椭圆题型总结(较难)
(完整版)高考椭圆题型总结
椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙： P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( )A 。
充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。
充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ）A 。
椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动点Q的轨迹是( ）A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点，且a MF MF 221=+，判断动点M 的轨迹。
5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。
(二) 标准方程求参数范围1. 若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围。
（3，4）U(4，5） 2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ） A.充分而不必要条件 B 。
必要不充分条件 C 。
充要条件 D 。
既不充分又不必要条件3. 已知方程112522=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是 。
4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程231y x -=所表示的曲线是 .6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围. 7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。
椭圆题型及方法总结
椭圆题型及方法总结
椭圆题型及方法总结：
1. 求椭圆的标准方程：通过给定的信息，如焦点、顶点、直径长度等，使用定义式以及椭圆的性质，将椭圆的方程转化为标准方程：$(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1$，其中$(h,k)$为椭圆的中心坐标。
2. 求椭圆的焦点坐标：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的中心坐标$(h,k)$，然后使用椭圆的性质，计算出焦点的坐标。
3. 求椭圆的顶点坐标：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的中心坐标$(h,k)$，然后使用椭圆的性质，计算出顶点的坐标。
4. 求椭圆的参数方程：已知椭圆的方程，可以通过给定的信息，如焦点、顶点、直径长度等，使用定义式以及椭圆的性质，将椭圆的方程转化为参数方程：$x = h + a \cos t$，$y = k + b \sin t$，其中$(h,k)$为椭圆的中心坐标，$a$和$b$分别为椭圆的半
长轴和半短轴长度。
5. 求椭圆的离心率：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的半长轴长度$a$和半短轴长度$b$，然后使用离心率的定义式计算出椭圆的离心率：$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$。
6. 求椭圆的面积和周长：已知椭圆的方程，可以通过给定的信
息，如半长轴长度$a$和半短轴长度$b$，使用椭圆的性质计算出椭圆的面积和周长。
以上是常见的椭圆题型及解题方法的总结，具体问题具体分析，有时需要结合其他几何知识来解决问题。
高中数学椭圆大题题型归纳总结(145分推荐)
高中数学椭圆大题题型归纳总结（145分推荐）一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知椭圆M：x29+y2b2=1(b>0)的一个焦点为(2,0)，设椭圆N的焦点恰为椭圆M短轴上的顶点，且椭圆N过点．(1)求N的方程;(2)若直线与椭圆N交于A，B两点，求|AB|．2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为√32，过点P(1,0)作直线交椭圆于点C，D(与A，B均不重合).当点D与椭圆E的上顶点重合时，|AD|=√5．(1)求椭圆E的方程(2)设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为√22，直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M,N．(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为√103时，求k的值．4.已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，焦距为4，且C过点P(√3,1)．(1)求C的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．5.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．6. 若椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2=1(a >b >0)的顶点到直线l 1：y =x 的距离分别为√2和√22． (1)求椭圆C 的标准方程(2)设平行于l 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求直线l 的方程．7. 设椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的上顶点为点B ，点A 为椭圆C 上一点，且3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． (1)求椭圆C 的离心率；(2)若b =1，过点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．8. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为√2：1． (Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)若不与坐标轴平行的直线l 与椭圆相切于点P ，O 为坐标原点，求直线OP 与直线l的斜率之积．9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为2√2．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆C交于不同的A、B两点，求△AOB(O为坐标原点)的面积．10.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为√22.直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．11.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为√10，过原点O作直线OP的垂线l交椭圆C于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP的面积．13. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且经过点H(−2,1)．(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P(−3,0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线HA ，HB 分别交x 轴于M ，N 两点，点G(−2,0)，若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．14. 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，O 为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A 、B ，点D(0,2)，椭圆C 的离心率为√22，且∠OAB =∠ODA ．(1)求椭圆C 的方程；(2)不与x 轴平行的直线l 与椭圆C 交于不同点P 、Q ，已知点P 关于x 轴对称点为点M ，点Q 关于原点的对称点为点N ，且D 、M 、N 三点共线，求证：直线l 过定点．15. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为2√2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =x −1与椭圆C 交于不同的A 、B 两点，求△AOB(O 为坐标原点)的面积．16. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，焦距为2． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上两点，O 为坐标原点，k OA ⋅k OB =−12.点D 在线段AB 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接OD 并延长交椭圆C 于E ，试问|OE||OD|是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．17. 设椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35． (1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．18. 已知F(c,0)是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =x −c 交椭圆C 于M ，N 两点，交y 轴于点A ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，α1+β1=−6． (1)求椭圆C 的离心率e ；(2)B 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求α22+β22的值．19. 已知椭圆C ：x 24+y 2=1，F 为右焦点，圆O ：x 2+y 2=1，P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 的两侧． (1)求椭圆C 的焦距及离心率． (2)求四边形OFPT 面积的最大值．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆E上的一动点，且|PF1|的最小值是1，当PF1垂直长轴时，|PF1|=32．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在斜率为−1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆E相交于C、D两点，且|CD|⋅|AB|=24√27若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21.已知A，B为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，P是椭圆C上一点(异于A，B)，满足k PA⋅k PB=−49，且a=6.斜率为−1的直线l交椭圆C于S，T两点，且|ST|=4．(1)求椭圆C的方程及离心率．(2)如图，设直线l1:y=x+m与椭圆C交于M，N两点，求四边形MSNT面积的最大值．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长等于焦距，且经过点P(0,1)．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线与E交于A、B两点，线段AB的中点为C，D是y轴上一点，且CD⊥AB.求证：线段CD的中点在x轴上．23.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点分别为A(−2,0),B(2,0)，离心率为√32．(1)求椭圆C的方程；(2)P为椭圆C上异于A,B的动点，直线AP,PB分别交直线x=−6于M,N两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q．(ⅰ)求证：直线AP,AN的斜率之积为定值；(ⅰ)判断M,B,Q三点是否共线，并说明理由．24. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是√22，点F 是椭圆E 的左焦点，点A 为椭圆E 的右顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且S ⅰABF =√2+12．(1)求椭圆E 的方程；(2)设点P(m,0)为椭圆E 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为ba 的直线l 交椭圆E 于S ，T 两点，证明：|PS|2+|PT|2为定值．25. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2√23，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的上端点为P ，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−7． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点Q(1,0)且不与y 轴垂直的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，是否存在点T(t,0)，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．26.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M(点P位于x轴上方)两点，且△OPM(O为坐标原点)的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于A，B(A,B异于点P)两点，且直线PA与PB的斜率之积为−94，求点P到直线l距离的最大值．27.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√22，且点(2√33,−√33)在C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|⋅|BF1|=103，求|AB|．28.已知椭圆C：x2m2+y2=1(m>1)的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l 交椭圆C于A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中y1>0，y2<0，△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G1、G2．(Ⅰ)若G1坐标为(13,16)，求椭圆C的方程；(Ⅱ)设△BF1G1和△ABG2的面积为S1和S2，且43≤S1S2≤53，求实数m的取值范围．29.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A，B分别是它的左､右顶点，F是它的右焦点，过点F作直线与C交于P，Q(异于A，B)两点，当PQ⊥x轴时，△APQ的面积为92.(Ⅰ)求C的标准方程；(Ⅱ)设直线AP与直线BQ交于点M，求证：点M在定直线上．30.如图，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1)，且离心率为√22．(1)求椭圆E的方程；(2)若经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．答案和解析1.【答案】解：(1)由椭圆M ：x 29+y 2b 2=1(b >0)的一个焦点为(2,0)，得c =2，且b 2=a 2−c 2=9−4=5， ∴椭圆N 的焦点为(0,−√5)，(0,√5). 又椭圆N 过点(√22,√3)，∴椭圆N 的长轴长为(√2(√2=2√6．∴椭圆N 的半长轴长为√6，半焦距为√5，则短半轴长为1． ∴N 的方程为x 2+y 26=1；(2)联立{y =x −2x 2+y 26=1，得7x 2−4x −2=0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=47,x 1x 2=−27，∴|AB|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(47)2−4×(−27)=127．【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，属于中档题．(1)由已知可得椭圆N 的焦点坐标，再由椭圆定义求得椭圆N 的长半轴长，结合隐含条件求得短半轴长，则椭圆N 的方程可求；(2)联立直线方程与椭圆N 的方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求|AB|．2.【答案】解：(1)当点D 与椭圆E 的上顶点重合时，有D (0,b )，所以|AD |=√a 2+b 2=√5.① 又因为离心率e =√a 2−b 2a=√32，② 由①②解得a =2，b =1，所以E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意，易知直线CD 的斜率不为0，所以设直线CD 的方程为x =my +1，联立方程组{x 24+y 2=1,x =my +1,得(m 2+4)y 2+2my −3=0，显然Δ>0，设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则y 1+y 2=−2mm 2+4，y 1y 2=−3m 2+4． 由(1)得A (−2,0)，B (2,0)，所以k 1=y 2x2+2，k 2=y 1x1−2，k 1k 2=y 2(x 1−2)y 1(x 2+2)=y 2(my 1−1)y 1(my 2+3)=my 1y 2−y 2my 1y 2+3y 1=my 1y 2−(y 1+y 2)+y 1my 1y 2+3y 1=−mm 2+4+y 1−3mm 2+4+3y 1=13为定值．【解析】本题考查椭圆方程及几何意义，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于中档题． (1)解方程√a 2+b 2=√5.①√a 2−b 2a=√32，②即得解； (2)设直线CD 的方程为x =my +1，联立方程组{x 24+y 2=1,x =my +1,得(m 2+4)y 2+2my −3=0，得到韦达定理，再利用韦达定理化简k 1k 2即得证．3.【答案】解：(1)∵椭圆一个顶点为A (2,0)，离心率为√22， ∴{a =2c a =√22a 2=b 2+c 2,∴b =√2, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(2)联立直线y =k(x −1)与椭圆C 的方程， 消去y 整理得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=4k 21+2k2，x 1x 2=2k 2−41+2k 2，=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2，∵A(2,0)到直线y =k(x −1)的距离为|k|√1+k 2，∴△AMN 的面积S =12·2√(1+k2)(4+6k 2)1+2k 2·|k|√1+k2=|k|√4+6k 21+2k 2，∵△AMN 的面积为√103，∴|k|√4+6k 21+2k 2=√103， 解得，经检验Δ>0，∴k =±1．【解析】本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，三角形面积等，属于中档题．(1)根据椭圆一个顶点为A (2,0)，离心率为√22，可建立方程组，从而可求椭圆C 的方程；(2)直线y =k(x −1)与椭圆C 联立，消元可得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0，从而可求|MN|，A(2,0)到直线y =k(x −1)的距离，利用△AMN 的面积为√103，可求k 的值．4.【答案】解：(1)由题意可得{2c =43a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=6或2(舍)，b 2=2，故椭圆C 的方程为x 26+y 22=1．(2)由题意知，当l 1，l 2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN 为x 轴； 当l 1，l 2的斜率都存在且不为0时， 设l 1：x =my −2(m ≠0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x =my −2x 26+y 22=1，化简可得(m 2+3)y 2−4my −2=0且Δ>0， 所以y 1+y 2=4m m 2+3，y 1y 2=−2m 2+3， 则x 1+x 2=m(y 1+y 2)−4=−12m 2+3，∴M (−6m 2+3,2mm 2+3)， 同理由{x =−1my −2x 26+y 22=1，可得N (−6m 23m 2+1,−2m 3m 2+1)，则k MN =2m m 2+3+2m3m 2+1−6m 2+3+6m 23m 2+1=4m3(m 2−1)，所以直线MN 的方程为y −2mm 2+3=4m3(m 2−1)(x +6m 2+3)，化简得y =4m3(m 2−1)x +2mm 2−1=4m 3(m 2−1)(x +32)，故直线MN 恒过定点(−32,0). 综上，直线MN 过定点(−32,0)．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程 ，考查圆锥曲线中的定点问题，训练了直线与圆锥曲线位置关系的应用(1)由已知条件得到关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；(2)当l 1，l 2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN 为x 轴；当l 1，l 2的斜率都存在且不为0时， 设l 1：x =my −2(m ≠0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，求出M 坐标，用−1k 代换k ，得到点N 的坐标，进一步得到MN 所在直线方程，得到直线MN 过定点．5.【答案】解：(1)因为F 为C 1的焦点且AB ⊥x 轴，可得F(c,0)，|AB|=2b 2a，设C 2的标准方程为y 2=2px(p >0)，因为F为C2的焦点且CD⊥x轴，所以F(p2,0)，|CD|=2p，因为|CD|=43|AB|，C1，C2的焦点重合，所以{c=p22p=43⋅2b2a，消去p，可得4c=8b23a，所以3ac=2b2，所以3ac=2a2−2c2，设C1的离心率为e，由e=ca，则2e2+3e−2=0，解得e=12(−2舍去)，故C 1的离心率为12；(2)由(1)可得a=2c，b=√3c，p=2c，所以C1：x24c2+y23c2=1，C2：y2=4cx，联立两曲线方程，消去y，可得3x2+16cx−12c2=0，所以(3x−2c)(x+6c)=0，解得x=23c或x=−6c(舍去)，从而|MF|=x+p2=23c+c=53c=5，解得c=3，所以C1和C2的标准方程分别为x236+y227=1，y2=12x．【解析】【试题解析】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．(1)由F为C1的焦点且AB⊥x轴，F为C2的焦点且CD⊥x轴，分别求得F的坐标和|AB|，|CD|，由已知条件可得p，c，a，b的方程，消去p，结合a，b，c和e的关系，解方程可得e的值；(2)由(1)用c表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得M的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得c，进而得到所求曲线方程．6.【答案】解：(1)由直线l1：y=x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为√22a，短轴端点到直线l1的距离为√22b，所以√22a=√2，√22b=√22，解得a=2，b=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，联立{y =x +t x 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，则△=64t 2−16×5(t 2−1)>0，解得−√5<t <√5， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8t5，x 1x 2=4t 2−45， 故y 1y 2=(x 1+t)(x 2+t)=(x 1+x 2)t +x 1x 2+t 2=t 2−45，因为OA ⊥OB ，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45+t 2−45=0． 解得t =±2√105，满足−√5<t <√5且t ≠0，所以直线l 的方程为y =x +2√105或y =x −2√105．【解析】(1)由长轴端点到直线l 1的距离为√22a ，短轴端点到直线l 1的距离为√22b ，解得a =2，b =1，即可得椭圆C 的标准方程． (2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，联立{y =x +tx 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，由即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45+t 2−45=0.解得t =±2√105，即可． 本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．7.【答案】解：(1)设A(x 0,y 0)，B(0,b)，F 1(−c,0)，由3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得{3x 0+4c =03y 0+b =0, {x 0=−4c3y 0=−b 3，即A(−43c,−b 3)， 又∵A(x 0,y 0)在椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1上，∴(−43c)a 22+(−13b)2b 2=1，得ca =√22，即椭圆C 的离心率为e =√22；(2)由(1)知，e =√22，又∵b =1，a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，当线段MN 在x 轴上时，中点为坐标原点(0,0)， 当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 代入椭圆方程x 22+y 2=1中，得(m 2+2)y 2+2my −1=0，∵点F 2在椭圆内部， ∴△>0，y 1+y 2=−2mm 2+2，则x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， ∴点P(x,y)的坐标满足x =2m 2+2，y =−mm 2+2， 消去m 得，x 2+2y 2−x =0(x ≠0)，综上所述，点P 的轨迹方程为x 2+2y 2−x =0．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质以及椭圆方程，考查动点的轨迹方程，是中档题．(1)设A(x 0,y 0)，B(0,b)，F 1(−c,0)，通过3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 求出A 的坐标，转化求解离心率；(2)求出椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，当线段MN 在x 轴上时，中点为坐标原点(0,0)，当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，代入椭圆方程x 22+y 2=1中，得(m 2+2)y 2+2my −1=0，通过韦达定理，转化求解轨迹方程即可．8.【答案】解：(I)已知椭圆中2c =2，且2a2b =√2，又a 2=b 2+c 2，解得a =√2，b =1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)由题意：可设l 的方程为y =kx +m(k 存在且k ≠0) 与椭圆C 联立消去y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 由直线l 与椭圆C 相切，可设切点为(x 0,y 0)， 由判别式△=0可得m 2=1+2k 2， 解得x 0=−2km ,y 0=1m ，因此，直线OP 的斜率为k OP =−12k ，直线l 的斜率为k ， 即直线OP 与直线l 的斜率之积为−12．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为√2：1.求出a ，b ，然后求解椭圆方程． (Ⅱ)设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为(x 0,y 0)，利用△=0，推出直线OP 的斜率为k OP =−12k ，直线l 的斜率为k ，然后求解即可．9.【答案】解：(1)依题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)， 则{a 2=b 2+c 2=(2√2)2e =c a=√22，解得{a =2√2c =2 ∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1;(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程{x 28+y 24=1y =x −1消去y并整理得：3x 2−4x −6=0， 所以{x 1+x 2=43x 1⋅x 2=−2， |AB|=√1+12|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2[(43)2−4×(−2)]=4√113.即：|AB|=4√113， 又∵原点O(0,0)到直线y =x −1的距离为d =√2=√22， ∴△AOB 的面积S =12|AB|⋅d =12×4√113×√22=√223．【解析】【试题解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率及性质，即可求得b 2的值，求得椭圆方程；(2)利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式，三角形的面积公式，即可得．10.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，c =1，e =c a =√22，∵a 2=b 2+c 2，∴a =√2,b =1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1．(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，消去y 得，(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， 则x 1+x 2=4k 22k 2+1，∵M 为线段AB 的中点，∴x M =x 1+x 22=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k2k 2+1，∴k OM =y M x M=−12k，∴k OM ⋅k l =−12k ×k =−12为定值．(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x P =x 1+x 2=4k 22k 2+1，y P =y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−2k2k 2+1，∵点P 在椭圆上，∴(4k 22k 2+1)2+2×(−2k2k 2+1)2=2，解得k 2=12，即k =±√22， ∴当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为k =±√22．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、中点坐标公式、平面向量的坐标运算等知识点，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． (Ⅰ)由题可知，c =1，e =c a=√22，再结合a 2=b 2+c 2，解出a 和b 的值即可得解；(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 的方程和椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB 的中点，利用中点坐标公式可用k 表示点M 的坐标，利用k OM =yMx M 可求出直线OM 的斜率，进而得解；(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量的线性坐标运算可以用k 表示点P 的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k 的方程，解之即可得解．11.【答案】(1)解：由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由已知椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1， 可得：a +c =3，a −c =1， ∴a =2，c =1， ∴b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立{y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 可得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，则{ Δ=64m 2k 2−16(3+4k 2)(m 2−3)=3+4k 2−m 2>0x 1+x 2=−8mk3+4k 2x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2, 又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=3(m 2−4k 2)3+4k 2，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴y 1y 2+x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=0， ∴3(m 2−4k 2)3+4k 2+4(m 2−3)3+k 2+16mk3+4k 2+4=0，∴7m 2+16mk +4k 2=0， 解得：m 1=−2k,m 2=−2k 7，且均满足3+4k 2−m 2>0，当m 1=−2k 时，l 的方程y =k(x −2)，直线过点(2,0)，与已知矛盾； 当m 2=−2k7时，l 的方程为y =k(x −27)，直线过定点(27,0)． 所以，直线l 过定点，定点坐标为(27,0)．【解析】本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．(1)由已知椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a +c =3，a −c =1，从而可求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆方程联立，利用以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．12.【答案】解：(1)设椭圆左焦点为F(−c,0)，则由题意得{√(2+c)2+1=√10c a=12，解得{a =2c =1，则b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由AB ⊥OP 及k OP =12得k l =−2， 所以直线l 为2x +y =0， 由{2x +y =0x 24+y 23=1,得：19x 2−12=0⇒x 1x 2=−1219, ∴|AB |=√1+k 2|x 1−x 2|=√5√4819=4√28519， 因为点P(2,1)到直线l 的距离为d =|OP |=√5, 所以S △ABP =12×d ×|AB|=12×√5×4√28519=10√5719．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数y ，运用韦达定理和弦长公式，考查两点间的距离公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)运用两点的距离公式以及离心率公式，可得a ，c 的值，由a ，b ，c 的关系，可得b ，进而得到椭圆方程；(2)根据垂直直线斜率间的关系，求出直线l 的方程，联立椭圆方程，消去y ，运用韦达定理和弦长公式，及两点间的距离公式，即可得到面积．13.【答案】解：(1)由题意知e =√1−b 2a2=√22;又椭圆C 经过点H(−2,1)，所以4a 2+1b 2=1; 解得a 2=6，b 2=3，所以椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．(2)证明：设直线AB 方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =my −3x 26+y 23=1联立消元得(m 2+2)y 2−6my +3=0，所以△=36m 2−12(m 2+2)>0，y 1+y 2=6mm 2+2，y 1y 2=3m 2+2， 由题意知，y 1，y 2均不为1． 设M(x M ,0)，N(x N ,0)，由H ，M ，A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 所以x M −x 1=(−y 1)(−2−x M )，化简得x M =x 1+2y 11−y 1;由H ，N ，B 三点共线，同理可得X N =x 2+2y 21−y 2;由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x M +3,0)=λ(1,0)，即λ=x M +3; 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理可得μ=x N +3; 所以1λ+1μ=1x M +3+1x N +3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x 1−y 1+3+1−y 2x 2−y 2+3=1−y 1(m −1)y 1+1−y 2(m −1)y 2=1m−1(1−y 1y 1+1−y 2y 2)=1m−1(y 1+y 2y 1y 2−2)=1m−1(6m m 2+23m 2+2−2)=2，所以1λ+1μ为定值．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系 以及圆锥曲线中的定点与定值问题，属中档题 (1)由题意根据椭圆的概念得椭圆C 的方程;(2)设直线AB 方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线与椭圆联立消元得(m 2+2)y 2−6my +3=0，由题意知，y 1，y 2均不为1.设M(x M ,0)，N(x N ,0)，由H ，M ，A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，所以x M −x 1=(−y 1)(−2−x M )，化简得x M =x 1+2y 11−y 1;由H ，N ，B 三点共线，同理可得X N ，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得λ，μ表达式，从而证得1λ+1μ为定值．14.【答案】解：(1)∵椭圆C 的离心率为√22， ∴a =√2c ，b =c ， 又∵∠OAB =∠ODA ， ∴tan∠OAB =tan∠ODA ， ∴ba =a2，∴a 2=2b ， ∴2b 2=2b ，∴b =1，a =√2， 故椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)由题意，可设直线l:x =my +n ，P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)、N(−x 2,−y 2)， 联立方程{x =my +n x 2+2y 2=2，得(m 2+2)y 2+2mny +n 2−2=0， ∴{y 1+y 2=−2mn m 2+2y 1⋅y 2=n 2−2m 2+2， Δ=4m 2n 2−4(m 2+2)(n 2−2)>0，即m 2+2>n 2． DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−y 1−2)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 2,−y 2−2)， ∵D 、M 、N 三点共线，∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x 1(−y 2−2)=x 2(y 1+2)， ∴(my 1+n)(−y 2−2)=(my 2+n)(y 1+2)， ∴2my 1y 2+(2m +n)(y 1+y 2)+4n =0． ∴2m ·n 2−2m 2+2+(2m +n)·−2mn m 2+2+4n =0，∴m =2n ．∴直线l 过定点(0,−12).【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，考查椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系及圆锥曲线中的定点值问题，属于较难题． (1)根据条件可得关于a 、b 的方程，求解可得椭圆C 的方程；(2)由题意，可设直线l:x =my +n ，P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)、N(−x 2,−y 2)，与椭圆方程联立，根据D 、M 、N 三点共线，可得m =2n ，从而可得结论．15.【答案】解：(1)依题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)， 则{a 2=b 2+c 2=(2√2)2e =c a =√22，解得 {a =2√2c =2， ∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1 ;(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 联立方程{x 28+y 24=1y =x −1 ，消去y ， 并整理得：3x 2−4x −6=0， 所以{x 1+x 2=43x 1·x 2=−2， |AB |=√1+12|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√2[(43)2−4×(−2)]=4√113·即：|AB|=4√113， 又∵原点O (0,0)到直线y =x −1的距离为d =√2=√22， ∴△AOB 的面积S =12|AB|⋅d =12×4√113×√22=√223.【解析】【试题解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率及性质，即可求得b 2的值，求得椭圆方程；(2)利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式，三角形的面积公式，即可得．16.【答案】解：(1)由已知得e =c a =√22且2c =2，所以a =√2，c =1，所以b =1，所求椭圆方程为x 22+y 2=1．(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 4)， 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 3=2x 1+x23,y 3=2y 1+y 23.设|OE||OD|=λ，则结合题意可知OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(λx 3,λy 3). 将点E(λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 322+y 32)=1.即1λ2=x 322+y 32=(2x 1+x 23)22+(2y 1+y 23)2，变形，得1λ2=49，(x 122+y 12)+49(x 1x 22+y 1y 1)+19(x 222+y 22)(∗)， 又因为点A ，B 均在椭圆上，且k OA ⋅k OB =−12，所以{ x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,k OA ⋅k OB=y 1x 1⋅y 2x 2=−12,代入(∗)式解得λ=3√55. 所以|OE||OD|是定值，为3√55．【解析】本题考查椭圆的性质和方程，圆锥曲线中的定值问题，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)由题给条件求出a ，b ，进而得到方程．(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 4)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 3=2x 1+x23,y 3=2y 1+y 23. ，设|OE||OD|=λ， 则结合题意可知OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(λx 3,λy 3)，将点E(λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 322+y 32)=1， 由此得1λ2=49，由条件求出λ，进而求出答案．17.【答案】解：(1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程得16b 2=1，∴b =4，由e =ca =35，得1−16a 2=925，∴a =5， ∴椭圆C 的方程为x 225+y 216=1；(2)过点(3,0)且斜率为45的直线为y =45(x −3)， 设直线与椭圆C 的交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线方程y =45(x −3)代入椭圆C 方程，整理得x 2−3x −8=0， 由韦达定理得x 1+x 2=3，y 1+y 2=45(x 1−3)+45(x 2−3)=45(x 1+x 2)−245=−125．由中点坐标公式AB 中点横坐标为32，纵坐标为−65， ∴所截线段的中点坐标为(32,−65).【解析】【试题解析】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键． (1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(0,4)，可求b ，利用离心率，求出a ，即可得到椭圆C 的方程；(2)过点(3,0)且斜率为45的直线为y =45(x −3)，代入椭圆C 方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．18.【答案】解：(1)由条件可得A(0,−c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1+c)，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x 1,−y 1)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2+c)，NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x 2,−y 2)． 由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得， (x 1,y 1+c)=α1(c −x 1,−y 1)，(x 2,y 2+c)=β1(c −x 2,−y 2)， ∴x 1=α1(c −x 1)，x 2=β1(c −x 2)，∴α1=x 1c−x 1，β1=x2c−x 2(由已知，x 1≠c ，x 2≠c)， ∴α1+β1=x 1c−x 1+x2c−x 2=c(x 1+x 2)−2x 1x 2c 2−c(x1+x 2)+x 1x 2．由方程组{y =x −c,b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0.得(a 2+b 2)x 2−2a 2cx +a 2c 2−a 2b 2=0， ∴x 1+x 2=2a 2c a 2+b2，x 1x 2=a 2c 2−a 2b 2a 2+b 2．∴a 2c 2a 2+b2−2a 2c 2−2a 2b 2a 2+b 2=c 2+b 2+a 2−a 2b 2a 2+b 2=−6 化简得，2a 2=3c 2，即e =√63．(2)设B(x,y)，由OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得，x =α2x 1+β2x 2，y =α2y 1+β2y 2， 将它们代入b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0并结合b 2x 12+a 2y 12−a 2b 2=0和b 2x 22+a 2y 22−a 2b 2=0化简得，(α22+β22)a 2b 2+2α2β2(b 2x 1x 2+a 2y 1y 2)=a 2b 2．又y 1y 2=(x 1−c)(x 1−c)=x 1x 2−c(x 1+x 2)+c 2=b 2c 2−a 2b 2a 2+b 2， ∴b 2x 1x 2+a 2y 1y 2=b 2(a 2c 2−a 2b 2)a 2+b 2+a 2(b 2c 2−a 2b 2)a 2+b 2=a 2b 2(3c 2−2a 2)a 2+b 2=0，∴(α22+β22)a 2b 2=a 2b 2，所以，α22+β22=1．【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，平面向量的坐标运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．(1)由条件可得A(0,−c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及向量的坐标运算可得a ，b ，c 的关系，即可求离心率．(2)设B(x,y)，结合题意以及向量的坐标运算可得x =α2x 1+β2x 2，y =α2y 1+β2y 2，代入b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0，结合韦达定理化简整理即可得出答案．19.【答案】解：(1)在椭圆C ：x 24+y 2=1中，a =2，b =1，所以c =√a 2−b 2=√3， 故椭圆C 的焦距为2c =2√3， 离心率e =ca =√32；(2)设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，则x 024+y 02=1，故y02=1−x024，所以|TP|2=|OP|2−|OT|2=x02+y02−1=34x02，所以|TP|=√32x0，SΔOTP=12|OT|⋅|TP|=√34x0，又O(0,0)，F(√3,0)，故SΔOFP=12|OF|⋅y0=√32y0，因此S四边形OFPT =SΔOFP+SΔOTP=√32⋅(x02+y0)=√32⋅√x024+x0y0+y02=√32⋅√1+x0y0，由x024+y02=1，得2√x024⋅y02≤1，即x0⋅y0≤1，所以S四边形OFPT =√32⋅√1+x0y0≤√62，当且仅当x024=y02=12，即x0=√2，y0=√22时等号成立．【解析】本题考查椭圆的几何性质以及椭圆的标准方程，关键是掌握椭圆的标准方程的形式．(1)根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，计算可得c的值，据此计算可得答案；(2)设P(x0,y0)，结合椭圆的方程分析可得四边形OFPT面积的表达式，结合基本不等式的性质分析可得答案．20.【答案】解：(1)由题意，点P椭圆上的一动点，且|PF1|的最小值是1，得a−c=1，因为当PF1垂直长轴时，|PF1|=32，所以b2a=32，即2b2=3a，又由a2=b2+c2，解得a=2，b=√3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．(2)假设存在斜率为−1的直线l，不妨设为y=−x+m．由(1)知，椭圆E左右焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，所以以线段F1F2为直径的圆方程为x2+y2=1．由题意，圆心(0,0)到直线l的距离d=√2<1，即得|m|<√2，又|AB|=2√1−d 2=2√1−m 22=√2×√2−m 2，联立方程组{x 24+y 23=1y =−x +m ，消去y ，整理得7x 2−8mx +4m 2−12=0，由题意，△=(−8m)2−4×7×(4m 2−12)=336−48m 2=48(7−m 2)>0， 解得m 2<7，又|m|<√2，所以m 2<2． 又由韦达定理，得x 1+x 2=8m 7，x 1x 2=4m 2−127，所以|CD|=√1+k 2|x 2−x 1|=√2×√Δ7=4√6√7−m 27，若|CD||AB|=24√27， 则√2×√2−m 2×4√67×√7−m 2=24√27， 整理得m 4−9m 2+8=0， 解得m 2=1，或m 2=8．又m 2<2，所以m 2=1，即m =±1.故存在符合条件的直线l ，其方程为y =−x +1，或y =−x −1．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，还涉及了直线与圆方程的应用，属于中等题．(1)根据题中条件得到a −c =1，2b 2=3a ，结合椭圆的性质：a 2=b 2+c 2，建立关于a ，b 的方程组即可求解；(2)由题意，设出直线l 方程y =−x +m ，根据题设条件得到|m|<√2，联立直线l 与椭圆得方程组，利用韦达定理、圆中弦长公式以及两点间距离的坐标公式，依次计算得到|AB|、|CD|关于m 的表达式，由|CD |⋅|AB |=24√27进而可求得m 的值，于是可给出相应的结论．21.【答案】解：(1)设点P 为(x,y )，点A ，B 的坐标分别为(−6,0)，(6,0)．因为k PA ⋅k PB =yx+6⋅yx−6=−49，所以4x 2+9y 2=144即x 236+y 216=1．因为P在椭圆C上，所以x236+y2b2=1，所以b2=16．故椭圆C的方程为x236+y216=1,c=√a2−b2=√62−16=2√5．所以离心率e=ca =2√56=√53．(2)因为，所以四边形MSNT的面积S MSNT=12|ST|⋅|MN|．由题意得|ST|=4，则S MSNT=2 |MN|．即当|MN|取到最大值时，S MSNT取到最大值．联立直线l1与椭圆C的方程，可得13x2+18mx+9m2−144=0．由，可得m2<52．设点M，N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则x1+x2=−18m13，x1x2=9m2−14413，所以|MN|=√2[(−18m13)2−4×9m2−14413]=12√2√−m2+5213．显然当m=0时，|MN|取到最大值24√2613，故S MSNT的最大值为48√2613．【解析】本题考查椭圆几何性质、标准方程以及圆锥曲线中面积最值问题，属于一般题；(1)本题考查椭圆标准方程以及几何性质，根据斜率乘积求出x、y的一个关系，再根据点在椭圆上及椭圆的性质求解即可；(2)本题考查圆锥曲线中面积以及最值问题，对四边形MSNT面积进行正确转化，进而联立直线与椭圆方程，再利用弦长公式求解即可．22.【答案】解：(1)由椭圆E 经过点P(0,1)，得b =1，由短轴长等于焦距，得2b =2c ，则c =1， 所以a =√b 2+c 2=√12+12=√2， 故椭圆E 的方程为x 22+y 2=1．(2)设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)， A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 0,y 0)，联立直线与椭圆方程：{x =ty +1x 2+2y 2=2，得(t 2+2)y 2+2ty −1=0， 由题意，得△>0，且y 1+y 2=−2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2， 则y 0=y 1+y 22=−t t 2+2，x 0=ty 0+1=2t 2+2，即C (2t 2+2,−tt 2+2)， 设D (0,u )，由得：u+tt 2+2−2t 2+2·1t=−1，解得u =tt 2+2，所以y 0+u =0，所以y 0+u 2=0，故线段CD 的中点在x 轴上．【解析】本题主要考查了直线与椭圆的关系，椭圆的标准方程，考查运算能力，属于中档题．(1)根据题目条件，可得b =c =1，进而可求出a ，可求方程．(2)设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)，联立直线与椭圆方程，消去x 得(t 2+2)y 2+2ty −1=0，由韦达定理可得y 1+y 2=−2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2，则可求C 点坐标，设D (0,u )，由建立等式解得u ，由y 0+u 2=0，可证结果．23.【答案】解：(1)由题意得a =2,e =c a=√32， 所以c =√3,b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)(ⅰ)证明：设P(x 0,y 0)，因为P 在椭圆C 上，所以x 024+y 02=1．因为直线AP 的斜率为y 0x 0+2，直线BP 的斜率为y 0x 0−2， 所以直线BP 的方程为y =y 0x 0−2(x −2)． 所以点N 的坐标为N(−6,−8y 0x0−2)．所以直线AN 的斜率为−8y 0x 0−2−6+2=2y 0x0−2． 所以直线AP,AN 的斜率之积为：y 0x 0+2⋅2y 0x 0−2=2y 02x 02−4=2(1−x 024)x 02−4=−12．(ⅰ)M,B,Q 三点共线．因为点P 异于A ，B 两点，可知直线AP 的斜率存在且不为零．设直线AP 斜率为k(k ≠0)，则直线AP ：y =k(x +2)，可得M(−6,−4k)． 由(ⅰ)可知直线AP,AN 的斜率之积为−12，所以直线AN 的斜率为−12k ， 所以直线AN 的方程为y =−12k (x +2)．联立直线AN 与椭圆方程得，{x 2+4y 2−4=0,x =−2ky −2,可得(4+4k 2)y 2+8ky =0．解得Q 点的纵坐标为−2k 1+k2，所以Q 点的坐标为Q(2k 2−21+k 2,−2k 1+k 2)．所以，直线BQ 的斜率为−2k1+k 2−02k 2−21+k 2−2=k2，直线BM 的斜率为−4k−0−6−2=k2． 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率，所以M,B,Q 三点共线．【解析】本题考查椭圆的定义及几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率与直线的方程，属于中档题．(1)结合条件和椭圆的几何性质可求得a ，b ，c ，即可求得椭圆的方程；(2)(ⅰ)设P(x 0,y 0)，求得直线AP 的斜率并求出直线BP 方程，求得点N 的坐标，再求得直线AN 的斜率，根据点P 在椭圆上，可证明直线AP,AN 的斜率之积为定值； (ⅰ)根据直线AP 的斜率存在且不为零，设直线AP 斜率为k ，则可得直线AP 方程，求出点M ，根据(ⅰ)中的直线AP,AN 的斜率之积为−12，求出直线AN 的斜率为−12k ，可得直线AN 的方程，联立直线AN 与椭圆方程，求得点Q 坐标，根据直线BQ ，BM 斜率相等，可判定结论．24.【答案】解：(1)F(−c,0)，A(a,0)，B(0,b)，则S △ABF =√2+12=12(a +c)b ， 即(a +c)b =√2+1，即(a +c)√a 2−c 2=√2+1． 又e =ca =√22，a =√2c ，代入上式中得到，(√2c +c)√2c 2−c 2=√2+1， 解得c =1，于是a =√2，b =1．。
椭圆各类题型分类汇总
椭圆经典例题分类汇总1. 椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．例2 椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．例3 方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值围．例4 1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值围．例5 动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的部与其相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．2.焦半径及焦三角的应用例1 椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？假设存在，那么求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由．例2椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积〔用a 、b 、α表示〕．3.第二定义应用例1椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．例2椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．例3椭圆15922=+y x 有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．4.参数方程应用例1求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程；(2)求椭圆接矩形的最大面积．例3椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，假设这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值围．5.相交情况下--弦长公式的应用例1椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．〔1〕当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？〔2〕假设直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．例2长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．6.相交情况下—点差法的应用例1中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．例2椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．例3椭圆1222=+y x ，〔1〕求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； 〔2〕求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；〔3〕过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；〔4〕椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．例4椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．例5)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：〔1〕当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ； 〔2〕当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进展讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：此题易出现漏解．排除错误的方法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进展讨论．例5 方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值围是53<<k ，且4≠k ．说明：此题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值围是53<<k ． 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例6 1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值围．分析：依据条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈． 说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易无视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值围时，应注意题目中的条件πα<≤0 例5动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的部与其相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如下图，设动圆P 和定圆B 切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：此题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．2.焦半径及焦三角的应用例1 椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？假设存在，那么求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ，∴14x MN +=．又由焦半径公式知： 111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=． ∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ． 整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ．① 另一方面221≤≤-x ．②那么①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．例2椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积〔用a 、b 、α表示〕． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．① 由椭圆定义知： a PF PF 221=+②，那么－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 3.第二定义应用例1椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：此题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：． 过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：此题关键在于未知式MF AM 2+中的“2〞的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．例2 椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离． 分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ． 由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b e PF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b e PF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否那么就会产生误解． 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，那么用椭圆的第二定义．例3椭圆15922=+y x 有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：此题考察椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．此题假设按先建立目标函数，再求最值，那么不易解决；假设抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线． 建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下列图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标一样为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，那么点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程；(2)求椭圆接矩形的最大面积． 分析：此题考察椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1)⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，那么122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．例3椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，假设这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，那么椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ∴1cos =θ〔舍去〕，11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<c a ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ．说明：假设椭圆离心率围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？5.相交情况下--弦长公式的应用例1椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． 〔1〕当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ 〔2〕假设直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：〔1〕把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ， 即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． 〔2〕设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由〔1〕得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，假设能合理运用韦达定理〔即根与系数的关系〕，可大大简化运算过程． 例2长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，那么m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=6.相交情况下—点差法的应用例1 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：〔1〕此题求椭圆方程采用的是待定系数法；〔2〕直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．例2 椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，那么直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122kkk x x +-=+． ∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，那么由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ．⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：〔1〕有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．〔2〕解法二是“点差法〞，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． 〔3〕有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用〞及“点差法〞．有关二次曲线问题也适用．例3 椭圆1222=+y x ，〔1〕求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； 〔2〕求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；〔3〕过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；〔4〕椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121 ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，那么上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤〔1〕将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．〔2〕将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．〔椭圆局部〕 〔3〕将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．〔椭圆局部〕〔4〕由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例4椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：假设设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，那么条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点．∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122y x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
椭圆总结(全)
椭圆总结一、椭圆的定义：（隐含条件）平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
二、 方程1、标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=2、 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
要求能熟练的把一般方程转化成标准方程，并找出a,b,c.三、性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：1、范围：|x|≤a ，|y|≤b ；[][]22121212,*,0PF a c a c PF PF b a F PF F BF ∈-+⎡⎤∈⎣⎦∈角，2、对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；3、顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；4、通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab 225、离心率：e=ca==（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。
椭圆知识点以及题型总结
椭圆知识点以及题型总结一、椭圆的定义与基本性质椭圆是平面上到定点F1与F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中的定点F1和F2称为焦点，常数2a称为长轴的长度。
椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，定义为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离。
椭圆是一个非常重要的几何图形，它有许多独特的性质，需要我们逐一来了解。
1. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程一般可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(a>b)。
其中(h,k)是椭圆的中心坐标。
2. 椭圆的焦半径和半短轴椭圆的焦半径是指从焦点到椭圆上任意一点的线段，它的长度等于椭圆的长半轴的长度a。
而椭圆的半短轴的长度等于b。
3. 相邻两焦点和任意一点的距离之和椭圆上任意一点P到椭圆的两个焦点的距离之和等于2a。
即PF1+PF2=2a。
4. 椭圆的离心率椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离，a是长半轴的长度。
离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它的取值范围为0<e<1。
5. 椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来表示，一般可以表示为x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ。
其中θ的取值范围一般为0≤θ≤2π。
二、常见椭圆的题型及解题方法1. 椭圆的焦半径与半短轴的关系题这类题目一般给定椭圆的长半轴的长度a和离心率e，要求求出椭圆的焦半径和半短轴的长度。
解题方法:根据离心率e=c/a，可以求出焦点与中心之间的距离c，然后根据椭圆的焦点与半短轴之间的关系，可以求出半短轴的长度b。
2. 椭圆的标准方程题这类题目一般给定椭圆的焦点、长轴的长度和中心坐标，要求写出椭圆的标准方程。
解题方法:根据给定的信息，可以用(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1的形式写出椭圆的标准方程。
3. 椭圆的参数方程题这类题目一般给定椭圆的中心坐标、长半轴、半短轴的长度，要求写出椭圆的参数方程。
高中数学椭圆题型归类(全)
高中数学椭圆题型归类目录曲线与方程题型1：曲线的方程的判断题型2：直接法求曲线的方程题型3：定义法求曲线的方程题型4：相关点法求曲线的方程题型5：参数法求曲线的方程题型6：交轨法求曲线的方程椭圆题型1：求轨迹(椭圆)方程题型1.1：定义法求轨迹(椭圆)方程题型1.2：直接法求轨迹(椭圆)方程题型1.3：相关点法求轨迹(椭圆)方程题型1.4：参数法求轨迹(椭圆)方程题型2：求椭圆标准方程题型2.1：已知椭圆上一点及焦点，定义法求椭圆标准方程题型2.2：已知椭圆上两点，待定系数法求椭圆标准方程题型2.3：已知a,b,c关系，方程组法求椭圆标准方程题型3：椭圆的定义题型4：椭圆的对称性题型5：椭圆的离心率题型5.1：求椭圆的离心率题型5.2：求椭圆的离心率取值范围题型6：椭圆的弦中点题型7：椭圆的焦点三角形题型8：椭圆的弦长题型9：椭圆中的三角形面积题型10：直线与椭圆的位置关系题型10.1：直线与椭圆的位置关系题型10.2：椭圆的切线方程题型11：椭圆的求值问题题型12：椭圆中求取值范围问题题型13：椭圆中最值问题题型14：椭圆的定值问题方法是先猜后证。
猜法：取特殊情况或极端情况，此不赘述。
题型14.1：和差相消为定值题型14.2：乘除相约为定值题型14.3：消参数为定值题型15：椭圆的定点问题方法是先猜后证。
猜法：取两种特殊情况或极端情况的交点，或利用对称性判断定点在某直线上，此不赘述。
题型15.1：直线恒过定点题型15.2：曲线恒过定点题型16：证明、探究问题题型1：曲线的方程的判断1.已知曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则“f 1(x 0,y 0)=f 2(x 0,y 0)”是“点M(x 0,y 0)是曲线C 1与C 2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.方程|y|-1=表示的曲线是()A.两个半圆B.两个圆C.抛物线D.一个圆 3.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()A.B.C.D.题型2：直接法求曲线的方程1.到（0,2）和（4，-2）距离相等的点的轨迹方程___________2.设动点P 到点F(-1,0)的距离是到直线y=1的距离相等，求点P 的轨迹方程，并判定此轨迹是什么图形.3.动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？题型3：定义法求曲线的方程1.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为．2.过点（-2,0）的直线与圆221x y +=相交于A，B，求弦AB 中点M 的轨迹方程。
椭圆大题题型及方法总结
椭圆大题题型及方法总结
椭圆在大题中的题型一般有以下几种:
1. 求椭圆方程：这是基础中的基础，可以直接设方程，也可以根据已知条件设方程。
2. 探究椭圆的性质：例如探究椭圆的焦点位置、焦距大小、离心率等性质。
3. 求椭圆上的点的坐标：通常会涉及到椭圆上的点与其他图形的关系，例如与直线、圆、柱形等的关系。
4. 用韦达定理求解椭圆的问题：韦达定理是椭圆考试中的一个重要知识点，通常会在第 2 问或第 3 问中使用。
5. 与三角形相关的问题：椭圆通常会与三角形联系起来，涉及到三角形的面积、周长、角度等问题。
6. 探究椭圆与其他图形的关系：例如椭圆与圆的关系、椭圆与直线的关系等。
针对以上题型，有一些常用的方法和技巧，例如:
1. 画图是一个必不可少的步骤，有助于更好地理解题意和解决问题。
2. 熟悉椭圆的定义和性质，有助于更好地解答题目。
3. 韦达定理是椭圆考试中的一个重要知识点，需要熟练掌握。
4. 注意椭圆与其他图形的关系，例如椭圆与直线的关系、椭圆与圆的关系等，可能需要使用勾股定理、余弦定理等知识。
5. 考试中需要仔细阅读题目，理解题意，抓住关键信息，有针
对性地解决问题。
椭圆的常见题型
（1）椭圆：焦点在x轴上时2爲二1 （a b 0）=b2;x = a cosy = bsin （参数方程，其中参数），焦点在y轴上时2 2—一+ — = 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m —1 2 —m3 m的取值范围是—（答：（_00,_1）11（1,〜））2 2（2）方程笃• 一y2 =1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m （m—1）4.圆锥曲线的几何性质：2 2（1）椭圆（以务•笃=1 （a b 0）为例）：①范围：a b两个焦点（_c,0）；③对称性：m的取值范围。
-a — x _ a, —b — y — b :②焦点:两条对称轴x=0, y=0, —个对称中心（0,0），四个顶点（_a,0）,（0, _b）,其中长轴长为2a,短轴长为e越小，椭圆越圆；e越大,2a c2 b ；④准线：两条准线x ；⑤离心率：e ,椭圆二0 ：：：e ：：：1,椭圆越扁。
2 2如（1）若椭圆—-L =1的离心率5 m10e =5则m的值是高中数学重难点椭圆一、考点、热点回顾1. 圆锥曲线的两个定义（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F.，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于丁店2，当常数等于F,F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于| RF? 时，无轨迹（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”: 其商即是离心率e。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离2间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点Q（2.2,0）及抛物线y =匚上一动4点P（ x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）:2 2y x 2 2— = 1（ a b 0）。
方程Ax2 By^C表示椭圆的充要条件是什么?a b2 2（ABC丰0,且A , B, C同号，A丰B ）。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。
该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。
椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。
长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。
当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。
椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。
二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。
1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。
椭圆题型大全
椭圆题型总结题型一 椭圆的定义应用例1：评析： 点P 在椭圆上这个条件的转化常有两种方法：一是点P 椭圆的定义，二是点P 满足椭圆的方程，应该认真领会椭圆定义 题型二 椭圆标准方程的求法例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22-，求椭圆的标准方程解法1 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 由椭圆的定义可知：2a ==a ∴=2222,6cb ac =∴=-=所以所求的标准方程为221106x y += 解法2 22222,4c b a c a =∴=-=- ，所以可设所求的方程为222214x y a a +=-，将点53(,)22-代人解得：a = 所以所求的标准方程为221106x y += 评析 求椭圆的标准方程总结有两种方法：其一是由定义 求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是先确定标准 方程的类型，并将其用有关参数,a b 表示出来然后结合条件建立,a b 所满足的等式，求得,a b 的值，再代人方程例3：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0），若点M 满足2PM MD =．当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程．解 设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由2PM MD =， 得()()00,28,x x y y x y --=--，即0316x x =-，03y y =． 因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=． 即()()2231634x y -+=，即2216439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，这就是动点M 的轨迹方程．评析 本题中的点M 与点P 相关，我们得到0316x x =-，03y y =是关键，利用点P 在224x y +=上的条件，进而 便求得点M 的轨迹方程，此法称为代人法．题型三 直线与椭圆交点问题例1 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2219x y +=.联立方程组22192x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得, 21036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )那么:12185x x +=-,0x =12925x x +=所以0y =0x +2=15.也就是说线段AB 中点坐标为(-95,15).评析 直线与椭圆的公共点、弦长、弦的中点问题常转化为对应方程联立的方程组的解得问题，进而转化为一元二次方程的问题．题型四 求椭圆弦长、中点、垂直、最值等问题例2评析 “点差法”的要点是巧代斜率，与弦中点有关的问题有三类：平行弦的中点轨迹，过定点的弦中点轨迹，过定点且被定点平分的弦的所在的直线方程13．直线y kx =2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），求k 的值．解：将y kx =2213x y +=，得22(13)30k x +++=．由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130,)12(13)12(31)0.k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩即213k >． 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则.由1OA OB ⋅=，得1A B A B x x y y +=．而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x2222353(1)231k k k k -=+=+．于是2253131k k -=+．解得k =k 的值为±。
椭圆基本题型总结(基础题、压轴小题分类总结七大题型)
椭圆基本题型总结（小题压轴题、基础题分类）题型一、椭圆定义的运用1、 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，AB 是经过焦点1F 的弦且8AB =，若椭圆长轴长是10，求21F A F B +的值；2、已知Ａ、Ｂ是两个定点，4AB =，若点Ｐ的轨迹是以Ａ，Ｂ为焦点的椭圆，则PA PB +的值可能为（ ）Ａ ２ Ｂ ３ Ｃ ４ Ｄ ５3、椭圆221259x y +=的两个焦点为1F 、2F ，Ｐ为椭圆上一点，若01290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积。
4、设Ｐ是椭圆221499x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，，若12PF =，则2PF =5、椭圆221259x y +=上一点Ｍ到焦点1F 的距离为２，Ｎ是1MF 中点，则ON =（ ）Ａ ２ Ｂ 6 Ｃ ４ Ｄ 326、在椭圆2219y x +=上有一点P ，1F 、2F 分别是椭圆的上下焦点，若122PF PF =，则2PF = ；7、已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB = ；8、设1F 、2F 为椭圆221496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12=43PF PF ：：，求12F PF ∆的面积。
9、0m n >>是方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的 条件；10、若方程22125x y k k+=−−表示椭圆，则的取值范围为 ；11、已知ABC ∆的顶点在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 ；题型二、椭圆的标准方程1. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.2.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.题型三、离心率1、1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该椭圆的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为 ；242、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上，且01260F PF ∠=，求椭圆的离心率的取值范围；3、设1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 ；4、在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2C ，以点O 为圆心，a 为半径作圆Ｍ，若过点2(,0)a P c所作圆Ｍ的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率为 ；5、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b −为椭圆的两个顶点，若F 到AB，则椭圆的离心率为 ； 6、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，且122F F c =，点A 在椭圆上，1120AF F F ⋅=，212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率为 ；7、已知1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为 ；8、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A 。
椭圆知识点与题型总结
椭圆知识点与题型总结一、椭圆的定义和基本概念1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴的长度。
与椭圆的长轴垂直的轴称为短轴，其长度为常数2b。
2. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。
3. 椭圆的离心率：椭圆的离心率e的定义为e=c/a，其中c为焦距的一半，a为长轴长度的一半。
离心率描述了椭圆形状的“圆”的程度，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆。
4. 椭圆的几何性质：椭圆有关于焦点、直径、切线等方面的许多重要性质和定理，例如：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a、椭圆的切线与法线的交点、椭圆的对称性等等。
二、椭圆的常见题型及解题方法1. 椭圆的参数方程题型：求椭圆的参数方程，求参数方程表示的椭圆的离心率、焦点、中心等。
解题方法包括利用椭圆的定义，代入标准方程解参数等。
2. 椭圆的焦点、离心率题型：根据给定的椭圆的标准方程或参数方程，求椭圆的焦点坐标、离心率，或者给定椭圆的离心率和一个焦点，求椭圆的方程。
解题方法包括根据离心率的定义求解，利用椭圆的参数方程计算焦点坐标等。
3. 椭圆的性质题型：求椭圆的长轴、短轴长度，椭圆的离心角、焦点、直径，椭圆的法线、切线方程等。
解题方法包括利用椭圆的定义、性质和以直径为坐标系的轴来简化计算等。
4. 椭圆的切线、法线题型：求椭圆在给定的一点上的切线、法线方程，或者求椭圆上一点的切线、法线方向角。
解题方法包括利用椭圆的参数方程求导数，利用椭圆的切线、法线的定义求解等。
5. 椭圆的面积题型：求椭圆的面积，求椭圆内切矩形的最大面积等。
解题方法包括利用椭圆的定义和参数方程求解，利用微积分求解等。
总之，椭圆是重要的数学对象，涉及到许多重要的数学定理和公式，解椭圆相关的数学题目需要运用代数、几何和微积分等多种知识和技巧。
椭圆难题包括答案
关于焦点三角形与焦点弦关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法典例剖析1 求椭圆的标准方程【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r（1）求椭圆的离心率。
（2）若过,,A F Q三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。
【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求直线l 的方程 （4）求OPQ V 的最大面积2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u r（1）求椭圆离心率e 的取值范围（2）当离心率e 取最小值时，12PF F V 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。
①求椭圆的方程；②求直线AB的斜率k的取值范围。
求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0a x a -≤≤；（3）0∆>；（4）椭圆内部的点()00,x y 满足2200221x y a b+<；【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点2F 与椭圆交于,A B 两点，OA OB +u u u r u u u r 与向量()3,1a =-r共线。
（1）求椭圆的离心率e（2）设M 为椭圆上任一点，若(),OM OA OB R λμλμ=+∈u u u u r u u u r u u u r，求证：22λμ+为定值【例8】已知A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一动点，弦,AB AC分别过焦点12,F F ，当AC x ⊥轴时，恰有123AF AF =.（1）椭圆的离心率 （2）设111AF F B λ=u u u r u u u r ，222AF F C λ=u u u u r u u u u r，判断12λλ+是否为定值？3. 最值问题【例11】已知椭圆22:143x yC+=，AB是垂直于x轴的弦，直线4x=交x轴于点N，F为椭圆C的右焦点，直线AF与BN交于点M （1）证明：点M在椭圆C上（2）求AMNV面积的最大值【例14】已知椭圆22:143x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆交于,A B 两点（1）求2AF B V 的面积的最大值（2）当2AF B V 的面积最大值时，求12tan F AF ∠的值4 直线与椭圆的位置关系【例16】已知12,F F 是椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，直线l 与椭圆相切。
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椭圆题型总结一、焦点三角形１. 设F １、Ｆ2是椭圆12322=+y x 的左、右焦点,弦AB 过F 2,求1ABF △的面积的最大值。
（法一）解:如图,设2(0)xF B ααπ∠=<<,22||||AF m BF n ==，,根据椭圆的定义,1||AF m =，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔＡF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理,得2222)44cos )44cos m m m n n n αα⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩，∴m =,n =∴11211||||2()sin 22F ABB A S F F y y m n α∆=⋅-=⋅⋅+α==令sin t α=,所以01t <≤,∴21()22t g t t t t ==++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2πα=时，max 1()3g t =,故1ABF △(法二）解:设AB ：x=my+1，与椭圆２x 2+3y 2=6联立,消x 得(２m 2+3）y 2+4my-4=0ﻩ∵ﻩＡB 过椭圆内定点Ｆ2,∴ﻩΔ恒大于0.设A(x 1,y １)，Ｂ(ｘ2,y 2），则 ﻩΔ＝48(ｍ2+1)1ABF S ∆=|y １-y 2｜==令 t ＝m 2+1≥1,m 2=t-１, 则1ABF S ∆ﻩ＝∈[１,+∞） f(t)=144t t++在ｔ∈[1,＋∞)上单调递增,且f(t)∈[9,＋∞) ∴ﻩt ＝1即m=0时，ΔABF １注意:上述AB 的设法：x ＝my+1,方程中的ｍ相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况,即ｍ＝0的时候。
在直线斜率不等于零时都可以这样设,往往可使消元过程简单化,而且避免了讨论。
2． 如图，M (-2,０)和N (２,0）是平面上的两点,动点P 满足： 6.PM PN += （1） 求点P 的轨迹方程；(2) 若2·1cos PM PN MPN-∠＝，求点Ｐ的坐标.解:(1) 由椭圆的定义，点Ｐ的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2ａ=6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴ａ=3,从而短半轴 b ＝225a c -=， 所以椭圆的方程为221.95x y += （2) 由2,1cos PM PN MPN=-得cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点,故Ｐ、M 、N 构成三角形． 在△ＰMN 中,4,MN =由余弦定理有2222cos .MN PM PN PM PN MPN =+-②将①代入②,得22242(2).PM PN PM PN =+--故点P 在以Ｍ、N 为焦点,实轴长为23的双曲线2213x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得33,25.2x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即P 点坐标为335335335335(,)-、（，-）、（-，）或（，-）.二、点差法定理 在椭圆12222=+by a x （a >b >0)中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦MN的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.3． 直线l 经过点Ａ(１，2)，交椭圆2213616x y +=于两点Ｐ1、Ｐ2，（1）若A 是线段P 1Ｐ2的中点,求l 的方程；(２）求P 1P ２的中点的轨迹．解:(1)设P 1(ｘ1,ｙ1)、Ｐ2(ｘ2，y ２),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116361163622222121y x y x ⇒016))((36))((21212121=+-++-y y y y x x x x …………*∵A (1，２)是线段Ｐ1Ｐ2的中点,∴x １+x ２=2,ｙ1+y 2＝4， ∴016)(436)(22121=-+-y y x x ,即922121-=--x x y y 。
∴l 的方程为2)1(92+--=x y ,即2x ＋９y －2０=0.（2）设P 1P ２的中点M (ｘ,y ),则x 1＋x ２=2x ,ｙ1+y 2=2y ,代入*式,得y x x x y y k 942121-=--=，又直线l 经过点A (1，2),∴21y k x -=-,整理,得４x （x -1)＋9y (y -２)=０,∴P 1P 2的中点的轨迹：221()(1)2151029x y --+=。
4． 在直角坐标系xOy 中,经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Ｑ. （1）求k 的取值范围；（２）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B,是否存在常数k ，使得向量+与共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在,请说明理由.解:(１）直线l 的方程为.2+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12,222y x kx y 得:.0224)12(22=+++kx x k 直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点， )12(83222+-=∆∴k k >０．解之得：k <22-或k ＞22． ∴k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, . （２）在椭圆1222=+y x 中，焦点在x 轴上,1,2==b a ，).1,2(),1,0(),0,2(-=∴B A 设弦PQ 的中点为),(00y x M ,则).,(100y x =由平行四边形法则可知:.2OM OQ OP =+ OQ OP +与AB 共线，∴OM 与AB 共线.1200y x =-∴，从而.2200-=x y 由2200a b x y k PQ -=⋅得:2122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅k ,.22=∴k 由(1)可知22=k 时,直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k .三、最值问题5. 已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点,M(ｍ,0）（m ∈R),求PM 的最小值。
目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。
提示:设P （x ，ｙ),用距离公式表示出PM ，利用二次函数思想求最小值。
解：设P （ｘ,ｙ),ＰM=22()x m y -+=22()14x x m -+-＝23214x mx -+=2234()1433m m x -+-,x ∈[-２,2],结合相应的二次函数图像可得 (1）43m ＜－2，即m<32-时,（PM)min ＝｜m+２|; （2）-2≤43m ≤2，即32-≤m≤32时,(PM)ｍｉn ＝2933m -；（3）43m ＞2，即ｍ>32时,(ＰM ）mi ｎ=|ｍ-2|.说明:（1)类似的，亦可求出最大值;(２）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b,最远的点是长轴端点，最大值为a;（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点,最小值为a-ｃ，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c;６． 在椭圆2214x y +=求一点Ｐ,是它到直线ｌ:x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。
目标:复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般处理方法。
提示：（１）可等价转化为与直线l 平行的椭圆的切线与直线l 之间的距离；(1）也可以用椭圆的参数方程。
解法一：设直线m ：x+2y+m=0与椭圆2214x y +=相切，则222014x y m x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去ｘ,得8y 2＋４m ｙ+m 2-４=0, Δ=0,解得ｍ=±当m=直线与椭圆的切点P 与直线l 的距离最近,＝此时点Ｐ的坐标是(); 当ｍ=-,直线与椭圆的切点Ｐ与直线l 的距离最远,P 的坐。
解法二：设椭圆上任意一点P （2co ｓθ，sinθ),θ∈[0,２π)则P 到直线l)10πθ++ﻩ∴当θ=4π时,P 到直线l 的距离最大,最大为此时点P；ﻩ 当θ=54π时,P 到直线l 的距离最小,最小为P 的坐标是(,)。
说明:在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。
在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的,而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。
7. 设AB 是过椭圆221925x y +=中心的弦，F 1是椭圆的上焦点,（１）若△ＡB Ｆ１，求直线A Ｂ的方程；(2）求△ABF 1面积的最大值。
解:(1)设AB :y =kx ,代入椭圆221925x y +=,得x 2=211925k +=2225259k +，∴ｘ1=-x 2又，S △ABF 1=12|OF 1|·|ｘ１-ｘ2｜＝2|x 1-x 2,∴｜x 1-x ２｜＝２,∴2225259k +=5，∴ｋ=，∴直线AB 的方程为y＝x 。
(2）S △A ＢＦ1=12｜OF 1|·|ｘ１－ｘ2｜，∴当ｋ=0时,(S △ＡＢF 1)M ａx =12。
▋8. (20１4金山区一模23题)已知曲线)0>>(1=+:1b a bya x C 所围成的封闭图形的面积为54,曲线1C 的内切圆半径为352. 记曲线2C 是以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点． （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若OA m MO =(O 为坐标原点）,当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （3）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求ABM Δ的面积的最小值.【解答】:（1)Ｃ1是以(–a ,0)、(０，–ｂ)、(ａ，０)、(０，b )为顶点的菱形,故，…2分又a >b >0，解得：ａ2=5，b 2＝4，因此所求的椭圆的标准方程为;……4分(2）假设ＡB 所在的直线斜率存在且不为零，设ＡＢ所在直线方程为y=kx （ｋ≠０),A (x A ,y A ),令，得,,｜OA ｜２＝，…………6分设M (ｘ,ｙ),由题意得:｜M Ｏ|2=m 2|OA ｜2，(m >0)，即:，因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为，代入上式消去k 得:，又x ２＋y ２≠０,整理得：（m ＞0）,……9分当k =０或斜率不存在时,上式仍然成立,综上所述,点M 的轨迹方程为(m ＞0)…………………10分(3） 当k 存在且不为零时,由(２）得:，，|ＯＡ｜2＝,由，得:，，|OM |2………13分｜ＡB ｜2=４|OA |２=，故＝………14分≥==,当且仅当4+5k 2＝5+４k ２时，即k ＝±1时，等号成立，此时△ＡBM 的面积的最小值为.…………………16分当k =0时,==>,当k 不存在时,=＝＞，综上所述，△AＢM 的面积的最小值为．……………………………18分9. 设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.（1)若6ED DF =，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值．(１)解:依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>. 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21214x x k=-=+ ·····················································································由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==; 由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k =+．所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =. (２）解法一:根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==,2h ==．又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+1525(14k =+==≤ 当21k=,即当12k =时，上式取等号.所以S 的最大值为 解法二：由题设，1BO =，2AO =.设11y kx =,22y kx =，由①得20x >,210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S=+△△222x y =+===当222x y =时,上式取等号．所以S 的最大值为四、垂直关系10.（上海春季）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(10)F ，，短轴的两个端点分别为1B 、2B 。