安徽省安庆市第二中学1819学年度高二下学期开学考试——数学文数学文

安徽省安庆市第二中学 2018—2019学年度下学期开学考试
高二数学文试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。

1、福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )（下面摘取了随机数表第1行至第2行）
49 54 43 54 80 27 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A.09
B.16
C.02
D.21
2、根据下图给出的2011年至2016年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图，以下结论不正确的是( )
A ．逐年比较，2014年是销售额最多的一年
B ．这几年的利润不是逐年提高（利润为销售额减去总成本）
C ．2011年至2012年是销售额增长最快的一年
D ．2014年以来的销售额与年份正相关
3.用秦九韶算法求多项式6
54323567983512)(x x x x x x x f ++++-+=当时的值是，的值为（ ） A.-83
B.220
C.284
D.-840
4.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面 积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确 到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术” 思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为( )(参考数据：sin15°≈0.2588， sin7.5°≈0.1305)
A.6
B.12 C .24 D .48
5. 已知e 为自然对数的底数，则曲线在点（1，e ）处的切线方程为（ ） A.
B.
C.x x x e x xe e y )1(+=+='
D.
6．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间(142,153)上的运动员人数是( )
13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9
14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0 1 2 2 3 3 3 A.2
B.3
C.4
D.3或4
9.已知圆F 1：，定点F 2（2，0），A 是圆F 1上的一动点，线段F 2A 的垂直平分线交半径F 1A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是（ ）
10.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（ ） A.1
B.2
C.3
D.4
11.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A.)1()2()2()1(0f f f f -<'<'<
B. )2()1()2()1(0f f f f '-<<'<
C. )1()1()2()2(0f f f f '<-<'<
D. )1()2()1()2(0f f f f -<'<'<
12.已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右两个焦点，P 为椭圆上的一
点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的离心率，则它的渐近线方程为 ．
14. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分
关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分之外的概率是 ．
15. 已知命题命题0)1)((:≤---a x a x q ，若是的必要不充分条件，则实数a 的取值范围
是 ．
16. 函数的图象在点处的切线方程是，则 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．本小题满分10分:给定两个命题P ：对任意实数x 都有恒成立；Q ：关于x 的方程有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．
18.本小题满分12分：孝感天气预报的开播，让人们对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，人们对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来．某研究机构对春节期间燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据．
（1）试根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；
（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测春节期间燃放烟花爆竹的天数为9时的雾霾天数．
（附：对于线性回归方程，其中
19.本小题满分12分：某电视台为宣传本市，随机对本市内岁的人群抽取了人，回答问题“本市内著名旅游景点有哪些” ，统计结果如图表所示.
（1）分别求出的值；
（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数；
（3）若第1组回答正确的人员中，有2名女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中1名女性的概率.
20.本小题满分12分：已知函数的图像在处的切线为，求与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．
21. 本小题满分12分：已知抛物线的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，|MF |＝5． （1）求抛物线的方程；
（2）设为过点(4,0)的任意一条直线，若交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆必过原点．
：的焦点F也是椭圆C2：的一个
22．本小题满分12分：已知抛物线C
焦点，C1与C2的公共弦的长为26．过点F的直线与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．
（1）求C2的方程；
（2）若|AC|＝|BD|，求直线的斜率．
安庆二中2018-2019学年度第二学期高二年级开学检测
文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：
题号01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 答案 D D A C C A B B B D C D
二、填空题：
13.. 14. 15. 16. 9
三、解答题：
17.【解析】命题P：对任意实数x都有恒成立，则“a＝0”，或“a>0且”．解得0≤a<4．
命题Q：关于x的方程有实数根，则，得．
因为P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则P，Q有且仅有一个为真命题，
故为真命题，或为真命题，则
04
1
4
a a
a
<≥
⎧
⎪
⎨
≤
⎪⎩
或
或
04
1
4
a
a
≤<
⎧
⎪
⎨
>
⎪⎩
，
解得a<0或．所以实数a的取值范围是．
18.【解析】解：（1）==6，==4，
x i y i=4×2+5×3+7×5+8×6=106，x i2=42+52+72+82=154，
===1，=-=4-6=-2，
所以y关于x的线性回归方程：=x-2；
（2）令x=9，解得=9-2=7，
故春节期间燃放烟花爆竹的天数为9时的雾霾天数7天．
19.【解析】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知n100，
a＝100×（0.010×10）×0.5＝5，
b＝100×（0.030×10）×9＝27，
x0.9，
y0.2．
(2) 设中位数为x，由频率分布直方图可知x∈[35，45），
且有0.010×10+0.020×10+（x ﹣35）×0.030＝05， 解得x ≈41.67，
故估计这组数据的中位数为41.67， 估计这组数据的平均数为：
20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10+50×0.025×10+60×0.030×10＝41.5．
(3)由(1)知,则第一组中回答正确的人员中有3名男性,2名女性.男性分别记为,女性分别记为. 先从5人中随机抽取2人,共有,共10个基本事件 . 记“至少抽中一名女性”为事件,共有共7个事件. 则.
20．【解析】解：∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a .又f (1)＝1a －1，∴f (x )在x ＝1处的切线l 的方程是 y －1
a ＋1
＝2a (x －1)，∴l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－1a －1·⎪⎪⎪⎪a ＋12＝14⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2≥14×(2＋2)＝1，当且仅当a ＝1
a ，即a ＝1时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.
21．【解析】（1）由题意得|MF |＝4＋＝5，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ． （2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝4．由，得y ＝±4． ∴|AB |＝8，∴＝4，∴以AB 为直径的圆过原点． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)． 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由，得k 2x 2－(4＋8k 2)x ＋16k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝，x 1x 2＝16．
2212121212()()[()]
44416y y k x x k x x x x =--=-++
222
222
481632[16416](32)16k k k k k k +-=-⨯+=-=-，
∴．又12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴OA ⊥OB ， ∴以AB 为直径的圆必过原点． 综上可知，以AB 为直径的圆必过原点．
22．【解析】（1）由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以； 又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为：x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(，)，∴＋＝1 ②； 联立①②得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为＋＝1．
（2）如图，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)、D (x 4，y 4)，
因与同向，且|AC |＝|BD |，
所以=，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 3－x 4＝x 1－x 2， 于是2234341212()(4)4x x x x x x x x +-=+-　③
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，由，得x 2－4kx －4＝0， 由x 1、x 2是这个方程的两根，∴x 1＋x 2＝4k ，
由22118
9y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3、x 4是这个方程的两根，
x 3＋x 4＝，
将④、⑤代入③，得16(k 2＋1)＝＋． 即16(k 2＋1)＝
()
()
222
2169198k k ⨯++，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝，
即直线l 的斜率为．。