4-1 谓词逻辑的基本概念

如: ∀x 表示对个体域中所有的x ∀xF(x) 表示个体域里的所有个体都有性质F
存在量词∃: 表示存在, 有的, 至少有一个等
如: ∃x 表示在个体域中存在x ∃xF(x)表示存在着个体域中的个体具有性质F
在一阶逻辑中将下面命题符号化
（1） 每个人都有一双手。 （2） 有的人很聪明。 第一种情况——考虑个体域D为人类集合。 (1) 符号化为：∀xF(x) ， 其中F(x) ：x都有一双手。 这个命题是真命题。 (2) 符号化为 ∃xF(x)， 其中F(x) ：x很聪明。 这个命题也是真命题。
直至归结出矛盾式□，证明结束。
归结推理法 ——举例
前提：¬(P∧Q)∨R, R→S, ¬S, P 结论：¬Q 证明: ① Q ② R→S ③ ¬R∨S ④ ¬S ⑤ ¬R ⑥ ¬(P∧Q)∨R ⑦ ¬(P∧Q) ⑧ ¬P∨¬Q ⑨ ¬P ⑩P ⑾□ 结论否定引入 前提引入 ②置换 前提引入 ③④归结 前提引入 ⑤⑥归结 ⑦置换 ①⑧归结 前提引入 ⑨⑩归结
(2) 2是素数且是偶数。
在命题逻辑中, 设 p: 2是素数, q: 2是偶数 命题符号化为： p ∧ q, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设F(x)：x是素数。 G(x)：x是偶数。 a：2，
命题符号化为：
F(a) ∧ G(a)
将下列命题用谓词符号化
(3)如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明比赵 亮高。 解：在命题逻辑中， 设：p：张明比李民高，q：李民比赵亮高 r：张明比赵亮高 则命题符号为： p ∧ q →r 在一阶逻辑中，
4.2.3 约束变元和自由变元
定义
在公式(∀x)A和(∃x)A中，称x为指导变元，称A为辖域. 在∀x和∃x的辖域中，
x的所有出现都称为约束出现， A中不是约束出现的其他变元均称为是自由变元。
如：在公式 (∀x)(F(x,y)→G(x,z)) 中
A=(F(x,y)→G(x,z))为∀x的辖域， x是约束变元， y与z均为自由变元。
换名规则
注意：

例如： (∃x) P(x)∨R(x,y) 改名为： (∃z) P(z)∨R(x,y) 或(∃x) P(x)∨R(z,y)
自由变元的代入规则
代替规则
对某自由出现的个体变项用与原公式中所有个体变 项符号不同的变项符号去代替，且处处代替。 用以代入的变项与原公式中所有变项名不能相同 利用代替规则： (∃x)F(x) ∧ G(z, y) 对Q(x, y)中自由出现的x用t代入，y用s代入则：
如(∀x)[P(x)∧ (∃z) Q(x, z) → (∃y)R (x, y)] ∨Q(x, y)
在∀x中，x、y、z是约束变元， Q(x, y)中x，y是自由变元。
闭式: 不含自由变元的公式.
约束变元的换名规则
如：(∃x)P(x)∨R(x,y)
(∃x)的辖域为P(x)，x是约束变元 R(x,y)中x, y 都是自由变元 x既可以是约束的、又可以是自由的，容易混淆。 将量词辖域中的某个约束出现的个体变项及对应的指导 变项改成公式中未曾出现的个体变项符号，公式中的其 余部分不变。 改名时一定要更改为辖域中没有出现的变元名称。
个体域D—— 个体变项的变化范围
有限个体域：如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域：如 N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成（默认的个体域）
谓词
考察下面的三个原子命题：
⑴ 李玲是共青团员。 ⑵ 张华比李红高。 ⑶ 小高坐在小王和小刘的中间。
谓词 : 用于刻划个体性质或各个个体的关系，常用大写英文 字母表示。 谓词常项： 如：F: …是人，则 F(a)：a是人 谓词变项： 如：F: …具有性质F，则F(x)：x具有性质F 如：可用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：…是共青团员。 G：…比…高。 H：…坐在…和…的中间。
第2章 命题逻辑的等值和推理演算
2.1 等值定理 2.2 等值公式 2.3 命题公式与真值表的关系 2.4 联结词的完备集 2.5 对偶式 2.6 范式 2.7 推理形式 2.8 基本的推理公式 2.9 推理演算 2.10 归结推理法 讨论推理演算 讨论等值演算
常用基本推理规则
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 代入规则 (4) 置换规则 (5)假言推理(分离规则) P ∧(P →Q) ⇒ Q (6) 附加规则 P ⇒ P∨Q (7) 化简规则 P∧Q ⇒ P (8) 拒取式规则 ¬Q∧ (P→Q) (9) 假言三段论规则 (P→Q)∧(Q→R) ⇒P→R (10) 析取三段论规则 ¬P ∧ (P ∨ Q) ⇒ Q
证明A→B是重言式的归结证明过程
建立子句集S
将A∧¬B化成合取范式，如 P ∧ (P∨R) ∧ (¬P∨¬Q) ∧ (¬P∨R) 的形式，进而将所有句子构成子句集合： S={P，P∨R，¬P∨¬R， ¬P∨R}
对S作归结
对S的子句消去互补对： 子句：P∨R，¬P∨¬Q 作归结，得 归结式：R∨¬Q 并将此归结式仍放入S中，重复此过程
P37: 2
分别由真值表的T和F来列到A、B、C的表达式 P F F T T Q F T F T A T T T F B T F F T C T F F F
A = (¬P∧¬Q) ∨ (¬P∧Q) ∨ (P∧¬Q) = ¬P ∨¬Q B = (¬P∧¬Q) ∨ (P∧Q) = (P ∨¬Q) ∧ (¬P ∨Q ) C = ¬P∧¬Q = (P∨¬Q) ∧ (¬P∨Q) ∧ (¬P ∨¬Q)
谓词的分类 一元谓词: 刻划一个个体的性质，如谓词F(x) 多元谓词: 刻划两个或以上个体间的关系，
如 L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x≥y，…
如谓词G(x,y)、H(x,y,z)
0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题 变项
4.2 函数和量词
函数
谓词
考察下面的三个原子命题：
⑴ 李玲是共青团员。 G(b,c) ⑵ 张华比李红高。 ⑶ 小高坐在小王和小刘的中间。 F：…是共青团员。 G：…比…高。 H：…坐在…和…的中间。 F(a) H(d,e,f )
a：李玲， b：张华， c：李红， d：小高， e：小王， f： 小刘
如：可用F，G，H表示上面三个命题中谓词：
个体
考察下面的三个原子命题：
⑴ 李玲是共青团员。 ⑵ 张华比李红高。 ⑶ 小高坐在小王和小刘的中间。
个体的分类
个体常项：表示具体或特定个体的标识符
如 a：李玲，b：张华，c：李红，d：小高，e：小王，f：小刘
个体变项：表示任意个体或泛指某类个体的标识符
如：偶数、生物，用x, y, z表示
设 H(x, y)：x比y高。 a：张明； b：李民；c：赵亮， 则命题符号化为：
H(a, b) ∧ H(b, c) → H(a, c)
4.2.2 量词
（1） 每个人都有一双手。 （2） 有的人很聪明。
引入量词表示个体域中所有个体或部分个 体具有某种性质。
全Байду номын сангаас量词∀: 表示任意的, 所有的, 一切的等
在一阶逻辑中将下面命题符号化
（1） 每个人都有一双手。 （2） 有的人很聪明。 第二种情况，考虑个体域D为全总个体域。 引出一个新的谓词，将人分离出来:
M(x)：x是人。 称这个谓词为特性谓词。
在全总个体域的情况下，以上两命题可叙述如下
(1)对所有个体而言，如果它是人，则它有一双手。 (2)存在着个体，它是人并且很聪明。 则（1）符号化为∀x( (M(x)→F(x) ) （2）符号化为∃x ( (M(x)∧F(x) )，
P13：5
形式化下列自然语言： (5)他个子高或者他个子矮而很胖。
设P：他个子高， Q：他很胖
(P∨¬P) ∧Q (7)如果水是清的，那么或者张三能见到池底 或者他是个近视眼。 不可兼或
设P：水是清的， Q：张三能见到池底， R：张三是个近视眼
P → ((Q∧¬R)∨(¬Q∧R)) P → (Q ∀ R)
作业讲评1
P12：1
判断下列语句是否是命题，并对命题确定 其真值。
(8) 假如明天是星期日，那么学校放假。 是命题 设 P：明天是星期日。Q：学校放假。 命题表示为： P→Q 命题真值如右表所示:
P12：2
设 P：今天很冷，Q：正在下雪 (1) 将下列命题符号化：
如果正在下雪，那么今天很冷。
是重要的符号逻辑系统 它是程序设计理论、语义形式化及程序逻辑
研究的重要基础，是程序验证、程序分析、 综合及自动生成、定理证明和知识表示的有 力工具。
4.1 谓词和个体词
在谓词演算中，将原子命题分解为谓词 和个体两部分。 如： 张三是人。
个体 谓词
个体—— 可以独立存在的东西，它可以是一个具体的事 物，也可以是一个抽象的概念。 谓词—— 用于刻划个体的性质和个体之间的关系
P37：1
证明下列等值公式： (1) P→(Q∧R) = (P→Q) ∧(P →R) 方法：真值表法和等值演算法 P →(Q ∧ R) = ¬P ∨ (Q ∧ R) =(¬P ∨ Q) ∧(¬P ∨ R) = (P→Q) ∧(P →R)
分配律 A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C) P→Q = ¬P ∨ Q
它是某个体域到另一个体域的映射，由一个谓词 字母和n个个体变项组成的表达式：F(x, y, …, z)
注意：
F(x, y, …, z)不是命题，它的真值无法确定，要 想使它成为命题，必须指定某一谓词常项代替F， 同时还要用n个个体常项代替n个个体变项。 如：L(x, y) 是一个二元谓词，它不是命题。
当令L表示“小于”之后，L(x, y) 还不是命题。