二次根式的乘除法

初二升初三预习

----二次根式的乘除法

【教学目标】：

1、使学生掌握二次根式的乘、除法公式，并能够应用进行准确计算；

2、使学生理解积（商）的算术平方根的性质与二次根式的乘（除）法公式互为逆运算，能够准确应用性质解决二次根式计算中的化简问题。

3、使学生能够初步解决二次根式乘除法计算的应用问题。

4、通过本节课的学习，学生能够体会到从特殊到一般这种认识、研究和发现事物规律的方法，能够在练习中学习到数学思维的严谨性。 【教学重、难点分析】：

[重点]：本节的教学重点是利用二次根式的乘除法公式和积（商）的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简。

[难点]：本节难点是二次根式的乘除法与积（商）的算术平方根的关系及应用。 【教学过程】： 一、复习提问：

1. a 时，二次根式a -3有意义，若033=-+-a a ，则a =

2. 2

)(b a -=

3. 若直角三角形的两直角边分别长为2，3，则它的斜边长 通过练习回顾我们已经学过二次根式的哪些基本性质？ 二、引入新课：

观察下面的式子，计算出每个式子的结果：

4×9 = ； 94⨯ = ；

16×25 = ； 2516⨯ = 。 学生观察计算结果，得到：

4×9 = 94⨯ = 36 = 6

16×25 =2516⨯ = 400 = 20

计算机演示2×3与32⨯，再加以对照，进一步思考⋅

a b 与ab （ a

≥0，b ≥0）的关系，由前面的特殊例子，引导学生总结得出二次根式相乘的一般规律。 三、新课：

1、二次根式的乘法 1)公式： ⋅

a b =ab （ a ≥0，b ≥0）

（注意引导学生讨论公式中字母的取值范围：举例讨论等式

x x x x )1(1-=⋅-成立的条件。）

例1 计算（式中所有的字母都表示正数）： （1）3×5； （2）3

1

×27； （3）⋅x 3y 7；

2)积的算术平方根性质：

启发学生思考4×9 = 36 = 6逆运算是否成立？

从而得到：36 = 4×9 同理：⋅

a b =ab （ a ≥0，b ≥0）逆运算得到：

ab = ⋅a b （ a ≥0，b ≥0）

引导学生关注使用条件是否发生变化，是化简计算的重要依据。 例2 化简：

（1）8116⨯； （2）54125⨯

（3）5

24b a （4）3

2

2

2b ab b a +-（)0,>

例3 计算：

（1）142×7； （2）

531×(-610)； 3）)56(325

3

1-⋅⋅ （4）x 3·xy 3

1

（5）-51a 3×10

3

b

练习计算： （1）12×

621； （2）5⋅3×（-79）×27

652⋅； （3）)2362)(2362(-+ （4）－4b a 2×2

2x

y

（5）)63()5(2323

a

x a x x a x x a x -⋅-⋅

例4．把下列各子中根号外的因式适当改变后移到根号内： （1）5.02 （2）x x

22 （3）a

a 1

-

小结(一)：

（1） 二次根式的乘法公式：a ×b =ab （ a ≥0，b ≥0），

可推广a ×b ×c ……n =n abc ⋯⋯（a 、b 、c ……n 均为非负数）；

（2）积的算术平方根：ab = a ×b （ a ≥0，b ≥0），

可推广n abc ⋯⋯=a ×b ×c ……n （a 、b 、c ……n 均为非负数）； （3）运用二次根式乘法公式和积的算术平方根性质时的技巧及注意事项。 有关练习

（一）填空：

（1）6×7= ；（2）980= ； （3）3

52

225z y x = ；

（4）2

xy ×3

1-x = ；（5）

=⋅b

a

a b 182 ；（6）=⋅b a 10253_______；

（7）5

1

10×（－105）= ； （8）一个方形的长a=6cm ，宽b=3cm ，则这个长方形的面积= ； （9）把34-根号外的因式移到根号内得 （二）计算：

（1）b

a 1

1-·b a ab 22-（b>a>0）；

（2）4-a ·a -4；

（3）

3m m

n 3·n 2m

m 2

3（m>0，n>0） 2、二次根式的除法：

类比二次根式的乘法的教法得到： 1）公式：

)0,0(>≥=b a b a

b

a

例1计算：（1

（2

（3）31213÷（易错） 2）商的算术平方根性质：

)0,0(>≥=b a b

a b a 即除法公式的逆运算成立 例2 化简：（1）

1003 （2）2

925x y

（3）34

3）最简二次根式：

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：

①被开方数的因数是整数，因式是整式，例如：

a

2

,21不是最简二次根式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例如：b a 2,8（a ≥0，b ≥0）也不是最简二次根式。

由练习（3）提出新的问题：如何化去分母中的根号？引导学生思考并回答

4）※分母有理化：化去分母中的根号