小学思维数学讲义：几何计数(二)-含答案解析
一年级下册数学讲义-思维拓展：图形的计数(含答案PDF)全国通用
第二讲图形的计数一、平面图形1、规则图形方法：开火车①单层总数=基本线段数依次加到1②多层三角形A、边到边B、角到边2、不规则图形方法：分类数①按大小②按方向二、立体图形1、分层数2、空白=实心-空心3、分割法【例1【解析】要数清图中一共有多少个圆点点，小朋友们不妨先想一想我们有哪些观察角度。
方法一：从上到下观察，分层数，那么总数是：1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49（个）方法二：斜着看，有7排7列个圆点点，总数是：7+7+7+7+7+7+7=49（个）【例2】时钟1时敲1下，2时敲2下，3时敲3下，……照这样敲下去，从1时起到时钟共敲28下时，时钟显示是几时？当共敲80下的时候又是几时？【解析】注意：13点的时候指针指向1，敲击一下，敲击的次数与时钟上时针所指数字相同；记住一些常用的加和结果可以方便解题。
（1）1+2+3+4+5+6+7=28（下），所以共敲28次的时候是7时的最后一次敲击。
（2）从1时到12时一共敲了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（下）（这里小朋友要是背过常用加和结果就可以迅速发现从1加到12的结果是78了），过了12时，又会从1开始敲，78+1+1=80（下），所以敲击第80下的时候，时钟显示的是2时，此时正好敲2时的第一下。
【例3】艾迪、薇儿、加加、减减和6个士兵一起分54颗珍珠。
要求每个人都分到珍珠，但分到的珍珠颗数又不能一样多，怎么分？如果不能分，至少应该有多少颗珍珠才能够分？【解析】小朋友们一定要注意，一共有10个人，不要见到数字6就以为只有6个人啦。
每个人都分到珍珠，但颗数又不能相同，我们不知道分到珍珠最多的人可以分到多少颗，但是我们可以让分的最少的只分到1个，然后其他人依次比上一个人多拿一个，这样就能算出至少需要多少颗珍珠才够分。
至少需要的珍珠数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（颗），所以54颗珍珠不够分。
四年级奥数第二讲_图形的计数问题含答案
第二讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．二、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解： 4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。
练一练：数一数右图中总共有多少个角？答案: 总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC 中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案34几何计数(二)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题几何计数（二）我们在学会数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形、正方形来进一步提高观察和思考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法。
在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把它们的个数加起来。
例1 数一数下图中有多少个长方形。
分析与解：图中的AB边上有线段1＋2＋3＝6（条），AD边上有线段1＋2＝3（条），把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3＝18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：长边上的线段数×短边上的线段数＝长方形的个数。
例2 数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1个长度单位的正方形）分析与解：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3＝9（个），边长为2个长度单位的正方形有2×2＝4（个），边长为3个长度单位的正方形有1×1＝1（个）。
所以图中的正方形总数为：1＋4＋9＝14（个）。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n（个）。
例 3 数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）。
分析与解：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形。
①以一条基本线段为边的正方形个数共有：6×5＝30（个）。
②以二条基本线段为边的正方形个数共有：5×4＝20（个）。
③以三条基本线段为边的正方形个数共有：4×3＝12（个）。
④以四条基本线段为边的正方形个数共有：3×2＝6（个）。
小学思维数学讲义：计数之归纳法-带详解
计数之归纳法前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．【例 1】 如图所示，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5×5方格中，画一条直线，最多穿过 个方格。
【考点】计数之归纳法 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第14题，6分 【解析】 边长每多1，穿过的方格多2，那么5×5的最多穿过3+2+2+2=9个方格 【答案】9【例 2】 一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?【考点】计数之归纳法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n 条直线时，最多可将平面分成2+2+3+4+…+n =()12n n ++1个部分．方法二：如果已有k 条直线，再增加一条直线，这条直线与前k 条直线的交点至多k 个，因而至多被分成k +1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k +1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分．一般的有k 条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k =()12k k ++1个部分，所以五条直线可以分平面为16个部分．例题精讲教学目标【答案】16【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设用a k 表示k 条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k ＝0，1，2，……a 0＝1a 1=a 0+1＝2 a 2=a 1＋2=4 a 3=a 2＋3=7 a 4=a 3+4＝11 ……故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分【答案】5051部分【例 3】 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k 个圆最多能将平面分割成k a 个部分．141312111098765432187652134431221从图中可以看出，12a =，24221a ==+⨯，38422a ==+⨯，414823a ==+⨯，…… 可以发现k a 满足下列关系式：()121k k a a k -=+-．实际上，当平面上的(1k -)个圆把平面分成1k a -个区域时，如果再在平面上出现第k 个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k 个圆不能通过平面上前()1k -个圆之间的交点．这样，第k 个圆与前面()1k -个圆共产生2(1)k ⨯-个交点，如下图：这2(1)k ⨯-个交点把第k 个圆分成了2(1)k ⨯-段圆弧，而这2(1)k ⨯-段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2(1)k ⨯-个部分．所以，()121k k a a k -=+-． 那么，10987292829272829a a a a =+⨯=+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯=12122...272829a =+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ ()2212...78992=+⨯+++++=．故10个圆最多能将平面分成92部分．【答案】92【例 4】 10个三角形最多将平面分成几个部分？【考点】计数之归纳法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设n 个三角形最多将平面分成n a 个部分．1n =时，12a =；2n =时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有236⨯=（个）交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即2223a =+⨯．3n =时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4312⨯=（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：322343a =+⨯+⨯． …… 一般地，第n 个三角形与前面()1n -个三角形最多有()213n -⨯个交点，从而平面也增加()213n -⨯个部分，故()()222343213224213332n a n n n n ⎡⎤=+⨯+⨯++-⨯=++++-⨯=-+⎣⎦； 特别地，当10n =时，2103103102272a =⨯+⨯+=，即10个三角形最多把平面分成272个部分．【答案】272【例 5】 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分． 所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．【小结】n 个图形最多可把平面分成部分数：直线：()112n n ⨯++；圆：()21n n +⨯-；三角形：()231n n +⨯⨯- ； 长方形：()241n n +⨯⨯-．【答案】26【例 6】 在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分? 【考点】计数之归纳法 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4个交点而增加4个部分，所以3个圆最多将平面分成8个部分．同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2条射线增加了一部分，因此5个圆和1条直线最多可将平面分成32个部分．【答案】32【例7】在一个西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成多少片？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】将西瓜看做一个球体，球体上任意一个切割面都是圆形，所以球面上的切割线是封闭的圆周，考虑每一次切割能增加多少瓜皮片．当切1刀时，瓜皮被切成两份，当切第2刀时，由于切割线相交，所以瓜皮被切成4分，……，切第n次时，新增加的切割线与原来的切割线最多有()n-个交点．这21些交点将第n条切割线分成()21n-，所以21n-段，也就是说新增加的切割线使瓜皮数量增加了()在西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成11212223242532++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=片．【答案】32【例8】在一大块面包上切6刀最多能将面包切成多少块．（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）【考点】计数之归纳法【难度】5星【题型】解答【解析】题目相当于6个平面能将空间划分为多少个部分．通过找规律来寻找递推关系，显然的1个平面能将空间划分成2块，2个平面能将空间划分成4块，3个平面能将空间划分成8个平面，当增加到第四个平面时，第四个平面这能将原来空间中的8个部分中的其中几个划分．如图：注意到第四个平面与其他三个平面相交形成3条直线，这三条直线将第四个平面分割成7个部分，而每一部分将原来三个平面划分的8个空间中的7个划分成两份，所以4个平面能将空间划分成+=个部分．8715同样的第五个平面与前四个平面分别相交成4条直线，这四条直线能将第5个平面分割成++++=个部分，每一部分都划分原空间中的某一区域，所以第五个平面能使空间中的区1123411域增加到151126+==个部分．当增加到6个平面时，第六个平面共被划分成11234516+++++=个部分，所以第6个平面能将空间中的区块数增加到261642+=个部分．所以6刀能将面包切成42块．【答案】42。
小学奥数全国推荐最新六年级奥数通用学案附带练习题解析答案10计数问题(二)
年级六年级学科奥数版本通用版课程标题计数问题（二）几何图形计数问题还必须灵活地运用几何图形的有关基本概念和基本知识，根据几何图形的特征，合理分类，巧妙计算，就能达到正确、简便的目的。
用分类方法解答小学数学中某些智力性思考题或竞赛题时，能巧妙地找到正确答案，而小学生在运用这种方法时往往出现思路不清，层次不明，逻辑思维不严密等情况，计算时容易产生重复和遗漏的错误。
因此，用分类方法解题时必须注意几个问题。
（1）分类必须有明确的标准。
在解题前必须根据题目要求确定分类的标准，即根据什么来分类的原则。
（2）分类要注意层次。
比较复杂的题目可以先分成大类，然后再将每个大类分成若干小类，分层次进行。
（3）分类计数时应防止重复或遗漏。
分类时应注意要做到既不重复又不遗漏，这是使所得结果准确无误的保证。
合理的分类是解题的关键，而分类不重复又不遗漏是使所得结论准确的保证，同时也是检验分类是否正确的一种方法。
几种一般图形的计数方法：（1）数长方形长边上有多少条线段：4＋3＋2＋1＝10（条）。
宽边上有多少条线段：3＋2＋1＝6（条）。
长方形总数：10×6＝60（个）。
（2）数平行四边形方法与数长方形相同，总数为：（4＋3＋2＋1）×（3＋2＋1）＝60（个）。
（3）数正方形边长为1的正方形：7×4＝28（个）。
边长为2的正方形：6×3＝18（个）。
边长为3的正方形：5×2＝10（个）。
边长为4的正方形：4×1＝4（个）。
正方形的总数：28＋18＋10＋4＝60（个）。
例1 数一数下图中共有多少个长方形？分析与解：为了方便计数，我们将图中每个小长方形标上数字，以“块”分类、进行计数。
①②③④⑤⑥⑦由1块组成的长方形：7个。
由2块组成的长方形：[①②]、[②③]、[④⑤]、[⑤⑥]、[⑥⑦]、[②⑥]、[③⑦]，共7个。
由3块组成的长方形：[①②③]、[④⑤⑥]、[⑤⑥⑦]、[①④⑤]，共4个。
小学思维数学讲义：几何计数(二)-含答案解析
几何计数（二）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块二、复杂的几何计数【例 1】 如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得教学目标例题精讲知识要点到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
【精品奥数】四年级上册数学思维训练讲义-第九讲 几何计数 人教版(含答案)
第九讲几何计数第一部分：趣味数学解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。
当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。
笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。
后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系。
x，y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。
这就是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。
从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。
解析几何的产生并不是偶然的。
在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。
小学奥数-几何计数-专题
知识框架图7 计数综合 7-8 几何计数1.掌握计数常用方法；2。
熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n （n-1）+2;n 个三角形将平面最多分成3n （n-1)+2部分;n 个四边形将平面最多分成4n （n —1）+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．教学目标知识要点几何计数二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点（包括两个端点）(或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+（n-1）+…+2+1条数角:数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形，共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的,对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段,则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲【例 1】下图的两个图形(实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍,那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？(4级）【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形。
二年级思维拓展- 图形计数(二)
图形计数（二）☜知识要点我们已经认识了很多图形，如直线、射线、线段、正方形、三角形等。
如果一幅图形只是单一的一种，并只有一个的，我们叫他基本图形；如果一幅图形中还包含一些小的图形，就叫组合图形。
在数图形的过程中，你会发现一些规律和方法。
根据组合图形的特点要选用不同的方法来计数，主要有以下几种方法：1．按顺序数，按规律数，做到不遗漏。
2．分类数，先数基本图形，再数由两个至多个基本图形组成的图形，这样不易重复。
☜精选例题【例1】：数一数，图中共有多少个角？思路点拨：我们已经知道，从一点起，用尺子向不同方向画两条线，就得到一个角，角有一个顶点，两条边。
我们可以按顺序数；也可以分类数，先数基本图形，再数由两个至多个基本图形组成的图形。
☝标准答案：方法一：按顺序数。
以OA为固定边的角一共有4个；以OB为固定边的角一共有3个；以OC为固定边的角一共有2个；以OD为固定边的角只有1个。
角的个数共有：4+3+2+1=10（个）方法二：分类数，先数基本图形，再数由两个至多个基本图形组成的图形。
这幅图中基本角的个数有4个；由2个基本角组成的角的个数有3个；由3个基本角组成的角的个数有2个；由4个基本角组成的角的个数只有1个。
角的个数共有：4+3+2+1=10（个）✌活学巧用1．数一数，图中有多少个角？2．数一数，图中有多少个角？【例2】：数一数，图中共有多少个三角形？☝思路点拨：我们已经知道数角的方法，在上图中，不难看出有3个基本三角形，再数由两个至多个基本图形组成的三角形。
☝标准答案：这幅图中基本三角形的个数有3个；由2个基本三角形组成的个数有2个；由3个基本三角形组成的个数只有1个。
三角形的个数共有： 3+2+1=6（个）✌活学巧用1．数一数，图中共有多少个三角形？2．数一数，下图中共有多少个三角形？ 【例3】：数一数，图中有多少个三角形？☝思路点拨：可以分层来数。
☝标准答案：先数最上面一层：有三个基本三角形，能数出3+2+1=6（个）再数上、下两层可以合起来的：同样有3+2+1=6（个）一共有三角形：6+6=12（个）活学巧用1．数一数，图中有多少个三角形？2．数一数，图中有多少个三角形？【例4】：数一数，图中有几个三角形？☝思路点拨：这样的题目，一般多用小块分类的方法数图形。
小学五年级逻辑思维学习—几何计数
小学五年级逻辑思维学习—几何计数知识定位在数学竞赛试题中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果．本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离不开分类．知识梳理一、数线段如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条二、数角数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边。
以OA为一条边的角有： E D∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE共4个C同样还有：∠BOC，∠BOD，∠BOE共3个 B∠COD ，∠COE共2个 A∠DOE共1个合计有4+3+2+1=10（个）三、数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形。
四、B M C线段AM与AE对应着长方形AMPE，AM与AG对应着长方形AMQG，AM与AB对应着长方形AMNBAM与EG对应着长方形EPQG,AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB.就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形，所以共有3×6=18个长方形一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个五、染色问题在数学竞赛中很多问题要进行分类讨论，对所研究的对象进行“染色”，“染色”实质上是分类的一种形象化的表示，利用“染色”，可以将题中某些隐蔽的条件暴露出来，从而使问题得到简明的解答。
2014年春季二年级第二讲 几何计数问题进阶【作业详解】-提高班
二年级春季第二讲作业详解 1. 数一数．
（ 15 ）个三角形
（
17 ）个正方形
（ 44 ）个三角形
2.
下图中每个图形各由几个小正方体拼成，至少再增加几个小正方体就可以把这个图形拼成一个长方 体？
⑴ 有( 补（ )个 ）个
⑵ 有( 补（
)个 ）个有 9 个小正方体，至少增加 7 个小正方体就可以拼成一个长方体． ⑵有 10 个小正方体，至少增加 2 个小正方体就可以拼成一个长方体． ⑶有 12 个小正方体，至少增加 6 个小正方体就可以拼成一个长方体．
3.
如图所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，问需要几块正六边形的砖才能把它补好？
学而思培优春季班作业详解
二年级第 2 讲
给孩子受益一生的教育
【答案】一共需要 7 块正六边形的砖才能把它补好，如右图．
4.
这堆木方块共有多少块？(中间打阴影部分是空心)
【答案】 3 3 5 2 3 39 （块）或 3 3 3 6 2 39 （块）或 313 39 （块） ．
学而思培优春季班作业详解
二年级第 2 讲
5.
如图所示为一堆砖．中央最高一摞是 10 块，它的左右两边各是 9 块，再往两边是 8 块、7 块、6 块、 5 块、4 块、3 块、2 块、1 块．问：这堆砖共有多少块？
【答案】当中央最高一摞是 10 块时，这堆砖的总数是：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 10 100 ( 块)
小学五年级数学思维专题训练—几何计数(含答案解析)
小学五年级数学思维专题训练—几何计数1．如右图所示，把一个正方体切去8个小角，那么这个新的立方体图形有____条棱。
2．下图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的长方形有_____个。
3．如下图所示，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等）。
把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有_____种。
4．下图是由16个小正方形组成的大正方形，则在这个图中，共有_____个由小正方形组成的长方形（包括正方形）中包含“ ”。
5．下图中有_____个三角形。
6．如下图所示，两条线上有6个点。
试求出以6个点中任意3点为顶点构成的三角形一共有几个。
7.将4个小正方体拼在一起（正方体与正方体拼接的两个面要完全重合），共有_____种不同的拼法。
（旋转后相同算同一种拼法）8.如下图所示，在正方形的7个点中取4个格点作为顶点的四边形中，正方形有______个，取其中3个格点组成的等腰三角形有_______个。
9．下图是由9个点组成的，那么以图中4个点为顶点的正方形有_____个，以图中3个点为顶点的三角形有______个。
10．一块木板上有13枚钉子（如左下图）。
用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）。
请回答：可以构成多少个正方形？11．下图是半个正方形，它被分成了若干个小的等腰直角三角形，图中，正方形有_____个，三角形有_____个。
12．下图中三角形的个数是______。
13．下图中共有______个三角形。
14．如下图中共有______个正方形。
15．数一数下图中共有_____个三角形。
16．以下图36个方格点钟的4个点为顶点的正方形的个数为______。
17．在下图由10个点排成的长方形中，每边上相邻亮点的距离都是1厘米。
如果用其中的点连成三角形，那么面积是2平方厘米的三角形的个数是______。
小学奥数 几何计数(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．教学目标知识要点7-8-2.几何计数（二）例题精讲模块二、复杂的几何计数【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
六年级下册数学讲义-小升初培优：第02讲 图形的计数(下)(解析版)全国通用
第02讲图形计数（下）教学目标：1、掌握利用枚举法的思想解决三角形、正方形、长方形以及其他图形的计数问题；2、让学员自己动手在纸上画一画，写一写，提升对于图形问题的理解深度和对于图形的把握能力；3、培养的学员观察总结归纳的能力，体验数学的图形美，激发学习的兴趣。
教学重点：掌握图形计数的基本方法。
教学难点：涉及数三角形、长方形等复杂图形的计数问题。
教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】----参考时间-2分钟1.数线段是图形计数中最简单、最基本的问题。
为了准确地数出线段的条数，我们必须有次序、有条理地进行计数，做到既不重复，也不遗漏。
2.数角的方法和数线段一样，也要按一定顺序数，才能做到不重复、不遗漏。
【知识回顾——上期巩固】----参考时间-3分钟数一数下图中共有多少条线段？解析部分：让学员观察上图,数一数共有6条长线段，引导学员分为两类数，一类是有4个端点，这类有2条；一类是有3个端点，这类有4条，所以，上图共有线段2×（3＋2＋1）＋4×（2＋1）=24（条）。
给予新学员的建议：教师可以给学员补充如何数有三个端点的线段；哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。
参考答案：共有线段2×（3＋2＋1）＋4×（2＋1）=24（条）。
【预习题分析——本期预习】----参考时间-7分钟数一数下图中各有多少个三角形？图1 图2解析部分：让学生观察图1，先找出只有1个小三角形的三角形一共有1＋3＋5=9（个），接着找出由4个小三角形组成的三角形有1＋2=3（个），再找出由9个小三角形组成的三角形有1个，所以图1中共有三角形9＋3＋1=13（个）；按照以上的思路，引导学生观察图2，只有1个小三角形的三角形一共有8个，由2个小三角形组成的三角形有4个，由4个小三角形组成的三角形有4个，所以图2中共有三角形8＋4＋4=16（个）；给予新学员的建议：教师可以先给学生讲解如何数由四个小三角形组成的图形；哈佛案例教学法：学生通过预习，初步了解新知识，对后面的学习有所帮助，让学生分享解题方法，拓宽解题思路。
【思维拓展】数学二年级思维拓展之图形计数(附答案)
二年级思维拓展之不规则图形计数1.下图表示"宝塔"，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的。
仔细观察后，请你回答：(1)五层的"宝塔"的最下层包含多少个小三角形?(2)整个五层"宝塔"一共包含多少个小三角形?(3)从第(1)到第(10)的十个"宝塔"，共包含多少个小三角形?2.数一数，有()个长方形。
3.如图有5个点，在两个点之间可以画出一条线段，画出的图形中一共可以得到()条线段.4.将14个大小一样的小正方体摆成下面的图形，然后将表面涂成红色再分开，有()个小正方形的面没有被涂色。
5.找规律：第五排有几颗珠子()6.如下图所示，若每个圆圈里都有五只蚂蚁，问右图中一共应有多少只蚂蚁?7.请把1～9九个数字填入下图中，要求每行、每列和每条对角线上三个数的和都要等于15。
8.请看下图，共有多少个三角形?9.数一数、图中有多少长方形?参考答案1.【答案】(1)数一数"宝塔"每层包含的小三角形数：第几层1234……小三角形数1357……可见1，3，5，7是个奇数列，所以由这个规律猜出第五层应包含的小三角形是9个。
(2)整个五层塔共包含的小三角形个数是：1+3+5+7+9=25(个).(3)每个"宝塔"所包含的小三角形数可列表如下：几层塔一二三四五六七八九十小三角形数149162536496481100凑十法求和：2.【答案】分类计数由一个小长方形组成4个;由两个小长方形组成2个;由四个小长方形组成1个。
所以共有4+2+1=7(个)3.【答案】横排方向有2+1+1=4(条)线段，竖列方向有2条线段，斜向有4条线段，所以共有4+2+4=10(条)线段4.【答案】14个小正方形共有14*6=84(个)面，其中被涂色的有6*4+9*2=42(个)面，那么没有被涂色的应该有84-42=42(个)面5.【答案】第二排比第一排多一个，第三排比第二排多两个，第四排比第三排多三个，第五排比第四排多四个，所以第五排有7+4=11个珠子.6.【答案】一共只有5只蚂蚁.如右图所示，每一个圆圈里都有五只蚂蚁.7.【答案】从1～9这九个数字中，5是处于中间的一个数，而4与6，3与7，2与8，1与9之和都正好是10.所以5应当填在中心的空格中，而其他八个数字应当填到周边的方格中。
小学数学 奥数讲义计数专题几何计数
小学数学奥数讲义计数专题几何计数小学数学奥数讲义计数专题几何计数在小学数学的教学中，奥数讲义是一本非常重要的学习资料。
其中计数专题是数学学习的基础，也是几何计数的重要内容之一。
本文将对小学数学奥数讲义中的几何计数进行详细介绍。
一、几何计数的概念几何计数是指通过观察几何形状，根据一定的规律和方法进行计数的过程。
它主要包括图形的边数、顶点数和对称性等方面的计数。
二、图形的边数的计数计算图形的边数是几何计数的重要内容之一。
对于任何一条直线，它没有边，因为它是无限长的。
对于一个封闭的图形，它的边数等于它的边界线的线段数。
例如，一个三角形有三条边，一个正方形有四条边。
三、图形的顶点数的计数计算图形的顶点数也是几何计数的重要内容之一。
顶点是指图形的两条边交汇的点。
对于一个封闭图形，它的顶点数等于它的边界线上的交点数加上中心点（如果存在的话）。
例如，一个三角形有三个顶点，一个正方形有四个顶点。
四、图形的对称性的计数计算图形的对称性也是几何计数中的重要内容。
对称性是指图形的某一部分与另一部分关于某个轴线对称，这个轴线称为对称轴。
对称轴的数量可以通过观察图形的特点来确定。
例如，一个正方形有四条对称轴，分别是两条对角线和两条垂直于边的中垂线。
五、实例演示为了更好地理解几何计数的概念和方法，我们举一个实例来演示。
假设有一个五角星形的图形，我们来计算它的边数、顶点数和对称性。
首先，观察图形，我们可以看到它有五条边，所以边数为5。
接下来，我们继续观察图形，可以看到它有五个顶点，所以顶点数为5。
最后，我们观察图形的对称性。
五角星形图形有五条对称轴，分别是五条连结顶点的线段。
六、总结通过以上的介绍和实例演示，我们了解了几何计数在小学数学奥数讲义中的重要性。
几何计数包括图形的边数、顶点数和对称性等内容，通过观察和计数，我们可以更深入地理解图形的特点和性质。
在小学数学教学中，几何计数是培养学生观察、分析和计算能力的一种重要方法。
几何计数二
几何计数二基础知识：1.几何计数，从类型上看，可分为数线段、数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等几类.2.几何计数的基本方法和思想：分类枚举与对应.3.分类的标准：按大小，按包含的图形等.4.常见对应方法：线段对应到端点，三角形对应到端点或边，长方形对应到对边等.5.特殊方法：去点法与去线法，本质是分类.例1.如图，数一数图中有多少条线段？[答疑编号5721180101]【解答】分类：1个单位长的线段有7条；2个单位长的线段有6条；3个单位长的线段有5条；……7个单位长的线段有1条；故共有线段7＋6＋5＋……＋1=28（条）.1例2.数一数，图中共有多少个三角形？[答疑编号5721180102]【答案】13（个）【解答】分类：含有1块的三角形有4个；含有2块的三角形有5个；含有3块的三角形有2个；含有4块的三角形有1个；含有6块的三角形有1个；故共有三角形4＋5＋2＋1＋1=13（个）.2例3.如图，数一数，图中有多少个三角形？[答疑编号5721180103]【答案】48（个）.【解答】分类：包含1个小三角形的三角形有1＋3＋5＋7＋9=25个； 包含4个小三角形的三角形有1＋2＋3＋4＋3=13个； 包含9个小三角形的三角形有1＋2＋3=6个包含16个小三角形的三角形有1＋2=3个；包含25个小三角形的三角形有1个；故共有三角形25＋13＋6＋3＋1=48（个）.例4.数一数，图中共有多少个三角形？[答疑编号5721180104]3【答案】35（个）【解答】分类：含有1块的三角形有10个；含有2块的三角形有10个；含有3块的三角形有10个；含有5块的三角形有5个；故共有三角形10＋10＋10＋5=35（个）. 例5.图中有多少个正方形？[答疑编号5721180201]【答案】30（个）【解答】包含1个正方形的正方形有4×4=16个； 包含4个正方形的正方形有3×3=9个； 包含9个正方形的正方形有2×2=4个；4包含16个正方形的正方形有1个；故共有三角形16＋9＋4＋1=30（个）.例6.如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？[答疑编号5721180202]【解答】线段：横线，共有4×条；竖线：5×，故共有线段40＋30=70条；矩形：竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有， 根据乘法原理，共有矩形10矩形原60个.例7.如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形.请问：（1）从中可以数出多少个长方形？5（2）从中可以数出包含红点的长方形有多少个？[答疑编号5721180203]【解答】（1）竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形45×10=450个.（2）竖线中选出两条，共有6竖线中选出条，横线中选出两条，共有2×3=6条，根据乘法原理，共有矩形24×6=144个.例8.如图，数一数，图中共有多少个长方形？[答疑编号5721180204]【解答】横向看：共有矩形个，6竖向看：共有矩形个，这样重复计算了个，所以共有矩形90＋63－18=135个.例9.如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？[答疑编号5721180205]【解答】共有三角形个.例10.下图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成, 则正方形的个数为多少？（17届华杯赛笔试初赛小高组第6题）[答疑编号5721180206]7【答案】83（个）【解答】包含1小个正方形的正方形有2＋4＋6＋8＋8＋6＋4＋2=40个； 包含4小个正方形的正方形有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1=25个；包含9小个正方形的正方形有2＋4＋4＋2=12个；包含16小个正方形的正方形有1＋3＋1=5个；共有正方形40＋25＋12＋5＋1=83个.8。
小学奥数教程之-几何计数
⼩学奥数教程之-⼏何计数1.掌握计数常⽤⽅法；2.熟记⼀些计数公式及其推导⽅法；3.根据不同题⽬灵活运⽤计数⽅法进⾏计数．本讲主要介绍了计数的常⽤⽅法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和⽤容斥原理的计数思想．⼀、⼏何计数在⼏何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满⾜某种条件的三⾓形的个数，若⼲个图分平⾯所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到⼀些处理⽅法的．常⽤的⽅法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平⾯分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平⾯的部分数为n (n -1)+2；n 个三⾓形将平⾯最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平⾯最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常⽤到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，⽽且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序⽆关，只与这两个组合中的元素有关．⼆、⼏何计数分类数线段：如果⼀条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段⼀共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数⾓：数⾓与数线段相似，线段图形中的点类似于⾓图形中的边．数三⾓形：可⽤数线段的⽅法数如右图所⽰的三⾓形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成⼀个三⾓形，共有15个三⾓形，同样⼀边在BC 上的三⾓形也有15个，所以图中共有30个三⾓形．ED CBA数长⽅形、平⾏四边形和正⽅形：⼀般的，对于任意长⽅形（平⾏四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长⽅形（平⾏四边形）mn 个．模块⼀、⽴体⼏何计数教学⽬标例题精讲知识要点7-8-3.⼏何计数（三）【例1】⽤同样⼤⼩的正⽅体⼩⽊块堆成如下图的⽴体图形，那么⼀共⽤了__________块⼩正⽅体。
《几何计数》课后练习与作业解析
1、图中有________个正方形，有________个长方形（包括正方形）【第1讲 几何计数】课后练习．2、图（1）中有________个三角形，图（2）有________个三角形．（1）（2）3、如图，图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3；（1）填写下表：（2）按上面方法继续连下去，第n 个图中有多少个三角形？（3）能否分出246个三角形？简述你的理由．4、（1）在下图中，包含☆的长方形有__________个．（2）如图，其中同时包括两个☆的长方形有__________个．5、下图是3×3点阵，同一行（列）相邻两个点的距离均为1．以点阵中的三个点为顶点构成三角形，其中面积为1的形状不同的三角形有__________种．6、如图，直线12 l l 、上分别有3个点和5个点，以这些点为顶点的三角形有多少个？1、图中有________个正方形，有________个长方形（包括正方形）【第1讲 几何计数】思维风暴．2、如下图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比．3、如图，由20个边长为1的小正方形拼成一个4×5长方形中有一格有“★”．求：（1）图中正方形的个数；（2）图中长方形的个数；（3）图中含★的正方形个数；（4）图中含★的长方形的个数；（5）图中所有长方形的面积之和；（6）图中所有含★的长方形面积之和．4、如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有多少个等腰三角形（包括等边三角形）？5、下图中有__________个正方形，__________个三角形，包含★的三角形有__________个．6、用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵（如下图）．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？7、如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？。
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几何计数（二）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块二、复杂的几何计数【例 1】 如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得教学目标例题精讲知识要点到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
以点阵中的三个点为顶点构成三角形，其中面积为1的形状不同的三角形有种。
【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第11题【解析】在本题中，三角形的面积是1，底和高只能一个是1，一个是2，可以有以下三种情况：【答案】【例2】一块木板上有13枚钉子（如左下图）。
用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）。
请回答：可以构成多少个正方形？【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，试题，第2题【解析】如下图所示，可以将正方形分为四类，分别有5个、1个、4个、1个，共11个。
【答案】11个【例3】在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。
例如图2和图3是相同类型的涂法。
回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。
【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第10题，10分【解析】不同类型的涂法有3种，如下图A说明：①所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格．同样，仅有一列涂有3个阴影方格．②所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”．“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法．“特征阴影方格”在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格（图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法．【答案】3种【例4】在下面的图中，包含苹果的正方形一共有个．【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，1年级，第4题【解析】包含1个基本正方形的带苹果正方形有1个，包含4个基本正方形的带苹果正方形有4个，包含9个基本正方形的带苹果正方形有6个，包含16个基本正方形的带苹果正方形有2个，所以共有+++=(个)．146213<考点> 图形的计数方法之——分类计数【答案】13个【巩固】图中，不含“A”的正方形有个。
【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】面积为1的有15个，面积为4的有7个，面积为3的有2个，共24个.A【答案】24【巩固】图中，不含“A”的正方形有____________个。
A【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第10题【解析】面积为1的有15个，面积为4的有5个，面积为9的没有，所以不含A的有20个.【答案】20个【例5】在下图中，不包含☆的长方形有________个．【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】解答【关键词】学而思杯，4年级，第4题【解析】根据乘法原理，所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(个)，包含☆的长方形有3×3×4×4=144(个)，所以不包含☆的长方形有22779162121916441144297C C⨯-⨯=⨯-⨯=-=(个)．【答案】297个【例6】如图，其中同时包括两个☆的长方形有个．【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】解答【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方形．根据乘法原理2×2×2×3=24（种）不同的长方形．【答案】24个【例7】图中含有“※”的长方形总共有________个．※※【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】解答【解析】根据本题特点，可采用分类的方法计数．按长方形的宽分类，数出含※号的长方形的个数．含有左上※号的长方形有：66618++=个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：6个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；含有右上※号的长方形有：662624+⨯+=个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：62⨯个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；同时含有两个※号的重复计算了，应减去，同时含有两个※号的长方形有：448+=个，其中，宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：4个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：4个；所以，含有※号的长方形总共有：1824834+-=个．【答案】34个【例8】在图中，包含A的三角形一共有个。
A【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第5题【解析】包含五角星的三角形中含一个基本三角形的有1个；含四个基本三角形的有4个；含9个基本三角形的有3个；含16个基本三角形的有1个。
这样包含五角星的三角形一共有14319+++=（个）。
【答案】9【例9】右图中有个正方形，个三角形，包含★的三角形有个．★【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第7题【解析】正方形：正着的方块有4个小的，1个大的，斜的方块有4个小的，1个大的；以正方形共有10个。
三角形：小号的三角形有16个，其中有1个包含★中号的三角形有16个，其中有2个包含★大号的三角形有8个，其中有3个包含★特大号的三角形有4个，其中有2个包含★所以三角形有44个，包含★的有8个【答案】正方形10个，三角形44个，包含★的有8个【例10】下图是5×5的方格纸，小方格为边长1厘米的正方形，图中共有_______个正方形，所有这些正方形的面积之和为_______。
【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第14题【解析】图中面积为1、4、9、16、25平方厘米的正方形分别有25、16、9、4、1个，共有55个小正方形，所有小正方形的面积和为259.【答案】55个，面积和为259【例11】由20个边长为1的小正方形拼成一个45⨯长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共有个，它们的面积总和是．【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，6年级，决赛，10题【解析】根据鼠标法，☆左上角共有6个点，右下角有8个点，所以共有长方形有6848⨯=（个）面积总和为:(12233445)(122334)360+++++++⨯+++++=．【答案】长方形48个，面积和为360【例12】图中内部有阴影的正方形共有个。
【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第10题 【解析】 面积为1的正方形有8个，面积为4的正方形有8个，面积为9的正方形有8个，面积为16的正方形有2个，共计26个.【答案】26个【例 13】 在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ①一共有(4321)(4321)100+++⨯+++=(个)长方形；②所求的和是[][]51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)+++++++++++++++++++⨯+++++++++++++++++++1448612384=⨯=(平方厘米)．【答案】（1）100，（2）12384【巩固】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用长方形的计数公式：横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）nm 个，所以有()()43214321100+++⨯+++=（个），这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）⨯（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664（平方厘米）．【答案】长方形共有：100，面积和为10664【例 14】 如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么，图中包含“A ”号的大、小正三角形一共有______个．A【考点】复杂的几何计数 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个； 边长为2的正三角形有4个； 边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1416++=(个)．【答案】6个【例 15】 图中共有多少个三角形？CB A【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类（1）最大的三角形1个(即△ABC )， （2）第二大的三角形有3个 （3）第三大的三角形有6个 （4）第四大的三角形有10个 （5）第五大的三角形有15个 （6）最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个） 图中共有三角形2×59=118（个）．【答案】118个【例 16】 图3，由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。