2，又由命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，得命题p 与q 一真一假，如果命题p 真q 假，则可得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2，此不等式组无解；如果命题p 假q 真，则可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m <2，得0≤m <2.故应选C.二、填空题5．分别用“p ∨q ”、“p ∧q ”填空： (1)命题“集合A B ”是________的形式；(2)命题“x －12＋4≥2”是________的形式；(3)命题“60是10与12的公倍数”是______的形式． [答案] (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∧q6．若命题p ：a ∈{a ，b }，q ：{a }⊆{a ，b }，则：①p ∨q 为真；②p ∨q 为假；③p ∧q 为真；④p ∧q 为假．以上对复合命题的判断正确的是________(填上所有你认为正确的序号)．[答案] ①③[解析] 因为命题p ：a ∈{a ，b }是真命题，命题q ：{a }⊆{a ，b }是真命题，所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题．三、解答题7．已知命题p ：关于x 的不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：函数f (x )＝(5－2m )x是R 上的增函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解析] 不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即p 是真命题时，m <1； 函数f (x )＝(5－2m )x是R 上的增函数，须5－2m >1，即q 是真命题时，m <2. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题． (1)当p 真，q 假时，m <1且m ≥2，此时无解； (2)当p 假，q 真时，m ≥1且m <2，此时1≤m <2， 因此1≤m <2.8．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋ax －2在[－1,1]内有且仅有一个零点．命题q ：x 2＋3(a ＋1)x ＋2≤0在区间[12，32]内恒成立．若命题“p ∧q ”是假命题，“p∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解析] 先考查命题p ：若a ＝0，则容易验证不合题意； 故⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，f－1·f 1≤0，解得：a ≤－1或a ≥1.再考查命题q ：因为x ∈[12，32]，所以3(a ＋1)≤－(x ＋2x )在[12，32]上恒成立．易知(x ＋2x )max ＝92，故只需3(a ＋1)≤－92即可．解得a ≤－52.因为命题“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，所以命题p 和命题q 中一真一假． 当p 真q 假时，－52<a ≤－1或a ≥1；当p 假q 真时，a ∈∅.综上，a 的取值范围为{a |－52<a ≤－1或a ≥1}．。
高中数学选修2-1 课件1.3 或、且、非
补
随堂练习
请写出下列命题的否定，并判断其真假。 （1）2+2=8； 假
2+2≠8。
真
假
（2）函数y＝lgx是偶函数；
真 函数y=lgx不是偶函数。 假 （3）矩形的对角线互相垂直且平分； 矩形的对角线不互相垂直或不平分。 真
总 结
“非”对关键词的否定方式
词语 否定
不等于
词语
否定
等于 大于 小于 是
思考：
下列三个命题间有什么关系？ （1）12能被3整除；
（2）12能被4整除；
（3）12能被3整除且能被4整除. 可以看到命题（3）是由命题（1） （2） 使用联结词“且”联结得到的新命题.
一、由“且”构成的复合命题
定义：用联结词“且”把命题p和命题 q联结起来，就得到一个新命题，记作 p∧q，读作“p且q”
p q
有真即真, 全假为假.
【例3】 判断下列命题的真假。
（1）2≤2；
（2）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集； （3）周长相等的两个三角形全等或面积 相等的两个三角形全等.
思考:
如果p∧q为真命题,那么p∨ q一定 是真命题?反之,如果p ∨ q为真命题,
那么p ∧q一定是真命题?
“思考”的结论 如果p∧q为真命题,那么p∨q一定是真 命题吗?反之,如果p∨q为真命题,那么 p∧q一定是真命题吗? p∧q为真命题 p∨q是真命题
集合A在U中相对的补集，即∁UA
得出结论：
¬ p的定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得 到一个新命题，记作¬ p，读作“非p”或 “p的否定”. 注意：1.否定其结论； 2.否定从补集角度考虑。
思考：命题P与┐p的真假关系如何？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3.“或”“且”与“非''
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )
A ．p 为真命题，p 且q 为假命题
B ．p 为假命题，q 为假命题
C ．q 为假命题，p 或q 为真命题
D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题
解析： ∵p 为真命题，q 为假命题，
∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．
答案： B
2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( )
①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题；
③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题．
A ．①③
B ．②④
C ．②③
D ．①④
解析： ∵綈p ∨綈q 是假命题
∴綈(綈p ∨綈q )是真命题
即p ∧q 是真命题
答案： A
3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析： 若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题．
若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，
∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件．
答案： A
4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，
p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，
则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是(
) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3
C ．q 1，q 4
D ．q 2，q 4
解析： ∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
在R 上为减函数，
∴y ＝－2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
在R 上为增函数，
∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．
y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．
∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B和D，
q2：p1∧p2是假命题，q3：綈p1是假命题，
(綈p1)∨p2是假命题，故q3是假命题，排除A.故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．“a≥5且b≥3”的否定是____________；
“a≥5或b≤3”的否定是____________．
答案：a＜5或b＜3 a＜5且b＞3
6．在下列命题中：
①不等式|x＋2|≤0没有实数解；
②－1是偶数或奇数；
③2属于集合Q，也属于集合R；
④A A∪B.
其中，真命题为________．
解析：①此命题为“非p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的一个解，所以p是真命题，所以非p是假命题．
②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．
③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．
④此命题是“非p”的形式，其中p：A⊆A∪B.因为p为真命题，所以“非p”为假命题，故是假命题．所以填②.
答案：②
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．
(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．
(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．
解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．
p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．
綈p：8∉{x|x2－8x≤0}．
(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．
p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．
綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．
8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：
(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；
(2)p ：函数y ＝tan x 是周期函数；
(3)p ：∅⊆A ；
(4)p ：不等式x 2＋3x ＋5<0的解集是∅.
解析：
题号
判断p 的真假 綈p 的形式 判断綈p 的真假 (1)
假 方程x 2－x ＋1＝0无实数根 真 (2)
真 函数y ＝tan x 不是周期函数 假 (3)
真 ∅ A 假 (4)
真 不等式x 2＋3x ＋5<0的解集不是∅ 假
尖子生题库 ☆☆☆
9．(10分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.
又a >0，所以a <x <3a ，
当a ＝1时，1<x <3，
即p 为真命题时实数x 的取值范围是1<x <3.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2
－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.
所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.
若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，
所以实数x 的取值范围是(2,3)．
(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，
即綈p ⇒綈q 且綈q ⇒/ 綈p .
设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .
所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2.
所以实数a 的取值范围是(1,2].。