高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义
圆锥曲线综合复习讲义
圆锥曲线综合复习讲义【基础概念填空】 椭圆1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________.2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是是F 1 ___________，F 2 ____________；椭圆)0b a (1bx a y 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是F 1 ____________，F 2 ____________.3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。
椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。
椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 双曲线 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的差_____________________的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的_________ , 两焦点之间的距离叫做双曲线的________.2.双曲线的标准方程：双曲线0)b 0,1(a by a x 2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________.双曲线0)b 0,1(a bx a y 2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________. 3.几个概念：双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的_____.a 和b 分别叫做双曲线的________长 和_______长。
第三章 圆锥曲线复习讲义(精心整理、好用、经典)
圆锥曲线复习讲义－学生版【基础知识】 一.椭圆与双曲线椭 圆双 曲 线定义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=>1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<方程22221x y a b += 22221x y b a+= 22221x y a b -= 22221y x a b -= 图形焦点 (,0)F c ± (0,)F c ±(,0)F c ± (0,)F c ±焦距 C F F 221=对称轴关于x .y 轴对称，关于原点成中心对称顶点长轴：(-a ,0),(a ,0) 短轴：(0,-b ),(0,b )长轴：(-b ,0),(b ,0) 短轴：(0,-a ),(0,a )实轴：(-a ,0),(a ,0) 虚轴：(0,-b ),(0,b )实轴：(-b ,0),(b ,0)虚轴：(0,-a ),(0,a )轴 长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<< 22222221(1)c c a b be e a a a a+====+>渐进线无xab y ±= x ba y ±= a ,b ,c 2220c b a b a +=>>，2220b a c a c +=>>，M MPK K 1A A 2F F O yx二．抛物线的性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =->22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p-(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x = 2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤离心率1e = 1e = 1e = 1e = 三、弦长公式： ||14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-+= 其中,∆,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和2x 的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次方程,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出AB x x -=+21，ACx x =21；（3）代入弦长公式计算。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义
直线与圆锥曲 线一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax By C 0 (A, B 不同时为0)代入圆 锥曲线C 的方程F (x, v) =0,消去y (也可以消去x)得到关丁一个变量的一元二次方程，即联立三、中点弦所在直线的斜率.22222-2 ;若椭圆方程为土号1(a b 0)时，相应结论为k —^-°(y 0 0),即kgk °p土 ；aab' by °b'2222若双曲线方程为七，1时，相应结论为k %~°(y 0 0),即kck op 旦^；a bb y ° bI 复习提问Ax By C 0 F (x, y) 0消去y 后得ax 2bx c 0(1) 当a 0时，即得到一个一元一次方程，贝U l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平■行;若 C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平■行(2)当a 0时， 0,直线l 与曲线C 有两个不同的交点;公共点(切点)； 0,直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式0,直线l 与曲线C 相切，即有唯相交弦AB 的弦长2 2(1)若椭圆方程为 1 土 1(a a b b 0)时，以P(x °,y °)为中点的弦所在直线斜率kb 2x。
a 2y(y 。
即 k*°p(2) P2(x 0,y 0)是双曲线 —2~ a 2yb 21部一点，以 P 为中点的弦所在直线斜率k 孕(y °a V 。
k*°pABk 2^ 7(x i x^74x 1x 21j I y i y 2(3)) P (x °,y 。
)是抛物线y 2 2px 部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率n题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0;另一方法就是数形结合，如直 线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。
2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)
直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。
§10.5 圆锥曲线的综合问题 高考数学(文科,课标Ⅲ)复习专题
ｘ２ ５
＋ｙ２
＝
１
上，
所以
ｘ
２ ０
５
＋ｙ２０
＝
１，
即 ｘ２０ ＋５ｙ２０ ＝ ５， 故 λ１ ＋λ２ ＝ １８．
②当 ＰＡ 或 ＰＢ 与 ｘ 轴垂直或 ｙ０ ＝ ０ 时，也易得 λ１ ＋λ２ ＝ １８．
综上，λ１ ＋λ２ 为定值．
二、圆锥曲线中最值（ 范围） 问题
������������������������������������������������
１７ ４８ ，为定值．
综上，
｜
１ ＡＢ
｜
＋
｜
１ ＣＤ
｜
为定值．
１－１ （２０１８ 广西南宁测试，２０） 已知左焦点为 Ｆ（ － １，０） 的
椭圆
Ｃ：
ｘ２ ａ２
＋ ｙ２ ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）经过点
Ａ（２，０） ．
（１）求椭圆 Ｃ 的方程；
（２）已知直线 ｌ 与椭圆 Ｃ 分别交于 Ｍ、Ｎ （ Ｍ、Ｎ 在 ｘ 轴异
由①②得
ｍ＜－
６ ３
或
ｍ＞
６ ３
．
（ ２） 令
ｔ＝
１ ｍ
∈
æ
ç
－
è
６
，０
ö
÷
∪
æ
ç
０，
２ øè
６ ２
ö
÷
，
ø
则 ｜ ＡＢ ｜ ＝
ｔ２ ＋１ ·
－２ｔ４ ＋２ｔ２ ＋
３ ２
，
ｔ２ ＋
１ ２
且 Ｏ 到直线 ＡＢ 的距离 ｄ ＝
＋
１ ｍ２
ö
÷
ø
ｘ２
－
２ｂ ｍ
圆锥曲线复习讲义
圆锥曲线复习讲义一、椭圆方程1、已知椭圆2212516x y +=，12,F F 是椭圆的左右焦点，p 是椭圆上一点。
（1）a = ； b = ； c = ； e = ； （2）长轴长= ； 短轴长= ； 焦距= ；12||||PF PF += ; 12F PF ∆的周长= ；12F PF S ∆= = ； 2、已知椭圆方程是192522=+y x 的M 点到椭圆的左焦点为1F 距离为6，则M 点到2F 的距离是3、已知椭圆方程是192522=+y x ，过左焦点为1F 的直线交椭圆于A,B 两点，请问2ABF ∆的 周长是 ；4 ．（2012年高考（上海春））已知椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则 （ ） A ．顶点相同 B ．长轴长相同. C ．离心率相同. D ．焦距相等. 5、 (2007安徽)椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）（A ）23 （B ）43（C ）22（D ）32 6．（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ）A ．3B ．23 C ．38D ．327.【2102高考北京】已知椭圆C ：22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为2，则椭圆C 的方程：8、【2012高考广东】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上，则椭圆1C 的方程； 9、【2012高考湖南】在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心，椭圆E 的方程；10．（2004福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）22 （D ）2311．（2006上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是 ．12、经过)2-,3-(16B A ），，（两点的椭圆方程是 13、动点M 与定点），（04F 的距离和它到定直线425:=x l 的比是常数54，则动点M 的轨迹方程是：14．（2012年高考）椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 15．（2012年高考（四川理））椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.16．（2012年高考（江西理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.17．（2012年高考江苏）在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，,2(0)F c ，.已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率，则椭圆的方程 ;18．（2012年高考广东理）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率e 且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程 ; 19．（2012年高考福建理）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为8，椭圆E 的方程 . 20．（2012年高考（北京理））已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈，若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆,则m 的取值范围是 ;22．（2012年高考（陕西理））已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率，则椭圆2C 的方程 ; 23、如果点M ()y x ，在运动过程中，总满足：()()10332222=-++++y x y x试问点M 的轨迹是 ；写出它的方程 。
圆锥曲线复习讲义(1)
圆锥曲线复习讲义（1）椭 圆一．复习目标：1．正确理解椭圆的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出椭圆的标准方程；2．掌握椭圆的几何性质，能利用椭圆的几何性质，确定椭圆的标准方程 ；3．理解椭圆的参数方程，并掌握它的应用；4．掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，能解决与弦长、弦的中点有关的问题.二．基础训练：1．已知椭圆的方程为191622=+y x ，1F 、2F 分别为它的焦点，CD 为过1F 的弦，则△CD F 2 的周长为 ．2．已知椭圆的离心率32=e ，焦距是16，则椭圆的标准方程是 . 3．已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为 . 4．椭圆2225161x y +=的焦点坐标为 .三．例题分析：例1． 如图，PMN ∆中，1tan 2PMN ∠=,tan 2PNM ∠=-,PMN ∆面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，经过点P 的椭圆方程.M NP例2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，一条准线方程为1x =，倾斜角为45的直线交椭圆于A 、B 两点,设线段AB 的中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为α，(1)当arctan 2α=时，求椭圆的方程；(2)当2tan 3α<<时，求椭圆的短轴长的取值范围.例3.已知椭圆的一个顶点为()0,1A ,焦点在x 轴上，且右焦点到直线0x y -+=的距离为3，试问能否找到一条斜率为(0)k k ≠的直线l ,使l 与已知椭圆交于不同的两点M 、N 且满足||||AM AN =，并说明理由.四．课后作业： 班级 学号 姓名1．ABC ∆的一边BC 在x 轴上，BC 的中点在原点，||16BC =，AB 和AC 两边上中线长的和为30，则此三角形重心G 的轨迹方程是 .2．直线10y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有共点时，则m 的取值范围是___ _____. 3．已知1F 、2F 是椭圆1486422=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，若213PF PF =，则P 到左准线的距离为 ．4．方程221616x ky k +=的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 .5．(,)P x y 是椭圆123222=+y x 上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值是 。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题
第一课时 定点问题题型一 直线过定点问题例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.(1)解 由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1). 则AG→＝(a ，1)，GB →＝(a ，－1). 由AG →·GB →＝8，得a 2－1＝8， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去). 所以椭圆E 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)证明 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ).若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3<n <3. 易知直线P A 的方程为y ＝t9(x ＋3)， 所以y 1＝t9(x 1＋3).易知直线PB 的方程为y ＝t3(x －3)， 所以y 2＝t3(x 2－3).可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).① 由于x 229＋y 22＝1， 故y 22＝－（x 2＋3）（x 2－3）9，②由①②可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)， 结合x ＝my ＋n ，得(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.③ 将x ＝my ＋n 代入x 29＋y 2＝1， 得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0. 所以y 1＋y 2＝－2mnm 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9.代入③式，得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0. 解得n ＝－3(舍去)或n ＝32. 故直线CD 的方程为x ＝my ＋32， 即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.感悟提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.训练1 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问：直线l 是否过定点？证明你的结论. 解 (1)由|PF 1|＋|PF 2|＝4，得a ＝2， 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，代入椭圆方程有1a 2＋94b 2＝1，解得b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，k 1＋k 2＝y 1－32－y 1－32x 1＋1＝1，解得x 1＝－4，与椭圆无交点，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2－12＝0，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， Δ＝48(4k 2－m 2＋3)>0. 由k 1＋k 2＝1，整理得(2k －1)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋m －52(x 1＋x 2)＋2m －4＝0，即(m －4k )(2m －2k －3)＝0.当m ＝k ＋32时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；当m ＝4k 时，Δ＝4k 2－m 2＋3>0有解，此时直线l ：y ＝k (x ＋4)过定点(－4，0).题型二 圆过定点问题例2 (2021·湖南三湘名校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率为22，它的上焦点到直线bx ＋2ay －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 (1)由题意得，e ＝c a ＝22. 又a 2＝b 2＋c 2， 所以a ＝2b ，c ＝b . 又|2ac －2|4a 2＋b 2＝23，a >b ≥1，所以b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝169.当AB ⊥y 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 可得两圆交点为Q (－1，0).由此可知，若以线段AB 为直径的圆过定点，则该定点为Q (－1，0). 下证Q (－1，0)符合题意. 设直线l 的斜率存在，且不为0， 其方程设为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13，代入y 22＋x 2＝1，并整理得(k 2＋2)x 2－23k 2x ＋19k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 23（k 2＋2），x 1x 2＝k 2－189（k 2＋2）， 所以QA →·QB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k 2(x 1＋x 2)＋1＋19k 2＝(1＋k 2)·k 2－189（k 2＋2）＋⎝⎛⎭⎪⎫1－13k 2·2k 23（k 2＋2）＋1＋19k 2 ＝0.故QA→⊥QB →，即Q (－1，0)在以线段AB 为直径的圆上.综上，以线段AB 为直径的圆恒过定点(－1，0).感悟提升 1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k ＝0或k 不存在时.2.圆过定点问题，一般从圆的直径所对的圆心角为直角入手，利用垂直关系找到突破口，从而解决问题.训练2 (2022·江西红色七校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2 2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的定义可得2a ＝22， 则a ＝2，∵椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22， ∴c ＝1，则b ＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为y 22＋x 2＝1.(2)当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为x ＝my －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，T (t ，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －13，y 22＋x 2＝1消去x 并整理，得(18m 2＋9)y 2－12my －16＝0，Δ＝144m 2＋64(18m 2＋9)＝144(9m 2＋4)>0恒成立， 则y 1＋y 2＝12m 18m 2＋9＝4m 6m 2＋3，y 1y 2＝－1618m 2＋9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ， 则TA ⊥TB ，TA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13，y 1，TB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－t －13，y 2，则TA →·TB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－t －13＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋13(y 1＋y 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132＝－16（m 2＋1）－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋13×12m18m 2＋9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132－（12t ＋20）m 2＋1618m 2＋9＝0， ∵点T 为定点，∴t 为定值，与m 无关， ∴12t ＋2018＝169，解得t ＝1，此时TA →·TB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－169＝0，符合题意. 当直线l 与x 轴重合时，AB 为椭圆C 的短轴，易知以AB 为直径的圆过点(1，0). 综上所述，存在定点T (1，0)，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T .圆锥曲线中的“伴侣点”问题在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点A (m ，0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0，这一对点总是同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这对特殊的点形象地称作圆锥曲线的“伴侣点”.圆锥曲线的“伴侣点”在我们研究圆锥曲线的性质中具有重要的地位，蕴涵着圆锥曲线许多有趣的性质. 例 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，设A (m ，0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0(0<m <a )是x 轴上的两点，过点A 作斜率不为0的直线l ，使得l 交双曲线于C ，D 两点，作直线BC 交双曲线于另一点E .证明：直线DE 垂直于x 轴. 证明 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 则直线l 的方程为y ＝y 1x 1－m(x －m ). 把直线l 的方程代入双曲线方程，整理得(b 2x 21－a 2y 21－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2y 21m 2－a 2b 2(x 1－m )2＝0， 由b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2(点C 在双曲线上)，上面方程可化简为(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2[(y 21＋b 2)m 2＋b 2x 21－2b 2mx 1]＝0， 又因为b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2， 所以a 2(y 21＋b 2)＝b 2x 21，代入上式，方程又可化简为(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －b 2x 21m 2－a 2b 2x 21＋2a 2b 2mx 1＝0，由已知，显然a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2≠0，于是x 1x 2＝－x 21m 2＋a 2x 21－2a 2mx 1a 2－2mx 1＋m 2，因为x 1≠0，得x 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2ma 2－2mx 1＋m 2(*) 同理，直线BC 的方程为y ＝y 1x 1－a 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2m ， 所以只要把(*)中m 换成a 2m，就可以得到x 3＝－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 2＋a 2x 1－2a 2a 2m a 2－2a 2m x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2m a 2－2mx 1＋m 2， 所以x 2＝x 3，故直线DE 垂直于x 轴.1.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，如k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点.(1)解 若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1，2)，可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x .若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1，2)，可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝12y .综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)证明 因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x .易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)，将直线BP 的方程代入y 2＝4x ，消去y ，得 k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0.设P (x 1，y 1)，则x 1＝（k ＋2）2k 2，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫（k ＋2）2k 2，2k ＋4k . 用－2k 替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2，2－2k )，从而直线PQ 的斜率为2k ＋4k －2＋2k（k ＋2）2k 2－（k －1）2＝2k 3＋4k－k 4＋2k 3＋4k ＋4＝2k－k 2＋2k ＋2，故直线PQ 的方程是 y －2＋2k ＝2k －k 2＋2k ＋2·[x －(k －1)2]. 在上述方程中，令x ＝3，解得y ＝2， 所以直线PQ 恒过定点(3，2).2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点B (4，0)作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记点P 关于x 轴对称的点为P ′.证明：直线P ′Q 经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标.(1)解 由椭圆的定义，可知 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（23）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝4.解得a ＝2.又b 2＝a 2－(3)2＝1.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为 x ＝my ＋4(m ≠0).设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ′(x 1，－y 1).由⎩⎨⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x ，可得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0. ∵Δ＝16(m 2－12)>0，∴m 2>12. ∴y 1＋y 2＝－8mm 2＋4，y 1y 2＝12m 2＋4.∵k P ′Q ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1m （y 2－y 1）.∴直线P ′Q 的方程为 y ＋y 1＝y 2＋y 1m （y 2－y 1）(x －x 1).令y ＝0，可得x ＝m （y 2－y 1）y 1y 1＋y 2＋my 1＋4.∴x ＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4＝2m ·12m 2＋4－8m m 2＋4＋4＝24m－8m＋4＝1.∴D (1，0).∴直线P ′Q 经过x 轴上定点D ，其坐标为(1，0).3.如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1.(1)求kk 1的值；(2)当k 变化时，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)， 直线l 与直线l 1的交点为(0，1)，所以l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1，k ＝y －1x ，k 1＝y 0－1x 0， 由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2，①由y －y 0x －x 0＝－1，得y －y 0＝x 0－x ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，所以kk 1＝yy 0－（y ＋y 0）＋1xx 0＝（x ＋1）（x 0＋1）－（x ＋x 0＋2）＋1xx 0＝1. (2)证明 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得 (4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，所以x M ＝－8k 4k 2＋1，所以y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k 2. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k4＋k 2 ＝8－8k 48k （3k 2－3）＝－k 2＋13k ， 直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －－8k 4k 2＋1， 即y ＝－k 2＋13k x －8（k 2＋1）3（4k 2＋1）＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53.所以当k 变化时，直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53. 4.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1的左、右焦点，且C 1与C 2相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33. (1)求椭圆C 1的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx －13与椭圆C 1交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.解 (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33代入x 2m 2－y 2＝1，解得m 2＝1， ∴a 2＝m 2＋1＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33代入x 22＋y 2b 2＝1，解得b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，整理得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， ∴x 1＋x 2＝12k 9＋18k 2，x 1x 2＝－169＋18k 2， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)>0.由对称性可知，以AB 为直径的圆若恒过定点，则定点必在y 轴上. 设定点为M (0，y 0)，则MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0) MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0) ＝x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝x 1x 2＋k 2x 1x 2－k 3(x 1＋x 2)－y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤k （x 1＋x 2）－23＋19＋y 20 ＝(1＋k 2)x 1x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋y 0(x 1＋x 2)＋y 20＋23y 0＋19 ＝18（y 20－1）k 2＋9y 20＋6y 0－159＋18k 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 20－1＝0，9y 20＋6y 0－15＝0，解得y 0＝1， ∴M (0，1)，∴以线段AB 为直径的圆恒过定点(0，1).。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义
一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程0Ax By C++=（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立0(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y后得20ax bx c++=（1）当0a=时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l抛物线的对称轴平行。
（2）当0a≠时，0∆>，直线l与曲线C有两个不同的交点；0∆=，直线l与曲线C相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l与曲线C相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212ABABAB x y y⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>时，以P00（x,y）为中点的弦所在直线斜率22(0)bk ya=-≠xy，即22opbk ka=-g；若椭圆方程为22221(0)y xa ba b+=>>时，相应结论为22(0)ak yb=-≠xy，即22opak kb=-g；（2）P00（x,y）是双曲线22221x ya b-=部一点，以P为中点的弦所在直线斜率22(0)bk ya=≠xy，即22opbk ka=g；若双曲线方程为22221y xa b-=时，相应结论为22(0)ak yb=≠xy，即22opak kb=g；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ； 若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
Ⅱ 题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0∆>；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
圆锥曲线复习+课件
在其他数学分支中的地位和作用
圆锥曲线在解析几何、微积分、线性代数等数学分支中都有 重要应用。
圆锥曲线在解决物理、工程、经济等领域的问题中也有广泛 应用，例如物理学中的光学、力学问题，经济学中的供需关 系、最优问题等。
物体运动轨迹
在物理学中，圆锥曲线被用来描述各种 物体的运动轨迹。例如，当物体在重力 的作用下自由下落时，其运动轨迹可能 是一个抛物线；当物体沿着斜面滑下时 ，其运动轨迹可能是一个螺旋线。
VS
粒子运动
在量子力学和粒子物理学中，粒子在强磁 场中的运动轨迹通常被描述为复杂的曲线 ，这些曲线的形状和变化规律对于理解粒 子的性质和行为至关重要。
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圆锥曲线在几何学中的应 用
在几何学中，圆锥曲线被广泛应用于解决各 种问题，如轨迹问题、最值问题等。
现代圆锥曲线的研究方向和成果
圆锥曲线与代数几何的结合
现代数学家将圆锥曲线与代数几何相结合，研究了一些深层次的问题，如圆锥曲线的分类、几何不变量等。
圆锥曲线在物理学中的应用
在物理学中，圆锥曲线被应用于解决一些实际问题，如行星运动轨迹的计算、光学问题等。
• 解析
首先求出圆心A到抛物线准线的距离，然后与圆的半径进行比较，得 出圆与抛物线的位置关系。
解答题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且经过两个点$P_1(1,1)$和 $P_2( - frac{1}{5}, - frac{9}{5})$，求椭圆C的标准方程。
• 解析
根据椭圆的性质和给定的两个点，我们可以列出方程组解出椭圆的标 准方程。
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圆锥曲线复习题及解析
高考数学一轮复习讲义圆锥曲线综合应用
(1)Q 为 AB 的垂直平分线与直线 y＝－5 的交点．所以联立方 程，解方程组是解决此问题的重要思想方法．(2)建立△OPQ 的面积的函数表达式、注意函数的定义域．
批阅笔记
(1)主要考查直线、抛物线、两点间距离、函数单调性等知识， 考查抽象思维能力及数形结合的数学思想．(2)S△OPQ 的函数解 析式不能正确表达，是本题的一个重要失分点．(3)忽视对函 数定义域的限定．
探究提高
(1)待定系数法求曲线方程是一种重要的方法，要结合题目特 点，灵活运用；(2)在研究探索性问题时，通常是以存在入 手．本题研究的是是否存在等腰三角形 F1PQ，所以要对两 等边进行讨论．
变式训练 2
已知直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆 C：xa22＋by22＝ 1 (a>b>0)的左顶点 A 和上顶点 D，椭圆 C 的 右顶点为 B，点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方 的动点，直线 AS，BS 与直线 l：x＝130分别交 于 M，N 两点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)求线段 MN 的长度的最小值； (3)当线段 MN 的长度最小时，椭圆 C 上是否存在这样的点 T， 使得△TSB 的面积为15？若存在，确定点 T 的个数，若不存 在，说明理由．
意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过
解不等式(组)得出参数的变化范围；(2)转化为求函数的
值域．把所讨论的参数作为一个变量，另一个适当的参
数作为自变量来表示这个变量，从而建立函数关系，再
通过讨论函数的值域求出参数的变化范围．
求圆锥曲线的方程、离心率
例 1 已知中心在原点、焦点在坐标轴上的椭圆经过点 M1，43 2，N－3 2 2， 2. (1)求椭圆的离心率；
思想与方法
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第二课时 定值问题
第二课时 定值问题题型一 长度或距离为定值例1 (2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2，1). (1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值.(1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1, 且a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.因为A (2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0， 所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1.所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－13(k ≠1).所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1). 由AM →·AN→＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0.解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，使得|DQ |为定值.感悟提升 1.求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.2.求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.训练1 (2022·成都诊断)已知动点P (x ，y )(其中x ≥0)到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过椭圆C 1：x 216＋y 212＝1的右顶点作直线交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点. ①求证：OA ⊥OB ；②设OA ，OB 分别与椭圆C 1相交于点D ，E ，证明：坐标原点到直线DE 的距离为定值.(1)解 由题意，得（x －1）2＋y 2＝x ＋1(x ≥0)，两边平方，整理得y 2＝4x ，所以所求点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 ①设过椭圆的右顶点(4，0)的直线AB 的方程为x ＝my ＋4. 代入抛物线方程y 2＝4x ，得y 2－4my －16＝0， 由题意知Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2 ＝(1＋m 2)y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(1＋m 2)＋4m ×4m ＋16＝0， 即OA →·OB→＝0，∴OA ⊥OB .②设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，直线DE 的方程为x ＝ty ＋λ，代入x 216＋y 212＝1，得 (3t 2＋4)y 2＋6tλy ＋3λ2－48＝0，Δ>0， 于是y 3＋y 4＝－6tλ3t 2＋4，y 3y 4＝3λ2－483t 2＋4.从而x 3x 4＝(ty 3＋λ)(ty 4＋λ)＝t 2y 3y 4＋tλ(y 3＋y 4)＋λ2＝4λ2－48t 23t 2＋4.∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝0，即x 3x 4＋y 3y 4＝0，代入，整理得7λ2＝48(t 2＋1)， ∴坐标原点到直线DE 的距离d ＝|λ|1＋t 2＝4217，为定值. 题型二 斜率或其表达式为定值例2 (12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值. [规范解答](1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点P (1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x .……………………2分 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. ……………………4分 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <1，又因为k ≠0，故k <0或0<k <1. 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). ………………6分 (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2.直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1). ……………………7分 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. ……………………8分同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. ……………………9分由QM→＝λQO →，QN →＝μQO →得 λ＝1－y M ，μ＝1－y N . ……………………10分所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ＝2为定值. ……………………12分第一步 求圆锥曲线的方程 第二步 特殊情况分类讨论 第三步 联立直线和圆锥曲线的方程第四步 应用根与系数的关系用参数表示点的坐标 第五步 根据相关条件计算推证 第六步 明确结论训练2 (2021·大同调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，354在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值. (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，即a ＝2. 又点⎝⎛⎭⎪⎫e ，354在椭圆上， ∴e 2a 2＋4516b 2＝1，即c 216＋4516b 2＝1， 又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程解得b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由(1)知A (－2，0)，B (2，0)，设P 点坐标为(s ，t )，M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)， 则直线AP 的方程为y ＝ts ＋2(x ＋2)， 故M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，t s ＋2（m ＋2）， 故直线BM 的斜率k 1＝t （m ＋2）（s ＋2）（m －2），同理可得直线AN 的斜率k 2＝t （m －2）（s －2）（m ＋2），故k 1k 2＝t （m ＋2）（s ＋2）（m －2）×t （m －2）（s －2）（m ＋2） ＝t 2s 2－4，又P 点在椭圆上，∴s 24＋t 23＝1，t 2＝－34(s 2－4)， 因此k 1k 2＝－34（s 2－4）s 2－4＝－34， 即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值. 题型三 几何图形面积为定值例3 (2021·西北工大附中质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E 上，点A (a ，0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值. (1)解 ∵e ＝ca ，且(1，e )在椭圆E 上， ∴1a 2＋e 2b 2＝1，则1a 2＋c 2a 2b 2＝1.① 又c 2＝a 2－b 2，② 联立①②，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3， 所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1. (2)证明 当直线l 的斜率不存在时， 设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)， 由⎩⎨⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29，则k 1k 2＝1－t 29t ×－1－t 29t＝－1－t 29t 2＝－19，解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1，消去y 并整理，得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9) ＝36(9k 2－m 2＋1)>0，x 1＋x 2＝－18km9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19，化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0. |MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1. 又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以S △OMN ＝12×|MN |×d＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k2＝3|m |m 22m 2＝32.综上可知，△OMN 的面积为定值32.感悟提升 解此类题的要点有两个：一是计算面积，二是恒等变形.如本题，要求△OMN 的面积，则需要计算弦长|MN |和原点O 到直线l 的距离d ，然后由面积公式表达出S △OMN (如果是其他凸多边形，一般需要分割成三角形分别求解)，再将由已知得到的变量之间的等量关系代入面积关系式中，进行恒等变形，即得S △OMN 为定值32.训练3 已知点F (0，2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值.若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由.解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0，2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0，2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y 消去y整理得x 2－8kx －8b ＝0， Δ＝64k 2＋32b >0.则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k ，4k 2＋b ).由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ， ∴点C 的坐标为(4k ，2k 2). ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2， ∴b ＝（m 2＋1）2－64k 232.∴S △ABC ＝12|CQ |·|x 2－x 1| ＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1) ＝（m 2＋1）364，∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值.齐次化处理策略圆锥曲线中常见一类问题，这类问题的特点是条件中的两直线斜率之和或之积是一个指定常数.这种问题的求解方法多种多样，但是采用齐次化方法，可以将这两种题型统一处理.接下来谈谈齐次化方法在处理圆锥曲线这些问题中的应用. 一、处理两直线斜率之积为定值的问题例1 已知椭圆的中心为原点O ，长轴、短轴长分别为2a ，2b (a >b >0)，P ，Q 分别在椭圆上，且OP ⊥OQ .求证：1OP 2＋1OQ 2为定值.证明 设P ，Q 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ ：mx ＋ny ＝1，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，联立方程⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，mx ＋ny ＝1.齐次化有x 2a 2＋y 2b 2＝(mx ＋ny )2，整理可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－n 2y 2－2mnxy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－m 2x 2＝0. 左右两边同除以x 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－2mn y x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－m 2＝0. 由根与系数的关系得y 1x 1·y 2x 2＝1a 2－m 21b 2－n 2. 由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝1a 2－m 21b 2－n 2＝－1， 整理得m 2＋n 2＝1a 2＋1b 2.由于原点O 到直线PQ 的距离d ＝1m 2＋n 2＝ab a 2＋b 2，又S △OPQ ＝12|OP |·|OQ |＝12|PQ |d ，所以1d 2＝|PQ |2|OP |2|OQ |2＝|OP |2＋|OQ |2|OP |2·|OQ |2＝1|OP |2＋1|OQ |2＝m 2＋n 2＝1a 2＋1b 2为定值.二、处理两直线斜率之和为定值的问题 例2 如图所示，过椭圆C ：x 28＋y 22＝1上的定点P (2，1)作倾斜角互补的两条直线，设其分别交椭圆C 于A ，B 两点，求证：直线AB 的斜率是定值.证明 设直线AB 方程为m (x －2)＋n (y －1)＝1，因为x 28＋y 22＝（x －2＋2）28＋（y －1＋1）22 ＝（x －2）28＋（y －1）22＋4（x －2）8＋2（y －1）2＋1. 所以椭圆方程可化为（x －2）28＋（y －1）22＋4（x －2）8＋2（y －1）2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆方程齐次化得（x －2）28＋（y －1）22＋4（x －2）8[m (x －2)＋n (y －1)]＋2（y －1）2[m (x －2)＋n (y －1)]＝0， 左右两边除以(x －2)2得2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －1x －22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4＋m 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －1x －2＋4m ＋18＝0. 由根与系数关系得y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4＋m 22n ＋12. 又直线P A ，PB 倾斜角互补，所以k P A ＋k PB ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4＋m 22n ＋12＝0，即n 4＋m 2＝0，所以k AB ＝－m n ＝12.故直线AB 斜率为定值，此定值为12.1.已知椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)不与坐标轴垂直的直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，且与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点P ，求证：当l 的方向变化时，|MN |与|PF |的比值为常数.(1)解 由于a ＝2，e ＝12＝c a ，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设直线MN 的方程为x ＝ty ＋1(t ≠0)，代入椭圆方程可得：(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， 所以|MN |＝1＋t 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝1＋t 2·36t 2（3t 2＋4）2＋363t 2＋4＝12（t 2＋1）3t 2＋4， 设线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝－3t 3t 2＋4， x 0＝ty 0＋1＝43t 2＋4， 则MN 的垂直平分线方程为y ＋3t 3t 2＋4＝－t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43t 2＋4， 令y ＝0，得点P 的横坐标为x P ＝13t 2＋4， 于是|PF |＝|1－x P |＝3（t 2＋1）3t 2＋4＝14|MN |， 故当l 的方向改变时，|MN |与|PF |的比值为常数4.2.(2022·河南名校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)经过定点Q (m ，0)(m >2)的直线l 交椭圆C 于不同的两点M ，N ，点M 关于x 轴的对称点为M ′，试证明：直线M ′N 与x 轴的交点S 为一个定点，且|OQ |·|OS |＝4(O 为坐标原点).(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，12·2a ·b ＝23，a 2＝b 2＋c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由题意知直线l 的斜率一定存在，设为k ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，M ′(x 1，－y 1)，S (n ，0)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －m ），x 24＋y 23＝1，消去y ，得 (3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，由Δ>0得(4－m 2)k 2＋3>0，即k 2<3m 2－4时M ，N 一定存在. ∴x 1＋x 2＝8k 2m 4k 2＋3，x 1·x 2＝4k 2m 2－124k 2＋3. 当斜率k 不为0时，∵M ′，N ，S 三点共线，∴k M ′S ＝k NS ，即－y 1x 1－n ＝y 2x 2－n， 即y 2(x 1－n )＋y 1(x 2－n )＝0，即k (x 2－m )(x 1－n )＋k (x 1－m )(x 2－n )＝0，化简，得2x 2x 1－(n ＋m )·(x 1＋x 2)＋2mn ＝0，即mn －44k 2＋3＝0，所以mn ＝4，n ＝4m ，∴S ⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ，0，且|OQ |·|OS |＝mn ＝4. 当斜率k ＝0时，直线M ′N 与x 轴重合，满足结论.综上，直线M ′N 与x 轴的交点S 为一个定点⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ，0，且|OQ |·|OS |＝4. 3.(2022·武汉质检)设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线E 于A ，B 两点.当l 与x 轴垂直时，△AOB 的面积为8，其中O 为坐标原点.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)若l 的斜率存在且为k 1，点P (3，0)，直线AP 与E 的另一交点为C ，直线BP与E 的另一交点为D ，设直线CD 的斜率为k 2，证明：k 2k 1为定值. (1)解 当l 与x 轴垂直时，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ， ∴|AB |＝2p ，则S △AOB ＝12·2p ·p 2＝8，∴p ＝4，∴y 2＝8x .(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线l 的斜率为k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 218（y 21－y 22） ＝8y 1＋y 2， 同理可得k 2＝8y 3＋y 4， 直线l 的方程为y －y 1＝8y 1＋y 2(x －x 1)， 则(y 1＋y 2)y －y 1y 2＝8x .又点F (2，0)在直线l 上，所以－y 1y 2＝16，设直线AC 的方程为x ＝ty ＋3，则与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，y 2＝8x⇒y 2－8ty －24＝0，∴y 1y 3＝－24.同理可得y 2y 4＝－24，∴y 3＝－24y 1，y 4＝－24y 2， ∴k 2k 1＝8y 3＋y 48y 1＋y 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4＝y 1＋y 2－24y 1－24y 2＝y 1y 2－24＝－16－24＝23. 4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，上顶点为E ，左焦点为F ，且满足直线EF 与圆x 2＋y 2＝34相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上两个动点，且直线OA ，OB 的斜率满足k OA k OB ＝－14，证明：△AOB 的面积为定值.(1)解 ∵e ＝32，∴a 2－b 2a 2＝34，得a ＝2b ，c ＝3b ， 则EF 所在直线的方程为x 3b＋y b ＝1， 即x －3y ＋3b ＝0.又直线EF 与圆C 相切，∴3b 2＝32，b ＝1，则a ＝2.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋m (直线AB 的斜率存在时)， 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 可知Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0， x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， 从而|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝4·（1＋k 2）（4k 2＋1－m 2）1＋4k 2. 原点到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝2·|m |·4k 2＋1－m 21＋4k2. 又由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得 (4k 2＋1)y 2－2my ＋m 2－4k 2＝0.∴y 1y 2＝m 2－4k 21＋4k 2，得k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝m 2－4k 24m 2－4＝－14，即2m 2＝1＋4k 2， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝2·|m |·4k 2＋1－m 21＋4k2＝1； 当AB 的斜率不存在时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，k OA ·k OB ＝－y 21x 21＝－14. 又x 214＋y 21＝1，解得|x 1|＝2，|y 1|＝22. S △AOB ＝|x 1||y 1|＝1.综上，△AOB 的面积为定值1.。
圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义
前言编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂结论。
本书筛选了2010-2018年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。
考虑到高中生学习繁忙，编者尽可能的将本书压缩到了一百余页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以启发。
不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。
如果连一些基本算理都搞不清的话，则是开卷无益。
本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为主，部分内容借鉴了网上公开的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二第三定义及其衍生的结论并没有去细致讲解，请同学们依据课本自行完善。
由于本书核心部分来自孙斌老师。
我做二次处理而成，加入了答案和少量自己的见解。
如有疏漏与错误，还请包涵与指正。
QQ:21113823湖北省广水实高李大丹目录第一章题目信息转化为坐标表达/21.1距离公式与弦长公式/31.2题目核心条件转化为坐标/91.3转化为坐标后，怎么处理/16第二章获得点的坐标解决问题/252.1通过表示点的坐标解决问题/252.2怎么获取点的坐标/262.3设点与设直线结合起来/41第三章定点定值/493.1什么样的直线过定点/493.2怎么解决直线过定点/503.3圆过定点与定值举例/58第四章优化计算/604.1反设直线/604.2简化运算的技巧/63第五章面积与最值/665.1三角形的面积表达/665.2求最值之变量化一/775.3求最值之均值不等式/795.4求最值之借助导数/83第六章切线/86第七章轨迹方程/98第八章借助几何分析解决问题/108第九章探索类问题/136第十章对称问题/143第十一章弦中点与点差法/149第一章题目信息转化为坐标表达第一章题目信息转化为坐标表达/21.1距离公式与弦长公式/31.2题目核心条件转化为坐标/91.3转化为坐标后，怎么处理/16总思路：1.联立直线与曲线并且判断Δ>0⇒使用韦达定理得到x1＋x2＝,x1x2＝(绝大部分学生能做到)2.题目中核心信息⇒坐标表达式(本课需要解决的问题，也是学生感觉最杂的问题。
§9.6 圆锥曲线的综合问题(讲解部分) 高考数学(课标版,文科)复习课件
③定值——把得到的函数解析式化简,消去变量得到定值.
(2)求定值问题常见的方法
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; ②直接推理、计算,并在推理、计算的过程中消去变量,从而得到定值.
考向突破
考向一 定点问题
例2
(2019新疆第一次毕业诊断及模拟,20)已知椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)过
求动点轨迹方程常用的方法 ①直接法;②定义法;③几何法;④相关点法(代入法);⑤参数法;⑥交轨法.其 中④⑤⑥统称为间接法,体现了一种转化思想,若解题过程中引入了n个参 数,则只需建立(n-1)个方程.在探求轨迹方程的过程中,需要注意的是轨迹 方程的“完备性”和“纯粹性”,因此,在求得轨迹方程之后,要深入地思 考一下:是否还遗漏了一些点;是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在; 在所求得的轨迹方程中,x,y的取值范围是否有限制.
k
x-
3 2
+
5 2
(k≠0),代入
y2 10
+
x2 6
=1,
得(3k2+5)x2+3k(5-3k)x+3
-
3 2
k
5 2
2
-30=0,
设E(xE,yE),F(xF,yF),∵点A
3 2
,
5 2
在直线AE上,
∴xE=
3k (3k -5) 3k 2 5
-
3 2
=
9k 2 -30k-15 6k 2 10
在x轴上方,则y1>0,又F
1 4
,0
,∴S△ABO+S△AFO=
1 2
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高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义一、基础知识【理解去记】1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为若焦点在y3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (±4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。
若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex.5.补充知识点： 几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为：12020=+byy a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ2222cos 2c a ab l -=。
6．双曲线的定义，第一定义：满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕtan sec b y a x （ϕ为参数）。
焦点在y8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F 1(-c,0), F 2(c, 0)，对应9．补充知识点：双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线12222=-by a x ，F 1（-c,0）, F 2(c, 0)是它的两个焦点。
设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex-a ；若P （x,y ）在左支上，则|PF 1|=-ex-a ，|PF 2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ2222cos 2c a ab -。
抛物线常用结论：若P(x 0, y 0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=2p x +； 2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x 0)；3）过焦点倾斜角为θ的弦长为θ2cos 12-p。
二、直线与圆锥曲线的位置关系一、知识整理：1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。
多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。
2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。
第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b （或斜率不为零时，设x=my+a ）； 第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2);第三步：联立方程组⎩⎨⎧=+=0)y ,x (f bkx y ，消去y 得关于x 的一元二次方程；第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件⎩⎨⎧>∆0二次系数不为零，⎩⎨⎧=⋅=+2121x x x x第五步：把所要解决的问题转化为x 1+x 2 、x 1x 2 ，然后代入、化简。
3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o ,y o )，先设两个交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y ,x (f ,0)y ,x (f 2211==，两式相减、分解因式，再将o 21o 212y y y ,2x x x =+=+代入其中，即可求出直线的斜率。
4.弦长公式:]x 4x )x x )[(k 1(|x x |k 1|AB |212212212-++=-+=( k 为弦AB 所在直线的斜率)高考真题:1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴322c a =，∴e =34，∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，故选C.2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C.3.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 283x y = (B) 2163x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。
4\【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45【答案】C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。
首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知，2,2a b c ==∴=，设12||2,||PF x PF x ==，则12||||222PF PF x a -===，故12||42,||22PF PF ==，124F F =，利用余弦定理可得22222212121212(42)(22)43cos 2422242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅⨯⨯。
5\(2011年高考广东卷文科8)设圆C 与圆 错误！未找到引用源。
外切，与直线0y =错误！未找到引用源。
相切．则C 的圆心轨迹为（ ）A ． 抛物线B ． 双曲线C ． 椭圆D ． 圆6.【2012高考四川文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、22B 、23C 、4D 、5【答案】B[解析]设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则焦点坐标为（0,2p ），准线方程为x=2p-, 32)22(2||22,222,132p 22p -22202202=+=∴∴===+=+∴∴OM M y p y M M 有：），根据两点距离公式（点解得：）（）（线的距离，即到焦点的距离等于到准在抛物线上，Θ[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点M 到准线的距离).7.（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
8.【2012高考四川文15】椭圆2221(5x y a a +=为定值，且a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
【答案】32，[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又522=-c a Θ32,2==∴=∴a c e c [点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.9.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x 2- y 2=1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2,则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为___________________.【答案】【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。
【解析】由双曲线的方程可知121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+=Q【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。
10.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+，则m 的值为▲ ． 【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由22214x y m m -=+得a b c∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m 。
11.【2012高考安徽文14】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______。
【答案】32【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3 得：1323cos cos 3θθ=+⇔=又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+ 12.（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线2y x = 的焦点，A ．B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为——————。