湖北省2020届高三数学全国统一招生考试试题 文
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。
$(-4,-3)$B。
$[-4,-3]$C。
$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。
$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。
$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。
$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。
$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。
$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{1}{5}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
专题03 复数-备战2022年高考数学(文)母题题源解密(全国甲卷)(解析版)
专题03 复数1．已知2(1)32i z i -=+，则z = A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【试题来源】2021年全国高考甲卷（文） 【答案】B【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解． 【解析】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅．故选B ．1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若312i i z =++，则||=zA ．0B ．1C ．2D ．2【答案】C【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】（1–i ）4= A ．–4 B ．4C ．–4iD ．4i【答案】A【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(i i i ii i 12)i i 5----===-++- 故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz -=+，则||z = A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z ，再求||z 即可． 【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，所以2217()()||255z =+-=，故选C ．方法2：由题可得2222|3i |10||2|12i 3(1|5)12z +-+-====+，故选C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)i i (2z =+，则z =A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】 D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念写出z 即可． 【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12i z =--，故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i-D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．复数问题每年必考，多以选择题的形式出现，而且是必拿分题，高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：①考查单纯的复数运算求解题；②考查复数的几何意义以及有关概念．熟练掌握复数的加、减、乘、除运算法则是关键：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：12i (i)(i)i (i)(i)z a b a b c d z c d c d c d ++-==++-22()i ac bd bc ad c d ++-+=2222i(i 0)ac bd bc adc d c d c d+-=++≠++． 注意：复数除法与作根式除法时的处理类似．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”；复数的除法是分子、分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”．虚数单位i 具有周期性，且最小正周期为4，有如下性质： （1）41424344ii,i 1,i i,i 1()n n n n n ++++==-=-=∈N ；（2）41424344ii i )i 0(n n n n n +++++++=∈N ．1．已知复数1i z a =-，22+i z =（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数．则实数a = A ．12-B ．12 C ．2-D ．3【试题来源】湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考（一） 【答案】A【分析】结合复数的乘法运算求出12z z ，进而结合纯虚数的概念即可求出结果．【解析】由已()()()()12i 2i 212i z z a a a =-+=++-是纯虚数，所以210a +=且20a -≠，可得12a =-，故选A ．2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()()21i 1i z -=+，则z = A ．1 B ．2 C ．2D ．3【试题来源】湖北省黄石市有色一中2021届高三下学期5月模拟考试 【答案】B【分析】根据复数的乘除法运算求出复数z ，然后根据复数的模的公式即可得出答案． 【解析】因为()()21i 1i z -=+，所以()()()()21i 1i 1i 1ii 2i 1i 1z ++===-+--+，所以112z =+=．故选B ．3．设i 为虚数单位，若复数()()i 2i x +-的实部与虚部相等，则实数x 的值为 A ．3 B ．13C ．12D ．1【试题来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二） 【答案】B【分析】由复数乘法运算展开()()i 2i x +-，再由实部、虚部相等列方程求x 的值．【解析】由()()()i 2i 212i x x x +-=++-的实部与虚部相等， 所以212x x +=-，解得13x =．故选B4．若复数z 满足()1i 22i z -=-，则z = A ．13 B ．13 C ．5D ．5【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研 【答案】D【分析】根据条件求出复数z ，进而可求得z ． 【解析】由(1)i 22i z -=-得i i 22i z -=-，则2i12i iz -==--，所以()()22125z =-+-=．故选D ．5．i 是虚数单位，复数z 满足：1i iz=-，则z =A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i --【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（文）调研试题 【答案】A【分析】先求z ，再求z ． 【解析】1i,1i izz =-∴=+，1z i ∴=-．故选A ． 6．设复数z 满足()12i 5z +=，则z = A ．5 B ．5 C ．3D ．1【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文） 【答案】B【分析】由()12i 5z +=用复数的除法求出z ，再求z ． 【解析】由()12i 5z +=，得()()()()512i 512i 12i 12i 12i 5z --===-+-，所以12z i =+，5z B ．7．25i3i+-的虚部为 A ．110B ．1310C ．1710D ．1310-【试题来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三下学期3月调研 【答案】C【分析】利用复数的除法化简25i3i+-，即可知虚部． 【解析】25i (25i)(3i)117i 3i (3i)(3i)10++++==--+，故虚部为1710．故选C 8．已知i 是虚数单位，若复数z 满足2i 1iz=+，则z =． A ．2 B ．2 C ．22D ．4【试题来源】广东省江门市蓬江区培英高中2021届高三5月份数学冲刺试题 【答案】C【分析】先求出z ，然后根据复数的模求解即可 【解析】2i 1iz=+， ()2i 1i 22i z =+=-+，则4422z =+=，故选C 9．若复数1i z =-，则2|2|z z -= A ．0 B ．2 C ．4D ．6【试题来源】山东省菏泽市2021届高三二模 【答案】B【分析】根据复数的乘方运算以及减法运算求出22z z -，然后利用模长公式即可求出结果． 【解析】由题意可得()221i 2i z =-=-，则()()2221i 21i 2i 22i 2z z -=---=--+=-，所以2222z z -=-=．故选B ．10．设z C ∈，则“0z z +=”是“z 是纯虛数”的A ．充分但非必覂条件B ．必要但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】B【分析】先证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；再证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件．即得解．【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-， 若0z z +=，则0,a z =不一定是纯虛数， 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；若z 是纯虛数，则()i 0,i z b b z b =≠=-，一定有0z z +=成立． 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件；所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要非充分条件．故选B11．已知i 是虛数单位，z 为复数，2+1i=z (3+i)，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】D【分析】先求出复数，即得解． 【解析】2i 11i 3i 22z -==-+，复平面内z 对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D ． 12．若复数i1iz -=+，则z = A ．14B ．12 C ．22D ．2【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（一） 【答案】C【分析】利用复数的除法运算求出i 12z --=，结合复数的几何意义求出复数的模即可． 【解析】因为i(1i)i 1(1i)(1i)2z ----==+-，所以2||z =C13．若()1i 2i z +=，则z = A ．1i - B ．1i -- C ．1i +D ．1i -+【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文） 【答案】A【分析】先求出1i z =+，再由共轭复数的概念即可求解 【解析】()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-， 所以1i z =-，故选A ． 14．若复数z 满足1i31iz z -+=+，则||z = A ．116B ．18C ．14D ．12【试题来源】重庆市第一中学2021届高三下学期第二次月考 【答案】D【分析】令i z x y =+(,)x y R ∈，由题设易得42i i x y -=-求x 、y ，进而可求||z ． 【解析】若i z x y =+(,)x y R ∈，则1i342i i 1iz z x y -+=-==-+， 所以0x =，12y =，即i 2z =， 所以1||2z =．故选D 15．i 是虚数单位，复数z 满足i 13i z ⋅=+，则||z = A ．10 B ．10 C ．8D ．22【试题来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测 【答案】B【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，然后利用复数模的公式求||z ． 【解析】因为i 13i z ⋅=+，所以()13i i13i 3i i i iz ++===-⋅， 所以()22||3110z =+-=．故选B ．16．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点，A ，B ，C 对应的复数分别为12i -+，3i -，12i +(i 为虚数单位)，则点D 对应的复数为 A ．35i -+ B ．1i - C ．13i +D ．3i -+【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理） 【答案】A【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解． 【解析】由题知，()1,2A -，()3,1B -，()1,2C ，设(),D x y ． 则()4,3AB =-，()1,2DC x y =--． 因为ABCD 为平行四边形，所以AB DC =．由14,23x y -=⎧⎨-=-⎩，解得3,5x y =-⎧⎨=⎩， 所以点()3,5D -对应的复数为35i -+．故选A ． 17．复数2i2i-+的共轭复数是 A ．34i 55-- B ．34i 55-+ C ．34i 55-D ．34i 55+【试题来源】四川省绵阳中学2022届高三上学期第一次质量检测 【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数2i2i-+，结合共轭复数的定义可得出结果． 【解析】因为()()()22i 2i 34i 2i 2i 2i 55--==-+-+，因此，复数2i2i -+的共轭复数是34i 55+．故选D ．18．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z = A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i +D ．1i -【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可求解．【解析】因为i i(1i)1i =1i (1i)(1i)2z -+==++-，所以1i 2z -=，故选B ． 19．已知i 为虚数单位，复数1z 、2z 满足122z z ==，1248i2iz z +-=-，则12z z = A ．4- B ．4i - C ．4iD ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二） 【答案】D【分析】设12i,i z a b z c d =+=+，根据题设有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，进而求12z z 即可． 【解析】()()()()1248i 2i 20i 4i2i 2i 5z z ++-===-+，设12i,i z a b z c d =+=+，则有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，解得2,2,0b d a c ==-==， 所以122i,2i z z ==-，则124z z =，故选D ．20．已知方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，则复数z a bi =+在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第七次质量检测 【答案】D【分析】把1i +代入已知方程，结合复数的运算及复数相等条件求得a ，b ，再由复数的几何意义可得选项． 【解析】因为方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，所以()()21110i a b i ++++=， 整理得()2+10a b i b ++=，所以112a b ==-，，所以12z a bi i =+=-，所以复数z a bi =+在复平面上对应的点在第四象限，故选D ． 21．已知复数1121i,1z z z =-⋅=，则复数2z 的虚部为 A ．12 B ．12-C ．1D ．1-【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（理） 【答案】B【分析】根据条件可知211z z =，化简复数后求2z 的虚部．【解析】因为1121i,1z z z =+⋅=，所以211i 1i 1i (1i)(1i)2z --===++-，所以其虚部为12-．故选B ． 22．已知复数()()2i 2i z m =+-为纯虚数，则m =A ．1-B ．1C ．4-D ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）【答案】C【分析】根据导数的乘法运算化简复数z ，再根据纯虚数的定义即可求解．【解析】()422i z m m =++-为纯虚数，则4m =-．故选C ．23．若复数z 满足i i z z ⋅=-，则|i |z -=A ．22B ．2C ．1D ．22 【试题来源】湖南省新高考2021届高三下学期考前押题《最后一卷》【答案】A【分析】先根据复数的除法运算化简复数z ，再由模长公式计算即可求解．【解析】因为i i z z ⋅=-，所以()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z +-+===--+， 所以1i 11i i 222z ---==--， 故22112|i |222z ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ． 24．设若1z 、2z 、3z 为复数，则下列命题中正确的是A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则21z z = 【试题来源】预测05 算法、复数、推理与证明-【临门一脚】2021年高考数学（理）三轮冲刺过关【答案】C【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC ．【解析】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，若10z =，则230z z -=不一定成立，即23z z =不一定成立，B 错误； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确；取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误．故选C25．已知复数z 的共轭复数是z ，若312i z z -=+，则z =A ．22B ．12C ．52D ．52 【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性（九）【答案】A【分析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，代入原式，利用复数相等求出,a b ，进而可得答案．【解析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，由312i z z -=+可得24i 12i a b -+=+，则12a =-，12b =， 所以2222z a b =+=，故选A ． 26．复数()2i i +的虚部是A ．2iB ．i -C ．2D ．1-【试题来源】广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考（5月）【答案】C【分析】利用复数的乘法运算化简复数()2i i +，再根据复数虚部的定义求解即可．【解析】因为()2+i i 12i =-+，所以虚部为2．故选C ．27．已知复数1z i =+，设复数22z w z =，则w 的虚部是 A ．1- B ．1C ．iD ．i -【试题来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测测评（六）（理）【答案】A【分析】根据复数的运算法则，求得1w i =--，结合复数的基本概念，即可求解．【解析】由题意，复数1z i =+， 根据复数的运算法则，可得2222(1)2(1)(1)1(1)2z i i i i w i z i i i i----=====--+-⋅， 所以复数w 的虚部是1-．故选A ． 28．复数45i z =-（其中i 为虚数单位），则2i z +=A ．7B ．5C ．7D ．25【试题来源】内蒙古赤峰二中2021届高三三模（理）【答案】B【分析】由复数加法求得2i z +，然后由复数模的运算求解．【解析】因为45i z =-，所以i 23i 4z +=-，所以()222435i z +=+-=，故选B ．29．已知i 为虚数单位，复数21i +的共轭复数为z ，则z 的虚部为 A ．1-B ．1C ．i -D ．i【试题来源】（理）-学科网2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）【答案】B【分析】先对21i+化简，求出复数z ，从而可求出其共轭复数z ，进而可求出z 的虚部 【解析】由题可得22(1i)1i 1i (1i)(1i)-==-++-，所以1i z =+，其虚部为1，故选B ．30．设复数z 满足()1i i z m -=+()m R ∈，若z 为纯虚数，则实数m =A ．1B ．-1C ．2D ．-2【试题来源】江苏省跨地区职业学校单招2020届高三下学期一轮联考【答案】A【分析】将i 1i m z +=-利用复数的除法运算化简，再令实部等于0，虚部不等于0即可求解 【解析】由()1i i z m -=+可得()()()()()i 1i 11i i 11i 1i 1i 1i 222m m m m m m z ++-+++-+====+--+， 所以1010m m -=⎧⎨+≠⎩，可得1m =，故选A ． 31．已知i 为虚数单位，若复数2i i ia z =-+ (a R ∈)为实数，则a = A ．2-B ．1-C ．1D ．2【试题来源】广东省揭阳市2021届高考数学模拟考精选题试题（一）【答案】D【分析】先对2i i ia z =-+化简，然后由虚部为零可求出a 的值 【解析】因为()222i i i 12i i 12i iz a a a -=+=--+=-+-为实数， 所以2a =；故选D32．法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式()cos isin cos isin nx x nx nx +=+推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcos isin 88⎛⎫+= ⎪⎝⎭． A ．1B ．iC ．1-D ．i -【试题来源】福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）【答案】B【分析】根据已知条件将4ππcos sin 8i 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭化成i ππcos sin 22+，根据复数的运算即可． 【解析】根据公式得4i i i ππππcos sin cos sin 8822⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故选B ． 33．已知复数z 满足121z i i =+-(其中i 为虚数单位)，则z = A ．3B ．22C ．2D ．10【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得z ，然后利用复数模的公式计算．【解析】因为()()1i 12i 3i z =-+=+， 所以22||=3110z +=．故选D ． 34．若复数z 满足()23i 1i z ⋅-=-，复数z 的虚部是A ．5i 13 B ．513 C ．113D ．1i 13 【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简可得．【解析】由()23i 1i z ⋅-=-，得()()()()1i 23i 1i 5i 51i 23i 23i 23i 131313z -+-+====+--+ 所以复数z 的虚部是113故选C 35．若复数1=-i z i ，则|z |= A ．2B ．1C ．2D ．22【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考适应性考试（理）【答案】D【分析】首先化简复数z ，再求复数的模．【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+， 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D 36．若复数1=-i z i ，则z = A ．14 B 2C ．12D ．2 【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考考适应性考试（文） 【答案】B 【分析】化简122i z =-+，再求||z 得解． 【解析】由题得(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i +-+====-+--+， 所以22112()()222z =-+=．故选B 37．已知复数z 满足()()1i 2i i z -=+，则z =A ．1B ．2C ．52D ．102【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期入学考试【答案】D【分析】()2i i 1iz +=-，利用复数的运算求出复数z ，从而求出z ． 【解析】()()()()()2i i 12i 1i 3i 1i 1i 1i 2z +-++-+===--+， 所以223110222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 38．已知复数z 满足z (1﹣i )=2+i 2021，则zi 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】全国2021届高三高考数学（文）演练试卷（一）【答案】B【分析】利用复数的乘法、除法运算即可求解．【解析】由z (1﹣i )=2+i 2021，则()()()()2020212213131111222i i i i i i z i i i i i +++⋅++=====+---+， 3122zi i =-+，所以zi 在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，点位于第二象限．故选B 39．若复数z 满足23i 13z z -=，则z = A ．23i -B ．23i +C ．32i -D ．32i +【试题来源】全国100所普通高等学校招生全国统一考试2021届高三 数学（理）冲刺卷试题【答案】A【分析】由题意得1323iz =-，根据复数代数形式的除法运算和共轭复数的概念即可求出答案． 【解析】因为23i 13z z -=，所以()()()1323i 1323i 23i 23i z +==--+()1323i 23i 13+==+， 所以23i z =-，故选A ．40．已知复数12i z =-，21i z b =+(其中i 是虚数单位，b ∈R )，若12z z ⋅为实数，则b = A ．2-B ．12 C ．1 D ．2 【试题来源】贵州省凯里市第一中学2021届高三三模《黄金三卷》（文）【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算法则化简12z z ⋅，再根据复数为实数的充要条件即可得出．【解析】因为12i z =-，21i z b =+()()()2122i 1i 22i i i 221i z z b b b b b ⋅=-⋅+=+--=++-，因为12z z ⋅为实数，210b ∴-=，解得12b =．故选B.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题(二)(含答案)
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
湖北省高中六校2025届高三适应性调研考试数学试题含解析
湖北省高中六校2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．2．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1B ．)31±C ．)31±D ．53．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．344．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1B ．2C ．3D ．05．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．49B ．49-C ．43D ．43-6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为 A ．2B ．3C 2D 37．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则A B =( )A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-9．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-10．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ） A ．4B ．8C．D．11．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届湖北省八校(黄冈中学等)高三下学期第二次联考数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届湖北省八校（黄冈中学等）高三下学期第二次联考数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数212z i i=-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B根据题意，化简复数，对应复平面内的点的坐标，即可求解. 解：由题意，根据复数的运算可得复数2z i =-+， 则z 对应点()2,1-在第二象限， 故选B . 点评：本题考查复数的几何意义，属于基础题.2．已知集合U =R ，{}2,A x x n n ==∈N ，(){}20B x x x =->，则()U A B =I ð（） A ．{}0 B ．{}2C ．{}0,2D ．{}0,1,2答案：C根据题意，分析A 集合为大于等于0的偶数集，求解B 集合，计算补集，再求交集. 解：集合U =R ，因为集合A 为大于等于0的偶数集，集合{|0B x x =<或2}x >， 所以{}02U B x x =≤≤ð，{}0,2U A C B ⋂=. 故选：C . 点评：本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题.3．已知椭圆2221(5)25x y a a +=>的两个焦点为12,F F ，且12||10F F =，弦MN 过点2F ，则1F MN ∆的周长为（）A ．10B ．20C ．D ．答案：D由焦距可求得c ，进而得到a ；由椭圆定义可求得结果. 解：12210F F c ==Q 5c ∴=a ∴=由椭圆定义知：12122MF MF NF NF a +=+==1F MN ∴∆的周长为1212MF MF NF NF +++=故选：D 点评：本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即4a .4．已知向量a r 是单位向量，()3,4b =r ，且//a b r r，则2a b -=r r （）A ．11B ．9C ．11或9D ．121或81答案：C根据题意，由//a b r r，可知两向量的夹角为0或π，利用向量数量积求模长，计算可求解. 解：由题意，因为//a b r r，则两向量的夹角为0或π，则有5b =r，cos 5a b a b θ⋅==±r r r r则211a b -===r r 或9.故选：C . 点评：本题主要考查向量数量积以及向量模长的运算，属于基础题.5．已知2lg 3a =，5log 2b =，0.512c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c -<<答案：A根据题意，由指数函数单调性及对数函数单调性，分别比较,,a b c 与102，的大小关系，即可求解. 解： ∵2lg03a =<， 5510log 2log 52b <=<=0.5110.50.52c =>=. 故a b c <<. 故选：A 点评：本题考查指数式对数式比较大小问题，属于基础题.6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使这三个数之和等于15的概率是（）A ．310B ．15C ．23D ．13答案：B根据题意，列举三个数之和为15的所有情况，根据古典概型计算概率. 解：从三个阳数1,3,5,7,9中随机抽取三个数共有10种取法， 合题意的有2种：{}1,5,9和{}3,5,7， 由此可得所求概率为15. 故选：B点评：本题考查古典概型的计算，属于基础题. 7．设x ，y 满足约束条件100x y x y --≤⎧⎨+≤⎩，目标函数3z x y =-，则（）A ．z 的最大值为3B ．z 的最大值为2C ．z 的最小值为3D ．z 的最小值为2答案：B根据题意，由约束条件画出可行域，转化目标函数，利用截距最小求得目标函数的最值. 解：由题意，根据约束条件，作出可行域，如图所示：3y x z =-，作图可得直线3y x z =-过点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭时目标函数在y 轴上的截距最小，进而z 有最大值2. 故选：B 点评：本题考查线性规划问题，当线性约束条件为开放区域时，取得最值的有可能是顶点或者边，需谨慎思考，本题属于中等题. 8．已知函数()π32sin cos 32f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域是（） A ．3322⎡-⎢⎣⎦B ．32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 答案：B根据三角恒等变化，利用两角和余弦公式、二倍角公式、辅助角公式，化简函数得()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由三角函数性质即可求解值域 解：()2π1π2sin cos sin cos sin 22sin 2323f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 232x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. 故选：B . 点评：本题考查三角函数求值域问题，考查三角恒等变换，属于基础题.9．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x >时，()21xf x =-，则使不等式()3log 30f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．(),9-∞ B ．()0,9C ．()9,+∞D ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B根据题意，分析函数()f x 的单调性及连续性，根据0x >时函数解析式，求得()23f =，化简不等式，利用函数单调性解抽象函数不等式，得到3log 2x <，再解对数不等式即可求解. 解：当0x >时，()21xf x =-是增函数且()0f x >，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =满足()21xf x =-，又函数()f x 在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数， 且()23f =，进而原不等式化为()()3log 2f x f <， 结合()f x 的单调性可得3log 2x <，所以09x <<， 即原不等式的解集为()0,9， 故选：B .点评：本题考查函数的性质综合应用，考查利用函数单调性解不等式，考查转化与化归思想，属于中等题型.10．设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与圆22:1C x y +=相切于点P ，且P 位于第一象限，O 为坐标原点，则AOB V 的面积的最小值为（） A ．1 B．2CD ．2答案：A根据题意，设出直线与坐标轴的交点坐标(),0A a ，()0,B b ，利用直线方程截距式列出方程并化简方程，再根据基本不等式求出2ab ≥，代入三角形面积公式，即可求解三角形面积的最小值. 解：依题意，设(),0A a ，()0,B b ，直线l 与圆22:1C x y +=相切于点P ，P 位于第一象限则直线过一、二、四象限，即0a >，0b >， 则直线方程为1x ya b+=，化简得bx ay ab +=，直线与圆相切，故圆心到直线的距离1d r ===，ab =≥，∴2ab ≥，当且仅当a b ==.∴112AOB S ab =≥V .即三角形面积最小值为1 故选：A . 点评：本题考查直线的截距式方程，考查基本不等式，综合性较强，属于中等题型. 11．如图所示，三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，且PA 过球心，PAB △围绕棱PA 旋转60°后恰好与PAC V 重合，若60PAB ∠=︒，且三棱锥P ABC -则R =（）。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(三)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（三）数学（文）试题一、单选题1．集合{(,)|1}P x y y x ==+，{}2(,)|Q x y y x ==，则集合P Q I 中元素的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】根据集合,P Q 元素特征，联立方程，判断其解的个数即可. 【详解】P Q I 表示直线1y x =+与抛物线2y x =的图象交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩，整理得210,1450x x --=∆=+=>， ∴方程有两个不同的实数解，即方程组有两个解，可知两个函数有两个公共点，故集合P Q I 中元素的个数为2． 故选：C. 【点睛】本题考查交集中元素的个数，注意集合元素的特征，属于基础题． 2．若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i B ．2iC ．1D ．2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则，求出z ，即可得出结论. 【详解】∵223i z i i ⋅+=-+，∴212iz i i-+==+， ∴z 的虚部为2． 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及复数的基本概念，属于基础题．3．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rA ．B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】本题先计算a b -r r，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r，所以||a b -==r r故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若75a =，927S =，则公差d 等于（ ） A ．0 B ．1C ．12D ．32【答案】B【解析】由927S =可求出5a ，结合已知即可求解. 【详解】()199599272a a S a +===，解得53a =， 所以75531752a a d --===-． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和、等差数列基本量的运算，掌握公式及性质是解题的关键，属于基础题．5．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）A ．(0,B ．(0)C ．(0,D ．(【答案】C【解析】根据双曲线渐近线方程，建立m 的等量关系，求出双曲线方程，即可得出结论. 【详解】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，23=，解得4m =， ∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,． 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用，要注意双曲线焦点位置，属于基础题．6．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（ ） A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B【解析】根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论. 【详解】选项A ，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值， 因此冰箱类销售亏损，所以A 项正确；选项B ，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B 项错误；选项C ，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多， 因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C 项正确； 选项D ，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大， 而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，得到ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称， 所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性，属于基础题． 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（ ） A ．b a a a < B ．a b b b > C ．b b a b > D ．b a a b >【答案】D【解析】根据指数函数和幂函数的单调性，逐项验证，即可得出结论. 【详解】∵1b a <<，∴x y a =和x y b =均为增函数， ∴b a a a <，a b b b >，A ，B 项正确，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >， C 项正确； b a 和a b 的大小关系不能确定，如3,2,b aa b a b ==>；4,2,b a a b a b ===；5,2,b a a b a b ==< ，故D 项不正确．故选：D. 【点睛】本题考查比较指数幂的大小关系，应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键，属于基础题．10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．11．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．5 C ．306D ．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．(,)e -+∞D ．[,)e -+?【答案】A 【解析】【详解】由函数()()ln xe f x k x x x =+-，可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x Q 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =，0xe k x ∴-=无根，即y k=与()xe g x x =无交点，可得()()21'x e x g x x-=，由()'0g x >得，()g x 在[)1+∞上递增，由()'0g x <得，()g x 在()0,1上递减，()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤，即实数k 的取值范围是(],e -∞，故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题13．设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为_________．【答案】(1,9)-【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 【详解】做出满足不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域，如下图（阴影部分）所示，根据图形，当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时， 取得最小值为1-，当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时， 取得最大值为9，所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为：(1,9)-. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n项和，考查计算求解能力，属于基础题.A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外15．高三某班一学习小组的,,,活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________.【答案】画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞，B在打篮球，∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画16．设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．三、解答题17．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，122cos b a c C=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求ABC V 的面积．【答案】（1）3B π=； （2 【解析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，再由两角和的正弦公式，即可求解； （2）利用余弦定理，建立c 边方程关系，再由三角形面积公式，即可求出结论. 【详解】 （1）由122cos b a c C=-，得sin 12sin sin 2cos B A C C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，∴2cos sin sin B C C =，又∵在ABC V 中，sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2742c c =+-，∴2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍）， ∴ABC V 的面积133sin 2S ac B ==． 【点睛】本题考查正、余弦定理以及两角和差公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题． 18．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg 的包裹收费10元，重量超过1kg 的包裹，除收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？ 【答案】（1）平均数和中位数都为260件； （2）1000元．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出每组的频率，即可求出平均数，确定中位数所在的组，然后根据中位数左右两边图形面积各占0.5，即可求出中位数；（2）由（1）每天包裹数量的平均数求出网点平均总收入，扣除工作人员工资即为所求. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(0,200)Q 的频率为0.2，[200,300)的频率为0.5中位数为0.32001002600.5+⨯=， 所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件． （2）由（1）可知平均每天的揽件数为260， 利润为260531001000⨯-⨯=元， 所以该网点平均每天的利润有1000元． 【点睛】本题考查频率分布直方图求中位数、平均数以及简单应用，属于基础题．19．在如图所示的几何体中，已知BAC 90∠=o ，PA ⊥平面ABC ，AB 3=，AC 4=，PA 2.=若M 是BC 的中点，且PQ //AC ，QM //平面PAB ．()1求线段PQ 的长度；()2求三棱锥Q AMC -的体积V ．【答案】（1）2；（2）2.【解析】()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，推导出四边形PQMN 为平行四边形，由此能求出线段PQ 的长度．()2取AC 的中点H ，连接QH ，推导出四边形PQHA 为平行四边形，由此能求出三棱锥Q AMC -的体积． 【详解】解：()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，MN //AC ∴，且1MN AC 22==，PQ //AC Q ，P ∴、Q 、M 、N 确定平面α， QM //Q 平面PAB ，且平面α⋂平面PAB PN =，又QM ⊂平面α，QM //PN ∴，∴四边形PQMN 为平行四边形，PQ MN 2∴==．解：()2取AC 的中点H ，连接QH ，PQ //AH Q ，且PQ=AH=2，∴四边形PQHA 为平行四边形， QH //PA ∴，PA ⊥Q 平面ABC ，QH ∴⊥平面ABC ，AMC 11S AC AB 322=⨯⨯=V Q （），QH PA 2==，∴三棱锥Q AMC -的体积：AMC 11V S QH 32233V =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.【答案】（1）见解析；（2）24y x =【解析】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，OM ON ⊥有12120x x y y +=，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =，从而2200||2QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有()()1212440y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知2()2()x f x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()'()g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在(1,(1))f 处的切线与(22)3y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在(0,1)上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在(ln ,)m +∞上单调递减，在(,ln )m -∞上单调递增. （Ⅱ）(,21]a e ∈-∞-.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数'()2()xg x m e =-，分0m ≤和0m >两种情况讨论，即可得到函数()g x 的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得1m =，把不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2x e a xx<-在(0,1)上恒成立，设2()xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2xg x m e=-，当0m ≤时，()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <， 所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立.设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221xxxxh x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上，()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-， 所以在区间()0,1上，()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时，()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞， 因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (3)利用导数研究函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值． 【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα=【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=． 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()11f x x x =+--， ()22g x x a x b =++-，其中a ， b 均为正实数，且2a b +=．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）见解析【解析】（Ⅰ）把()f x 用分段函数来表示，分类讨论，求得()1f x ≥的解集． （Ⅱ）当x ∈R 时，先求得()f x 的最大值为2，再求得()g x ）的最小值，根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零，可得()()f x g x ≤成立． 【详解】（Ⅰ）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，（1）当1x ≤-时， ()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；（2）当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．（3）当1x ≥时， ()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅱ）当x R ∈时， ()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x R ∈时，()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。
2020届高三数学 章末综合测试题(20)计数原理、概率、随机变量及其分布
2020届高三数学章末综合测试题（20） 计数原理、概率、随机变量及其分布一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1．在1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．36个B ．24个C ．18个D ．6个解析 B 各位数字之和为奇数必须3个数字都是奇数或两个偶数1个奇数，前者有A 33＝6个，后者有C 13·A 33＝18个，共24个．2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析 C T r ＋1＝C r 24(x )24－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 24x 12－56r ，当r ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数，共5项，故选C.3．商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元解析 C 设11时至12时销售额为x 万元，由直方图，得0.10.4＝2.5x，∴x ＝10. 4．在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析 B 对于T r ＋1＝C r5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2，则含x 4的项的系数是C 25(－1)2＝10.5．在四次独立重复试验中事件出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在一次试验中出现的概率为 ( )A.13B.35 C.34D.56解析 A 由题意1－(1－p )4＝6581，p ＝13.6．已知某批材料的个体强度X 服从正态分布N (200,182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为( )(参考数据：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)A ．0.997 3B ．0.682 6C ．0.841 3D ．0.815 9解析 B P (200－18<X ≤200＋18)＝0.682 6.7．从4名男生3名女生中选出3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中至少有一名女生，则选派方案共有( )A ．108种B ．186种C ．216种D ．270种解析 B 不受限制的选法有A 37＝210种，其中全为男生的选法有A 34＝24种，故3人中至少有一名女生的选派方案有210－24＝186种．8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是( )A.310B.25C.12D.35解析 C 基本事件为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，∴n ＝10，不相克的事件数为m ＝10－5＝5，∴m n ＝510＝12.9．已知C 7n ＝C 711＋C m11，则m ，n 的值为( )A ．m ＝7，n ＝12B ．m ＝7，n ＝11C ．m ＝6，n ＝11D ．m ＝6，n ＝12解析 D ∵C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，∴n ＝12，m ＝6.10．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为( )A.27B.29C.310D.15解析 B 设第一次抽到中奖券为事件A ，第二次抽到中奖券记为事件B ，则两次都 抽到中奖券为事件AB .则P (A )＝310；P (AB )＝3×210×9＝115；P (B |A )＝P ABP A ＝115310＝29.11．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28解析 C 由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个，其选法有C 12·C 27＝42种；另一类是甲乙都去，其选法有C 22·C 17＝7种，所以共有42＋7＝49种选法．12．选择薪水高的职业是人之常情，假如张伟和李强两人大学毕业有甲、乙两个公司可供选择，现从甲、乙两个公司分别随机抽取了50名员工的月工资资料，统计如下：甲公司 最大值 2 500 最小值 800 极差 1 700 众数 1 200 中位数 1 200 平均数 1 320 标准差433.128 2乙公司 最大值 20 000 最小值 700 极差 19 300 众数1 000根据以上的统计信息，若张伟想找一个工资比较稳定的工作，而李强想找一个有挑战性的工作，则他俩分别选择的公司是( )A ．甲、乙B ．乙、甲C ．都选择甲D ．都选择乙解析 A 由表中的信息可知，甲公司的工资标准差远小于乙公司的工资标准差，这表示甲公司的工资比较稳定，张伟想找一个工资比较稳定的工作，会选择甲公司；而乙公司的工资最大值和极差远大于甲公司的工资最大值和极差，李强想找一个有挑战性的工作，会选择乙公司．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)． 解析 易知(1＋x )3，(1＋x )3，(1＋3x )3展开式中x 的系数分别是C 13，C 23，C 33，即 所求系数是3＋3＋1＝7. 【答案】 714．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析 数0向上的概率为36＝12，数1向上的概率为26＝13，数2向上的概率为16，设向上的数字之积为ξ，ξ＝0,1,2,4，P (ξ＝0)＝12×12＋12×13＋12×16＋13×12＋16×12＝34； P (ξ＝1)＝13×13＝19； P (ξ＝2)＝13×16＋16×13＝19；P (ξ＝4)＝16×16＝136. ∴Eξ＝34×0＋19×1＋19×2＋136×4＝49.【答案】 4915．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝____，b ＝____.解析 由题意得，a ＋b ＋c ＋112＝1，①∵EX ＝0， ∴－1×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，即－a ＋c ＋16＝0，② ∵DX ＝1，∴(－1－0)2×a ＋(0－0)2×b ＋(1－0)2×c ＋(2－0)2×112＝1，即a ＋c ＝23，③ 联立①②③解得a ＝512，b ＝14.【答案】512 1416．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率是________．解析 试验结果共有36种情况．当x ＝6时，y 有5种情况；当x ＝5时，y 有4种情况；当x ＝4时，y 有3种情况；当x ＝3时，y 有2种情况；当x ＝2时，y 有1种情况．所以P ＝5＋4＋3＋2＋136＝512.【答案】512三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(1)在(1＋x )n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋13x n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项．解析 (1)由已知，得C 2n ＝C 5n ⇒n ＝7. (2)由已知，得C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝128,2n －1＝128，n ＝8，而展开式中二项式系数最大的项是T 4＋1＝C 48(x x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4＝70x 43x 2.18．(12分)一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？ (2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，共有多少种不同的取法？解析 (1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类计数原理，有10＋12＝22(种)取法．(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：先从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理，有10×12＝120(种)取法．19．(12分)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P (ξ>0)＝710. (1)求文娱队的人数；(2)写出ξ的概率分布并计算Eξ.解析 设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队共有(7－x )人，那么只会一项的人数是(7－2x )人．(1)∵P (ξ>0)＝P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝710，∴P (ξ＝0)＝310，即C 27－2x C 27－x ＝310，∴7－2x6－2x 7－x6－x ＝310，∴x ＝2.故文娱队共有5人．(2)P (ξ＝1)＝C 12·C 13C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110，ξ的概率分布为：ξ 0 1 2 P31035110∴Eξ＝0×310＋1×35＋2×10＝5.20．(12分)一台机器由于使用时间较长，生产零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：转速x (转/秒)16 14 12 8 每小时生产缺损零件数y (件)11985(1)(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？解析 (1)根据表中的数据画出散点图，如图：(2)设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，i 1 2 3 4 x i 16 14 12 8 y i 11 9 8 5 x i y i1761269640x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438，∴b ^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.729， a ^＝8.25－0.729×12.5＝－0.863.∴y ∧＝0.729x －0.863.(3)令0.729x －0.863≤10，解得x ≤14.9≈15. 故机器的运转速度应控制在15转/秒内．21．(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A 袋中的概率P (A )；(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求ξ＝3的概率和ξ的数学期望Eξ.解析 (1)记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故：P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14， 从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.(2)显然，随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，34， 故P (ξ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫343×14＝2764.ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 3 4 P125636427128276481256∴Eξ＝0×1256＋1×64＋2×128＋3×64＋4×256＝3.22．(12分)在2020年春运期间，一名大学生要从广州回到济南老家有两种选择，即坐火车或汽车．已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到．若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票．(1)求这名大学生先去买火车票的概率；(2)若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，求ξ的期望值．解析 (1)设先去买火车票的概率为P (A )，先去买汽车票的概率为P (B )， 则由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝3P B ，PA ＋PB ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝0.75，PB ＝0.25.即先去买火车票的概率为0.75.(2)该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为0.75×0.6＝0.45， ∴该大学生买汽车票的概率为1－0.45＝0.55.设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下：ξ 120 280 P0.450.55Eξ＝120×0.45＋280×0.55＝208.。
2020届湖北省黄冈市高三9月质量检测数学(文)试题(解析版)
2020届湖北省黄冈市高三9月质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð. 【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.2．若a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b < B ．()ln 0a b ->C ．1133a b >D ．a b >【答案】C【解析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，由于指数函数2xy =为增函数，且a b >，22a b ∴>，A 选项中的不等式不成立；对于B 选项，由于对数函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，a b >Q ，当01a b <-<时，()ln ln10a b -<=，B 选项中的不等式不恒成立；对于C 选项，由于幂函数13y x =在(),-∞+∞上单调递增，且a b >，1133a b ∴>，C 选项中的不等式恒成立；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但a b <，D 选项中的不等式不恒成立. 故选C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特殊值法来判断，考查推理能力，属于中等题.3．设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若12330S S S +-=，且11a =，则4a =（ ） A ．9 B ．18 C ．21 D ．27【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用题中条件求出q ，再由341a a q =可计算出4a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()212311133110S S S a a q a q q+-=++-++=，整理得2230q q --=，0q >Q ，解得3q =，因此，33411327a a q ==⨯=，故选D. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，一般利用首项和公比建立方程（组）求解基本量，考查运算求解能力，属于基础题.4．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点，使得MPN ∠最大”.如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且和射线QB 相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．7-C ．1或7-D ．2或7-【答案】A【解析】根据米勒问题的结论，P 点应该为过点M 、N 的圆与x 轴的切点，可设点P 的坐标为(),a b ，写出圆的方程，并将点M 、N 的坐标代入可求出点P 的横坐标. 【详解】设圆心C 的坐标为(),a b ，则圆的方程为()()222x a y b b -+-=，将点M 、N 的坐标代入圆的方程得()()()()2222221214a b b a b b⎧--+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩（舍），因此，点P 的横坐标为1，故选A.【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查直线与圆的位置关系、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中等题.5．如图，在等腰三角形ABC 与ABD 中，90DAB ABC ∠=∠=︒，平面ABD ⊥平面ABC ，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成的角为（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】设DA AB BC x ===，利用向量的夹角公式，计算出异面直线AE 与BF 夹角的余弦值，由此求得异面直线AE 与BF 所成的角. 【详解】由于在等腰三角形ABC 与ABD 中，90DAB ABC ∠=∠=︒，平面ABD ⊥平面ABC ，根据面面垂直的性质定理可知AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，所以AD BC ⊥.依题意设DA AB BC x ===，由于,E F是等腰直角三角形斜边的中点，所以AE BF x ==.设异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则cos cos ,AE BF θ=u u u r u u u r AE BFAE BF ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ()()12AB AD AF AB AE BF+⋅-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()1122AB AD AB BC AB AE BF ⎡⎤+⋅+-⎢⎥⎣⎦=⋅u u ur u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ()111222AB AD BC AB AE BF⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()214AB BC AD BC AB AB ADAE BF⋅+⋅--⋅=⋅u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur221114222AB x AE BF -⋅===⋅u u u r u u u r u u u r ，由于π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以π3θ=.故选：B 【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.6．已知函数32()331f x x x x =-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为（ ） A ．350x y --= B ．350x y --= C ．350x y +-= D ．350x y -+=【答案】A【解析】求导函数，求出切线的斜率，切点的坐标，即可得到切线方程； 【详解】解：因为32()331f x x x x =-+-所以2()363f x x x '=-+(2)3f '∴=，(2)1f =Q ；()y f x ∴=的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为13(2)y x -=-，即350x y --=； 故选：A. 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知圆C 与直线30x y ++=相切，直线10mx y ++=始终平分圆C 的面积，则圆C 方程为（ ）A ．2222x y y +-=B ．2222x y y ++=C ．2221x y y +-=D ．2221x y y ++=【答案】D【解析】计算出直线10mx y ++=所过定点的坐标，由题意得出定点是圆C 的圆心，然后利用点到直线的距离公式计算出圆C 的半径长，即可得出圆C 的方程. 【详解】在直线10mx y ++=的方程中，令0x =，则1y =-，则直线10mx y ++=过定点()0,1-.由于直线10mx y ++=始终平分圆C 的面积，则点()0,1-是圆C 的圆心，又圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的半径r ==因此，圆C 的方程为()2212x y ++=，即2221x y y ++=. 故选：D. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线过定点问题，求出圆的圆心坐标为解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.8．函数23sin ()1x xf x x -=+在[]-，ππ的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】判断函数的奇偶性，取特殊值即可判断. 【详解】 因为23sin ()()1x xf x f x x --=-=-+，所以函数()f x 为奇函数，故排除A,B 由于2()01f πππ-=<+ ，排除D 故选C. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，一般要结合函数的奇偶性、定义域、单调性、特殊点等综合来判断，属于中档题. 9．函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程4()5f x =的解为1x ，()2120x x x π<<<，则()12sin x x -=（ ）A ．35-B ．45-C ．35D ．45【答案】A【解析】由已知可得2123x x π=-，结合12x x <求出1x 的范围，再由12112sin()sin(2)cos(2)36x x x x ππ-=-=--求解即可． 【详解】解：因为0πx <<，所以72,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭. 又因为方程4()5f x =的解集为1x ，()2120x x x π<<<，所以1223x x π+=，所以2123x x π=-， 所以()12112sin sin 2cos 236x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为12x x <，2123x x π=-，所以103x π<<， 所以12,662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 由()114sin 265f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得13cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()123sin 5x x -=-. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．10．椭圆22:193x y C +=与双曲线()2222100x y Q m n m n-=>>:，焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线Q 的渐近线斜率是（ ）A ．2±B ．C ．12±D ．2±【答案】A【解析】求出椭圆的焦点坐标，离心率，得到双曲线的离心率，焦点坐标，然后求解双曲线Q 的渐近线斜率． 【详解】解：在椭圆22:193x y C +=，3a =，c ==焦点坐标为()，c e a ==因为椭圆与双曲线2222:1(0,0)x y Q m n m n-=>>焦点相同，则双曲线的焦点坐标为()，即双曲线的6c =，又因为这两条曲线的离心率之积为1， 所以双曲线的离心率为：666c a ===，解得2m =，则2n =．所以双曲线方程为22142x y -=则双曲线Q 的渐近线为22y x =±，斜率为2±． 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的综合应用，属于基础题．11．在等腰ABC V ，AB AC =，6BC =，向量AD DC =u u u r u u u r ，则DC BC ⋅u u u r u u u r的值为（ ） A ．9 B ．18C ．27D ．36【答案】A【解析】画出图形，利用向量的数量积转化求解即可． 【详解】解：由题意如图：在等腰ABC V 中，AB AC =，6BC =，向量AD DC =u u u r u u u r，D 为AC 的中点，可作AE BC ⊥，E 为BC 的中点，DF BC ⊥，F 为CE 的中点，所以1342CF CB ==，且CD uuu r 在u u r CB 方向上的投影为3cos 2CD DCB CF ∠==u u u r u u u r所以3cos 692DC BC CD CB CB CD DCB CB CF ⋅=⋅=∠==⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的应用，数形结合的应用，属于中档题.12．在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u v u u u v ，()0,0AN AC μλμ=>>u u uv u u u v ，则λμ+的最小值为（ ）A ．21+ B ．31+ C ．32D ．52【答案】B【解析】由题意得出1344AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，再由AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，可得出1344AP AM AN λμ=+uu u r uuu r uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值. 【详解】 如下图所示：3BP PC =uu r uu u rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uu u r uu u r uuu r uu u r ，1344AP AB AC ∴=+uu u r uu u r uu u r ，AM AB λ=uuu r uu u r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，1AB AM λ∴=uu u r uuu r ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uu u r uuu r uuu r ，M Q 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133331211444444λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为12+，故选：B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．若命题“0x R ∃∈，20030x mx +-<”为假命题，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】m ∈∅【解析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m 的取值范围． 【详解】解：∵命题“0x R ∃∈，20030x mx +-<”为假命题， ∴其否定“x R ∀∈，230x mx +-…”为真命题. 则2120m ∆=+„，得m ∈∅. 故答案为：m ∈∅. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查二次不等式恒成立问题，体现了“三个二次”的结合在解题中的应用，属于基础题．14．已知在等差数列{}n a 中，1232a a a ++=，且2345a a a ++=，则12345620192020a a a a a a a a -+-+-+⋯⋯+-=________.【答案】1010-【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1232a a a ++=，2345a a a ++=，可得352d =-，1332a d +=，进而得出212n n a a --，即可得出．【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，1232a a a ++=Q ，2345a a a ++=，352d ∴=-，1332a d +=，解得1d =，113a =-， 134133n n a n -∴=-+-=. 2121n n a a -∴-=-.则123456201920201010a a a a a a a a -+-+-+⋯⋯+-=-. 故答案为：1010- 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．某贫困地区现在人均年占有粮食为420kg ，如果该地区人口平均每年增长1%，粮食总产量平均每年增长5%，那么x 年后该地区人均年占有ykg 粮食，则函数y 关于x 的解析式是__________.【答案】 1.05420 1.01xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，*x ∈N 【解析】设现在人口为m ，粮食产量为n ，分别求出x 年后的人口和粮食产量，得出人均占有量． 【详解】解：设该地区人口为m ，粮食产量为n ，则420nm=， x 年后，该地区人口数为(11%)(1.01)x x m m ⋅+=⋅， x 年后，该地区的粮食产量为(15%)(1.05)x x n n ⋅+=⋅，故x 年后，该地区人均占有粮食为(1.05) 1.05420(1.01) 1.01xxx n m ⋅⎛⎫=⋅ ⎪⋅⎝⎭.故答案为： 1.05420 1.01xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，*x ∈N .【点睛】本题考查了指数函数的应用，函数解析式求解，属于基础题．16．若函数3()3ln f x m x x =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_________.【答案】311,3e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 【解析】首先求出函数的导数，可得1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，(]1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，进而求解； 【详解】解：3()3ln f x m x x =-+Q()2233(1)13()3x x x f x x x x'-++∴=-+=， 所以1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，(1,]x e ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；max ()(1)1f x f m ==-，3113f m e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，3()3f e m e =--，()f x Q 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则331013030m m e m e ->⎧⎪⎪--≤⎨⎪--≤⎪⎩，解得，3113m e <+„，故答案为：311,3e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 【点睛】考查函数求导，函数单调区间，函数在特定区间上的极值，二分法求函数的零点，属于中档题；三、解答题17．已知命题0:p x R ∃∈，200220x x m -+->，:q x R ∀∈，2210x mx -+….（1）若命题q ⌝为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若()p q ∨⌝为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1m <-或1m >；（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）写出q ⌝，由判别式大于0，解不等式可得所求范围；（2）由()p q ∨⌝为假命题，则p 假q 真，分别运用判别式小于等于0，解不等式，求交集，再求补集可得所求范围． 【详解】解：（1）q ⌝∵为：0x R ∃∈，200210x mx -+<，∴命题q ⌝为真命题时，有21Δ440m =->，则1m <-或1m >； （2）若()p q ∨⌝为假命题，则p 假q 真.由0x R ∃∈，200220x x m -+->为假知，x R ∀∈，2220x x m -+-„为真， 则2Δ480m =-„，解得12m ∴…；命题q 为真命题时，有21Δ440m =-„，则11m -剟. 所以当()p q ∨⌝为假命题时，m 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查不等式成立和恒成立问题解法，化简运算能力和推理能力，属于基础题．18．设函数()()sin y f x x ωϕ==+，0>ω，0ϕπ<<的导数为()y f x '=，若()()()g x f x x '=为奇函数，且对任意的x ∈R 有()2g x ≤.（1）求()g x 表达式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tan tan 2B a g A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积最大值.【答案】（1）()2sin g x x =-；（2）3.【解析】（1）求出函数()y f x =的导数()f x '，可得出函数()y g x =的表达式，利用函数()y g x =的最大值为2，得出1ω=，再由函数()y g x =为奇函数，得出()00g =可得出ϕ的值，由此可得出函数()y g x =的解析式； （2）求得tan 2tan Ba A==，利用弦化切思想以及()sin sin C A B =+得出sin 3sin cos C A B =，由正弦定理得出2sin sin B b A =，代入1sin 2ABC S ab C ∆=得出3sin 2ABC S B ∆=，由此可得出ABC ∆面积的最大值.【详解】（1）()()sin f x x ωϕ=+Q ，()()cos f x x ωωϕ'∴=+， 则()()()sin cos g x x x ωϕωϕ=++，()max 2g x ==，0ω>Q ，1ω∴=，则()()()sin g x x x ϕϕ=++，又Q 函数()y g x =奇函数，()0sin 0g ϕϕ=+=，则tan ϕ=0ϕπ<<Q ，23πϕ∴=，()22sin 2sin 33g x x x ππ⎛⎫∴=++=- ⎪⎝⎭； （2）tan 2tan 2B a g A π⎛⎫==-= ⎪⎝⎭Q 且cos sin 2sin cos A B A B =， sin sin b B a A =Q，2sin sin B b A∴=， ()sin sin sin cos cos sin 3sin cos C A B A B A B A B =+=+=， 112sin sin 23sin cos 6sin cos 3sin 222sin ABC BS ab C A B B B B A∆==⨯⨯⨯== 因此，当4B π=时，ABC ∆的面积取得最大值为3.【点睛】本题考查三角函数与三角形的综合问题，同时考查三角函数的最值以及三角形面积的最值，考查了辅助角变换、三角函数的导数以及正弦定理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．已知数列{}n a 满足：111+--=n n na a a ，1n a ≠且12a = （1）证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）令21nn n b a =-求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析，11n a n=+；（2）12(1)2n n S n +=+-⋅ 【解析】（1）将已知等式取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得221nn n n b n a ==-g ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】解：（1）证明：由111+--=n n n a a a ，得1111111n n n n a a a a +==+---，可得111111+-=--n n a a ， 即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111a =-为首项，1为公差的等差数列， 且1111n n n a =+-=-，则11n a n=+； （2）221nn n n b n a ==⋅-， 231222322n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，① 234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，②-①②得()231121222222212n n n n n S n n ++--=+++⋯+-⋅=-⋅-，则12(1)2n n S n +=+-⋅.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用取倒数，考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题． 20．已知函数()()20,,f x ax bx c a b R c R =++>∈∈.（1）若函数()f x 的最小值是()11f -=-且1c =，()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，求()()33F F +-的值；（2）若3a =，1c =且()2f x ≤在区间(]0,2上恒成立，试求b 的取值范围. 【答案】（1）24；（2）116,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）由题意得出1112c a b c b a⎧⎪=⎪-+=-⎨⎪⎪-=-⎩，可解出a 、b 的值，可得出函数()y f x =和函数()y F x =的解析式，从而计算出()()33F F +-的值；（2）由已知条件得出()231f x x bx =++，由题意得出22312x bx -≤++≤在区间](0,2上恒成立，利用参变量分离法得出13b x x ≤-且33b x x≥--在](0,2上恒成立，然后利用函数单调性和基本不等式分别求出13x x -和33x x--在](0,2上的最小值和最大值，可得出实数b 的取值范围. 【详解】（1）由已知1c =，1a b c -+=-且12ba-=-，解得2a =，4b =， ()()2211f x x ∴=+-，则()()()22211,0121,0x x F x x x ⎧+->⎪=⎨-+<⎪⎩， 则()()()()22332311123124F F +-=⨯+-+-⨯-+=；（2）由3a =，1c =，得()231f x x bx =++，从而()2f x ≤在区间](0,2上恒成立等价于22312x bx -≤++≤在区间](0,2上恒成立，即13b x x ≤-且33b x x≥--在](0,2上恒成立. Q 函数13y x x =-在区间](0,2上单调递减，则min 1113222y =-⨯=-.由基本不等式得313336x x x x ⎛⎫--=-⨯+≤-⨯=- ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，则33x x--的最大值为6-，1162b ∴-≤≤-，因此，实数b 的取值范围是116,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查二次不等式区间上恒成立问题，灵活利用参变量分离法转化为函数的最值来求解，可简化计算与分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.21．某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD 草坪如下图所示，已知：120AB =米，603BC =米，拟在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求点O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 时上，且EOF 90∠=o .（1）设BOE α∠=，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用. 【答案】（1）()60cos sin 1cos sin l αααα++=，定义域为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为)3600021元．【解析】（1）利用勾股定理通过l OE OF EF =++，得出()60cos sin 1cos sin l αααα++=，结合实际情况得出该函数的定义域；（2）设sin cos t αα+=，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求OEF ∆的周长1201l t =-最小，求出t 的取值范围，根据该函数的单调性可得出l 的最小值. 【详解】（1）由题意，在Rt BOE ∆中，60OB =，2B π∠=，BOE α∠=，60cos OE α∴=，Rt AOF ∆中，60OA =，2AFO π∠=，60sin OF α∴=，又2EOF π∠=， 2222606060cos sin cos sin EF OE OF αααα⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以606060cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++，即()60cos sin 1cos sin l αααα++=. 当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时6πα=； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时3πα=.故此函数的定义域为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求OEF ∆的周长l 的最小值即可． 由（1）得()60cos sin 1cos sin l αααα++=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，21sin cos 2t αα-∴⋅=，则()()260cos sin 16011201cos sin 12t l t t αααα+++===--， 由,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5712412πππα≤+≤，t ≤≤11t ≤-≤，1111t ≤≤-，当4πα=，即当60BE =时，)min 1201l =， 答：当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为)360001元．【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.22．已知函数()(ln )x f x a x x xe =+-. （1）当1a =时，求函数()f x 的极大值；（2）若()0f x <在[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1） ()1f x =-极大值；（2）(,)e -∞【解析】（1）当1a =时，()xf x x lnx xe =+-，11()1(1)(1)x xxe f x x e x x x-'=+-+=+，进而求解；（2）1(1)()()(1)(1)x xx a xe f x a x e x x+-'=+-+=，(1)x …，继而判断导函数的符号，进而求解． 【详解】解：（1）函数定义域为(0,)+∞，当1a =时，()ln xf x x x xe =+-，由11()1(1)(1)x xxe f x x e x x x'-=+-+=+， 令()0f x '=，0(0,)x ∃∈+∞，使0010xx e -=，当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减；()00000 ()ln x f x f x x x x e ∴==+-极大值，由()00f x '=知001x x e =，001x e x ∴=，01ln ln x e x =，即00ln 0x x +=，故 ()1f x =-极大值，（2）由()(1)1()1(1)xx x a xe f x a x e x x '+-⎛⎫=+-+=⎪⎝⎭，(1)x …， ①当0a „时，()0f x '<，()f x ∴在[1,)+∞上单调递减，()f x f „(1)0a e =-<满足题意；②当0a e <„时，1x Q …，0x a xe -„，()0f x '„.()f x ∴在区间[1,)+∞单调递减，max ()f x f =(1)0a e =-<，0a e ∴<<；③当a e >时，0(1,)x ∃∈+∞使000xe x a -=，当()01,x x ∈时，()f x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()f x 单调递减；()()0max 0000()ln (ln 1)0x f x f x a x x x e a a ∴==+-=->，()0f x ∴<不恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是(,)e -∞. 【点睛】（1）考查函数求导，利用导函数确定函数的极值点；（2）考查不等式在特定区间上恒成立问题的转化，分类讨论的思想，将恒成立问题转化为求函数的极值问题，属于中档题．。
高三数学上学期第一次月考试题 文扫描 试题
HY中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一中第一期联考文科数学答案命题、审题组老师 杨昆华 彭力 杨仕华 王佳文 张波 毛孝宗 丁茵 易孝荣 江明 李春宣一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBCDADDCAAB1. 解析：由题意，因为集合{}1>=x x A ，所以=B A {}31<<x x ，选B ． 2. 解析：因为2i 12i i i)i)(1(1i)i(1i 1i 2+=-=-+-=+，选C ． 3. 解析：18=0.4540，选B ． 4. 解析：由得54)cos(-=--αβα，即54cos )cos(-==-ββ，又πβ（∈，）23π，所以0sin <β，且53cos 1sin 2-=--=ββ，选C ．5. 解析：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥A DBC -，那么最长棱为2222116AB =++=，选D ．6. 解析：对于B ，函数的周期是π，不是π4；对于C ，函数在3π=x 时不取最值；对于D ，当∈x 65(π-，)6π时，34(32ππ-∈+x ，）32π，函数不是单调递增，选A ． 7. 解析：因为()()11f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，选D ．8. 解析：由垂径定理可知直线CM 的斜率为2-，所以直线CM 的方程是)2(21--=+x y ，即032=-+y x ，选D ．9. 解析：设外接球的半径为R ，因为PA ⊥平面ABC ，所以BC PA ⊥，又BC AB ⊥，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，易知：OA OB OC OP ===，故O 为四面体P ABC -的外接球的球心，又2PA AB BC ===，所以22AC =，23PC =，半径3R =，四面体P ABC -的外接球的外表积为()24312ππ=，选C ．10. 解析：由()y f x =,()01f =-排除B ，()f x 是偶函数排除C,()20f =和()40f =排除D ，选A ．11. 解析：由题设得3=ab，2)(12=+=a b e ，所以b e a +2362322323322=≥+=+=aa a a ，选A ． 12. 解析：由余弦定理及22b ac a -=得，22222cos b a c ac B a ac =+-=+，所以有2cos c a B a =+，因此sin 2sin cos sin C A B A =+，故有()sin 2sin cos sin A B A B A +=+，即()sin sin A B A =-，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以A B A =-，即2B A =，所以022A π<<，所以04A π<<，又3B A A +=，所以32A ππ<<，所以63A ππ<<，综上,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()sin sin 22cos 2,3sin sin B At A A A===∈，选B ．二、填空题13. 解析：由22a b a b -=+解得0a b ⋅=，所以向量a 与b 夹角为90︒． 14. 解析：N=126+146+96+136=288⨯⨯⨯⨯．15. 解析：由图知，直线4z y x =-过()1,0时，4y x -有最小值1-. 16. 解析：由得()()22log 1933f x x x -=+++，所以()()6f x f x +-=，因为2lg 3⎛⎫ ⎪⎝⎭与3lg 2⎛⎫⎪⎝⎭互为相反数，所以23lg lg 632f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3lg 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 三、解答题〔一〕必考题17. 解：〔1〕证明：设1122n n nn a a d ---=那么122n n n a a d --= 所以1122n n n a a d ++-=,11122222n n n n n n a a da a d++--==-所以}{12n na a +-是首项为4,公比为2的等比数列. ………6分〔2〕因为{}2n n a 是等差数列，所以1221122=-=a a d ,所以11(1)22n n a a n d =+-⨯ , 所以1()22nn a n =-所以123113531222...()2()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-① 2311333222...()2()22222n n n S n n +=⨯+⨯++-+-②由①-②得23111=2+2+2...2()222n n n S n +-⨯++-- 13=(n-)232n n S ++． ………12分18. 解：〔1〕 选派B 同学参加比拟适宜．理由如下：1(7580808385909295)858A x =+++++++=，1(7879818284889395)858B x =+++++++=，22222221[(7885)(7985)(8185)(8285)(8485)(8885)8B S =-+-+-+-+-+-+22(9385)(9585)]35.5-+-=，22222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)8A S =-+-+-+-+-+-+22(9285)(9585)]41-+-=，从A B x x =，22B A S S <可以看出：A ，B 两位同学的平均程度一样而B 的成绩较稳定，所以选派B 参加比拟适宜． ………7分〔2〕任选派两人有(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E 一共10种情况；所以A ，B ，C 三人中至多有一人参加英语口语竞赛有7种情况； 所以710P =． ………12分19. 解：〔1〕在直角梯形ABCD 中，2BC AD AB ⋅=，即AB ADBC AB=， 因为90DAB PBC ∠=∠=, 所以tan AB ACB BC ∠=，tan ADABD AB∠=， 所以ABD ACB ∠=∠，又因为90ACB BAC ∠+∠=， 所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥图2的四棱锥1P ABCD -中，1P A AB ⊥，由题知1P A AD ⊥，那么1P A ⊥平面ABCD ， 所以1BD P A ⊥，又1P AAC A =所以BD ⊥平面1P AC . ………6分(2)在图1中，因为AB =,1AD =，2BC AD AB ⋅=，所以3BC =因为PAD ∆∽PBC ∆，所以13PA AD PA PB BC ==⇒=，即1P A = 由〔1〕知1P A ⊥平面ABCD ，那么1C P BD V -1P CBD V -=1P CBD V -=111111133332324CBD S P A BC AB P A ∆⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯=. ………12分20. 解：〔1〕由椭圆定义知，224AF BF AB a ，又222AF BF AB ，得43ABa ，l 的方程为y x c ，其中22c a b .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将y x c 代入22221x y a b 得，2222222()2()0a b x a cx a c b . 那么212222-a c x x a b ，2221222)a cb x x a b （.因为直线AB 的倾斜角为4π，所以212122()4ABx x x x ，由43AB a 得，222443a ab a b ，即222a b .所以C的离心率2222c a b e a a. ………6分 (2) 设AB 的中点为0,0()N x y ，由〔1〕知，2120222--23x x a c c x a b ，003cy x c .由PA PB 得，PN 的斜率为-1，即001-1y x ，解得，3c ，32a ，3b .所以椭圆C 的方程为221189x y . ………12分21. 解：〔1〕()f x 的定义域为(,)-∞+∞,因为()e x f x a '=+，由(0)0f '=，得1a =-, 所以()e 2x f x x =--，由()e 10x f x '=->得0x >，由()e 10x f x '=-<得0x <，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. ………6分 (2) 因为0x >,所以()e 1e 1xxm x -<+可化为e 1e 1x x x m +<-，令e 1()e 1x x x F x +=-，那么()2e (e 2)()e 1x x x x F x --'=-， 由〔1〕得()e 2x f x x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)e 30f =-<,2(2)e 40f =->,所以()f x 在(1,2)上存在唯一的0x ， 使0()0f x =，所以()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 所以0()F x 是()F x 00e 20x x --=得00e 2x x =+， 所以00000000e 1(2)1()11e 1x x x x x F x x x +++===++-， 又因为012x <<，所以02()3F x <<，所以[]max 2m =. ………12分 〔二〕选考题：第22、23题中任选一题做答。
全国卷Ⅱ2020届高三高考压轴卷数学试题(文)(含解析)
【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；
∴A∩B＝{0，1}． 故选：A． 2. 答案 A
解析
，则 ，则复数 的虚部是 z
=
1− i 1+ 2i
=
(1− i)(1− 2i) (1+ 2i)(1− 2i)
=
−1− 3i 5
=
−
1 5
−
3i 5
z =−1+3i 55
z
3
.
5
故选：A. 3. 答案 D
命题 ，使 的否定是： 均有 C. “∃x∈ R x2 + x −1 < 0 ”
“ ∀x ∈ R x2 + x −1 > 0 ”
D. 命题“若 x = y ，则sin x = sin y ”的逆否命题为真命题
D. − 3 i 5
sin (α −π ) + cos(π −α )
角4. α 的终边在直线 y = 2x 上，则 sin (π +α ) − cos(π −α ) = （ ）
线方程．
23. （本小题 10 分）
设函数 f (x) = x +1 − x 的最大值为 m.
（1）求 m 的值；
（2）若正实数 ，a b 满足 a + b = m，求 a2 + b2 的最小值. b+1 a +1
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2020 新课标 2 高考压轴卷数学（文）Word 版含解析
参考答案
1. 答案 A 解析 可解出集合 A，然后进行交集的运算即可．
（）
A.
B.
C.
D.
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11.双曲线
C：
普通高等学校招生全国统一考试2024届高三上学期青桐鸣大联考试题 语文含解析
2024届普通高等学校招生全国统一考试语文（答案在最后）全卷满分150分，考试时间150分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：为何中华文明五千多年来一脉相承、从未中断，一直延续到今天？这涉及许多方面的原因。
古往今来，中国人民为维护中华文明的连续发展付出了艰辛努力，其中蕴含的中国智慧对于人类文明发展有着重要借鉴意义。
比如，中国古代政治人物关于创与守、得与失、安与危、兴与亡等关系的讨论，大多蕴含着辩证的思想，反映出对于国家治理的谨慎态度，虽然其根本目的在于维护自身统治，但其中包含着一些不可违背的历史法则。
对这些历史法则的遵循，是中华文明连续发展的一个重要原因。
中国古代的许多政治人物都十分重视总结历史经验并提出一些理念，形成独有的政治文化和政治哲学，这种政治文化和政治哲学反过来又推动政治发展和文明发展，这对于中华文明的连续发展有着十分重要的意义。
西周统治者从商朝衰亡中汲取经验教训，强调“我不可不监于有夏，亦不可不监于有殷”，把“天命”搁在一边，倡导以“德”治国，这是中华文明发展史上较早的对历史经验的总结和借鉴。
汉高祖要求陆贾“试为我著秦所以失天下，吾所以得之者何，及古成败之国”。
唐太宗君臣经常以短祚的秦、隋两朝为例，讨论历史借鉴问题。
中国古代政治人物注重总结和借鉴历史经验，这对于维护中华文明突出的连续性具有重要意义。
与汲取历史经验教训紧密联系的，是一些政治人物对国家治理所面临的艰难常怀深深的忧虑，所以都十分重视思考“创业”难还是“守成”难的问题。
湖北省部分省级示范性重点中学教科研协作体2020届高三统一联合考试●数学(理科)
湖北省部分省级示范性重点中学教科研协作体2020届高三统一联合考试数学(理科)试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.════════════★祝考试顺利★═══════════注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在．试题卷．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．.4．考试结束后，务必将试卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）1.已知集合22{(,)|(-3-4cos )(-5-4sin )4,}A x y x y R q q q =+=Î，{(,)|34-190}B x y x y =+=.记集合P A B =Ç，则集合P 所表示的轨迹的长度为A.B.C.D.2.已知复数z 满足z z=4 且z+z z =0+，则2019z 的值为A.-1B.20192-C.1D.201923.在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若，且O 为ABC △的外心，G 为ABC △的重心，则OG 的最小值为1- B.5256-1 D.10526-4.在ABC △所在的平面上有三点,,P Q R 满足PA PB PC AB ++= ，QA QB QC BC ++= ，RA RB RC CA ++= ，则PQR ABC S S △△的值为A.12 B.13 C.14 D.15)4a B p =+5c =5.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全一样的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器(容器壁的厚度忽略不计),则该球形容器表面积的最小值为A.41pB.42pC.43pD.44p6.南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式121210()n n n n f x a x a x a x a x a --=+++++…的值的算法，即将()f x 改写成如下形式：1210()((()))n n n f x a x a x a a x a --=+++++……，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这种算法至今仍是比较先进的算法，将秦九韶算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入A.i v vx a =+B.()i v v x a =+C.i v a x v =+D.()i v a x v =+7.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是 A.B.C. D.2()()1x x x e e f x x --=-8.中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护.五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形ABCDE 内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为A.514- B.251)4- C.351)4- D.451)4-9.已知函数2()(1)x f x e x =+，令'1()() f x f x =，'1()()n n f x f x +=，若记数列2{}2n n n a c b -的前n 项和为n S ，则下列选项中与2019S 的值最接近的是A.32 B.53 C.74 D.9510.已知函数，有下述四个结论：①是偶函数；②在上单调递减；③当时，有；④当时，有；其中所有真命题的编号是A.①③ B.②④ C.①③④ D.①④11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点O 为坐标原点，点P 在双曲线的右支上，且满足122F F OP =.若直线与双曲线只有一个交点，则双曲线的离心率为235612.已知函数，，记若至少有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.2()()x n n n n f x e a x b x c =++，()(cos 1)cos 2cos (cos 1)f x x x q q =+++()f x ()42p p ，7()5f x <23[]34p p q Î，C 2PF {}()min ()()h x f x g x =，，32()(32)8127f x ax a x x a =---++()ln g x x =a ()h x 1()10-¥-，1()8+¥，11[)108-，11[108-，()f x 23[]34p p q Î，'14()5f x <C第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）13.已知,x y 均为正数，则2226x y x y +++的最大值是__________.14.在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马的彩色陶俑各一个送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为__________.15.已知椭圆的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上不与左右顶点重合的动点，设，分别为的内心和重心.当直线的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，椭圆的离心率为__________.16.已知函数，当[0,1] x Î时，仅在1x =处取得最大值，则实数的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请．在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的中11a =，22a =，且满足.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设，记数列{}n b 的前项和为，若求的最小值.18.（本小题满分12分）如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF ABCD ^平面且3DF =(1)求证：EF ABCD 平面；(2)若ABC BCE Ð=Ð，求二面角A BF E --的余弦值.22221(0)x y C a b a b +=>>：G 32()2(31)1f x ax a x =+-+I 12PF F △IG C ()f x C a 11111n i i i n n a a a =++=++å112020n T +<，211(1)n n n n n a b a a ++-=n n T n19.（本小题满分12分）已知点是平面内的动点，定点，定直线与轴交于点，过点作于点，且满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和点.设线段和线段的中点分别为和，记线段的中点为，点为坐标原点，求直线的斜率的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数122()(ln 2)1x e f x a x x x-=++--在定义域(0,2)内有两个极值点.(1)求实数a 的取值范围；(2)设1x 和2x 是()f x 的两个极值点，求证：.21.（本小题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有份血液样本,有以下两种检验方式：方式一：逐份检验,则需要检验次.方式二：混合检验,将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这份的血液全为阴性,因而这份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这份血液究竟哪几份为阳性,就要对这份再逐份检验,此时这份血液的检验次数总共为假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为.(1)若,试求关于的函数关系式；(2)若与干扰素计量相关，其中是不同的正实数，满足且都有.(i )求证：数列{}n x 为等比数列；(ii)当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的的最大值.1l x =-：E (1,0)F EP EF FP FQ ×=× x (,)P x y Q PQ l ^P t OK AB ,C D ,A B K M k MN N CD O 2l 1l F 12ln ln ln 0x x a ++>P t ()*2k k N k Î且 n 1.k +k ()p f k =2x 1x ()01p p <<p 12 ()2n x x x n ，，…，≥k 12()()E E x x =n x 131121212222 1n n i i n i x x x e x x x x +--⋅=-=-∑()*2n N n ∀∈≥11x =1p =-k k k k k ()*2k k N k Î且 p ()*n n N Î（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为22211( )1t x t t t y t ì+ï=ï-íï=ï-î为参数.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于,A B 两点，交x 轴于点P ，求11PA PB+的值.23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数()121f x x x =--+.(1)求不等式()4f x £的解集；(2)若,,a b c 均为正数，求证：()a b c f x b c c a a b£+++++.5cos()34p r q +=。
湖北省东风高中、天门中学、仙桃中学2022-2023学年高三12月考试数学试题含答案
东风高中、天门中学、仙桃中学2023届高三12月考试高三数学试题考试时间：2020年12月16日下午15：00-17：00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集R U =，集合{}1>=x x A ，{}22<≤-=x x B ，则如图中阴影部分表示的集合为（）A.{}2x x ≥- B.{}2x x <- C.{}12x x << D.{}1x x ≤2.已知复数(2i)(13i)()z a a =-+∈R 的实部与虚部的和为12，则|5|z -=（）A.3B.4C.5D.63.已知ABC 所在平面内的一点P 满足BC PC PB P A =++，则点P 必在（）A.ABC 的外面B.ABC 的内部 C.边AB 上D.边AC 上4.已知()512my x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为40，则m 的值为（）A.-2B.-1C.1D.25.如图，圆内接四边形ABCD中，,45,2,6DA AB D AB BC AD ⊥∠==== 现将该四边形沿AB 旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（）A.30πB.40πC.184π3 D.200π36.设0.1a =，sin0.1b =， 1.1ln1.1c =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A.b c a<< B.b a c<< C.a b c<< D.bc a <<7.已知π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2sin21cos 2αα+=，则1tan21tan 2αα+=-（）2-B.2-C.2-D.2+8.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x -+-=,当01≤≤-x 时,()()1e xf x x =+,则（）A.()()0.313e 2023lne 10f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B.()()0.313e 2023eln 10f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C.()()0.313e eln 202310f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D.()()0.313e lne 202310f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于变量x 和变量y ，通过随机抽样获得10个样本数据()(),1,2,3,,10i i x y i = ，变量x 和变量y 具有较强的线性相关并利用最小二乘法获得回归方程为ˆ2=-+yx a ，且样本中心点为()6,9.3，则下列说法正确的是（）．A.变量x 和变量y 呈正相关B.变量x 和变量y 的相关系数0r <C.21.3a = D.样本数据()5,12比()75,的残差绝对值大10.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图（1）所示，函数()()1111()cos 0,0,||πg x A x A ωαωα=+>><的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的周期为2πB.函数()y f x =的图象关于直线1912x π=对称C.函数()1y f x =-在区间[0,2]π上有4个零点D.将函数()y f x =的图像向左平移23π可使其图像与()y g x =图像重合11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是直角三角形，且1AC BC ==，1AA =E 为1B C的中点，点F 是棱11A C 上的动点，点P 是线段1A B 上的动点，则下列结论正确的是（）A.异面直线AB 与1B C 所成角的余弦值是24B.三棱柱111ABC A B C -的外接球的球面积是20πC.当点P 是线段1A B 的中点时，三棱锥1P B CF -的体积是312D.PE PF +的最小值是7512.设函数⎩⎨⎧>≤--=0,ln 0,2)(2x x x x x x f ，则下列命题中正确的是（）A.若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是(0,1)B.若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是(0,)+∞C.若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.方程21()()()10f x a f x a-++=的不同实根的个数只能是1，2，3，6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知,a b →→为单位向量，a b -= ，则,a b →→的夹角为________．14.某校安排5名同学去A ，B ，C ，D 四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A 基地的排法总数为__________.15.已知事件A 和B 是互斥事件，()16P C =，()118P B C ⋂=，()()89P A B C ⋃=，则()P A C =______．16.已知()0,x ∈+∞，()()11ln xx ex x λλ+≥+，则实数λ的取值范围为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1）求sin sin CA的值（2）若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积.18.（12分）已知函数()()2e 21xf x xax =+-，其中R a ∈，若()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为210x by ++=．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[]3,1-上的最值．19.（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知535S =，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+．（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式；（2）若14a <，对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤--- 恒成立，求实数λ的最小值．20.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 为线段AB 的中点，4CB =，AB =118A C =．（1）证明：1CB A D ⊥；（2）若三棱锥1A A DC -的体积为1633，求平面1DAC 与平面1A CB 夹角的余弦值．21.（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付402060不使用移动支付103040合计5050100（1）按年龄35岁以下（含35岁）是否使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设使用移动支付的人数为X ，求X 的分布列及期望.（2）用这100位市民使用移动支付的频率代替全市市民使用移动支付的概率，从全市随机中选出10人，则使用移动支付的人数最有可能为多少？22.（12分）已知函数21()2ln 2f x x x ax =+-（a 为常数）．（1）若函数()f x 在定义域上单调递增，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，且211x x -≤，求()()12f x f x -的取值范围．东风高中、天门中学、仙桃中学2023届高三12月考试数学试题答案BCCBDBAC⑼BC⑽BCD⑾ACD⑿AD⒀32π⒁60⒂95⒃⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e17.（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===，所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A=所以sin 2sin CA=......（5分）（2）由（1）知sin 2sin c Ca A==，即2c a =，又因为2b =，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,所以2c =，又因为1cos 4B =，所以15sin 4B =，故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯154=154..........（10分）18.（1）依题意，(0)1f =-，切点(0,1)-在切线210x by ++=上，则1b =，()f x '=()()()22e 21e 4e 241x x x x ax x a x a x a ⎡⎤+-++=+++-⎣⎦，而()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为2-，(0)f '=12a -=-，解得得1a =-，所以函数()f x 的解析式为()()2e 21xf x xx =--.（6分）（2）由（1）知，()f x '=()()()2e232e 221xx x x x x +-=+-，由()0f x '=得2x =-或12x =，当[3,1]x ∈-时，32-<<-x 或112x <<，有()0f x ¢>，122x -<<，有()0f x '<，因此函数()f x 在1[3,2],[,1]2--上单调递增，在[12,2-上单调递减，又()3203e f -=，()292e f -=，121e 2f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)0f =，所以()f x 在[]3,1-上的最大值为29e ，最小值为12e -.......（12分）19.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由535S =得151035a d +=，因为4a 是1a 与13a 的等比中项，所以()()2111312a d a a d +=+．化简得172a d =-且2123a d d =，解方程组得17,0a d ==或13,2a d ==．故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+（其中N n *∈）（3分）因为245n T n n =+，所以214(1)5(1)n T n n -=-+-，(2)n ≥，所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+，因为119b T ==，满足上式，所以()81Nn b n n *=+∈；......（6分）（2）因为14a <，所以21n a n =+，所以(2)n S n n =+，所以221114488141n n S b n n n n ==-+---=)121121(21+--n n 所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------ 1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+ 111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大，从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立，所以12λ≥，故λ的最小值为12.........（12分）20.（1）证明：因为1AA ⊥平面ABC ，CB ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 为平行四边形，则118AC AC ==，因为AB =，4CB =，所以222AB CB AC +=，所以CB AB ⊥，又因为1AB AA A ⋂=，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以CB ⊥平面11ABB A ，又1A D ⊂平面11ABB A ，所以1CB A D ⊥．.....（5分）（2）解：由（1）得，12ABC S AB BC =⋅=△，D 为AB的中点，则12ACD ABC S S ==△△，因为1AA ⊥平面ABC，111111333A A CD A ACD ACD V V S AA AA --==⋅=⨯=△，所以14AA =，因为1BB ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，以点B 为坐标原点，BA 、1BB 、BC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,4C、()D、()14,0A 、()10,4,0B ，设平面1DAC 的法向量为()111,,m x y z =，()14,0DA =，()4DC =-，则111114040m DA y m DC z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取12x =，可得(2,m = ，设平面1A CB 的法向量为()222,,x n y z =，()14,0BA = ，()0,0,4BC =，则12224040n BA y n BC z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取21x =，可得()1,n = ，所以，10cos ,4m n m n m n ⋅<>==⋅，所以平面1DAC 与平面1A CB 夹角的余弦值为104（12分）21（1）根据分层抽样知使用移动支付的人数为8人，不使用移动支付的有2人，则X 的可能值为1，2，3，()12823101115C C P X C ===，()21823107215C C P X C ===，()30823107315C C P X C ===，分布列为X123P11571571517712()1231515155E X =⨯+⨯+⨯=.......（6分）（2）从全市随机选出10人，设使用移动支付的人数为Y ，则3~10,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()100,5253)(1010≤≤∈⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k N k C k Y P kk k 由10111110101019110103232555532325555k k k kk k k k k kk k C C C C -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得283355k ≤≤，因为*k N ∈，所以6k =故使用移动支付的人数最有可能为6.（12分）22.（1）21()2ln (0)2f x x x ax x =+->∵，2()f x x a x'=+-∴，()f x 是定义域上的单调递增函数，()0'∴≥f x 在定义域上恒成立，即20x a x+-≥在(0)+∞，上恒成立．即2a x x +≤，令2()0g x x x x =+>，，则2()g x x x=+≥x =∴实数a 的取值范围为(-∞，．.....（5分）（2）由（1）知222()0x ax f x x a x x x-+'=+-=>，，根据题意由()f x 有两个极值点，即方程220x ax -+=有两个正根1x ，2x ．所以122x x ⋅=，12x x a +=，不妨设120x x <<<，则()f x 在1(x ，2)x 上是减函数，12()()f x f x ∴>，12|()()|f x f x -∴12()()f x f x =-22111222112ln 2ln 22x x ax x x ax ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭22112121221()()()2ln 2x x x x x x x x =--+-+2212121()2ln 2x x x x =-+222222122ln 2ln22x x x =--+，令22t x =，则2t >，又21222||1x x x x -=-≤，即22220x x --≤22x <≤，2224t x ∴<=≤．设12()2ln 2ln 2(24)2h t t t t t=--+<≤，则22(2)()02t h t t -'=>，()h t ∴在(2，4]上单调递增，(2)0h =∵，3(4)2ln 22h =-，()h t ∈∴302ln 22⎛⎤- ⎥⎝⎦，，即12|()()|f x f x -∈302ln22⎛⎤- ⎥⎝⎦，，所以12|()()|f x f x -的取值范围为302ln22⎛⎤- ⎥⎝⎦，......（12分）。
专题20统计概率(理科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(原卷版)
统计概率（理科）解答题20题1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.3 10.0 10.29.99.810.0 10.1 10.29.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210s s y x +-≥认为有显著提高）．2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0.050 0.0100.001k 3.841 6.635 10.8283．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55ii y y =-=∑7≈2.646.参考公式：相关系数12211()()()(yy)niii n ni ii i t t y y r t t ===--=--∑∑∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i ni i tt y y b t t ==--=-∑∑，=.a y b t -4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：P C的估计值为记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.7．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.8．（2021·辽宁大连·高三学业考试）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与 1p 的大小．（结论不要求证明）9．（2019年天津卷）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.10．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．11．（18年天津卷）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.12．（2017年全国1卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ.（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.9510.12 9.969.9610.01 9.929.9810.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，()16162221111160.2121616i i i i s x x x x ==⎛⎫=-=-≈ ⎪⎝⎭∑∑，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()–330.9974P Z μσμσ<<+=，160.99740.9592≈0.0080.09≈.13．（16年全国1）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数12 3 4 5≥保费0.85a a1.25a 1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 5≥ 概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.14．（16年全国2卷）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X 的分布列；（2）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？15．（2021·云南·模拟预测（理））某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k 为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k ，并分成以下5组，其统计结果如下表所示： 质量指标值 [)5,6[)6,7[)7,8[)8,9[]9,10频数163040104试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得0.82s ≈，记X 表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k 在区间(]5.42,7.88之外的个数，求()1P X =及X 的数学期望（精确到0.001）；（2）已知每个产品的质量指标值k 与利润y （单位：万元）的关系如下表所示()6,7t ∈ 质量指标值k [)5,6[)6,7[)7,8[)8,9[]9,10利润y5t3t2tt25t -假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()()0.6827,220.9545P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=，()9330.9973,0.81860.1651P Z μσμσ-<≤+=≈.16．（2021·河南·模拟预测（理））如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有1N ，2N ，3N ，4N ，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是13，南干道有1S ，2S ，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为12，23．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．（1）求北干道的1N ，2N ，3N ，4N 个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率； （2）若南干道被堵塞路段的个数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．17．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三期末（理））在核酸检测中， “k 合1”混采核酸检测是指：先将k 个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.（1）现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确将这100人随机平均分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；（2）将这100人随机平均分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.试求两名感染者在同一组的概率.18．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ; （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？19．（2021·广东·模拟预测）2020年9月，中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区纯电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程为ˆ 4.79459.2yx =-，且销量y 的方差为22545y s =，年份x 的方差为22x s =.（1）求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的相关性强弱； （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动车 购买电动车 总计男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 692190请判断有多大的把握认为购买电动汽车与性别有关；（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 512763525⨯≈②参考公式：（i ）线性回归方程：ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ （ii ）相关系数：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑ 0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强.（iii ）22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表： ()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82820．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或11都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列； (ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．12。
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湖北省2020届高三数学全国统一招生考试试题文
注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上并在指定地方粘贴条形码。
2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1. ( )
2.是虚数单位，则复数的模为（）
3. 已知双曲线的虚轴长为4，焦距为10，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
4. 《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、
艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（）
5.设函数，则（）．
A.1011
B.1010
C.1009
D.1012
6.等差数列中，已知则 ( )
7. 函数的图像如图所示，则使成立的m的最小正值为（）
A． B． C． D．
8. 已知正三棱柱的三视图如图所示，若该几何体存在内切球，且与三棱柱的各面均相切，
则为（）
9. 下图是年年我国劳动年龄（岁）人口数量及其占总人口比重情况：
根据图表信息，下列统计结论不正确的是（）
A．年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大
B．年后我国人口数量开始呈现负增长态势
C．年我国劳动年龄人口数量达到峰值
D．我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过
10. 在直三棱柱中，, ,为线段上的动点，当最小时，与面所成的角的正弦值是（）
11. 若函数在上是增函数，当取最大值时，的值等于（）
12. 已知函数,若恒成立,则的最大值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 不等式组所表示的平面区域的面积等于__________．
14．已知，均为单位向量，若，则与的夹角为．
15. 在中，，，则面积的最大值是_______.
16.已知抛物线上有三个不同的点，抛物线的焦点为，且满足，若边所在直线的方程为，
则．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知数列是等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是递增的等比数列且，，
求
18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的
中点．
（1）求证：平面；
（2）求点平面的距离．
19.（本小题满分12分）某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量（，单
位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元．假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为元．
（1）求商店日利润关于需求量的函数表达式；
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替．
①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；
②估计日利润在区间内的概率．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的短轴长等于，椭圆上的点到右焦点最远距离为3．（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过的直线与交于两点（不在轴上），若,且在椭圆上，求四边形面积．
21.（本小题满分12分）已知函数，.
（1）讨论的单调性，并证明当时，恒成立.
（2）若时，恒成立，试求实数的取值范围.
选考题：请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）已知直线为参数），曲线为参数）．
（1）设与相交于，两点，求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．
23.（本小题满分10分）已知，函数的值域为.
（1）求实数的值.
（2）若函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的值.
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科综合能力测试模拟试答案（一）
命题：夷陵中学文科数学组审题：夷陵中学文科数学组
一、选择题：CDCCD ADBBA AB
二、填空题：13. 14. 15.2 16.8
三、解答题：
17．（1）由已知得，，......................................................................3分所以通项公式为............................................................................. ..........6分.
（2）由已知得：，又是递增的等比数列，故解得，，
所以，........................................................................... .............................................8分.
∴
．............................................................................. ...12分.
18.解：（1）连接，与交于点，连接，
则为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．...................................................5分（2）由点为的中点，且点平面可知，
点到平面的距离与点到平面的距离相等，
由四边形是正方形，，可得是三棱锥的高，
由题意得，，，，，所以，
在中，，，，
设点到平面的距离为，则，
由，得，，
所以点到平面的距离为． (12)
19.解：（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：
，化简得．.............................3分
（2）①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：
........................8分
②由于时，，
显然在区间上单调递增，
，得；，得；
日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：．.......................................................................... ............................................12分
21.解析：（1）①由题知.............................................................................
................1分
若，则，故在上单调递增
若，时单调递减，单调递增...........................4分
②当时，在上单调递增，故即证...............................5分
（2）令，..........................................................6分
当时，由（1）知恒成立，故，所以在上单调递增，从而恒成立，...........................................................................
......................................................9分
当，令，因为时，，故在上单调递增，而，故存在，使得，从而在上单调递减，上单调递增，又，此时不成立，不合题意。
综上可知，........................................................................... ...........................12分
22.直线的普通方程为，的普通方程．
联立方程组，解得与的交点为，，，则．..........5分
（2）曲线的参数方程为为参数），故点的坐标为，，
从而点到直线的距离是，
由此当时，取得最小值，且最小值为．......................................10分
23.解：（1）由绝对值不等式可知：
又，所
以.............................................................................
.................................5分
（2），
若，恒成立，即在恒成立，得
若，有
若，有，综上有...................................................。