关于李雅普诺夫稳定性研究的读书报告
第六章李亚普诺夫稳定性分析
如图5-3李雅普诺夫意义下的稳定性示意图
2.古典理论稳定性定义(渐近稳定性)
设 xe 是系统 的一个孤立平衡状态，如果
（1） xe 是李雅普诺夫意义下稳定的；
（2）
则称此平衡状态是渐近稳定的。
2009-08
CAUC--空中交通管理学院
§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
- 初始状态 - 平衡状态
图6-2 二维空间渐近稳定性的几何解释示意图
3.内部稳定性与外部稳定性的关系
1)若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（ BIBO稳定）的。
2)若系统是外部稳定（BIBO稳定）的，且又是可控可观测的， 则系统是内部稳定（渐近稳定）的。此时内部稳定和外部稳定 是等价的。
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CAUC--空中交通管理学院
§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
(外部稳定性也称为BIBO（Bounded Input Bounded Output ）稳定性)
说明：
（1） 所谓有界是指如果一个函数 ，在时间区间[0，∞] 中，它的幅值不
会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的t∈ [0 ∞] ，恒有
|h(t)| ≤ k ≤ ∞成立。 （2） 所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
若对所有t，状态x满足
，故有下式成立:
，则称该状态x为平衡状态，记为
（5-2）
由平衡状态在状态空间中所确定的点 ，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
（1）线性定常系统
其平衡状态xe满足Ax=0
A非奇异，则存在唯一的一个平衡状态xe =0 。 （2）非线性系统
方程
的解可能有多个。
2009-08
CAUC--空中交通管理学院
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。
由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
V ( x ) V1 (x ,0,,0) dx1 V2 (x , x ,0,,0) dx2 Vn
0
1
x1
x2
xn
0
1
2
0
(x1 , x2 ,, xn )
dxn
变量梯度法 (5/10)
按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。
1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为
由于 V ( x ) f ( x ) f ( x )为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f ( x ) f ( x ) 正定。
ˆ (x)负定,则 V ( x, t ) f ( x ) J ˆ ( x ) f ( x )必为负定。 因此,若 J
所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定的。
V x V 1 1 dV gradV ( x ) dx V Vn xn
舒尔茨和吉布生建议 ,先假设gradV具有某种形式 , 并由此 求出符合要求的V(x)和V'(x)。
1 6 0, 6 2 2 2 36 x 2 8 0 2 2 2 6 x2
ˆ ( x ) 负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡 故矩阵函数 J 态xe=0是渐近稳定的。
李雅普诺夫稳定性分析
4.1 概述 4.2 李亚普诺夫第二法的概述 4.3 李亚普诺夫稳定性判据 4.4 线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 小结
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.1 引言
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。控制系 统的稳定性通常有两种定义方式：
W (s) C(sI A)1 B 1
0s
1 0
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统 输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零 点 s 1对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出 来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极 点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的 极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则 称系统为输出稳定。
线性系统输出稳定性判据
线性定常系统 (A, B,C) 输出稳定的充要条件是其传
递函数 W (s) C(sI A)1 B 的极点全部位于s的左半平面。
例题4.1 系统的状态空间描述为
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
★ 李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二方法又称直接法。它的基本思想不是 通过求解系统的运动方程，而是借助了一个李亚普诺夫函 数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断，它是从能量 观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存 的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量 将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之， 如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这 个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也 不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。
_李雅普诺夫稳定性理论_的教学研究
① 收稿日期: 2004208226; 修回日期: 2004211208
电 力 系 统 及 其 自 动 化 学 报 2005 年第 3 期
只要扰动幅度不要太大, 直观上看, 它仍然会回到 A 点。这些物理现象显然符合“位能最低点是一个 稳定平衡状态”的论述。因为从力学角度看, 图 1 (c) 中的小球受扰后运动, 其动能减少而位能增 加, 由于摩擦力的作用, 这个运动是一个耗散能量 的过程, 总的储能不断地在减少, 则总储能对时间 的变化率是个负数, 因此, 总能量最后应消耗到等 于零。如果计算位能是以 A 点为基准的, 那么在图 1 (c) 的A 点处, 小球的动能和位能之和为零, 这是 一个最小储能点, 因而小球会停留在这点上。对图 1 (b) 的小球运动, 当以 S—K 作为位能基准时, 只 要小球停止, 动能和位能总和为零, 它是随意平衡 的。而图 1 (a) 的情况则不同, A 点不是最小储能 点, 所以小球在这个位置不能稳定平衡。这个简单 的例子直观地说明: 一个动态系统 (如小球的运动) 的总能量 (这是一个正值量) 随时间的变化率是负 数时, 也就是说它是一个耗能系统时, 它最后总是 回到它的最小储能位置上, 这样, 能量的度量可以 作为一个动态系统稳定性的度量。
的角度来解释。假定所选的李雅普诺夫函数 V (x ) 是一个正定泛函, 可以证明, 如果 x 为 n 维矢量, 由 式子V (x ) = C (常数) 确定的超曲面, 在 C 很小时 是 一个封闭超曲面。并且, 如果随 ‖x‖ → ∞, V (x ) → ∞, 那么, 对于任意常数C , 由式子V (x ) = C (常数) 所确定的超曲面均为封闭的超曲面。此 外, 设 V (x ) = C 1 和 V (x ) = C 0 是两个超曲面。若 C 1 < C 0, 即意味着V (x ) = C 1 的超曲面完全给包含 在 V (x ) = C 0 的超曲面内, 如图 5 所示。
第十一章 李雅普诺夫稳定性分析
原 理 中 所 讲 的 也 有 所 不同 。
一 ， 李 雅 普 诺 夫 意 义 下的 稳 定 性 的 含 义
当
f(X e ,t) 0 时
则Xe被 称 为 系 统 的 平 衡 状 态。
应
用
范
数
表
示
以
平
衡
状态X
为
e
圆
心,
半
径
为R的 球 域 时,可 写 成 X Xe R 其 中 X Xe
被 称 为 欧 几 里 德 范 数 。它 等 于 ：
自 动 调 速 系 统 中 保 持 电机 转 速 为 一 定 的 能
力,以 及 火 箭 飞 行 中 保 持 航行 为 一 定 的 能 力 等 都 是 。 具 有 稳 定 性 的系 统 被 称 为 稳 定 的
系 统;反 之 不 具 有 稳 定 性 的 系统 被 称 为 不 稳 定系统。
由 上 面 所 讲 的 含 义 可 见,所 谓 系 统 的 稳 定 性 就 是 系 统 受 到 小 的外 界 干 扰 后,系 统 的 偏 差 量 的 过 渡 过 程 的 收敛 性, 假 如 系 统 在 受 到 外 界 干 扰 后,其 偏 差 量 越 来 越 大,显 然 它 不 可 能 是 一 个 稳 定 的 系 统。 可 见 稳 定 性 乃 是
第十一章李雅普诺夫稳定性分析
$1
概述
一 个 自 动 控 制 系 统 要 能正 常 的 工 作 ， 它 必 须 首 先 是 一 个 稳 定 的 系 统 。也 就 是 说 ， 当 系 统 受 到外 界 干 扰 后,虽 然 它 的 原 有 平 衡 状 态(相 对 稳 定 状 态)被 破 坏, 但 在 外 部 干 扰 去 掉 后,仍 有 能 力 自 动 地 在 另 一新 的 平 衡 状 态(相 对 稳 定 状 态)下 继 续 工 作 下 去,系 统 的 这 一 种 本 能 通 常 叫 做 系统 的 稳 定 性 。 例 如,常 见 的 电 压 自 动 调 节 系 统 中 保 持电 机 电 压 为 恒 定 的 能 力,电 机
第4章李雅普诺夫稳定性分析
第4章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是数学分析中的一个重要概念，它用于判断非线性系统在其中一点附近的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析方法最初由俄国数学家李雅普诺夫提出，广泛应用于控制论、微分方程和动力系统等领域。
在进行李雅普诺夫稳定性分析时，首先需要确定非线性系统的平衡点。
平衡点是指系统在其中一时刻的状态不再发生变化，即各个状态变量的导数为零。
在平衡点附近，可以通过线性化的方法来近似非线性系统，即将非线性系统转化为线性系统进行分析。
接下来，利用李雅普诺夫稳定性定理可以判断线性化系统的稳定性。
根据定理的不同形式，可以分为不动点稳定性定理和周期解稳定性定理。
不动点稳定性定理是指当线性化系统的特征根都具有负的实部时，非线性系统在平衡点附近是稳定的；而当至少存在一个特征根具有正的实部时，非线性系统在平衡点附近是不稳定的。
这个定理对于线性化系统为一阶系统或者线性化系统的特征根为复数的情况适用。
周期解稳定性定理是指当线性化系统的所有特征根满足一定条件时，非线性系统在周期解附近是稳定的。
这个定理对于封闭曲线解以及周期解的情况适用。
当线性化系统无法满足上述定理时，可以使用李雅普诺夫直接法来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫直接法是基于李雅普诺夫函数的概念，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是满足以下条件的函数：1）李雅普诺夫函数的导数在其中一区域内是负定的，即导数的每个分量都小于或等于零；2）在平衡点附近，李雅普诺夫函数取得最小值。
通过构造合适的李雅普诺夫函数，并验证满足上述条件，就可以判断非线性系统的稳定性。
如果李雅普诺夫函数的导数在整个状态空间都是负定的，则非线性系统是全局稳定的；如果李雅普诺夫函数的导数在一些有限的状态空间内是负定的，则非线性系统是局部稳定的。
总之，李雅普诺夫稳定性分析是一种有力的工具，可以用于判断非线性系统的稳定性。
不过需要注意的是，李雅普诺夫稳定性分析方法仅适用于平衡点附近的稳定性分析，对于非线性系统的全局稳定性分析还需要其他的方法。
最新李亚普诺夫稳定性分析
对于线性定常系统，通常只存在唯一的一个平衡状态，因此对 于系统而言只有一种稳定性，可以一般地说系统是否稳定。对 于非线性系统，由于系统中可以存在不同的平衡状态，而不同 的平衡状态又可以有不同的稳定性，所以，一般来说，只能提 某一平衡状态的稳定性，不能笼统地谈系统的稳定性。
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
称此平衡状态是渐近稳定的。
x2
x(0)
x1
x2
x(0)
x1
渐近稳定
李雅普诺夫意义下稳定
✓ 若实数(,t0)与初始时刻t0无关，则称平衡状态是一致渐 近稳定的。
✓ 对于定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0 必定无关,故其稳定性与一致稳定性两者等价。
✓ 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。
持平衡、维持现状不 运动的状态,如图所示。
平衡态 平衡态
平衡态
显然，对于线性定常系统
x Ax
的平衡状态xe是满足下述方程的解。 Axe=0
当矩阵A为非奇异时，线性系统只有一个孤立的平衡状态 xe=0; ➢ 而当A为奇异时，则存在无限多个平衡状态，且这些平 衡状态不为孤立平衡状态，而构成状态空间中的一个子 空间。
3 渐近稳定性
上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡状态附近的解总是 在该平衡状态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终 状态稳定于何处。 ➢ 下面我们给出强调系统最终状态稳定性的李雅普诺夫意 义下的渐近稳定性定义。
系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：
lti m x(t;x0,t0)xe 0
长 的 时 间 隧 道，袅
李亚普诺夫稳定性分析
概述
一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系 统。
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析常微分⼤作业--李雅普诺夫稳定性11091059洪⼀洲从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论⼀直指导着关于稳定性的研究和应⽤。
不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第⼆⽅法作了⼀些新的发展。
⼀⽅⾯，李雅普诺夫第⼆⽅法被推⼴到研究⼀般系统的稳定性。
例如，1957年，В．И．祖博夫将李雅普诺夫⽅法⽤于研究度量空间中不变集合的稳定性。
随后，J.P.拉萨尔等⼜对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进⾏了研究。
在这些研究中，系统的描述不限于微分⽅程或差分⽅程，运动平衡状态已采⽤不变集合表⽰，李雅普诺夫函数是在更⼀般意义下定义的。
1967年，D.布肖对表征在集合与映射⽔平上的系统建⽴了李雅普诺夫第⼆⽅法。
这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，⽽是在有序定义的半格上取值。
另⼀⽅⾯，李雅普诺夫第⼆⽅法被⽤于研究⼤系统或多级系统的稳定性。
此时，李雅普诺夫函数被推⼴为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。
⽤这种⽅法可建⽴⼤系统稳定性的充分条件。
1.李雅普诺夫稳定性概念忽略输⼊后，⾮线性时变系统的状态⽅程如下),(t x f x= （1）式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数，其展开式为 12(,,,,)i i n x f x x x t = n i ,,1 =假定⽅程的解为 ),;(00t x t x ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，0000),;(x t x t x =。
平衡状态如果对于所有t ，满⾜0),(==t x f xe e （2）的状态x e 称为平衡状态（⼜称为平衡点）。
平衡状态的各分量不再随时间变化。
若已知状态⽅程，令0=x所求得的解x ，便是平衡状态。
对于线性定常系统Ax x= ，其平衡状态满⾜0=e Ax ，如果A ⾮奇异，系统只有惟⼀的零解，即存在⼀个位于状态空间原点的平衡状态。
⾄于⾮线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态⽅程决定。
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
预备知识
控制系统的李雅普诺夫(Lyapunov) 稳定性分析
主要内容 ＞李雅普诺夫意义下的稳定性
❖平術状态
❖ 稳定、渐近稳定、大范@a 魂定、不魏定的定义
＞李雅普诺夫稳定性理论
»李雅普诺夫第一法
线性系统的稳定判揭 ❖ 菲邈性系玻的稳定判揭
＞李雅普诺夫第二法
❖预备知识 ❖几个穂定判据
用其性质判断系统的稳定性（间 接法）
其基本思路和分析方法与经典理论一致 驚鑿夫不求解微分方程，而利用经验和技
巧构造能量函数…•李雅普诺夫函数来 判断 系统的稳定性（直接法）
对任意阶线性或非线性. 定
常或时变系统的稳定性 分析 特别适用于非线性系统和时变系统
均适用的一般性方法
（因其状态方程求解困难）
7
9
1）如果系统是线性定常的，即：
,则当
A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态即
原点;
Axe = 0 => 兀,=0
10
当 A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。 q 兀=0=＞无
穷多个兀
2）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这 些状态对应于
系统的常值解（对所有 t,总存在 兀二兀）
则称系统的平衡状态兀为渐近稳定的,
其中球域 S0)被称为平衡状态兀,的吸引域。
1) 渐近稳定必然是 Lyapunov 意义下的稳定
2) lim||x(r;x09r0)-xJ| ^>0
3) 5 与心无关=> 一致渐近稳定
19
(b)
平衡状态
说明：
渐近稳定性表明系统 能 完全消除扰动的影 响； 但，只是一个局部概 念，依赖系统的平衡 状 态。
李雅普洛夫稳定性分析
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。
（2）
求系统的特征方程：
4）(半)正定和(半)负定间的关系
V(x)为正定，则－V(x)为负定； V(x)为半正定，则－V(x)为半负定；
5）不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正 值也可为负值，则V(x)为不定。
4.3 二次型标量函数XTPX 1、二次型函数V(x)：
p11 p12 p1nx1
V(x)[x1,x2, ,xn]p21
如果 1 p 1 10 , 2p p 1 21 1p p 1 2 2 20 , ,n P 0
则P为正定，即V(x)正定。
2）二次型 V(x)xTPx为负定，或实对称阵P为负定的
充要条件是P的主子行列式满足 i 0(i为奇数；）i 0
（ i为偶数）i=1，2，3，…,n。
4.4 稳定性判据
判据1：设系统的状态方程为 xf(x)
dI e A t ) ( 1 6 1 ( 2 )( 3 ) 0
求 得 12 ， ： 2 3
系统不是渐近稳定的。
3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法
对非线性系统 Xf(X,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
其作线性化处理，在Xe 领域内展开成泰勒级数 X X fT(XX e)R (X ) 。
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原 点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。
基于正定二次型的李雅普诺夫稳定性分析
基于正定二次型的李雅普诺夫稳定性分析摘要：李雅普诺夫稳定性理论以状态向量描述为基础，不仅适用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统。
但要应用李氏判据判断系统稳定性，就要涉及到系统矩阵A特征值的求解以及根据系统状态方程构造正定二次型的李雅普诺夫函数来判断系统稳定性。
1.问题的提出我们在处理实际工程问题时，经常需要判断系统稳定性，一般稳定性判据都有一定局限性，李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统，它以状态向量描述为基础，结合正定二次型的相关知识对系统稳定性进行判断。
2.问题的求解李雅普诺夫稳定性理论分析系统稳定性的两种方法：（1）利用线性系统微分方程的解来判断系统的稳定性——李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法的主要内容1）用一次近似式表示状态方程，即：X=AX+B(x)如果A的全部特征值都具有负实部，则系统在平衡点xe=0处是稳定的，且系统的稳定性与高阶项B(x)无关。
2）如果X=AX+B(x)的A的特征值中至少有一个具有正实部，则无论B(x)如何，系统在平衡点xe=0处为不稳定的。
3）如果X=AX+B(x)的A的含有等于零的特征值，则系统的稳定性由B(x)决定。
李雅普诺夫第一法是根据系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性的。
（2）构造李雅普诺夫函数，利用构造的李氏函数判断系统稳定性——李雅普诺夫第二法（直接法）观察振动现象，若系统能量(含动能和位能)随时间推移而衰减，则系统迟早会达到平衡状态。
基本思想：若系统内部能量随时间↑而↓,最终到达静止状态，系统稳定。
虚构一个能量函数（李雅普诺夫函数)V(x，t)=f（x1，x2，……x n，t）V(x)=f（x1，x2，……x n）V(x,t)或V(x)是一个标量函数。
能量总大于零，故为正定函数。
能量随随时间增加而衰减，即：V(x，t)或V(x)的导数小于零。
第五章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总
Re(i ) 0, (i 1, 2,..., n) lim x(t ) 0, 系统渐近稳定。
t
如果只有一个（或一对）特征值的实部等于0，其余特征值实 部均小于0，则系统仅仅可能是李亚普诺夫意义下的稳定性。
线性定常系统的特征值判据： 系统 x Ax 渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实 部，即：Re( i ) 0 (i 1,2,, n) 证明：假定A有相异特征值 1 ,..., n 根据凯莱哈密顿定理：矩阵指数eAt为 e1t ,..., ent的线性组合
e At R1e1t ... Rn ent
x xe ( x1 xe1 ) 2 ... ( xn xen ) 2
2
2
2
由范数的定义可知，向量 ( x xe ) 的范数可写成
通常又将 x xe 称为 围之内时，则记为
x 与 xe 的距离。当向量 ( x xe ) 的范数限定在某一范
x xe
0
xe
与经典控制理论的区别： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 平衡点/BIBO； 状态稳定/输出稳定； 经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐进稳定； 即便输出稳定，状态可能不稳定； 李雅普诺夫意义下的稳定在经典中是不稳定的； 经典控制不需要一致性、全局性概念。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 一、李雅普诺夫第一方法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来 判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系 统以及线性时变系统和非线性系统可以线性化的情况。
意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡， 不再随时间变化。 平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统
李雅普洛夫稳定性分析59页文档
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地
5现代控制理论5李雅普诺夫稳定性分析报告
对于线性定常系统，其状态方程为
x Ax
系统的平衡状态应满足Axe = 0。 当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态 xe = 0。 当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有 坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。
7
对于非线性系统，方程f( xe，t) = 0的解可能 有多个，即可能有多个平衡状态。如
值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳 定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、 线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。
1. 线性定常系统 定理5-1 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A 的特征值均具有负实部，即
Re(i) < 0（ i = 1，2，…，n）
显然，这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全 相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定。
x f (x,t)
f(x, t)对状态向量x有连续的偏导数。设系统的平衡状 态为xe = 0，则在平衡状态xe = 0处可将f(x, t)展成泰勒 级数，则得
x Ax R(x)
19
f1
A
f ( x,t) x T
x1 f2
x1
f1
x2 f2
解:
v(x) =10 x12 +4 x22 +2 x1 x2
当v(x)是正定的，称P是正定的，记为P > 0； 当v(x)是负定的，称P是负定的，记为P < 0； 当v(x)是正半定的，称P是正半定的，记为P 0； 当v(x)是负半定的，称P是负半定的，记为P 0。
27
例5-1 已知v(x) =10 x12 +4 x22 +2 x1 x2 ，试判定 v(x)是否正定。
关于李雅普诺夫稳定性研究的读书报告
关于李雅普诺夫稳定性研究的读书报告摘要：本文通过对李雅普诺夫稳定性研究的深入阅读，总结了李雅普诺夫稳定性定理的核心内容和应用领域，并对其研究方法和意义进行了探讨。
通过深入理解和运用李雅普诺夫稳定性定理，可以有效地评估和预测非线性动力学系统的稳定性，对现实世界中的复杂系统具有重要的指导意义。
引言：李雅普诺夫稳定性是非线性动力学中的一个重要概念，对于理解和描述动力学系统的稳定性特性起到了至关重要的作用。
李雅普诺夫稳定性的理论研究成果为广大科学家提供了一种分析非线性系统稳定性的有力工具。
本文通过对相关文献的搜集和学习，对李雅普诺夫稳定性研究的核心内容、应用领域以及研究方法进行了总结和探讨。
一、李雅普诺夫稳定性定理的核心内容李雅普诺夫稳定性定理的核心思想是通过判断动力学系统的初始条件附近初始状态的微小扰动是否会被系统本身抵消，从而来判断系统的稳定性。
具体而言，李雅普诺夫稳定性定理包括三个重要定理：零稳定定理、相对稳定定理和绝对稳定定理。
零稳定定理指出，如果在某一初始状态下，系统的鲁棒性能指标能够保持在一个有限范围内，则该状态为零稳定状态。
相对稳定定理进一步强调了系统的稳定性特性，其指出，对于任意两个初始状态，如果它们之间的差异在某个范围内，则这两个状态之间的稳定性是相对稳定的。
绝对稳定定理则是对系统稳定性进行了更为严格的定义，它指出，如果在系统的任何一个初始状态下，初始状态的微小扰动都会随着时间的推移趋于零，则该系统为绝对稳定状态。
二、李雅普诺夫稳定性定理的应用领域李雅普诺夫稳定性定理广泛应用于各个领域的非线性动力学系统的研究中，包括力学、生物学、化学、电子工程等等。
在力学领域，李雅普诺夫稳定性定理可用于研究复杂机械系统的稳定性，例如弹性材料的动力学行为、混沌吸引子的存在与性质等。
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关于李雅普诺夫稳定性研究的读书报告
1、判据概述
对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。
李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。
李雅普诺夫第二方法的局限性在于，运用时需要系统的稳定性问题。
现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。
但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。
李雅普诺夫稳定性主要涉及稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定四种情况。
（1）稳定
用表示状态空间中以原点为球心以ε为半径的一个球域，表示另一个半径为的球域。
如果对于任意选定的每一个域，必然存在相应的一个域，其中，使得在所考虑的整个时间区间内，从域内任一点出发的受扰运动的轨线都不越出域，那么称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。
（2）渐近稳定
如果原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的,而且在时间趋于无穷大时受扰运动收敛到平衡状态,则称系统平衡状态是渐近稳定的。
从实用观点看，渐近稳定比稳定重要。
在应用中，确定渐近稳定性的最大范围是十分必要的，它能决定受扰运动为渐近稳定前提下初始扰动的最大允许范围。
（3）大范围渐近稳定
又称全局渐近稳定，是指当状态空间中的一切非零点取为初始扰动时，受扰运动都为渐近稳定的一种情况。
在控制工程中总是希望系统具
有大范围渐近稳定的特性。
系统为全局渐近稳定的必要条件是它在状态空间中只有一个平衡状态。
（4）不稳定
如果存在一个选定的球域，不管把域的半径取得多么小，在内总存在至少一个点，使由这一状态出发的受扰运动轨线脱离域则称系统原点平衡状态是不稳定的。
2、理论应用研究现状
(1)估计非自治系统的吸引域
对于非自治系统，设是R中包含原点的一个开发区域，对所有和任意给定的总能找到一个，使当时，有成立，则称是系统零解的一个吸引域。
当零解渐进稳定时，它有一个邻域作为吸引域，希望能估计出一个范围较大的吸引域。
定理：若上述系统的右端函数关于连续，，且在，中有界。
若有一个正定函数满足：时关于连续，且有，则零解渐进稳定的。
(2)判断非线性系统的中心或焦点
对于非线性系统，与之相应的线性系统为或，其中，显然当且仅当时，系统有唯一的奇点，因为系统（1）与系统可通过拓扑变换相互转化，即二者是拓扑同胚，二者具有相同的拓扑结构稳定性。
判断中心焦点的V函数法：设原点O是系统的一个奇点，并且是对应线性系统的中心，在原点的领域U内存在一个连续可微的正定函数，有以下几种情形：若沿着系统轨线的全导数，则0是系统的中心。
其中全导数满足若沿着系统的轨线全导数负定，则0是系统的稳定焦点。
若沿着系统的轨线全导数正定，则0是系统的不稳定焦点。
3、实际应用情况
（1）对大学生体育素质稳定性的评估
大学生体育素质的综合评估具有重要的理论意义和应用价值，尤其
是对某个学生群体的综合评估具有很大的应用价值。
影响大学生体育素质的因素有多个方面，包括教师水平、学校设施、学生自身条件及时间、精力的投入等，这些都是受非随机干扰的随机性变量。
因此，对特定大学生群体体育素质的稳定性评估需要着力研究。
考虑这些情况，将李雅普诺夫稳定性理论运用于所研究内容。
1982 年，俄国数学力学家李雅普诺夫的博士论文《运动稳定性的一般问题》对运动稳定性给出严格的、精确的数学定义和解法，从而奠定了稳定性理论的基础。
随后，经过近百年的发展，形成了一整套的稳定性的数学理论，并在实践中广泛应用。
使用该理论进行稳定性评估是通过建立系统动态方程而后对其动态变化特性进行推导和分析。
首先确定评估需要考察的内容，然后根据评估指标及其测度方法来表征相应内容。
随后，基于李雅普诺夫稳定性理论，建立大学生体育素质的动态方程，最后列举评估实例说明方法有效性。
（2）在目标识别效果评估中的应用
目标识别具有重大的理论意义和应用价值，长期以来，对目标识别效果评估的研究相当有限：a.没有形成一种完整的、通用的评估理论；
b.成熟的、可直接应用于实际工作的评估方法非常少；
c.评估中没有将识别过程所处的条件有机地考虑进去。
因此，效果评估成为目标识别中最迫切需要解决的重要问题。
对这一方向进行研究，主要针对识别效果的稳定性进行研究。
从整体上来说，目标识别系统融入了待识别目标、环境、识别处理系统，因此，它是一个复杂的大系统，在这中间的随机性因素很多，不确定性的因素也很多，研究识别效果在这样复杂情况下的稳定性具有重要的理论和实践意义。
将李雅普诺夫稳定性理论运用于所研究内容，首先形成目标识别系统的动态模型，随后基于李雅普诺夫稳定性理论，可以分析目标识别系统的稳定性条件，并给出识别效果的动态变化示意图。
利用李雅普诺夫稳定性理论进行目标识别系统识别效果稳定性分析的优势：a.理论依据充分，结论清晰明了；b.在一旦找出识别系统获得
的目标特征信息变化规律及某些情况下的识别效果后，就可以进行全局的分析；c.评估方法具有通用性，可以适用于任意一种识别系统的评估。
（3） 在飞机空气动力和动力学方程中的应用
飞机的稳定性是飞行动力学的重要组成部分,基于飞机空气动力和动力学方程的非线性，将李雅普诺夫稳定性分析方法应用于飞机在定常大迎角飞行状态的稳定性分析，该方法克服了小迎角的局限性，在某型号设计中得到了具体的应用
在航空科学发展的早期，飞机的机动性不高，飞行迎角不大，飞机气动力随迎角的变化保持很好的线性。
因此，采用定常直线飞行基准状态的小扰动的假设，忽略运动方程的非线性影响，采用气动导数的方法来分析飞机的稳定性。
由于这样处理具有方法简单，物理意义明显，模态特性可以按纵、横航向分开处理，在飞行动力学中得到了广泛应用。
随着航空科学的进一步发展，越来越强调飞机的机动性、敏捷性。
在高机动性飞机的飞行中，如快速滚转、快速拉升或俯冲，大过载盘旋，大迎角状态下气动力的非线性及纵、横向气动力的交叉，动力学方程中非线性因素的影响，是必须要考虑的。
（4）基于信息熵的模糊控制系统稳定性的分析
鉴于模糊控制系统稳定性分析方法的复杂性和不完善性，用信息论的观点思考这一问题。
依据李雅普诺夫稳定性分析原理，通过引入信息熵的概念，对模糊控制系统的稳定性分析方法进行深入研究和探讨。
在综合考虑系统动态品质和稳定边界要求的基础上，给出一般模糊控制系统的稳定性定义，并通过严格的数学推导证明使模糊控制系统稳定的一个充分条件。
4、总结与感想
通过这九周上课的学习，我对线性系统理论的知识有了基本的了解与认识，在课下阅读了大量的期刊文献后，我对李雅普诺夫的具体应用
有了一定的认知。
不论是在理论研究，还是在实际应用中，用李雅普诺夫判据判断系统的稳定性是十分有用和有效的，它能帮助我们更好的分析系统的性能，从而为我们所用。
目前我对此判据的认识还很浅，在今后的学习过程中，我会进一步探寻，争取对李雅普诺夫判据有更加深入的理解和更好的掌握这个方法。
5、参考文献
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[2] 李小迪.一类非自治系统零解的稳定性[J].成都师范大学学报，2007(6):106-107.
[3] 朱美玉.李雅普诺夫稳定性理论应用研究[J].河南师范大学学报，2009（7）
[4] 贺 华.李彦鹏.采用李雅普诺夫稳定性理论进行大学生体育素质稳定性评估[J].四川体育科学，2008（6）
[5] 税清才.孙本华.基于飞机空气动力和动力学方程的非线性分析李雅普诺夫稳定性[J].空军工程大学学报（自然科学版），2003(6) [6] 李彦鹏.黎湘.王宏强.庄钊文.梁甸农.李雅普诺夫稳定性理论在目标识别效果评估中的应用[J].中国工程科学，2005（7）
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