华南理工大学数学实验实验六

a7 = [100 55 0 35 6 50 25 10 20]';%7 种特效药各自形成 7 个 9 维列向量
A = [a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7];
%向量组
[A0, jb] = rref(A)
%A 的行最简形和一组最大线性无关组
r = length(jb)
%A 的秩
A1=[a1 a2 a4 a5 a6 a7]; %第一组最大线性无关组
实验六
线性相关性
地
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计算中心 202 房； 2018 年 5 月 23 日
实验台号： 评 分： 实验教师：
信息工程 4 班-03-陈邦栋实验六.doc
03 刘小兰
1． 实验目的
- 理解向量、向量组的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与无关、最
10
35
10
I
8
2
12
0
2
6
20
中药
A B C D E F G H I
表 2 3 种新特效药的成分
1 号新药
2 号新药
40
162
62
141
14
27
44
102
53
60
50
155
71
118
41
68
14
52
3 号新药
88 67 8 51 7 80 38 21 30
2
2.1. 实验原理 1、线性相关和线性无关

7
9 25
5 15
47
35

0 0 0 0 1 0 0
A = 0 1 2 25 5 33 6 ~ 0 0 0 0 0 1 0



25 5 35 5 35 55 50 0 0 0 0 0 0 1

9
4 17 25
2
39
25

0 0 0 0 0 0 0
2、最大线性无关组
给定一组向量1,2,...,s ,称具有如下两条性质的部分向量组i1 ,i2 ,...,ir 为 1,2,...,s 的最大线性无关组: (1) i1 ,i2 ,...,ir 线性无关; (2)1,2,...,s 中的每 个向量都可由i1 ,i2 ,...,ir 线性表示。最大线性无关组所含向量的个数 r 等于给 定向量组的秩。可以利用行初等变换，将以向量组的每个向量为列形成的矩阵化 为行最简形，最后所得矩阵之非零列的序号就是最大线性无关组内向量的序号。
1
中药
1 号成 药
表 1 7 种特效药的成分
2 号成 3 号成 4 号成 5 号成
药
药
药
药
6 号成 药
7 号成 药
A
10
2
14
12
20
38
100
B
12
0
12
25
35
60
55
C
5
3
11
0
5
14
0
D
7
9
25
5
15
47
35
E
0
1
2
25
5
33
6
F
25
5
35
5
35
55
50
G
9
4
17
25
2
39
25
H
6
5
16
10
b1, b2 , b3 能否由 a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 线性表示。将 B1=[a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 | b1] ，
B2 =[a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 | b2 ] ， B3 =[a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 | b3] 化为行最简式。 【代码】：
10 2 14 12 20 38 100 162 1 0 1 0 0 0 0 3
12 0 12 25 35 60 55 141 0 1 2 0 0 0 0 4
5 3 11 0 5 14 0 27 0 0 0 1 0 0 0 2

7
9 25
5
15
47 35
102
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 一个最大线性无关组。令 A=[a1,..., a7 ] ，对 A 作初等行变换， 将其化为最简式。
【代码】：
close all; %关闭已经打开的所有图片 clear,clc; %清空工作区和命令行窗口 a1 = [10 12 5 7 0 25 9 6 8]'; %逆矩阵
3、rref 命令 MATLAB 将矩阵化成行最简形的命令是 rref。函数 rref 格式： R = rref(A) [R,jb] = rref(A) %jb 是一个向量，其含义为：r = length(jb)为 A 的秩；A(:, jb)为 A 的列向量 基；jb 中元素表示基向量所在的列。 [R,jb] = rref(A,tol) %tol 为指定的精度
4、线性方程组的求解命令 在 MATLAB 中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符
“/”和“\”。如： X=A\B 表示求矩阵方程 AX＝B 的解； X＝B/A 表示矩阵方程 XA=B 的解。
2.2. 算法、编程与结果分析 3
第（1）小题 【算法】
把每一种特效药含有的成分看成一个 9 维的列向量： a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 ， 分析这 7 个列向量构成的向量组的线性相关性。在本题中，实质上是要找出

9
4 17 25
2
39 25 38
0 0 0 0 0 0 0 1
线性组合:如果有数域 F 中的数 k1, k2 ,..., ks ,使得 =k11+k22 +...+kss ,称向量 为向量组1,2,...,s 的一个线性组合，或说 可以由向量组1,2,...,s 线性表 示。
线性相关性:对 s 个 n 维向量1,2,...,s ，若存在一组不全为零的数 k1, k2 ,..., ks , 使得 k11+k22 +...+kss =0 ，则称向量组1,2,...,s 线性相关;否则称向量组线性 无关，即不存在不全为零的数 k1, k2 ,..., ks ，使得 k11+k22 +...+kss =0 成立。

0 0 0 0 1 0 0 0
B2
=

0
1
2
25
5
33 6 60 ~ 0 0 0 0 0 1 0 0


25 5 35 5 35 55 50 155 0 0 0 0 0 0 1 1

9
4 17 25
2
39
25
118

0 0 0 0 0 0 0 0


25 5 35 5 35 55 50 50 0 0 0 0 0 0 1 0
9 4 17 25 2 39 25 71 0 0 0 0 0 0 0 0



6 5 16 10 10 35 10 41 0 0 0 0 0 0 0 0
8 2 12 0 2 6 20 14 Байду номын сангаас0 0 0 0 0 0 0 0
%B1 的行最简形和一组最大线性无关组 %B1 的秩 %B2 的行最简形和一组最大线性无关组 %B2 的秩 %B3 的行最简形和一组最大线性无关组 %B3 的秩
6
图 3 矩阵 B1 ， B2 ， B3 的初等行变换 即矩阵 B1 ， B2 ， B3 的初等行变换如下所示：
10 2 14 12 20 38 100 40 1 0 1 0 0 0 0 1
大线性无关组的概念。
- 掌握向量组线性相关和无关的有关性质及判别法。 - 掌握向量组的最大线性无关组和秩的性质和求法。 - 通过调味品配制问题理解上述知识在实际中的应用。
2． 问题描述
某中药厂用 9 种中草药 A-I，根据不同的比例配制成了 7 种特效药，各用量 成分见表 1（单位：克）。
试解答： （1）某医院要购买这 7 种特效药，但药厂的第 3 号药和第 6 号药已经卖完， 请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。 （2）现在该医院想用这 7 种草药配制三种新的特效药，表 2 给出了 3 种新 的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？
【结果】：
图 1 第一小题矩阵 A 的初等行变换 4
图 2 第一小题的四种系数 即矩阵 A 的初等行变换如下所示：
10 2 14 12 20 38 100 1 0 1 0 0 0 0
12 0 12 25 35
60
55

0 1 2 0 0 0 0
5 3 11 0 5 14 0 0 0 0 1 0 0 0
6 5 16 10 10 35 10 0 0 0 0 0 0 0

8
2 12
0
2
6
20

0 0 0 0 0 0 0
【结果分析】：
从运行结果可以看出，向量组的秩为 6，有 2 个线性无关组：a1, a2, a4, a5, a6, a7
和 a1, a3, a4, a5, a6, a7 。我们分别使用这两组最大线性无关组来表示 3 号成药和 6 号成药，其线性表示的系数分别如图 2 所示，从结果可以看出，当我们使用的最
6 5 16 10 10 35 10 68 0 0 0 0 0 0 0 0