经典三角形和四边形综合练习(附详细答案)
三角形四边形中考经典综合题
1、（本题满分8分）已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝600，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F 。
（1）求证：△AOE ≌△COF(2）若∠E0D ＝300，求CE 的长.2．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米。
M 点在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1米/秒;同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动,速度为2米/秒.运动时间为t 秒.（1）、求AB 的长(2）、当t 为何值时,∠AMN=∠ANM ?3．如图，已知平行四边形ABCD ,DE 是ADC ∠的角平分线，交BC 于点E ． (1)求证：CD CE =；(2）若BE CE =,80B ∠=︒,求DAE ∠的度数．4．（本题满分8分)如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点,O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q 。
（1）求证：OP OQ =;OFEDQ P ODCBAEDCBA(2）若8AD =厘米，6AB =厘米,P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合)。
设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长； 并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．5．(本题满分6分)如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥,AE=3，CD=4. 求（1）求AD 的长；(2）求BC 的长.6．（本题满分10分）如图，在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒,6OA AB ==,将OAB ∆绕点O 沿逆时针方向旋转90︒得到11OA B ∆．（1)线段1OA 的长是 ,1AOB ∠的度数是 ;（2)连结1AA ,求证:四边形11OAA B 是平行四边形；(3）求四边形11OAA B 的面积．7．(本题满分6分)如图，B C E ，，是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，连结BG DE ，． （1）观察图形，猜想BG 与DE 之间的大小关系,并证明你的结论; （2）若延长BG 交DE 于点H ，求证：BH DE ⊥．8.Rt △ABC 与Rt △FED 是两块全等的含30o、60o角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB 与DE 重合．(1）求证:四边形ABFC 为平行四边形；（2）取BC 中点O ,将△ABC 绕点O 顺时钟方向旋转到如图（二）中△C B A '''位置，直线C B ''与AB 、CF 分别相交于P 、Q 两点，猜想OQ 、OP 长度的大小关系，并证明你的猜想．（3）在（2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB 为菱形，并说明理由。
北师大四年级数学下册《认识三角形和四边形》试题附答案(全套)
二认识三角形和四边形1 图形分类重点导学知识点：对已经学过的一些图形进行整理分类，了解这些图形的类别特征。
例题：给下面的图形分类。
点拨：进行图形分类的时候，我们既可以按照图形是否是平面图形来分，也可以按照图形是否由线段围成来分，还可以按照围成图形的边数来分。
【轻松通关】一、把下面的图形进行分类。
（填序号）1.平面图形有（）。
2.立体图形有（）。
3.由四条边围由成的图形有（）。
4.由三条边围成的图形有（）。
二、精挑细选。
（将正确答案的序号填在括号里）1.四边形具有（）的特性，三角形具有（）的特性。
A.稳定B.容易变形2.下面的图形中，“最坚固”的图形是（）。
A.长方形B.正方形C.三角形D.梯形三、想一想，连一连。
【能力晋级】四、在下面的图形中任意画一条线段，使原来的图形变成两个三角形。
五、解决问题。
1.电线杆上的支架为什么要做成三角形？2.学校的伸缩门为什么要做成平行四边形？参考答案一、1.①③⑤⑥⑦⑨⑩ 2. ②④⑧ 3.①③⑥⑨⑩ 4.⑦二、1.BA 2.C三、四、略。
五、1. 因为三角形很稳定。
2.因为平行四边形容易变形，有伸缩性。
二认识三角形和四边形2 三角形分类重点导学知识点：会对三角形进行分类，并在分类中感受各类三角形之间的关系。
例题：把下面的图形进行分类。
（填序号）点拨：分类的时候，需要熟练掌握直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形的特点。
【轻松通关】一、想一想，填一填。
1.三角形有（）个角，（）条边。
2.三角形按边分类可分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。
3.三角形按角分类可分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。
4.等边三角形又叫（）三角形，它的三条边都（），三个角也（），每个角都是（）度。
二、判断是非。
（对的画“√”，错的画“×”）1.由三条直线围成的图形叫做三角形。
（）2.所有的等腰三角形都是锐角三角形。
（）3.等腰三角形都是等边三角形。
（）4.所有等边三角形都是等腰三角形而且都是锐角三角形。
小学综合算式专项测题三角形与四边形运算训练
小学综合算式专项测题三角形与四边形运算训练在小学数学学习中，综合算式是一个重要的知识点。
掌握了综合算式的运算技巧，可以帮助学生更好地应用数学知识解决问题。
本文将以三角形与四边形的运算为例，训练小学生综合算式的能力。
1. 三角形的运算三角形是一个具有三个边和三个角的图形。
在计算三角形的面积、周长和角度等问题时，我们需要灵活运用综合算式。
例题1：已知一个三角形的底边长为12cm，高为8cm，求其面积。
解析：三角形的面积可以通过底乘以高再除以2来计算。
根据题目，我们可以将算式表示为：面积 = 12 * 8 / 2 = 48 平方厘米。
例题2：一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求其斜边的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过两条直角边的平方和的平方根来计算。
根据题目，我们可以将算式表示为：斜边=√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 厘米。
2. 四边形的运算四边形是一个具有四个边和四个角的图形。
在计算四边形的周长、面积和边长等问题时，我们同样需要灵活应用综合算式。
例题3：一个正方形的边长为10cm，求其周长和面积。
解析：正方形的周长可以通过将边长乘以4来计算，面积可以通过将边长的平方来计算。
根据题目，我们可以得出：周长 = 10 * 4 = 40 厘米，面积 = 10² = 100 平方厘米。
例题4：一个长方形的长为6cm，宽为4cm，求其周长和面积。
解析：长方形的周长可以通过将长和宽分别乘以2再相加来计算，面积可以通过将长乘以宽来计算。
根据题目，我们可以得出：周长 = (6 + 4) * 2 = 20 厘米，面积 = 6 * 4 = 24 平方厘米。
综合算式在解决三角形和四边形问题时起着重要的作用。
通过练习和理解这些基本的运算规则，学生可以培养逻辑思维和分析问题的能力，提高数学解题的水平。
除了以上的例题，还可以在教学中引入更多的练习题目，让学生通过实际操作来巩固和应用所学知识。
初二 三角形与四边形的综合题
三角形与四边形的综合题知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究1．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（）．（A）①②③（B）①④⑤（C）①②⑤（D）②⑤⑥2．把“直角三角形、等腰三角形、•等腰直角三角形”填入下列相应的空格上：（1）正方形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成；（2）菱形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成；（3）矩形可以由两个能够完全重合的________拼合而成．3．一张矩形纸片按如图甲或乙所示对折，然后沿着图丙中的虚线剪下，得到①，•②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）．（A ）三角形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）梯形4．小许拿了一张正方形的纸片如图甲，沿虚线对折一次得图乙．•再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角．打开后的形状是（• ）．演练方阵A 档（巩固专练）1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是 .2．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．3．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形． 5若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件A BCD(写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．6．，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED 的度数为 . 8．延长正方形ABCD 的边AB 到E ，使BE ＝AC ，则∠E＝ °9．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．10．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．B 档（提升精练）1如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．） 问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接写出结论．问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明．AC DFE NM O BC DH A F NM 1 2 图1图2 图3ABDF GE2已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEFCEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．3已知：ABC △的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ．（1）如图l ，若ABC △为锐角三角形，且45ABC ∠=°，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，求证：FG DC AD +=；（2）如图 2，若135ABC ∠=°，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，则FG 、DC 、AD 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2FAE CDG BF（图1）AE CB DFG（图2）4已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=． （1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5已知：如图，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG 与直线BC 相交，易证：)(21AC BC AB FG ++=，若： （1）BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。
重庆中考26题三角形四边形几何综合专题练习(12月周考集合) -含答案
2021年重庆年中考26题三角形四边形几何综合专题练习（12月中旬期中集合）1（巴蜀2021级初三上期中测试）已知等腰直角△ABC 中，90BAC ∠=,AB=AC ，以点A 为顶点作等腰直角△ADE ，期中AD=AE ，（1）如图1，点E 在BA 的延长线上，连接BD ，若30DBC ∠=，若AB=6，求BD 的值；（2）将等腰直角△ADE 绕点A 顺时针旋转至图2，连接BE ，CE ，过点D 作DF ⊥CE 交CE 的延长线于F ，交BE 于M ，求证：12BM BE =； （3）如图3，等腰直角△ADE 的边长和位置发生变化的过程中，DE 边始终经过BC 的中点G ，连接BE ，N 为BE 中点，连接AN ，当B=6且AN 最长时，连接NG 并延长交AC 于点K ，请直接写出△ANK 的面积.2（南开2021级初三上期中测试）在△ABC中，AD⊥BC与点D，∠C=45，将线段AB绕点A逆时针旋转90得到AE，连接BE。
（1）如图1，过点E作EF⊥AD于点F，已知BD=5,DF=7，求BE的长；（2）如图2，M为线段BE上一点，且满足BAM CBE∠=∠，过E作EG⊥AM于点H，交AB于点G，过M作MN//AC交AB于点N，求证：AG=BN；（3）在第（2）问得条件下，若1tan3BAM∠=，请直接写出BMMN的值。
3（八中2021级九上定时训练八）如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90，点D 是AB 上一点，连接CD ，以CD 为边作等边△CDE 。
（1）如图1，若45CDB ∠=,AB=CDE 的面积；（2）如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接CF 、DF ，求证：CF DF ⊥;（3）如图3，在（2）的条件下，将△CFD 沿CF 翻折得'CFD ,连接'BD ,直接写出'BD AB的最小值.4（八中2021级初三上定时训练十）如图，在等边时那叫ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD得中垂线于点E，连接BE，DE.（1）如图1，若DE=30，BC=2，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF=CD，求证：12AB EF=;（3）在（2）的条件下，若∠AED=45，则线段BD，EF，ED存在等量关系为：DE mEF nBD=+,（m，n为常数且m>0,n>0），直接写出m，n的值.5（八中2021级初三上定时训练十一）如图1，△ABC为等边三角形，D为AG右侧一点，且AD=AC，连接BD 交AC于点E，延长DA、CB交于点F.（1）若∠BAF=30，AF AD；（2）证明：CF=AF+AE；（3）如图2，若AB=2，G为BC中点，连接AG，M为AG上一动点，连接CM，将CM绕着M点逆时针旋转90到MN，连接AN，CN，当AN最小时，直接写出△AMN的面积.6（八中2021级初三上期中测试）△ABC 为等边三角形，将线段CA 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CD ，连接BD（1）如图1，BE 平分∠ABD ，CE ⊥BC ，CE 与BD 交于点F ，AB =6，求BEF S ∆；（2）如图2，连接AD ，点M ，点N 分别是线段AC ，CD 上两动点，且满足AM =CN ，连接DM 、AN ，线段DM 、AN 交于点P ，连接PB ．求证：2223PA PD PB =-；（3）如图2，若AB =6，AM =CN =AC 31，直接写出AP 的长．。
三角形四边形大题汇总题目及答案
解答题（共60分）21．(本题6分)（’09肇庆）如图 ，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，． （1）求证：△ABD 是正三角形； （2）求 AC 的长（结果可保留根号）．22. (本题6分)（09年宜宾）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F . （1）求证：AM =DM ；（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．23．(本题6分)（09襄樊市）如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形；（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？24．(本题6分) (09年湖州)如图：已知在ABC △中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作DE AB DF AC ⊥，⊥，垂足分别为E F ，. （1） 求证：BED CFD △≌△；（2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形.O DCA第23题图 ADFCE GB第24题图DCB EAFBACDFM 第22题图 E25．(本题8分)（09年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ． （1）求证：AF =BE ；（2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．26．(本题8分)（09年益阳市）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，CD =2cm .(1)求∠CBD 的度数；(2)求下底AB 的长.27．(本题10分) 如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ．（1）求证：BF FD =；（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件14DG DA =，并说明理由．28．(本题10分)（’09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正DEF PBA第25题图CABC第26题图D60°ABCD FEM确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．34．如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形 ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M 。
小学数学四年级-认识三角形和四边形(经典例题含答案)
认识三角形和四边形经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、图形分类（一）图形的分类（共4小题，每题3分，共计12分）例1.填一填。
(1)平行四边形容易(变形)，三角形具有(稳定性)。
(2)三角形是(平面)图形，球形是(立体)图形。
例1.变式1找家。
四边形①②③⑦⑧三角形④⑩立体图形⑥平面图形①②③④⑤⑦⑧⑨⑩例1.变式2按要求分类。
（只填序号）(1)立体图形有(②④⑥)。
(2)平面图形有(①③⑤⑦⑧⑨⑩)。
(3)由线段围成的平面图形有(①③⑤⑦⑧⑩)。
(4)由曲线围成的平面图形有(⑨)。
(5)由四条边围成的平面图形有(①③⑤⑧⑩)。
(6)由三条边围成的平面图形有(⑦)。
例1.变式3哪种围篱笆的方法更牢固？为什么？答：第二种方法更牢固，利用了三角形的稳定性（二）理解三角形的稳定性和四边形的不稳定性及其在生活中的运用（共4小题，每题3分，共计12分）例2.观察下面物体，你发现了什么？答：发现生活中的物品都是由图形构成的，三角形能起到很好的固定作用例2.变式1数一数，下面图中各有几个三角形。
104例2.变式2从一块长方形木板上锯掉一块宽为20厘米的长方形木条，剩下的木板为一个正方形，周长为180厘米，求原来长方形木板的周长和锯下的长方形木条的周长。
原：（180÷4+20+180÷4）×2=220（厘米）锯：（20+180÷4）×2＝130（厘米）答：原来长方形木板的周长是220厘米，锯下的长方形木条的周长是130厘米.例2.变式3自行车的三角形车架是利用了三角形的（稳定性）特性.例3.填一填。
(1)三个角都是(锐)角的三角形是锐角三角形，有(一)个角是(直角)的三角形是直角三角形，有(一)个角是(钝角)的三角形是钝角三角形。
(2)有(两)条边相等的三角形是等腰三角形，(三)条边都相等的三角形是等边三角形。
例3.变式1分类。
(1)锐角三角形有(①⑤⑥)。
小学四年级 三角形和四边形 图形与几何专题(附答案)
小学四年级三角形和四边形图形与几何专题(附答案)图形与几何专题一、填空题1、三角形的内角和是180°，一个等腰三角形，它的一个底角是26°，它的顶角是128°。
2、长5厘米，8厘米，13厘米的三根小棒不能围成一个三角形。
3、三角形具有三边性。
4、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是90°，这是一个直角三角形。
5、按角的大小，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形、直角三角形。
6、在三角形中，∠1=30°，∠2=70°，∠3=80°，它是锐角三角形。
7、有两组对边平行的四边形是平行四边形。
8、在一个直角三角形中，有一个角是30°,另两个角分别是60°、90°。
9、长方形正方形是特殊的四边形。
10、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是90度。
11、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是钝角三角形，另一个角是95度。
12、一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是27厘米。
13、数一数下图中有5个角。
二、判断题1、√2、√3、×4、√5、×6、×7、√8、×9、×10、√11、√12、√三、选择题1、A2、C3、B4、A5、1个。
一、数学题6、一条红领巾，它的顶角是100°，它的一个底角是多少度？答：80度7、把一个10°的角先扩大6倍后，再用6倍的放大镜来看，看到的角是多少度？答：60度8、一个三角形的两条边分别是40厘米、50厘米，第三条边的长度只能选哪个？答：90厘米9、下面说法，正确的是：答：等腰三角形都是锐角三角形。
10、如果一个三角形中，一个角是另一个角的2倍，那么这个三角形一定不是哪种三角形？答：等腰直角三角形11、直角三角形的内角和是锐角三角形的内角和的哪个关系？答：小于12、下面分别是三角形的三条边长度，不能围成三角形的是哪个？答：5cm、6cm、7cm二、画图题4、我是小画家。
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。
2021年中考数学复习《三角形与四边形》综合测试卷
《三角形与四边形》综合测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)(第1题)1．如图，AC 与BD 相交于点O ，AB ∥CD ，∠AOB ＝105°，∠B ＝30°，则∠C 的度数为(A )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°2．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β互余的是(A ),(第2题))A ．①B ．②C ．③D ．④(第3题)3．如图，在正五边形ABCDE 中，连结BE ，则∠ABE 的度数为(B ) A ．30° B ．36° C ．54° D ．72°【解析】 ∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴∠A ＝108°，AB ＝AE ， ∴∠ABE ＝12×(180°－108°)＝36°.4．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是(C ) A ．6 B ．7 C ．11 D ．12【解析】 ∵2＜第三边长＜6， ∴8<周长<12，∴该三角形的周长可能是11. 5．下列命题正确的是(D ) A ．矩形对角线互相垂直B ．方程x 2＝14x 的解为x ＝14C．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(第6题)6．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是(B)A．∠A＝∠CB．AD＝CBC．BE＝DFD．AD∥BC【解析】∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.A．可根据“ASA”推出△ADF≌△CBE.B．不能根据“SSA”推出△ADF≌△CBE.C．可根据“SAS”推出△ADF≌△CBE.D．∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，可根据“ASA”推出△ADF≌△CBE.(第7题)7．如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)错误的是(A)【解析】边长为10的正方形的对角线长为10 2.∵102≈14.14＜15，∴A选项错误．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE.若EH＝2EF，则下列结论正确的是(D)A．AB＝2EF B．AB＝2EFC．AB＝3EF D．AB＝5EF,(第8题)),(第8题解))【解析】如解图，连结AC，BD相交于点O.∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EH瘙綊12BD，EF瘙綊12AC. ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝12AC ＝EF ，BO ＝12BD ＝EH.∵EH ＝2EF ，∴BO ＝2AO ，∴AB ＝AO 2＋（2AO ）2＝5AO ＝5EF.(第9题)9．如图，在Rt △ABC 中，CM 平分∠ACB ，交AB 于点M ，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，且MN 平分∠AMC.若AN ＝1，则BC 的长为(B )A. 4B. 6C. 4 3D. 8【解析】 ∵CM 平分∠ACB ，∴∠BCM ＝∠ACM .∵MN ∥BC ，∴∠NMC ＝∠BCM .∵MN 平分∠AMC ，∴∠AMN ＝∠NMC ＝∠ACM ，∴MN ＝CN .∵∠A ＝90°，∠A ＋∠AMN ＋∠NMC ＋∠ACM ＝180°，∴∠AMN ＝30°. 又∵AN ＝1，∴MN ＝2，∴CN ＝2，∴AC ＝3.∵MN ∥BC ，∴∠B ＝∠AMN ＝30°，∴BC ＝2AC ＝6.10．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为(D )(第10题)A.215B.425C.247D.487(第10题解)【解析】 如解图，设△ADE ，△BDF ，△CEG ，平行四边形DEGF 的面积分别为S 1，S 2，S 3和S ，过点D 作DH ∥EC ，交BC 于点H.由四边形DFGE 为平行四边形，易得四边形DHCE 也为平行四边形， ∴△DFH ≌△EGC ，∴S △DFH ＝S 3. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.∵DE ＝3，BC ＝7，∴S 1S △ABC ＝949.∵S △ABC ＝14，∴S 1＝949×14＝187，∴S △BDH ∶S ＝⎝⎛⎭⎫12×4∶3＝2∶3，∴S △BDH ＝23S ＝S △BDF ＋S △DFH ＝S △BDF ＋S △EGC ＝S 2＋S 3.∵S 2＋S 3＋S ＝S △ABC －S 1， ∴23S ＋S ＝14－187，∴S ＝487. 二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，P 是∠NOM 的边OM 上一点，PD ⊥ON 于点D ，∠OPD ＝30°，PQ ∥ON ，则∠MPQ 的度数是__60°__．【解析】 ∵PQ ∥ON ，∴∠O ＝∠QPM . ∵PD ⊥ON ，∠OPD ＝30°，∴∠MPQ ＝∠O ＝60°.,(第11题)) ,(第12题))12．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，其摆放方式如图所示，则∠AOB 的度数是__108°__．【解析】 ∠AOB ＝360°－108°×2－[180°－2(180°－108°)]＝108°.(第13题)13．如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，添加下列条件中的一个：①∠A ＝∠D ；②AC ＝DB ；③AB ＝DC.其中不能确定△ABC ≌△DCB 的是__②__(填序号)．14．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为__12__．(第14题)(第14题解)【解析】 如解图．∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD. 设OA ＝x ，OB ＝y.由题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝5，x －y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，∴AC ＝2OA ＝6，BD ＝2OB ＝4，∴菱形ABCD 的面积为12AC·BD ＝12×6×4＝12.(第15题)15．如图，CE 是▱ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为O ，CE 与DA 的延长线相交于点E ，连结AC ，BE ，DO ，DO 与AC 相交于点F.有下列结论：①四边形ACBE 是菱形；②∠ACD ＝∠BAE ；③AF ∶BE ＝2∶3；④S 四边形AFOE ∶S △COD ＝2∶3.其中正确的结论是__①②④__(填序号)．【解析】 ∵EC 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ，AO ＝BO ，∠AEO ＝∠BEO . ∵AE ∥CB ，∴∠AEO ＝∠BCO . ∴∠BEO ＝∠BCO ， ∴BE ＝BC，∴BC瘙綊AE ，∴四边形ACBE 是菱形，故①正确． ∴∠BAE ＝∠BAC ＝∠ACD ，故②正确． ∵AO＝12AB ＝12DC ，∴AFFC ＝AO DC ＝12，∴AF ＝13AC ＝13BE ，故③错误． ∵S △AOF ＝13S △AOC ，∴S 四边形AFOE ＝43S △AOC .∵S △COD ＝12OC ·DC ＝12OC ·2AO ＝2S △AOC ，∴S 四边形AFOE ∶S △COD ＝43∶2＝2∶3，故④正确．综上所述，①②④正确．(第16题)16. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝310，P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE ＝2BE ，点M ，N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN ＝__6或158__．【解析】 分两种情况讨论：(第16题解①)①当MN 为等腰△PMN 的底边时，过点P 作PF ⊥MN 于点F ，如解图①，则∠PFM ＝∠PFN ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ＝3AB ＝310，∠A ＝∠C ＝90°， ∴AB ＝CD ＝10，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝10. ∵P 是AD 的中点，∴PD ＝12AD ＝3102.∵∠PDF ＝∠BDA ，∠PFD ＝∠BAD ＝90°，∴△PDF ∽△BDA ，∴PF BA ＝PD BD ，即PF 10＝310210，解得PF ＝32. ∵CE ＝2BE ，∴BC ＝AD ＝3BE ， ∴BE ＝CD ，∴CE ＝2CD .∵△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，PF ⊥MN ，∴MF ＝NF ，∠PNF ＝∠DEC .又∵∠PFN ＝∠C ＝90°，∴△PNF ∽△DEC ， ∴NF PF ＝ECDC＝2， ∴MF ＝NF ＝2PF ＝3，∴MN ＝6.(第16题解②)②当MN 为等腰△PMN 的腰时，过点P 作PF ⊥BD 于点F ，如解图②. 由①，得PF ＝32，MF ＝3.设MN ＝PN ＝x ，则FN ＝3－x. 在Rt △PNF 中，⎝⎛⎭⎫322＋(3－x)2＝x 2， 解得x ＝158，即MN ＝158.综上所述，MN 的长为6或158.三、解答题(共66分)(第17题)17．(6分)如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠ECB ＝70°，∠D ＝110°.求证：△ABC ≌△EAD. 【解析】 ∵∠ECB ＝70°， ∴∠ACB ＝110°.又∵∠D ＝110°，∴∠ACB ＝∠D. ∵AB ∥DE ，∴∠CAB ＝∠E.在△ABC 和△EAD 中，∵⎩⎨⎧∠ACB ＝∠D ，∠CAB ＝∠E ，AB ＝EA ，∴△ABC ≌△EAD(AAS)．(第18题)18．(6分)如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ，连结BE ，CD 相交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由． (2)求证：过点A ，F 的直线垂直平分线段BC.【解析】 (1)∠ABE ＝∠ACD.理由如下：在△ABE 与△ACD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD(SAS)，∴∠ABE ＝∠ACD. (2)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. 由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC. 又∵AB ＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上， 即直线AF 垂直平分线段BC.(第19题)19．(6分)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 相交于点F ，连结AC ，DF.(1)求证：四边形ACDF 是平行四边形．(2)当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由． 【解析】 (1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠FAE ＝∠CDE. ∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE. 又∵∠FEA ＝∠CED ，∴△FAE ≌△CDE(ASA)，∴FA ＝CD.又∵AF ∥CD ，∴四边形ACDF 是平行四边形． (2)BC ＝2CD.理由如下：∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝45°. ∵∠CDE ＝90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD ＝DE .∵E 是AD 的中点，∴AD ＝2DE ＝2CD . ∵AD ＝BC ，∴BC ＝2CD .(第20题)20．(8分)如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，连结DE ，过点A 作AG ⊥ED ，交DE 于点F ，交CD 于点G.(1)求证：△ADG ≌△DCE.(2)连结BF ，求证：AB ＝FB.【解析】 (1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADG ＝∠C ＝90°，AD ＝DC.又∵AG ⊥DE ，∴∠DAG ＋∠ADF ＝90°＝∠CDE ＋∠ADF ， ∴∠DAG ＝∠CDE ，∴△ADG ≌△DCE(ASA)． (2)延长DE 交AB 的延长线于点H. ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.又∵∠C ＝∠HBE ＝90°，∠DEC ＝∠HEB ， ∴△DCE ≌△HBE(ASA)，∴BH ＝CD ＝AB ，即B 是AH 的中点． 又∵∠AFH ＝90°，∴BF ＝12AH ＝AB.21．(8分)如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DE ⊥AC 于点E ，F 是AD 的中点，FG ⊥BC 于点G ，与DE 相交于点H ，FG ＝AF ，AG 平分∠CAB ，连结GE ，GD.(1)求证：△ECG ≌△GHD.(2)小亮同学经过探究发现：AD ＝AC ＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论． (3)若∠B ＝30°，判定四边形AEGF 是否为菱形，并说明理由．,(第21题)),(第21题解))【解析】 (1)∵AF ＝FG ，∴∠FAG ＝∠FGA. ∵AG 平分∠CAB ，∴∠CAG ＝∠FAG ， ∴∠CAG ＝∠FGA ，∴AC ∥FG . ∵DE ⊥AC ，∴FG ⊥DE.又∵FG ⊥BC ，∴四边形CEHG 是矩形， ∴∠C ＝∠DHG ＝90°，CE ＝HG ，CG ＝HE . ∵F 是AD 的中点，FG ∥AE ，∴HD ＝HE ， ∴CG ＝HD ，∴△ECG ≌△GHD (SAS )． (2)如解图，过点G 作GP ⊥AB 于点P ，则GC ＝GP .易证△CAG ≌△P AG ，∴AC ＝AP .由(1)可得EG ＝DG ，∴Rt △ECG ≌Rt △DPG (HL )， ∴EC ＝DP ，∴AD ＝AP ＋DP ＝AC ＋EC .(3)四边形AEGF 是菱形．理由如下： ∵∠B ＝30°，DE ⊥AC ，由(1)得∠C ＝90°， ∴∠ADE ＝30°，∴AE ＝12AD ，∴AE ＝AF ＝FG .由(1)得AE ∥FG ，∴四边形AEGF 是平行四边形． 又∵AE ＝AF ，∴▱AEGF 是菱形． 22．(10分)阅读下面的材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E ，F ，G ，H 连结起来得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？(第22题)小敏在思考问题时，有如下所示的思路：连结AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图①中四边形ABCD 的形状(如图②)，则四边形EFGH 还是平行四边形吗？请说明理由．参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： (2)如图②，在(1)的条件下，若连结AC ，BD.①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形，请写出结论并证明． ②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形，请直接写出结论．【解析】 (1)四边形EFGH 还是平行四边形．理由如下： 连结AC.∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴EF ∥AC ，EF ＝12AC.∵G ，H 分别是CD ，AD 的中点， ∴GH ∥AC ，GH ＝12AC ，∴EF ∥GH ，EF ＝GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)①当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是菱形．证明如下： 由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，EF ＝12AC.易知FG ＝12BD ，当AC ＝BD 时，FG ＝EF ，∴四边形EFGH 是菱形． ②当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形．证明如下： 由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，EF ∥AC. 易知FG ∥BD ，当AC ⊥BD 时，EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．23．(10分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，E 是AB 的中点，F 是AC 的延长线上一点，连结DE ，EF.,(第23题))(1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF.(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB相交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论．(请先补全图形，再解答)(3)若ED＝EF，则ED与EF垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC.如解图①，连结CE.∵E是AB的中点，∴AE＝CE，CE⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ECF＝∠EAD＝135°.∵∠AED＋∠CED＝∠CEF＋∠CED＝90°，∴∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF(ASA)，∴ED＝EF.,①),②),(第23题解))(2)补全图形如解图②所示，四边形ACPE是平行四边形．证明如下：由(1)得△AED≌△CEF，∴AD＝CF.又由(1)得AD＝AC，∴AC＝CF.又∵CP∥AE，∴CP为△FAB的中位线，∴CP瘙綊AE ，∴四边形ACPE 是平行四边形．(3)垂直．证明如下：如解图②，过点E 作EH ⊥AF 于点H ，作EG ⊥DA 交DA 的延长线于点G ，连结CE. ∵AE ＝CE ，∠EAG ＝∠ECH ＝45°，∠AGE ＝∠CHE ＝90°， ∴△AGE ≌△CHE (AAS )，∴EG ＝EH .又∵ED ＝EF ，∴Rt △DEG ≌Rt △FEH (HL )， ∴∠ADE ＝∠CFE ，∴∠DEA ＝∠FEC ， ∴∠FEC ＋∠DEC ＝∠DEA ＋∠DEC ＝90°， ∴∠DEF ＝90°，即ED ⊥EF . 24．(12分)如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连结AD ，作∠ADN ＝60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F.（第24题）(1)如图①，当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，求证：CF ＋BE ＝CD(提示：过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M)．(2)如图②，当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时；如图③，当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明．(3)在(2)的条件下，若∠ADC ＝30°，S △ABC ＝43，则BE ＝__8__，CD ＝__4或8__． 【解析】 (1)如解图①，过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M . ∵FM ∥BC ，∴∠EMF ＝∠ABC ，∠BDE ＝∠MFE . ∵CF ∥AB ，FM ∥BC ，∴四边形BMFC 是平行四边形， ∴BC ＝MF ，CF ＝BM . ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，BC ＝AC ， ∴∠EMF ＝∠ACB ，MF ＝CA . ∵∠ADE ＝∠ACB ＝60°， ∴∠BDE ＋∠CDA ＝120°，∠CAD ＋∠CDA ＝120°， ∴∠BDE ＝∠CAD ，∴∠MFE ＝∠CAD . 在△MEF 与△CDA 中，∵⎩⎨⎧∠MFE ＝∠CAD ，MF ＝CA ，∠EMF ＝∠DCA ，∴△MEF ≌△CDA (ASA )，∴CD ＝ME ＝BE ＋BM ，∴CF ＋BE ＝CD .（第24题解）(2)当∠NDB为锐角时，CD＝BE－CF；当∠NDB为钝角时，CD＝CF－BE.(3)如解图②.由题意，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝90°，BC＝AC＝CD.∵S△ABC＝12BC·BC·sin 60°＝34BC2＝43，∴BC＝4，∴CD＝4.∵∠BDE＝∠ADN－∠ADC＝30°，∠BED＝90°－∠ADN＝30°，∴∠BDE＝∠BED，∴BE＝BD＝BC＋CD＝8.如解图③.同理可得此时BD＝BC＝AB，BC＝4，∠BAD＝30°，∴BD＝4，∠DEB＝∠ADN－∠BAD＝30°.又∵∠ADN＋∠ADC＝90°，∴∠EDB＝90°，∴BE＝2BD＝8，CD＝BD＋BC＝8.综上所述，BE＝8，CD＝4或8.。
初中数学四边形、三角形几何综合题目汇总(动点、旋转)大全
初中数学几何四边形、三角形综合题大全（含动点、旋转等类型）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．(1)若AB＝4，BC＝6，求EC的长；(2)若∠F＝55°，求∠BAE和∠D的度数．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、E，连接EC．(1)求证：AD＝EC．(2)当∠BAC＝90°时，证明四边形ADCE是菱形．如图．在△ABC中，D是AB的中点．E是CD的中点，过点C作CF∥AB 交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB=CF；（2）如果AC=BC．试判断四边形BDCF的形状．并证明你的结论．已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC、CD上的动点，正方形ABCD的边长为4cm．（1）如图①，O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求四边形MONC的面积；（2）连接线段MN,探究当MN取到最小值时,判断MN与对角线BD 的数量关系和位置关系，并说明你的理由．已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）若∠EOD =30°，求CF 的长．已知，如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的中线，DE ⊥AB 交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ．(1)△ADE ∽△FDB 吗?为什么?(2)你能推出结论CD 2=DE ·DF 吗?请试一试．如图，在四边形ABCD 中，AC 、BC 相交于点O ，∠ABD=∠ACD ，试找出图中的相似三角形，并加以证明．如图，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，且AE =CF ．请你以点F 为一个端点与图中已标明字母的某一点连成一条线段，猜想并说明它与图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可）．（1）连结；（2）猜想：=；（3）证明：如图，将?ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF ；（2）若∠AFC=2∠D ，连接AC 、BE ，求证：四边形ABEC 是矩形．ODCBABCDE FA在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．(1)求证：BM=MN；(2) ∠BAD=60°，AC平分∠BAD ，AC=2，求BN的长。
北师大版四年级数学下册第二单元《认识三角形和四边形》综合练习题 含答案
第二单元《认识三角形和四边形》综合练习一、我会填。
(每空1分,共20分)1.两组对边分别平行的四边形叫( );只有一组对边平行的四边形叫( )。
2.( )和( )是特殊的平行四边形3.把三角形的三个角撕下来拼在一起,可以拼成一个( )角,所以我们说三角形的三个内角和为( )。
4.三角形按边分为不等边三角形、（)三角形和( )三角形。
其中两条边相等的三角形叫( )三角形,( )三角形的三条边都相等。
5.两个完全相同的直角三角形,可以拼成的图形有( )。
6.三角形具有( )的特性,平行四边形具有( )特性。
7.一个三角形中至少有( )个角是锐角。
8.直角三角形中,两个锐角的度数和是（）9.一个三角形的两条边分别是8厘米和5厘米,第三条边必须比( )厘米小,因为三角形任意两边的和( )第三边10.数一数。
有（）个三角形有（）个四边形有（）个梯形二、我会判断。
(对的打“V”,错的打“x”)(每小题2分,共12分)1.所有三角形的内角和一定都相等。
（）2.等腰三角形不可能是钝角三角形。
（）3.把任意一个三角形放在放大镜下,就成了钝角三角形。
（）4.两个完全一样的三角形或梯形都能拼成一个平行四边形。
（）5.平行四边形也是特殊的梯形。
（）6.有三条边的图形是三角形。
（）三、我会选择。
(将正确答案的序号填在括号里)(每小题1分,共9分)1.等腰梯形一个底角是70°,另一个底角是( )。
A.70°B.80°C.90D.1°2.一个三角形最多有( )个锐角。
A.1B.2C.33.( )是轴对称图形A.梯形B.等腰三角形C.四边形4.用6根同样长的小棒,可以摆成一个( )三角形A.等腰B.等边C.不等边D.不能摆成5.一个三角形的三个内角都不小于60°,这个三角形一定是( )。
A.钝角B.直角C.等边6.一个三角形,如果它的两个内角度数之和小于第三个内角是( )三角形。
中考专题复习二三角形四边形综合练习 .doc
《杰出教育》中考专题复习二三角形、四边形综合练习一、选择题：1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 BC 为公共边的“共边三角形”有（）A、2对B、3 对C、4 对D、6 对2．如图，在 10×10 的正方形网格纸中，线段AB 、 CD 的长均等于5。
则图中到 AB 和 CD所在直线的距离相等的网格点的个数有（）A．2个B．3 个C． 4个D．5 个DA DN OCB CA B M第 1 题第 2 题第 3 题3．如图， O 为矩形 ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为 M 、N ．如果 AB = 4 ，AD = 6 ，OM= x，ON= y则y 与x的关系是（）2x B．y 6 C．y x D．y 3 xA ．y3 x 24．已知△ ABC 的三边长分别为20cm,50cm,60cm, 现要利用长度分别为30cm 和 60cm 的细木条各一根 ,做一个三角形木架与△ ABC 相似 ,要求以其中一根为一边,将另一根截成两段(允许有余料 )作为另外两边 ,那么另外两边的长度(单位 : cm)分别为（）A 、10，25B 、10， 36 或 12， 36 C、12， 36 D、 10，25 或 12，365．如图，在正方形 ABCD 中，DE＝ EC，∠ CDE ＝600，则下列关系式：①∠ 1∶∠ 4＝4∶ 1；②∠ 1∶∠ 3＝ 1∶ 1；③（∠ 1＋∠ 2）∶（∠ 3＋∠ 4）＝ 5∶3 中，正确的是（）A 、①②③B 、仅①C、仅②和③ D 、仅①和③A DEC B12 F G3 E B4B C A D第 2题图第 5 题第 6 题ADCF G FEA BEB D C第 7 题第 8 题6．如图，将矩形纸片ABCD 沿 AE 折叠，使点 B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若AB= 3 ，则AE的长为（）A．23B．3C．2D．33 27．如图，正方形ABCD 的面积为256，点 F 在 AD 上，点 E 在 AB 的延长线上， Rt△ CEF 的面积为200，则 BE 的值为（）A、10B、11C、12D、158． .如图，△ ABC 中， AB = AC ，D 为 BC 中点， E 为 AD 上任意一点，过C作 CF∥AB 交BE 的延长线于 F，交 AC 于 G，连结 CE。
中考复习之—三角形与四边形练习题(含答案)
中考复习之——三角形与四边形1、三角形与平行四边形联手1，在平行四边形ABCD中, ∠ABC的平分线交C D于点E, ∠ADC的平分线交A B于例1、如图点F. 试判断A F与CE是否相等，并说明理由.解：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB=CD ，∠A=∠C，∠ADC= ∠CBA∵DF 平分∠ADC ，BE 平分∠CBA∴∠ADF=1/2 ∠ADC=1/2 ∠CBA= ∠CBE在△ADF 和△CBE 中∠A=∠CAD=BC∠ADF= ∠CBE∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF=CE2、三角形与矩形联手5，矩形ABCD 中，点 E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF⊥AE于例2、如图F，连结DE，求证：DF＝DC．证明：∵AE=AD∴∠AED=∠ADE∵AD‖BC ∴∠CED=∠ADE∴∠CED=∠AED∵∠DFE=∠C=90∠CED=∠AED（已证）DE=DE（公共边）∴△DFE≌△DCE（AAS）∴DF=DC例3、如图4所示，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为 F.（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论.解：∵AB平行DC ∴∠AED=∠EDC∵CF⊥DE ∴∠DFC=∠DAE又∵DE=AB且AB=DC ∴DE=DC∵∠AED=∠EDC ∠DAE=∠DFC DE=DC∴△AED全等于△FCD∴AD=CF例4、如图6，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O点的直线EF与AB，CD 的延长线分别交于E，F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A，E，C，F 为顶点的四边形．是菱形？证明你的结论证明：1、证明：∵矩形ABCD∴OA＝OC，AB∥CD∴∠E＝∠F，∠EBO＝∠FDO∴△BOE≌△DOF （AAS）2、EF⊥AC时，四边形AECF为菱形∵△BOE≌△DOF∴OE＝OF又∵OA＝OC∴平行四边形AECF∵EF⊥AC∴菱形AECF（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）例5、在矩形ABCD 中，AB=2，AD= 3．（1）在边CD 上找．一点E，使EB 平分∠AEC，并加以说明；F．E P 并延长交A B 的延长线于（2）若P 为BC 边上一点，且B P=2CP，连接①求证：点 B 平分线段A F；②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．解：（1）∵∠AEB= ∠BEC=∠ABE∴∠AEB= ∠ABEAB=AE=2DE=1( 勾股定理计算)∴DE=EC=1E 是DC 的中点（2）∵⊿ECP∽⊿FBP∴EC/BF=PC/PB=1/2∴BF=2A F点B 平分线段②由（1）知⊿AED ≌⊿BEC⊿ABE 是等边三角形在⊿PEC 中tan∠PEC=√3/3∴∠PEC=30 o=∠F∴⊿AEF 是直角三角形∴AF=2AE=2AB3、三角形与正方形联手点(点G 与C、D 不重例6、如图8 所示，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG，连结B G，DE．我们探究下列B G、线段D E 的长度关系及所在直线的位置关系：图中线段D E 的长度关系及所在直线的位置关系；B G、线段（1）①猜想如图 1 中线段②将图 1 中的正方形CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a b，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（08年义乌市）（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BE DG的值．解：（1）①BG⊥DE，BG=D；E②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=D，C CG=C，E∠BCD=∠ECG=9°0，∴∠BCG∠=DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=D，E∠CBG∠=CDE，又∵∠CBG∠+BHC=9°0，∴∠CDE+∠DHG=9°0，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC/DC＝CG/CE =b/a ，又∵∠BCG∠=DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG∠+BHC=9°0，∴∠CDE+∠DHG=9°0，∴BG⊥DE．B E、DG．（3）连接根据题意，得A B=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=9°0∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25A D ，以线BC 上一动点，连接9- 甲，在△ ABC 中，∠ACB 为锐角．点 D 为射例 7、如图AD 为一边且在AD 的右侧作正方形A DEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．①当点 D 在线段B C 上时（与点 B 不重合），如图9- 乙，线段C F、BD 之间的位置关系为▲，数量关系为▲．②当点D 在线段B C 的延长线上时，如图9- 丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？B C 上运动．试探究：当△ABC 满足一个（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90o，点D 在线段什么条件时，CF⊥BC（点C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC ＝4 2 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边D E 与线段C F 相．交于点P，求线段C P 长的最大值解：（1）①CF 与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF ，∠DAF=90o．∵∠BAC=90，o∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又AB=AC，∴△DAB≌△FAC ，∴CF=BD∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90，o AB=AC ，∴∠ABC=45，o∴∠ACF=45o，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即CF⊥BD（2）画图正确当∠BCA=45o时，CF⊥BD（如图丁）．理由是：过点 A 作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即CF⊥BD（3）当具备∠BCA=45o 时，过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）∵DE与CF交于点P 时，∴此时点D位于线段C Q上，∵∠BCA=45，o可求出AQ= CQ=4．设C D=x ，∴DQ=4―x，容易说明△AQD∽△DCP，∴，∴，．∵0＜x≤ 3 ∴当x=2时，CP有最大值1．4三角形与梯形联手11，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E是CD 的中点，BE的延长线与AD 例8、已知：如图的延长线相交于点 F ．（1）求证：△BCE 和△FDE 全等（2）连结BD，CF ，判断四边形BCFD 的形状，并证明你的结论．1、证明：∵AD∥BC∴∠CFE＝∠BAE，∠FCE＝∠ABE∵E是BC的中点∴BE＝CE∴△ABE≌△FCE （AAS）∴AB＝CF2、菱形ABFC证明：∵AD∥BC，AB＝CF∴平行四边形ABFC∵△ADC沿AE折叠至△AEC，∠D＝90∴∠AEC＝∠D＝90∴AF⊥BC∴菱形ABFC例9、如图12，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是AD 的中点，求证：MB MC ．（1）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB=DC ，∠A=∠D．∵M 是AD 的中点，∴AM=DM ．在△ABM 和△DCM 中，AB ＝DC ∠A＝∠D AM ＝DM ∴△ABM ≌△DCM （SAS）．∴MB=MC ．例10、如图13 所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC 与BD 相交于点O．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．解：∵ABCD 是等腰梯形∴AB=DC ∠ABC= ∠DCBBC 是公共边∴△ABC ≌△DCB(SAS)还有△ABD ≌△DCA(SAS)∵AD ‖BC ∠ABC= ∠DCB∴∠BAD= ∠CDAAD 是公共边且AB=DC∴△ABD ≌△DCA(SAS)14，在梯形ABCD 中，AD ∥BC，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF∥AB ，例11、已知：如图BF 的延长线交DC 于点E。
小学四年级 三角形和四边形 图形与几何专题(附答案)
图形与几何专题一、专心填一填。
1、三角形的内角和是（）°，一个等腰三角形，它的一个底角是26°，它的顶角是（）。
2、长5厘米，8厘米，（）厘米的三根小棒不能围成一个三角形。
3、三角形具有（）性。
4、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是（），这是一个（）三角形。
5、按角的大小，三角形可以分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。
6、在三角形中，∠1=30°，∠2=70°，∠3=（）°，它是（）三角形。
7、有（）组对边平行的四边形是平行四边形。
8、在一个直角三角形中，有一个角是30°,另两个角分别是（）°、（）°。
9、长方形正方形是特殊的（）形。
10、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是（）度。
11、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是（）三角形，另一个角是（）度。
12、一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是（）厘米。
13、数一数下图中有（）角二、细心判一判（对的打“√”，错的打“×”）。
（每空1分，共计12分）1、等边三角形的每一个内角都是60º。
（）2、等边三角形是特殊的等腰三角形。
（）3、有一组对边平行的四边形叫做梯形。
（）4、直角三角形的两个锐角之和大于直角。
（）5、用三根不一样长的小棒一定能围成一个三角形。
（）6、有一个角是钝角的三角形一定是钝角三角形。
（）7、等腰三角形中有锐角三角形，也有直角三角形和钝角三角形。
（）8、一个锐角三角形的三个内角分别是56°、70°、64°（）9、一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米。
（）10、两个完全一样的三角形，可以拼成一个平行四边形。
（）11、把一个三角形中一个20°的锐角截去，剩下图形的内角和是160°。
（）12、一个等腰三角形中，有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形。
初中数学组卷：三角形及四边形(附答案)
中考数学几何题一．选择题（共19小题）1．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，△ACF其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，=2S△ABE，其中结论正确的个数为（）⑤S△CEFA．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（）A．AE=5 B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=5．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）=2S△CEF．①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BECA．①②③B．②③④C．①②④D．①③④6．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．207．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③OD=BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①△ABE≌△AHD；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点，连接DF，分析下=S△ABF其中列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（）A．10 B．2 C．D．411．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④12．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4；④DG=2其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠BAE=∠CDF=90°，则四边形AEDF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．514．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD=135°，作AH⊥BC，点H为垂足，AH交BD于点F，G是AB中点，连接GE交AH于点M，给出下列结论：①△AEG是等腰三角形；②ME=BC；③FH=HC；④AE2=EF•EB；⑤AF•BH=FH•BC，其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个15．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB，②△DEF始终为等腰直角三角形，③S=AB2，四边形CEDF④AE2+CE2=2DF2．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①④D．②③16．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（）A．105°B．110°C．100° D．120°17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD、DE、BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD=BE；④CD=BD．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④18．已知，等腰Rt△ABC中AC=BC，点D在BC上，且∠ADB=105°，ED⊥AB，G 是AF延长线上一点，BE交AG于F，且DE=2FG，连GE、GB．则下列结论：①AG⊥BE；②∠DGE=60°；③BF=2FG；④AD+DC=AB．其中正确的结论有（）A．①②B．①②④C．①③④D．②③④19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于E，BE=CF，BF交CE于P，连PD，下列结论：①AC=AE，②CD=BE，③PB=PF，④DP=BF，其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．①②D．①③二．填空题（共5小题）20．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：=S△AFG；⑤∠AGB+∠AED=145°．①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥GF；④S△ABG其中正确的个数有个．21．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②BG=EG；③△MFG为等腰三角形；④DE：AB=1+，其中正确结论的序号为．22．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．23．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论，其中正确的有（填正确结论的序号）．=AB2．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD24．如图，在正方形ABCD中，分别以AD，BC为斜边作Rt△ADE和Rt△CBF，=20，S△ADE=3，则EF=．且Rt△ADE≌Rt△CBF，连结EF，若S正方形ABCD三．解答题（共15小题）25．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C 重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．26．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．27．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．28．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG ∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．29．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．①求证：DE⊥FG；②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．30．如图，△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=∠BCE=90°．点M 为BC边上一点，连接EM、BD交于点N，点N恰好是BD中点，连接AN．（1）求证：MN=EN；（2）连接AM、AE，请探究AN与EN的位置关系与数量关系．①写出AN与EM：位置关系；数量关系；②请证明上述结论．31．已知等边三角形ABC中，E是AB边上一动点（与A、B不重合），D是CB 延长线上的一点，且DE=EC．（1）当E是AB边上中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：AE DB （填“＞”，“＜”或“=”）（2）当E是AB边上任一点时，小敏与同桌小聪讨论后，认为（1）中的结论依然成立，并进行了如下解答：解：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你按照上述思路，补充完成全部解答过程）（3）当E是线段AB延长线上任一点时，如图3．（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．32．如图，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．（1）求证：AF⊥DE；（2）求证：FH=GH．33．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．34．操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．35．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．36．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．37．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．38．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系．（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）39．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．2017年02月28日账号1的初中数学组卷三角形及四边形参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2016•牡丹江）如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD 于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，△ACF其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH；所以①②都正确；≠1，错误；③可以直接求出FC的长，计算S△ACF④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；⑤利用相似先得出EG2=FG•CG，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，所以⑤也正确．【解答】解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH=AF，∠BAH=⊂FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，故选项①②正确；③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC=2，MC=DF=2﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，S△AFC=CF•AD≠1，所以选项③不正确；④AF===2，∵△ADF∽△CEF，∴，∴，∴CE=，∴CE=AF，故选项④正确；⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG2=FG•CG，cos∠FCE=，∴CG===1，∴DG=CG，∴EG2=FG•DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选C．【点评】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定；求边时可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的长，勾股定理在正方形中运用得比较多．2．（2016•黑龙江模拟）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中结论正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴CE=CF，故①正确；∵∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°，∴∠AEB=75°，故②正确；设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AG≠2GC，③错误；∵CG=x，AG=x，∴AC=x∴AB=AC•=x，∴BE=x﹣x=x，∴BE+DF=（﹣1）x，∴BE+DF≠EF，故④错误；∵S△CEF=x2，S△ABE=×BE×AB=x×x=x2，∴2S△ABE ═S△CEF，故⑤正确．综上所述，正确的有3个，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．3．（2016•南充模拟）如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥AE，∴∠BAE+∠BAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∵BE⊥DP，∴∠ABE+∠BPE=90°，又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AF；故①正确；∴AE=AF，BE=DF，∴∠AEF=∠AFE=45°，取EF的中点M，连接AM，∴AM⊥EF，AM=EM=FM，∴BE∥AM，∵AP=BP，∴AM=BE=DF，∴∠EMB=∠EBM=45°，∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，在△ABM和△FBM中，，∴△ABM≌△FBM（SAS），∴AB=BF，故②正确；∴∠BAM=∠BFM，∵∠BEF=90°，AM⊥EF，∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，∴∠APF=∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD=∠FDC，∴∠EBF=∠FDC，在△BEF和△DFC中，，∴△BEF≌△DFC（SAS），∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，故④正确；∴CF⊥DEP，∵BE⊥DP，∴CF∥BE；故③正确．故选D．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．4．（2016秋•庐阳区期末）如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（）A．AE=5 B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=【分析】A、作辅助线，构建矩形AGOF，利用面积为5，代入面积公式可求得AE的长为5，此说法正确；B、证明∠ABC+∠EOC=180°，根据对角互补的四边形四点共圆得：E、B、C、O 四点共圆，则∠BCE=∠BOE，此说法正确；C、因为E、B、C、O四点共圆，所以根据垂径定理可知：要想OB⊥CE，得保证过圆心的直线平分弧，即判断弦长BE和OE的大小即可；D、利用同角的三角函数计算．【解答】解：A、过O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∴AF=FD=AD=BC=2，∵∠AGO=∠BAD=∠AFO=90°，∴四边形AGOF是矩形，∴OG=AF=2，=AE•OG=5，∵S△AEO∴AE===5，所以此选项的说法正确；B、∵OE⊥AC，∴∠EOC=90°∵∠ABC=90°，∴∠ABC+∠EOC=180°，∴E、B、C、O四点共圆，∴∠BCE=∠BOE，所以此选项的说法正确；C、在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE==3，∴AB=3+5=8，∴AC===4，∴AO=AC=2，∴EO===，∴OE≠BE，∵E、B、C、O四点共圆，∵∠EOC=90°，∴EC是直径，∴EC与OB不垂直；此选项的说法不正确；D、sin∠BOE=sin∠BCE==，所以此选项的说法正确，因为本题选择说法错误的，故选C．【点评】本题考查了矩形的性质和判定、四点共圆的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形的有关知识，较为麻烦，此类题相当于解决四个问题，尤其是第三问利用了圆中的性质进行证明，比较容易理解；本题还利用了同角的三角函数求一个角的正弦，这在解直角三角形中经常运用，要熟练掌握．5．（2016春•开江县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）=2S△CEF．①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BECA．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【分析】①根据平行四边形的性质和平行线的性质解答即可；②延长EF，交CD延长线于M，证明△AEF≌△DMF，得到EF=FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；③设∠FEC=x，用x分别表示出∠DFE和∠AEF，比较即可；=S△CFM，根据MC＞BE，得到S△BEC＜2S△EFC．④根据EF=FM，得到S△EFC【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；②如图1，延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，故②正确；③设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确；④∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误，故选：A．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线、得出△AEF≌△DMF是解题关键．6．（2016春•镇江期中）如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．20【分析】首先根据图1，证明四边形ABCD是菱形；然后判断出菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，设AB=BC=x，则BE=9﹣x，利用勾股定理求出x的值，即可求出四边形ABCD面积的最大值是多少．【解答】解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S=AE•BC=AF•CD，四边形ABCD∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形．如图2，，设AB=BC=x，则BE=9﹣x，∵BC2=BE2+CE2，∴x2=（9﹣x）2+32，解得x=5，∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3=15．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．7．（2016春•重庆期中）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH 交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③OD= BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EJ⊥BD于J，连接EF，由全等三角形的判定定理可得△DJE≌△ECF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=CF，由GH＜BC，可得出结论；③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=BF；④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．【解答】解：作EJ⊥BD于J，连接EF∵BE平分∠DBC∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90°∵DH=HF，OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；∴OH=BF，∠DOH=∠CBD=45°，∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=BC，GH=CF，∵CE=CF，∴GH=CF=CE∵CE＜CG=BC，∴GH＜BC，故②错误．∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴∠OHD=180°﹣∠ODH﹣∠DOH=67.5°，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH=BF；故③正确．故选B．【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．8．（2016春•张家港市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①△ABE≌△AHD；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等；从而判断出①正确；②由①可得AB=BE=CD=HD，继而证得∠EDH=∠EDC，然后由角平分线的性质，证得②正确；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；④判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），故①正确；∴BE=DH，∴AB=BE=CD=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，∵∠C=90°，DH⊥AE，∴∠EDH=∠EDC，∴HE=CE；故②正确；∵AB=AH，∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠OHE=∠AHB=67.5°，∴∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，即H是BF的中点；故③正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故④错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：C．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键．9．（2016秋•邹城市校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE ⊥AC于点，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S=S△ABF其中正确的结论有（）四边形CDEFA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S△=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，可得S四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD，即可得到AEFS四边形CDEF=S△ABF，故④正确．【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∴∠EAC=∠ACB，∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴==，∵AE=AD=BC，∴=，∴CF=2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，∴==，=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，∴S△AEF=S矩形ABCD，∴S△AEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF=S△ABF，故④正确；∴S四边形CDEF故选：A．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．10．（2015•常州模拟）已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（）A．10 B．2 C．D．4【分析】如图所示，根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，可得CD过线段AB的中点M，即CM=DM，根据A与B坐标求出M坐标，要求CD 的最小值只需求出CM的最小值即可．【解答】解：根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，∴CD过线段AB的中点M，即CM=DM，∵A（0，6），B（0，﹣4），∴M（0，1），∵点到直线的距离垂线段最短，∴过M作直线的垂线交直线于点C，此时CM最小，直线3x﹣4y+12=0，令x=0得到y=3；令y=0得到x=﹣4，即F（﹣4，0），E（0，3），∴OE=3，OF=4，EM=2，EF==5，∵△EOF∽△ECM，∴=，即=，解得：CM=，则CD的最小值为．故选C．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．11．（2015•泰安模拟）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】由题可知A，B，N，M四点共圆，进而可得出∠ANM=∠NAM=45°，由等角对等边知，AM=MN，故①正确；由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，所以Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出结论，故②正确；先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出△AMS≌△NMW，因为AS=NW，所以AB+BN=SB+BW=2BW，而BW：BM=1：，所以==，故④正确．因为∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ=90°，BN=NU，DQ=UQ，即可得出结论，故③正确；【解答】解：如图：作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，∵∠AMN=∠ABC=90°，∴A，B，N，M四点共圆，∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，∴∠ANM=∠NAM=45°，∴由等角对等边知，AM=MN，故①正确．由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，∴Rt△AHM≌Rt△MPN∴MP=AH=AC=BD，故②正确，∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR，使AD和AB重合，在连接AN，证明三角形AQN≌ANR，得NR=NQ则BN=NU，DQ=UQ，∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正确．如图，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，∴△AMS≌△NMW，∴AS=NW，∴AB+BN=SB+BW=2BW，∵BW：BM=1：，∴==，故④正确．故选D．【点评】本题利用了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．12．（2015春•和平区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4；④DG=2其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，证明△CBE≌△CDG，得到△ECG是等腰直角三角形，证明∠GEC=45°，根据四点共圆证明①正确；根据等腰三角形三线合一证明②正确；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出EG的长，得到③正确；求出BE的长，根据DG=BE，求出BE证明④正确．【解答】解：连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，在△CBE和△CDG中，，∴△CBE≌△CDG，∴EC=GC，∠GCD=∠ECB，∵∠BCD=90°，∴∠ECG=90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵∠ABC=90°，∠EHC=90°，∴E、B、C、H四点共圆，∴∠CBH=∠GEC=45°，①正确；∵CE=CG，CH⊥EG，∴点H是EG的中点，②正确；∵∠HBF=45°，BH=8，∴FH=FB=4，又BC=6，∴FC=2，∴CH==2，∴EG=2CH=4，③正确；∵CH=2，∠HEC=45°，∴EC=4，∴BE==2，∴DG=2，④正确，故选：D．【点评】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明三角形全等是解题的关键．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠BAE=∠CDF=90°，则四边形AEDF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先过B作BG⊥AD于G，过E作EH⊥AD于H，过F作FI⊥AD于I，过C 作CJ⊥AD于J，得出四边形BCJG是矩形，再判定△BAG≌△AEH，△CJD≌△DIF，最后根据四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积，进行计算即可．【解答】解：延长AD，过B作BG⊥AD于G，过E作EH⊥AD于H，过F作FI ⊥AD于I，过C作CJ⊥AD于J，则四边形BCJG是矩形∴∠EHA=∠G=90°∵△ABE是等腰直角三角形∴AE=BA，∠EAB=90°∴∠BAG+∠EAH=∠AEH+∠EAH=90°∴∠BAG=∠AEH在△BAG和△AEH中∴△BAG≌△AEH（AAS）∴AG=EH同理可得，△CJD≌△DIF∴DJ=FI∵四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积=×AD×EH+×AD×FI=×AD×（EH+FI）=×AD×（AG+DJ）=×AD×（JG﹣AD）=×AD×（BC﹣AD）=×2×（5﹣2）=3故选（B）【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形以及全等三角形．解题时注意：四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD=135°，作AH⊥BC，点H为垂足，AH交BD于点F，G是AB中点，连接GE交AH于点M，给出下列结论：①△AEG是等腰三角形；②ME=BC；③FH=HC；④AE2=EF•EB；⑤AF•BH=FH•BC，其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】①根据中点的定义以及三角形中位线定理，可得AG=AB=BC=GE；②根据AG＞AE，AM⊥GE，可得ME＜GE，进而得出ME＜BC；③根据菱形的性质，判定△BHF≌△AHC（ASA），即可得到FH=HC；④根据两角对应相等可判定△AEF∽△BEA，得出=，进而得到AE2=EF•EB；⑤根据AD∥BH，得出△ADF∽△HBF，进而得到=，即AF•BH=FH•AD，再根据AD=BC，得到AF•BH=FH•BC即可．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∴E是AC的中点，又∵G是AB中点，∴GE是△ABC的中位线，AG=AB，∴GE=BC，GE∥BC，∴AG=AB=BC=GE，即△AEG是等腰三角形，故①正确；∵菱形ABCD中，∠BAD=135°，∴∠DAC=67.5°=∠ACB，∠ABC=45°，∵GE∥BC，∴∠AGE=45°，∠AEG=67.5°，又∵AH⊥BC，∴AH⊥GE，∴ME＜GE=BC，故②错误；∵AH⊥BH，∠ABH=45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∠BHF=∠AHC=90°，∴AH=BH，∵∠BHF=∠AEF=90°，∠BFH=∠AFE，∴∠HBF=∠HAC，∴△BHF≌△AHC（ASA），∴FH=HC，故③正确；∵菱形ABCD中，∠ABE=∠CBE，而∠HBF=∠HAC，∴∠ABE=∠FAE，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，。
第二单元 认识三角形和四边形(单元练习)北师大版数学四年级下册(含答案)
第二单元认识三角形和四边形（单元练习）北师大版数学四年级下册一、单选题1．将两个长方形如图摆放，重叠部分是什么图形？（）A．三角形B．平行四边形C．长方形D．梯形2．学校拉门里有许多小平行四边形，这是应用了平行四边形（）的性质。
A．容易变形B．对边相等C．稳定性D．互相对称3．把一个长方形框架拉成一个平行四边形框架后，这个平行四边形的周长和原来长方形的周长相比，（）。
A．不变B．变大C．变小D．无法比较4．如图是一个三角形露出了一个角，它是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．无法确定5．一个三角形中两条边的长度分别是3厘米、5厘米，那么第三条边的长度可能是（）。
A．1厘米B．4厘米C．8厘米D．10厘米二、判断题6．由四条边围成的图形不是长方形就是正方形。
（）7．一个三角形中最大的角是钝角，这个三角形一定是钝角三角形。
（）8．平行四边形的两组对边相等。
（）9．完全相同的两个三角形可以拼成一个平行四边形。
（）10．等腰梯形可以分成两个相同的直角梯形。
（）三、填空题11．三角形按角分类有、和。
12．有两组对边分别平行的四边形，一定是形，可能是形，也可能是形。
13．在如图所示的3组小棒中，想要围成平行四边形应该选择，围成等腰梯形应该选择。
14．一个等腰三角形的顶角是80°，它的两个底角各是多少度?它的两个底角都是度.15．如图所示：把平行四边形转化成长方形，长方形的长是dm，宽是dm。
16．从2厘米，3厘米，4厘米，5厘米，6厘米长的5根小棒中选择3根围成三角形，能围成种不同的三角形。
17．图中已有A、B、C三点，在正方形网格中再找一个点D，使四个点能形成一个平行四边形。
点D的位置有种可能。
18．15°、105°、85°、55°是几个三角形中某四个角的度数，其中和肯定不在同一个三角形内。
四、解答题19．下面的三个三角形都被一张纸条遮住了一部分．你能直接确定它们各是什么三角形吗？20．如果三角形的两条边分别是4厘米和8厘米，那么第三条边可能是几厘米?21．李伯伯用一根铁丝围成一个边长是10cm的正方形。
北师大版数学4年级下册 第2单元(认识三角形和四边形)单元综合卷(一)(含答案)
北师大版四年级数学下册第二单元综合卷（一）（含答案）一、判断题（共7题；共14分）1. ( 2分) 学校的电动门就是利用平行四边形的不稳定性。
（）2. ( 2分) 等底等高的两个梯形，形状一定相同。
（）3. ( 2分) 三角形任意两边之和一定大于第三边。
（）4. ( 2分) 用右面的三根小棒能拼成一个三角形。
5. ( 2分) 把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90°。
（）6. ( 2分) 三角形的两个内角和是115度，另一个角一定是75度。
（）7. ( 2分) 三条边分别是4厘米、4厘米、8厘米的三角形是一个等腰三角形．（）二、填空题（共11题；共40分）8. ( 2分) 填一填。
上面的图形中，________是平行四边形。
9. ( 6分) 如果将下面梯形的下底减少2分米，这个梯形就可以变成正方形，原来这个梯形的上底是________分米，下底是________分米，周长是________分米。
10. ( 2分) 平行四边形相邻两条边分别为3cm和7cm，这个平行四边形的周长为________。
11. ( 2分) 两根木条分别长14厘米和7厘米，再用一根________厘米的木条，就可以钉成一个等腰三角形。
12. ( 2分) 如果一个三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是10cm 和4cm，另外一条边最小是________ cm。
13. ( 4分) 在一个三角形中，∠1=60°，∠2=31°，∠3=________。
这是一个________角三角形。
14. ( 6分) 如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是________°，原来这块纸片的形状是________三角形，也是________三角形。
15. ( 2分) 把1～8号放在合适的盘中．16. ( 4分) 图中有________个平行四边形，________个梯形。
17. ( 6分) 三角形按角来分，可以分成________三角形、________三角形和________三角形。
北师大版四年级数学下册——第六讲：三角形和四边形综合-必备同步练习卷+答案
第六讲：三角形和四边形综合一、填空题。
1. 三角形的内角和是度；一个等腰三角形，它的底角和是50度，则它的顶角是度。
2. 长度分别为4厘米、5厘米、8厘米的3根小木棍（填能/不能）围成一个三角形。
3. 一个三角形中，∠1=45°，∠2是∠1的两倍，则∠3是度，它是一个三角形。
4. 按角的大小，三角形可分为三角形、三角形、三角形。
5. 在三角形中，∠1=30°，∠2=70°，∠3=，按角分，它是三角形。
6. 有组对边平行的四边形叫做平行四边形。
7. 在一个直角三角形中，有一个角是30°，另两个角分别是、。
8. 长方形和正方形都是特殊的形。
9. 将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是度。
10. 三角形的两个内角之和是85°，另一个角是，这个三角形是三角形。
11. 一个等边三角形的边长是14厘米，它的周长是厘米。
12. 一个三角形中，最小的角是46度，按角分类，这个三角形是三角形。
二、判断题。
1. 等边三角形的每一个内角都是60°。
（）2. 等边三角形是特殊的等腰三角形。
（）3. 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
（）4. 直角三角形的两个锐角之和大于直角。
（）5. 用三根一样长的小木棍一定能围成一个三角形。
（）6. 钝角三角形中三个角都是钝角。
（）7. 等腰三角形中有锐角三角形，也有直角三角形和钝角三角形。
（）8. 一个锐角三角形的三个内角分别是：56°、80°、64°。
（）三、选择题。
1. 三角形的高有（）条。
A.1B.3C.无数2. 所有的等边三角形都是（）三角形。
A.钝角B.直角C.锐角3. 把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（）。
A.30°、60°B.45°、45°C.60°、60°4. 一个三角形至少有（）个锐角。
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第六讲 三角形和四边形（附详细答案）1.（2008龙岩）如图1，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B =21，则CD ∶DB = . 2.（2008宁德）如图2，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是_______厘米.3.（2008莆田）如图3，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD = 2AB ，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落在BC 上的A 1处，则∠EA 1B=_________度.4．（2008厦门）如图4，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆25米的D 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端A 的仰角22α= ，求电线杆AB 的高．（精确到0.1米）参考数据：sin 220.3746=，cos 220.9272=，tan 220.4040= ，cot 22 2.4751= ．5.（2008三明）如图5，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE=2DE ，延长DE 到点F ，使得EF=BE ，连接CF. （1）求证：四边形BCEF 是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=130°，求菱形BCEF 的面积. 参考数据： tan 65°=2.15。
6.（2008南平）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ．①如图1，求证：ABE ADC △≌△；②探究：如图1，BOC ∠= ；如图2，BOC∠= ；如图3，BOC ∠= ．（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ．①猜想：如图4，BOC ∠= （用含n 的式子表示）；②根据图4证明你的猜想．图1B E 图3图5ABE C Dα图47.（2008宁德）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点， F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． ⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12， E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．8.（2008泉州）在图6中，直线l 所对应的函数关系式为551+-=x y ，l 与y 轴交于点C ，O 为坐标原点。
（1）请直接写出线段OC 的长；（2）已知图中A 点在x 轴的正半轴上，四边形OABC 为矩形，边AB 与直线l 相交于点D ，沿直线l 把△CBD 折叠，点B 恰好落在AC 上一点E 处，并且EA=1. ①试求点D 的坐标；②若⊙P 的圆心在线段CD 上，且⊙P 既与直线AC 相切，又与直线DE 相交，设圆心P 的横坐标为m ，试求m 的取值范围。
9.（2008莆田）如图7：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
10.（2008宁德）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象；⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长； ⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝， 过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ． ①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．C Q → B 图1 CF B 图2 CA DE图6图7图1第六讲三角形和四边形答案1.122. 53. 60 4．解：在Rt ACE △中，tan AE CE α∴=⨯tan DB α=⨯25tan 22=⨯ 10.10≈10.10 1.2011.3AB AE BE AE CD ∴=+=+=+≈（米）答：电线杆的高度约为11.3米．5．（1）∵D 、E 是AB 、AC 的中点∴DE ∥BC ，BC=2DE 。
又BE=2DE ，EF=BE ， ∴BC=BE=EF ，EF ∥BC ，∴四边形BCFE 是菱形。
（2）连接BF 交CE 于点O.∵在菱形BCFE 中，∠BCF=130°，CE=4，∴BF ⊥CE ，∠BCO=21∠BCF=65°，OC=21CE=2。
在Rt △BOC 中，tan65°=OCOB ,∴OB=2tan65°，BF=4tan65°。
∴菱形BCFE 的面积=21CE ·BF=21×4×4tan 65°=8tan 65°≈17.2。
6．（1）①：ABD △与ACE △均为等边三角形，AD AB ∴=，AC AE =,且60BAD CAE ∠=∠=BAD BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠ ABE ADC ∴△≌△．②120 ，90 ，72 ． （2）①360n②依题意，知BAD ∠和CAE ∠都是正n 边形的内角，AB AD =，AE AC =，BAD DAE CAE DAE ∴∠-∠=∠-∠ ，即BAE DAC ∠=∠．ABE ADC ∴△≌△．ABE ADC∴∠=∠，180ADC ODA ∠+∠=，180ABO ODA ∴∠+∠=360ABO ODA DAB BOC ∠+∠+∠+∠=，180BOC DAB ∴∠+∠=(2)180360180180n BOC DAB n n-∴∠=-∠=-=· 14分7.⑴证明：在正方形ABCD 中，∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF ．∴CE ＝CF ． ⑵解：GE ＝BE ＋GD 成立．∵△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF ．∴∠ECD ＋∠ECB ＝∠ECD ＋∠FCD即∠ECF ＝∠BCD ＝90°，又∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°．∵CE ＝CF ，∠GCF ＝∠GCE ，GC ＝GC ， ∴△ECG ≌△FCG ．∴EG ＝GF ．∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ． ⑶解：过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ．在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∠A ＝∠B ＝90°，又∠CGA ＝90°，AB ＝BC ，∴四边形ABCD 为正方形．∴AG ＝BC ＝12．已知∠DCE ＝45°，根据⑴⑵可知，ED ＝BE ＋DG ． 设DE ＝x ，则DG ＝x －4，∴AD ＝16－x ． 在Rt △AED 中， ∵222AE AD DE +=，即()222816+-=x x ．解得：x ＝10．∴DE ＝10．ABE C Dα(2)180n BAD CAE n-∴∠=∠=B CA D EG9（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)因为B （0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3,所以抛物线解析式为2111(3)(4)4333y x x x x =-+-=-++（2）连接DQ ，在Rt △AOB 中，所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB ，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。
∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CABDQ CD AB CA = 即210,577DQ DQ ==所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –107=257 ，2525177t =÷=,所以t 的值是257（3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为122b x a =-=所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线12x =对称连接AQ 交直线12x=于点M ，则MQ+MC 的值最小过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=900,DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABO ，QE DQ DE BO AB AO == 即 107453QE DE==所以QE=87，DE=67，所以OE = OD + DE=2+67=207，所以Q （207，87）设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠则2087730k m k m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩ 由此得8412441k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+ 联立128244141x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由此得128244141x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 所以M 128(,)241则：在对称轴上存在点M 128(,)241，使MQ+MC 的值最小。
10.解：⑴∵CD CQ S DCQ ⋅⋅=∆21，CD ＝3，CQ ＝x ，∴x y 231=． 图象如图所示．⑵方法一：CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ，∴()kx kx x kx k y 42182122+-=⋅-⨯=．∵抛物线顶点坐标是（4，12），5AB ===∴12444212=⋅+⋅-k k ．解得23=k ．则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法二：观察图象知，当x=4时，△PCQ 面积为12． 此时PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4．由CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，得 12244=⨯k ．解得23=k ．则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米． 方法三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2．∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ，， 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ，，∴x x y 64322+-=．①∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ，∴kx kx y 42122+-=．②比较①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．⑶①观察图象，知线段的长EF ＝y 2－y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差（或△PDQ 面积）． ②由⑵得x x y 64322+-=.（方法二，x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=）∵EF ＝y 2－y 1，∴EF ＝x x x x x 29432364322+-=-+-， ∵二次项系数小于０，∴在60＜x＜范围，当3=x 时，427=EF 最大．。