积分中值定理的应用研究

合集下载

积分中值定理公式

积分中值定理公式积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它提供了两个函数之间平均值与积分之间的关系。

在本文中，我们将探讨积分中值定理的公式及其应用。

首先，让我们来讨论一下积分中值定理的基本概念。

根据定理的表述，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，而且F(x)是它的一个原函数，则存在一个数c ∈ (a, b)，使得∫[a, b] f(x)dx = (b - a) · F(c)其中，∫[a, b] f(x)dx表示函数f(x)在闭区间[a, b]上的积分。

这个定理的直观意义是，积分等于函数在区间内的平均值乘以区间长度。

根据积分中值定理的公式，我们可以推导出其他一些有用的结果。

例如，如果f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，且∫[a, b] f(x)dx=0，那么在该区间内f(x)必须恒为0。

另一个重要的应用是通过积分中值定理证明不等式。

例如，我们知道当x ∈ [0, 1]时，sin(x)函数是有界的，即存在常数M > 0，使得|sin(x)| ≤ M对于所有x成立。

我们可以通过积分中值定理来证明这一点。

考虑函数f(x) = sin(x)在闭区间[0, 1]上的积分：∫[0, 1] sin(x)dx由于sin(x)在该区间上连续，则存在一个数c ∈ (0, 1)，使得∫[0, 1] sin(x)dx = (1 - 0) · cos(c)由于cos(c)是有界的，我们可以得出结论∫[0, 1] sin(x)dx是有界的。

另一个相关的应用是平均值定理。

根据积分中值定理，我们可以得出函数在某个区间上的平均值与积分之间的关系。

设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，其平均值为M = (1 / (b - a)) ∫[a, b] f(x)dx则存在一个数c ∈ (a, b)，使得f(c) = M，即函数在某个点上的值等于其平均值。

除了基本的积分中值定理公式之外，还存在一些相关的推广定理。

积分第一中值定理的推广研究

积分第一中值定理的推广研究1. 引言1.1 研究背景研究背景：积分第一中值定理作为微积分中的重要定理，一直以来都受到数学界的广泛关注和研究。

其基本原理可以追溯到牛顿和莱布尼兹创立微积分学的时期，被视为微积分的基石之一。

积分第一中值定理主要研究了函数在闭区间上的平均值与函数在某点处的导数之间的关系，揭示了函数的平均值与函数的导数之间的重要联系。

随着数学研究的不断深入和发展，人们开始意识到积分第一中值定理在实际问题中的广泛应用。

在物理学、工程学、经济学等领域，积分第一中值定理都扮演着重要的角色，帮助解决了许多现实生活中的复杂问题。

对积分第一中值定理进行进一步的推广研究，不仅有助于深化我们对函数性质的理解，还能为实际问题的解决提供更多的数学工具和方法。

在这样的背景下，对积分第一中值定理的推广研究变得日益重要和必要。

通过对定理的深入探讨和拓展，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，进而应用到更多的实际问题中去。

【研究背景】的探讨与分析，将有助于引出接下来对积分第一中值定理的深入研究和探讨。

1.2 研究意义积分第一中值定理是微积分中一个重要的定理，它描述了函数在某个区间上的平均值与积分值之间的关系。

在数学理论研究和工程技术应用中，积分第一中值定理都具有重要的作用。

研究积分第一中值定理的意义在于深入理解函数在某个区间上的性质，能够帮助我们更好地理解函数的变化规律和特点。

通过对积分第一中值定理的研究，可以更准确地分析函数的增长趋势、波动情况和变化规律，为数学理论研究提供重要的基础。

积分第一中值定理还在科学研究和工程技术领域有着广泛的应用。

在物理学中，通过积分第一中值定理可以推导出一些重要的物理公式；在工程技术中，积分第一中值定理可以帮助工程师们更精确地计算出一些复杂问题的积分值，从而提高工程设计的准确性和效率。

研究积分第一中值定理对于推动数学理论的发展、提高工程技术水平和推动科学研究都具有重要的意义。

通过深入探讨积分第一中值定理的相关性质和应用，可以为数学研究和工程实践提供更深入的理论支持和实际指导。

积分中值定理开区间和闭区间

积分中值定理开区间和闭区间积分中值定理开区间和闭区间积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间上的平均值与积分值之间的关系。

而对于开区间和闭区间，积分中值定理也有着不同的表现和应用。

在本文中，我们将深入探讨积分中值定理在开区间和闭区间上的应用，以及对这一概念的个人理解和观点。

一、积分中值定理的概念积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间上的平均值与积分值之间的关系。

它可以形式化地表述为：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么在这个区间上一定存在一个点c，使得f(c)等于函数f(x)在区间[a, b]上的平均值。

积分中值定理指出了在连续函数的情况下，必然存在一个点，使得该点的函数值等于函数在整个区间上的平均值。

二、积分中值定理在开区间上的应用对于开区间(a, b)，积分中值定理也是成立的。

在开区间上，积分中值定理告诉我们，对于连续函数f(x)，一定存在一个点c，使得f(c)等于函数f(x)在开区间(a, b)上的平均值。

这个结论在实际问题中有着重要的应用，比如在物理学和工程学中，我们常常需要求解一些变化率或平均速度等问题，而积分中值定理为我们提供了一个有力的工具。

三、积分中值定理在闭区间上的应用在闭区间[a, b]上，积分中值定理同样适用。

对于连续函数f(x)，在闭区间上一定存在一个点c，使得f(c)等于函数f(x)在闭区间[a, b]上的平均值。

这个结论在数学分析和实际问题中都具有重要的应用价值，比如在统计学和经济学中，我们常常需要计算一些总量或平均数值，而积分中值定理为我们提供了一个非常方便的工具。

四、个人观点和理解从我的个人观点来看，积分中值定理是微积分中一个非常有用的定理，它不仅能够帮助我们理解函数在某个区间上的平均值，还能够提供我们一个快速求解的方法。

在实际应用中，积分中值定理为我们提供了一个非常方便和强大的工具，它不仅可以用来分析函数的性质，还可以用来解决一些实际问题。

连续函数平均值与积分中值定理分析

连续函数平均值与积分中值定理分析
平均值定理和积分中值定理是微积分中两个重要的定理，用于研究连续函数在一定区间上的性质和关系。

本文将对这两个定理进行详细的分析。

一、平均值定理
平均值定理也被称为拉格朗日中值定理，是微分学中的一条非常重要的定理。

定理的表述如下：
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续并且在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

这个定理的意义是，对于一段曲线，无论其形状如何，总存在一点在这段曲线上，这个点的切线斜率等于整段曲线的平均斜率。

这个点就是曲线在这段区间内的平均值。

平均值定理可以用图形表示如下：
[图形1]
这里的斜线代表曲线f(x)，c点是平均值定理中存在的点，c点的切线与直线AB的斜率相同。

平均值定理的证明需要借助罗尔定理，对于一般的闭区间[a,b]而言，平均值定理有
如下几个重要的推论：
1. 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)的导数恒为0，则函数在[a,b]上为常数函数。

平均值定理告诉我们，对于连续且可导的函数而言，在每一个区间内都存在一个点，这个点的导数等于这个区间上的平均斜率。

这个定理说明，对于连续函数f(x)来说，函数在[a,b]上的积分等于函数在[a,b]上的平均值乘以区间的长度。

(完整版)中值定理的应用方法与技巧

中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分.微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述.积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。

积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在［a,b ］上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。

积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a ，b ］上连续，且)(x g 在［a ，b ］上不变号，则在［a ，b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。

一、微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明,也可应用于恒等式及不等式证明。

由于三大中值定理的条件和结论各不相同,又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数,套用相应的中值定理进行证明。

这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。

例一．设)(x ϕ在［0，1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。

证明:任意给定正整数b a ,，必存在（0，1）内的两个数ηξ,，使得b a ba +='+')()(ηϕξϕ成立。

证法1:任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。

任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得:存在)1,0(∈η,使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。

定积分的中值定理

定积分的中值定理是一个非常重要的数学定理，它可以帮助我们更加深入地了解定积分的本质和性质，同时也为我们解决各种实际问题提供了非常有效的方法和手段。

在本文中，我们将探讨的相关知识和应用。

一、中值定理的基本概念和定义中值定理是微积分学中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间内的平均值与函数在该区间内某一点的取值之间的关系。

具体来说，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在该区间内存在一个点$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)\times(b-a)$，则$c$就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的中值点。

这个定理的基本思想是：将函数在某个区间上的积分值与该区间的长度相乘，得到的是函数在该区间上的平均值，这个平均值可以通过中值定理求得。

中值定理的重要性在于它建立了积分与函数取值之间的联系，使得我们能够更加深入地理解和应用积分的相关知识和技巧。

二、中值定理的证明方法中值定理的证明方法有很多种，其中比较常用和直观的方法是通过构造辅助函数来进行证明。

具体来说，我们可以这样做：假设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在该区间内存在一个点$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)\times(b-a)$。

我们定义一个辅助函数$F(x)=f(x)-f(c)$，则有$\int_a^bF(x)dx=\int_a^bf(x)dx-\int_a^bf(c)dx=\int_a^bf(x)dx-f(c)\times(b-a)=0$。

根据介值定理，由于$F(x)$是连续函数，所以一定存在一个点$d\in(a,b)$，使得$F(d)=0$。

即$f(d)-f(c)=0$，从而得到$c=d$。

三、中值定理的应用中值定理在实际问题中有着广泛的应用，其中比较常见和重要的应用包括：1. 求函数在某个区间上的平均值。

根据中值定理，函数在区间$[a,b]$上的平均值可以通过$\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$来计算，其中$\int_a^bf(x)dx$是函数在该区间上的积分值。

积分中值定理及其应用

积分中值定理及其应用摘要:本论文主要内容是积分中值定理及其应用，主要从以下几个方面论述：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用.关键词：积分中值定理；推广；应用一、引言随着科技时代的发展，数学也随之大步前进.其中，微积分的创立，为数学的发展奠定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位，对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.二、积分中值定理的证明 1、定积分中值定理引理：假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则有()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰成立.证明：因为M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，即()m f x M ≤≤，我们对不等式进行积分可得()bb baaamdx f x dx Mdx≤≤⎰⎰⎰，由积分性质可知()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （1）成立，命题得证.定理1（定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰成立.证明：由于0b a ->，将（1）同时除以b a -可得1()ba m f x dx Mb a ≤≤-⎰.此式表明1()baf x dx b a -⎰介于函数()f x 的最大值M 和最小值m 之间.由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个数相等，即应该有1()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，成立，将上式两端乘以b a -即可得到()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰，命题得证.备注1：很显然，积分中值定理中公式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a b <或a b >都是成立的.2、积分第一中值定理定理2（第一积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),()bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰⎰成立.证明：由于()g x 在[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，将不等式两边同乘以()g x 可知，此时对于任意的[,]x a b ∈都有()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤成立.对上式在[,]a b 上进行积分，可得()()()()b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰.此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有()()()bbaaf xg x dx g x dxμ=⎰⎰成立.由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立.此时即可得到()()()()bbaaf xg x dx f g x dxξ=⎰⎰，命题得证.3、积分第二中值定理定理3（积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰ （2）特别地，如果()g x 在区间(,)a b 上单调上升且()0g a ≥ ，那么存在ξ，使下式成立()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰ （3）如果()g x 在区间(,)a b 上单调下降且()0g b ≥，那么存在ξ，使下式成立()()()()baaf xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰ （4）证明：由题设条件知(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积的，由积分性质可知()()f x g x ⋅也是可积的.我们先证明（3）式，即在()g x 非负、且在区间(,)a b 上单调上升的情形下加以证明. 对于（4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2）式. 在区间[,]a b 上取一系列分点使011i i n a x x x x x b-=<<<<<<=，记1i i i x x x -∆=-，其中iω为()g x 在ix ∆上的幅度，即11[][]sup {()}inf {()}i i i i i x x x x g x g x ω----=-，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下n 等份，并且记11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dx ρ-=-=∑⎰，11()()ii nx ix i g x f x dx σ-==∑⎰.则11()()()()ii nbx ax i f x g x dx f x g x dx-==∑⎰⎰1111()()()[()()]i ii i nnx x i i x x i i g x f x dx f x g x g x dx σρ--===+-≡+∑∑⎰⎰，因为()f x 在[,]a b 上可积，且区间[,]a b 是有限的，所以()f x 在[,]a b 上有界，此时我们不妨假设()f x L≤.估计ρ如下：11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dxρ-==-∑⎰11()()()ii nx i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰11()()()ii nx i i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰111ii nnx i i ix i i L dx L x ωω-==≤=∆∑∑⎰由于()g x 可积，所以当max 0i x λ=∆→时，有1ni i i x ω=∆→∑，从而有0lim 0λρ→=，从而可知()()lim()lim lim b af xg x dx λλλσρσρ→→→=+=+⎰11lim lim ()()ii nx i x i g x f x dxλλσ-→→===∑⎰我们记()()bxF x f x dx=⎰，由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，那么函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且有最大值和最小值M 和m ，记为()i m F x M≤≤，很显然11()()()ii x i i x f x dx F x F x --=-⎰，0()()0F x F b ==，从而11()()ii nx i x i g x f x dxσ-==∑⎰[]11()()()ni i i i g x F x F x -==-∑111()()()()nni i i i i i g x F x g x F x -===-∑∑110121()()()()()()nn i i i i i i g x F x g x F x g x F x --===+-∑∑11011()()[()()]()n i i i i g x F x g x g x F x -+==+-∑因为()g x 是非负的，并且在区间(,)a b 上单调上升，即有10()()()0g x g x g a ≥=≥、1()()0i i g x g x +-≥成立，所以有下式成立()()11111111{()()()}{()()()}n n i i i i i i m g x g x g x M g x g x g x σ--++==+-≤≤+-∑∑.即有()()mg b Mg b σ≤≤成立.从而可以得到lim ()g b σμ=，其中μ满足m M μ<<.由于函数()F x 连续，则在[,]a b 之间存在一点ξ，使()()bF f x dxξμξ==⎰成立，从而有公式（2-3）成立，即()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰成立，（3）式得证.对于()g x 单调下降且()0g b ≥的情形即公式（4）的证明过程是类似的，证明略.对于()g x 是一般单调上升情形，我们作辅助函数()()()x g x g a ψ=-，其中ψ为单调上升且()0a ψ≥，此时公式（3）对于()x ψ是成立的，即存在ξ使[][]()()()()()()bbaf xg x g a dx g b g a f x dxξ-=-⎰⎰成立，这就证明了公式（2）()()()()()()b baaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰.对于()g x 是一般单调下降的情形，此时应用公式（4），同样可得到（2）式，此命题得证.三、积分中值定理的推广 1、定积分中值定理的推广定理7（推广的定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，则在开区间(,)a b 至少存在一个点ξ，使得下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-<<⎰成立.证明：作辅助函数()F x 如下：()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰.由于()f x 在闭区间[,]a b 连续，则()F x 在[,]a b 上可微，且有()()F x f x '=成立.由微分中值定理可知：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-成立.并且有()()baF b f t dt=⎰，()0F a =，此时即可得到下式()()(),(,)baf t dt f b a a b ξξ=-∈⎰，命题得证.2、定积分第一中值定理的推广定理8（推广的定积分第一中值定理）：若函数()f x 是闭区间[,]a b 上可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，则在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰成立.证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()xaF x f t g t dt=⎰，()()xaG x g t dt=⎰，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续.并且()0,()()()baF a F b f t g t dt==⎰，()0,()()b aG a G b g t dt==⎰，()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= .由柯西中值定理即可得到()()(),(,)()()()F b F a F a b G b G a G ξξξ'-=∈'-，即()()()()()()babaf tg t dtf g g g t dtξξξ=⎰⎰，()()()(),(,)bbaaf tg t dt f g t dt a b ξξ=∈⎰⎰，命题得证.证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥.而函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，{}sup ()|[,]M f x x a b =∈.假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈.此时我们有下式成立()()()()bbb aaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰（1）由于()0g x ≥，则有()0ba g x dx ≥⎰，以下我们分两种情形来进行讨论：[1]如果()0bag x dx =⎰，由（3-1）式可知()()0baf xg x dx =⎰，则此时对于(,)a b ξ∀∈有()()0()()bbaaf xg x dx f g x dxξ==⎰⎰成立.[2]如果()0b ag x dx >⎰，将（3-1）式除以()bag x dx⎰可得()()()babaf xg x dxm Mg x dx≤≤⎰⎰，（2）我们记()()()babaf xg x dxg x dxμ=⎰⎰，（3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：i 如果（2）式中的等号不成立，即有()()()babaf xg x dxm Mg x dx<<⎰⎰成立，则此时存在m M μ<<，使得12(),()m f x f x Mμμ<≤<≤，我们不妨假设12x x <，其中12,[,]x x a b ∈.因为()()F x f x '=，[,]x a b ∈，则有1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=.此时至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()F f ξξμ'==，即有12()()()(),(,)[,]bbaaf xg x dx f g x dx x x a b ξξ=⋅∈∈⎰⎰成立，从而结论成立.ii 如果（2）式中仅有一个等号成立，不妨假设M μ=，因为()0bag x dx >⎰，此时必存在11[,](,)a b a b ∈（其中11a b <），使得11[,]x a b ∀∈，恒有()0g x >成立，我们则可将（3）式可改写为()()()b baag x dx f x g x dxμ⋅=⎰⎰，因为M μ=，则有[()]()0baM f x g x dx -=⎰（4）又注意到[()]()0M f x g x -≥，必有110[()]()[()]0b ba aM f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰.于是11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰（5）下证必存在11[,](,)a b a b ξ∈⊂，使()f M ξμ==.若不然，则在11[,]a b 上恒有()0M f x ->及()0g x >成立，从而[()]()0M f x g x ->.如果11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰，由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -，这与[()]()0M f x g x ->矛盾.如果11[()]()0b a M f x g x dx ->⎰，这与（5）式矛盾.所以存在[,]a b ξ∈，使()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰，定理证毕.3、推广定积分第二中值定理定理9（推广定积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 可积，()g x 在区间[,]a b 上可积且不变号，则在(,)a b 上必存在一点ξ，使得()()()()()(),(,)bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx a b ξ=+∈⎰⎰⎰成立.证明过程详见参考文献[9].4、第一曲线积分中值定理定理10（第一型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)Cf x y ds f Sξη=⎰成立，其中S 为曲线C 的弧长.证明：因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对不等式在闭曲线C 上进行第一类曲线积分可得(,)CCCm ds f x y ds M ds⋅≤≤⋅⎰⎰⎰，其中Cds⎰为曲线C 的弧长，并且Cds S=⎰，由于0S >，将上式同除以常数S ，即可得到1(,)C m f x y ds M S ≤≤⎰，由于函数(,)f x y 在曲线C 上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f f x y ds S ξη=⎰成立，左右两边同除以常数S ，即可得到结论，从而命题得证.5、第二曲线积分中值定理定理11（第二型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰成立.其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的方向确定的.证明：因为函数(,)f x y 在有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对上式进行第二型曲线积分可得(,)cCcm dx f x y dx M dx≤≤⎰⎰⎰（6）其中cdx ⎰为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影，此时我们不妨记cdx I =±⎰，并且分以下两种情况进行讨论：[1]假设cdx I =⎰，将（3-6）式除以I 可得1(,)C m f x y dx M I ≤≤⎰.因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=⋅⎰成立.[2]同理当cdx I =-⎰，式左右两边同时除以I -可得1(,)C M f x y dx m I -≤-≤-⎰，因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη-=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=-⋅⎰成立，由上面证明过程可得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰，命题得证.6、第一曲面积分中值定理定理12（第一型曲面积分中值定理）：设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z 在S 上连续，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.证明：因为(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈且使得(,,)m f x y z M ≤≤成立，我们对上式在S 上进行第一类曲面积分可得(,,)SSSm d f x y z d M d σσσ⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sd σ⎰⎰为曲面的面积，且Sd Aσ=⎰⎰，因为0A ≠，两边同除以A 有1(,,)Sm f x y z d M A σ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z d A ξηζσ=⎰⎰，成立，两边同时乘以A 可得(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰，命题得证.7、第二曲面积分中值定理定理13（第二型曲面积分中值定理）：若有光滑曲面:(,),(,)xyS z x y x y D ∈，其中xyD 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰成立，其中A 是S 的投影xyD 的面积.证明：因为函数(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈使得(,,)m f x y z M ≤≤，对上式在曲面S 上进行第二类曲面积分可得(,,)SSSm dxdy f x y z dxdy M dxdy⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sdxdy⎰⎰为(,,)f x y z 投影在曲面xy D上的面积，并且我们记Sdxdy A=±⎰⎰.[1]若Sdxdy A=⎰⎰，则上式除以A 有1(,,)Sm f x y z dxdy M A ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=⎰⎰，两边同时乘以A 有(,,)(,,)Sf x y z dxdy Af ξηζ=⎰⎰，[2]同理，若Sdxdy A=-⎰⎰，则上式除以A -有1(,,)SM f x y z dxdy m A -≤-≤-⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=-⎰⎰，两边同时乘以A -有(,,)(,,)SAf f x y z dxdyξηζ-=⎰⎰.由以上证明过程可得(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰，从而结论成立.四、第一积分中值定理中值点的渐进性定理14 ：假设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，其中()f x 在a 点的直到1n -阶右导数为0，而n 不为0，即(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f a +≠，并且有()()n f x 在a 点连续；函数()g x 在[,]a b 可积且不变号，并且对于充分小的0()a b δδ>+<， ()g x 在[,]a a δ+上连续，且()0g a ≠，则第一积分中值定理中的中值点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意(,)x a b ∈，我们做一个辅助函数()F x 如下：1()()()()()()xxaan f t g t dt f a g t dtF x x a +-=-⎰⎰一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则()()()()lim ()lim(1)()nx a x a f x g x f a g x F x n x a →+→+-=+-()()()lim ()1n x a f x f a g x x a n →+-=-+001()()lim ()lim1()n x a x a f x f a g x n x a →+→+-=⋅⋅+-由积分中值定理和洛比达法则可以得到()0()()()lim ()!n n x a f a f x f a x a n +→+-=-，从而()0()()lim ()(1)!n x a g a f a F x n +→+=+. （1）且有()0()()()lim ,()()!n n x a f a f f a a x a n ξξξ+→+-=<<-成立.另一方面，由积分中值定理和洛比达法则可得1()()()()lim ()lim()x xaan x a x a f g t dt f a g t dtF x x a ξ+→+→+-=-⎰⎰=0()()()lim ()xna n x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ→+⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⋅⋅ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰ 000()()()lim lim lim ()a na n x a x a g t dtf f a a a x a δδξξξδ+→+→+→+--⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭⎰由洛比达法则，则有()lim()a ag t dtg a δδδ+→+=⎰，因此可得()0()()lim ,()!nn x a f a g a a a x n x a ξξ+→+-⎛⎫=⋅<< ⎪-⎝⎭. （2）比较（4-1）式与（4-2）式可以得到lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理15：假设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f a +'存在并且有()0f a +'≠，()[,]g x a b 在上有m 阶导数，有(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====， ()()0m g a +≠成立，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的点ξ满足1lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.证明：对任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()H x 如下2()()()()()()xxaam f t g t dt f a g t dtH x x a +-=-⎰⎰ .一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有10()()()()lim ()lim (2)()m x a x a f x g x f a g x H x m x a +→+→+-=+-=()()()1lim()2m x a f x f a g x x a x a m →+-⋅⋅--+由于0x a →+，则0()()lim()x a f x f a f a x a +→+-'=-，且函数()[,]g x a b 在上有m 阶导数，则上式等于()0()1()1()lim ()2()2!m m x a g x g x f a f a m x a m m +++→+''⋅⋅=⋅⋅+-+（3）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则2[()()]()lim ()lim()()xam x a x a f f a g t dtH x a x x a ξξ+→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]lim ()xa m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰ =1000()[()()]lim lim lim ()xam x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()H x 使用洛比达法则可得=()0()()lim(1)!m x a g a a f a m x a ξ++→+-'⋅⋅+-（4）比较（3），（4）式我们可以得到01lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.定理16：设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f x ≠，()()n f x 在a点连续；函数()[,]g x a b 在上有m阶导数，且(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====，()()0m g a ≠，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意的(,)x a b ∈，我们构造辅助函数()L x 如下1()()()()()()xxaam n f t g t dt f a g t dtL x x a ++-=-⎰⎰一方面，由于0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有()()()()lim ()lim (1)()m n x a x a f x g x f a g x L x m n x a +→+→+-=++-=()()()1lim()()1n m x a f x f a g x x a x a m n →+-⋅⋅--++001()()()lim lim1()()nm x a x a f x f a g x m n x a x a →+→+-=⋅⋅++--由于函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，且函数()g x 在[,]a b 上m 阶可导，则上式等于()()()()11!!n m f a g x m n n m ++=⋅⋅++ （5）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则1[()()]()lim ()lim()()xam n x a x a f f a g t dtL x a x x a ξξ++→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]()lim ()()()xna n m m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰=1000()[()()]()lim lim lim ()()()xnan m m x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()L x 使用洛比达法则可得()()0()()lim ,()!(1)!nn m x a f a g a a a x n x a m ξξ++→+-⎛⎫=⋅⋅<< ⎪-+⎝⎭ （6）比较（5）、（6）式我们可以得到0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.五、第二积分中值定理中值点的渐进性定理17 ：假设函数()[,]f x a b 在上单调，并且在a 点的右导数存在，且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a +≠.则第二积分中值定理中的ξ满足01lim,(,)2x a ax a b x a ξ→+-=∈-. 证明：对于任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()F x 如下2()()()()()()xxaaf tg t dt f a g t dtF x x a -=-⎰⎰.一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则可得()()()()lim ()lim2()x a x a f x g x f a g x F x x a →+→+-=-001()()1lim lim ()(0)(0)02()2x a x a f x f a g x f a g a x a →+→+-'==++≠-（1）另一方面，由第二积分中值定理，有2()()()()()()lim ()lim()x xaax a x a f a g t dt f x g t dt f a g t dtF x x a ξξ→+→++-=-⎰⎰⎰2()()()()()()()lim()x xaa a a x a f a g t dt f x g t dt g t dt f a g t dt x a ξξ→+⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰[][]2()()()()()()lim()xa a x a f x f a g t dt f x f a g t dtx a ξ→+---=-⎰⎰00()()()()lim lim x aa x a x a g t dt g t dt f x f a x a x aξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰00()()()()lim lim x a a x a x a g t dt g t dt f x f a a x a x a a x a ξξξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=-⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎰⎰0(0)(0)(0)limx a a f a g a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-+⎢⎥-⎣⎦0(0)(0)1limx a a f a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-⎢⎥-⎣⎦（5-2）比较（5-1）、（5-2）式知011lim2x a ax aξ→+--=-，即可得到01lim 2x a a x a ξ→+-=-.将此定理推广，即可得到以下定理定理18：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 内有直到n 阶导数，()()n f x 在a 点连续，()f x在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0;n f a +≠()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a '+≠，则第二积分中值定理中的ξ满足lim,(,)1x a anx a b x an ξ→+-=∈-+.定理19：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，函数()f x 在a 点的右导数存在，并且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，且有()()m g x 在a 点连续，并且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理20：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 上有直到n 阶的导数，()()n f x 在a 点连续，并且在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0n f a +≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，()()m gx 在a 点连续，且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.6 积分中值定理的应用 6.1 估计积分值例1 估计2010.5sin xdxx +⎰的积分解：由于11110.510.5sin 10.5x ≤≤++-，即212310.5sin x ≤≤+.于是2044310.5sin x dx x ππ≤≤+⎰此时可得到估计的积分值为2084(1)10.5sin 33xdx x ππθθ=±≤+⎰.例2 估计2sin ,(0)b ax dx a b <<⎰的积分解：设x =则2221sin 2bb a a x dx =⎰⎰，其次，假设()sin f t t =和12()t tϕ-=，则()t ϕ单调下降，并且有()0t ϕ>.于是，2222111sin (cos cos )222b a a tdx a a a ξξ==-⎰⎰2211sin sin 22a a a a ξξθ+-==其中22a b ξ≤≤，1θ≤.因此2sin (1)bax dx aθθ=≤⎰.例3 证明等式sin lim 0n pnn xdx x +→∞=⎰.证法1：由第一积分中值定理可知sin sin lim lim 0n pn nn n nxdx p x ξξ+→∞→∞==⎰，其中nξ位于n 和n p +之间的某个值.证法2：由第二积分中值定理可知得sin 1sin nn pnnx dx xdxx nξ'+=⎰⎰11cos cos 0()nn n n n ξ'=-≤→→∞，其中nξ位于n 和n p +之间的某个值，于是sin lim 0n p nn xdx x +→∞=⎰.2、求含定积分的极限例4 求极限120lim 1nn x x →∞+⎰解：利用广义积分中值定理1122001lim 11n n n x dx x dxx ξ→∞=++⎰⎰1102211[],(01)11(1)(1)n x n n ξξξ+==≤≤++++则12201lim lim 01(1)(1)n n n x dx x n ξ→∞→∞==+++⎰3、确定积分号例5确定积分131x x e dx-⎰的符号解：1010133333111()()x x x t x x e dx x e dx x e dxx t t e d t x e dx----=+=---+⎰⎰⎰⎰⎰010113333311()txtxx x t e dt x e dx t e dt x e dx x e e dx--=+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰由积分中值定理可知1331()0x x e dx e e ξξξ--=-≥⎰其中(01)ξ≤≤.又3xx e 在[1,1]-上不恒为0，则有131x x e dx ->⎰，即131x x e dx-⎰的符号为正号.4、比较积分大小例6 比较积分340sin xπ⎰和240sin xπ⎰的大小解：当(0,)4x π∈时，0sin 1x <<，从而有320sin sin 1x x <<<，于是我们有32440sin sin x xππ≤⎰⎰，即340sin xπ⎰小于等于240sin xπ⎰.5、证明函数的单调性例7设函数()f x 在(0,)+∞上连续，其中0()(2)()xF x x t f t dt=-⎰，试证：在(0,)+∞内，若()f x 为非减函数，则()F x 必为非增函数.证明：利用分歩积分法，将()F x 化为()(2)()()2()x x xF x x t f t dt x f t dt tf t dt=-=-⎰⎰⎰对上式求导，可以得到：()()()2()()()x xF x f t dt xf x xf x f t dt xf x '=+-=-⎰⎰.由积分中值定理，可得：()()()(()()),(0)F x xf xf x x f f x x ξξξ'=-=-≤≤.若()f x 为非减函数，则有()()0f f x ξ-≤成立，因此可以得到()0F x '≤，故()F x 为非增函数，命题得证.6、证明定理例8 证明（阿贝尔判别法）如果()f x 在[,)a +∞上可积，()g x 单调有界，那么()()a f x g x dx+∞⎰收敛.证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间[,]A A '上（其中,A A a '>），存在[,]A A ξ'∈，使得()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰.因为()f x 在[,)a +∞上可积，则()af x dx+∞⎰收敛，所以对于任何0ε>，存在0A a≥，使得当,A A A '≥时，成立(),()A Af x dx f x dx ξξεε'<<⎰⎰.又由0(),,g x L A A A '<≥所以当时，有()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰()()()()2A Ag A f x dx g A f x dx L ξξε''≤+≤⎰⎰，根据柯西收敛原理可推知积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.备注2：当讨论无界函数广义积分时，可将阿贝尔判别法可改写为：假设()f x 在x a =有奇点，()baf x dx⎰收敛，()g x 单调有界，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注3：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为：假设(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈为一致收敛，(,)g x y 关于x 单调（即对每个固定的[,]y c d ∈，(,)g x y 作为x 的函数是单调的），并且关于y 是一致有界的，即存在正数L ，对所讨论范围内的一切,x y 成立：(,)g x y L <.那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由于(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈是一致收敛的，则对于任意正数0ε>，存在0A a≥，当,A A A '≥时，成立(,)A Af x y dx ε'<⎰.因此，当,A A A '≥时，将y 看成给定常数，则由积分第二中值定理中的公式(,)(,)A Af x yg x y dx '⎰()()(,)(,)(,)(,)y A Ay g A y f x y dx g A y f x y dxεε''=+⎰⎰因为对任意的,x y 都有(,)g x y L<，则(,)(,)2A Af x yg x y dx L ε'≤⎰.因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.例9 证明（狄里克莱判别法）如果()()AaF A f x dx=⎰有界，即存在0K >，使得(),()Aaf x dx Kg x ≤⎰单调且当x →+∞时趋向于零，那么积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.证明：因为()0()g x x →→+∞，所以对任意的0ε>，存在0A ，当0,A A A '≥时，()g A ε<，()g A ε'<.又因()Aaf x dx K≤⎰，所以()()()2AAaaf x dx f x dx f x dx Kξξ=-≤⎰⎰⎰，同样我们有()2A f x dx Kξ'≤⎰.由第二积分中值定理，只要,A A A '≥，就有()()()()()()4A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dx K ξξε'''≤+≤⎰⎰⎰所以积分()()af xg x dx+∞⎰收敛，命题得证.备注4：当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为：设()f x 在x a =有奇点，()ba f x dx η+⎰是η的有界函数，()g x 单调且当x a →时趋于零，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注5：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为：设积分(,)A af x y dx⎰对于A a ≥和[,]y c d ∈是一致有界的，即存在正数K ，使对上述,A y 成立(,)Aaf x y dx K≤⎰又因为(,)g x y 关于x 是单调的，并且当x →+∞时，(,)g x y 关于[,]c d 上的y 一致趋于零，即对于任意给定的正数ε，有A ，当x A ≥时，对一切[,]y c d ∈成立(,)g x y ε<，那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由所假设的条件可推知对任何,A A a '≥，有(,)(,)(,)A AA Aaaf x y dx f x y dx f x y dx''=-⎰⎰⎰(,)(,)2AA aaf x y dx f x y dx K'≤+≤⎰⎰而由(,)g x y ε<和上式可推知，当,A A a '≥时()(,)(,)(,)(,)A y AAf x yg x y dx g A y f x y dxε'≤⎰⎰()(,)(,)224A y g A y f x y dx K K K εεεε''+<⋅+⋅=⎰，因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.参考文献：[1]陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版上册）.北京:高等教育出版社，2004.294-310[2]陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版下册）.北京:高等教育出版社，2004.165-170[3]陈传璋、金福林等编.数学分析（下册）.北京：高等教育出版社，1983. 286-288[4]陈传璋、金福林等编.数学分析（上册）.北京：高等教育出版社，1983. 51-56， 252[5]同济大学应用数学系.高等数学（第五版上册）.北京：高等教育出版社，1996. 232THE MEAN-VALUE THEOREM AND ITS APPLICATIONAbstract:The main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.Key words:integral mean-value; theorem promotion ;apply指导教师评语页本科毕业论文（设计）答辩过程记录院系数学科学学院专业数学与应用数学年级2009 级答辩人姓名**** 学号**********毕业论文（设计）题目积分中值定理及其应用毕业论文（设计）答辩过程记录：答辩是否通过：通过（）未通过（）记录员答辩小组组长签字年月日年月日=本科毕业论文（设计）答辩登记表。

拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它指出了在一个区间上连续的函数中，存在一个点，该点的导数等于该函数在区间端点处的导数的平均值。

这个定理由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日在18世纪提出并证明，成为微积分中的经典定理之一。

它在证明和应用中都具有重要的意义。

本文将重点介绍拉格朗日中值定理的证明方法和其在实际应用中的具体例子。

我们来看一下拉格朗日中值定理的表述：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在区间(a, b)内至少存在一个点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。

这个定理告诉我们，对于任意一个连续函数，在某个区间上一定存在某个点，该点的导数等于函数在该区间两端点处的导数的平均值。

这个平均值就是f(b)-f(a)/(b-a)。

那么，我们来看一下拉格朗日中值定理的证明方法。

我们可以通过定义函数g(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a)，来说明g(x)在区间[a, b]上满足拉格朗日定理的条件。

然后，我们可以通过中值定理证明g(x)在[a, b]上满足罗尔定理的条件，即满足在区间[a, b]上可导，并且在端点处函数值相等。

然后根据罗尔定理，我们可以得出存在一点ξ，使得g'(ξ)=0，即f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，这就是拉格朗日中值定理的结论。

拉格朗日中值定理的证明看似简单，但却包含了微积分中的许多重要思想和方法，如中值定理的迭代运用、利用辅助函数进行构造、间接证明等等，对于学习微积分的同学来说，是一个很好的练习和思考题目。

接下来，我们来看一下拉格朗日中值定理在实际应用中的具体例子。

我们可以通过该定理证明一些函数的性质，比如函数在某个区间内的增减性、凹凸性等。

该定理在求解一些实际问题时也具有重要作用，比如在物理学中来研究质点的位移、速度、加速度之间的关系时，就可以利用拉格朗日中值定理来进行分析。

积分中值定理的推广及应用

积分中值定理的推广及应用
贝叶斯积分中值定理（Bayesian Trapzoidal Midpoint Theorem）是20世纪
90年代出现的一种新型数学理论，其应用十分广泛，涵盖统计学、算法研究和信
号处理等多个领域。

这一定理的提出，使学者们在做数学研究和解决实际问题时，能够更好地利用贝叶斯积分这一优秀的数学工具，结果也引起了不少学者的关注。

贝叶斯积分中值定理指的是，在二维空间内，任意函数的贝叶斯积分，都可以
按照确定的比例（即中值）分解成若干份，每份代表一个状态。

这一定理有效地拓展了贝叶斯积分的应用范畴，使其能够成功扩张到一般非线性函数上，从而得以分析更多实际场景。

贝叶斯积分中值定理可以拓展到更高维度，并在实际应用中起到积极的作用。

例如，它可用于几何图形的识别与匹配、机器学习，以及定性评价。

此外，一些统计模型及动力学系统中，贝叶斯积分中值定理也展示出显著的优势，可以有效解决复杂优化寻优问题。

就生活娱乐方面来说，贝叶斯积分中值定理可以广泛应用于以人类峰值感受为
基础的娱乐设备中，例如虚拟现实技术、3D视觉等，不仅能够给用户带来视觉冲击，还能够帮助用户更快的感受到内容的魅力。

另外，它还可以应用于网络游戏与音乐节目的推荐系统，从而个性化的推荐让玩家或用户更佳的体验游戏和音乐节目。

总之，贝叶斯积分中值定理可以让众多领域发挥出更为精确的数学优势，它拓
展了贝叶斯积分这一行之有年工具，有助于更多实际场景的分析研究。

特别是在生活娱乐方面，由贝叶斯积分中值定理支撑的技术更能满足用户对娱乐方式以及游戏与音乐节目等内容的需求。

积分中值定理的应用研究

积分中值定理是数学中的一个重要定理，它描述了在一个区间内的函数的积分值与这个区间的长度之间的关系。

这个定理通常用来计算复杂的积分，因为它允许我们将一个复杂的积分分成若干个简单的积分来计算。

积分中值定理的具体形式是：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 内连续，则存在一个实数 c∈[a,b]，使得：
∫a^bf(x)dx=f(c)(b-a)
这里∫a^bf(x)dx表示区间 [a, b] 内函数 f(x) 的积分值，(b-a) 表示区间 [a, b] 的长度。

积分中值定理的应用非常广泛，它可以用来计算复杂的积分，也可以用来求解微积分方程。

在物理学中，积分中值定理也有广泛的应用，例如在电学中可以用来计算电动势。

在经济学中，积分中值定理也有应用，例如在计算生产函数时可以用来估算产出。

总的来说，积分中值定理是一个非常重要的数学定理，它在许多不同领域有着广泛的应用。

微积分中值定理及其应用

微积分中值定理及其应用
微积分的值定理是一个很重要的定理，它通常被用来求解复杂函数的积
分值。

值定理告诉我们，任何一个定义在实数段上的函数f在范围
（a≤x≤b）上至多只有一个不变点，并且它等于函数f在这个范围上的积
分值c=∫a﹣b f（x）dx。

值定理有多种不同的应用，广泛用于函数积分、函数极限以及定积分的
解决。

用值定理求积分的方法通常称为值定理逼近法。

首先，将一个积分表
达式分解为多个函数的积分，然后利用值定理的思想，将这些函数的积分求出，最后，将这些函数的积分求和，即可得到原积分表达式的积分结果。

值定理也可以用来求解函数极限，即当函数f(x)在x=a处取极值时，将
该函数积分以得到极限。

这实际上是应用积分来求取极限的一种方法，也称
为值定理极限法或积分极限法。

它的原理是，当函数取到极值时，把它积分，就会把该函数的参量控制，也就可以使函数的值趋近极限的值，即求解函数
的极限。

值定理也被广泛应用于定积分的解决中。

定积分是由函数和定义域定义
的定积分问题，要求该函数在这个定义域上积分的结果。

一般来说，将定积
分分解为若干函数的积分，然后运用值定理解决，即将它们的积分和加起来，得到定积分问题的答案。

以上就是关于微积分中值定理及其应用的简单介绍。

它是微积分中一个
重要的定理，在函数积分、极限以及定积分的解决中应用的非常广泛，具有
极大的实际意义。

积分中值定理的研究意义

积分中值定理的研究意义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：积分中值定理是微积分中非常重要且常用的定理之一，它给出了函数在闭区间上的平均值与函数在某一点的值之间的关系。

这个定理的研究意义非常重要，不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以应用于解决实际问题，如经济学、物理学、工程学等领域中的一些问题。

积分中值定理可以帮助我们更好地理解函数在闭区间上的平均值。

在微积分中，我们经常需要计算函数在某个区间上的平均值，这个平均值可以告诉我们函数在整个区间上的大致情况。

积分中值定理告诉我们，对于连续且有界的函数，存在至少一点使得该点的函数值等于这个函数在整个区间上的平均值。

这样一来，我们就可以通过积分中值定理来计算函数在某个区间上的平均值，从而更好地理解函数的性质。

积分中值定理可以应用于解决实际问题。

在经济学中，我们经常需要计算一些经济指标的平均值，这样可以帮助我们更好地了解经济发展的情况。

利用积分中值定理，我们可以更准确地计算这些经济指标的平均值，从而更好地分析经济形势。

在物理学中，积分中值定理可以帮助我们计算一些物理量的平均值，这对于研究物理现象非常重要。

在工程学中，我们也可以利用积分中值定理来解决一些工程问题，如计算工程中的某些参数的平均值等。

积分中值定理在微积分中的研究意义非常重要。

它不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以应用于解决实际问题。

在未来的研究中，我们可以进一步深化对积分中值定理的理解，探索更多关于函数在闭区间上的性质，从而推动微积分理论的发展。

希望通过我们的努力，可以更好地利用积分中值定理解决实际问题，促进科学技术的发展。

【本文共XXX】第二篇示例：积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它揭示了函数在一定条件下的平均增长速度与瞬时增长速度之间的关系。

在数学研究和实际应用中，积分中值定理有着重要的意义，它不仅可以帮助我们理解函数的性质，还可以指导我们解决实际问题。

积分中值定理可以帮助我们更好地理解函数的性质。

积分中值定理的研究意义

积分中值定理的研究意义
积分中值定理是微积分中的重要定理，它的研究意义体现在以
下几个方面：
1. 确定积分值，积分中值定理可以帮助我们确定函数在某个区
间上的平均值，通过这个定理可以得到函数在某个区间上的平均值
等于函数在该区间上积分的值，这对于实际问题中的平均量、平均
功率等的计算具有重要意义。

2. 确定存在性，积分中值定理可以帮助我们证明函数在某个区
间上一定存在某个点使得函数值等于该点处的斜率与函数在整个区
间上的平均斜率相等。

这对于证明某些函数在某个区间上存在零点
或者导数等具有重要意义。

3. 应用于物理问题，积分中值定理可以应用于物理学中，比如
用于描述某个物理量在某段时间内的平均值，或者用于描述某个物
理量在某个区间内的变化率等问题。

4. 与微分中值定理的关系，积分中值定理与微分中值定理有着
密切的联系，它们共同构成了微积分基本定理的两个重要组成部分，
通过这两个定理可以建立起微积分的基本理论体系。

综上所述，积分中值定理在数学理论和实际问题中都具有重要的研究意义，它不仅可以帮助我们理解函数的性质和积分的含义，还可以应用于实际问题的求解和物理现象的描述。

396考积分中值定理

396考积分中值定理【原创版】目录1.396 考积分中值定理的概念和背景2.积分中值定理的定义和公式3.积分中值定理的证明4.积分中值定理的应用5.总结正文一、396 考积分中值定理的概念和背景396 考试是中国研究生入学考试的一种，主要针对工程硕士和工程管理硕士。

在 396 考试的数学部分，积分中值定理是一个重要的考点。

本文将从概念和背景出发，详细介绍 396 考积分中值定理的相关内容。

二、积分中值定理的定义和公式积分中值定理，又称为积分中值定理，是微积分学中的一个基本定理。

该定理描述了函数在某一区间上的平均变化率与该函数在该区间内某一点导数的关系。

积分中值定理的公式如下：设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，则存在一个ξ∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = f"(ξ)(b - a)其中，f"(ξ) 表示函数 f(x) 在点ξ处的导数。

三、积分中值定理的证明为了更好地理解积分中值定理，我们需要对其进行证明。

积分中值定理的证明过程如下：1.设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，令 F(x) = ∫[a, x]f(t)dt。

2.则 F"(x) = f(x)。

3.由积分定理，有 F(b) - F(a) = ∫[a, b]f(x)dx = f(b) - f(a)。

4.故有 F"(b) - F"(a) = f"(ξ)(b - a)，即存在一个ξ∈(a, b)，使得 f(b) - f(a) = f"(ξ)(b - a)。

四、积分中值定理的应用积分中值定理在实际应用中具有很高的价值，它可以帮助我们求解一些复杂的积分问题。

以下是积分中值定理的一个应用实例：例：求解定积分∫(0, π)sinxdx。

解：由积分中值定理，存在一个ξ∈(0, π)，使得∫(0, π)sinxdx = cos(ξ)故，我们可以通过求解 cos(ξ) 的值，来求解该定积分。

积分第一中值定理的推广研究

积分第一中值定理的推广研究【摘要】本文主要研究了积分第一中值定理的推广研究。

在介绍了研究背景、研究目的以及研究意义。

在分别讨论了积分第一中值定理的基本概念、推广方法、应用领域分析、案例研究以及数学证明。

结合实际案例，探讨了该定理在实际问题中的应用和价值。

在总结了积分第一中值定理的推广效果，提出了未来研究方向。

通过深入研究和推广，该定理可以在更广泛的领域得到应用，对数学研究具有重要意义。

本研究将为相关领域的研究提供新的理论支持和启发，推动数学理论的发展。

【关键词】积分第一中值定理，推广研究，基本概念，推广方法，应用领域，案例研究，数学证明，推广效果，未来研究方向，总结。

1. 引言1.1 研究背景积分第一中值定理是微积分中的一个重要概念，它解决了函数在区间上的平均值与某一点的函数值之间的关系。

随着数学的发展，人们对积分第一中值定理的应用也越来越广泛。

目前对于积分第一中值定理的推广研究还比较有限。

研究背景部分将探讨当前对积分第一中值定理的研究现状，包括已有的成果、存在的问题和挑战。

通过对这些信息的梳理和分析，我们可以更清晰地认识到积分第一中值定理的重要性和研究的必要性。

研究背景还可以为我们打开新的思路和方法，拓展对积分第一中值定理的理解和应用范围。

在本文中，我们将从研究背景出发，逐步展开对积分第一中值定理的推广研究，探讨其基本概念、推广方法、应用领域分析、案例研究和数学证明等内容。

通过对这些方面的深入探讨，我们希望能够为积分第一中值定理的推广研究提供新的思路和方法，推动该领域的发展。

1.2 研究目的研究目的是通过对积分第一中值定理的推广研究，探索其在更广泛的数学领域和实际应用中的价值和作用。

具体来说，我们希望通过深入理解积分第一中值定理的基本概念和推广方法，分析其在不同应用领域中的实际运用情况，并通过案例研究来展示其在解决具体问题中的作用。

通过这些研究，我们旨在揭示积分第一中值定理的推广效果，为未来的数学研究和应用提供参考和指导。

积分中值定理的若干问题讨论

积分中值定理的若干问题讨论积分中值定理是非常重要的定理，由几何立体和数学概念构成，可以用于许多领域，包括数学、物理、力学、流体力学等。

本文尝试从不同的角度来讨论积分中值定理的一些问题。

首先，积分中值定理是一个基本的数学定理，它将一个函数拆分为对称的两个函数。

它的意义在于，这些函数的积分将会得到他们的平均值。

换句话说，它提供了一种通过计算中间值来估算函数的积分结果的良好方法。

第二，扩展积分中值定理，就是亚稳定积分中值定理，它是在积分中值定理的基础上，扩展出来的一种定理。

它可以说明在一个函数的变化范围内，如果参数发生变化，方程的积分结果也会随之改变。

这个定理说明，在某一特定变化范围内，积分中值定理中的中间值是相对恒定的。

第三，积分中值定理可以应用于求解复杂不可积函数的问题，尤其是分段函数。

这样的函数可以看做是分段路径上的一组点，只要构建出此函数在不同区间间的匹配，就可以使用积分中值定理来求解。

通过这种方式，可以推导出更复杂的函数结果。

此外，积分中值定理还可以用于求解分块方程组的问题。

最后，积分中值定理与其它一些定理有着不可忽视的关系。

比如，可以说由积分中值定理演变而来的分段函数定理，就是用分段函数来代替原来的函数，以减少求解积分的难度。

此外，积分中值定理也逐步发展出椭圆定理，用来求解复杂函数曲线上给定点的属性，以及抛物线定理等。

总之，积分中值定理是一种十分重要的定理，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。

对于积分中值定理，本文通过对它的定义和衍生，以及它与其它定理的联系，对它的概念给出了一些解释。

积分中值定理开区间和闭区间

积分中值定理开区间和闭区间1. 介绍对于初学者而言，积分中值定理可能是比较具有挑战性的数学概念之一。

积分中值定理是微积分的一个重要定理，它提供了一个关于函数在某个区间内的平均值和在该区间上某一点的函数值之间的关系。

在本文中，我们将讨论积分中值定理在开区间和闭区间上的应用和性质。

2. 积分中值定理的概念让我们回顾一下积分中值定理的定义。

对于一个连续函数f(x)在闭区间[a,b]上，我们可以将其积分表示为：b(x)dx∫fa根据积分中值定理，存在一个c∈(a,b)，使得：b(x)dx=f(c)(b−a)∫fa其中，f(c)是函数f(x)在闭区间[a,b]上的平均值。

当我们应用积分中值定理于开区间(a,b)时，我们需要对定理进行一些调整。

在这种情况下，我们将积分中值定理表示为：b(x)dx=f(c)(b−a)∫fa其中，c∈(a,b)是函数f(x)在开区间(a,b)上的某一点。

3. 开区间上的积分中值定理应用现在，让我们来探讨积分中值定理在开区间上的一些应用和性质。

A. 区间平均值积分中值定理告诉我们，一个连续函数在某个区间内的平均值可以表示为该函数在该区间上的某一点的函数值。

这个特性在实际问题中有很好的应用。

假设我们有一个速度函数v(t)，描述了某一段时间内物体的速度变化。

我们想要计算物体在该时间段内的平均速度。

根据积分中值定理，在时间段(t1,t2)内的平均速度可以表示为：1 t2−t1∫vt2t1(t)dt=v(c)其中，c∈(t1,t2)是某一点的时间。

这样，我们不需要知道速度函数在整个时间段内的变化情况，只需要找到一个时间点c，就可以得到平均速度。

B. 函数值和区间平均值的关系在开区间上的积分中值定理中，我们注意到函数值f(c)和区间平均值的乘积等于积分的结果。

这个关系是非常有意思的，因为它展示了函数在某点的取值与整个区间上的平均值之间的关系。

假设我们有一个连续函数f(x)在开区间(a,b)上的非负函数值。

积分中值定理的证明及其推广

积分中值定理的证明及其推广我们来介绍积分中值定理的基本概念。

积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在某些条件下，函数在一个闭区间上的平均值等于函数在该区间上的某一点的函数值。

具体而言，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么存在一个点c，使得f(c)等于函数在[a, b]上的平均值。

下面我们来证明积分中值定理。

根据积分的定义，我们可以将闭区间[a, b]分成无穷多个小区间，并在每个小区间上取一个代表点xi。

然后，我们将各个小区间的长度相加，并乘以各个代表点的函数值，得到一个和S。

同样，我们可以将函数在整个闭区间[a, b]上的积分记为I。

根据积分的定义，我们知道I可以看作是S的极限，当小区间的数量趋向于无穷大时，S趋向于I。

现在，我们要证明存在一个点c，使得f(c)等于函数在[a, b]上的平均值。

假设函数在闭区间[a, b]上的最大值为M，最小值为m。

根据连续函数的性质，我们知道函数在闭区间[a, b]上一定可以取到最大值和最小值。

那么我们可以将函数的取值范围限制在[m, M]之间。

根据取值范围的限制，我们知道S的值介于[m(b-a), M(b-a)]之间。

而I的值等于函数在闭区间[a, b]上的平均值乘以区间长度(b-a)。

由于函数在闭区间[a, b]上连续，根据介值定理，我们知道函数在[m, M]之间可以取到任何一个值。

因此，存在一个点c，使得f(c)等于函数在闭区间[a, b]上的平均值。

至此，我们完成了积分中值定理的证明。

接下来，我们来讨论积分中值定理的推广应用。

积分中值定理的推广应用非常广泛，其中一个重要的应用是求解定积分。

根据积分中值定理，我们可以通过求解函数在闭区间上的平均值来求解定积分。

具体而言，我们可以将函数在闭区间上的平均值乘以区间的长度，得到定积分的值。

除了求解定积分，积分中值定理还可以应用于证明其他数学定理。

例如，我们可以利用积分中值定理证明柯西-施瓦茨不等式，该不等式是复变函数中的重要定理，用于限制复变函数的积分值。

积分中值定理的证明及其推广

积分中值定理的证明及其推广积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是指在一定条件下，函数在某个区间上的平均值等于函数在该区间上某一点的函数值。

下面我们来证明一下积分中值定理，并推广一下它的应用。

我们来证明积分中值定理。

假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么根据连续函数的介值定理，存在一个点c∈[a,b]，使得f(c)等于f(x)在[a,b]上的平均值，即：f(c) = 1/(b-a) * ∫[a,b] f(x)dx这就是积分中值定理的表述。

证明过程中，我们利用了连续函数的介值定理，即如果f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)在[a,b]上取遍介于f(a)和f(b)之间的所有值。

接下来，我们来推广一下积分中值定理的应用。

首先，我们可以利用积分中值定理来证明柯西-施瓦茨不等式。

假设f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续可导，那么有：|∫[a,b] f(x)g(x)dx| ≤ ∫[a,b] |f(x)| |g(x)| dx证明过程中，我们可以将f(x)g(x)拆成两个函数的和，然后利用积分中值定理来证明不等式。

积分中值定理还可以用来证明泰勒公式的余项。

假设f(x)在区间[a,b]上n+1阶可导，那么有：f(x) = ∑[k=0,n] f^(k)(a)/k! * (x-a)^k + Rn(x)其中Rn(x)为余项，满足：Rn(x) = f^(n+1)(c)/(n+1)! * (x-a)^(n+1)其中c∈[a,x]。

证明过程中，我们可以利用拉格朗日中值定理来证明余项公式。

积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它不仅可以用来计算函数在某个区间上的平均值，还可以推广到其他应用中，如柯西-施瓦茨不等式和泰勒公式的余项。

积分中值定理求定积分

积分中值定理求定积分
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它在求定积分中有着重要的应用。

本文将
从积分中值定理的定义入手，详细介绍如何利用积分中值定理求定积分。

积分中值定理也叫第一中值定理，是微积分中的一个基本定理。

它表明在一定条件下，若函数f(x)在[a,b]上连续，则存在一个点c∈[a,b]，使得
∫a^bf(x)dx=f(c)∙(b-a)
其中，∫a^bf(x)dx表示f(x)在[a,b]上的定积分。

积分中值定理的证明基于微积分中的中值定理，即拉格朗日中值定理。

二、积分中值定理的应用
积分中值定理在求定积分中有着广泛的应用。

利用积分中值定理，可以将所求定积分
转化为函数在某一点的取值，从而简化计算过程。

对于一些函数比较复杂的定积分，很难直接求得其解析解，利用积分中值定理可以求
出一个近似值，并且误差可以控制在一定范围内。

这对于工程和科学计算领域有着重要的
应用。

在具体求定积分时，可以按照以下步骤利用积分中值定理：
1. 求出被积函数f(x)在区间[a,b]上的连续性。

2. 利用积分中值定理，找出一个点c∈[a,b]，使得
3. 求出f(c)的值，即可得到定积分的近似值。

在具体计算过程中，需要灵活应用积分中值定理，合理选择c的值，以减小误差。

四、总结。