5最值系列之阿氏圆问题
中考数学最值—阿氏圆问题(解析+例题)
中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。
这个定理叫阿波罗尼斯定理。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。
②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。
③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。
所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。
总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。
【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。
（2）求13AP BP+的最小值为。
【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。
练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。
初中数学最值一阿氏圆模型
初中数学最值一阿氏圆模型初中数学中的最值问题是数学中的重要问题之一。
数学教学中经常涉及到最大值和最小值的求解，而阿氏圆模型是解决这类问题的一种方法。
阿氏圆模型是一种简便的方法，可以用来解决初中数学中的最值问题。
它可以帮助我们更好地理解和解决这类问题。
下面我将通过详细的论述来介绍阿氏圆模型的原理和应用。
首先，我们来看最大值问题。
最大值是一组数中的最大数，我们要找出这个最大值。
在阿氏圆模型中，我们可以通过绘制一个圆形来表示一组数。
圆的半径表示这组数中的最大值。
圆心表示这组数的平均值。
通过观察圆的大小和位置，我们可以快速确定最大值。
例如，给定一组数{3，5，7，9}，我们可以计算它们的平均值为6。
然后，我们绘制一个以6为圆心的圆，然后找到圆上的最大值。
在这种情况下，最大值为9。
我们可以通过阿氏圆模型很容易地找到最大值。
接下来我们来看最小值问题。
最小值是一组数中的最小数，我们要找出这个最小值。
阿氏圆模型同样可以用来解决这类问题。
与最大值问题类似，我们也是通过绘制一个圆形来表示一组数。
圆的半径表示这组数中的最小值。
圆心代表平均值。
通过观察圆的大小和位置，我们可以迅速确定最小值。
例如，给定一组数{2，4，6，8}，我们计算它们的平均值为5。
然后，我们可以绘制以5为圆心的圆，并找到圆上的最小值。
在这种情况下，最小值为2。
阿氏圆模型同样帮助我们很容易地找到最小值。
阿氏圆模型不仅可以用来解决最大值和最小值问题，还可以扩展到其他数学问题中。
例如，我们可以用阿氏圆模型来求一组数的平均值。
通过将这组数放在一个圆的周围，我们可以找到圆心的位置，这个位置就是这组数的平均值。
这使得求平均值变得非常简单。
此外，阿氏圆模型还可以用来解决其他问题，如中位数、众数等统计问题。
阿氏圆模型在初中数学中的应用非常广泛，通过它我们可以更好地理解和解决各种数学问题。
总结起来，阿氏圆模型是一种在初中数学中解决最值问题的简便方法。
它通过绘制一个圆形来表示一组数，圆心代表平均值，圆的半径代表最大值或最小值。
2023年中考数学常见几何模型之最值模型阿氏圆问题
专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（ ）A ．7B ．C．4D．例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的上任意一点，连接BP ，CP ，则BP +CP 的最小值是_____．ABC V »EF12．【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．证明，推出＝＝，推出PT ＝PB ，推出PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT即可解决问题．【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A，CT ．∵P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∴P A 2＝AT •AB ，∴＝， ∵∠P AT＝∠P AB ，∴，∴＝＝，∴PT ＝PB ，∴PB +CP＝CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt 中，∵∠CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4， ∴CT PB +PC ，∴PB +PC ．故答．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC −的最大值为_______．PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 1212124=PA ATABPA PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 121212ACT V 1212例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A BC D【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又∵∠PCD＝∠△∽△∴13=PDBP∴PD＝13BP∴AP+13BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则1AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)2(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是»CD上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．例7．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△P AB中，已知P A=2，AB=4，Q为AB 上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．（3）如图，在AB 上取一点，使得AQ =1，连接AP ，PQ ，P ′，过点C 作CH 垂直AB 的延长线于点H ．易得AP =2，AB 由（1）得PB =2PQ ，∴2=2PC −2PQ =2(PC −PQ ) ，∵PC −PQ ≤QC ，∴当点P 交⊙A 的点P ′时，PC −PQ 的值最大．例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点AB 、，则所有符合0(PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又,POD MOP POMDOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC V 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC V 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.课后专项训练1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（）B．C．D．A．【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB的最小值为___．3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形ABCD中，AB=，，设•=∠=∠=︒260AC BAC ACD=，则k的最小值为___________．AD k BD1##1−在Rt ACJ V 中，260AC CAJ =∠=︒，，∴∴AB CD ∥，∵BM CD CJ AB ⊥⊥，，∴四边形BJCM4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A, B ，所有满足PA PB=k ( k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E 分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB 的最小值为．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴P A+PB＝P A+PF，∵P A+PF≥AF，AF＝＝＝，∴P A+PB≥，∴P A+PB的最小值为，故答案为．6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG +12CG 的最小值为 _____．7．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在ABC V 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA PC 的最小值是___________．8．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，PC的最大值为_____．点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣129．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上A＋PB的最小值为________．OP＝r＝12BC＝2，OB＝∵222OPOI==，OBOP=∴22PI OIPB OP==，∴PI10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．11．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋23PC的最小值为__，PD﹣23PC的最大值为__．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋12PC的最小值为__，PD﹣12PC的最大值为__．如图3中，在BC 上取一点6342PB BG ==Q，BC PB PBG CBP ∴V :V ，∴221PB BG ==Q，422BC PB ==，PBG CBP ∴V :V ，PG BG PC PB ∴=PD PG DG +≥Q （当且仅当G 12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB =12，⊙C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =3，则有CD CP =CP CB=12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，1 3AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是»CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +4PC +的最小值，12PD PC −的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值，23PD PC −的最大值，PC 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC −的最大值．PC 的最小值PB BC2414．（2022·山东聊城·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++经过点()4,4A −−，()0,4B ，直线AC 的解析式为162y x =−−，且与y 轴相交于点C ，若点E 是直线AB 上的一个动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ．（1）求抛物线2y x bx c =−++的解析式；（2）点H 是y 轴上一动点，连结EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E ，H 的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E e 上以动点，求12AM CM +的最小值．15．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，E 是AB 上的一点，5BE =，点D 是线段BC 上的一个动点，沿AD 折叠ACD ∆，点C 与C '重合，连接BC '．(1)求证：AEC AC B ''∆∆∽；(2)若点F 是BC 上的一点，且BF =，①若BC F '∆与BC E '∆2）中作出折叠后的AC D '∆（保留作图痕迹，不写作法）；②求32BC FC ''+的最小值．②如图，由（1）知：△AEC′∽△AC′B，∴AE ACAC AB'='=6293=，∴EC′=23BC′，∵BC′+32FC′=32(23BC′+FC′)=32(EC′+FC′），当E、C′、F三点共线时，EC′+FC′最短，即EC′+∴BC′+32FC′的最小值为32EF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=22AB AC−过点E作EG⊥CB于G，∴∠C=∠EGB=90°，∴ACBC AB AC16．（2022·广东·九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF AE，CF．(1)求证：△ABE ≌△CBF ．(2)如图2，连接DE ，当DE ＝BE 时，求S △BCF 的值．（S △BCF 表示△BCF 的面积）(3)如图3，当Rt △BEF 旋转到正方形ABCD 外部，且线段AE 与线段CF 存在交点G 时，若M 是CD 的中点，P 是线段DG+PG 的值最小时，求MP 的值． 【答案】(1)见解析(2)2或【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE ≌△CBF ；（2）由“SSS ”可证△ADE ≌△ABE ，可得∠DAE ＝∠BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ ⊥CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∵∠EBF ＝90°＝∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBF ， 又∵BE ＝BF ，AB ＝BC ，在△ABE 和△CBF 中，AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ）； (2)解：如图2，过点E 作EH ⊥AB 于H ，∵△ABE ≌△CBF ，∴S △ABE ＝S △CBF ，∵AD ＝AB ，AE ＝AE ，DE ＝BE ，∴△ADE ≌△ABE （SSS ）， ∴∠DAE ＝∠BAE ＝45°，∵EH ⊥AB ，∴∠EAB ＝∠AEH ＝45°，∴AH ＝EH ，17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①12AP BP+，②2AP BP+，③13AP BP+，④3AP BP+的最小值．【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．。
最值模型之阿氏圆(解析版)
最值模型之阿氏圆“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。
点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
模型建立：PA+k∙PB的最小值。
阿氏圆钥匙：构造母子三角形相似阿氏圆口诀：两定一动阿氏圆，母子相似很简单。
第一步：确动点的运动轨迹(圆)，以点0为圆心、r为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步)第二步：连接动点至圆心0(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP,OB。
第三步：计算这两条线段长度的比k;第四步：在0B上取点C,使得OC=k∙OP;OCOP=OPOB=k, ∠O=∠O，可得△POC∽△BOP可得：OCOP=PCPB=k, PC=k∙PB第五步：则PA+k∙PB≥PA+PC≥AC,即当A，P,C三点共线时可得最小值。
[提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成1k，再构造△相似进行计算.]1如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是 17 ．思路引领：在AB 上取一点T ，使得AT =1，连接PT ，PA ，CT ．证明△PAT ∽△BAP ，推出PT PB=AP AB=12，推出PT =12PB ，推出12PB +CP =CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT 即可解决问题．答案详解：在AB 上取一点T ，使得AT =1，连接PT ，PA ，CT ．∵PA =2．AT =1，AB =4，∴PA 2=AT •AB ，∴PA AT =AB PA，∵∠PAT =∠PAB ，∴△PAT ∽△BAP ，∴PT PB =AP AB =12，∴PT =12PB ，∴12PB +CP =CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt △ACT 中，∵∠CAT =90°，AT =1，AC =4，∴CT =AT 2+AC 2=17，∴12PB +PC ≥17，∴12PB +PC 的最小值为17．故答案为17．一、选择题(共1小题)1如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =4，点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，则12PB +PC 的最小值等于()A.4B.32C.17D.15试题分析：在AB 上截取AQ =1，连接AP ，PQ ，CQ ，证明△APQ ∽△ABP ，可得PQ =12PB ，则12PB +PC =PC +PQ ，当C 、Q 、P 三点共线时，PC +PQ 的值最小，求出CQ 即为所求．答案详解：解：在AB 上截取AQ =1，连接AP ，PQ ，CQ ，∵点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，∴AP AB=12，∵AP =2，AQ =1，∴AQ AP =12，∵∠PAQ =∠BAP ，∴△APQ ∽△ABP ，∴PQ =12PB ，∴12PB +PC =PC +PQ ≥CQ ，在Rt △ACQ 中，AC =4，AQ =1，∴QB =AC 2+AQ 2=17，∴12PB +PC 的最小值17，故选：C ．二、填空题(共7小题)2如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =4，以点C 为圆心，3为半径做⊙C ，分别交AC ，BC 于D ，E 两点，点P 是⊙C 上一个动点，则13PA +PB 的最小值为 17 ．试题分析：在AC 上截取CQ =1，连接CP ，PQ ，BQ ，证明△ACP ∽△PCQ ，可得PQ =13AP ，当B 、Q 、P 三点共线时，13PA +PB 的值最小，求出BQ 即为所求．答案详解：解：在AC 上截取CQ =1，连接CP ，PQ ，BQ ，∵AC =9，CP =3，∴CP AC=13，∵CP =3，CQ =1，∴CQ CP=13，∴△ACP ∽△PCQ ，∴PQ =13AP ，∴13PA +PB =PQ +PB ≥BQ ，∴当B 、Q 、P 三点共线时，13PA +PB 的值最小，在Rt △BCQ 中，BC =4，CQ =1，∴QB =17，∴13PA +PB 的最小值17，故答案为：17．3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且DE =4，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则PA +14PB 的最小值为 1452 ．试题分析：如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．利用相似三角形的性质证明PF =14PB ，根据PF +PA ≥AF ，利用勾股定理求出AF 即可解决问题．答案详解：解：如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．∵∠DCE =90°，DE =4，DP =PE ，∴PC =12DE =2，∵CF CP =14，CP CB =14，∴CF CP =CP CB，∵∠PCF =∠BCP ，∴△PCF ∽△BCP ，∴PF PB =CF CP =14，∴PF =14PB ，∴PA +14PB =PA +PF ，∵PA +PF ≥AF ，AF =CF 2+AC 2=12 2+62=1452，∴PA +14PB ≥1452，∴PA +14PB 的最小值为1452，故答案为1452．4如图，在⊙O 中，点A 、点B 在⊙O 上，∠AOB =90°，OA =6，点C 在OA 上，且OC =2AC ，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则CM +2DM 的最小值为 410 ．试题分析：延长OB 到T ，使得BT =OB ，连接MT ，CT ．利用相似三角形的性质证明MT =2DM ，求CM +2DM 的最小值问题转化为求CM +MT 的最小值．求出CT 即可判断．答案详解：解：延长OB 到T ，使得BT =OB ，连接MT ，CT ．∵OM =6，OD =DB =3，OT =12，∴OM 2=OD •OT ，∴OMOD =OT OM，∵∠MOD =∠TOM ，∴△MOD ∽△TOM ，∴DM MT =OM OT=12，∴MT =2DM ，∵CM +2DM =CM +MT ≥CT ，又∵在Rt △OCT 中，∠COT =90°，OC =4，OT =12，∴CT =OC 2+OT 2=42+122=410，∴CM +2DM ≥410，∴CM +2DM 的最小值为410，∴答案为410．5如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB ．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为6-23≤PM +2PN ≤6+23 ．试题分析：PM +2PN =212PM +PN ，作MH ⊥PN ，HP =12PM ，确定HN 的最大值和最小值．答案详解：解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，∵PM⊥AC，PN⊥CB，∴∠PMC=∠PNC=90°，∴∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°，∴∠MPH=180°-∠MPN=60°，∴HP=PM•cos∠MPH=PM•cos60°=12PM，∴PN+12PM=PN+HP=NH，∵MF=NH，∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，如图1，连接OP，OG，OC，可得：四边形OPMG是正方形，∴MG=OP=2，在Rt△COG中，CG=OG•tan60°=23，∴CM=CG+GM=2+23，在Rt△CMF中，MF=CM•sin C=(2+23)×32=3+3，∴HN=MF=3+3，=2HN=6+23，PM+2PN=212PM+PN如图2，由上知：CG=23，MG=2，∴CM=23-2，∴HM=(23-2)×32=3-3，=2HN=6-23，∴PM+2PN=212PM+PN∴6-23≤PM+2PN≤6+23．6如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B=60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD-12PC 的最大值为237 ．试题分析：连接PB ，在BC 上取一点G ，使得BG =2，连接PG ，DG ，过点D 作DH ⊥BC 交BC 的延长线于H ．利用相似三角形的性质证明PG =12PC ，再根据PD -12PC =PD -PG ≤DG ，求出DG ，可得结论．答案详解：解：连接PB ，在BC 上取一点G ，使得BG =2，连接PG ，DG ，过点D 作DH ⊥BC 交BC 的延长线于H ．∵PB =4，BG =2，BC =8，∴PB 2=BG •BC ，∴PB BG=BC PB ，∵∠PBG =∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG PC =PB BC =12，∴PG =12PC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =CD =BC =8，∴∠DCH =∠ABC =60°，在Rt △CDH 中，CH =CD •cos60°=4，DH =CD •sin60°=43，∴GH =CG +CH =6+4=10，∴DG =GH 2+DH 2=102+(43)2=237，∵PD -12PC =PD -PG ≤DG ，∴PD -12PC ≤237，∴PD -12PC 的最大值为237．7如图，在△ABC 中，BC =6，∠BAC =60°，则2AB +AC 的最大值为421 ．试题分析：由2AB +AC =2AB +12AC 得12AC =AE ，再将AB +AE 转化成一条线段BP ，可证出∠P 是定角，从而点P 在△PBC 的外接圆上运动，当BP 为直径时，BP 最大解决问题．答案详解：解：∵2AB +AC =2AB +12AC ，∴求2AB +AC 的最大值就是求2AB +12AC 的最大值，过C 作CE ⊥AB 于E ，延长EA 到P ，使得AP =AE ，∵∠BAC =60°，∴EA =12AC =AP ，∴AB +12AC =AB +AP ，∵EC =3AE ，PE =2AE ，由勾股定理得：PC =7AE ，∴sin P =CE CP =3AE 7AE=217，∴∠P 为定值，∵BC =6是定值，∴点P 在△CBP 的外接圆上，∵AB +AP =BP ，∴当BP 为直径时，AB +AP 最大，即BP '，∴sin P '=sin P =BC BP '=217，解得BP '=221，∴AB +AP =221，∴2AB +AC =2(AB +AP )=421，故答案为：421．8如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O ，P 为圆O 上一动点，则2PA +PB 的最小值为25 ．试题分析：2PA +PB =2PA +22PB ，利用相似三角形构造22PB ．答案详解：解：设⊙O 半径为r ，OP =r =12BC =2，OB =2r =22，取OB 的中点I ，连接PI ，∴OI =IB =2，∵OP OI =22=2，OB OP =222=2，∴OP OI =OB OP，∠O 是公共角，∴△BOP ∽△POI ，∴PI PB =OI OP=22，∴PI =22PB ，∴AP +22PB =AP +PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP +22PB 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO =45°，∴IE =BE =22BI =1，∴AE =AB -BE =3，∴AI =32+12=10，∴AP +22PB 最小值=AI =10，∵2PA +PB =2PA +22PB ，∴2PA +PB 的最小值是2AI =2×10=25．故答案是25．三、解答题(共8小题)1如图，在6×6的正方形网格中，A 、B 、C 、D 均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．(1)在图1中作出AC 边上的点E ，使得AE =3CE ；(2)在图2中作出BC 边上的点F (不与点B 重合)，使得BD =DF ；(3)在图3中作出AB 边上的点G ，使得tan ∠ACG =12．试题分析：(1)如图1中，取格点M ，N ，连接MN 交AC 于点E ，点E 即为所求．(2)如图2中，取格点T ，连接AT 交BC 于点F ，连接DF ，点F 即为所求．(3)如图3中，取格点R ，连接AR ，得到AR 的中点J ，连接CJ 交AB 于点G ，点G 即为所求．答案详解：解：(1)如图1中，点E即为所求．(2)如图2中，点F即为所求．(3)如图3中，点G即为所求．2已知，AB是⊙O的直径，AB=42，AC=BC．(1)求弦BC的长；(2)若点D是AB下方⊙O上的动点(不与点A，B重合)，以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M 是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；(3)如图2，点P是动点，且AP=2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q 的运动时间t的最小值．试题分析：(1)AB是⊙O的直径，AC=BC可得到△ABC是等腰直角三角形，从而得道答案；(2)连接AD、CM、DB、FB，首先利用△ACD≌△BCF，∠CBF=∠CAD，证明D、B、F共线，再证明△CMB是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；(3)“阿氏圆”的应用问题，以A为圆心，AP为半径作圆，在AC上取点M，使AM=1，连接PM，过M作MH⊥AB于H，连接BM交⊙A于P'，先证明PM=PC2，PC2+BP最小，即是PM+BP最小，此时P、B、M共线，再计算BM的长度即可．答案详解：解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=45°，∵AB=42，∴BC=AB•sin45°=4；(2)连接AD、CM、DB、FB，如图：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形CDEF 是正方形，∴CD =CF ，∠DCF =∠ACB =90°，∴∠ACD =90-∠DCB =∠BCF ，又AC =BC ，∴△ACD ≌△BCF (SAS )，∴∠CBF =∠CAD ，∴∠CBF +∠ABC +∠ABD =∠CAD +∠ABC +∠ABD=∠DAB +∠CAB ++∠ABC +∠ABD=∠DAB +45°+45°+∠ABD ，而AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠DAB +∠ABD =90°，∴∠CBF +∠ABC +∠ABD =180°，∴D 、B 、F 共线，∵四边形CDEF 是正方形，∴△DCF 是等腰直角三角形，∵M 是DF 的中点，∴CM ⊥DF ，即△CMB 是直角三角形，∵N 是BC 的中点，∴MN =12BC =2，即MN 为定值；(3)以A 为圆心，AP 为半径作圆，在AC 上取点M ，使AM =1，连接PM ，过M 作MH ⊥AB 于H ，连接BM 交⊙A 于P '，如图：一动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位的速度沿线段PB 匀速运动到点B ，∴Q 运动时间t =PC 2+BP ，∵AM =1，AP =2，AC =BC =4，∴AM AP =AP AC=12，又∠MAP =∠PAC ，∴△MAP ∽△PAC ，∴PM PC =AM AP =12，∴PM =PC 2，∴PC 2+BP 最小，即是PM +BP 最小，此时P 、B 、M 共线，即P 与P '重合，t =PC 2+BP 最小值即是BM 的长度，在Rt △AMH 中，∠MAH =45°，AM =1，∴AH =MH =22，∵AB =42，∴BH=AB-AH=722，Rt△BMH中，BM=BH2+MH2=5，∴点Q的运动时间t的最小值为5．3阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C(m，0)，D(0，n)，点P是平面内一动点，且OP=r，设OPOD=k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k；第二步：证明kPD=PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：(1)将以上解答过程补充完整．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为△ABC内一动点，满足CD=2，利用(1)中的结论，请直接写出AD+23BD的最小值．试题分析：(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可．(2)利用(1)中结论计算即可．答案详解：解(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD=k，∴MP=kPD，∴PC+kPD=PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得CM=OC2+OM2=m2+(kr)2=m2+k2r2．(2)∵AC=m=4，CDBC=23，在CB上取一点M，使得CM=23CD=43，∴AD+23BD的最小值为42+43 2=4103．4如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P'在射线OP上，满足OP'⋅OP=r2，则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．(1)若点A关于⊙O的“反演点”是本身，那么点A与⊙O的位置关系为B．A.点A在⊙O内B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外(2)如图1，若⊙O的半径为4，点P'是点P关于⊙O的“反演点”，且PP'=6，过点P的直线与⊙O相切于点Q，求PQ长．(3)如图2，若⊙O的半径为4，点Q在⊙O上，点A在⊙O内，且OA=2，点Q'、A'分别是点Q、A关于⊙O的“反演点”，过点A'作A'B⊥A'O且A'B=A'O，连接BQ'，Q'A'，求BQ'+12Q'A'的最小值．试题分析：(1)因为OA2=r2，所以OA=r，从而得出点A在圆上；(2)连接OQ，根据OP′•OP=r2得出OP′的值，洁儿根据勾股定理求得PQ；(3)可证得△AOQ′∽△Q′OA′，从而得出AQ′=12A'Q'，进而得出当B、Q′、A共线时，BQ′+12A'Q'最小，进一步求得结果．答案详解：解：(1)由题意得：OA2=r2，∴OA=r，∴点A在⊙O上，故答案为：B；(2)如图1，连接OQ，∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”，∴OP′•OP=r2，∴OP′•(OP′+6)=16，∴OP′=2，∴OP=8，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴∠PQO =90°，∴PQ =OP 2-OQ 2=82-42=43；如图2，∵点Q '、A '分别是点Q 、A 关于⊙O 的“反演点”，∴点Q 在⊙O 上，OQ 2=OA •OA ′，∴OQ OA '=OA OQ ，OA ′=8，∴∠O 为公共角，A ′B =8，AA ′=6，∴△AOQ ′∽△Q ′OA ′，∴AQ 'A 'Q '=OA OQ =12，∴AQ ′=12A 'Q '，∴BQ ′+12A 'Q '=AQ ′+BQ ′，∴当B 、Q ′、A 共线时，BQ ′+12A 'Q '最小，最小为AB ，∵AB =A 'A 2+A 'B 2=10，∴BQ ′+12Q 'A ' 最小=10．5【根底巩固】(1)如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD =∠B ．求证：AC 2=AD •AB ．【尝试应用】(2)如图2，在菱形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，射线AE 交DC 的延长线于点M ，射线AF 交BC 的延长线于点N ．若AF =4，CF =2，AM =10．求：①CM 的长；②FN 的长．【拓展进步】(3)如图3，在菱形ABCD 中，AB =6，∠B =60°，以点B 为圆心作半径为3的圆，其中点P 是圆上的动点，请直接写出PD +12PC 的最小值．试题分析：(1)证明△ADC ∽△ACB ，得出AD AC =AC AB ，则可得出结论；(2)①连接AC ，证明△FAC ∽△FMA ，从而得出AF CF =FM AF =AM AC ，进一步求得结果；②可证明△NAC ∽△AMC ，从而AC CM =AN AM ，进而求得结果；(3)在BC 上截取BE =32，可证得△PBE ∽△CBP ，进而得出PE =12PC ，从而PD +12PC =PD +PE ，当D 、P 、E 共线时，PD +PE 最小=DE ，此时P 在P ′处，然后解斜三角形CDE ，进一步求得结果．答案详解：(1)证明：如图1，∵∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC =AC AB ，∴AC 2=AD •AB ．(2)①解：如图2，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠BAC =∠CAD =12∠BAD ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠BAC =∠EAF ，即∠BAM +∠MAC =∠MAC +∠CAF ，∴∠BAM =∠CAF ，∵AB ∥CD ，∴∠BAM =∠M ，∴∠CAF =∠M ，∵∠AFC =∠MFA ，∴△FAC ∽△FMA ，∴AF CF =FM AF =AM AC ，∵AF =4，CF =2，AM =10，∴42=FM 4=10AC ，∴FM =8，AC =5，∴CM =FM -CF =8-2=6，②∵四边形ABCD 是菱形，∴ADB ∥BC ，∠BAC =∠CAD =12∠BAD ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠CAD =∠EAF ，即∠DAN +∠NAC =∠NAC +∠CAM ，∴∠DAN =∠CAM ，∵AD ∥BC ，∴∠DAN =∠N ，∴∠CAM =∠N ，由①知：∠CAF =∠M ，∴△NAC ∽△AMC ，∴AC CM =AN AM ，即56=AN 10，∴AN =253，∴FN =AN -AF =253-4=133；(3)如图3，在BC 上截取BE =32，∵BE BP =BP BC=12，∠PBE =∠CBE ，∴△PBE ∽△CBP ，∴PE PC =PB BC =12，∴PE =12PC ，∴PD +12PC =PD +PE ，∴当D 、P 、E 共线时，PD +PE 最小=DE ，此时P 在P ′处，作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ，在Rt △CDF 中，CD =BC =6，∠DCF =60°，∴CF =6•cos60°=3，DF =6•sin60°=33，在Rt △DEF 中，DF =33，EF =CE +CF =6-32+3=152，∴DE =(33)2+152 2=3372，∵PD +12PC 最小=3372．6如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =14x 2-32x -4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)如图1，连接BC ，点D 是抛物线上一点，若∠DCB =∠ABC ，求点D 的坐标；(3)如图2，若点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径作的圆上，连接BP 、CP ，请你直接写出12CP +BP 的最小值．试题分析：(1)分别令x =0和y =0解方程可得结论；(2)分两种情况：①当点D 在x 轴的上方时，根据等角对等边可得CE =BE ，设OE =a ，根据勾股定理列方程可得a 的值，确定CE 的解析式，联立直线CE 和抛物线的解析式列方程解出可得点D 的坐标；②当点D 在x 轴的下方时，根据内错角相等可得CD 与x 轴平行，C 和D 是对称点，可得点D 的坐标；(3)如图3，根据12PC +BP =PM +PB ，确定当B 、P 、M 三点共线时，12CP +BP 的值最小，根据勾股定理可得BM 的长，可得结论．答案详解：解：(1)当x =0时，y =-4，当y =0时，14x 2-32x -4=0，解得：x 1=8，x 2=-2，∴A (-2，0)，B (8，0)，C (0，-4)；(2)分两种情况：①当点D 在x 轴上方时，如图1，CD 交x 轴于点E ，∵∠DCB =∠ABC ，∴CE =BE ，设OE =a ，则BE =8-a ，Rt △OCE 中，由勾股定理得：a 2+42=(8-a )2，解得：a =3，∴E (3，0)，∵C (0，4)，设CE 的解析式为：y =kx +b ，则3k +b =0b =-4 ，解得：k =43b =-4 ，∴CE 的解析式为：y =43x -4，∵14x 2-32x -4=43x -4，解得：x 1=0，x 2=343，∴D 343，1009 ；②当点D 在x 轴的下方时，如图2，∵∠DCB =∠ABC ，∴CD ∥x 轴，∴C 和D关于抛物线的对称轴对称，∴D (6，-4)；综上，点D 的坐标为343，1009 或(6，-4)；(3)如图3，连接OP ，PM ，在y 轴截取OM ，使OM OP =OP OC =12，∵∠POM =∠POC ，∴△POM ∽△COP ，∴PM PC =12，∴PM =12PC ，∴12PC +BP =PM +PB ，当B 、P 、M 三点共线时，12CP +BP 的值最小，在Rt △BOM 中，BM =OB 2+OM 2=82+12=65，即12CP +BP 的最小值是65．7如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线AB 交于A (-4，-4)，B (0，4)两点，直线AC ：y =-12x -6交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ．(1)求抛物线y =-x 2+bx +c 的表达式；(2)连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；(3)①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求12AM +CM 它的最小值．试题分析：(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先利用待定系数法求出直线AB 的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；(3)①先判断出要以点A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形，只有EF 为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；②先取EG 的中点P 进而判断出△PEM ∽△MEA 即可得出PM =12AM ，连接CP 交圆E 于M ，再求出点P 的坐标即可得出结论．答案详解：解：(1)∵点A (-4，-4)，B (0，4)在抛物线y =-x 2+bx +c 上，∴-16-4b +c =-4c =4，∴b =-2c =4 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +4；(2)设直线AB 的解析式为y =kx +n 过点A ，B ，∴n =4-4k +n =-4 ，∴k =2n =4 ，∴直线AB 的解析式为y =2x +4，设E (m ，2m +4)，∴G (m ，-m 2-2m +4)，∵四边形GEOB 是平行四边形，∴EG =OB =4，∴-m 2-2m +4-2m -4=4，∴m =-2∴G (-2，4)．(3)①如图1，由(2)知，直线AB 的解析式为y =2x +4，∴设E (a ，2a +4)，∵直线AC ：y =-12x -6，∴F a ，-12a -6 ，设H (0，p )，∵以点A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形，∵直线AB 的解析式为y =2x +4，直线AC ：y =-12x -6，∴AB ⊥AC ，∴EF 为对角线，∴EF 与AH 互相平分，∴12(-4+0)=12(a +a )，12(-4+p )=122a +4-12a -6 ，∴a =-2，P =-1，∴E (-2，0)．H (0，-1)；②如图2，由①知，E (-2，0)，H (0，-1)，A (-4，-4)，∴EH =5，AE =25，设AE 交⊙E 于G ，取EG 的中点P ，∴PE =52，连接PC 交⊙E 于M ，连接EM ，∴EM =EH =5，∴PE ME =525=12，∵ME AE =525=12，∴PEME =ME AE =12，∵∠PEM =∠MEA ，∴△PEM ∽△MEA ，∴PM AM =ME AE =12，∴PM =12AM ，∴12AM +CM 的最小值=PC ，设点P (p ，2p +4)，∵E (-2，0)，∴PE 2=(p +2)2+(2p +4)2=5(p +2)2，∵PE =52，∴5(p +2)2=54，∴p =-52或p =-32(由于E (-2，0)，所以舍去)，∴P -52，-1 ，∵C (0，-6)，∴PC =-52 2+(-1+6)2=552，即：12AM +CM 的最小值为552．8问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求AP +12BP 的最小值．(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，则有CD CP =CP CB =12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP 的最小值为 37 ．(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP +BP 的最小值为 2337 ．(3)拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是CD 上一点，求2PA +PB 的最小值．试题分析：(1)利用勾股定理即可求出，最小值为AD =37；(2)连接CP ，在CA 上取点D ，使CD =23，则有CD CP =CP CA =13，可证△PCD ∽△ACP ，得到PD =13AP ，即：13AP +BP =BP +PD ，从而13AP +BP 的最小值为BD ；21(3)延长OA 到点E ，使CE =6，连接PE 、OP ，可证△OAP ∽△OPE ，得到EP =2PA ，得到2PA +PB =EP +PB ，当E 、P 、B 三点共线时，得到最小值．答案详解：解：(1)如图1，连接AD ，∵AP +12BP =AP +PD ，要使AP +12BP 最小，∴AP +AD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP +AD 最小，即：AP +12BP 最小值为AD ，在Rt △ACD 中，CD =1，AC =6，∴AD =AC 2+CD 2=37，AP +12BP 的最小值为37，故答案为：37；(2)如图2，连接CP ，在CA 上取点D ，使CD =23，∴CD CP =CP CA =13，∵∠PCD =∠ACP ，∴△PCD ∽△ACP ，∴PD AP =13，∴PD =13AP ，∴13AP +BP =BP +PD ，∴同(1)的方法得出13AP +BP 的最小值为BD =BC 2+CD 2=2337．故答案为：2337；(3)如图3，延长OA 到点E ，使CE =6，∴OE=OC +CE =12，连接PE 、OP ，∵OA =3，∴OA OP =OP OE =12，∵∠AOP =∠AOP ，∴△OAP ∽△OPE ，∴AP EP =12，∴EP =2PA ，∴2PA +PB =EP +PB ，∴当E 、P 、B 三点共线时，取得最小值为：BE =OB 2+OE 2=13．。
阿氏圆问题
阿氏圆问题1．阿氏圆的定义已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．2．阿氏圆的应用在初中阶段，阿氏圆主要用于求系数不相同的线段和的最小值．求PC＋kPD的最小值．3．解阿氏圆的基本方法构造子母相似△．4．解阿氏圆问题的一般步骤问题：求PC＋kPD的最小值（1）连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；（2）计算出所连接的两条线段OP、OD长度；（3）计算两条线段长度的比OPOD＝m；（4）在OD上取点M，使得OMOP＝m；（5）连接CM，与圆O的交点即为点P．5．阿氏圆问题的题型（1）两定点都在圆外：P A＋k·PB，k＜1（2）两定点都在圆内：P A＋k·PB，k＞1（3）一定点在圆外，一定点在圆内：m·P A＋n·PB，m＜1，n＞1（4）隐圆问题．类型1：两定点在圆外：系数不变，构造子三角形【例题1】（1）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则PD＋12PC的最小值为___________．（提示：记BC与⊙B交于点E，取BE的中点F，则△PBF∽△CBP，∴PF＝12PC，当D、P、F三点共线时，PD＋PF有最小值）（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，⊙C的半径为2，点P是⊙C上一动点，则AP＋12PB的最小值为___________．（提示：连接CP，在BC上取一点E，使得CE＝12CP＝1，则△EPC∽△PBC，∴PE＝12PB，当A、E、P三点共线时，AP＋PE（3）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作⊙B与AC相切，点P为⊙B上一动点，则P APC的最小值为____________．．（提示：连接BP，取BC的中点E，则△EPB∽△PCB，∴PE PC，当E、P、A三点共线时，PA＋PE）（4）如图，菱形ABCD边长为2，∠ABC＝60°，⊙A的半径为3，BC与圆相切于点E，点P在⊙A上运动，则PBPD的最小值为____________．．（提示：连接AP，作AF＝34AD＝32，则△AFP∽△APDPD＝PF）（5）如图，已知点A (－3，0)，B(0，3)，C(1，0)，若点P是⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，则1 4AP＋BP的最小值为___________．．（提示：连接CP，在OC上取一点E，使得CE＝14CP＝14，则△PEC∽△APC，∴PE＝14P A，当B、P、C三点共线时，PE＋BP（6）如图，若⊙OPOMO＝2，∠POM＝90°，点Q在⊙OPQ＋QM的最小值为____________．（提示：作OE＝15OP，则△QEO∽△PQOP Q＝QE）DDxxPP【例题2】如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则PD＋12PC的最小值为___________，PD－12PC的最大值为____________．【答案】5；5．（提示：连接BP，记BC与⊙B交于点E，取BE的中点F，则△PBF∽△CBP，∴PF＝1 2PC，当D、P、F三点共线时，PD＋PF有最小值5；当D、P、F三点共线时，PD－PF有最大值5）类型2：两定点在圆外：系数化简【例题3】（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D，连接AD、BD、CD，则2AD＋3BD的最小值为___________．【答案】（提示：在AC上取一点E，使得CE＝23CD＝4，则△CED∽△CDA，∴ED＝23AD，当E、D、B三点共线时，ED＋BD有最小值（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，半⊙O交x轴与点A、B(2，0)两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD＝2，BC＝7，若点P是半⊙O上的动点，则PD的最小值为___________．【答案】OD、OP，取OD的中点E，则△OPE∽△ODP，∴PEPD，当E、P、C三点共线时，PE＋PC有最小值）CDDCB Bx（3）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B＋6PC的最小值为___________．【答案】．（提示：分别连接AC、BD交于点O，则BD＝BP，在BD上取一点M，使得BMBP，则△PBM∽△DBP，∴PMPD，当C、P、M三点共线时，PM＋PC有最小值）类型3：两定点在圆内：向外延长，构造母三角形【例题4】（1）如图，∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，圆OP是圆O上一动点，则P APB的最小值为___________．．（提示：点在圆内，反向操作，延长OB至点C，使CO＝2OB＝2，则△OPB∽△OCP，∴P B＝PC）（2）如图，已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是弧CD上一点，则2P A ＋PB的最小值为___________．【答案】13．（提示：点在圆内，反向操作，延长OC至点E，使CE＝6，连接PE、OP，则△EOP∽△POA，∴PE＝2P A，当E、P、B三点共线时，PE＋PB有最小值13）DCC（3）如图，⊙O的半径为2，AB为直径，过AO的中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，DE为⊙O的直径，点P为⊙O上一动点，则2PC＋PE的最小值为____________．【答案】（提示：连接OP，延长OA至点F，使AF＝OA，则△FOP∽△PCO，∴PF＝2PC，当F、P、E三点共线时，PF＋PE有最小值【例题5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为2，点D是⊙C上一动点，点E在CB上，CE＝1，连接AD、DE，则12AD＋2DE的最小值为___________．（提示：连接CD，在CA上取一点F，使CF＝14CA＝1，则△FDC∽△DAC，∴DF＝12AD；∵CE＝1，CB＝4，∴△DCB∽△ECD，∴BD＝2DE，当F、D、B三点共线时，DF＋DB有最小值类型4：隐圆问题【例题6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△ABC内一动点，且满足CD＝2，则AD＋23BD的最小值为____________．（提示：点D的运动轨迹为以C为圆心，2为半径的圆，在BC上取一点E，使得CE＝2 3CD＝43，则△ECD∽△BCD，∴DE＝23BD，当E、D、A三点共线时，AD＋DEBF BBBABCDDEDCBA【例题7】如图，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BP A ＝135°，则2PD＋PC的最小值为____________．【答案】．（提示：连接AB，∵∠BP A＝135°，AB＝，∴点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，连接OP，在OA上取一点E，使得OE＝12OA，则△POE∽△COP，∴PE＝12PC，当D、P、E三点共线时，PD＋PE有最小值xx。
最值问题——阿氏圆
阿波罗尼斯圆
阿氏圆
• 一动点P到两定点A、B的距 离之比等于定比m:n,则P点的 轨迹是以定比m:n内分和外分 定线段AB的两个分点的连线 为直径的圆，称为阿波罗尼 斯圆,简称阿氏圆
• 专门解决（AP+mBP，m≠1）最小值问题
• 与胡不归模型区别： 胡不归（动点在直线上）；阿氏圆（动点在圆上)
内分点：当点P在线段AB上时，P就是AB的内分点 外分点：当点P在线段AB的延长线上时，P就是AB的外 分点
阿氏圆结论与证明
当P在在圆上运动时,PA、PB的的比值始终保持不变 构造子母型相似
P
O
P2
A
P1
B
模型使P1
B
确定模型五步骤：
①圆心
②圆上动点 ③圆外固定点
④以圆心所在角为公共角
2 37 3
∵AC = 4，CD = 3,在CB上取一点M，使得CM = 2 CD = 4
BC
3
3
AD + 2 BD的最小值 42 4 2 4 10
3
3
3
过关检测
学习从来无捷径，循序渐进登高峰
⑤子交点（位置需要自己找）在圆心与圆外固定点连线上
• 确定动点的运动轨迹,以及轨迹的圆心和半径 • 找到比例为k的边,构成母三角形,标出两边的夹角 • 利用标出两边的夹角,构造一个线段,长度比半径成比例k,构造出子三角形，母子
三角形相似 • 得到去除系数k的线段,结合两点之间线段最短进行求解
解析： 连接CP，在CB上取点D使CD=1 则△PCD∽△BCP AP+½BP=AP+PD 当A、P、D三点共线时,AP+PD的值最小 最小值= AC2 CD2 37
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PAkMB PB==，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PAkNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：()()()()()()2222222222222222212210221x m y k x m k yk x y m k m x k mm k mx y x mk++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA PB的最小值为__________．EABCDP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12 PA．问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12 PA？答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA，也只能构造12PA．（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．。
最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DB AC DC =．证明：ABD ACD S BD S CD = ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC⨯==⨯ ，即AB DB AC DC =（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB ==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
5最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACD S BD S CD =V V ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC ⨯==⨯V V ，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
5最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=．ABC DE证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则DB ABDE AE=，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PAkNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
初中数学最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
最值问题——阿氏圆
最值之阿氏圆问题一、方法突破在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．“阿氏圆”的一些性质：（1）PA MA NAk PB MB NB===．应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O．（2）△OBP∽△OPA，即OB OPOP OA=，变形为2OP OA OB=⋅．应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置．（3）OP OB PAk OA OP PB===．应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA：PB的值．N例1：常规（1）如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,C半径为2,P为圆上一动点,连结AP,BP,则AP+12BP的最小值为______________；13AP+BP的最小值为______________（2）如图2，已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，则2PA+PB的最小值为_______________（3）如图3,半圆的半径为1,AB为直径,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为ABˆ上一动点,则√22PC+PD的最小值为_______________图1 图2 图3例2：拓展例3：提升（1）如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则2PA PC +的最小值是 ．A（2）如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则32PB PD +的最小值为．（3）在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ﹦135°，则2PD ﹢PC 的最小值是 ______ ．例4：正方形ABCD 中，AB=2√2，点M 是BC 中点，点P 是正方形内一点，连接PC ，PM ，当点P 移动时，始终保持∠MPC=45°，连接BP ，点E ，F 分别是AB ，BP 中点，求3BP+2EF 的最小值为_________________CDAPE B例5：如图，在△ABC中，BC=4，AB=2AC，则△ABC的面积的最大值为____________例6：如图，直线l：y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+ a+4(a<0)经过点B，交x轴正半轴于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；（3）将点A绕原点旋转得点A'，连接CA'、BA'，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA' 以每秒3个单位的速度运动到A'，再沿线段A'C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？例7：如图，抛物线y=ax2+bx+c (a<0,a、b、c为常数)与x轴交于A、C两点，与y轴).交于B点，A (−6,0)，C (1,0)，B (0,163(1)求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；(2)已知点M (m,0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰二角形时，动点M相应位置记为点M'，将OM' 绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i ：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，NP始终保持NB不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；ii ：试求出此旋转过程中，(NA+3NB)的最小值．4二、知识巩固1．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，9AC =，4BC =，以点C 为圆心，3为半径做C ，分别交AC ，BC 于D ，E 两点，点P 是C 上一个动点，则13PA PB +的最小值为 ．2．如图，O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，O 半径为3，点(0,1)A ，点(2,0)B ，点P 在弧MN 上移动，连接PA ，PB ，则3PA PB +的最小值为3．如图，在ABC ∆中，6BC =，60BAC ∠=︒，则2AB AC +的最大值为 ．（3题图） （4题图） 4．【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足(PAk k PB=为定值）的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在ABC ∆中，4CB =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．5．如图，已知菱形ABCD的边长为8，60B∠=︒，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC−的最大值为．三、真题演练1．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作B，点P是B上一动点，连接PD、PC，则12PD PC+的最小值为．2．如图，扇形AOB中，90AOB∠=︒，6OA=，C是OA的中点，D是OB上一点，5OD=，P是AB上一动点，则12PC PD+的最小值为．3．如图所示的平面直角坐标系中，(0,4)A，(4,0)B，P是第一象限内一动点，2OP=，连接AP、BP，则12BP AP+的最小值是．4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点A 、B ，则所有符合(0PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点(,0)C m ，(0,)D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）:解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又POD MOP ∠=∠，POM DOP ∴∆∆∽． 任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 为ABC ∆内一动点，满足2CD =，利用（1）中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值．5．如图，在ABC ∆ 与DEF ∆中，90ACB EDF ∠=∠=︒，BC AC =，ED FD =，点D 在AB 上．（1）如图1，若点F 在AC 的延长线上，连接AE ，探究线段AF 、AE 、AD 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D 与点A 重合，且AC =4DE =，将DEF ∆绕点D 旋转，连接BF ，点G 为BF 的中点，连接CG ，在旋转的过程中，求32CG BG +的最小值；（3）如图3，若点D 为AB 的中点，连接BF 、CE 交于点M ，CE 交AB 于点N ，且::7:9:10BC DE ME =，请直接写出NDCN的值．6．在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AC AB =．若点D 为AC 上一点，连接BD ，将BD 绕点B 顺时针旋转90︒得到BE ，连接CE ，交AB 于点F ．（1）如图1，若75ABE ∠=︒，4BD =，求AC 的长；（2）如图2，点G 为BC 的中点，连接FG 交BD 于点H ．若30ABD ∠=︒，猜想线段DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若4AB =，D 为AC 的中点，将ABD ∆绕点B 旋转得△A BD ''，连接A C '、A D '，当A D C '+'最小时，求A BC S '．7.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OAOC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线的一个动点，过点P作PF⊥x轴垂足为F，交直线AD于点H.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求1AQ＋EQ的最小值.。
最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P（x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
5最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=．证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=FEDCBA（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点； 作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．ABCDE法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12PA．问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA？EABCDP答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显． 当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．ABCD【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．AB CDP。
最值问题阿氏圆ppt课件
BC
3值 42 4 2 4 10
3
3
3
过关检测
学习从来无捷径，循序渐进登高峰
三角形相似 • 得到去除系数k的线段,结合两点之间线段最短进行求解
解析： 连接CP，在CB上取点D使CD=1 则△PCD∽△BCP AP+½BP=AP+PD 当A、P、D三点共线时,AP+PD的值最小 最小值= AC2 CD2 37
2 37 3
∵AC = 4，CD = 3,在CB上取一点M，使得CM = 2 CD = 4
阿氏圆结论与证明
当P在在圆上运动时,PA、PB的的比值始终保持不变 构造子母型相似
P
O
P2
A
P1
B
模型使用步骤
P
P2
O
A
P1
B
确定模型五步骤：
①圆心
②圆上动点 ③圆外固定点
④以圆心所在角为公共角
⑤子交点（位置需要自己找）在圆心与圆外固定点连线上
• 确定动点的运动轨迹,以及轨迹的圆心和半径 • 找到比例为k的边,构成母三角形,标出两边的夹角 • 利用标出两边的夹角,构造一个线段,长度比半径成比例k,构造出子三角形，母子
阿氏圆
• 一动点P到两定点A、B的距 离之比等于定比m:n,则P点的 轨迹是以定比m:n内分和外分 定线段AB的两个分点的连线 为直径的圆，称为阿波罗尼 斯圆,简称阿氏圆
• 专门解决（AP+mBP，m≠1）最小值问题
• 与胡不归模型区别： 胡不归（动点在直线上）；阿氏圆（动点在圆上)
内分点：当点P在线段AB上时，P就是AB的内分点 外分点：当点P在线段AB的延长线上时，P就是AB的外 分点
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P
A
B
O
下给出证明 法一：首先了解两个定理 （1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则 AB = DB ．
AC DC
A
E F
B
D
C
证明： S ABD = BD ， S ABD = AB DE = AB ，即 AB = DB
(k2 −1)( x2 + y2 ) − (2m + ) 2k2m x + (k2 −1)m2 = 0
x2 + y2 − 2m + 2k2m x + m2 = 0 k2 −1
解析式满足圆的一般方程，故 P 点所构成的图形是圆，且圆心与 AB 共线．
2
那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：
A
D
A
D
P
BM
C
BM
C
P
6
A
D
P
B
C
【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=2，根据题意要求构造 1 PC ，在 BC 上取 M 2
使得此时 PM=1，则在点 P 运动的任意时刻，均有 PM= 1 PC ，从而将问题转化为求 PD-PM 2
的最大值．
A
D
A
D
P
BM
C
P
BM
C
连接 PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当 D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．
不同，如下，提供两种思路．
法一：构造相似三角形 注意到圆 C 半径为 2，CA=4，连接 CP，构造包含线段 AP 的△CPA，在 CA 边上取点 M 使 得 CM=2，连接 PM，可得△CPA∽△CMP，故 PA：PM=2:1，即 PM= 1 PA ．
2
A
D P
M
C
B
问题转化为 PM+PB 最小值，直接连 BM 即可．
CD=ED 且 AD 平分∠BDE，则 DB = AB ，即 AB = DB ．
DE AE
AC DC
接下来开始证明步骤：
P
A
M
B
O
N
如图，PA：PB=k，作∠APB 的角平分线交 AB 于 M 点，根据角平分线定理，MA = PA = k ， MB PB
故 M 点为定点，即∠APB 的角平分线交 AB 于定点； 作∠APB 外角平分线交直线 AB 于 N 点，根据外角平分线定理， NA = PA = k ，故 N 点为
3
【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．
法二：阿氏圆模型 对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点 M 使得 PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！
P
P
A
B
O
A
B
O
已知PA、PB之比确定圆
已知PA、圆确定PB
公众号：有一点数学
最值系列之阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点 距离之比等于定值（不为 1）的点的集合叫做圆．
如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时 PM=3，PA=6， 亦满足 PM:PA=1:2．
【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求 M 点位置，虽不够严谨，却很实用．
4
公众号：有一点数学
【练习 1】如图，在 ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点 C 为圆心，6 为半径的圆 上有一个动点 D．连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是 ．
NB PB 定点，即∠APB 外角平分线交直线 AB 于定点；
又∠MPN=90°，定边对定角，故 P 点轨迹是以 MN 为直径的圆．
P
A
M
B
O
N
法二：建系 不妨将点 A、B 两点置于 x 轴上且关于原点对称，设 A（-m，0），则 B（m，0），设 P（x， y），PA=kPB，即：
( x + m)2 + y2 = k ( x − m)2 + y2 ( x + m)2 + y2 = k2 ( x − m)2 + k2 y2
S ACD CD S ACD AC DF AC
AC DC
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角 CAE 的角平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D，则 AB = DB ．
AC DC
E
A
B
C
D 1
公众号：有一点数学
证明：在 BA 延长线上取点 E 使得 AE=AC，连接 BD，则△ACD≌△AED（SAS），
C
C
M
D A
M
D
B
A
B
问题转化为 DM+DB 的最小值，直接连接 BM，BM 长度的 3 倍即为本题答案．
C
M D
A
B
5
公众号：有一点数学
【练习 2】如图，已知正方 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点， 则 PD − 1 PC 的最大值为_______．
2
公众号：有一点数学
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点 C 为圆心，2 为半径作圆 C，分别交 AC、BC 于 D、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则 1 PA + PB 的最小值为__________．
2
A
D P
C
E
B
【分析】这个问题最大的难点在于转化 1 PA ，此处 P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所 2
【问题剖析】
（1）这里为什么是 1 PA ？ 2
答：因为圆 C 半径为 2，CA=4，比值是 1:2，所以构造的是 1 PA ，也只能构造 1 PA ．
2
2
3
公众号：有一点数学
（2）如果问题设计为 PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆 C 半径与 CB 之比为 2:3，k 应为 2 ．
C
D
A
B
【分析】首先对问题作变式
2AD+3BD=
3
2 3
AD
+
BD
，故求
2 3
AD
+
BD
最小值即可．
考虑到 D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造 2 AD ，条件已经足够明显． 3
当 D 点运动到 AC 边时，DA=3，此时在线段 CD 上取点 M 使得 DM=2，则在点 D 运动过程
中，始终存在 DM = 2 DA ． 3
而且这种问题里，给定的圆的位置、定点 A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！
P 点轨迹圆的圆心 C 点和 A 点在直线 AC 上，故所求 M 点在 AC 边上，考虑到 PM：PA=1:2， 不妨让 P 点与 D 点重合，此时 DM= 1 DA =1，即可确定 M 点位置．
2
A A
2 D (P)