第28章《一元二次方程》常考题集(17)：28.3 用一元二次方程解决实际问题

合集下载

一元二次方程必考题型

一元二次方程必考题型
（原创实用版）
目录
一、一元二次方程的概述
二、一元二次方程的必考题型
三、如何解决一元二次方程的必考题型
四、总结
正文
【一、一元二次方程的概述】
一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为已知数，且 a≠0。

它是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础知识。

一元二次方程的解法主要包括配方法、公式法和韦达定理等。

【二、一元二次方程的必考题型】
在一元二次方程的考试中，以下几种题型是经常出现的：
1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求解方程的根。

2.给定一元二次方程的根，求解方程。

3.根据一元二次方程的解的判别式，判断方程的根的情况。

4.利用一元二次方程的解法，解决实际问题。

【三、如何解决一元二次方程的必考题型】
1.对于第一种题型，我们可以根据一元二次方程的根与系数的关系，直接得出答案。

2.对于第二种题型，我们可以利用一元二次方程的求根公式，将已知的根代入公式，解出方程。

3.对于第三种题型，我们可以根据一元二次方程的解的判别式，判断方程的根的情况。

如果判别式大于 0，则方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于 0，则方程有两个相等的实数根；如果判别式小于 0，则方程无实数根。

4.对于第四种题型，我们首先需要根据题目的要求，列出一元二次方程，然后利用一元二次方程的解法，求解方程，最后得出答案。

【四、总结】
一元二次方程是数学中的基础知识，也是各类考试中的常考点。

第28章《一元二次方程》常考题集(07)：28.2 解一元二次方程

A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
110．关于 x 的方程 x2﹣x+1＝0 的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
111．方程 x2+4x+4＝0 的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
B．△＞M
C．△＜M
D．大小关系不能确定
104．不解方程，判别方程 2x2﹣3x﹣4＝0 的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
105．如果关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+9＝0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围
是（）
A．k＜1
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
117．一元二次方程 kx2﹣2x﹣1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是（）
A．k≠0 且 k≥﹣1 B．k≥﹣1
C．k≠0 且 k≤﹣1 D．k≠0 且 k≤﹣1
118．若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x﹣1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是（）
B．x2﹣6x+5＝0 D．2x2+x+1＝0
95．关于 x 的一元二次方程 kx2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（）
A．k＞﹣1
B．k＞1
C．k≠0
D．k＞﹣1 且 k≠0
96．若关于 x 的方程 x2+2（k﹣1）x+k2＝0 有实数根，则 k 的取值范围是（）

一元二次方程经典例题及详细解答

一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程，它的解法丰富多样，具有很高的实用价值。

本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法，以及一些经典例题的详细解答。

一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c均为已知系数。

一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。

一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种：配方法和公式法。

1.配方法配方法也称补全平方法，是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。

这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。

2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程，一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。

一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题，详细解答一元二次方程的解题过程。

1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0，求方程的根。

解：根据公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3，x2=2。

所以方程的根为x1=3，x2=2。

2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0，求方程的根。

解：同样使用公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2，x2=2。

所以方程的根为x1=3/2，x2=2。

28.3一元二次方程的应用——平均变化率问题

一元二次方程解决实际问题（ 28.3 一元二次方程解决实际问题（二）平均变化率问题
滦南县胡各庄镇初级中学学习目标
1．能正确列出方程并求解，并能根据题意检验根的取舍；能正确列出方程并求解，并能根据题意检验根的取舍； 2．探究并掌握住平均变化率问题的模型，会运用模型解决同类问题。探究并掌握住平均变化率问题的模型，会运用模型解决同类问题。掌握住平均变化率问题的模型学习过程
【回顾与思考】回顾与思考】
这节课你学会了哪种解题模型？这种模型的使用前提是什么？这节课你学会了哪种解题模型？这种模型的使用前提是什么？你还有何收获？
【作业】作业】
1、完成点津 P37 第 3 题、第 10 题、 2、预习课本 P44 例 2 、
3
刘媛媛
【温故知新】温故知新】
1.小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是 a 分，第学习笔记：小明学习非常认真，学习成绩直线上升，学习笔记：小明学习非常认真二次月考增长了 10%，第三次月考又增长了 10%，他第二次数学成绩，，是，第三次数学成绩是。 2.国庆节期间，商场为了促销搞了两次降价活动，某品牌上衣原价 a 元，第国庆节期间，商场为了促销搞了两次降价活动，国庆节期间一次价格降低了 10%，第二次价格又降低了 10%，第一次促销活动中该上，，衣价格是，第二次促销活动中该上衣的价格是温馨提示：的量，区分增长了和增长后、降低了和降低后。温馨提示：找准单位 1 的量，会区分增长了和增长后、降低了和降低后。
温馨提示：市用于“改水工程”的投资：温馨提示：若设年平均增长率为 x，那么 A 市用于“改水工程”的投资：万元，万元。万元，增加到万元。 2009 年比 2008 年增加了万元，万元。 2010 年比 2009 年增加了万元，增加到万元。根据题意，根据题意，列方程得

《一元二次方程》各节知识点及典型例题

第二章一元二次方程第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中ax2是，a是，bx是，b是，c 是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1 B．0 C．-1 D．-1或1例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b的值（2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

巩固练习1、下列方程中，是一元二次方程的为（）A. x2= -1B. 2x（x-1）+1=2x2C. x2+3x=2xD. ax2+bx+c-02、已知关于x的方程mx2+(m-1)x-1=2x2-x，当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+231a +的值6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（） A. 1，0 B. -1，0 C. 1，-1 D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b a b--的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。

一元二次方程知识点总结及相关练习题

一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。

一元二次方程试题及实际应用题总括

一元二次方程练习题一、填空1. 一元二次方程化为一般形式为: , 二次项系数为: , 一次项系数为: , 常数项为: 。

2. 关于x 的方程 ,当时为一元一次方程；当时为一元二次方程。

3. 已知直角三角形三边长为连续整数, 则它的三边长是。

4. ；。

5. 直角三角形的两直角边是3︰4, 而斜边的长是15㎝, 那么这个三角形的面积是。

6. 若方程的两个根是和3, 则的值分别为。

7. 若代数式与的值互为相反数, 则的值是。

8. 方程与的解相同, 则 = 。

9. 当时, 关于的方程可用公式法求解。

二、10. 若实数满足 , 则 = 。

三、11．若 , 则 = 。

四、12．已知的值是10, 则代数式的值是。

五、选择1. 下列方程中, 无论取何值, 总是关于x 的一元二次方程的是（）（A ）02=++c bx ax （B ）x x ax -=+221（C ）0)1()1(222=--+x a x a （D ）0312=-+=a x x 2. 若与互为倒数, 则实数为（）（A ）±21（B ）±1 （C ）±22 （D ）±2 3. 若是关于的一元二次方程的根, 且 ≠0, 则的值为（）（A ）1- （B ）1 （C ）21- （D ）21 4. 关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0, 则下列条件正确的是（）（A ）0,0==n m （B ）0,0≠=n m （C ）0,0=≠n m （D ）0,0≠≠n m5. 关于的一元二次方程有实数根, 则（）（A ）k ＜0 （B ）k ＞0 （C ）k ≥0 （D ）k ≤06. 已知、是实数, 若 , 则下列说法正确的是（）（A ）x 一定是0 （B ）y 一定是0 （C ）0=x 或0=y （D ）0=x 且0=y7. 若方程中, 满足和 , 则方程的根是（）（A ）1, 0 （B ）-1, 0 （C ）1, -1 （D ）无法确定六、解方程1. 选用合适的方法解下列方程（1）)4(5)4(2+=+x x （2）x x 4)1(2=+（3）22)21()3(x x -=+ （4）31022=-x x四、解答题已知等腰三角形底边长为8, 腰长是方程的一个根, 求这个三角形的腰。

第28章《一元二次方程》常考题集(13)：28.2 解一元二次方程

第28章《一元二次方程》常考题集（13）：28.2 解一元二次方程解答题271．已知x＝1是一元二次方程（m+1）x2﹣m2x﹣2m﹣1＝0的一个根．求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式．272．解方程：3x（x+2）＝5（x+2）273．已知a、b、c均为实数，且+|b+1|+（c+3）2＝0，求方程ax2+bx+c＝0的根．274．阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你在其右边写出正确的解答．已知：m是关于x的方程mx2﹣2x+m＝0的一个根，求m的值．解：把x＝m代入原方程，化简得m3＝m，两边同除以m，得m2＝1，∴m＝1，把m＝1代入原方程检验可知：m＝1符合题意．答：m的值是1．275．解方程（1）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）；（2）2x2﹣5x﹣3＝0．276．解下列方程：（1）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）＝0；（2）x2﹣4x﹣3＝0277．解方程：x（x﹣6）＝2（x﹣8）278．用适当的方法解下列方程：（1）（3x﹣1）2＝（x+1）2（2）．279．解方程：（1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法解）280．解方程：3（x﹣5）2＝2（5﹣x）281．当x为何值时，代数式x2﹣13x+12的值与代数式﹣4x2+18的值相等？282．解方程：4+4（1+x）+4（1+x）2＝19283．阅读下面材料：解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±，故原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．284．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．285．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0．（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k＝2时，用配方法解此一元二次方程．286．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．287．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．288．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（m为实数），（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解．289．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求a的值．290．当m为何值时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣＝0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？291．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0．（1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；（2）设α，β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值．292．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0（1）当m取值范围是多少时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．294．已知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．295．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边a＝1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．296．试证明：不论m为何值，方程2x2﹣（4m﹣1）x﹣m2﹣m＝0总有两个不相等的实数根．297．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0，（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．298．已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．299．关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的解．300．若n＞0，关于x的方程x2﹣（m﹣2n）x+mn＝0有两个相等的正实数根，求的值．第28章《一元二次方程》常考题集（13）：28.2 解一元二次方程参考答案解答题271．；272．；273．；274．；275．；276．；277．；278．；279．；280．；281．；282．；283．；284．；285．；286．；287．；288．；289．；290．；291．；292．；294．；295．；296．；297．；298．；299．；300．；。

一元二次方程知识点总结和例题

知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

一元二次方程的解法（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x （4）因式分解法一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆一元二次方程根与系数的关系abx x -=+21，a c x x =21。

例题：6、已知关于x 的一元二次方程220x kx +-= 的一个解与方程131x x +=-的解相同。

（1）求k 的值；（2）求方程220x kx +-=的另一个解。

7、设12,x x 是关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两个根，121,1x x ++是关于x 的一元二次方程20x qx p ++=的两个根，则,p q 的值分别等于多少？知识点.一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x =（2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3）公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是x =()240b ac -≥；（4）因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。

一元二次方程应用题总结归类及典型例题库

一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

一元二次方程的应用题分类题型汇总

一元二次方程的应用题分类题型汇总一元二次方程作为高中数学中的重要知识点，是数学中的重要内容之一。

在学习一元二次方程的过程中，掌握其应用题的解题方法和技巧是非常重要的。

一元二次方程的应用题主要分为以下几类：一、开平方型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的开方运算来解题，常见的题目包括：物体自由下落问题、两船相遇问题、地平线问题等。

例如：一个物体从100米高的地方自由下落，求它落地时的速度是多少？解：根据自由落体运动公式，可以列出方程h=gt^2，再可得方程100=4.9t^2，解出t=2s，代入vt=gt，解得v=9.8m/s。

二、三角形型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的几何意义来解题，常见的题目包括：三角形的边长问题、三角形的面积问题、三角形的高问题等。

例如：一个三角形的面积为24平方厘米，底长为6厘米，求其高是多少？解：设三角形的高为h，则可得方程24=6h/2，解得h=8。

三、投影型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的投影意义来解题，常见的题目包括：物体投射问题、光的反射问题、图像放大缩小问题等。

例如：一枚炮弹以初速度20m/s与水平面夹角30°的角度射出，求炮弹落地的水平距离是多少？解：设炮弹飞行的时间为t，则可得方程h=20t*sin30°-4.9t^2，代入可得t=40/39s，再代入可得落地的水平距离为20*40/39*cos30°=38.84m。

四、应用文型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的应用文意义来解题，常见的题目包括：距离、速度、时间问题、消费问题、利润问题等。

例如：甲乙两地相距240公里，分别以60公里/小时和80公里/小时的速度开车同时出发相向而行，几小时后相遇？解：设相遇的时间为t，则可得方程60t+80t=240，解得t=2小时。

以上是一元二次方程的应用题的主要分类和题型汇总，掌握这些题型的解题方法和技巧，将对学生在解题过程中起到很大的帮助。

一元二次方程常考题型

一元二次方程是数学中的一个重要概念，它在中考数学中也是一个常见的考点。

以下是中考数学中常考的一元二次方程的题型及解题方法：
1.直接开平方法：对于形如$x^2=p$或$(x-\alpha)^2=p$的一元二次方程，
可以通过直接开平方的方法求解。

首先移项，等式两边同加或同减一个常数，使常数项移到等式的另一边，然后两边同时开平方，最后得出解。

2.因式分解法：对于形如$x^2-px+q=0$的一元二次方程，可以通过因式分
解法求解。

首先移项并提公因式，然后根据完全平方公式或平方差公式进行因式分解，最后根据因式分解的结果得出解。

3.配方法：对于形如$x^2-px+q=0$的一元二次方程，也可以通过配方的方
法求解。

首先移项并提公因式，然后配方使左边成为一个完全平方三项式，右边为一个常数，最后得出解。

4.公式法：对于任何一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，都可以通过公式法求
解。

首先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，然后根据判别式的值判断方程的根的情况，最后根据根的性质求出方程的解。

5.综合法：综合法通常是根据题目的具体条件和图形的几何意义，将问题转
化为与一元二次方程有关的问题，通过解一元二次方程得出答案。

综上所述，中考数学中常考的一元二次方程的题型及解题方法有多种，需要根据具体题目选择合适的方法进行求解。

一元二次方程知识点总结与经典题型

一元二次方程知识点总结与经典题型研究必备：欢迎下载一元二次方程知识点总结考点一：一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。

一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a≠0.考点二：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对于形如(x+a)²=b的一元二次方程，当b≥0时，x+a=±√b，x=-a±√b；当b<0时，方程无实数根。

2.配方法：配方法的步骤为：先将常数项移到方程的右边，再将二次项的系数化为1，接着同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。

3.公式法：公式法的步骤为：将一元二次方程的各系数分别代入公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中。

4.因式分解法：因式分解法利用因式分解的方法求出方程的解，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤为：将方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘的方法，如果可以，就可以化为乘积的形式。

考点三：一元二次方程根的判别式根的判别式通常用“Δ”来表示，即Δ=b²-4ac。

考点四：一元二次方程根与系数的关系如果方程ax²+bx+c=0的两个实数根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

易错题：1.若关于x的一元二次方程(m-1)x²+5x+m²-3m+2=0有一个根为1，则m的值等于2.2.已知a，b是关于x的一元二次方程x²+nx-1的两实数根，则n+2ab/(a+b)的值是-2.3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则(a+b)x²+2cx+(a+b)的根的情况是有两个不相等的实数根。

1、已知方程x-2x-1=0的两根为m和n，且(7m-14m+a)(3n-6n-7)=8，则a的值为（）。

A．-5.B.5.C.-9.D.9改写：已知方程x-2x-1=0的两根为m和n，且(7m-14m+a)(3n-6n-7)=8，求a的值。

第28章《一元二次方程》常考题集(04)：28.2 解一元二次方程

D．x1＝25，x2＝﹣25
9．一元二次方程 x2﹣1＝0 的根为（）
A．x＝1
B．x＝﹣1
C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x＝2
10．用直接开平方法解方程（x﹣3）2＝8，得方程的根为（）
A．x＝3+2
B．x1＝3+2 ，x2＝3﹣2
C．x＝3﹣2
D．x1＝3+2
第1页（共4页）
，x2＝3﹣2
11．若 2x+1 与 2x﹣1 互为倒数，则实数 x 为（）
C．﹣4，13
D．4，19
28．将一元二次方程 x2﹣2x﹣2＝0 配方后所得的方程是（）
A．（x﹣2）2＝2
B．（x﹣1）2＝2
C．（x﹣1）2＝3
D．（x﹣2）2＝3
பைடு நூலகம்
29．用配方法解方程 2x2+3＝7x 时，方程可变形为（）
A．（x﹣ ）2＝
B．（x﹣ ）2＝
C．（x﹣ ）2＝
D．（x﹣ ）2＝
30．一元二次方程 x2﹣2x﹣m＝0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）
A．（x﹣1）2＝m2+1
B．（x﹣1）2＝m﹣1
C．（x﹣1）2＝1﹣m
D．（x﹣1）2＝m+1
第3页（共4页）
第 28 章《一元二次方程》常考题集（04）：28.2 解一元二次方程
参考答案
选择题 1．D； 2．C； 3．C； 4．D； 5．A； 6．B； 7．D； 8．C； 9．C； 10．B； 11．C； 13．D； 14．B； 15．C； 16．D； 17．A； 18．C； 19．B； 20．D； 21．A； 22．C； 23．C； 24．A； 25．B； 26．A； 27．C； 28．C； 29．D； 30．D；

公式法解一元二次方程的例题20道

公式法解一元二次方程的例题20道一元二次方程是中学数学学习中的重要内容，公式法是解一元二次方程的一种常见方法。

通过求根公式，可以解任意形式的一元二次方程，这在代数学习中具有重要意义。

接下来，我将结合公式法解一元二次方程的例题，带你一起深入理解这一知识点。

1. 解题思路在使用公式法解一元二次方程时，我们首先要将方程化为标准形式：$ax^2+bx+c=0$，然后利用求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$来求得方程的解。

在实际解题中，我们需要注意判别式$\Delta=b^2-4ac$的正负与零，以确定方程的解的个数及性质。

2. 例题1已知一元二次方程$2x^2-5x+2=0$，求方程的根。

解：根据公式法，首先计算判别式$\Delta=(-5)^2-4\times2\times2=1$，由于$\Delta>0$，则方程有两个不相等的实根。

代入求根公式，得$x_1=\frac{5+\sqrt{1}}{4}=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{1}}{4}=\frac{3}{2}$。

方程的解为$x_1=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{3}{2}$。

3. 例题2求一元二次方程$3x^2-4x+1=0$的根。

解：计算判别式$\Delta=(-4)^2-4\times3\times1=0$，由于$\Delta=0$，则方程有两个相等的实根。

代入求根公式，得$x_1=x_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。

方程的解为$x_1=x_2=\frac{2}{3}$。

4. 例题3已知一元二次方程$4x^2-12x+9=0$，求方程的根。

解：计算判别式$\Delta=(-12)^2-4\times4\times9=-48$，由于$\Delta<0$，则方程没有实数根，只有一对共轭复数根。

代入求根公式，得$x_1=\frac{12+\sqrt{-48}}{8}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$x_2=\frac{12-\sqrt{-48}}{8}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

用一元二次方程解决实际问题(二)

用一元二次方程解决实际问题(二)用一元二次方程解决实际问题什么是一元二次方程•一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常表示为ax^2 + bx + c = 0。

•其中，常数a、b和c是已知的系数，未知数x代表方程的解。

一元二次方程的应用场景1.求解物体运动问题–通过一元二次方程可以求解物体的抛体运动轨迹。

–需要已知物体的初速度、重力加速度等信息。

2.计算几何问题–一元二次方程可以应用于解决平面图形的相关问题。

–如确定抛物线、圆的方程等。

3.解决工程问题–在工程领域，一元二次方程可以用于解决建筑物的抗风压力、水泵的流量等问题。

4.经济学模型–一元二次方程可以用于经济学中的供求关系模型、成本函数等。

5.自然科学问题–运用一元二次方程可以研究动力学、电路等自然科学问题。

一元二次方程的解法•一元二次方程可以通过以下方式求解：1.因式分解法：将方程因式分解，得到两个一次方程的解，并求得方程的解。

2.完全平方式：将一元二次方程转化为完全平方式，然后求解。

解决实际问题的步骤示例1.确定问题中的未知量和已知量。

–将问题中需要求解的量定义为未知量。

–将问题中已知的量定义为已知量。

2.建立一元二次方程。

–根据问题的描述，利用已知量和未知量建立一元二次方程。

3.解一元二次方程。

–根据一元二次方程的解法，求解未知量。

4.检验答案。

–将求得的未知量带入原问题，验证方程的解是否符合实际情况。

5.结论。

–根据求解的结果，得出问题的结论。

注意事项•在建立一元二次方程时，需要对问题进行合理简化，适当做出假设。

•在解一元二次方程时，需要考虑方程是否有实数解或复数解，以及解的个数。

以上是关于用一元二次方程解决实际问题的相关内容和步骤。

通过应用一元二次方程，我们可以更好地理解和解决实际生活中的各种问题。