5最值系列之阿氏圆问题
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3
【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．
法二：阿氏圆模型 对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点 M 使得 PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！
P
P
A
B
O
A
B
O
已知PA、PB之比确定圆
已知PA、圆确定PB
公众号：有一点数学
最值系列之阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点 距离之比等于定值（不为 1）的点的集合叫做圆．
CD=ED 且 AD 平分∠BDE，则 DB = AB ，即 AB = DB ．
DE AE
AC DC
接下来开始证明步骤：
P
A
M
B
O
N
如图，PA：PB=k，作∠APB 的角平分线交 AB 于 M 点，根据角平分线定理，MA = PA = k ， MB PB
故 M 点为定点，即∠APB 的角平分线交 AB 于定点； 作∠APB 外角平分线交直线 AB 于 N 点，根据外角平分线定理， NA = PA = k ，故 N 点为
【问题剖析】
（1）这里为什么是 1 PA ？ 2
答：因为圆 C 半径为 2，CA=4，比值是 1:2，所以构造的是 1 PA ，也只能构造 1 PA ．
2
2
3
公众号：有一点数学
（2）如果问题设计为 PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆 C 半径与 CB 之比为 2:3，k 应为 2 ．
C
D
A
B
【分析】首先对问题作变式
2AD+3BD=
3
2 3
AD
+
BD
，故求
2 3
AD
+
BD
最小值即可．
考虑到 D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造 2 AD ，条件已经足够明显． 3
当 D 点运动到 AC 边时，DA=3，此时在线段 CD 上取点 M 使得 DM=2，则在点 D 运动过程
中，始终存在 DM = 2 DA ． 3
A
D
P
B
C
【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=2，根据题意要求构造 1 PC ，在 BC 上取 M 2
使得此时 PM=1，则在点 P 运动的任意时刻，均有 PM= 1 PC ，从而将问题转化为求 PD-PM 2
的最大值．
A
D
A
D
P
BM
C
P
BM
C
连接 PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当 D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．
而且这种问题里，给定的圆的位置、定点 A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！
P 点轨迹圆的圆心 C 点和 A 点在直线 AC 上，故所求 M 点在 AC 边上，考虑到 PM：PA=1:2， 不妨让 P 点与 D 点重合，此时 DM= 1 DA =1，即可确定 M 点位置．
2
A A
2 D (P)
C
C
M
D A
M
D
B
A
B
问题转化为 DM+DB 的最小值，直接连接 BM，BM 长度的 3 倍即为本题答案．
C
M D
A
B
5
公众号：有一点数学
【练习 2】如图，已知正方 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点， 则 PD − 1 PC 的最大值为_______．
2
如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点 P 构成的图 形为圆．
P
A
B
O
下给出证明 法一：首先了解两个定理 （1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则 AB = DB ．
AC DC
A
E F
B
D
C
证明： S ABD = BD ， S ABD = AB DE = AB ，即 AB = DB
公众号：有一点数学
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点 C 为圆心，2 为半径作圆 C，分别交 AC、BC 于 D、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则 1 PA + PB 的最小值为__________．
2
A
D P
C
E
B
【分析】这个问题最大的难点在于转化 1 PA ，此处 P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所 2
NB PB 定点，即∠APB 外角平分线交直线 AB 于定点；
又∠MPN=90°，定边对定角，故 P 点轨迹是以 MN 为直径的圆．
P
A
M
B
O
N
法二：建系 不妨将点 A、B 两点置于 x 轴上且关于原点对称，设 A（-m，0），则 B（m，0），设 P（x， y），PA=kPB，即：
( x + m)2 + y2 = k ( x − m)2 + y2 ( x + m)2 + y2 = k2 ( x − m)2 + k2 y2
S ACD CD S ACD AC DF AC
AC DC
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角 CAE 的角平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D，则 AB = DB ．
AC DC
E
A
B
C
D 1
公众号：有一点数学
证明：在 BA 延长线上取点 E 使得 AE=AC，连接 BD，则△ACD≌△AED（SAS），
不同，如下，提供两种思路．
法一：构造相似三角形 注意到圆 C 半径为 2，CA=4，连接 CP，构造包含线段 AP 的△CPA，在 CA 边上取点 M 使 得 CM=2，连接 PM，可得△CPA∽△CMP，故 PA：PM=2:1，即 PM= 1 PA ．
2
A
D P
M
C
B
问题转化为 PM+PB 最小值，直接连 BM 即可．
A
D
A
D
P
BM
C
BM
C
P
6
(k2 −1)( x2 + y2 ) − (2m + ) 2k2m x + (k2 −1)m2 = 0
x2 + y2 − 2m ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2k2m x + m2 = 0 k2 −1
解析式满足圆的一般方程，故 P 点所构成的图形是圆，且圆心与 AB 共线．
2
那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：
1 M
C
B
D
M
C
B
P
如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时 PM=3，PA=6， 亦满足 PM:PA=1:2．
【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求 M 点位置，虽不够严谨，却很实用．
4
公众号：有一点数学
【练习 1】如图，在 ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点 C 为圆心，6 为半径的圆 上有一个动点 D．连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是 ．
【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．
法二：阿氏圆模型 对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点 M 使得 PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！
P
P
A
B
O
A
B
O
已知PA、PB之比确定圆
已知PA、圆确定PB
公众号：有一点数学
最值系列之阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点 距离之比等于定值（不为 1）的点的集合叫做圆．
CD=ED 且 AD 平分∠BDE，则 DB = AB ，即 AB = DB ．
DE AE
AC DC
接下来开始证明步骤：
P
A
M
B
O
N
如图，PA：PB=k，作∠APB 的角平分线交 AB 于 M 点，根据角平分线定理，MA = PA = k ， MB PB
故 M 点为定点，即∠APB 的角平分线交 AB 于定点； 作∠APB 外角平分线交直线 AB 于 N 点，根据外角平分线定理， NA = PA = k ，故 N 点为
【问题剖析】
（1）这里为什么是 1 PA ？ 2
答：因为圆 C 半径为 2，CA=4，比值是 1:2，所以构造的是 1 PA ，也只能构造 1 PA ．
2
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公众号：有一点数学
（2）如果问题设计为 PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆 C 半径与 CB 之比为 2:3，k 应为 2 ．
C
D
A
B
【分析】首先对问题作变式
2AD+3BD=
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2 3
AD
+
BD
，故求
2 3
AD
+
BD
最小值即可．
考虑到 D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造 2 AD ，条件已经足够明显． 3
当 D 点运动到 AC 边时，DA=3，此时在线段 CD 上取点 M 使得 DM=2，则在点 D 运动过程
中，始终存在 DM = 2 DA ． 3
A
D
P
B
C
【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=2，根据题意要求构造 1 PC ，在 BC 上取 M 2
使得此时 PM=1，则在点 P 运动的任意时刻，均有 PM= 1 PC ，从而将问题转化为求 PD-PM 2
的最大值．
A
D
A
D
P
BM
C
P
BM
C
连接 PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当 D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．
而且这种问题里，给定的圆的位置、定点 A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！
P 点轨迹圆的圆心 C 点和 A 点在直线 AC 上，故所求 M 点在 AC 边上，考虑到 PM：PA=1:2， 不妨让 P 点与 D 点重合，此时 DM= 1 DA =1，即可确定 M 点位置．
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A A
2 D (P)
C
C
M
D A
M
D
B
A
B
问题转化为 DM+DB 的最小值，直接连接 BM，BM 长度的 3 倍即为本题答案．
C
M D
A
B
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公众号：有一点数学
【练习 2】如图，已知正方 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点， 则 PD − 1 PC 的最大值为_______．
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如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点 P 构成的图 形为圆．
P
A
B
O
下给出证明 法一：首先了解两个定理 （1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则 AB = DB ．
AC DC
A
E F
B
D
C
证明： S ABD = BD ， S ABD = AB DE = AB ，即 AB = DB
公众号：有一点数学
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点 C 为圆心，2 为半径作圆 C，分别交 AC、BC 于 D、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则 1 PA + PB 的最小值为__________．
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A
D P
C
E
B
【分析】这个问题最大的难点在于转化 1 PA ，此处 P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所 2
NB PB 定点，即∠APB 外角平分线交直线 AB 于定点；
又∠MPN=90°，定边对定角，故 P 点轨迹是以 MN 为直径的圆．
P
A
M
B
O
N
法二：建系 不妨将点 A、B 两点置于 x 轴上且关于原点对称，设 A（-m，0），则 B（m，0），设 P（x， y），PA=kPB，即：
( x + m)2 + y2 = k ( x − m)2 + y2 ( x + m)2 + y2 = k2 ( x − m)2 + k2 y2
S ACD CD S ACD AC DF AC
AC DC
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角 CAE 的角平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D，则 AB = DB ．
AC DC
E
A
B
C
D 1
公众号：有一点数学
证明：在 BA 延长线上取点 E 使得 AE=AC，连接 BD，则△ACD≌△AED（SAS），
不同，如下，提供两种思路．
法一：构造相似三角形 注意到圆 C 半径为 2，CA=4，连接 CP，构造包含线段 AP 的△CPA，在 CA 边上取点 M 使 得 CM=2，连接 PM，可得△CPA∽△CMP，故 PA：PM=2:1，即 PM= 1 PA ．
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A
D P
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问题转化为 PM+PB 最小值，直接连 BM 即可．
A
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(k2 −1)( x2 + y2 ) − (2m + ) 2k2m x + (k2 −1)m2 = 0
x2 + y2 − 2m ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2k2m x + m2 = 0 k2 −1
解析式满足圆的一般方程，故 P 点所构成的图形是圆，且圆心与 AB 共线．
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那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：
1 M
C
B
D
M
C
B
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如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时 PM=3，PA=6， 亦满足 PM:PA=1:2．
【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求 M 点位置，虽不够严谨，却很实用．
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公众号：有一点数学
【练习 1】如图，在 ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点 C 为圆心，6 为半径的圆 上有一个动点 D．连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是 ．