定积分与微积分基本定理(理)基础训练及解析

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2022届高考数学(理)大一轮复习教师用书：第三章第五节定积分与微积分基本定理 Word版含解析

第五节定积分与微积分基本定理突破点(一) 求定积分基础联通抓主干学问的“源”与“流”1．定积分的定义一般地，假如函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．4．微积分基本定理假如f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了便利，我们经常把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )b a ＝F (b )－F (a ).考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”利用微积分基本定理求定积分[例1] 计算下列定积分： (1)⎠⎛1(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (4) 20⎰π1－sin 2x d x .[解] (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x ＝－13x 3⎪⎪⎪10＋x 2|10＝－13＋1＝23. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )|π0－sin x|π0＝2.(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x | 21＋ln x|21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4)20⎰π1－sin 2x d x ＝20⎰π|sin x －cos x |d x ＝40⎰π (cos x －sin x )d x ＋24⎰ππ (sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x ) ⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[方法技巧]利用微积分基本定理求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值．利用定积分的几何意义求定积分[例2] 利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)⎠⎛011－(x －1)2d x ；本节主要包括2个学问点： 1.求定积分； 2.定积分的应用.(2)⎠⎛5－5 (3x 3＋4sin x )d x .[解] (1)依据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－(x －1)2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图所示的阴影部分)．故⎠⎛011－(x －1)2d x ＝π4.(2) ⎠⎛5－5 (3x 3＋4sin x )d x 表示直线x ＝－5，x ＝5，y ＝0和曲线y ＝3x 3＋4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．设y ＝f (x )＝3x 3＋4sin x ，则f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x )，又f (0)＝0，所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数，所以⎠⎛0－5 (3x 3＋4sin x )d x ＝－⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ，所以⎠⎛5－5(3x 3＋4sin x )d x ＝⎠⎛0－5(3x 3＋4sin x )d x ＋⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.[方法技巧]1．利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分．2．两个常用结论设函数f (x )在闭区间[－a ，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛a－a f (x )d x ＝2⎠⎛0af (x )d x ； (2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛a－a f (x )d x ＝0.力量练通抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]⎠⎛1－1(x －1)d x ＝( )A ．2B ．－2 C.13D.12解析：选B ⎠⎛1－1 (x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－x 1－1＝⎝⎛⎭⎫12－1－⎝⎛⎭⎫12＋1＝－2. 2.[考点一]20⎰πsin 2x2d x ＝( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π4－1 解析：选B ∫20⎰πsin 2x2d x ＝20⎰π1－cos x 2d x ＝12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝π4－12.3.[考点一]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B ．2 C ．1 D.23解析：选A 依据定积分的性质，可知⎠⎛0e f (x )d x 可以分为两段，则⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e＝13＋1＝43. 4.[考点二]⎠⎛12－x 2＋4x －3d x ＝________.解析：依据定积分的几何意义，可知⎠⎛12－x 2＋4x －3d x 表示圆(x －2)2＋y 2＝1与x ＝1，x ＝2及y ＝0所围成的圆的面积的14，即⎠⎛12－x 2＋4x －3d x ＝π4.答案：π45.[考点二]⎠⎛－11[1－x 2－sin x ]d x ＝________. 解析：令1－x 2＝y ，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)，该方程表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆的一半．所以⎠⎛－111－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1与x 轴所围成的上半圆的面积，因此⎠⎛－11－11－x 2d x ＝π2.又由于⎠⎛－11sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪1－1＝－cos 1－[－cos(－1)]＝0，所以⎠⎛1－1[1－x 2－sin x ]d x ＝π2.答案：π2突破点(二) 定积分的应用基础联通抓主干学问的“源”与“流”1．定积分与曲边梯形面积的关系如图：设阴影部分面积为S.图形阴影部分面积S ＝⎠⎛ab f (x )d xS ＝－⎠⎛ab f (x )d xS ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xS ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g(x )d x＝⎠⎛ab [f (x )－g(x )]d x2．求变速运动的路程做变速运动的物体在时间[a ，b ]上所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .具体步骤为：①找出速度函数v ＝v (t )，作出图形．②观看v ＝v (t )的图形是否满足v (t )≥0.③若v (t )≥0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )<0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab v (t )d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t .考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”利用定积分求平面图形的面积[例1] 由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6[解析] 作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[]x －(x －2)d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝23x 32－12x 2＋2x 4＝23×8－12×16＋2×4＝163.[答案] C [方法技巧]利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)依据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．定积分在物理中的应用[例2] (1)一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车连续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.[解析] (1)由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )40＝4＋25ln 5. (2)由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5x|20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝5×2＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． [答案] (1)C (2)36 [方法技巧]定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程：假如物体做变速直线运动，且其速度为v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝∫b a v (t )d t .(2)求变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝∫b a F (x )d x .力量练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]若x (单位：m)表示位移的大小，一物体在力F (x )＝x(单位：N )的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4 m ，力F (x )做功为( )A ．8 JB ．12 JC ．15 J D.163 J解析：选D 由题意得W ＝⎠⎛04x d x ＝23x 32⎪⎪⎪40＝163J. 2.[考点一]曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2解析：选D 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1，x＝2，如图所示，故所求图形的面积为S ＝∫42⎝⎛⎭⎫x －1－2x d x ＝12x 2－x －2ln x |42＝4－2ln 2. 3.[考点一](2022·衡阳一模)如图，阴影部分的面积是( )A ．32B ．16 C.323 D.83解析：选C 由题意得，阴影部分的面积S ＝⎠⎛1－3 (3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1－31－3＝323. 4．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：如图所示，由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2. 答案：25.[考点二]物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s )在始终线上运动，在此直线上与物体A 动身的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s )的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的动身地的距离是________m.解析：设b s 后两物体相遇，则⎠⎛0b(3t 2＋1)d t －⎠⎛0b10t d t ＝5，即b 3＋b －5b 2＝5，(b 2＋1)(b －5)＝0，解得b＝5，此时物体A 离动身地的距离为⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝(t 3＋t )|50＝53＋5＝130(m)．答案：130近五年全国卷对本节内容未直接考查[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算力量] 1.⎠⎛01e x d x 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1D.12(e －1)解析：选C ⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.2．已知t 是常数，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4解析：选D 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x )|t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)．3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在其次秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝g t (g 为常数)，则电视塔高为( )A .12g B ．g C .32g D ．2g解析：选C 由题意知电视塔高为⎠⎛12g t d t ＝12g t 2|21＝2g －12g ＝32g.4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A .16 B .13 C .23D ．1解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点为(0,0)和(1,1)，故所求面积(如图阴影部分的面积)为⎠⎛1(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3232－13x 3)|10＝13. 5．20⎰π2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝________. 解析：依题意得20⎰π2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝20⎰π(sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x ) ⎪⎪⎪⎪π2＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.答案：2[练常考题点——检验高考力量] 一、选择题1．定积分|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D ∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛2－2|x 2－2x |d x ＝⎠⎛0－2(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|20＝8.2．(2021·河北五校联考 )若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 由于f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1. 3．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 1<S 3<S 2D ．S 3<S 1<S 2解析：选A 如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.4．(2021·贵阳监测)若由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8解析：选A 由题意得，围成的图形的面积S ＝⎠⎛0m2(m －x )d x ＝⎝⎛⎭⎫mx －23x 32⎪⎪⎪m2am 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.5．设变力F (x )(单位：N )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正方向从x ＝1 m 处运动到x ＝10 m 处，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正方向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为( )A ．1 JB ．10 JC ．342 JD ．432 J解析：选C 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正方向从x ＝1运动到x ＝10所做的功W ＝∫101F (x )d x ＝∫101(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J)． 6．若函数f (x )，g(x )满足⎠⎛1－1f (x )g(x )d x ＝0，则称f (x )，g(x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f (x )＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 对于①，⎠⎛1－1sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎛1－112sin x d x ＝0，所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，⎠⎛1－1 (x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛1－1 (x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，⎠⎛1－1x ·x 2d x ＝⎠⎛1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．选C.二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝________.解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x22＋ln x |e 1＝e 2＋12. 答案：e 2＋128．(2021·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋e x |10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12. 答案：e －129.⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛2－24－x 2d x ＝________；解析：⎠⎛1e 1xd x ＝ln x |e 1＝1－0＝1，由于⎠⎛2－24－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方的面积，故⎠⎛2－24－x 2d x ＝12π×22＝2π.所以原式＝2π＋1.答案：2π＋110．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是________．解析：设图中阴影部分的面积为S(t )，则S(t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13.由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S(t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t )min ＝S ⎝⎛⎭⎫12＝14. 答案：14三、解答题11．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解：(1)设f (x )＝a x 2＋b x ＋c(a ≠0)，则f ′(x )＝2a x ＋b. 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，∴f (x )＝a x 2＋2－a.又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(a x 2＋2－a)d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.12．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积．解：∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)⎪⎪⎪x＝1＝2， ∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A(2,4)，O(0,0)，故y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3| 20＝4－83＝43.。

专题16 定积分与微积分基本定理高考复习资料(解析版)

f(x)
错误!f(x)dx 的几何意义
f(x)≥0
表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)＜0
表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴下方的曲边梯 f(x)在[a，b]上有正有负
π
| 【解析】(1)错误!(cos x＋1)dx＝(sin x＋x) ＝π. 0
(2)【解析】 S a 0
xdx
2
x
3 2
3
a 0
2
a
3 2
3
a ，解得 a
9 4
．
【解法小结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：
(1)对被积函数要先化简，再求积分；
(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；
2
＝4，
03
0
2
| c＝错误!sin xdx＝(－cos x) ＝1－cos 2<2，则 c<a<b. 0
5.(2019
届江西九江高三第一次十校联考)M=
1 0
1- 2dx,T= 0 sin 2xdx,则 T 的值为(
)
A.1
B.-1
2
2
【答案】 A
C.-1
D.1
【解析】先求出 M= ，
0 sin 2
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.
考点二定积分的几何意义
角度 1 利用定积分的几何意义计算定积分
【例 2－1】 (1)计算：错误!(2x＋ 1－x2)dx＝________.

第三章第5讲定积分与微积分基本定理

第5讲定积分与微积分基本定理基础知识整合1．定积分的概念在⎠⎛a b f(x)d x 中，□01a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，□02f(x)叫做被积函数，□03x 叫做积分变量，□04f(x)d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf(x)d x ＝□05k ⎠⎛ab f(x)d x(k 为常数)． (2)⎠⎛a b[f 1(x)±f 2(x)]d x ＝□06⎠⎛abf 1(x)d x±⎠⎛abf 2(x )d x . (3)□07⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a c f(x)d x ＋⎠⎛c b f(x)d x(其中a ＜c ＜b)． 3．微积分基本定理如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么⎠⎛a b f(x)d x ＝□08F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成□09F(x)|b a ，即⎠⎛ab f(x)d x ＝□10F(x)|b a ＝F(b)－F(a)．1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间[－a ，a]上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则⎠⎛-a a f(x)d x ＝2⎠⎛0a f(x)d x.(2)若f(x)为奇函数，则⎠⎛-aa f(x)d x ＝0.1．已知t 是常数，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4答案 D解析由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x)t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)．2．(2019·南昌模拟)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a ＞1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案 A解析由题意可知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x)a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.3．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623答案 C解析由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1，得交点坐标为(－2，1)，(2,1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 320＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－812＝83.4．(2019·海南模拟)已知f(x)为偶函数且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛－66－6f(x)d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16答案 D解析 ⎠⎛－66f(x)d x ＝⎠⎛－60f(x)d x ＋⎠⎛06f(x)d x ，因为原函数为偶函数，即其图象关于y 轴对称，所以对应的面积相等，即⎠⎛－60f(x)d x ＝⎠⎛06f (x )d x ，故所求为8×2＝16.5．(2019·南昌模拟)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1)，1x ，x ∈[1，e ](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef(x)d x 的值为________．答案 43解析 ⎠⎛0e f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x ＝13x 310＋ln x e1＝13＋ln e ＝43. 6．若⎠⎜⎛0π2 (sin x －m cos x)d x ＝m ，则实数m ＝________. 答案 12解析 ⎠⎜⎛0π2(sin x －m cos x)d x ＝(－cos x －m sin x) ⎪⎪⎪⎪π20＝(0－m)－(－1－0)＝m ，解得m ＝12.核心考向突破考向一定积分的计算例1 计算下列定积分：(1) ⎠⎛-13 (3x 2－2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛122x d x ；(3)⎠⎛02|1－x|d x ；(4)⎠⎛011－(x －1)2d x. 解 (1) ⎠⎛-13 (3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x)|3－1＝24.(2)因为(ln x)′＝1x ，所以⎠⎛122x d x ＝2⎠⎛121x d x ＝2ln x|21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.(3)若1－x ≥0，则x ≤1，若1－x ＜0，则x ＞1，于是⎠⎛02|1－x|d x ＝⎠⎛01(1－x)d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x |21＝1. (4)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－(x －1)2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，故⎠⎛011－(x －1)2d x ＝π4.触类旁通求定积分时应注意的几点(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分. (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错. (5)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分. (6)若f (x )为奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝0.(7)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．即时训练 1.计算下列定积分： (1)⎠⎛011－x 2d x ；(2)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ；(3)⎠⎛0πcos x d x ；(4)⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x.解 (1)y ＝1－x 2，∴x 2＋y 2＝1，y ≥0.∴⎠⎛011－x 2d x 几何意义为14个圆的面积． ∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4.(2)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝1＋e 1－1＝e . (3)因为(sin x)′＝cos x ，所以⎠⎛0πcos x d x ＝sin x π0＝sinπ－sin 0＝0.(4)因为(x 2)′＝2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，所以⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎛132x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2d x ＝x 2|31＋1x |31＝223.考向二利用定积分求图形的面积角度1 求曲线围成平面图形的面积例2 (2019·榆林模拟)曲线y ＝sin x 与y ＝2πx 围成的封闭图形的面积为( ) A ．1－π4 B ．2－π2 C.π2 D ．2＋π2答案 B解析当x ＝π2时，sin π2＝1，2π×π2＝1，故已知的两曲线在第一象限的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，根据对称性，已知的两曲线在第三象限的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1，故两曲线所围成的封闭图形的面积为2⎠⎜⎛π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －2πx d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －x 2π⎪⎪⎪⎪π20＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4－(－1)＝2－π2. 触类旁通求曲线围成平面图形面积的方法对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．即时训练 2.由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．答案 2解析如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)．所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2. 角度2 已知曲线围成图形的面积求参数例3 (2018·合肥模拟)由曲线f(x)＝x 与y 轴及直线y ＝m(m ＞0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8答案 A解析由题知曲线f(x)＝x 与直线y ＝m 的交点为(m 2，m)，则S ＝＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.触类旁通已知曲线围成图形的面积求参数的方法已知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，再由已知条件找到关于参数的方程，从而求出参数的值．即时训练 3.已知函数y ＝x 2与y ＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3k 0＝92，即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3.角度3 与概率的交汇问题例4 如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x>0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为( )A ．ln 2B ．1－ln 2C ．2－ln 2D ．1＋ln 2答案 D解析由⎩⎨⎧y ＝2，y ＝1x ，得x ＝12.触类旁通与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算．即时训练 4.如图所示，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f(x)＝sin x(x ∈(0，π))及直线x ＝a(a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A .7π12B .2π3C .3π4D .5π6 答案 B解析阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x)|a 0＝－cos a －(－cos 0)＝1－cos a.∵点落在阴影部分的概率为P ＝14＝1－cos a6，∴cos a ＝－12，又a ∈(0，π)，∴a ＝2π3.故选B . 考向三定积分在物理中的应用例5 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 2答案 C解析由v(t)＝0，得t ＝4.故刹车距离为s ＝⎠⎛04v(t)d t＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )|40＝4＋25ln 5. 触类旁通定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v(t)(v(t)≥0)，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v(t)d t.(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是即时训练 5.列车以72 km /h 速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m /s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v ＝0，求出t.再根据v 和t 应用定积分求出路程．已知列车速度v 0＝72 km /h ＝20 m /s ，列车制动时获得的加速度为a ＝－0.4金版教程·高考总复习·数学·理（经典版）m/s2.设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，则v＝v0＋at＝20－0.4t，令v＝0，得t＝50 s.设列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则s＝∫500v(t)d t＝∫500(20－0.4t)d t＝500 m.所以列车应在进站前50 s，以及离车站500 m处开始制动．。

2023年高考数学微专题练习专练15定积分与微积分基本定理含解析理

专练15 定积分与微积分基本定理命题范围：积分的概念与运算、微积分基本定理．[基础强化]一、选择题1.⎠⎛12(x －2)d x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－122．若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01f(x)d x ＝( )A .－1B ．－13C ．13D ．13．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．44．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b5.⎠⎛－11(1－x 2＋sin x)d x ＝( )A ．π4B ．π2C ．πD ．π2＋26．设k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x)d x ，若(1－kx)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝( )A .－1B ．0C ．1D ．2567．设f(x)＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，1），x 2－1，x∈[1，2]，则⎠⎛－12f(x)d x 的值为( )A .π2＋43B ．π2＋3C ．π4＋43D ．π4＋38．如图是函数y ＝cos (2x －5π6)在一个周期内的图像，则阴影部分的面积是( )A ．34B ．54C ．32D ．32－349．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ，则a 4＋2a 6＋a 8的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2二、填空题10．[2022·安徽滁州二模]设f(x)＝e x，则⎠⎛01[f′(x)＋2x]d x________．11．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________.12．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b∈R )的图像如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________.13．[2022·西藏拉萨中学月考]由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的平面图形的面积为________．14．[2022·甘肃张掖期末]如图，在矩形ABDC 中，AB ＝1，AC ＝2，O 为AC 中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点B ，D 在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为________．15．[2022·宁夏石嘴山一模]⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝________．16．[2022·黑龙江一模]在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是________．专练15 定积分与微积分基本定理1．D ⎠⎛12(x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x |21 ＝12×22－2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－12.2．B 令⎠⎛01f(x)d x ＝m ，则f(x)＝x 2＋2m ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛012m d x ＝(13x 2＋2mx)|10＝m ，得m ＝－13.3．D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)， ∴S＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20 ＝4.4．D a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20 ＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20 ＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )|20 ＝1－cos2，∵1－cos2<83<4，∴c <a <b .5．B ⎠⎛－11(1－x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ，∵y ＝sin x 为奇函数，∴⎠⎛－11sin x d x ＝0，又⎠⎛－111－x 2d x 表示以坐标原点为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，∴⎠⎛－111－x 2d x＝π2， ∴⎠⎛－11( 1－x 2＋sin x )d x ＝π2.6．B 因为k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x |π0 －sin x |π0 ＝2，所以(1－kx )8＝(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝(1－2)8＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8)－a 0＝1－1＝0.故选B.7．A ⎠⎛－12f(x)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋(13x 3－x)|21 ＝π2＋43.故选A .8．B S ＝－∫π60cos (2x －5π6)d x ＋∫2π3π6cos (2x －5π6)d x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin （2x －5π6）|π60＋[12sin (2x －5π6)]|2π3π6＝－[12sin (－π2)－12sin (－5π6)]＋[12sin π2－12sin (－π2)]＝14＋1＝54.故选B .9．C ∵a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0 ＝－(cosπ－cos 0)＝2，又{a n }为等差数列， ∴a 5＋a 7＝2a 6＝2，∴a 6＝1， ∴a 4＋2a 6＋a 8＝4a 6＝4. 10．e解析：因为f(x)＝e x，所以错误!错误!0＝e ＋1－1＝e . 11.16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A(1，1). 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(12x 2－13x 3)|10 ＝16.12．－3解析：由已知得f′(0)＝0，因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，所以b ＝0，则f(x)＝x 3＋ax 2，令f(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－a.由切线y ＝0与函数图像所围区域(题图中阴影部分)的面积为274，得－⎠⎛0－a f(x)d x ＝274，即－⎠⎛0－a (x 3＋ax 2)d x ＝274，即－(14x 4＋a 3x 3)－a 0 ＝274，所以－⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 44＋a3×（－a ）3＝274，即a 412＝274，解得a ＝±3，由题图可知a<0，∴a＝－3. 13.163解析：由定积分知 S ＝⎠⎛4x －(x －2)d x ＝(23x 32－12x 2＋2x)|1＝(23×8－8＋8)－0＝163. 14.13解析：由题可知矩形面积为2，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线方程为y 2＝2x(0≤x≤1)，抛物线及BD 围成的面积为2(1－⎠⎛01x d x)＝23，点落在阴影部分的概率为232＝13.15．e －1e＋1解析：⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝⎠⎛－1(e x－x)d x ＋⎠⎛01(e x＋x)d x ＝(e x－x 22)|0－1 ＋(e x ＋x 22)|10 ＝(e－0)[e －1－（－1）22]＋(e 1＋122)－[e 0＋0]＝1－1e ＋12＋e ＋12－1＝e －1e ＋1.16.43解析：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设点P(x ，0，z)，则0≤x≤2，0≤z≤2，则点P 到直线A 1B 1的距离为2－z ，因为BC⊥平面AA 1B 1B ，BP ⊂平面AA 1B 1B ，所以，BC⊥BP，所以，点P 到直线BC 的距离为|BP →|＝（x －2）2＋z 2，由已知可得（z －2）2＋z 2＝2－z ，化简可得z ＝x －x24，当x ＝2时，z ＝1，即点P 的轨迹交棱BB 1于点(2，0，1)，因此，在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是⎠⎛02(x －x 24)d x ＝(12x 2－x 312)|20 ＝43.。

2020届高三理数一轮讲义：3.3-定积分与微积分基本定理(含答案)

第3节定积分与微积分基本定理最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.知识梳理1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝在⎠⎛a b f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式. (2)定积分的几何意义(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x . (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a ＜c ＜b ). 3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪ba ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba )＝F (b )－F (a ).[微点提醒]函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .( )(2)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( ) (3)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x轴下方.( )(4)定积分⎠⎛a b f (x )d x 一定等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积.( )(5)加速度对时间的积分是路程.( )解析 (2)y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x －x 2)d x .(3)若⎠⎛ab f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形在x 轴下方的面积比在x 轴上方的面积大.(4)定积分⎠⎛a b f (x )d x 等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成图形的面积的代数和.(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.(选修2－2P50A5改编)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 ⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1.答案 A3.(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A.10t 20 B.5t 20C.103t 20 D.53t 20 解析 S ＝⎠⎛0t 0v d t ＝⎪⎪⎪⎠⎛0t010t d t ＝5t 2t 0＝5t 20. 答案B4.(2018·青岛月考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积S ，正确的是( ) A.S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d xB.S ＝⎠⎛02(x 3－4x )d xC.S ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫3y －y 4d yD.S ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4－3y d y解析两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x 积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x ≥x 3，故直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫同理对y 积分时S ＝⎠⎛08⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －y 4d y .答案 A5.(2019·安阳模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <c C.c <b <aD.c <a <b解析由微积分基本定理a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4⎪⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪20＝1－cos 2<2，则c <a <b .答案 D6.(2019·昆明诊断)若⎠⎛a 0x 2d x ＝9，则常数a 的值为________. 解析 ⎠⎛a0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪0a ＝－13a 3＝9，∴a 3＝－27，a ＝－3.答案－3考点一定积分的计算【例1】 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. (2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________. 解析 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝83＋4＋4－83＝8.答案 (1)π (2)8规律方法运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分. 【训练1】 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.不存在 (2)定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.解析 (1)如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.(2)⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案 (1)C (2)23考点二定积分的几何意义多维探究角度1 利用定积分的几何意义计算定积分【例2－1】 (1)计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.(2)若⎠⎛－2m －x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________.解析 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛011－x 2 d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，所以⎠⎛011－x 2 d x ＝π4，又⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝π4＋1.(2)根据定积分的几何意义⎠⎛－2m －x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又⎠⎛－2m －x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 答案 (1)π4＋1 (2)－1 角度2 利用定积分计算平面图形的面积【例2－2】 (一题多解)由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________.解析如图所示，解方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和，即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18. 答案 18规律方法 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).【训练2】 (1)计算：⎠⎛133＋2x －x 2 d x ＝________.(2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.解析 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛133＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴⎠⎛133＋2x －x 2 d x ＝14×π×4＝π.(2)由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝k 32－13k 3＝43，则k 3＝8，∴k ＝2.答案 (1)π (2)2考点三定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( ) A.3B.4C.5D.6(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ，力的单位：N).解析 (1)因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t .所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2＝5.整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.(2)变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为 W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J).答案 (1)C (2)342规律方法定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【训练3】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A.1＋25ln 5 B.8＋25ln113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 答案 C[思维升华]1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.2.⎠⎛a b f (x )d x 、⎠⎛a b |f (x )|d x 与|⎠⎛a b f (x )d x |在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f (x )在闭区间[a ，b ]上可正可负，也就是它的图象可以在x 轴上方、也可以在x 轴下方、还可以在x 轴的上下两侧，所以⎠⎛ab f (x )d x 表示由x 轴、函数f (x )的曲线及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和；而|f (x )|是非负的，所以⎠⎛ab |f (x )|d x 表示在区间[a ，b ]上所有以|f (x )|为曲边的正曲边梯形的面积；而|⎠⎛a b f (x )d x |则是⎠⎛a b f (x )d x 的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的. [易错防范]1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.答案 C2.已知⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝3－e 2，则m 的值为( )A.e －14e B.12 C.－12D.－1解析由微积分基本定理得⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝(ln x －mx )⎪⎪⎪e1)＝m ＋1－m e ，结合题意得m ＋1－m e ＝3－e 2，解得m ＝12. 答案 B3.(2019·郑州模拟)汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.132m B.6 mC.152m D.7 m解析 s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m).答案 A4.π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.0B.π4－12C.π4－14D.π2－1 解析π20⎰sin 2x2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x π20|＝π4－12.答案 B5.定积分⎠⎛02|x －1|d x 等于( )A.1B.－1C.0D.2解析 ⎠⎛02|x －1|d x ＝⎠⎛01|x －1|d x ＋⎠⎛12|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝1.答案 A6.如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( )A.8ln 3B.8C.9ln 3D.9解析设指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，因为其过点E (2，9)，所以a 2＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛023xd x ＝3xln 3⎪⎪⎪20＝8ln 3.答案 A7.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f [f (1)]＝1，则a 的值为( )A.1B.2C.－1D.－2解析因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1，得a 3＝1，a ＝1. 答案 A8.由y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的图形的面积为( )A.43B.34C.2D.1解析如图所示，阴影部分的面积为 S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－112x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3⎪⎪⎪21 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－112＋2－112×23－1＋112＝43.答案 A 二、填空题9.已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x ＝________.解析原式＝⎠⎛－60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为原函数为偶函数，所以在y 轴两侧的图象对称，所以对应面积相等，即8×2＝16. 答案 1610.如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________.解析由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，解得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪2＝－83＋4＝43.答案4311.(2019·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案4912.(2019·广州调研)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1），x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为________.解析 ⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 答案π2＋43能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(一题多解)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3 B.S 2<S 1<S 3 C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析法一 S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3. 答案 B14.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.1解析由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，则f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13. 答案 B15.一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________ J. 解析由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J).答案 3616.(2019·长春模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝⎠⎛01πx 2d x ＝π3x 3⎪⎪⎪10＝π3.据此类比：将曲线y ＝2 ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝________.解析类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y2)2＝πe y ，积分变量为y ，积分区间为[0，1]，即V ＝⎠⎛01πe y d y ＝πe y ⎪⎪⎪10＝π(e－1).答案 π(e－1)。

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于()A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3 [解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C [解析] 因为S 3＝⎠⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18 [解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t ，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x;(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

2020年高考数学考点15 定积分与微积分基本定理必刷题理(含解析)

21．若，则的展开式中常数项为______．
【答案】
【解析】
因为；
所以的展开式的通项公式为:
，
令，则，所以常数项为。
故答案为．
22．直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．
【答案】
【解析】
由题意,联立方程组，解得或，
所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：
。
23．设，则的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题知A(1,1），阴影部分的面积为S
则S= =
故选：A．
6．如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
阴影部分面积为，
所以所求概率为，选A。
7．已知，则多项式的展开式中的系数为( )
故选：B．
14．二次函数的图象如图所示，则定积分（）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】
由图象可知，二次函数的零点为1，2
即方程的根为1,2坐标原点作曲线的切线 ,则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为______
【答案】 .
【解析】
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵A（﹣1，﹣1)，B（1，﹣1),C(1，1),D（﹣1，1），
∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4,
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积:
S＝2 [1﹣ ］dx＝2（ x3） 2[(1 ）﹣0]＝2 ，

(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

定积分与微积分基本定理习题一、选择题1． a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )练习、设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169C.⎝⎛⎭⎫43，157 D.⎝⎛⎭⎫45，1373．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64． ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11) 8．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.32B ．1C ．4D.1210．设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．1、 [答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x d x ＝12x 2|02＝2，b ＝⎠⎛02e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |02＝1－cos2∈(1,2)，∴c <a <b .A.112B.14C.13D.7122、[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 401＝112.练习； [答案] A[解析] 设P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛t (tx －x 2)d x ＝t 36；S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169. 3、[答案] A[解析] S ＝⎠⎛2x 3d x ＝⎪⎪x 4402＝4.4、[答案] B[解析] ⎠⎛1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5、[答案] A[解析] 如右图，S ＝∫02π(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|02π＝2π.6、[答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. 7、[答案] D ；[解析] f (x )＝⎠⎛1x 1td t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0<x <e 11.8、[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x＝－cos x |0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.9、[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝⎠⎛0－2(x ＋2)d x ＋∫π202cos x d x ＝2＋2＝4.10、 [答案] A[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛mn g (x )d x ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3d x ＝⎪⎪－x 2614＝－52.11、[答案] A ；[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13.12、[答案] C ；[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x 2d x ＝13x 3|01＝13，故所求概率p ＝13.13、 [答案] －1或13；[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.14、 [答案] －192；[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.15、[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|－42＝18.16、 [答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知⎠⎛01ax d x ＝23，∴a ＝1，设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得，4x 2＋(4b －1)x ＋b 2＝0，由Δ＝0得，b ＝18，∴l 方程为16x －8y ＋1＝0. 17、 [答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.18、 [解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12，令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0. 因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增．所以，当t ＝12时，S min ＝14.。

定积分与微积分基本定理(基础+复习+习题+练习)

课题：定积分与微积分基本定理考纲要求：① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 .② 了解微积分基本定理的含义.教材复习 1.定积分()1积分的定义及相关概念如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，用分点0122n n a x x x x x b -=<<<<<=，将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ(1,2,i =…，n )，作和式1()ni i b af n ξ=-∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰.其中，与分别叫做积分下限与积分上限，区间[],a b 叫做积分区间，叫做被积函数，叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．()2定积分的性质：①1ba dx =⎰；②()bakf x dx =⎰ (k 为常数)；③[]()()baf xg x dx ±=⎰ ；()b af x dx =⎰()3定积分的几何意义：① 当函数()f x 在区间[],a b 上恒正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积（左图中的阴影部分）即()baS f x dx =⎰；当()f x ≤0时，()baS f x dx ==⎰()baf x dx ⎰.② 一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲边()f x以及直线x a =，x b =之间的曲边梯形的面积的代数和（右图中的阴影部分），其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数.2.微积分基本定理如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()baf x dx =⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3.定积分的应用()1曲边梯形的面积：一般地，设由曲线()y f x =，()y g x =以及直线,x a x b ==所围成的平面图形的面积为S ，则S = （()()f x g x >）.()2匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数()v v t =(()0v t ≥)在时间区间[],a b 上的定积分，即 ()bas v t dt =⎰.()3简单几何体的体积：若几何体是由曲线()y f x =与直线,x a x b ==以及x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周得到的，则其体积为V =基本知识方法：1.求定积分有两种途径：牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义；当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.2.若()f x 是[],a a -连续的奇函数，则()aaf x dx -=⎰ ；若()f x 是[],a a -连续的偶函数，则()aaf x dx -=⎰()af x dx ⎰典例分析：考向一定积分的计算（考虑牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义）问题1．计算下列积分：()1221x dx ⎰； ()20(sin cos )x x dx π-⎰； ()32132xdx -⎰；()41-⎰； ()5()11cos 5sin x x x dx --⎰考向二利用定积分求面积问题2．求下图中阴影部分的面积．解：考向三定积分的应用问题3．()1一物体以()238v t t t =-+()m s 的速度运动，在前30s 的平均速度为()2（2012福建）如图所示，在边长为1 的正方形OABC中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为.A 14 .B 15 .C 16 .D 17课后作业：1.计算定积分：①220sin 2xdx π⎰； ②()0cos x x e dx π-+⎰；③；④⎰2. （2013届高三西工大附中六模）)1x dx ⎰=3. （2013届高三湖北武汉调研）2302cos 12x dx π⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰.A -.B 12-.C 12.D走向高考：1.（2013北京）直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 .A 43 .B 2 .C 83 .D 132.（2013江西）若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231,x S e dx =⎰则123,,S S S 的大小关系为.A 123S S S << .B 213S S S << .C 231S S S << .D 321S S S <<3.（2013湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()73v t t =-251t++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是.A 125ln5+ .B 11825ln 3+ .C 425ln5+ .D 450ln 2+4.（2013湖南）若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为5.（2012江西）计算定积分()121sin xx dx -+=⎰6.（2010湖南） 421dx x⎰等于 .A 2ln 2- .B 2ln 2 .C ln 2- .D l n 2 7.（2011陕西）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a =。

定积分与微积分基本定理

高考总复习·数学理科（RJ）
第三章导数及其应用
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第三章导数及其应用
(2)设 f(x)＝x22－，xx，∈x[∈0，（11]，，2]，则20f(x)dx 等于(
)
3
4
A.4
B.5
5
6
C.6
D.7
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第三章导数及其应用
【解析】＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2， ∴a＝－1.
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第三章导数及其应用
【答案】 4－ln 3
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第三章导数及其应用
【思维升华】 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分；
(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤 ①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．
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第三章导数及其应用
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第三章导数及其应用
跟踪训练 3 一物体在变力 F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单
位：m)作用下，沿与 F(x)成 30°方向作直线运动，则由 x＝1 运
动到 x＝2 时，F(x)做的功为( )
A. 3 J
23 B. 3 J
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第三章导数及其应用
【解析】 01(2x＋
1－x2)dx＝102xdx＋10
1
1－x2dx＝x2 ＋
0
41π×12＝1＋π4 .
π 【答案】 1＋ 4
高考总复习·数学理科（RJ）

3-3定积分与微积分基本定理(理)

3-3定积分与微积分基本定理(理)基础巩固一、选择题1.⎠⎛05(2x －4)d x ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2[答案] A[解析] ⎠⎛05(2x －4)d x ＝(x 2－4x )|50＝(52－4×5)－(02－4×0)＝5.2．若⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝3＋ln2，且a >1，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] ⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )|a1＝a 2＋ln a －1，故有a 2＋ln a －1＝3＋ln2，即a ＝2.3．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.4．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16 [答案] D[解析] ∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图像对称． ∴对应的面积相等．原式＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.5．图中阴影部分的面积是( )A ．16B ．18C ．20D ．22[答案] B[解析] S ＝⎠⎛－24 (y ＋4－y22)d y＝(y 22＋4y －y 36)|4－2＝18.6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4，由F ′(x )得F (x )＝13x 3－2x 2. ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0， F (4)＝－323，F (5)＝－253. ∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题7. ⎠⎛－43|x ＋2|d x ＝________.[答案] 292[解析] 原式＝⎠⎜⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－23(x ＋2)d x ＝292.8．(2012·山东理，15)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a ，则a ＝________.[答案] 94[解析] 本题考查了定积分求解封闭图形的面积．S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x32|a0＝23a32＝a ，解得a ＝94.三、解答题 9．求下列定积分：(1)⎠⎛01(x 2－x )d x ；(2) ⎠⎜⎜⎛－π2π2cos 2x 2d x ； (3) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (3x 3＋4sin x )d x ；(4)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，(x ≤0)cos x －1，(x >0)，求⎠⎛-11f (x )d x .[解析] (1)⎠⎛01(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2⎪⎪1＝－16.(3)令f (x )＝3x 3＋4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上为奇函数，∴⎠⎜⎜⎛－π2π2 (3x 3＋4sin x )d x ＝0.(4) ⎠⎛-11f (x )d x ＝⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin1－23.能力提升一、选择题1．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等( )A.56B.12C.23D.16[答案] A[解析] 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x＝(13x 3－12x 2)|21＝56.2．(2012·淮南模拟)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π[答案] C[解析] 由定积分的几何意义知⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝94π.故选C.二、填空题3．(2012·江西理，11)计算定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.[答案] 23[解析] 本题考查了定积分的知识， ⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝(13x 3－cos x )|1－1 ＝13－cos1－(－13－cos1)＝23.4．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－11 (3x 2＋2x ＋1)d x＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4＝2f (a )． f (a )＝3a 2＋2a ＋1＝2，解得a ＝－1或13. 三、解答题5．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a b ＝0， ∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝[13ax 3＋(2－a )x ]|10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.6．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2y ＝kx可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－342.7．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x ＝－t (0<t <1)，把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，又已知f ′(x )＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等的实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，所求面积＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－1＝13. (3)依题意有⎠⎜⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t 0 (x 2＋2x ＋1)d x . ∴⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x －t －1＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－t ，∴－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ， ∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0 ∴2(t －1)3＝－1，于是t ＝1－132.。

(复习指导)3.3 定积分与微积分基本定理含解析

3.3 定积分与微积分基本定理必备知识预案自诊知识梳理1.定积分的定义如果函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点ξi (i=1,2,…,n ),作和式∑i=1nf (ξi )Δx=∑i=1n b -a nf (ξi ),当n →+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫作函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作∫baf (x )d x.2.定积分的几何意义(1)当函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续且恒有f (x )≥0时,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是由直线x=a ,x=b (a ≠b ),y=0和曲线y=f (x )所围成的曲边梯形(图①中阴影部分)的面积.图①图②(2)一般情况下,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y=f (x )以及直线x=a ,x=b之间的曲边梯形(图②中阴影部分)面积的代数和,其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.3.定积分的性质(1)∫ba kf (x )d x= (k 为常数); (2)∫ba [f (x )±g (x )]d x= ;(3)∫baf (x )d x= (其中a<c<b ).4.微积分基本定理一般地,如果f (x )是图像在区间[a ,b ]上连续的函数,并且F'(x )=f (x ),那么∫baf (x )d x= .这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿—莱布尼茨公式,其中F(x)叫作f(x)的一个原函数.为了方便,我们常把F(b)-F(a)记作,即∫ba f(x)d x=F(x)|a b=F(b)-F(a).5.定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=∫ba v(t)d t.(2)变力做功:某物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=∫baF(x)d x.1.定积分与曲边梯形的面积的关系:设图中阴影部分的面积为S,则(1)如图(1),S=∫baf(x)d x;(2)如图(2),S=-∫baf(x)d x;(3)如图(3),S=∫ca f(x)d x-∫bcf(x)d x;(4)如图(4),S=∫ba[f(x)-g(x)]d x.2.设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有:(1)若f(x)是偶函数,∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;(2)若f(x)是奇函数,则∫a-af(x)d x=0.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上连续,则∫ba f(x)d x=∫b a f(t)d t.()(2)若f(x)是图像连续的偶函数,则∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;若f(x)是图像连续的奇函数,则∫a-af(x)d x=0.()(3)在区间[a,b]上连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a≠b),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba|f(x)|d x.() (4)若∫baf(x)d x<0,则由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.()(5)已知质点移动的速度v=10t,则质点从t=0到t=t0所经过的路程是∫t010t d t=5t02.()2.已知函数f(x)={√x,1<x≤4,x|x|,-1≤x≤1,则∫4-1f(x)d x=()A.14B.143C.7D.2123.汽车以v=(3t+2)m/s做变速运动时,在第1 s至2 s之间的1 s内经过的路程是()A.5 mB.112mC.6 mD.132m4.(2020湖南师大附中测试)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2√2B.4√2C.2D.45.(2020江西南昌模拟)设a>0,若曲线y=√x与直线x=a,y=0所围成的封闭图形的面积为a2,则a=.关键能力学案突破考点定积分的计算【例1】计算下列定积分.(1)∫1(-x2+2x)d x;(2)∫π(sin x-cos x)d x;(3)∫21(e2x+1x)d x;(4)∫π2√1-sin2x d x.?解题心得计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分.(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.对点训练1(1)∫3-1(3x2-2x+1)d x;(2)∫21(x-1x)d x;(3)∫π-π(x3cos x)d x;(4)∫2|1-x|d x.考点利用定积分的几何意义求定积分【例2】已知函数f(x)={-x+2,x≤2,√1-(x-3)2,2<x≤4,则定积分∫412f(x)d x的值为()A.9+4π8B.1+4π4C.1+π2D.3+2π4?解题心得当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图像与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边图形形状规则,面积易求时,利用定积分的几何意义求定积分.对点训练2(2020四川成都一中测试)∫1-1(√1-x2+sin x)d x=()A.π4B.π2C.πD.π2+2考点定积分的应用(多考向探究)考向1求曲线围成的平面图形的面积【例3】(1)如图所示,曲线y=x2-1,x=2,x=0,y=0围成的阴影部分的面积为() A.∫2|x2-1|d xB.∫21(1-x2)d x+∫1(x2-1)d xC.∫2(x2-1)d xD.∫21(x2-1)d x+∫1(1-x2)d x(2)(2020云南昆明一中测试)如图是函数y=cos2x-5π6在一个周期内的图像,则阴影部分的面积是()A.34B.5 4C.3 2D.32−√34?2已知曲线围成的面积求参数【例4】(2020安徽合肥摸底)由曲线f(x)=√x与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为83,则m的值为()B.3C.1D.8?3定积分在概率中的应用【例5】(2020山西太原联考)如图,在矩形ABCD中的曲线是y=sin x,y=cos x的一部分,点A(0,0),B(π2,0),D(0,1),在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.4π(√3-1) B.4π(√2-1) √3-1)π D.4(√2-1)π?4定积分在物理中的应用【例6】(1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t(t 的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25ln 113C.4+25ln 5D.4+50ln 2(2)一物体在力F (x )={5,0≤x ≤2,3x +4,x >2(单位:N )的作用下沿与力F 相同的方向从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F (x )做的功为 J .?解题心得1.对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致图形,然后根据图形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间.2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;然后确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再应用方程的思想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.3.与概率相交汇问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应概率公式进行计算.4.利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.对点训练3(1)如图,由两条曲线y=-x 2,y=-14x 2及直线y=-1所围成的平面图形的面积为 .(2)已知t>1,若∫t1(2x+1)d x=t 2,则t= .(3)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线y=x 3(x>0)和曲线y=√x 围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A.512B.16C.14D.13(4)汽车以36 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以加速度a=-2 m/s 2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是 m .(5)设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10,已知F (x )=x 2+1,且方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为 J(x 的单位:m;力的单位:N).1.求定积分的方法:(1)利用定义求定积分,可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分的步骤如下: ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x );②计算F (b )-F (a ).(3)利用定积分的几何意义求定积分. 2.定积分∫baf (x )d x 的几何意义是x 轴、曲线f (x )以及直线x=a ,x=b 围成的曲边梯形的面积的代数和.在区间[a ,b ]上连续的曲线y=f (x )和直线x=a ,x=b (a ≠b ),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba |f (x )|d x.1.被积函数若含有绝对值号,应去掉绝对值号,再分段积分.2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.3.3 定积分与微积分基本定理必备知识·预案自诊知识梳理3.(1)k ∫ba f (x )d x(2)∫ba f (x )d x ±∫ba g (x )d x (3)∫c af (x )d x+∫bcf (x )d x4.F (b )-F (a ) F (x )|ab 考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.B 函数f (x )={√x ,1<x ≤4,x |x |,-1≤x ≤1,则∫4-1f (x )d x=∫1-1x|x|d x+∫41√x d x=0+23x 3214=143.故选B .3.D S=∫21(3t+2)d t=(32t 2+2t) 12=92+2=132.故选D .4.D 由{y =4x ,y =x 3,得x=0或x=2或x=-2(舍),∴S=∫2(4x-x 3)d x=2x 2-14x 402=4.5.49 封闭图形如图阴影部分所示,则∫a√x d x=23x 32 0a =23a 32=a 2,解得a=49.关键能力·学案突破例1解(1)∫1(-x 2+2x )d x=∫1(-x 2)d x+∫12x d x=(-13x 3) 01+(x 2) 01=-13+1=23. (2)∫π0(sinx-cosx )dx=∫π0sinxd x-∫πcos x d x=(-cos x ) π0-sin x π0=2.(3)∫21(e 2x +1x )dx=∫21e 2x dx+∫211x x=12e d 2x12ln x 12=12e+4-12e 2+ln2ln1=e-4-12e 122+ln2. (4)∫π2√1-sin2x dx=∫π2|sinx-cos x|d x=∫π4(cos x-sin x )d x+∫π2π4(sin x-cos x )d x=(sinx+cos x ) 0π4+(-cos x-sin x ) π4π2=√2-1+(-1+√2)=2√2-2.对点训练1解(1)∫3-1(3x 2-2x+1)d x=(x 3-x 2+x )|-13=24. (2)∫21(x -1x )d x=12x 2-ln x 12=32-ln2.(3)因为y=x 3cos x 为奇函数, 所以∫π-π(x 3cos x )d x=0.(4)∫2|1-x|dx=∫1(1-x)dx+∫21(x-1)d x=(x -12x 2) 01+12x 2-x 12=(1-12)-0+12×22-2-12×12-1=1.例2A 因为f (x )={-x +2,x ≤2,√1-(x -3)2,2<x ≤4,所以∫412f (x )dx=∫212(-x+2)dx+∫42√1-(x -3)2d x ,∫212(-x+2)d x=-12x 2+2x122=98. ∫42√1-(x -3)2d x 的几何意义为以(3,0)为圆心,以r=1为半径的圆在x 轴上方的部分,因而S=12×π×12=π2, 所以∫412f (x )d x=98+π2=9+4π8.故选A .对点训练2B ∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=∫1-1√1-x 2d x+∫1-1sin x d x ,∵y=sin x 为奇函数,∴∫1-1sin x d x=0. 又∫1-1√1-x 2d x 表示以坐标原点为圆心,以1为半径的圆的上半圆的面积,∴∫1-1√1-x 2d x=π2. ∴∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=π2.例3(1)A (2)B (1)由曲线y=x 2-1,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积为S=∫1(1-x 2)d x+∫21(x 2-1)d x.根据对称性,它和函数y=|x 2-1|,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积相等,如图所示,即S=∫2|x 2-1|d x.(2)阴影部分的面积为S=-∫π6cos 2x-5π6d x+∫2π3π6cos 2x-5π6d x =-12sin 2x-5π60π6+12sin 2x-5π6π62π3= -12sin -π2-12sin -5π6+12sin π2−12sin -π2=14+1=54.故选B .例4A 由题知曲线f (x )=√x 与直线y=m 的交点为(m 2,m ),则∫m 20(m-√x )d x=mx-23x 320m 2=m 3-23m 3=83,解得m=2.例5BS 阴影=2∫π4(cos x-sin x )d x=2[sin x+cos x ] 0π4=2(√2-1),S ABCD =π2×1=π2,由测度比是面积比可得,此点取自阴影部分的概率是P=S 阴影SABCD=2(√2-1)π2=4π(√2-1).故选B .例6(1)C (2)36 (1)由v (t )=7-3t+251+t =0,可得t=4,t=-83(舍去),因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s,此期间行驶的距离为∫40v (t )d t=∫47-3t+251+t d t=7t-32t 2+25ln(1+t )04=4+25ln5(m).(2)由题意知,力F (x )所做的功为W=∫42F (x )d x=∫425d x+∫42(3x+4)d x=5×2+32x 2+4x 24=10+32×42+4×4-32×22+4×2=36(J).对点训练3(1)43 (2)2 (3)A (4)25(5)342 (1)由{y =-x 2,y =-1得交点A (-1,-1),B (1,-1).由{y =-14x 2,y =-1得交点C (-2,-1),D (2,-1).所以所求面积S=2∫2(-14x 2+1)−∫1(-x 2+1)=43.(2)∫t1(2x+1)d x=(x 2+x ) 1t =t 2+t-2,从而得方程t 2+t-2=t 2,解得t=2.(3)此题为关于面积的几何概型,边长为1的正方形AOBC 的面积为1,叶形图(阴影部分)的面积S (A )=∫1(√x -x 3)d x=(23x 32-14x 4) 01=512. 所以所求概率P (A )=512.故选A .(4)t=0时,v 0=36km/h=10m/s ,刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v 0+at=10-2t ,由v (t )=0得t=5s,所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为∫5v(t)dt=∫5(10-2t )d t=(10t-t 2)05=25(m).(5)变力F (x )=x 2+1使质点M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=∫101F (x )d x=∫101(x 2+1)d x=(13x 3+x) 110=342(J).。

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

年级高二学科数学内容标题定积分的计算编稿老师马利军一、教学目标：1。

理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题。

2。

理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题。

二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间［a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x)与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰b adx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a,x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号。

在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3)中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a,x=b 、x 轴围成的面积的代数和。

注:函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a,b ］上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(。

3. 定积分的性质，（设函数f （x)，g （x ）在区间［a,b]上可积） (1）⎰⎰⎰±=±bab abadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=bab a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a,b]上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2)⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3)若f(x ）是偶函数，则⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)(,若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4。

高考数学Ι轮精品教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理

高考数学Ι轮精品教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理》一、教学目标：1. 理解定积分与微积分的基本定理的概念。

2. 掌握定积分的性质和计算方法。

3. 学会应用基本定理解决实际问题。

二、教学内容：1. 定积分与微积分的基本定理的定义和性质。

2. 定积分的计算方法。

3. 基本定理的应用实例。

三、教学重点与难点：1. 重点：定积分与微积分的基本定理的概念和性质，定积分的计算方法。

2. 难点：基本定理的应用实例。

四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解定积分与微积分的基本定理的概念和性质，定积分的计算方法。

2. 使用示例法，展示基本定理的应用实例。

3. 利用多媒体教学，播放相关教学视频，帮助学生更好地理解和掌握知识。

五、教学过程：1. 导入：通过复习微积分的基本概念，引导学生进入本节课的主题——定积分与微积分的基本定理。

2. 讲解：讲解定积分与微积分的基本定理的概念和性质，定积分的计算方法。

3. 示例：展示基本定理的应用实例，让学生理解并掌握基本定理的应用方法。

4. 练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点。

6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。

教学评价：通过课堂讲解、练习和课后作业的完成情况，评价学生对定积分与微积分的基本定理的理解和应用能力。

六、教学资源：1. 教学PPT：包含定积分与微积分的基本定理的定义、性质、计算方法以及应用实例。

2. 练习题库：提供多样的练习题，用于巩固学生对定积分的理解和应用。

3. 教学视频：演示定积分的计算过程和应用实例，帮助学生更直观地理解知识点。

七、教学步骤：1. 回顾微积分基本概念，为新课的学习做好铺垫。

2. 讲解定积分与微积分的基本定理，通过PPT展示相关知识点。

3. 利用示例法，展示基本定理的应用实例，让学生理解并掌握基本定理的应用方法。

4. 分组讨论练习题，学生相互交流解题思路，教师巡回指导。

定积分与微积分基本定理含答案版

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎜⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x C ．S ＝⎠⎜⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎜⎛1(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎜⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是( )－1[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎜⎛2(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎜⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎜⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎜⎛12(3－x )d x ＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.9．已知a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192 [解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛ab[(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎜⎛34x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎜⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎜⎛1eln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎜⎛1eln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎜⎛-42[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18. 14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎜⎛0t(e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎜⎛0t(e t －e x )d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎜⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1. (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎜⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2.(3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．∴S 阴影＝⎠⎜⎛a[0－(－x 3＋ax 2)]d x ＝(14x 4－13ax 3)|0a＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x － 1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎜⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎜⎛1f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎜⎛01f (x )d x ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a3＋c＝ax 2＋c ，即ax 20＝a3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x)5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r(－2x)r＝(－2)r C r 5x5－3r2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

专题2.14 定积分与微积分基本定理 (解析版)

第二篇函数、导数及其应用专题2.14 定积分与微积分基本定理【考纲要求】1. 了解定积分的实际背景、基本思想及概念． 2．了解微积分基本定理的含义. 【命题趋势】定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边梯形的面积. 【核心素养】本讲内容可以突出对数学建模，数学运算，数学抽象的考查. 【素养清单•基础知识】 1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x ；(3) ⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算. 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．4．定积分的几何意义定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S . ①S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；②S ＝－⎠⎛a b (x )d x ；③S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x ；④S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零. 【素养清单•常用结论】 1．常见被积函数的原函数 (1) ⎠⎛a bc d x ＝cx |b a ；(2)⎠⎛ab x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba (n ≠－1)； (3) ⎠⎛ab sin x d x ＝－cos x |b a ；(4) ⎠⎛abcos x d x ＝sin x |b a ；(5) ⎠⎛ab 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6) ⎠⎛ab e x d x ＝e x |b a .2. 奇函数、偶函数定积分的两个重要结论设函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有： (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；(2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 【真题体验】1．若s 1＝⎠⎛12x 2d x ，s 2＝⎠⎛121x d x ，s 3＝⎠⎛12e x d x ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为( )A ．s 1<s 2<s 3B ．s 2<s 1<s 3C ．s 2<s 3<s 1D ．s 3<s 2<s 1【答案】B【解析】因为s 1＝13x 3∣21＝13(23－13)＝73<3，s 2＝ln x ∣21＝ln 2－ln 1＝ln 2<1，s 3＝e x ∣21＝e 2－e>3，所以s 2<s 1<s 3. 2.直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x3得交点为(0,0)，(2,8)，(－2，－8)，所以S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4∣2 0＝4，故选D ．3.已知t >1，若⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝__________.【答案】 2【解析】 ⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )∣t 1＝t 2＋t －2，从而得方程t 2＋t －2＝t 2，解得t ＝2.4.汽车以36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－2 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__________m ．【答案】 25【解析】 t ＝0时，v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0＋at ＝10－2t ，由v (t )＝0得t ＝5 s ，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2)∣50＝25(m)．【考法拓展•题型解码】考法一定积分的计算答题模板：计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数． (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值．【例1】计算下列定积分．(1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ； (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x . 【答案】见解析【解析】 (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3∣10＋(x 2)∣10＝－13＋1＝23. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )∣π0－sin x ∣π0＝2.(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x ∣21＋ln x ∣21 ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2.(4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x ,＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2. 考法二定积分的几何意义及应用归纳总结(1)利用定积分求平面图形面积的步骤： ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程(不等式)求解．【例2】 (1)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4C ．163D ．6【答案】C【解析】作出曲线y ＝x 和直线y ＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x ∣40＝23×8－12×16＋2×4＝163. (2)(2019·湖南雅礼中学质检)在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112.试求：切点A 的坐标和过切点A 的切线方程．【答案】见解析【解析】 (2)如图，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.,令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝⎛⎭⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ．S 曲边△AOB ＝⎠⎛0x 0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪x 00＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝⎛⎭⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30，即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112，所以x 0＝1. 从而切点为A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1. 考法三定积分在物理中的应用归纳总结：定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4，t ＝－83(舍去)，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )∣40＝4＋25ln 5(m)． (2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为__________J.【解析】由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025 d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ∣42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36 (J)．【易错警示】易错点定积分的几何意义理解错误【典例】如图，函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为( )A ．⎠⎛ab f (x )d xB ．⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xC ．－⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xD ．－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x【错解】：A ，B ，C【错因分析】：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号，而各部分面积的代数和为x 轴上方的定积分减去x 轴下方的定积分．【正解】：如图所示，在[a ，c]上，f(x)≤0；在[c ，b]上，f(x)≥0，所以函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的阴影部分的面积S ＝－⎠⎛a c f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx ，故选D ．【跟踪训练】 (2019·山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛02|x 2－1|d xB ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)dxC ．⎠⎛02(x 2－1)dxD ．⎠⎛01(x 2－1)dx ＋⎠⎛12(1－x 2)dx【答案】A【解析】由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下阴影部分的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|dx .1．定积分⎠⎛01x (2－x ) d x 的值为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】A【解析】令y ＝x (2－x )，则(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，由定积分的几何意义知，⎠⎛01x (2－x )d x 的值为区域⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，0≤x ≤1的面积，即为π4.2．计算：⎠⎛－33(x 3cos x )d x ＝__________.【答案】 0【解析】因为y ＝x 3cos x 为奇函数，所以⎠⎛－33(x 3cos x )d x ＝0.3．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为__________．【答案】 43【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．所以所求面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝⎛⎭⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝⎛⎭⎫－14x 2＋1d x ＝43.4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为__________．【答案】4π3【解析】阴影部分的面积为2⎠⎛0πsin x d x ＝2(－cos x )∣π0＝4，圆的面积为π3，所以点A 落在区域M 内的概率是4π3.5.物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是__________m ．【答案】 130【解析】设A ，B 两物体运动t s 后相遇，则⎠⎛0t (3t 2＋1)d t －⎠⎛0t 10tdt ＝5，所以t 3＋t －5t 2＝5，解得t ＝5，所以A 物体从出发到相遇时的运动距离为53＋5＝130(m)．【考卷送检】一、选择题1.⎠⎛01e x d x 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1D ．12(e －1)【答案】C【解析】 ⎠⎛01e x d x ＝e x ∣10＝e 1－e 0＝e －1，故选C ．2.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝( ) A ．e 2－2 B ．e －1 C ．e 2 D ．e ＋1【答案】C【解析】 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )∣e 1＝e 2，故选C ． 3.求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xB ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y【答案】A【解析】由图象可得S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2【答案】D【解析】由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎫x －1－2x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x －2ln x ∣42＝4－2ln 2.5.若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1【答案】B【解析】 S 1＝13x 3∣21＝73，S 2＝ln x ∣21＝ln 2，S 3＝e x ∣21＝e 2－e.因为ln 2<1<73，e 2－e ＝e(e －1)>e>73，故S 2<S 1<S 3，故选B ．6.如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数y ＝cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A ．2πB ．1πC ．12D ．π－2π【答案】D【解析】因为⎠⎜⎛0 π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝1，故所求概率为π－1×2π＝π－2π.二、填空题7. ⎠⎜⎛0π2(cos x －sin x )d x ＝________.【答案】 0【解析】 ⎠⎜⎛0 π2(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π2＝0. 8.若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝________.【答案】 e 2＋12【解析】 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ∣e 1＝e 2＋12. 9.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是________．【答案】 22－2【解析】由图可得阴影部分面积S ＝2⎠⎜⎛0 π4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)．三、解答题 10.求下列定积分． (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .【答案】【解析】 (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22∣21－x 33∣21＋ln x ∣21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x ＝,sin x ∣0－π＋e x ∣0－π＝1－1e π. 11.已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．【答案】【解析】因为(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，其与函数g (x )＝x 2围成的图形如图．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)．所以y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3∣20＝4－83＝43. 12.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 2，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．【答案】见解析【解析】 (1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0.(2)由(1)知函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x得x 2－8x －t (t －8)＝0，所以x 1＝t ，x 2＝8－t .因为0≤t ≤2，所以直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝⎠⎛0t[(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x ＝⎣⎡⎦⎤(－t 2＋8t )x －⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2∣t 0＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2－(－t 2＋8t )x ∣2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403. 13.求曲线f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π4与x 轴围成的图形的面积．【答案】见解析【解析】当x ∈[0，π]时，f (x )≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎤π，5π4时，f (x )<0. 则所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－⎠⎜⎛π 5π4sin x d x ＝－cos x ∣π0＋cos x ⎪⎪⎪⎪5π4π＝2＋⎝⎛⎭⎫－22＋1＝3－22.。

专题07 定积分与微积分基本定理(解析版)

1．πcos d x x =⎰A ．1B ．2-C ．0D ．π【答案】C 【解析】ππ00cos d sin |sin π00x x x ==-=⎰． 2．若12()2()d f x x f x x =+⎰，则1()d f x x ⎰=A ．−1B ．13- C ．13D ．1【答案】B 【解析】令1()d =f x x m ⎰，则2()=+2f x x m ，所以1123100011()d =(+2)d (2)|233f x x x m x x mx m =+=+⎰⎰m =，解得13m =-，所以101()d =3f x x -⎰，故选B. 3．若()π402sin cos d 2x a x x -=-⎰，则实数等于 A ． B ．2 C ．1-D ．3-【答案】B【解析】由题意可知：()πππ4440022sin cos d sin d cos d 122x a x x x x a x x a -=-=---⎰⎰⎰，专题07 定积分与微积分基本定理第一章导数及其应用结合题意有：222 1a--=-，解得：2a=.本题选择B.4．直线34xyxy==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为A．22B．24C． 3 D．4【答案】D【解析】由已知得，232421(4)d(2)|44S x x x x x=-=-=⎰，故选D.5．设实数2log3a=，131log2b=，π1sin dcx x=⎰，则A．b a c>>B．b c a>>C．a b c>>D．a c b>>【答案】C【解析】221331log3log21,0log log212a b=>=<==<,而()()ππsin d cos|cosπx x x=-=--⎰()cos02-=,所以12c=,331log2log32>=,所以a b c>>,选C.6．两曲线siny x=，cosy x=与两直线0x=，π2x=所围成的平面区域的面积为A．π2(sin cos)dx x x-⎰B．π402(sin cos)dx x x-⎰C．π2(cos sin)dx x x-⎰D．π402(cos sin)dx x x-⎰【答案】D7．在平面直角坐标系中，记抛物线y =x −x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y =kx (k >0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为 A ．13 B ．23 C ．12D ．34【答案】A【解析】∵M 的面积为122301111()d ()0236x x x x x -=-=⎰，A 的面积为12232301111()d ()(1)02326kk kx x kx x x x x k ----=--=-⎰，∴31(1)86,1276k -=∴1=3k ，故选A.8．若函数)(x f 、)(x g 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==.其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】C有2组，故选C.9．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -=）的点的个数的估计值为A ．5000B ．6667C ．7500D ．7854【解析】1230101d |133S x x x ===⎰空白，则121133S S -=-=空白阴影＝，因此点落入阴影部分的概率为2313P ==，从而所求点的个数估计为21000066673⨯≈，故选B ．10．自由落体的运动速度v gt =(g 为常数)，则当[]1,2t ∈时，物体下落的距离为__________．【答案】32g 【解析】由定积分的物理意义可得，2221113d |22gt t gt g ==⎰． 11．已知()[](]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()21d f x x -=⎰__________．【答案】23+【解析】由题意可得()21222211131ππ4d 1d (1)d |2323x f x x x x x x x --⎛⎫=-+-=+-=+⎪⎝⎭⎰⎰⎰，答案为π423+.。

第52讲定积分与微积分的基本定理(解析版)

0 0∣ 2∣ 简单已测：424次正确率：91.8 %1. 定积∫ 2 2xdx 的值是（） A. 1B. 2C. 3D. 4考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、微积分基本定理答案：D 解析： 22 ∣2∫ 02xdx = x故选：D ．∣= 4， ∣⼀般已测：3296次正确率：69.9 % π 2. 计算∫ 2 (1 − cos x)dx =（） π 2A. π + 2B. π − 2C. πD. −2考点：利⽤定积分的⼀何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、定积分的⼀何意义答案：Bπ π 解析： ∫ 2π (1 − cos x)dx = (x − sin x)∣ 2 π= π − 2.选B.− ∣ − 2⼀般已测：4642次正确率：87.5 %3.若S 1 = ∫ 2 x 2dx ,S 2 = ∫ 2 1dx ,S 3 = ∫ 2 e x dx 则S 1,S 2,S 3的⼀⼀关系为( )1A. S 1<S 2<S 3B. S 2<S 1<S 3C. S 2<S 3<S 1D. S 3<S 2<S 11 x1考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的基本性质、定积分的常⽤结论答案：B解析：由于S 1 = ∫ 2 x 2dx = 1 x 3∣2 = 8 − 1 = 7,S 2 = ∫ 2 1 dx = lnx∣2 = ln2,1 3 1 3 3 3 1 x 1 S 3 = ∫2 e x dx = e x ∣2 = e 2 − e ,且ln2< 7 <e 2 − e ,所以S 2<S 1<S 3，故选B .1 1 3−⼀般已测：3883次正确率：75.3 %4. 若f (x) = x2+ 2 ∫ 1 f (x)dx,则∫ 1 f (x)dx =( )0 0−322633346A.−1B.1C.1D.1考点：微积分基本定理求定积分、运⽤定积分的相关性质解题知识点：被积函数的原函数、微积分基本定理答案：B解析：令∫1 f (x)dx = m(常数),则f (x) = x2 + 2m,所以m = ∫ 1 f (x)dx = ( 1 x3 + 2mx) ∣1= 1 + 2m,解得m = − 1 ,故选:B.0 3 ∣0 3中等已测：4750次正确率：71.2 %5.在如图所⽰平⾯直⻆坐标系中,正⽅形OABC的边⼀为1,曲线m是函数y = a(x − 1)2 + b图象位于正⽅形内的部分,直线AC恰好是函数y = a(x −1)2 + b在x = 0处的切线,现从正⽅形内任取⼀点P ,那么点P 取⾃阴影部分的概率等于（）112B.1C.1D.1考点：利⽤定积分的⼀何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：曲边梯形的⾯积、定积分的⼀何意义答案：D解析：∵ 正⽅形OABC的边⼀为1, ∴ S正方形OABC = 1,由函数y = a(x − 1)2 + b,得y′ = 2a(x − 1),则y′∣x=0 = −2a = −1,得a = 1 .⼀当x = 0时,y = a + b = 1,可得b = 1 ,∴ 曲线m的解析式为y = 1 (x −1)2 + 1 ,2 2∴ 阴影部分⾯积S = ∫ 1[ 1 (x −1)2 + 1 −(−x+ 1)]dx= ∫ 1 1 x2dx = 1 x3∣1 = 1 .0 2 2 0 2 6 0 6∴ 点P 取⾃阴影部分的概率等于1 .故选:D.A.5 x⼀般已测：4665次正确率：92.6 %6.已知a = ∫ e1 dx ,则⼀项式(1 − a )5的展开式中x −3的系数为（）e xA. 160B. 80C. −80D. −160考点：利⽤定积分的性质解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、微积分基本定理答案：C 解析：∵a = ∫ e 1dx = lne − ln 1 = 2, 1 x ee 5 2 5 rr∴(1 − a ) = (1 − ) 的展开式的通项公式为T r+1 = C 5(−2) x −r ,x x令−r = −3得,r = 3,∴展开式中x −3的系数为C 3(−2)3 = −80.⼀般已测：2948次正确率：92.5 %7. 实数a 使得复数a+i 是纯虚数,b = ∫ 1 xdx, c = ∫ 1 1 − x 2 dx 则a, b, c 的⼀⼀关系是（）1−i 0 0A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<b<a考点：⽤定义求定积分、⽤所求定积分的⼀何意义求定积分知识点：定积分的概念、复数的概念答案：C解析： a+i = (a+i)(1+i) = a−1+(a+1)i,它为纯虚数,所以a = 1, 1−i (1−i)(1+i) 2 b = ∫ 1 xdx = x 2 ∣1 = 1 , c = ∫ 11 − x2 dx ,表⽰单位圆的四分之⼀的⾯积为π ,所以b<c<a ,应选C .0 2 0 2 0 4中等已测：3726次正确率：56.3 %8. 若f (x) + ∫ 1 f (x) dx = x ，则∫ 1 f (x) dx =（）14 2A. 1B. 10000002C.1D.2考点：⽤定义求定积分、利⽤定积分的性质解题知识点：定积分的基本性质、基本积分公式答案：A解析：由f (x) + ∫ 1 f (x) dx = x，则f (x) = x −∫ 1 f (x) dx，0 0则∫ 1 f (x) dx = ∫ 1 (x − ∫ 1 f (x) dx) dx=∫1x d x−∫1[∫1f(x)d x]d x=1−∫1f(x)d x，∴ ∫ 1 f (x) dx = 1 −∫1 f (x) dx，0 2 0则∫ 1 f (x) dx = 1 ，0 4故选A．⼀般已测：2708次正确率：72.5 %9.⼀个⼀骑⼀以6⽶/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽⼀,当他离汽⼀25⽶时，交通信号灯由红变绿,汽⼀开始做变速直线⾏驶(汽⼀与⼀的前进⽅向相同),若汽⼀在时刻t的速度v(t) = t⽶/ 秒，那么此⼀（）．A.可在7秒内追上汽⼀B.不能追上汽⼀,但其间最近距离为16⽶C.不能追上汽⼀,但其间最近距离为14⽶D.不能追上汽⼀,但其间最近距离为7⽶考点：⼀次函数的单调性、利⽤定积分的⼀何意义解题知识点：微积分基本定理、基本积分公式答案：D解析：设该⼀骑⼀⾏驶距离和汽⼀⾏驶距离的差为S(t)，则S(t) = ∫ t (6 −t) dt = 6t −1 t2，0 2所以S(t)max = S(6) = 36 −18 = 18，所以该⼀不能追上汽⼀，但其间最近距离为7⽶⼀般已测：391次正确率：82.7 %10.甲、⼀两⼀从同⼀起点出发按同⼀⽅向⾏⼀，已知甲、⼀⾏⼀的速度与⾏⼀的时间分别为v甲= t，v乙= t2(如图)，当甲⼀⾏⼀的速度相同(不为零)时刻( )A.甲⼀两⼀再次相遇B.甲⼀两⼀加速度相同4 −1 −1 −1 0 −1 −1 −1 −1 −1 −1 C. 甲在⼀前⽅ D. ⼀在甲前⽅考点：微积分基本定理求定积分、运⽤定积分的相关性质解题知识点：定积分的物理意义、变速运动问题答案：C解析：由v 甲 = v 乙，得= t 2，解得t = 0(舍)，或t = 1．1 2 3 1 2由∫0 tdt = 3 t 2 ∣0 = 3 ． ∫ 1 t 2dt = 1 t 3∣1 = 1 ．0 3 0 3所以当甲⼀⾏⼀的速度相同(不为零)时刻甲在⼀前⽅．故选：C ．中等已测：1818次正确率：73.8 %11. 已知a<b ，若函数f (x), g(x)满⾜∫ b f (x)dx = ∫ b g(x)dx ，则称f (x), g(x)为区间[a, b]上的aa⼀组``等积分''函数，给出四组函数：①f (x) = 2∣x∣, g(x) = x + 1;②f (x) = sinx, g(x) = cosx ； ③f (x) =1 − x2 , g(x) = 3πx 2；④函数f (x), g(x)分别是定义在[−1, 1]上的奇函数且积分值存在. 其中为区间[−1, 1]上的“等积分”函数的组数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4考点：利⽤定积分的⼀何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的基本性质、微积分基本定理答案：C解析：本题是新定义问题，主要考查对定义的理解和定积分的计算.对于①，∫ 1 f (x) dx = ∫ 1 2 ∣x∣ dx = ∫ 0 2 (−x) dx + ∫ 12xdx = 2,⽽ ∫ 1 g (x) dx = ( 1 x 2+ x ) ∣1 = 2,所以①是⼀组“等积分”函数；−1 对于②，∫ 1 2 f (x)dx = ∫ 1−1 sinxdx = 0,⽽∫ 1 g (x) dx = ∫1c o s xd x = 2 s in 1=0,所以②不是⼀组`` 等积分''函数；对于③，函数f (x)的图像是以原点为圆⼼，1为半径的半圆，故∫ 1f (x) dx = ∫1 1 − x2 dx = π ,⽽∫ 1 g (x) dx = 1 πx 3∣1−1 −1 2= π ,所以③是⼀组``等积分''函数；−1 4 −1 2对于④，由于函数f (x), g(x)分别是定义在[−1, 1]上的奇函数且积分值存在，利⽤奇函数的图像关于原点对称和定积分的⼀何意义，可以求得函数的定积分∫ 1 f (x)dx = ∫ 1g (x) dx = 0,所以④是⼀组``等积分''函数.故选C .简单已测：3293次正确率：86.3 %πt12.∫ 2π(sinx + c osx)dx = .−22n × m m 2n14 4 m + π n−2 −2 π π −2 π 2 m n 考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、被积函数的原函数答案：2π π解析：∫ 2π (sinx + cosx)dx = (−cosx + sinx ) ∣ 2 π− 2 − 2= 1 + 1 = 2；故填2.⼀般已测：4543次正确率：94.5 %13. ∫ 2 ( 1 − (x − 1)2)dx= .考点：利⽤定积分的⼀何意义解题知识点：定积分的概念、定积分的⼀何意义答案：π 解析：函数y = 1 − (x − 1)2 即：(x − 1)2 + y 2 = 1(x≥1, y≥0)，表⽰以(1, 0)为圆⼼，1为半径的圆在x 轴上⽅横坐标从1到2的部分，即四分之⼀圆，结合定积分的⼀何意义可得∫ 2 ( 1 − (x − 1)2 )dx = 1 ×π×12 = π．1 4 4故答案为π ．⼀般已测：2478次正确率：65.4 %14. ⼀辆汽⼀在⾏驶中由于遇到紧急情况⽽刹⼀，以速度v(t) = 7 − 3t + 期间汽⼀继续⾏驶的距离是.考点：定积分在求⾯积中的应⽤、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的物理意义、基本积分公式答案：4 + 25ln525⾏驶⾄停⽌，在此1+t 解析：本题考查定积分的概念.令v(t) = 7 − 3t + 25 1+t = 0，化为3t 2 − 4t − 32 = 0,⼀t > 0,解得t = 4.汽⼀继续⾏驶的距离S = ∫ 4(7 − 3t + 25 )dt = (7t − 3 t 2+25ln(1+t))∣4 = 4+25ln5.1+t 2 0⼀般已测：4698次正确率：91.6 %15. 若正实数m, n 满⾜ 2 1 2 (x + 1 4 − x 2 )dx ,则log 2(m + 2n)的最⼀值为.考点：利⽤基本不等式求最值、利⽤公式求定积分知识点：定积分的基本性质、基本积分公式答案：2解析：由题意得∫ 2 (x 1 4 − x 2 )dx = 1 ∫ 2 4 − x 2 dx = 1 × 1 π × 22 = 2;即 2 + 1 = 2,所以 m + 2n = (m + 2n)( 1 + 1 ) = 2n + m + 2 ≥ 2 + 2 = 4(当且仅当m = 2n 时等号成m 2n m 2n ⼀).所以log 2 (m + 2n) ≥ log 2 4 = 2,即log 2(m + 2n)的最⼀值为2.简单已测：1192次正确率：87.8 %= ∫16.有⼀⾮均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x) = x3，棒⼀为2，则细棒的质量M = .考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分0 3知识点：定积分的物理意义、定积分的常⽤结论答案：4 解析：依题意有：∫ 2 x 3dx = x 4 ∣2 = 4.0 4 0⼀般已测：3051次正确率：65.2 %17. 在区间[0, 1]上给定曲线y = x 2.试在此区间内确定点t 的值,使图中的阴影部分的⾯积S 1与S 2之和最⼀,并求最⼀值．考点：导数在最⼀值、最⼀值问题中的应⽤、定积分在求⾯积中的应⽤知识点：利⽤导数求函数的最值、微积分基本定理答案：t = 1 时,S(t)最⼀,且最⼀值为12 4解析：S 1⾯积等于边⼀分别为t 与t 2的矩形⾯积去掉曲线y = x 2与x 轴、直线x = t 所围成的⾯积,即 S 1 = t ⋅ t 2 − ∫ tx 2dx = 2 t 3 .0 3 S 2的⾯积等于曲线y = x 2与x 轴,x = t ,x = 1围成的⾯积去掉矩形边⼀分别为t 2,1 −t ⾯积,即S 2 = ∫ 1 x 2dx − t 2(1 − t) = 2 t 3 − t 2 + 1 .t 3 3 所以阴影部分的⾯积S(t) = S 1 + S 2 = 4 t 3 − t 2 + 1 (0 ≤ t ≤ 1)．3 3 令S ′(t) = 4t 2 − 2t = 4t(t − 1 ) = 0,得t = 0或t =1 .2 2 t = 0时,S(t) = 1 ；t = 1 时,S(t) = 1 ；t = 1时,S(t) = 2. 3 2 4 3所以当t = 1 时,S(t)最⼀,且最⼀值为1.2 4 ⼀般已测：401次正确率：92.8 %18. 已知F (x) = ∫ x (t 2 + 2t − 8)dt, (x>0)．(1) 求F (x)的单调区间；(2) 求函数F (x)在[1, 3]上的最值．考点：利⽤导数研究函数的单调性、利⽤导数求闭区间上函数的最值知识点：函数单调性和导数的关系、利⽤导数求函数的最值(1) 答案：单调调增区间是(2, +∞),单调递减区间是(0, 2)．解析：依题意得,F (x) = ∫ x (t 2 + 2t − 8)dt = ( 1 t 3 + t 2 − 8t)∣x = 1 x 3 + x 2 − 8x ,0 定义域是(0, +∞)．(1)F ′(x) = x 2 + 2x − 8,3 0 3令F ′(x)>0,得x>2或x< − 4；令F ′(x)<0,得−4<x<2,且函数定义域是(0, +∞),∴函数F (x)的单调增区间是(2, +∞),单调递减区间是(0, 2)．(2) 答案：最⼀值是F (3) = −6,最⼀值是F (2) = − 28 ．解析：由(1)知函数F (x)在区间(0, 2)上为减函数,区间(2, 3)上为增函数, 且F (1) = − 20 , F (2) = − 28 , F (3) = −6,3 3∴F (x)在[1, 3]上的最⼀值是F (3) = −6,最⼀值是F (2) = − 28 ．32 3 3中等已测：3275次正确率：52.7 %19. 已知⼀次函数f (x) = ax 2 + bx + c ，直线l 1 : x = 2，直线l 2 : y = −t 2 + 8t (其中 0 ≤ t ≤ 2，t 为常数)，若直线l 1,l 2与函数f (x)的图象以及l 1,l 2、y 轴与函数f (x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所⽰.(1) 求a ,b ,c 的值；(2) 求阴影⾯积S 关于t 的函数S(t)的解析式.考点：求函数解析式的常⽤⽅法、利⽤定积分的⼀何意义解题知识点：⼀次函数的解析式、⼀次函数的图象(1) 答案：a = −1, b = 8, c = 0解析：由图形可知⼀次函数的图象过点(0, 0)，(8, 0)，并且f (x)的最⼀值为16，⎧ c = 0, ⎧ a = −1 则 ⎨ a ⋅ 82 + b ⋅ 8 + c = 0 解得⎨ b = 8 ，4ac−b 2 4a = 16 ⎩ c = 0∴ 函数f (x)的解析式为f (x) = −x 2 + 8x .(2) 答案：S(t) = − 4 t 3 + 10t 2 − 16t + 40解析：由{ 3 y = −t + 8t 2 3 得x2− 8x − t(t − 8) = 0,y = −x + 8x ∴ x 1 = t ,x 2 = 8 − t ,∵ 0 ≤ t ≤ 2,∴ 直线l 2 与f (x)的图象的交点坐标为(t, −t 2 + 8t)由定积分的⼀何意义知： S(t) = ∫ t [(−t 2 + 8t ) − (−x 2 + 8x )] dx + ∫ 2[(−x 2 + 8x) − (−t 2 + 8t)]dx0 3 t 3 t 2= [(−t 2+ 8t)x − (− x + 4x 2)]∣0 + [(− x + 4x 2) − (−t 2 + 8t)x]∣t= − 4 t 3 + 10t 2 − 16t + 40 .3 3 ⎩。