福建省泉州市南安市自主招生数学试卷
福建省泉州市 自主招生数学模拟试卷(含答案)
20. 先化简再求值：2������������−−26÷（������−52-x-2），其中 x=√2-3．
四、解答题（本大题共 8 小题，共 66.0 分）
21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 CD 于点 E，∠ADC 的平分线交
AB 于点 F．试判断 AF 与 CE 是否相等，并说明理由．
A.
1 4
B.
������ 4
C.
������−1 4
D.
1 4������
二、填空题（本大题共 8 小题，共 32.0 分） 11. 将 5 张画着圆、平行四边形、等边三角形、等腰梯形和菱形的卡片在任意摆放（卡
片质地、大小完全一样），把有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的
图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是______ ． 12. 如图，△ABC 中，边 AB 的中垂线分别交 BC、AB 于点
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
6. 如果一个定值电阻 R 两端所加电压为 5 伏时，通过它的电流为 1 安培，那么通过这
一电阻的电流 I 随它的两端电压 U 变化的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 直线 y=3x+b 经过第一象限
B.
方程 2
������−2
+
������ 2−������
福建省泉州市自主招生数学模拟试卷
副标题
题号 得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 下列计算正确的是（ ）
A. a•a2=a3
福建省泉州市南安2021年自主招生考试数学试卷(含答案)
PBAON福建省泉州市南安一中2021年自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、在“百度”搜索引擎中输入“三明”二字，能搜索到与之相关的结果个数约为61600000，61600000用科学记数法表示正确的为（ ）（A ）761.610⨯ （B ）86.1610⨯ （C ）76.1610⨯ （D ）80.61610⨯ 2、下列运算正确的是（ ）（A ）32a a a ÷= （B ）325a a a += （C ）()235aa = （D ）236a a a ⋅=3、一元二次方程2440x x -+=根的情况是（ ）（A ）只有一个实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）有两个不相等的实数根 （D ）没有实数根 4、若双曲线1k y x-=分布在二、四象限，则k 的值可为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5、在正方形网格中，ABC ∆的位置如图，则cos B ∠的值为（ ） （A ）22 （B ）34 （C ）35 （D ）456、下列函数：① 3y x =-，②21y x =-，③()10y x x=-<，④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 7、按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 8、已知关于x 的不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中任意一个x 的值均不．．在04x ≤≤的范围内， 则a 的取值范围是（ ）（A ）5a >或2a <-；（B ）25a -≤≤；（C ）25a -<<；（D ）5a ≥或2a ≤- 9、如图所示，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点， 点P 是半径ON 上的动点。
福建省南安市侨光中学2020届九年级6月(高中自主招生)考试数学试题及参考答案
九年级数学科试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列实数中，无理数是（ ）A ．0.010010001B ．0)3(C ．030cos D ．31 2.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3.下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )A ．B ．C ．D ．4.下列成语中描述的事件是随机事件的是（ ）A ．守株待兔B ．瓮中捉鳖C ．拔苗助长D ．水中捞月 5.若,05>+x 则（ ）A ．03<+xB ． 03<-xC ．15-<xD ．162<-x 6.如图，直线y =ax +b 与x 轴交于A 点(4,0)，与直线y =mx 交于B 点(2,n)，则关于x 的一元一次方程mx b ax =-的解为（ ）A ．2=xB ．2-=xC ．4=xD ．4-=x第6题图 第7题图7.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和8.在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y ＝（x +a ）（x +b ）的图象与x 轴有M 个交点，函数y ＝（ax +1）（bx +1）的图象与x 轴有N 个交点，则（ ）A ．M ＝1-N 或M ＝1+NB ．M ＝1-N 或M ＝2+NC ．M ＝N 或M ＝1-ND ．M ＝N 或M ＝1+N 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9.小明用])5()5()5()5[(1012102322212-+-+-+-=x x x x S 计算一组数据的方差，则 10321x x x x ++++ 的值是______．10.如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头， 要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm ，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC 之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压______cm ． 11.若2021)2019)(2020(=--a a ，则22)2019()2020(-+-a a =_______．12.如图，在□ABCD 中，已知B ∠＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则劣弧DE ︵的长为_______．13.如图所示，△ABC 中，已知AD 和BE 分别是边BC ，AC 上的中线，且AD ⊥BE ，垂足为G ，若GD =2，GE =3，则线段CG 为_______．14.如图，在直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴和y 轴，43=OB OA ，∠AOB 的角平分线与OA 的垂直平分线交于点C ，与AB 交于点D ，反比例函数x k y =的图象过点C ，当以CD 为边的正方形的面积为74时，k 的值为_______．第12题图 第13题图 第14题图二、 解答题：（本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（6分）先化简，再求值234(1)11x x x --÷++，其中x 是方程2560x x -+=的根．16.（6分）如图，已知AB//CF ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，若AB =BD +CF ，求证：△ADE ≌△CFE ．17.（8分）已知△ABC 中，∠A =22.5°，∠B =45°．(1)求作：⊙O ，使得圆心O 落在AB 边上，且⊙O 经过A 、C 两点．(尺规作图，保留作图痕迹,不必写作法)(2)若⊙O 的半径为2，⊙求证：BC 是⊙O 的切线；⊙求A ∠tan 的值． （3）仿照以上求A ∠tan 的过程，可得：015tan =_______．ABCEDOGAECBD18.（8分）甲乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成3元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元. 假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并记录其100天的送餐单数，得到如下频数表.甲公司送餐员送餐单数频数表 乙公司送餐员送餐单数频数表（2）（1）求甲公司送餐员的日平均工资；（3）某人拟到甲乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，那么他应该选择去哪家公司应聘？请说明理由.19.（8分）为落实“精准扶贫”精神，我市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m （元/公斤）与第x 天之间满足⎩⎨⎧≤<+-≤≤+=)3015(75)151(153x x x x m （x 为正整数），销售量n （公斤）与第x 天之间的函数关系如图： 如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元． （1）求销售量n 与第x 天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）（3）求前十天日销售利润y的最大值及相应的x．20.（10分）模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则⊙BOC＝⊙1+⊙B＝⊙A+⊙C+⊙B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“⊙BOC＝⊙A+⊙B+⊙C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：⊙如图2，⊙A+⊙B+⊙C+⊙D+⊙E+⊙F＝．⊙如图3，⊙ABE、⊙ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知⊙BEC＝120°，⊙BAC＝50°，则⊙BFC＝．⊙如图4，BO i、CO i分别为⊙ABO、⊙ACO的2020等分线（i＝1，2，3，…，2018，2019）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2019．已知⊙BOC＝m°，⊙BAC＝n°，则⊙BO1000C＝度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，⊙BCD＝2⊙BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．21.（12分）已知抛物线C 1：和C 2：y ＝x 2 （1）如何将抛物线C 1平移得到抛物线C 2？（2）如图1，抛物线C 1与x 轴正半轴交于点A ，直线y ＝34-x +b 经过点A ，交抛物线C 1于另一点B ．请你在线段AB 上取点P ，过点P 作直线PQ ⊙y 轴交抛物线C 1于点Q ，连接AQ ．若AP ＝AQ ，求点P 的横坐标；（3）如图2，⊙MNE 的顶点M 、N 在抛物线C 2上，点M 在点N 右边，两条直线ME 、NE 与抛物线C 2均有唯一公共点，ME 、NE 均与y 轴不平行．若⊙MNE 的面积为2，设M 、N 两点的横坐标分别为m 、n ，求m 与n 的数量关系．4)1(2--=x y九年级数学科试卷 参考答案及评分标准说明：（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分． （三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数． 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. C 2. D 3. C 4.A 5. D 6.B 7.C 8.D 三、 填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9.50； 10. 60； 11.4043； 12.23π； 13.2√13； 14. 14.四、 解答题：（本题共7小题，共58分．） 15.解：原式)2(2112-++⋅+-=x x x x x ）（ 21+=x…………………2分3(20)3)(2(065212===--=+-x x x x x x 舍去），……………………4分当3=x 时，原式51=………………………6分 16.证明：∵AB =BD +CF ，又∵AB =BD +AD ，∴CF =AD∵AB//CF ，∴∠A =∠ACF ，∠ADF =∠F …………………2分在△ADE 与△CFE 中{∠A =∠ACFCF =AD ∠ADF =∠F，∴△ADE ≌△CFE(ASA)． ………………………6分17.解：(1)作图：如图1即为所求作的图 …………………2分(2)①证明：如图2，连接OC ， ∵OA =OC ，∠A =22.5° ∴∠BOC =45°，又∵∠B =45°，∴∠BOC +∠B =90° ∴∠OCB =90° ∴OC ⊥BC ，且点C 在⊙O 上∴BC 是⊙O 的切线． …………………………………4分 ⊙过C 作CH ⊥AB 于H 点，由①得：∠OCB =90°，∠OCB =90°，∠B =45°， ∴△OBC 是等腰直角三角形，∵OA =OC =2，CH=BCsin ∠B=2，AH=22+=+OH AO …………………………………6分∴在ACH Rt ∆中，A ∠tan =AH CH=12- …………………7分（3）3215tan 0-= …………………8分 18.解：（1）甲公司送餐员日平均送餐单数为：7.391.0421.0413.0404.0391.038=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 所以甲公司送餐员日平均工资为：1.1997.39380=⨯+（元） …………………3分 （2）乙公司送餐员日平均工资为：（元）2.2021.0)72540(4.0)71540(2.05402.05391.0538=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯…………………6分2.2021.199<所以这个人应该选择去乙公司应聘． …………………8分H19.解：（1）当1≤x ≤10时，设n ＝kx +b ，将点A ，B 代入，得⎩⎨⎧+=+=b k b k 103012，解得⎩⎨⎧==102b k ⊙n ＝2x +10同理得，当10＜x ≤30时，n ＝444.1+-x ⊙销售量n与第x天之间的函数关系式：⎩⎨⎧≤<+-≤≤+=)3010(444.1)101(102x x x x n ………………………………4分 （2）⊙y ＝mn ﹣80整理得，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<<++-≤≤++=)3015(32201494.1)1510(5801112.4)101(70606222x x x x x x x x x y ……………7分（3）当1≤x ≤10时，⊙y ＝6x 2+60x +70的对称轴x ＝562602-=⨯-=-a b ⊙x ＝10时，y 取最大值，且10y ＝1270 ………………………8分所以，前十天中，在草莓销售第10天时，日销售利润y 最大，最大值是1270元．20.解：（1）⊙2α； ………………………1分⊙85°； ………………………3分 ⊙)1015110150(n m +； ………………………6分 （2）如图5，连接OC ，⊙OA ＝OB ＝OD ，⊙⊙OAB ＝⊙OBA ，⊙OAD ＝⊙ODA ，⊙⊙BOD ＝⊙BAD +⊙ABO +⊙ADO ＝2⊙BAD ， ⊙⊙BCD ＝2⊙BAD ， ⊙⊙BCD ＝⊙BOD ，⊙BC ＝CD ，OA ＝OB ＝OD ，OC 是公共边， ⊙⊙OBC ⊙⊙ODC （SSS ），⊙⊙BOC ＝⊙DOC ，⊙BCO ＝⊙DCO ， ………………………8分 ⊙⊙BOD ＝⊙BOC +⊙DOC ，⊙BCD ＝⊙BCO +⊙DCO ， ⊙⊙BOC ＝21⊙BOD ，⊙BCO ＝21⊙BCD ， 又⊙BOD ＝⊙BCD ， ⊙⊙BOC ＝⊙BCO ，⊙BO ＝BC ， ………………………9分 又OB ＝OD ，BC ＝CD ， ⊙OB ＝BC ＝CD ＝DO ，⊙四边形OBCD 是菱形． ………………………10分21.解：（1）将抛物线C 1向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到抛物线C 2；………………………2分（2）与x 轴正半轴的交点A （3，0），⊙直线y ＝34-x +b 经过点A ，⊙b ＝4， ⊙y ＝34-x +4， 4)1(2--=x y⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=4)1(4342x y x y 消去y ，得 x ＝3或x ＝37-， ⊙B （34-，964）， ………………………………4分 设P （t ，434+-t ），且337<<-t ， ⊙PQ ⊙y 轴，⊙Q （t ，t 2﹣2t ﹣3）， ………………………………5分 当AP ＝AQ 时，=-P y Q y即﹣4+t 34＝t 2﹣2t ﹣3， ⊙t ＝31， ⊙P 点横坐标为31； ………………………………7分 （3）设直线ME 的解析式为y ＝k （x ﹣m ）+m 2，⎩⎨⎧=+-=22)(x y m m x k y 消去y ，得 x 2﹣kx +km ﹣m 2＝0，⊙＝k 2﹣4km +4m 2＝（k ﹣2m ）2＝0，⊙k ＝2m ，⊙直线ME 的解析式为y ＝2mx ﹣m 2，同理， 直线NE 的解析式为y ＝2nx ﹣n 2，⊙E （2n m +，mn ）， ………………………………10分 ⊙MGE FNE MGFN MNE S S S S ∆∆∆--=梯形 =21[（n 2﹣mn ）+（m 2﹣mn ）]×（m ﹣n ）﹣21（n 2﹣mn ）×（2n m +﹣n ） ﹣21（m 2﹣mn ）×（m ﹣2n m +）＝2， ⊙（m ﹣n ）3﹣2)(3n m -＝4， ⊙（m ﹣n ）3＝8，⊙m ﹣n ＝2； ………………………………12分。
福建省泉州市南安2017年自主招生考试数学试卷
福建省泉州市南安一中2017年自主招生考试数学试卷61600000用科学记数法表示正确的为[_若 O 的半径长为，贝U AP BP 的最小值为(、选择题(本大题共 10小题，每小题4分，共40分)1、 在“百度”搜索引擎中输入“三明”二字 能搜索到与之相关的结果个数约为 61600000，2、 8、 (A ) 61.6 107(B ) 6.16 108 (C ) 6.16 107 (D ) 0.616 108F 列运算正确的是(A ) a 3 a 2=a32 5(B) a a a(C )5 =a(D ) a 2 •a 3 二 a 6兀二次方程 x 2 -4x • 4 = 0根的情况是( (A )只有一个实数根 (C )有两个不相等的实数根k —1若双曲线y ：——分布在二x(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2(B )有两个相等的实数根 (D )没有实数根 四象限，则 k 的值可为((D ) 3在正方形网格中，'ABC 的位置如图，则cos/ B 的值为F 列函数：①y - -3x ， (C ) 3(D )5② y =2x -1，③ y其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有( (A ) 4 个(B ) 3 个(C ) 2 个(D ) 1 个1一.x ：： 0，④x按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为则满足条件的x 的不同值最多有(2—x 2x 3656，(A ) 2 个 (B ) 3 个(C ) 4 个 (D ) 5 个x _ a ■ _ 1 {的解集中任意一个 x 的值均不 在0兰x 兰4的范围内,x - a 2已知关于x 的不等式组则a 的取值范围是( (A ) a 5 或 a 一2(B ) -2 岂a 乞5(C )—2：：：a ：：：5 (D ) a_5或a 岂一2如图所示，已知点 A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点。
福建省南安市2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】
福建省南安市2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量检测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是()A ．7，9，12B ．5，12，13C ．1，D ．3，4，52、（4分）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC 、BD 的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD 就是平行四边形，这种方法的依据是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形3、（4分）如图，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，点B 恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于()A ．25°B ．30°C ．45°D ．60°4、（4分）已知反比例函数y ＝的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是（）A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＜D ．m ＞5、（4分）某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差6、（4分）给出下列化简①（）2=2=2=；12=，其中正确的是（）A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．③④7、（4分）如图，E 是正方形ABCD 的边BC 的延长线上一点，若CE=CA ，AE 交CD 于F ，则∠FAC 的度数是（）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．67.5°8、（4分）下列说法：①“掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面”；②“从一副普通扑克牌中任意抽取一张，点数一定是3”（）A ．只有①正确B ．只有②正确C ．①②都正确D ．①②都错误二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于_____．10、（4分）本市5月份某一周毎天的最高气温统计如下表：则这组数据的众数是___．温度/℃22242629天数213111、（4分）如图，已知60XOY ∠=︒，点A 在边OX 上，2OA =.过点A 作AC OY ⊥于点C ，以AC 为一边在XOY ∠内作等边ABC ∆，点P 是ABC ∆围成的区域（包括各边）内的一点，过点P 作//PD OY 交OX 于点D ，作//PE OX 交OY 于点E .设OD a =，OE b =，则2+a b 最大值是_______.12、（4分）如图，菱形ABCD 的周长为20，对角线AC 与BC 相交于点O ，AC=8，则BD=________.13、（4分）在分式2x x +中，当x=___时分式没有意义．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知，如图E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF ∥BE ，四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由．15、（8分）如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ．ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．16、（8分）为加快城市群的建设与发展，在A 、B 两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的210km 缩短至180km ，平均时速要比现行的平均时速快200km ，运行时间仅是现行时间的29，求建成后的城际铁路在A 、B 两地的运行时间？17、（10分）某学校八年级七班学生要去实验基地进行实践活动，估计乘车人数为10人到40人之间，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人120元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位同学的车费，然后给予其他同学八折优惠．（1）若用x 表示乘车人数，请用x 表示选择甲、乙旅行社的费用y 甲与y 乙；（2）请你帮助学校选择哪一家旅行社费用合算？18、（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC ⊥AB ，E 为⊙O 上的一点，AC =EC ，延长CE 交AB 的延长线于点D .（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若OF ⊥AE ，OF =1，∠OAF =30°，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）在△ABC 中，BC=a ．作BC 边的三等分点C 1，使得CC 1：BC 1=1：2，过点C 1作AC 的平行线交AB 于点A 1，过点A 1作BC 的平行线交AC 于点D 1，作BC 1边的三等分点C 2，使得C 1C 2：BC 2=1：2，过点C 2作AC 的平行线交AB 于点A 2，过点A 2作BC 的平行线交A 1C 1于点D 2；如此进行下去，则线段A n D n 的长度为______________.20、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，分别以A ，C 为圆心，以大于12A C 的长为半径作弧，两弧相交于MN 两点，作直线MN 交AD 于点E ，则△CDE 的周长是_____．21、（4分）若方程2410x x -+=的两根12,x x ，则122(1)x x x ++的值为__________．22、（4分）已知关于x 的方程2x+m ＝x ﹣3的根是正数，则m 的取值范围是_____．23、（4分）若代数式1x -有意义，则x 的取值范围为__________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在□ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠DAE ＝∠BCF.（1）求证：AE ＝CF ；（2）求证：AE ∥CF.25、（10分）如图，反比例函数y=k x （k ＞0）的图象与一次函数y=34x 的图象交于A 、B 两点（点A 在第一象限）．（1）当点A 的横坐标为4时．①求k 的值；②根据反比例函数的图象，直接写出当-4＜x ＜1（x≠0）时，y 的取值范围；（2）点C 为y 轴正半轴上一点，∠ACB=90°，且△ACB 的面积为10，求k 的值．26、（12分）在平面直角坐标系中，点A ，B 分别是x 轴正半轴与y 轴正半轴上一点，OA ＝m ，OB ＝n ，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．（1）若m ＝4，n ＝3，直接写出点C 与点D 的坐标；（2）点C 在直线y ＝kx （k ＞1且k 为常数）上运动．①如图1，若k ＝2，求直线OD 的解析式；②如图2，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE ，若OE ＝OA ，求k 的值．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】根据勾股定理逆定理即可求解.【详解】∵72+92≠122，所以A组不能作为直角三角形三边长故选A.此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理进行判断.2、A【解析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论．【详解】解：∵O是AC、BD的中点，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；故选：A．本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．3、B【解析】先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【详解】解：∵△ABC沿CD折叠B与E重合，∴BC=CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴△BEC是等边三角形．∴∠B=60°，∴∠A=30°，故选B．本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠前后的对应边相等，对应角相等.4、C【解析】试题分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到图象只能在一、三象限，故，则1-2m＞0，∴m＞．故选C．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．5、B【解析】总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断．【详解】要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，即中位数．故选B.6、C【解析】根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．【详解】①原式=2，故①正确；②原式=2，故②正确；③原式==④原式2==，故④错误，故选C．本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.7、A【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴∠E+∠∠FAC=∠ACB=45°，∵CE=CA，∴∠E=∠FAC，∴∠FAC=12∠ACB=22.5°．故选A．8、A【解析】根据不可能事件，随机事件，必然事件发生的概率以及概率的意义找到正确选项即可．【详解】掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面，可能是反面，所以①正确；从一副普通扑克牌中任意抽取一张，点数不一定是3，所以②错误，故选A．本题考查了随机事件与确定事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．确定事件包括必然事件和不可能事件：（1）必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．（2）不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、3【解析】连接AW，如图所示：根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°，在Rt △ADW 和Rt △AB′W 中，AB AD AW AW ='⎧⎨=⎩,∴Rt △ADW ≌Rt △AB′W （HL ），∴∠B′AW=∠DAW=1302DAB '︒∠=又AD=AB′=1，在RT △ADW 中，tan ∠DAW=WD AD ，即tan30°=WD 解得：WD=3∴126ADW AB W S S WD AD ∆'∆==⋅=,则公共部分的面积为：3ADW AB W S S ∆∆'+=，故答案为3.10、1．【解析】根据众数的定义来判断即可，众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.【详解】解：数据1出现了3次，次数最多，所以这组数据的众数是1．故答案为：1．众数的定义是本题的考点，属于基础题型，熟练掌握众数的定义是解题的关键.11、5【解析】过P 作PH ⊥OY 于点H ，构建含30°角的直角三角形，先证明四边形EODP 是平行四边形，得EP=OD=a ，在Rt △HEP 中，由∠EPH =30°，可得EH 的长，从而可得a +2b 与OH 的关系，确认OH 取最大值时点H 的位置，可得结论.【详解】解：过P 作PH ⊥OY 于点H ，∵PD ∥OY ，PE ∥OX ，∴四边形EODP 是平行四边形，∠HEP =∠XOY =60°，∴EP=OD=a ，∠EPH =30°，∴EH =12EP =12a ，∴a +2b =2（12a b +）=2(EH +EO )=2OH ，∴当P 在点B 处时，OH 的值最大，此时，OC =12OA =1，AC =BC ，CH =3222BC ==，∴OH =OC +CH =1+32=52，此时a +2b 的最大值=2×52=5.故答案为5.本题考查了等边三角形的性质、30°的直角三角形的性质和平行四边形的判定和性质，掌握求a +2b 的最大值就是确定OH 的最大值，即可解决问题.12、1【解析】分析:根据菱形的四条边都相等可得AB =5，根据菱形的两条对角线互相垂直且平分可得AC ⊥BD ，AO=12AC =4，BO =DO ，再利用勾股定理计算出BO 长，进而可得答案．详解:∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =12，AC =4，BO =DO ，AD =AB =DC =BC ，∵菱形ABCD 的周长为20，∴AB=5，∴BO =3，∴DO =3，∴DB =1，故答案为：1．点睛:此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．13、-1．【解析】根据分式无意义，分母等于0得，1+x=0，解得x=﹣1，故答案为﹣1．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、见解析【解析】解：结论：四边形ABCD 是平行四边形证明：∵DF ∥BE∴∠AFD ＝∠CEB又∵AF ＝CE DF ＝BE ，∴△AFD ≌△CEB （SAS ）∴AD ＝CB ∠DAF ＝∠BCE∴AD ∥CB ∴四边形ABCD 是平行四边形15、（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）233k k ++.【解析】（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAE ＝∠C ＝60°，∵AE ＝CD ，∴△BAE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠CAD ．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE 是平行四边形．理由：∵△ADG ，△ABC 都是等边三角形，∴AG ＝AD ，AB ＝AC ，∴∠GAD ＝∠BAC ＝60°，∴△GAB ≌△DAC ，∴BG ＝CD ，∠ABG ＝∠C ，∵CD ＝AE ，∠C ＝∠BAE ，∴BG ＝AE ，∠ABG ＝∠BAE ，∴BG ∥AE ，∴四边形AGBE 是平行四边形，ⅱ）如图2中，作AH ⊥BC 于H ．∵BH ＝CH ＝1(1)2k +∴1111(1),(1)2222DH k k AH k =-+=-==+∴AD ==∴四边形BGAE 的周长＝2k +△ABC 的周长＝3（k +1），∴四边形AGBE 与△ABC 的周长比＝233k k ++本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16、23h.【解析】设城际铁路现行速度是xkm/h ，则建成后时速是（x+200）xkm/h ；现行路程是210km ，建成后路程是180km ，由时间=路程速度，运行时间=29现行时间，列方程即可求出x 的值，进而可得建成后的城际铁路在A 、B 两地的运行时间.【详解】设城际铁路现行速度是xkm/h ，则建成后时速是（x+200）xkm/h ；根据题意得：210x ×29=180200x +，解得：x=70，经检验：x=70是原方程的解，且符合题意，∴180200x +=18070200+=23（h ）答：建成后的城际铁路在A 、B 两地的运行时间为23h.本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．17、（1）y 甲=0.75×120x=90x ，y 乙=0.8×120（x-1）=96x-96；（2）当人数为10-16人时，选择乙旅行社合算；当人数16-40人时，选择甲旅行社合算；当人数正好是16人时，选择甲、乙旅行社一样．【解析】（1）设共有x 人由题意得：甲旅行社的花费=120×人数×七五折；乙旅行社的花费=120×（人数-1）×八折；（2）分三种情况：①y 甲=y 乙时，②y 甲＞y 乙时，③y 甲＜y 乙时，分别列出方程或不等式进行计算即可．【详解】（1）设共有x 人，则y 甲=0.75×120x=90x ，y 乙=0.8×120（x-1）=96x-96；（2）由y 甲=y 乙得，90x=96x-96，解得：x=16，y 甲＞y 乙得，90x ＞96x-96，解得：x ＜16，y 甲＜y 乙得，90x ＜96x-96，解得：x ＞16，所以，当人数为10-16人时，选择乙旅行社合算；当人数16-40人时，选择甲旅行社合算；当人数正好是16人时，选择甲、乙旅行社一样．此题考查一元一次不等式和方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中不等关系，再列出不等式．18、（1）见解析；（2）43π【解析】（1）首先连接OE ，由AC ⊥AB ，，可得∠CAD =90°，又由AC=EC,OA=OE ，易证得∠CAE =∠CEA ,∠FAO =∠FEO ，即可证得CD 为⊙O 的切线；（2）根据题意可知∠OAF =30°，OF=1，可求得AE 的长，又由S 阴影=EAO S 扇形-EAO S ∆，即可求得答案．【详解】（1）证明：连接OE ∵AC=EC,OA=OE ∴∠CAE =∠CEA ,∠FAO =∠FEO ∵AC ⊥AB ，∴∠CAD =90°∴∠CAE +∠EAO =90°∴∠CEA +∠AEO =90°即∠CEA =90°∴OE ⊥CD ∴CE 为⊙O 的切线（2）解：∵∠OAF =30°，OF =1∴AO =2∴AF 即AE =∴112EAO S ∆=⨯=∵∠AOE =120°,AO =2∴1204==43603EAO S ππ⨯⨯扇形∴S 阴影=43π此题考查垂径定理及其推论，切线的判定与性质，扇形面积的计算，解题关键在于作辅助线.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1 23nna-【解析】根据平行四边形的判定定理得到四边形A1C1CD1为平行四边形，根据平行四边形的性质得到A1D1=C1C，总结规律，根据规律解答．【详解】∵A1C1∥AC，A1D1∥BC，∴四边形A1C1CD1为平行四边形，∴A1D1=C1C=13a=11123a-，同理，四边形A2C2C1D2为平行四边形，∴A2D2=C1C2=29a=21223a-，……∴线段A n D n=123nna-，故答案为：123nna-．本题考查的是平行四边形的判定和性质、图形的变化规律，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．20、1【解析】利用垂直平分线的作法得MN 垂直平分AC ，则EA ＝EC ，利用等线段代换得到△CDE 的周长＝AD ＋CD ，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值．【详解】解：利用作图得MN 垂直平分AC ，∴EA ＝EC ，∴△CDE 的周长＝CE+CD+ED ＝AE+ED+CD ＝AD+CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ＝6，CD ＝AB ＝4，∴△CDE 的周长＝6+4＝1．故答案为1．本题考查了作图−基本作图，也考查了平行四边形的性质.解题的关键是熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．21、1【解析】根据根与系数的关系求出12x x +，12x x ⋅代入即可求解．【详解】∵12,x x 是方程2410x x -+=的两根∴12x x +=-b a =4，12x x ⋅=ca =1∴122(1)x x x ++=1122x x x x ++=1212x x x x ++=4+1=1，故答案为：1．此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知12x x +=-b a ，12x x ⋅=c a 的运用．22、m ＜﹣1【解析】根据关于x 的方程2x+m ＝x ﹣1的根是正数，可以求得m 的取值范围．【详解】解：由方程2x+m ＝x ﹣1，得x ＝﹣m ﹣1，∵关于x 的方程2x+m ＝x ﹣1的根是正数，∴﹣m ﹣1＞0，解得，m ＜﹣1，故答案为：m ＜﹣1．本题考查解一元一次方程和一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，求出m 的取值范围．23、 0x ≥且1x ≠.【解析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可.【详解】解：∵代数式1x -有意义，∴x ≥0，x-1≠0，解得x ≥0且x ≠1.故答案为x ≥0且x ≠1.本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）根据平行四边形性质得出AB=DC，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，推出∠ABF=∠CDE，∠ADE=∠CBF，根据全等三角形的判定推出△DAE≌△BCF，即可得；（2）由△DAE ≌△BCF ，得出∠DEA ＝∠BFC ，从而得∠AEF ＝∠DFC ，继而得AE ∥CF.试题解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠ABF ＝∠CDE ，∠ADE ＝∠CBF ，在△DAE 和△B CF 中，DAE BCF AD BC ADE CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DAE ≌△BCF （ASA ），∴AE ＝CF ；（2）∵△DAE ≌△BCF ，∴∠DEA ＝∠BFC ，∴∠AEF ＝∠DFC ，∴AE ∥CF.25、（1）①12，②y ＜-3或y ＞12；（2）1【解析】（1）①根据点A 的横坐标是4，可以求得点A 的纵坐标，从而可以求得k 的值；②根据反比例函数的性质，可以写出y 的取值范围；（2）根据点C 为y 轴正半轴上一点，∠ACB=90°，且△ACB 的面积为10，灵活变化，可以求得点A 的坐标，从而可以求得k 的值．【详解】解：（1）①将x=4代入y=34x 得，y=3，∴点A （4，3），∵反比例函数y=k x （k ＞0）的图象与一次函数y=34x 的图象交于A 点，∴3=k 4，∴k=12；②∵x=-4时，y=124-=-3，x=1时，y=121=12，∴由反比例函数的性质可知，当-4＜x ＜1（x≠0）时，y 的取值范围是y ＜-3或y ＞12；（2）设点A 为（a ，3a 4），则OA==5a4，∵点C 为y 轴正半轴上一点，∠ACB=90°，且△ACB 的面积为10，∴OA=OB=OC=5a 4，∴S △ACB =15a 2a 24⨯⨯=10，解得，a=∴点A 为（，2），∴2，解得，k=1，即k 的值是1．本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．26、（1）C （3，7），D （7，4）；（2）①y ＝12x ；②43.【解析】(1)根据题意把m=4，n=3代入解答即可；(2)①利用待定系数法确定函数关系式即可；②根据B 、D 坐标表示出E 点坐标，由勾股定理可得到m 、n 之间的关系式，用m 表示出C 点坐标，根据函数关系式解答即可．【详解】解：(1)∵OA ＝m ，OB ＝n ，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，∴C (n ，m +n )，D (m +n ，m )，把m ＝4，n ＝3代入可得：C (3，7)，D (7，4)，(2)①设C (a ，2a )，由题意可得：2n am n a =⎧⎨+=⎩，解得：m =n =a ，∴D (2a ，a )，∴直线OD 的解析式为：y ＝12x ，②由B (0，n )，D (m +n ，m )，可得：E (2m n +，2m n +)，OE ＝，∴(2m n +)2+(2m n +)2=8m 2，可得：(m +n )2＝16m 2，∴m +n ＝4m ，n ＝3n ，∴C (3m ，4m )，∴直线OC 的解析式为：y ＝43x ，可得：k ＝43．故答案为(1)C (3，7)，D (7，4)；(2)①y ＝12x ；②43.此题是考查一次函数的综合题，关键是根据待定系数法确定函数关系式和勾股定理解答．。
南安一中初中招生试卷数学
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √16B. √-9C. πD. 0.1010010001…（无限循环小数）2. 已知a，b是实数，且a + b = 5，ab = 6，则a² + b²的值为（）A. 29B. 25C. 21D. 113. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于原点的对称点为（）A. （2，-3）B. （-2，-3）C. （3，-2）D. （-3，2）4. 下列各图中，图形的面积最小的是（）A.B.C.D.5. 已知一元二次方程x² - 3x + 2 = 0，下列说法正确的是（）A. 方程有两个实数根B. 方程有两个复数根C. 方程有一个实数根和一个复数根D. 无法确定6. 下列各式中，与（-2）³相等的是（）A. -8B. 8C. -1/8D. 1/87. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 105°C. 135°D. 150°8. 已知函数y = 2x - 3，若x的取值范围是[1, 4]，则y的取值范围是（）A. [-5, -1]B. [-1, 5]C. [-1, 9]D. [-5, 9]9. 下列各数中，能被3整除的是（）A. 12.3B. 9.6C. 18.9D. 21.210. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 50，a1 = 2，则公差d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（每题5分，共50分）1. （-3）² + （-2）³ = __________2. 在直角坐标系中，点A（-4，2），点B（3，-1），则线段AB的长度为__________3. 下列函数中，奇函数是__________4. 已知等比数列{an}的第一项为a₁，公比为q，若a₁ = 3，q = 2，则a₃ =_________5. 在△ABC中，若∠A = 90°，∠B = 30°，则△ABC的周长为__________三、解答题（每题20分，共80分）1. 解一元二次方程：x² - 5x + 6 = 02. 已知函数y = x² - 4x + 3，求函数的图像与x轴的交点坐标。
福建省泉州市南安市2024届中考数学模拟精编试卷含解析
福建省泉州市南安市2024届中考数学模拟精编试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．（a2）3=a5C．9=3 D．2+5=252．初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（）A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）3．如图，已知AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°4．sin60°的值为（）A．3B．32C．22D．125．运用乘法公式计算（4+x）（4﹣x）的结果是（）A．x2﹣16 B．16﹣x2C．16﹣8x+x2D．8﹣x26．股市有风险，投资需谨慎．截至今年五月底，我国股市开户总数约95000000，正向1亿挺进，95000000用科学计数法表示为（）A．9.5×106B．9.5×107C．9.5×108D．9.5×1097．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（）A．60 B．30 C．240 D．1208．下列说法正确的是（ ）A ．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件B ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是2=0.4S 甲，2=0.6S 乙，则甲的射击成绩较稳定C ．“明天降雨的概率为12”，表示明天有半天都在降雨 D ．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式9．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，对于下列说法：①ac ＞0，②2a+b ＞0，③4ac ＜b 2，④a+b+c ＜0，⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤10．下列计算正确的是（ ） A ．3a 2﹣6a 2=﹣3 B ．（﹣2a ）•（﹣a ）=2a 2 C ．10a 10÷2a 2=5a 5 D ．﹣（a 3）2=a 6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.12．如图，AB 为⊙O 的弦，C 为弦AB 上一点，设AC ＝m ，BC ＝n(m ＞n)，将弦AB 绕圆心O 旋转一周，若线段BC 扫过的面积为(m 2﹣n 2)π，则mn＝______13．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，23AB BC ，DE=6，则EF= ．14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分別以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是__．15．含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A(-2，0)，B(0，1)，则直线BC的解析式为______．16．我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是尺.三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：20 21 19 16 27 18 31 29 21 2225 20 19 22 35 33 19 17 18 2918 35 22 15 18 18 31 31 19 22整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23 m 21根据以上信息，解答下列问题：上表中众数m的值为；为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．18．（8分）已知，抛物线L：y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（-3,0），与y轴交于点C（0,3）．（1）求抛物线L的顶点坐标和A点坐标．（2）如何平移抛物线L得到抛物线L1，使得平移后的抛物线L1的顶点与抛物线L的顶点关于原点对称？（3）将抛物线L平移，使其经过点C得到抛物线L2，点P（m，n）（m＞0）是抛物线L2上的一点，是否存在点P，使得△PAC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出抛物线L2的表达式，若不存在，请说明理由．19．（8分）如今，旅游度假成为了中国人庆祝传统春节的一项的“新年俗”，山西省旅发委发布的《2018年“春节”假日旅游市场总结分析报告》中称：山西春节旅游供需两旺，实现了“旅游接待”与“经济效益”的双丰收，请根据图表信息解决问题：（1）如图1所示，山西近五年春节假日接待海内外游客的数量逐年增加，2018年首次突破了“千万”大关，达到万人次，比2017年春节假日增加万人次．（2）2018年2月15日﹣20日期间，山西省35个重点景区每日接待游客数量如下：日期2月15日（除夕）2月16日（初一）2月17日（初二）2月18日（初三）2月19日（初四）2月20日（初五）日接待游客数量7.56 82.83 119.51 84.38 103.2 151.55（万人次）这组数据的中位数是万人次．（3）根据图2中的信息预估：2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同期增长的百分率约为，理由是．（4）春节期间，小明在“青龙古镇第一届新春庙会”上购买了A，B，C，D四枚书签（除图案外完全相同）．正面分别印有“剪纸艺术”、“国粹京剧”、“陶瓷艺术”、“皮影戏”的图案（如图3），他将书签背面朝上放在桌面上，从中随机挑选两枚送给好朋友，求送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率．20．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．（1）本次调查的学生共有 人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 人；（2）“非常了解”的4人有A 1，A 2两名男生，B 1，B 2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．21．（8分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，均为300cm ，AB 的倾斜角为，BE=CA=50cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm ，点A 到地面的垂直距离为50cm ，求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm （结果保留根号）22．（10分）已知抛物线，2:3L y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A B -、两点，与y 轴交于点C ，且抛物线L 的对称轴为直线1x =． （1）抛物线的表达式；（2）若抛物线'L 与抛物线L 关于直线x m =对称，抛物线'L 与x 轴交于点','A B 两点（点'A 在点'B 左侧），要使'2ABC A BC S S ∆∆=，求所有满足条件的抛物线'L 的表达式．23．（12分）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a≠0）相交于A （15,22）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）B 点坐标为 ，并求抛物线的解析式； （2）求线段PC 长的最大值；（3）若△PAC 为直角三角形，直接写出此时点P 的坐标．24．某学校要了解学生上学交通情况，选取七年级全体学生进行调查，根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°，已知七年级乘公交车上学的人数为50人．（1）七年级学生中，骑自行车和乘公交车上学的学生人数哪个更多？多多少人？（2）如果全校有学生2400人，学校准备的600个自行车停车位是否足够？参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解题分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、实数的运算等运算，然后选择正确选项．【题目详解】解：A. a3 a2=a5，原式计算错误，故本选项错误；B. (a2)3=a6，原式计算错误，故本选项错误；C. 9，原式计算正确，故本选项正确；D. 2故选C.【题目点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方，实数的运算，同底数幂的乘法，解题的关键是幂的运算法则.2、C【解题分析】根据题意知小李所对应的坐标是（7，4）.故选C.3、C【解题分析】由等腰三角形的性质可求∠ACD＝70°，由平行线的性质可求解．【题目详解】∵AD＝CD，∠1＝40°，∴∠ACD＝70°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠ACD＝70°，故选：C．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．4、B【解题分析】解：sin60°B．5、B【解题分析】根据平方差公式计算即可得解．【题目详解】222+-=-=-，(4)(4)416x x x x故选：B．【题目点拨】本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握平方差公式的运算是解决本题的关键.6、B【解题分析】试题分析：15000000=1．5×2．故选B．考点：科学记数法—表示较大的数7、D【解题分析】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积．【题目详解】如图所示，由tan A＝，设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x，由题意得：12x+5x+13x＝60，解得：x＝2，∴BC＝24，AC＝10，则△ABC面积为120，故选D．【题目点拨】此题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．8、B【解题分析】利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断．【题目详解】解：A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是可能事件，此选项错误；B、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，此选项正确；C、“明天降雨的概率为12”，表示明天有可能降雨，此选项错误；D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误；故选B．【题目点拨】本题考查方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义，掌握基本概念是解题关键．9、C【解题分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【题目详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：b2a-＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞b2a-时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．【题目点拨】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．10、B【解题分析】根据整式的运算法则分别计算可得出结论.【题目详解】选项A，由合并同类项法则可得3a2﹣6a2=﹣3a2，不正确；选项B，单项式乘单项式的运算可得（﹣2a）•（﹣a）=2a2，正确；选项C，根据整式的除法可得10a10÷2a2=5a8，不正确；选项D，根据幂的乘方可得﹣（a3）2=﹣a6，不正确．故答案选B．考点：合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、10%【解题分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）1=1+44%，解这个方程即可求出答案．【题目详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，（1+x）1=1+44%，解得x1=-1.1（舍去），x1=0.1．答：这两年平均每年绿地面积的增长率为10%．故答案为10%【题目点拨】此题考查增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）1=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．12、152【解题分析】先确定线段BC过的面积：圆环的面积，作辅助圆和弦心距OD，根据已知面积列等式可得：S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，则OB2-OC2=m2-n2，由勾股定理代入，并解一元二次方程可得结论．【题目详解】如图，连接OB、OC，以O为圆心，OC为半径画圆，则将弦AB绕圆心O旋转一周，线段BC扫过的面积为圆环的面积，即S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，OB2-OC2=m2-n2，∵AC=m，BC=n（m＞n），∴AM=m+n，过O作OD⊥AB于D，∴BD=AD=12AB=2m n+，CD=AC-AD=m-2m n+=2m n-，由勾股定理得：OB2-OC2=（BD2+OD2）-（CD2+OD2）=BD2-CD2=（BD+CD）（BD-CD）=mn，∴m2-n2=mn，m2-mn-n2=0，m=52n n ±，∵m＞0，n＞0，∴m=52n n +，∴152mn+=，故答案为152+．【题目点拨】此题主要考查了勾股定理，垂径定理，一元二次方程等知识，根据旋转的性质确定线段BC扫过的面积是解题的关键，是一道中等难度的题目．13、1．【解题分析】试题分析：∵AD∥BE∥CF，∴AB DEBC EF=，即263EF=，∴EF=1．故答案为1．考点：平行线分线段成比例．14、104π-．【解题分析】作DH⊥AE于H, 根据勾股定理求出AB, 根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积，利用扇形面积公式计算即可.【题目详解】解：如图作DH⊥AE于H,∠AOB=90o, OA=2, OB=1,∴由旋转的性质可知可得△DHE≌△BOA,∴DH=OB=1,∴阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积＝211902905311222360360ππ⋅⋅⋅⋅⨯⨯+⨯⨯+-＝104π-，故答案：104π-．【题目点拨】本题主要考查扇形的计算公式，正确表示出阴影部分的面积是计算的关键．15、113y x=-+【解题分析】过C作CD⊥x轴于点D，则可证得△AOB≌△CDA，可求得CD和OD的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式．【题目详解】如图，过C作CD⊥x轴于点D．∵∠CAB=90°，∴∠DAC+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAC=∠ABO．在△AOB和△CDA中，∵ABO CADAOB CDAAB AC∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AOB≌△CDA（AAS）．∵A（﹣2，0），B（0，1），∴AD=BO=1，CD=AO=2，∴C（﹣3，2），设直线BC解析式为y=kx+b，∴321k bb-+=⎧⎨=⎩，解得：131kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC解析式为y13=-x+1．故答案为y13=-x+1．【题目点拨】本题考查了待定系数法及全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求得C点坐标是解题的关键．16、1.【解题分析】试题分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出葛藤长为=1（尺）．故答案为1．考点：平面展开最短路径问题三、解答题（共8题，共72分）17、(1)18；（2）中位数；（3）100名.【解题分析】【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．【题目详解】（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）300×11231230+++++=100（名）， 答：该部门生产能手有100名工人．【题目点拨】本题考查了条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18、（1）顶点（-2，-1） A （-1,0）; （2）y=（x-2）2+1; (3) y=x 2-103x+3, 2239y x x =++,y=x 2-4x+3, 2833y x x =++. 【解题分析】（1）将点B 和点C 代入求出抛物线L 即可求解.（2）将抛物线L 化顶点式求出顶点再根据关于原点对称求出即可求解.（3）将使得△PAC 为等腰直角三角形，作出所有点P 的可能性，求出代入23y x dx =++即可求解.【题目详解】（1）将点B （-3,0），C （0,3）代入抛物线得： {0=9-3b+cc=3，解得{b=4c=3，则抛物线243y x x =++. 抛物线与x 轴交于点A,∴ 2043x x =++，12x =-3x =-1，，A （-1,0），抛物线L 化顶点式可得()2y=x+2-1，由此可得顶点坐标顶点（-2，-1）.（2）抛物线L 化顶点式可得()2y=x+2-1，由此可得顶点坐标顶点（-2，-1）抛物线L 1的顶点与抛物线L 的顶点关于原点对称， 1L ∴对称顶点坐标为（2，1），即将抛物线向右移4个单位，向上移2个单位.(3) 使得△PAC 为等腰直角三角形，作出所有点P 的可能性.1P AC ∆是等腰直角三角形1P A CA ∴=,190,90CAO ACO CAO P AE ∠+∠=︒∠+∠=︒,1CAO P AE ∴∠=,190PEA COA =∠=︒, ()1CAO APE AAS ∴∆≅∆,∴求得()14,1P -.,同理得()22,1P -,()33,4P -,()43,2P ,由题意知抛物线23y x dx =++并将点代入得：222228103,43,3,3933y x x y x x y x x y x x =++=-+=++=-+. 【题目点拨】本题主要考查抛物线综合题，讨论出P 点的所有可能性是解题关键.19、（1）1365.45、414.4（2）93.79（3）30%；近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%（4）12【解题分析】（1）由图1可得答案；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）由近3年平均涨幅在30%左右即可做出估计；（4）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．【题目详解】（1）2018年首次突破了“千万”大关，达到1365.45万人次，比2017年春节假日增加1365.45﹣951.05=414.4万人次．故答案为：1365.45、414.4；（2）这组数据的中位数是84.38+103.22=93.79万人次，故答案为：93.79；（3）2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同期增长的百分率约为30%，理由是：近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%，故答案为：30%；近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%．（4）画树状图如下：则共有12种等可能的结果数，其中送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的结果数为6，所以送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率为12．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．20、（1）50，360；（2）23．【解题分析】试题分析：（1）根据图示，可由非常了解的人数和所占的百分比直接求解总人数，然后根据求出不了解的百分比估计即可；（2）根据题意画出树状图，然后求出总可能和“一男一女”的可能，再根据概率的意义求解即可.试题解析：（1）由饼图可知“非常了解”为8%，由柱形图可知（条形图中可知）“非常了解”为4人，故本次调查的学生有（人）由饼图可知：“不了解”的概率为，故1200名学生中“不了解”的人数为（人）（2）树状图：由树状图可知共有12种结果，抽到1男1女分别为共8种． ∴ 考点：1、扇形统计图，2、条形统计图，3、概率21、29033cm 【解题分析】过点A 作AG CD ⊥，垂足为G ，利用三角函数求出CG ，从而求出GD ，继而求出CD ．连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，利用三角函数求出CH ，由图得出EH ，再利用三角函数值求出EF .【题目详解】过点A 作AG CD ⊥，垂足为G ．则30CAG ∠=︒，在Rt ACG 中，()1sin 3050252CG AC cm =︒=⨯=, 由题意，得()GD 503020cm =-=,∴()252045CD CG GD cm =+=+=,连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ． 由题意，得30H ∠=︒．在Rt CDH 中，()290sin 30CD CH CD cm ===︒, ∴()300505090290EH EC CH AB BE AC CH cm =+=--+=--+=．在Rt EFH 中，)32903tan 3029033EF EH cm =︒=⨯=. 答：支角钢CD 的长为45cm ，EF 的长为29033cm .考点：三角函数的应用22、（1）()214y x =--；（2）()()2234;74y x y x =--=--． 【解题分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）根据题意知()20A m '-，，根据三角形面积公式列方程即可求解． 【题目详解】（1）根据题意得：1230b a a b ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=-⎩， 抛物线的表达式为：()222314y x x x =--=--；（2）∵抛物线'L 与抛物线L 关于直线x m =对称，抛物线L 的对称轴为直线1x =∴抛物线'L 的对称轴为直线1x m =+，∵抛物线'L 与x 轴交于点','A B 两点且点'A 在点'B 左侧，∴A '的横坐标为：121m m +-=- ∴()10A m '-，， 令0y =，则2230x x --=，解得：1213x x =-=，，令0x =，则3y =，∴点A B 、的坐标分别为()10A -，，()30B ，，点C 的坐标为()03，， ∴1143622ABC C S AB y =⨯⨯=⨯⨯=，∵132A BC ABC S S '==, ∴132A BC C S A B y '=⨯⨯'=，即113332m --⨯=， 解得：2m =或6m =，∵抛物线'L 与抛物线L 关于直线x m =对称，抛物线'L 的对称轴为直线1x m =+，∴抛物线'L 的表达式为()234y x =--或()274y x =--． 【题目点拨】本题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解及三角形的面积，第(2)问的关键是得到抛物线'L 的对称轴为直线1x m =+．23、（1）(4,6)；y=1x 1﹣8x+6（1）498；（3）点P 的坐标为（3，5）或（711,22）． 【解题分析】（1）已知B （4，m ）在直线y=x+1上，可求得m 的值，抛物线图象上的A 、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（1）要弄清PC 的长，实际是直线AB 与抛物线函数值的差．可设出P 点横坐标，根据直线AB 和抛物线的解析式表示出P 、C 的纵坐标，进而得到关于PC 与P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC 的最大值．（3）根据顶点问题分情况讨论，若点P 为直角顶点，此图形不存在，若点A 为直角顶点，根据已知解析式与点坐标，可求出未知解析式，再联立抛物线的解析式，可求得C 点的坐标；若点C 为直角顶点，可根据点的对称性求出结论.【题目详解】解：（1）∵B （4，m ）在直线y=x+1上，∴m=4+1=6，∴B （4，6），故答案为（4，6）；∵A （，），B （4，6）在抛物线y=ax 1+bx+6上， ∴，解得，∴抛物线的解析式为y=1x 1﹣8x+6；（1）设动点P 的坐标为（n ，n+1），则C 点的坐标为（n ，1n 1﹣8n+6），∴PC=（n+1）﹣（1n 1﹣8n+6），=﹣1n 1+9n ﹣4，=﹣1（n ﹣）1+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如图1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=1x1﹣8x+6 ②联立①②式，解得：或（与点A重合，舍去），∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+1=5，∴P1（3，5）；iii ）若点C 为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=1x 1﹣8x+6=1（x ﹣1）1﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=1．如图1，作点A （，）关于对称轴x=1的对称点C ，则点C 在抛物线上，且C （，）．当x=时，y=x+1=． ∴P 1（，）．∵点P 1（3，5）、P 1（，）均在线段AB 上，∴综上所述，△PAC 为直角三角形时，点P 的坐标为（3，5）或（，）． 【题目点拨】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.24、（1）骑自行车的人数多，多50人；（2）学校准备的600个自行车停车位不足够，理由见解析【解题分析】分析: （1）根据乘公交车的人数除以乘公交车的人数所占的比例，可得调查的样本容量，根据样本容量乘以自行车所占的百分比，可得骑自行车的人数，根据有理数的减法，可得答案；（2）根据学校总人数乘以骑自行车所占的百分比，可得答案.详解:（1）乘公交车所占的百分比60360=16， 调查的样本容量50÷16=300人，骑自行车的人数300×120360=100人， 骑自行车的人数多，多100﹣50=50人；（2）全校骑自行车的人数2400×120360=800人， 800＞600，故学校准备的600个自行车停车位不足够．点睛: 本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.。
2023年福建省泉州市南安实验中学中考模拟数学试题(含答案解析)
2023年福建省泉州市南安实验中学中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．15.7B ．31.42．如图，1,2BC AB BC AB ⊥=A ．0.118B ．50.5-3．若实数,,a b c 满足条件1111a b c a b c++=++A ．必有两个数相等C ．必有两个数互为倒数4．2211x x y x x -+=++最大值与最小值之和为（A ．1B ．105．某大学毕业生为自主创业于2021年8月初向银行贷款额本金还款法”分10年进行还款，从2021年月利率为0.5%，现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成．一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数；另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．1年按12个月计算）A ．18300元B ．22450元C ．27450元D ．28300元6．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（）A ．3122m -+B ．0C ．1D ．27．若方程220x x t --=在-1＜x ≤4范围内有实数根，则t 的取值范围为（）A ．3t 8<≤B ．-1t 3≤≤C ．-1t 8<≤D ．-1t 8≤≤8．已知C 为线段AB 外一点．假设尺规作图作四边形ABCD ，使得CD AB ∥，且2CD AB =，四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则M ，P ，N 三点间关系为（）A ．共圆B ．共线C ．重合D ．相离9．若x 、y 、z 是三个连续的正整数，若x 2＝44944，z 2＝45796，则y 2＝（）A ．45369B ．45371C ．45465D ．4648910．函数()20y ax bx a =+<的图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．531a b +<B ．432a b +<C ．20a b +<D ．20a b +<二、填空题11．如图，直线()0y kx b k =+≠经过点()12P ，，当()20k x b -+<时，则x 的取值范围为________________．13．甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4)k -张，乙每次取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次相等，那么纸牌最少有_________14．在Rt ABC △中，ABC ∠度α得到DEC ，点A 、B 的对应点分别是当60α=︒时，点F 是边AC 15．如图，矩形OABC 的顶点中点，反比例函数(ky x x=<若ODE 的面积为6，则k 的值为()DEF BE BC < ，AC 与DE 相交于点O ，连接AD ，AE ，DC ，得到四边形AECD ，10BC =，6DE =，在ABC 平移过程中，则四边形AECD 的面积为________________．三、解答题18．已知两个或多个整数的公因数只有0.737373nm⋯⋯=（m ，n 是互质自然数）19．由浅入深是学习数学的重要方法．已知权方和不等式为当a b x y =时，等号成立．那么：若正整数数的最小值．20．如图1是武威某动车站出口处的自动扶梯，图倾斜角为31︒，在自动扶梯下方地面距离为6m ，求自动扶梯距离地面的高度sin 310.52,cos310.86,tan ︒≈︒≈(1)请在BC上标出点D，连接AD(2)试证明上述结论：△ABD∽△CBA22．已知关于x的一元二次方程x（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；（2）若这个方程的一个实根大于23．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供价分别是：8元、10元、15元．为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A、B、C三种午餐购买情况的数据制成统计表如下，又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：种类数量（份）A1800B2400C800请你根据以上信息，解答下列问题：（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是元；（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替使用，试通过列表或画树状图分析，求该校学生小明选择“AB”组合的概率；（3）经分析与预测，师生购买午餐种类与数量相对稳定．根据上级规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．25．如图，已知抛物线()()248ky x x =+-（交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 为D ．(1)若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；(2)在（1）条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少参考答案：由图可知，当133y≤≤时，∴当133y≤≤时，0∆≥，∵CD AB ∥，∴ABP CDP BAP DCP ∠=∠∠=∠，，∴ABP CDP ∽△△，∴AB AP CD CP=，∵AB CD ，的中点分别为M N ，，∴22AB AM CD CN ==，，∴=AM AP CN CP，连接MP NP ，，∵BAP DCP ∠=∠，∴APM CPN ∽△△，∴∠=∠APM CPN ，∵点P 在AC 上，∴180∠+∠=︒APM CPM ，∴180∠+∠=︒CPN CPM ，∴M P N ，，三点在同一条直线上．∵BD是ABC∠的平分线，∠∴PE PF=，30CBD∠=︒，∴12PE PB=，12PF PB=，∴12=22 CP BP CP PB⎛⎫++⎪⎝⎭∵PF PC CF+≥（当且仅当点∴2CP BP+的最小值为2CF∵当CF AB⊥时，CF的值最小，则∴2CP BP+的最小值为3，故答案为：3【点睛】本题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂线段最短，把()2CP PF+是解题的关键．13．108【分析】设甲a次取(4)k-张，乙∵点F 是边AC 中点，∴12CF AC =，∵30ACB ∠=︒，∴12AB AC =，∴CF AB =，∵ABC 绕点C 逆时针旋转一定的角度∵AX 是ABC 的中线，∴BX CX =，∵XE XD =，∴四边形BDCE 是平行四边形，∴BE CD ∥，BD CE ∥，∵CZ 是ABC 的中线，∴点Z 为AB 中点，BD CE∥∴12AE AZ AD AB ==，∴ZE 为ABD △中位线，即点∵BY 是ABC 的中线，∴点Y 为AC 中点，BE CD∥∴12AE AY AD AC ==，∴EY 为ABD △中位线，∴EY CD ∥，（2）证明：22，BC125AB=+=根据树状图能够得到共有其中“AB”组合共有2∴21 ()63 P AB==；（3）①根据条形统计图得知，平均利润为：21800⨯3.12＞3，因此应调低午餐单价；②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：当A，B，C调的越低，利润就越低，因此距离元，此时，当调低ABC【分析】（1）连接AD ，BD ，得090ADB DBC ∠=∠=，结合H 为垂心，//,//AD BH BD AH ，得出四边形ADBH 为平行四边形，得到BD AH =，结合平行，O 为CD 中点，可得M 为BC 中点；（2）过E 作EG BC ⊥，由EGHF ，EGFA 为平行四边形，证明H 为FGC ∆的垂心，从而得到EF FC ⊥；（3）设AM 与OF 交点为I ，得到MH AP ⊥，证明H 是AMQ ∆的垂心，证明AP BC OH 、、三线共点得,,O H Q 三点共线，得到AH HN =．【详解】解：（1）连接,AD BD ，则DA AC ⊥，DB BC⊥又H 为ABC ∆垂心∴BH AC ⊥，AH BC⊥∴//,//AD BH BD AH∴四边形ADBH 为平行四边形∴2DB AH OM ==，又O 为CD 中点∴M 为BC 中点（2）过E 作EG BC⊥连接GH ，由（1）可知四边形EGHF 为平行四边形，四边形EGFA 为平行四边形∵,CH AB AB GF⊥ ∴CH GF⊥∴H 为FGC ∆垂心∴,GH GH CF EF⊥ 而∴EF FC⊥（3）设AM 与OF 交点为I由（1）可知四边形OMFA 为平行四边形∴I 为直径AM 中点而圆I 与圆Γ相交弦为AP∴,OF AP MH OF⊥ 而∴MH AP⊥设,MC AP Q交于则H 为AMQ ∆垂心∴QH AM⊥∵()5,33D -，()4,0B ，∴33DE =，9EB =，63BD =，∴30DBE ∠=︒，过点D 和点F 分别作x 轴的平行线和∴30DBE FDN ∠=∠=︒，∴12NF DF =，∴12AF DF AF NF +=+，过点A 作AH DN ⊥于点H ，此时(AF ∴AH 与直线BD 的交点即为所求点∵()2,0A -，∴当2x =-时，()34233y =-⨯-+∴点F 的坐标为()2,23-时，点M 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、特殊角的直角三角形三边关系，第2边是斜边的一半”将12DF 进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点。
福建省泉州第一中学高中自主招生考试数学考试卷(解析版)(初三)中考模拟.doc
福建省泉州第一中学高中自主招生考试数学考试卷（解析版）（初三）中考模拟姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】自变量的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：当时，函数有意义，解得，所以时，函数有意义．考点：函数自变量的取值范围．【题文】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y 轴相切于点D，则点A 的坐标是．【答案】（5，4）【解析】试题分析：连接AB，作AE⊥BC于点E，∵B（2，0）、C（8，0），∴OE=5，BE=3，∴AB=5，∴，∴点A 的坐标是（5，4）．评卷人得分考点：1．垂经定理2．勾股定理【题文】若方程ax2-3x+2=0有唯一实数解，则a的值为______________．【答案】0或【解析】试题分析：当a=0时，方程为-3x+2=0，所以x=，所以方程ax2-3x+2=0有唯一实数解，当时，当时，方程ax2-3x+2=0有唯一实数解，所以a=，所以当a=0或时，方程ax2-3x+2=0有唯一实数解．考点：方程的解【题文】已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为________．【答案】3【解析】试题分析：函数的图象如图：观察函数图象可知：此函数与直线y=3有恰好有三个交点，∴k=3．考点：二次函数的性质．【题文】已知：，且则．【答案】14【解析】试题分析：因为，所以，所以，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以2+4+8=14．考点：1．配方法2．非负数的性质．【题文】如图，在ABC中，C=90，D、E分别是BC上的两个三等分点，以D为圆心的圆过点E，且交AB于点F，此时CF恰好与⊙D相切于点F．如果AC=，那么⊙D的半径=．【答案】【解析】试题分析：连结DF，因为CF与⊙D相切，所以CFD=90，因为D、E分别是BC上的两个三等分点，所以CE=ED=DB=DF，所以sin FCD=，所以FCD=30，所以FDC=2B=60，所以B=30，因为AC=，所以，所以⊙D的半径=．考点：1．切线的性质2．解直角三角形．【题文】在四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O，则在①AO=CO；②BO=DO；③AB=CD；④AB∥CD；从中任选两个结论作条件，恰好能组成一个平行四边形的概率是________．【答案】【解析】试题分析：因为在①AO=CO；②BO=DO；③AB=CD；④AB∥CD中任选两个结论作条件共有①②，①③，①④，②③，②④，③④，6种情况，而能组成一个平行四边形的是①②，①④，②④，③④，4种情况，所以恰好能组成一个平行四边形的概率是．考点：简单事件的概率．【题文】关于x的不等式组，只有4个整数解，则a的取值范围是________．【答案】【解析】试题分析：解不等式1得：x＜11，解不等式2得：x＞2-3a，所以不等式组的解集是：2-3a＜x＜11，因为不等式组只有4个整数解，所以62-3a＜7，解得．考点：不等式组．【题文】如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，…，依此类推，由正边形“扩展”而来的多边形的边数记为（n≥3）．则的值是，当的结果是时，n的值．【答案】30，999【解析】试题分析：观察图形可得：图（1）总边数为a3=12=3×4，图（2）总边数为a4=20=4×5，…以此类推可得规律：图形总边数=（基础图形的边数）×（基础图形的边数+1），即an=n×（n+1）；当n=5时，=5×6=30，又，所以，所以n=999．考点：1．列代数式2．探寻规律【题文】函数的最大值是．【答案】【解析】试题分析：根据题意可得：，解得，所以，所以函数的最大值是．考点：函数与不等式．【题文】先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解【答案】，2．【解析】试题分析：先把所给的分式化为最简分式，然后求出不等式组的整数解，代入计算即可．试题解析：原式又由①解得：，由②解得：不等式组的解得为，其整数解为得时，原式考点：1．分式的化简求值2．不等式组．【题文】关于三角函数有如下的公式：利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图所示，直升机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角为，底端C点的俯角为，此时直长机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高。
福建省泉州市南安市2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)
2023-2024学年福建省泉州市南安市七年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程5x=1的解为( )A. x=―4B. x=5C. x=15D. x=―152.已知等式m=n，则下列等式中不一定成立的是( )A. m+k=n+kB. m―k=n―kC. mk=nkD. mk =nk3.如图所示的交通标志为一条高速公路某路段上汽车的最高时速不得超过120km，若某汽车的时速为a km/ℎ，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是( )A. a<120B. a≤120C. a>120D. a≥1204.如果x=5y=2是关于x和y的二元一次方程x―my=9的解，那么m的值是( )A. ―2B. 2C. ―8D. 65.已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则此不等式的解集是( )A. x≥―112B. x≤―112C. x>―112D. x<―1126.小南在解关于x的一元一次方程x4+m=13时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为3x+m=4，并解得为x=2，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为( )A. x=―203B. x=2 C. x=283D. x=547.小明仿照我国古算题编写了一道题：“今有九百元可得鸡兔共十又一只，一百八十元鸡两只，二百四十元兔四只.问鸡兔各几何？”设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为( )=11240y 4=900y =114y 240=900=900240y 4=11y =9004y 240=118.若关于x ，y 的方程组5x ―2y =4k ―62x +9y =3k ―8的解满足x +y =2024，则k 等于( )A. 2026B. 2025C. 2023D. 20229.解方程组3x +z =64x ―y +2z =115x +2y ―3z =4时，要使解法较为简便，应( )A. 先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 先消去常数10.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方.图(2)是一个未完成的幻方，则w 的值是( )A. 7B. 8C. 9D. 10二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
2020年福建省泉州市南安市侨光中学自主招生数学试卷 解析版
2020年福建省泉州市南安市侨光中学自主招生数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列实数中，无理数是（）A．0.010010001B．（）0C．cos30°D．2．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列成语所描述的事件为随机事件的是（）A．守株待兔B．水中捞月C．瓮中捉鳖D．拔苗助长5．（3分）若x+5＞0，则（）A．x+3＜0B．x﹣3＜0C．D．﹣2x＜166．（3分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣47．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和8．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．）9．（3分）小明用S2＝[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+…+（x10﹣5）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝．10．（3分）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C 点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．11．（3分）若（2020﹣a）（2019﹣a）＝2021，则（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝．12．（3分）如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则弧DE的长为．13．（3分）如图所示，△ABC中，已知AD和BE分别是边BC，AC上的中线，且AD⊥BE，垂足为G，若GD＝2，GE＝3，则线段CG为．14．（3分）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为．二、解答题：（本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（8分）先化简，再求值．（1﹣），其中x是方程x2﹣5x+6＝0的根．16．（8分）如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE≌△CFE．17．（8分）已知△ABC中，∠A＝22.5°，∠B＝45°．（1）求作：⊙O，使得圆心O落在AB边上，且⊙O经过A、C两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）若⊙O的半径为2，①求证：BC是⊙O的切线；②求tan∠A的值．（3）仿照以上求tan∠A的过程，可得：tan15°＝．18．（8分）甲乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成3元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并记录其100天的送餐单数，得到如下频数表．甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1040301010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010（1）求甲公司送餐员的日平均工资；（2）某人拟到甲乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，那么他应该选择去哪家公司应聘？请说明理由．19．（8分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．20．（8分）箭头四角形模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝．③如图4，BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3， (2017)2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC ＝n°，则∠BO1000C＝度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．21．（10分）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．2020年福建省泉州市南安市侨光中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列实数中，无理数是（）A．0.010010001B．（）0C．cos30°D．【分析】求出（）0＝1，cos30°＝，再根据无理数的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；B．（）0＝1，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；C．cos30°＝，是无理数，故本选项符合题意；D．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；故选：C．2．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；B、是轴对称图形，本选项符合题意；C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：B．3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A错误；B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B错误；C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C正确；D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D错误；故选：C．4．（3分）下列成语所描述的事件为随机事件的是（）A．守株待兔B．水中捞月C．瓮中捉鳖D．拔苗助长【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、是随机事件，故A符合题意；B、是不可能事件，故B不符合题意；C、是必然事件，故C不符合题意；D、是不可能事件，故D不符合题意；故选：A．5．（3分）若x+5＞0，则（）A．x+3＜0B．x﹣3＜0C．D．﹣2x＜16【分析】根据不等式的性质进行逐一判断即可．【解答】解：∵x+5＞0，∴x＞﹣5，∴x+3＞﹣2，A错误；x﹣3＞﹣8，B错误；＞﹣1，C错误；﹣2x＜10，即﹣2x＜16，D正确，故选：D．6．（3分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣4【分析】首先，根据两直线的交点的横坐标即为联立两直线方程求解的x值，则由直线y ＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n），可得交点横坐标为；其次，通过解一元一次方程ax﹣b＝mx，得，则，即可得解．【解答】解：∵，∴ax+b＝mx，解得，∵直线y＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n），∴，由ax﹣b＝mx，得，∴，∴关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为：x＝﹣2，故选：B．7．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．8．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．另一解法：∵a≠b，∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，∴M＝2，又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，∴N≤2，∴N≤M，∴不可能有M＝N﹣1，故排除A、B、D，故选：C．二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．）9．（3分）小明用S2＝[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+…+（x10﹣5）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝50．【分析】根据S2＝[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+…+（x10﹣5）2]可得平均数为5，进而可得答案．【解答】解：由方差公式可得平均数为5，因此x1+x2+x3+…+x10＝5×10＝50，故答案为：50．10．（3分）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C 点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压60cm．【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【解答】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∵AM∥BN，∴△ACM∽△BCN；∴，∵AC与BC之比为6：1，∴，即AM＝6BN，∴当BN≥10cm时，AM≥60cm，故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．故答案为：60．11．（3分）若（2020﹣a）（2019﹣a）＝2021，则（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝4043．【分析】设x＝2020﹣a，y＝2019﹣a，故xy＝2021，原式＝x2+y2，即可利用完全平方公式进行求解．【解答】解：设x＝2020﹣a，y＝2019﹣a，则xy＝2021，x﹣y＝（2020﹣a）﹣（2019﹣a）＝1∴（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×2021＝4043故答案为：4043．12．（3分）如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则弧DE的长为π．【分析】连接OE，求出∠DOE＝40°，根据弧长公式计算，得到答案．【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝40°，∴弧DE的长＝＝π，故答案为：π．13．（3分）如图所示，△ABC中，已知AD和BE分别是边BC，AC上的中线，且AD⊥BE，垂足为G，若GD＝2，GE＝3，则线段CG为2．【分析】由三角形重心的性质得到AG＝2GD＝4，BG＝2GE＝6，根据勾股定理求出AB，延长CG交AB于H，根据直角三角形的斜边中线性质求出GH，根据三角形的重心的性质计算即可．【解答】解：延长CG交AB于H，如图，∵BD和CE分别是边AC，AB上的中线，∴点O是△ABC的重心，∴AG＝2GD＝4，BG＝2GE＝6，CG＝2GH，∵AD⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴AB＝＝＝2，又∵H是AB的中点，∴GH＝AB＝，∴CG＝2GH＝2．故答案为：．14．（3分）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为14．【分析】设OA＝3a，则OB＝4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式为，直线CD的解析式是y＝x，OA的中垂线的解析式，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2＝，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．【解答】解：由题意，设OA＝3a，则OB＝4a，∴A（3a，0），B（0，4a），设直线AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是，∵直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x，根据题意得：，解得：，则D的坐标是（，），OA的中垂线的解析式是，则C的坐标是（，），则，∵以CD为边的正方形的面积为，且，则，解得：，∴，故答案为：14．二、解答题：（本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（8分）先化简，再求值．（1﹣），其中x是方程x2﹣5x+6＝0的根．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，方程x2﹣5x+6＝0，变形得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x＝2（舍去）或x＝3，当x＝3时，原式＝．16．（8分）如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE≌△CFE．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答】证明：∵AB＝BD+CF，又∵AB＝BD+AD，∴CF＝AD∵AB∥CF，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F在△ADE与△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）．17．（8分）已知△ABC中，∠A＝22.5°，∠B＝45°．（1）求作：⊙O，使得圆心O落在AB边上，且⊙O经过A、C两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）若⊙O的半径为2，①求证：BC是⊙O的切线；②求tan∠A的值．（3）仿照以上求tan∠A的过程，可得：tan15°＝2﹣．【分析】（1）按要求作出图形即可；（2）①连接OC，利用已知得出∠OCB＝90°，进而即可求出；②过C作CH⊥AB于H点，先推出△OHC是等腰直角三角形，从而可OH＝，AH＝，即可求出tan∠A；（3）改变已知条件，令∠A＝15°，∠B＝60°，OC＝2，然后按照（2）②中的方法求解即可．【解答】解：（1）作图：如图1即为所求作的图，；（2）①证明：如图2，连接OC，∵OA＝OC，∠A＝22.5°，∴∠BOC＝45°，又∵∠B＝45°，∴∠BOC+∠B＝90°，∴∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，且点C在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；②过点C作CH⊥AB于H点，由①得：∠BOC＝45°，∵CH⊥AB，∴∠OCH＝90°，∴△OHC是等腰直角三角形，∵OA＝OC＝2，OH＝CH＝OC sin∠B＝，∴AH＝，∴在Rt△ACH中，tan∠A＝＝；（3）改变已知条件，令∠A＝15°，∠B＝60°，OC＝2，∴∠OCA＝15°，∠ACB＝180°﹣15°﹣60°＝105°，∴∠OCB＝90°，过点C作CH⊥OB于点H，在△OCH中，∠COH＝15°+15°＝30°，∠OHC＝90°，∵OC＝2，∴CH＝1，OH＝，∴tan15°═＝＝2﹣，故答案为：．18．（8分）甲乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成3元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并记录其100天的送餐单数，得到如下频数表．甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1040301010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010（1）求甲公司送餐员的日平均工资；（2）某人拟到甲乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，那么他应该选择去哪家公司应聘？请说明理由．【分析】（1）计算出甲公司送餐员日平均送餐单数，即可求出甲公司送餐员的日平均工资；（2）计算出乙公司送餐员的日平均工资，与甲公司比较即可得出结论．【解答】解：（1）甲公司送餐员日平均送餐单数为：38×0.1+39×0.4+40×0.3+41×0.1+42×0.1＝39.7所以甲公司送餐员日平均工资为：80+3×39.7＝199.1（元）；（2）应该选择去乙公司应聘，理由为：乙公司送餐员日平均工资为：＝202.2（元），∵199.1＜202.2所以这个人应该选择去乙公司应聘．19．（8分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，（3）再依据函数的增减性求得最大利润．【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知，解得∴n＝2x+10同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝（2）∵y＝mn﹣80∴y＝整理得，y＝（3）当1≤x≤10时，∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270当10＜x＜15时∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣＝＝≈13.2＜13.5∴x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2当15≤x≤30时∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝＝＞30∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元20．（8分）箭头四角形模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝85°．③如图4，BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3， (2017)2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC ＝n°，则∠BO1000C＝（m+n）度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．【分析】（1）①由∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α可得答案；②由∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A且∠EBF＝∠ABF，∠ECF ＝∠ACF知∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，从而得∠F＝，代入计算可得；③由∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC知∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C 得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，据此得出∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，代入可得答案；（2）由∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA知∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，结合∠BCD＝2∠BAD得∠BCD＝∠BOD，连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【解答】解：（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；②如图3，∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF ＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°；③如图3，由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C ﹣∠BAC）+∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案为：①2α；②85°；③（m+n）；（2）如图5，连接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．21．（10分）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．【分析】（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）①易求点A（3，0），b＝4，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），则可求直线AD'的解析式为y＝x﹣4，联立方程，可得P点横坐标为；②设P（m，4﹣m），Q（m，m2﹣2m﹣3），则有（m2﹣m﹣7）2＝（m﹣3）2+（4﹣m）2，解得m＝﹣或m＝3（舍），所以P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，联立，则可知△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，求得k＝2m，得出直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，则可求E（，mn），再由面积[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，可得（m﹣n）3＝8，即可求解；【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）如图1，①设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点，∵C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴A（3，0），C（0，﹣3），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴D（0，4），∵AP＝AQ，PQ∥y轴，∴P、Q两点关于x轴对称，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），∴直线AD'的解析式为y＝x﹣4，由，得x1＝3，x2＝，∴x Q＝，∴x P＝x Q＝，∴P点横坐标为；②设P（m，4﹣m），Q（m，m2﹣2m﹣3），∵P A＝PQ，∴（m2﹣m﹣7）2＝（m﹣3）2+（4﹣m）2，∴|m2﹣m﹣7|＝|m﹣3|，∵﹣1＜m＜3，∴﹣m2+m+7＝（3﹣m），∴m＝﹣或m＝3（舍），∴P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2．。
2020年福建省泉州市南安市侨光中学自主招生数学试卷 解析版
2020年福建省泉州市南安市侨光中学自主招生数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列实数中，无理数是（）A．0.010010001B．（）0C．cos30°D．2．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列成语所描述的事件为随机事件的是（）A．守株待兔B．水中捞月C．瓮中捉鳖D．拔苗助长5．（3分）若x+5＞0，则（）A．x+3＜0B．x﹣3＜0C．D．﹣2x＜166．（3分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣47．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和8．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．）9．（3分）小明用S2＝[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+…+（x10﹣5）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝．10．（3分）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C 点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．11．（3分）若（2020﹣a）（2019﹣a）＝2021，则（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝．12．（3分）如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则弧DE的长为．13．（3分）如图所示，△ABC中，已知AD和BE分别是边BC，AC上的中线，且AD⊥BE，垂足为G，若GD＝2，GE＝3，则线段CG为．14．（3分）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为．二、解答题：（本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（8分）先化简，再求值．（1﹣），其中x是方程x2﹣5x+6＝0的根．16．（8分）如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE≌△CFE．17．（8分）已知△ABC中，∠A＝22.5°，∠B＝45°．（1）求作：⊙O，使得圆心O落在AB边上，且⊙O经过A、C两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）若⊙O的半径为2，①求证：BC是⊙O的切线；②求tan∠A的值．（3）仿照以上求tan∠A的过程，可得：tan15°＝．18．（8分）甲乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成3元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并记录其100天的送餐单数，得到如下频数表．甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1040301010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010（1）求甲公司送餐员的日平均工资；（2）某人拟到甲乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，那么他应该选择去哪家公司应聘？请说明理由．19．（8分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．20．（8分）箭头四角形模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝．③如图4，BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3， (2017)2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC ＝n°，则∠BO1000C＝度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．21．（10分）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．2020年福建省泉州市南安市侨光中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列实数中，无理数是（）A．0.010010001B．（）0C．cos30°D．【分析】求出（）0＝1，cos30°＝，再根据无理数的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；B．（）0＝1，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；C．cos30°＝，是无理数，故本选项符合题意；D．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；故选：C．2．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；B、是轴对称图形，本选项符合题意；C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：B．3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A错误；B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B错误；C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C正确；D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D错误；故选：C．4．（3分）下列成语所描述的事件为随机事件的是（）A．守株待兔B．水中捞月C．瓮中捉鳖D．拔苗助长【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、是随机事件，故A符合题意；B、是不可能事件，故B不符合题意；C、是必然事件，故C不符合题意；D、是不可能事件，故D不符合题意；故选：A．5．（3分）若x+5＞0，则（）A．x+3＜0B．x﹣3＜0C．D．﹣2x＜16【分析】根据不等式的性质进行逐一判断即可．【解答】解：∵x+5＞0，∴x＞﹣5，∴x+3＞﹣2，A错误；x﹣3＞﹣8，B错误；＞﹣1，C错误；﹣2x＜10，即﹣2x＜16，D正确，故选：D．6．（3分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣4【分析】首先，根据两直线的交点的横坐标即为联立两直线方程求解的x值，则由直线y ＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n），可得交点横坐标为；其次，通过解一元一次方程ax﹣b＝mx，得，则，即可得解．【解答】解：∵，∴ax+b＝mx，解得，∵直线y＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n），∴，由ax﹣b＝mx，得，∴，∴关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为：x＝﹣2，故选：B．7．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．8．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．另一解法：∵a≠b，∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，∴M＝2，又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，∴N≤2，∴N≤M，∴不可能有M＝N﹣1，故排除A、B、D，故选：C．二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．）9．（3分）小明用S2＝[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+…+（x10﹣5）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝50．【分析】根据S2＝[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+…+（x10﹣5）2]可得平均数为5，进而可得答案．【解答】解：由方差公式可得平均数为5，因此x1+x2+x3+…+x10＝5×10＝50，故答案为：50．10．（3分）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C 点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压60cm．【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【解答】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∵AM∥BN，∴△ACM∽△BCN；∴，∵AC与BC之比为6：1，∴，即AM＝6BN，∴当BN≥10cm时，AM≥60cm，故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．故答案为：60．11．（3分）若（2020﹣a）（2019﹣a）＝2021，则（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝4043．【分析】设x＝2020﹣a，y＝2019﹣a，故xy＝2021，原式＝x2+y2，即可利用完全平方公式进行求解．【解答】解：设x＝2020﹣a，y＝2019﹣a，则xy＝2021，x﹣y＝（2020﹣a）﹣（2019﹣a）＝1∴（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×2021＝4043故答案为：4043．12．（3分）如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则弧DE的长为π．【分析】连接OE，求出∠DOE＝40°，根据弧长公式计算，得到答案．【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝40°，∴弧DE的长＝＝π，故答案为：π．13．（3分）如图所示，△ABC中，已知AD和BE分别是边BC，AC上的中线，且AD⊥BE，垂足为G，若GD＝2，GE＝3，则线段CG为2．【分析】由三角形重心的性质得到AG＝2GD＝4，BG＝2GE＝6，根据勾股定理求出AB，延长CG交AB于H，根据直角三角形的斜边中线性质求出GH，根据三角形的重心的性质计算即可．【解答】解：延长CG交AB于H，如图，∵BD和CE分别是边AC，AB上的中线，∴点O是△ABC的重心，∴AG＝2GD＝4，BG＝2GE＝6，CG＝2GH，∵AD⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴AB＝＝＝2，又∵H是AB的中点，∴GH＝AB＝，∴CG＝2GH＝2．故答案为：．14．（3分）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为14．【分析】设OA＝3a，则OB＝4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式为，直线CD的解析式是y＝x，OA的中垂线的解析式，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2＝，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．【解答】解：由题意，设OA＝3a，则OB＝4a，∴A（3a，0），B（0，4a），设直线AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是，∵直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x，根据题意得：，解得：，则D的坐标是（，），OA的中垂线的解析式是，则C的坐标是（，），则，∵以CD为边的正方形的面积为，且，则，解得：，∴，故答案为：14．二、解答题：（本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（8分）先化简，再求值．（1﹣），其中x是方程x2﹣5x+6＝0的根．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，方程x2﹣5x+6＝0，变形得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x＝2（舍去）或x＝3，当x＝3时，原式＝．16．（8分）如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE≌△CFE．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答】证明：∵AB＝BD+CF，又∵AB＝BD+AD，∴CF＝AD∵AB∥CF，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F在△ADE与△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）．17．（8分）已知△ABC中，∠A＝22.5°，∠B＝45°．（1）求作：⊙O，使得圆心O落在AB边上，且⊙O经过A、C两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）若⊙O的半径为2，①求证：BC是⊙O的切线；②求tan∠A的值．（3）仿照以上求tan∠A的过程，可得：tan15°＝2﹣．【分析】（1）按要求作出图形即可；（2）①连接OC，利用已知得出∠OCB＝90°，进而即可求出；②过C作CH⊥AB于H点，先推出△OHC是等腰直角三角形，从而可OH＝，AH＝，即可求出tan∠A；（3）改变已知条件，令∠A＝15°，∠B＝60°，OC＝2，然后按照（2）②中的方法求解即可．【解答】解：（1）作图：如图1即为所求作的图，；（2）①证明：如图2，连接OC，∵OA＝OC，∠A＝22.5°，∴∠BOC＝45°，又∵∠B＝45°，∴∠BOC+∠B＝90°，∴∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，且点C在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；②过点C作CH⊥AB于H点，由①得：∠BOC＝45°，∵CH⊥AB，∴∠OCH＝90°，∴△OHC是等腰直角三角形，∵OA＝OC＝2，OH＝CH＝OC sin∠B＝，∴AH＝，∴在Rt△ACH中，tan∠A＝＝；（3）改变已知条件，令∠A＝15°，∠B＝60°，OC＝2，∴∠OCA＝15°，∠ACB＝180°﹣15°﹣60°＝105°，∴∠OCB＝90°，过点C作CH⊥OB于点H，在△OCH中，∠COH＝15°+15°＝30°，∠OHC＝90°，∵OC＝2，∴CH＝1，OH＝，∴tan15°═＝＝2﹣，故答案为：．18．（8分）甲乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成3元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并记录其100天的送餐单数，得到如下频数表．甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1040301010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010（1）求甲公司送餐员的日平均工资；（2）某人拟到甲乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，那么他应该选择去哪家公司应聘？请说明理由．【分析】（1）计算出甲公司送餐员日平均送餐单数，即可求出甲公司送餐员的日平均工资；（2）计算出乙公司送餐员的日平均工资，与甲公司比较即可得出结论．【解答】解：（1）甲公司送餐员日平均送餐单数为：38×0.1+39×0.4+40×0.3+41×0.1+42×0.1＝39.7所以甲公司送餐员日平均工资为：80+3×39.7＝199.1（元）；（2）应该选择去乙公司应聘，理由为：乙公司送餐员日平均工资为：＝202.2（元），∵199.1＜202.2所以这个人应该选择去乙公司应聘．19．（8分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，（3）再依据函数的增减性求得最大利润．【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知，解得∴n＝2x+10同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝（2）∵y＝mn﹣80∴y＝整理得，y＝（3）当1≤x≤10时，∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270当10＜x＜15时∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣＝＝≈13.2＜13.5∴x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2当15≤x≤30时∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝＝＞30∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元20．（8分）箭头四角形模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝85°．③如图4，BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3， (2017)2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC ＝n°，则∠BO1000C＝（m+n）度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．【分析】（1）①由∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α可得答案；②由∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A且∠EBF＝∠ABF，∠ECF ＝∠ACF知∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，从而得∠F＝，代入计算可得；③由∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC知∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C 得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，据此得出∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，代入可得答案；（2）由∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA知∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，结合∠BCD＝2∠BAD得∠BCD＝∠BOD，连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【解答】解：（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；②如图3，∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF ＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°；③如图3，由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C ﹣∠BAC）+∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案为：①2α；②85°；③（m+n）；（2）如图5，连接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．21．（10分）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．【分析】（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）①易求点A（3，0），b＝4，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），则可求直线AD'的解析式为y＝x﹣4，联立方程，可得P点横坐标为；②设P（m，4﹣m），Q（m，m2﹣2m﹣3），则有（m2﹣m﹣7）2＝（m﹣3）2+（4﹣m）2，解得m＝﹣或m＝3（舍），所以P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，联立，则可知△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，求得k＝2m，得出直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，则可求E（，mn），再由面积[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，可得（m﹣n）3＝8，即可求解；【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）如图1，①设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点，∵C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴A（3，0），C（0，﹣3），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴D（0，4），∵AP＝AQ，PQ∥y轴，∴P、Q两点关于x轴对称，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），∴直线AD'的解析式为y＝x﹣4，由，得x1＝3，x2＝，∴x Q＝，∴x P＝x Q＝，∴P点横坐标为；②设P（m，4﹣m），Q（m，m2﹣2m﹣3），∵P A＝PQ，∴（m2﹣m﹣7）2＝（m﹣3）2+（4﹣m）2，∴|m2﹣m﹣7|＝|m﹣3|，∵﹣1＜m＜3，∴﹣m2+m+7＝（3﹣m），∴m＝﹣或m＝3（舍），∴P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2．。
南安高一自主招生考试试卷
南安高一自主招生考试试卷一、语文（共60分）（一）选择题（每题2分，共20分）1. 下列各组词语中，没有错别字的一组是：A. 旁征博引明察秋毫翻云覆雨翻来覆去B. 莫明其妙风声鹤唳一诺千金一视同仁C. 脍灸人口破釜沉舟破镜重圆破绽百出D. 礼上往来礼贤下士礼义之邦礼尚往来2. 下列句子中，成语使用恰当的一句是：A. 他这个人总是喜欢在人前卖弄自己的才华，真是令人叹为观止。
B. 这个问题的解决，真是让人如释重负。
C. 他对于这个问题的看法，真是一语中的。
D. 他总是喜欢在会议上长篇大论，真是让人耳目一新。
（二）阅读理解（共30分）阅读下面的文章，回答后面的问题。
《故乡》（节选）鲁迅我冒了严寒，回到相隔二千余里，别了二十余年的故乡去。
时候既然是深冬；渐近故乡时，天气又阴沉下来，冷风吹进船舱中，呜呜的响，从篷隙向外一望，苍黄的天底下，远近横着几个萧索的荒村，没有一些活气。
我的心禁不住悲凉起来了。
阿！这不是我二十年来时时记得的故乡？我所记得的故乡全不如此。
我的故乡好得多了。
但要我记起他的美丽，说出他的佳处来，却又没有影像，没有言辞了。
仿佛也就如此。
于是我自己解释说，故乡本也如此，——虽然没有进步，也未必有如我所感的悲凉，这只是我自己心情的改变罢了，因为我这次回乡，本没有什么好心绪。
1. 作者在文中表达了什么样的情感？（5分）2. 作者对故乡的描述有哪些特点？（10分）3. 文中提到的“故乡本也如此”是什么意思？（15分）（三）作文（共10分）请以“我眼中的故乡”为题，写一篇不少于800字的作文。
二、数学（共40分）（一）选择题（每题4分，共16分）1. 下列哪个选项是二次方程的解？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = 32. 如果函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，那么f(-1)的值是多少？A. -2B. -1C. 0D. 1（二）填空题（每题6分，共12分）1. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值。
2025届福建省南安市南安一中高三第一次调研测试数学试卷含解析
2025届福建省南安市南安一中高三第一次调研测试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面2．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个3． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383B ．57171C ．59189D ．612424．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．已知集合{|4},{|2,}A x N y x B x x n n Z =∈=-==∈,则A B =（ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]7．给出50个数 1，2，4，7，11，，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )A ．i 50≤；p p i =+B ．i 50<；p p i =+C ．i 50≤；p p 1=+D ．i 50<；p p 1=+8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A ．37B ．217C ．2112D ．57199．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．13B ．310C ．25D ．3410．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．811．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．12．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省泉州市南安市2023届小升初数学试卷(含解析)
2023年福建省泉州市南安市小升初数学试卷一、认真细致，算一算。
【每题3分，共24分】1．用你喜欢的方法计算。
（1）126+180÷45（2）1.25×4.9×0.8（3）（4）4.6×2.5﹣3÷0.5（5）[（）×]2．解方程。
（1）4x+1.6＝8.4（2）x﹣30% x＝14（3）：3二、用心思考，填一填。
【21分】3．（3分）据南安市统计局发布的全市2022年经济“成绩单”，全市地区生产总值达到164605000000元，比增3.7%。
横线上的数读作，改写成以“亿”为单位的数是。
4．（3分）观察下图中阴影部分与整个图形的面积关系，用等式表示出来。
＝：10＝45÷＝%5．（3分）在横线上填上适当单位。
学校的劳动教育基地面积大约有1 ，六（1）班分到一块面积60 的长方形地种植黄瓜，大约经过3个，收获的季节到了，萌萌摘下一条好大的黄瓜，长约3 ，体积约1500 ，她称了一下重0.5 。
6．（3分）第24届冬季奥运会在北京和张家口市成功举办，北京至张家口的距离约是180km，在一幅冬奥会宣传图上，量得两地间的距离是60cm。
这幅宣传图的比例尺是。
7．（3分）淘气用小正方体摆成一个几何体，从不同方向观察到的图形如右图所示，要用个小正方体才能摆成这个几何体。
8．（3分）图中，三个圆的半径都是10cm，这三块空白部分的面积一共是cm2。
我的思考过程是：。
9．（3分）山美水库边上有一些台阶，每级台阶15cm。
水库上有一条环卫船，船上垂直放着一条绳梯，每级为30cm。
某一天早上测得水库的水位刚好淹没水库边的第二级台阶，绳梯的第一级。
中午和下午突降大暴雨，水位上升了30cm，这时水位刚好淹没到水库边的第级台阶，船上的绳梯淹没到第级。
10．（3分）把一个长方体纸盒相邻的两个面撕下来一部分，展开后如图所示（单位：cm），这个纸盒原来的表面积是cm211．（3分）聪聪用白色和黑色的小正方形玩拼图游戏。
2024年重点中学自主招生模拟试卷(1)参考答案
2024年重点中学自主招生模拟试卷（1）数学参考答案一．选择题（共10小题）1．（2024春•礼县校级月考）已知a﹣2+b＝0（a＞0，b＞0），则等于（）A．B．C．D．【分析】由已知可得（）2＝0，则，代入原式计算即可．【解答】解：由已知可得（）2＝0，则，即a＝b，原式＝＝．故选：D．2．（2024•九龙坡区自主招生）在数轴上，若点M、N分别表示数m、n，则|m|表示点M到原点的距离，|m﹣n|表示M、N两点间的距离．以下说法正确的有（）①若|m﹣2|+|n+3|＝0，则m﹣2n＝8；②若|m﹣2|＝|m+3|，则；③若，则；④函数y＝|x2+6|﹣|x2﹣6|与函数y＝x有三个交点．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用非负数的性质得出m＝2，n＝﹣3，代入m﹣2n即可判断①；解绝对值方程求得m的值即可判断②；由可知a＜0，b ＜0，c＞0，得到ab＞0，bc＜0，ac＜0即可判断③；作出函数y＝|x2+6|﹣|x2﹣6|与函数y＝x的图象，根据函数的图象即可判断④．【解答】解：①∵|m﹣2|+|n+3|＝0，∴m﹣2＝0，n+3＝0，∴m＝2，n＝﹣3，∴m﹣2n＝8，故①正确；②∵|m﹣2|＝|m+3|，∴m﹣2＝﹣m﹣3，∴m＝﹣，故②错误；③若，则a＜0，b＜0，c＞0，∴ab＞0，bc＜0，ac＜0，∴，故③正确；④当x2﹣6≤0时，即﹣≤x≤，y＝|x2+6|﹣|x2﹣6|＝2x2；当x2﹣6＞0时，即x＜﹣或x＞，y＝|x2+6|﹣|x2﹣6|＝12；作出函数的图象如图：由图象可知，函数y＝|x2+6|﹣|x2﹣6|与函数y＝x有三个交点，故④正确．故选：C．3．（2023•南安市校级模拟）如图，矩形ABCD由3×4个小正方形组成，此图中不是正方形的矩形有（）A．34个B．36个C．38个D．40个【分析】解答此题要从矩形的两边长进行分类分析，在由3×4个小正方形组成矩形ABCD中，不是正方形的矩形的两边长存在以下几种情况：2、1；3、1；4、1；3、2；3、4；4、2．【解答】解：在由3×4个小正方形组成矩形ABCD中，共有矩形60个，是正方形的有20个，其中，边长为1的12个，边长为2的6个，边长为3的2个；不是正方形的矩形有40个，其中，两边长分别为2和1的有17个；两边长分别为3和1的有10个；两边长分别为4和1的有3个；两边长分别为3和2的有7个；两边长分别为3和4的有1个；两边长分别为4和2的有2个；故选：D．4．（2023•惠城区校级开学）已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）A．B．C．D．【分析】本题先将u转化为2xy+4，然后根据x2﹣xy+4y2＝4进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得解．【解答】解：方法一：∵x2﹣xy+4y2＝4，∴x2+4y2＝xy+4，∴u＝x2+xy+4y2＝2xy+4，∵5xy＝4xy+（x2+4y2﹣4）＝（x+2y）2﹣4≥﹣4，当且仅当x＝﹣2y，即，，或，时等号成立．∴xy的最小值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最小值为，即．∵3xy＝4xy﹣（x2+4y2﹣4）＝4﹣（x﹣2y）2≤4，当且仅当x＝2y，即，或，时等号成立．∴xy的最大值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最大值为，即．∴．方法二：由x2﹣xy+4y2＝4，得x2+4y2＝xy+4，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4．设xy＝t，若x＝0，则u＝4；x≠0时，，将代入x2﹣xy+4y2＝4，得，即x4﹣（t+4）x2+4t2＝0，…①由△＝（t+4）2﹣16t2≥0，解得．将代入方程①，解得，；代入方程①，解得，．∴xy的最大值为，最小值为．因此，，，，故选：C．方法三：由题意得，①﹣②，得2xy＝u﹣4，u＝2xy+4，把②两边加5xy，得（x+2y）2＝4+5xy⩾0，解得：，把②两边减3xy，得（x﹣2y）2＝4﹣3xy⩾0，解得：xy≤，∴，，因此，，，，故选：C．5．（2024•碑林区校级自主招生）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（）A．点数小的牌可能性大B．点数大的牌可能性大C．两者可能性一样大D．无法判断【分析】利用方程组的思想求得已发出的34张牌中的点数大的张数与点数小的张数，从而得到剩余的牌中点数大的张数与点数小的张数，再利用计算概率的方法解答即可．【解答】解：设一副完整的扑克牌已发出的34张牌中点数小的张数为x张，点数大的张数为y张，∴．解得：，∴已发出的34张牌中点数小的张数为22张，点数大的张数为12张，∴剩余的20张牌中点数大的张数为5×4+2﹣12＝10张，点数小的张数为8×4﹣22＝10张，∵剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等，∴下一张发出的牌是点数大的牌的几率是，下一张发出的牌是点数小的牌的几率是，∴两者可能性一样大，故选：C．6．（2021•龙岗区校级自主招生）如图，点A是函数y＝的图象上的点，点B，C的坐标分别为B（﹣，﹣），C（，）．试利用性质：“函数y＝的图象上任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2”求解下面问题：作∠BAC的角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知当点A在函数y＝的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为（）A．直线B．抛物线C．圆D．反比例函数的曲线【分析】如图：延长AC交BF的延长线于G，连接OF．只要证明OF是△BCG的中位线，可得OF＝CG＝，即可解决问题．【解答】解：如图：延长AC交BF的延长线于G，连接OF．∵AF⊥BG，∴∠AFB＝∠AFG＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠G+∠GAF＝90°，∵AE为∠BAG的平分线，∴∠BAF＝∠FAG，∴∠ABF＝∠G，∴AB＝AG，∵AF⊥BG，∴BF＝FG，∵B（﹣，﹣），C（，），∴OB＝OC，∴OF＝CG，∵AC＝AG﹣CG，AB＝AG，∴AB﹣AC＝CG，∵|AB﹣AC|＝2，∴CG＝2，∴OF＝，∴点F在以O为圆心为半径的圆上运动．故选：C．7．（2013•宁波自主招生）正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ＝45°，则PB+QD＝PQ；②若AP＝AQ＝，∠PCQ＝36°，则；③若△PQC是正三角形，若PB＝1，则AP＝．其中正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】（1）延长AB至点E，使BE＝DQ，连接EC，AC，首先通过求证△BEC和△DQC全等推出等量关系，求出∠ECP＝45°，然后再求证△PCE≌△PCQ，通过等量代换即可推出结论，（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，首先根据题意推出△PBC 和△QDC全等，推出有关的等量关系，推出△PQC为等腰三角形，然后，通过顶角为36°角的等腰三角形的特殊性质，推出PQ2＝PE•PC，PE＝PC﹣2，解方程组即可推出结论，（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，首先根据题意推出Rt △PBC和Rt△QDC全等，然后根据其性质推出相关角的度数和PB＝QD，再通过直角三角形斜边上的中线的性质，和解直角三角形，推出4BM＝PC，PC ＝AP，即得，4BM＝AP，然后通过求证△PBM∽△PCB，推出BP：PC ＝BM：BC，最后通过等量代换，求关于AP的方程即可．注意不合适的值要舍去．【解答】（1）证明：延长AB至点E，使BE＝DQ，连接EC，AC，∵正方形ABCD，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，CD＝DA＝AB＝BC，∠D＝∠EBC＝90°，∴在△BEC和△DQC中，，∴△BEC≌△DQC（SAS），∴CE＝CQ，∠BCE＝∠DCQ，∵∠PCQ＝45°，∴∠DCQ+∠PCB＝45°，∴∠BCE+∠PCB＝45°，即∠ECP＝45°，∵在△PCE和△PCQ中，，∴△PCE≌△PCQ（SAS），∴PE＝PQ，∵PE＝PB+BE＝PB+QD，∴PQ＝PB+QD，（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，∵正方形ABCD，∴∠A＝∠D＝∠B＝90°，AD＝AB＝BC＝CD，∵∠PCQ＝36°，AP＝AQ＝，∴PQ＝2，PB＝QD，∴PE＝PC﹣2，∵在△PBC和△QDC中，，∴△PBC≌△QDC（SAS），∴QC＝PC，∴∠CPQ＝∠CQP＝72°，∴∠PQE＝∠EQC＝36°，∴QE＝QP＝EC＝2，∵△QPE∽△CQP，∴PQ：QC＝PE：PQ，即PQ2＝PE•PC，∵PQ＝2，∴PE•PC＝4，∵PE＝PC﹣2，∴PC2﹣2PC﹣4＝0，解得：PC1＝1﹣＜0（舍去），PC2＝1+，∴PC＝+1，（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，∵正方形ABCD，∴BC＝CD＝AB＝AD，∠D＝∠B＝∠A＝∠BCD＝90°，∵△PCQ为正三角形，∴QC＝PQ＝PC，∠QCP＝60°，∵在Rt△PBC和Rt△QDC中，，∴Rt△PBC≌Rt△QDC（HL），∴∠BCP＝∠DCQ＝，PB＝QD，∵E为PC的中点，∴BE＝EC＝PE＝，∴∠BEM＝30°，∴2BM＝BE，∴4BM＝PC，∵PC＝AP，∴4BM＝AP，∵BM⊥PC，∠BCP＝15°，∴∠PBM＝15°，∴△PBM∽△PCB，∴BP：PC＝BM：BC，∵PB＝1，∴BC＝AB＝AP+1，∴，∴AP2﹣AP﹣1＝0，解得：AP1＝1+，AP2＝1﹣＜0（舍去），∴AP＝+1，∴其中说法正确的共3个，故选：A．8．（2021•龙岗区校级自主招生）如图，直线AB：y＝﹣x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转120°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD 的长为（）A．B．C．2D．5【分析】如图，设D（0，m）．在BD的下方作等边三角形△BDQ，延长DQ 到M，使得QM＝DQ，连接BM，DE，DE交BQ于点N，作MH⊥x轴于H．想办法求出点E的坐标，构建二次函数，利用二次函数的性质求出m的值即可解决问题；【解答】解：如图，设D（0，m）．由题意：B（5，0）．在BD的下方作等边三角形△BDQ，延长DQ到M，使得QM＝DQ，连接BM，DE，DE交BQ于点N，作MH⊥x轴于H．∵△BDQ是等边三角形，∴∠DQB＝∠DBQ＝60°，∵QM＝BQ，∴∠QMB＝∠QBM，∵∠DQB＝∠QMB+∠BQM，∴∠QMB＝∠QBM＝30°，∴∠DBM＝90°，∴BM＝BD，∵∠DBO+∠ODB＝90°，∠DBO+∠MBH＝90°，∴∠MBH＝∠BDO，∵∠DOB＝∠MHB＝90°，∴△DOB∽△BHM，∴＝＝＝，∵OD＝m，OB＝5，∴BH＝m，MH＝5，∴M（5﹣m，﹣5），∵MQ＝DQ，∴Q（，），∵∠DBE＝120°，∴∠DBN＝∠EBN＝60°，∴DE⊥BQ，DN＝NE，QN＝BN，∴N（，），E（，），∴CE2＝（）2+（）2＝m2﹣6m+91，∴当m＝﹣＝3时，CE的值最小，此时D（0，3），∴CD＝＝2，方法二：如图，将线段OB绕点B逆时针旋转120°得到线段BP，直线EP交x轴于G，作CM⊥PE于M．易证△BOD≌△BPE，BG＝2BP＝10，∴点E的运动轨迹是直线PE，当点E与M重合时，CE的值最小，此时PM＝OD＝3，∴CD＝＝＝2．故选：C．9．（2022秋•高邑县期中）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝6，那么++的值（）A．是正数B．是零C．是负数D．正、负不能确定【分析】根据abc＝6，可以将所求式子化简，然后再根据a+b+c＝0，可以得到bc+ac+ab的正负情况，从而可以判断所求式子的正负情况，本题得以解决．【解答】解：∵abc＝6，∴++＝＝，∵bc+ac+ab＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，a+b+c＝0，∴bc+ac+ab＝﹣（a2+b2+c2），∵a、b、c均不为0，∴bc+ac+ab＜0，∴＜0，即++的值是负数，故选：C．10．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．【分析】设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，设正方形JKLM边长为m，根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，得AF＝AB＝m，证明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL＝FM，设AL＝FM＝x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2＝（m）2，可解得x＝m，有AL＝FM＝m，FL＝2m，从而可得AP＝，FP＝m，BP＝，即知P为AB中点，CP＝AP＝BP＝，由△CPN∽△FPA，得CN＝m，PN＝m，即得AN＝m，而tan∠BAC＝＝＝，又△AEC∽△BCH，得＝，即＝，故CH＝2．【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF ＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，∴△CPN∽△FPA，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故选：C．二．填空题（共6小题）11．（2023秋•长治月考）如图平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则△DEG与五边形DABFG的面积比值是．【分析】连接BG，先由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC及∠E＝∠CFG；再由F为BC中点及DE：AD＝1：3得DE：CF的比值；然后由∠E＝∠CFG，∠DGE＝∠CGF证得△DGE∽CGF，最后由相似三角形的面积比等于相似比的平方及△CFG和△BGC之间的关系，可得答案．【解答】解：如图，连接BG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠E＝∠CFG，∵F为BC中点，∴FC＝BC＝AD，∵DE：AD＝1：3，∴DE：BC＝1：3，∴DE：CF＝2：3，∵∠E＝∠CFG，∠DGE＝∠CGF，∴△DGE∽CGF，∴DG：CG＝DE：CF＝2：3，设△DEG的面积为a∴SDEG：S△CFG＝4：9＝a：S△CFG，△∴SCFG＝，△取AD的中点Q，连接FQ，∴FQ∥DG，∴△EDG∽△EQF，∴DE：EQ＝1：2.5＝2：5，∴SDEG：S△QEF＝4：25＝a：S△EQF，△∴SEQF＝，△∴SDQFG＝a﹣a＝a，四边形∴SABFQ＝S四边形DQFG+S△CFG＝，四边形∴SDABFG＝．五边形∴△DEG与五边形DABFG的面积比值是．故答案为：．12．（2022•温江区校级自主招生）若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是m＝1或m＞2．【分析】分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x＝，符合题意；当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合题意；当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，∴x1＝，x2＝．∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，∴0＜＜1，解得m＞0，0＜＜1，解得m＞2．综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．故答案为：m＝1或m＞2．13．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为，点F的坐标为（，0）．【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD 的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．【解答】解：如图，方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B（b，），D（a，），由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，∴OI＝BI，∴DI＝CI，∴＝，∵∠CID＝∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI＝∠BOI，∴CD∥OB，∴SBOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，△∵SBOE＝S△DOG＝＝3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，△∴SBEGD＝S△BOD＝，梯形∴•（a﹣b）＝，∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，∴a＝2b，a＝﹣（舍去），∴D（2b，），即：（2b，），在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2＝OB2，∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，∴b＝，∴B（，2），D（2，），∵直线OB的解析式为：y＝2x，∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3，当y＝0时，2﹣3＝0，∴x＝，∴F（，0），∵OE＝，OF＝，∴EF＝OF﹣OE＝，∴＝，方法二：如图，连接OD，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H，由上知：DF∥OB，∴SBOF＝S△BOD＝，△∵SBOE＝|k|＝3，△∴＝＝，设EF＝a，FG＝b，则OE＝2a，∴BE＝，OG＝3a+b，DG＝，∵△BOE∽△DFG，∴＝，∴＝，∴a＝b，a＝﹣（舍去），∴D（4a，），∵B（2a，），∴＝＝，∴GH＝EG＝2a，∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，∴△ODG∽△DHG，∴，∴，∴a＝，∴3a＝，∴F（，0）故答案为：，（，0）．14．（2020•黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝﹣．【分析】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．【解答】解：∵方程有实根，∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，所以＝﹣．故答案为﹣．15．（2022•成都自主招生）如图，面积为4的平行四边形ABCD中，AB＝4，过点B作CD边的垂线，垂足为点E，点E正好是CD的中点，点M、点N分别是AB、AC．上的动点，MN的延长线交线段DE于点P，若点P是唯一使得∠MPB＝45°的点，则线段BM长x的取值范围是x＝2﹣2或＜x≤．【分析】根据点P是唯一使得∠MPB＝45°的点，可看成弦MB所对的圆周角∠MPB＝45°，设△MBP外接圆的圆心为O，分三种情况画图，列出方程即可得结果．【解答】解：∵平行四边形ABCD的面积为4，AB＝4，BE⊥CD，∴BE＝1，∵点P是唯一使得∠MPB＝45°的点，则可看成弦MB所对的圆周角∠MPB＝45°，设△MBP外接圆的圆心为O，则∠MOB＝90°，∴，∵CD与AB之间的距离为1，当⊙O经过点D时，即点P在点D处时，（x）2＝（2﹣x）2+（1﹣x）2解得x＝；当四边形PEBM是正方形时，圆与DE有两个交点，此时BM＝BE＝1；∴1＜x≤；当△PMB 的外接圆经过D 时，算的x ＝，只有当x ＞时才成立，要让有且只有一个点，D 点应该在外接圆内．∴＜x ≤4；当圆与DE 相切时，如图，x +x ＝1，解得x ＝2﹣2．综上所述：线段BM 长x 的取值范围是x ＝2﹣2或＜x ≤4．但是由题意：“MN 的延长线交线段DE 于点P ，若点P 是唯一使得线段∠MPB ＝45°的点”，也就是说点P 只能在线段DE 上，如果x 大于了，那么P 点就在线段EC 上了，与题意不符，因此答案应该是：2倍根号2﹣2或者1＜x ≤（x ＝时，P 与D 重合，P也在线段DE 上）．故答案为：x ＝2﹣2或1＜x ≤．16．（2022秋•长沙月考）已知a ，b ，c ，d ，x ，y ，z ，w 是互不相等的非零实数，且＝＝，则的值为2．【分析】可设＝＝＝，则＝＝＝＝k ，即＝，＝，＝k ，设＝＝k 1，＝＝k 2，由＝k 可得k ＝，由+＝得k1+k2＝k，代入计算即可求解．【解答】解：设＝＝＝，则＝＝＝＝k，整理得+＝+＝+＝＝k，∴＝，＝，＝k，设＝＝k1，＝＝k2，由＝k得k＝，由+＝得k1+k2＝k，∴原式＝2×+2×＝＝2．故答案为：2．三．解答题（共9小题）17．解方程：（1）；（2）|x2+4x﹣5|＝2﹣2x．【分析】（1）设＝t，则原方程可化为t2﹣t﹣6＝0，再解整式方程得到当＝3或当t＝＝﹣2，然后分别解两个无方程；（2）利用绝对值的意义，当x2+4x﹣5≥0时，解得x≤﹣5或x≥1，则x2+4x ﹣5＝2﹣2x；当x2+4x﹣5＜0时，解得﹣5＜x＜1，则x2+4x﹣5＝﹣（2﹣2x），然后分别解两个一元二次方程，最后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（1）设＝t，则原方程可化为t2﹣t﹣6＝0，解得t1＝3，t2＝﹣2，当t＝3时，＝3，x2﹣3x+5＝9，解得x1＝4，x2＝﹣1，当t＝﹣2时，＝﹣2，此方程无解所以经检验原方程的解为x1＝4，x2＝﹣1；（2）当x2+4x﹣5≥0时，x≤﹣5或x≥1，所以x2+4x﹣5＝2﹣2x，整理得x2+6x﹣7＝0，解得x1＝1，x2＝﹣7，当x2+4x﹣5＜0时，﹣5＜x＜1，所以x2+4x﹣5＝﹣（2﹣2x），整理得x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝﹣3，综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣7，x3＝﹣3．18．（2022•镜湖区校级自主招生）对a＞b＞c＞0，作二次方程x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca＝0．（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；（2）若方程有实根x0，求证：a＞x0＞b+c；（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c．【分析】（1）若一元二次方程有实根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立a、b、c的关系，则能证明．（2）设f（x）＝x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca，由二次函数性质可证．（3）由根与系数关系可得a、b、c的关系，进而解得a、b、c的值．【解答】解：（1）由方程有实根得，Δ＝（a+b+c）2﹣4（ab+bc+ca）≥0即0≤a2+b2+c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝a（a﹣b﹣c）﹣b（a+c﹣b）﹣c（a+b﹣c）＜a（a﹣b﹣c），由a＞0，得a﹣b﹣c＞0，即a＞b+c．所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边．（4分）（2）设f（x）＝x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca，则f（b+c）＝bc＞0，f（a）＝bc＞0，且f（）＝＜0由（1）知b+c＜＜a，所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间，即a＞x0＞b+c．（7分）（3）由根与系数关系有a+b+c＝15，ab+bc+ca＝54，得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝225﹣108＝117＜112．由（2）知a＞9，故得92＜a2＜112，∴a＝10．∴b+c＝5，bc＝4，由b＞c，解得b＝4，c＝1，∴a＝10，b＝4，c＝1．（10分）19．（2022•相城区校级自主招生）阅读材料：对于正数a、b，有（﹣）2≥0，所以a+b﹣2≥0，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取“＝”）．特别地：a+≥2＝2（当且仅当a＝1时取“＝”）．因此，当a＞0时，a+有最小值2，此时a＝1．简单应用：（1）函数y＝2﹣x﹣（x＞0）的最大值为﹣2．（2）求函数y＝9x+（x＞1），当x＝时，最小值为5．解决问题：（3）已知P（﹣2，3）是反比例函数y＝图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y＝只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值．【分析】（1）求得x+≥4，进而求得结果；（2）变形y＝9x+＝9（x﹣1）++9，进一步求得结果；（3）设点A（a，0），B（0，b），求出AB的解析式和反比例函数的解析式，进而联立得出一元二次方程，由根的判别式为0，求得a，b的关系，进而表示出四边形ABCD的面积，进一步得出结果．【解答】解：（1）∵x+≥2＝4，＝2﹣4＝﹣2，∴y最大故答案为：﹣2；（2）y＝9x+＝9（x﹣1）++9≥2+9＝15，当9（x﹣1）＝时，＝15，即：当x＝时，y最小故答案为：，15；（3）把x＝﹣2，y＝3代入y＝得，3＝，∴k＝﹣6，∴y＝﹣，设点A（a，0），B（0，b），（a＞0，b＜0），∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+b，由﹣＝﹣+b得，bx2﹣abx﹣6a＝0，∵直线AB与双曲线y＝只有一个公共点，∴Δ＝（ab）2+24ab＝0，∴b＝﹣，由y＝+6得：D（0，6），C（﹣4，0），∴AC＝a+4，BD＝6﹣b＝6+，∴SABCD＝＝＝3（a+）+24≥3×2+24四边形＝48，∴当a＝，即：a＝4时，四边形ABCD的面积最小值为：48．20．（2020•汉阳区校级自主招生）如图1，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，3），反比例函数y＝（k＜0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，BC于E，F （E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A，D重合．（1）①如图2，当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长；②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．【分析】（1）①如图2中，连接AD交EF于H．想办法证明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行线分线段成比例定理证明AE＝EC＝2即可．②如图3中，当点D落在OB上时，连接AD交EF于H．求出CE的长即可判断．（2）由△ABD是等腰三角形，F与B不重合，推出AB≠BD．分两种情形：①如图4中，当AD＝BD时，②如图5中，当AD＝AB时，分别求解即可．【解答】解：（1）①如图2中，连接AD交EF于H．∵四边形ABOC是矩形，A（﹣4，3），∴∠A＝90°，OB＝AC＝4，AB＝OC＝3，∵E，F在y＝时，∴可以假设E（，3），F（﹣4，），∴AE＝4+，AF＝3+，∴AE：AF＝4：3，∵AC：BC＝4：3，∴＝，∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴∠AEF＝∠ACB，∴EF∥BC，∵A，D关于EF对称，点D落在BC上，∴EF垂直平分线段AD，∴AH＝DH，∵EF∥BC，∴＝，∴AE＝EC＝2．②如图3中，当点D落在OB上时，连接AD交EF于H．∵∠EAF＝∠ABD＝90°，∠AEF＝∠BAD，∴△AEF∽△BAD，∴＝，则＝＝，∴BD＝AB÷＝，设AF＝x，则FB＝3﹣x，FD＝AF＝x在Rt△BDF中，∵FB2+BD2＝DF2，∴（3﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，∴AF＝，∴AE＝AF＝，∴EC＝4﹣AE＝4﹣＝，∴＜CE＜4时，折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），线段CE长度的取值范围为：＜CE＜4．（2）∵△ABD是等腰三角形，F与B不重合，∴AB≠BD．①如图4中，当AD＝BD时，∠BAD＝∠ABD，由（1）可知∠BAD＝∠AEF，∴∠ABD＝∠AEF．作DM∥OB交AB于M，交OC于N．则DM⊥AB，MN＝AC＝4，∴∠BMD＝∠EAF＝90°，BM＝AB＝，∴△AEF∽△MBD，∴＝，则＝＝，∴MD＝BM÷＝，∴DN＝MN﹣MD＝4﹣＝，∴D（﹣，）．②如图5中，当AD＝AB时，作DM∥OB交AB于M，交OC于N．则DM⊥AB，MN＝AC＝4，∴∠AMD＝∠EAF＝90°，由（1）可得∠BAD＝∠AEF，∴△AEF∽△MAD，∴＝，则＝＝，设AM＝4a，则MD＝3a，在Rt△MAD中，∵AM2+DM2＝AD2，∴（4a）2+（3a）2＝32，∴a＝，∴AM＝，MD＝，∴BM＝AB＝AM＝3﹣＝，DN＝MN﹣MD＝4﹣＝，∴D（﹣，）．综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣，）或（﹣，）．21．（2020春•禹会区校级月考）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．【分析】先计算出△并且设Δ＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m ﹣1）2+4＝n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m﹣1）2﹣n2＝4，（2m﹣1﹣n）（2m ﹣1+n）＝﹣4，利用m，n都为整数进行讨论即可．【解答】解：当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要Δ＝b2﹣4ac为完全平方数，而Δ＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，设Δ＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m＝，②2m﹣1＝0时，m＝（不合题意舍去）．所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．22．（2011•浙江校级自主招生）请你利用直角坐标平面上任意两点（x1，y1）、（x2，y2）间的距离公式解答下列问题：已知：反比例函数与正比例函数y＝x的图象交于A、B两点（A在第一象限），点F1（﹣2，﹣2）、F2（2，2）在直线y＝x上．设点P（x0，y0）是反比例函数图象上的任意一点，记点P与F1、F2两点的距离之差d＝|PF1﹣PF2|．试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）．【分析】由和y＝x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为（，）、（，），利用两点间的距离公式可求出线段AB的长度，由P为反比例函数y＝上一点可得出x0与y0的关系式，利用两点间的距离公式可得出PF1、PF2的长，代入d＝|PF1﹣PF2|即可得到x0的表达式，再根据x0的取值范围即可求出d的长，进而得出结论．【解答】解：解由和y＝x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为，（，）、（，），线段AB的长度＝4（2分）∵点P（x0，y0）是反比例函数图象上一点，∴y0＝∴PF1＝＝＝||，PF2＝＝＝||，∴d＝|PF1﹣PF2|＝|||﹣|||，当x0＞0时，d＝4；当x0＜0时，d＝4．因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等．由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线．23．（2023春•宜丰县校级月考）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n．【分析】首先化简x与y，可得：x＝（）2＝2n+1﹣2，y ＝2n+1+2，所以x+y＝4n+2，xy＝1；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．【解答】解：化简x与y得：x＝＝2n+1﹣2，y＝＝2n+1+2，∴x+y＝4n+2，xy＝＝[（+）（﹣）]2＝1，∴将xy＝1代入方程，化简得：x2+y2＝98，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2×1＝100，∴x+y＝10．∴4n+2＝10，解得n＝2．24．（淳安县自主招生）如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM+CD．（1）求证：点F是CD边的中点；（2）求证：∠MBC＝2∠ABE．【分析】（1）由正方形得到AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，根据AF⊥BE，求出∠AEB＝∠AFD，推出△BAE≌△ADF，即可证出点F是CD边的中点；（2）延长AD到G使BM＝MG，得到DG＝BC＝DC，证△FDG≌△FCB，求出B，F，G共线，再证△ABE≌△CBF，得到∠ABE＝∠CBF，根据三角形的外角性质即可求出结论．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，∵AF⊥BE，∴∠AOE＝90°，∴∠EAF+∠AEB＝90°，∠EAF+∠BAF＝90°，∴∠AEB＝∠BAF，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD，∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE＝DF，∵E为AD边上的中点，∴点F是CD边的中点；（2）证明：延长AD到G．使MG＝MB．连接FG，FB，∵BM＝DM+CD，∴DG＝DC＝BC，∵∠GDF＝∠C＝90°，DF＝CF，∴△FDG≌△FCB（SAS），∴∠DFG＝∠CFB，∴B，F，G共线，∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD＝CD ∴AE＝CF，∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90°，AE＝CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，∵AG∥BC，∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，∴∠MBC＝2∠ABE．。
2023-2024学年福建省泉州市南安市名优校七年级(上)第一次联考数学试卷(含解析)
2023-2024学年福建省泉州市南安市名优校七年级（上）第一次联考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入60元记作+60元，则−20元表示( )A. 收入20元B. 收入40元C. 支出40元D. 支出20元2. 下列所给数据中，能反映出一瓶矿泉水重量的是( )A. 500毫克B. 500克C. 500千克D. 500吨3. 在−3，−1，0，1这四个数中，最小的数是( )A. −3B. −1C. 0D. 14. −2022的相反数等于( )A. −2022B. 12022C. −12022D. 20225. 下列图形表示数轴正确的是( )A. B.C. D.6. 计算：−3+2的结果是( )A. −1B. −5C. 1D. 57. 在数轴上，点A表示−2.若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B 表示的数是( )A. −6B. −4C. 2D. 48. 数轴上，到原点距离是8的点表示的数是( )A. 8和−8B. 0和−8C. 0和8D. −4和49. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( )A. a>−2B. a<−3C. a<−bD. a>−b10. 下面说法：①π的相反数是−π；②符号相反的数互为相反数；③−(−3.8)的相反数是−3.8；④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数.正确的有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、非选择题（共110分）11. 如图是某居民的身份证，其号码是110102************，则该居民的出生年份是______ ．12. 计算：(−4)+(−4)= ______ ．13. 某地一月份的平均气温为−3℃，三月份的平均气温为2℃，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高 ℃.14. 计算：0−10=______．15. A 、B 为同一数轴上两点，且AB =3(注：AB 表示A 、B 两点之间的距离)，若点A 所表示的数是−1，则点B 所表示的数是______．16. 某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目，规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩(没有并列班级)，第一名的班级记a 分，第二名的班级记b 分，第三名的班级记c 分(a >b >c ，且a 、b 、c 均为正整数)；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和.该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a−b−c = ______ ．17. 将下列有理数填入图中相应的圈内：−3，+32，0，−1，2，0.5，−13，−(+2)．18. 把下列各数：2，0，−3，212，在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“<”连接起来．19. 化简下列各数：①+(−4)=______ ；②−(+6)=______ ；③−(−3)=______ ；④−|−1|=______ ．20. 计算：(1)−2+5+(−6)+7；(2)(−7)−(−10)−|−8|．21. 下面是某同学计算(+14)+(−27)+26−(+33)的过程，请你在最后一步填上计算结果，并在运算步骤后的空的括号内填写运算依据．解：原式=(+14)+(−27)+26+(−33)(有理数减法的运算法则)=(+14)+26+(−27)+(−33)(______ )=[(+14)+26]+[(−27)+(−33)](______ )=40+(−60)(______ )=______ (异号两数相加运算法则)．22. 有理数a、b在数轴上如图，(1)在数轴上表示−a、−b；(2)试把这a、b、0、−a、−b五个数按从小到大用“<”连接．(3)用>、=或<填空：|a|______a，|b|______b.23. 如图，数轴上有六个点A，B，C，D，E，F，相邻两点之间的距离均为m(m为正整数)，点B表示的数为−4，设这六个点表示的数的和为n．(1)若m=2，则表示原点的是点______ ，点F表示的数是______ ．(2)若点F表示的数是12．①求m的值；②求n的值．24. 9月25日，一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续向东走了1.5千米到达小红家，然后向西走了8.5千米到达小刚家，最后返回百货大楼．(1)以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置.(小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示)(2)这辆货车此次送货全程共行走了多少千米，若货车每千米耗油1.5升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？(3)货车司机的送货收入是按送货距离来计费的(运费由买家收到货物时支付).以百货大楼为中心点，送货收入是按距离百货大楼每千米20元计费.求9月25日，该货车司机送达上述三家货物的送货收入．25. 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B 两点之间的距离AB=|a−b|，利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______ ，数轴上表示2和−3的两点之间的距离是______ ．(2)数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为______ ．(3)若x表示一个有理数，利用数轴求解，|x|+|x−3|的最小值是______ ，并写出此时x的整数值______ ．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵与收入意义相反的量是支出，∴若收入60元记作+60元，则−20元表示支出20元，故选：D．结合题意运用正负数的意义进行求解．此题考查了运用正负数的概念和绝对值解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．2.【答案】B【解析】解：能反映出一瓶矿泉水重量的是500克．故选：B．根据生活常识，即可得到一瓶矿泉水重量．本题考查了数学常识，是基础题型，比较简单．3.【答案】A【解析】解：由正数大于零，零大于负数，得−3<−1<0<1，最小的数是−3，故选：A．根据正数大于零，零大于负数，可得答案．本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．4.【答案】D【解析】解：−2022的相反数等于2022．故选：D．应用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．进行计算即可得出答案．本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的定义进行求解是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：A，从左向右点所表示的数依次增大，故A错误；B，符合数轴的三要素原点、单位长度，正方向，故B正确；C，单位长度不一致，故C错误；D，单位长度不一致，故D错误．故选：B．根据数轴三要素原点、单位长度，正方向，进行判定，即可得出答案．本题主要考查了数轴的概念，熟练掌握数轴三要素进行判断是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是掌握加法运算法则．根据有理数加法法则计算即可得到答案．【解答】解：−3+2=−(3−2)=−1，故选A．7.【答案】C【解析】解：由题意可得，点B表示的数为−2+4=2，故选：C．根据数轴的特点，可知从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数为−2+4，然后计算即可．本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，点向左平移表示的数值变小，向右平移表示的数值变大．8.【答案】A【解析】解：数轴上距离原点是8的点有两个，表示−8的点和表示+8的点．故选：A．根据数轴上的点到原点的距离的意义解答．本题考查了数轴，根据数轴的意义解答．9.【答案】C【解析】解：根据相反数的意义，首先在数轴上找到−b，(如图所示)根据在数轴上表示的数，右边的总大于左边的，可得：a>−3，a<−2，a<−b．故选项A、B、D错误，选项C正确．故选：C．先在数轴上表示出−b，利用在数轴上比较实数的办法，可得结论．本题考查了利用数轴比较实数的大小．利用数轴比较实数大小：在数轴上表示的数，右边的总大于左边的．10.【答案】D【解析】解：①根据π的相反数是−π；故此选项正确；②只有符号不同的两个数是互为相反数，故此选项错误；③−(−3.8)=3.8，3.8的相反数是−3.8；故此选项正确；④一个数和它的相反数可能相等，如0的相反数等于0，故此选项正确；⑤正数与负数不一定是互为相反数，如+3和−1，故此选项错误；故正确的有3个．故选：D．根据相反数的定义可对5个选项进行一一分析进而得出答案即可．本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数是关键．11.【答案】1978年【解析】解：由身份证号码第7−10位数字表示的是出生年份，得该居民出生年份是1978．故答案为：1978．由身份证号码第7−10位数字表示的是年份，即可得出结论．本题考查了数学常识，了牢记身份证号码18位数字的意义是解题的关键．12.【答案】−8【解析】解：(−4)+(−4)=−8，故答案为：−8．根据有理数的加法进行计算即可求解．本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．13.【答案】5【解析】解：2−(−3)=2+3=5(℃)，故答案为：5．根据减去一个数等于加上这个数的相反数计算即可．本题考查了有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．14.【答案】−10【解析】解：0−10=0+(−10)=−10，故答案为：−10．根据有理数的减法，可得答案．本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数．15.【答案】2或−4【解析】解：当点B在A的左边时，−1−3=−4，当点B在A的右边时，−1+3=2，故答案为：2或−4．根据数轴和两点之间的距离公式，采用分类讨论的方法求解．此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．16.【答案】2【解析】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为m，则m=5(a+b+c)，∵四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，∴m=21+6+9+4=40，∴5(a+b+c)=40，∴a+b+c=8．∵a>b>c，a、b、c均为正整数，∴当=1时，b=2，则a=5；当c=1时，b=3，则a=4，此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为20<21分，不符合题意舍去；当c=2时，b=3，则a=3，不满足a>b，舍去；当c=3时，b=4，则a=1，不满足a>b，舍去．综上所得：a=5，b=2，=1．∴a−b−c=5−2−1=2．故答案为：2．根据五个比赛项目设定前三名的记分总和=最后参加比赛的所有班级总成绩的和，得出a+b+c 的值，再结合a>b>c，a、b、c均为正整数的条件，列举出可能的值，再根据各班级的总成绩排除不符合题意的值．本题考查了求代数式的值，从整体上考虑这次“体育节”设定的记分总和=四个班总成绩的和是解决本题的关键．17.【答案】解：如图：【解析】利用有理数的分类，以及各自的定义即可得到结果．本题考查了有理数，利用有理数的意义分类是解题的关键，注意分类不能重复，不能遗漏．18.【答案】解：如图：∴−3<0<2<21．2【解析】在数轴上表示各数，根据数轴的各数对应点位置，从左到右用“<”号连起来即可．本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的大小比较，数形结合是解题的关键．19.【答案】−4−63−1【解析】解：①+(−4)=−4；②−(+6)=−6；③−(−3)=3；④−|−1|=−1．故答案为：①−4；②−6；③3；④−1．根据多重复号的化简方法可解答①②③，根据绝对值的意义可化简④．本题考查了多重符号的化简方法和绝对值的意义，一个数前面有偶数个“−”号，结果为正，一个数前面有奇数个“−”号，结果为负，0前面无论有几个“−”号，结果都为0．20.【答案】解：(1)原式=(5+7)+[(−2)+(−6)]=12+(−8)=4．(2)原式=(−7)+(+10)−8=(−7)+(+10)+(−8)=(−7)+(−8)+(+10)=(−15)+(+10)=−5．【解析】(1)根据加法的交换律和结合律计算即可；(2)先把减法转化为加法，再按照加法法则计算．本题考查了有理数的加法和减法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．21.【答案】加法的交换律加法的结合律同号两数相加运算法则−20【解析】解：原式=(+14)+(−27)+26+(−33)(有理数减法的运算法则)=(+14)+26+(−27)+(−33)(加法的交换律)=[(+14)+26]+[(−27)+(−33)](加法的结合律)=40+(−60)(同号两数相加运算法则)=−20(同号两数相加运算法则)．故答案为：加法的交换律，加法的结合律，同号两数相加运算法则，−20．根据有理数的混合运算计算即可．本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法的运算律是解答本题的关键．22.【答案】解：(1)在数轴上表示为：(2)a<−b<0<b<−a；(3)>；=【解析】【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较等知识点，主要考查学生的辨析能力和观察能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．(1)根据已知a b的位置在数轴上把−a，−b表示出来即可；(2)根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可；(3)|a|是一个正数，a是一个负数，比较即可；b是一个正数，正数的绝对值等于它本身比较即可．【解答】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)|a|>a,|b|=b，故答案为：>，=．23.【答案】D4【解析】解：(1)∵点B表示的数为−4，m=2，∴−4+2×2=0，∴原点是点D，∴点F表示的数是2×2=4．故答案为：D，4；(2)①BF=12−(−4)=16，m=16÷4=4；②∵点A，B，C，D，E，F分别对应的数为：−8，−4，0，4，8，12，∴n=−8+(−4)+0+4+8+12=12．(1)根据点B表示的数为−4，m=2即可得到原点的位置，根据原点的位置和m的值即可得到点F表示的数；(2)①根据BF的长度求单位长度即可；②写出点A，B，C，D，E，F分别对应的数，求和即可．本题考查了有理数的加法，数轴，根据BF的长度求单位长度是解题的关键．24.【答案】解：(1)如图所示，(2)这辆货车此次送货全程的路程S=|+4|+|+1.5|+|−8.5|+|3|=17(千米)，这辆货车此次送货共耗油：17×1.5=25.5(升)；答：这辆货车此次送货全程共行走了17千米，这辆货车此次送货共耗油25.5升．(3)依题意得：货车当日的送货收入为：(|4|+|4+1.5|+|−3|)×20=250(元)，答：该货车司机当天的送货收入250元．【解析】(1)根据已知，以百货大楼为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，一辆货车从百货大楼出发，向东走了4千米，到达小明家，即A表示4，继续向东走了1.5千米到达小红家，即B表示5.5，然后西走了8.5千米，到达小刚家，即点C表示−3；(2)分别计算各次长度的绝对值可得送货全程，根据总路程×单位耗油量可得此次送货共耗油量；(3)计算百货大楼到小明、小红、小刚家的距离和，再乘以20可得结论．本题考查了数轴，是一道典型的有理数混合运算的应用题，同学们一定要掌握能够将应用问题转化为有理数的混合运算的能力．25.【答案】35|x+2|30，1，2，3【解析】(1)由题意可得，数轴上表示2和5两点之间的距离是：|5−2|=3，数轴上表示2和−3的两点之间的距离是：|−3−2|=5，故答案为：3，5；(2)由题意可得，数轴上表示x和−2的两点之间的距离是：|x−(−2)|=|x+2|，故答案为：|x+2|；(3)根据绝对值的定义有：|x|+|x−3|可表示为|x−0|+|x−3|，即表示点x到0与3两点距离之和，借助数轴分析可知：当x在0与3之间时，|x−0|+|x−3|的最小值=3．此时x的整数值是0，1，2，3．(1)根据两点间距离公式求解即可；(2)根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可；(3)根据两点间距离公式及数轴分析即可．本题考查的是数轴，绝对值的定义，两点间的距离，理解两点间的距离是解答本题的关键．。
福建省泉州市南安市实验中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷(含详解)
2024年秋南安市实验中学期中考初二年数学科试题满分：150分 考试时间：120分钟一．选择题（每小题4分，共40分）1．4的平方根是 A ．2B ．C ．4D ．2．在下列实数中，属于无理数的是 A ．0B ．CD ．3．下列计算，结果正确的是 A ．B ．C ．D ．4．如图，某广场有一座狮子雕塑，，两点分别为雕塑底座的两端，为测得，两点间的距离，在地面选择一点，连接并延长至点，使，连接并延长至点，使，连接，此时，测量的长即为，两点间的距离，这里判定的依据是 A ．B ．C ．D ．5．已知整数满足：，参考如表数据，判断的值为 434445461849193620252116A ．43B ．44C ．45D ．466．下列各式中，能用平方差公式计算的是 A ．B ．C ．D ．7．下列命题是真命题的是 A ．在数轴上没有表示这个数的点B ．两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等()2-2±()2272π()236a a a ⋅=236()a a =33()ab ab =23a a a÷=A B A B O AO C CO AO =BO D DO BO =CD AOB COD ∆≅∆CD A B AOB COD ∆≅∆()SSS ASA SAS AASn 1n n <<+n ()m 2m ()()()m n m n -+-(3)(3)m m ---(2)(2)n m m n +-()()m n m n --+()πC ．无理数都是无限小数D ．算术平方根等于它本身的数是08．在△中，若，，则的值为 A ．3B ．4C ．5D ．69．已知，，则的值为 A ．3B ．7C ．D ．10．设，，．若，则 的值是 A ．5B ．6C ．7D ．8二．填空题（每小题4分，共24分）11．的立方根是 ．12．已知，，则 ．13．如图，，若，则 度．14的整数部分是，则的算术平方根为 ．15．若是一个完全平方式，则实数的值为 ．16．如图，在等腰三角形△中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则△的面积为 ．三．解答题（共86分）17．（8分）计算：．18．（8分）因式分解：（1）； （2）．19．（8分）如图，，，点在上，且，求证：．ABC 5AB AC ==60B ∠=︒BC ()5m n +=-2mn =-(12)(12)m n --()7-17-2023a x =-2025b x =-2024c x =-2216a b +=2c ()8-2212a b -=2a b +=a b -=ABC ADE ∆≅∆110B C ∠+∠=︒DAE ∠=a 3a -24x mx ++m ABC AB AC =D BC EC AC ⊥AC CE =C BE 6BC =BCE 382181-+-+24a -22242y xy x ++A ECD ∠=∠CA CD =E BC //DE AB AB EC =20．（8分）先化简，再求值：，其中，．21．（8分）（1）已知，求a 2m +3n 的值；（2）已知，求n 的值．22．（10分）观察下列各式：；请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1 ；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用为正整数）表示的等式： ；（3（仿照上式写出过程）．23．（10分）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．（1）与全等吗？请说明理由；（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？24．（13分）借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：2[(2)(2)(2)]2x y x y x y x -++-÷2x =3y =-4,3==n m a a 72991=-+n n 11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-==(n n A OA 1.2m B C OA BD CE 1.6m 2m 90BOC ∠=︒OBD ∆COE ∆【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式： ；（2）图2是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：（3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值；（4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．25．（13分）在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 在边BC 上运动（点D 不与B ，C 重合），连接AD ，把线段AD 绕点A 顺时针旋转90°后得到AE ，连接DE ，交AB 于点F ，连结BE ．（1）如图1，求证：△ACD ≌△ABE ；（2）如图1，当CD=BF 时，求∠AFD 的度数．（3）如图2，若AB=8，G 为BC 中点，连接EG ，四边形ACGE 的面积是否会改变？若会改变请说明理由，若不会改变，请求出它的面积．a b c c ABC ∆90C ∠=︒a b c 14a b +=48ab =c ABCDE AC BD ⊥N 2AC BD ==CN a =BN b =BCN ∆AEDN AEDN参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：，的平方根为，故选：．2．解：．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；，3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；．是无理数，故本选项符合题意；故选：．3．解：、，不符合题意；、，符合题意；、，不符合题意；、，不符合题意；故选：．4．解：在和中，，，故选．5．解：，即，整数满足：，，故选：．2(2)4±= 4∴2±D A B 227C 3=D 2πD A 2356a a a a ⋅=≠B 23236()a a a ⨯==C3333()ab a b ab=≠D 23231a aa a a --÷==≠B AOB ∆COD ∆AO CO AOB COD BO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB COD SAS ∴∆≅∆C <<4445<<n 1n n <+44n ∴=B6．解：、因为和互为相反数，和互为相反数，所以选项没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，选项计算错误，不符合题意；、和互为相反数，和相同，能用平方差公式计算，选项计算正确，符合题意；、没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，选项计算错误，不符合题意；、和互为相反数，和互为相反数，没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，选项计算错误，不符合题意；故选：．7．解：、数轴上的点和实数一一对应，是实数，所以在数轴上有表示这个数的点，原命题是假命题，不符合题意；、两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，不符合题意；、无理数是无限不循环小数，所以无理数都是无限小数，原命题是真命题，符合题意；、算术平方根等于它本身的数是0和1，原命题是假命题，不符合题意；故选：．8．解：，，△为等边三角形，．故选：．9．解：，，．又，，原式，A m -m n n -B m -m 3-3-CD m -m n n -B A ππB C D C 5AB AC == 60C B ∴∠=∠=︒∴ABC 5BC AB ∴==C (12)(12)m n --1224m n mn =--+12()4m n mn =-++5m n +=-2mn =-∴12(5)4(2)=-⨯-+⨯-．故选：．10．解：，，，，，，，，，故选：．二．填空题（共6小题）11．解：的立方根是．故答案为：．12．解：，且，，即，．故答案为：6．13．解：在中，，，，，故答案为：70．3=A 2023a x =- 2025b x =-2024c x =-120241a x c b ∴-=-==+2a b -=2216a b += 2()216a b ab ∴-+=6ab ∴=2(1)(1)c a b ∴=-+1ab a b =+--621=+-7=C 8-2-2-2212a b -= 2a b +=()()12a b a b ∴+-=2()12a b -=6a b ∴-=ABC ∆110B C ∠+∠=︒180()70BAC B C ∴∠=︒-∠+∠=︒ABC ADE ∆≅∆ 70DAE BAC ∴∠=∠=︒14．解：，的整数部分为2，，的算术平方根为．故答案为：．15．解：是一个完全平方式，，．故答案为：．16．解：过作于，过作于，，，，，，，，在△与△中，，△△，，△的面积．459<<∴23<<∴2a ∴=3321a ∴-=-=3a ∴-1124x mx ++ 22mx x ∴=±⋅⋅4m ∴=±4±A AH BC ⊥H E EF BC ⊥F AB AC = 6BC =3BH HC ∴==90ACE ∠=︒ 90ACH ECF ∴∠+∠=︒90CAH ACH ∠+∠=︒ ECF CAH ∴∠=∠ACH CEF AHC CFE CAH ECF AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACH ≅()CEF AAS 3EF CH ∴==∴BCE 1163922BC EF =⋅=⨯⨯=故答案为：9．三．解答题（共9小题）17．18．解：（1）原式； （2）原式．19．证明：，，在和中，，，．20．解：，当，时，原式．21．解：（1）∵a m ＝3，a n ＝4，∴a 2m +3n|1912=+-6=+(2)(2)a a =-+22(21)x x =++22(1)x =+//DE AB DEC ABC ∴∠=∠ABC ∆CED ∆A ECD ABC DEC CA CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC CED AAS ∴∆≅∆AB EC ∴=2[(2)(2)(2)]2x y x y x y x -++-÷2222(444)2x xy y x y x =-++-÷2(24)2x xy x=-÷2x y =-2x =3y =-22(3)8=-⨯-=＝a 2m ×a 3n＝（a m ）2×（a n ）3＝32×43＝9×64＝576；（2）∵9n +1﹣9n ＝72，∴9×9n ﹣9n ＝72，则8×9n ＝8×9，∴n ＝1．22．解：（1，故答案为：；（2，；（323．解：（1）与全等．11145=+-1120=112011(1)n n =++11(1)n n =++==111910=+-1190=OBD ∆COE ∆理由如下：由题意可知，，，．，在和中，，；（2），，，、分别为和，，，，答：爸爸是在距离地面的地方接住小明的．24．解：（1），故答案为：；（2）发现：，理由：图2中图形的面积，，，．90CEO BDO ∠=∠=︒OB OC =90BOC ∠=︒ 90COE BOD BOD OBD ∴∠+∠=∠+∠=︒COE OBD ∴∠=∠COE ∆OBD ∆COE OBD CEO ODB OC OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()COE OBD AAS ∴∆≅∆COE OBD ∆≅∆ CE OD ∴=OE BD =BD CE 1.6m 2m 2 1.60.4()DE OD OE CE BD m ∴=-=-=-=1.2AD m = 1.6()AE AD DE m ∴=+= 1.6m 222()2a b a b ab +=+-222()2a b a b ab +=+-222a b c += 2111:2()()222ab c a b a b ⨯+=⨯++∴2211()22ab c a b +=+222()ab c a b ∴+=+222a b c ∴+=（3）在直角中，，三边分别为、、，由（1）（2）结论可知：，，，，．（4），，周长为2，，在 中，，，，，，，，，，，长方形的面积为：．25.解：（1），，，，，，在和中，，．（2），，，ABC ∆90C ∠=︒a b c 2222()2c a b a b ab =+=+-14a b += 48ab =22(14)248100c ∴=-⨯=10c ∴=CN a = BN b =BCN ∆22BC CN BN a b ∴=--=-- Rt BNC ∆222BC CN BN =+222(2)a b a b ∴--=+22224244a b ab a b a b ∴+++--=+42440ab a b ∴+--=2()2ab a b ∴-+=-2AC BD == CN a =BN b =2AN AC CN a ∴=-=-2DN BD BN b =-=-∴AEDN (2)(2)42()422AN DN a b ab a b ⋅=--=+-+=-=AD AE = 90DAE ∠=︒90CAB ∠=︒BAE DAE BAD ∴∠=∠-∠CAD BAC BAD ∠=∠-∠BAE CAD ∴∠=∠ABE ∆ACD ∆AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ACD SAS ∴∆≅∆90BAC ∠=︒ AB AC =45C ∴∠=︒由（1）可知：，，，，，．（3）四边形的面积不会变化，理由如下如图2，连接，，，点是的中点，，，，，由（1）可知：，，，，四边形，四边形的面积是定值．45C ABE ∠=∠=︒BE CD =CD BF = BE BF ∴=67.5BFE ∴∠=︒67.5AFD ∴∠=︒ACGE AG 90BAC ∠=︒ AB AC =G BC AG BC ∴⊥12AGC ABC S S ∆∆=45BAG ∠=︒4BG GC AG ===45ABE ∠=︒ABE BAG ∴∠=∠//BE AG ∴ABG AGE S S ∆∆∴=∴188322ACG AEG ACG ABG ABC ACGE S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+==⨯⨯=∴ACGE。
福建省泉州市南安市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含答案)
南安市2023－2024学年度上学期初中期中教学质量监测初二年数学试题（满分：150分 考试时间：120分钟 内容：第11、12章）学校：班级：姓名：考生号：友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．4的平方根是（ ）AB ．C ．D ．2．下列各数中，是无理数的是（）A BC ．D ．3．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列各式计算正确的是（ ）ABCD5．下列计算错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．多项式的公因式是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如果整式恰好是一个整式的平方，那么的值是（）A ．B ．C ．D ．22-2±3.14227()2293m m -=-()211m m m m -+=+()21mm m m +=+()22121m m m +=++3=±3=-2=5=235y y y ⋅=632x x x ÷=55()m mx x =5233()()xy xy x y ÷=()()22x y x y -+-()()1551m m --()()3535x y x y -+()()a b a b +--32339a b a b +23a b 333a b ab339a b 29x mx ++m 3±696±9．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（）A ．B ．C ．D ．10．阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（）A ．最小值为B ．最小值为C ．最大值为D ．最大值为二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．的立方根是 ．12．比较大小：．（填写“”、“”或“”）13，则的值为．14．若，，则的值是 ．15．若，则．16．若，则．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8．18．（8分）因式分解：（1）； （2）．19．（8分）先化简，再求值：，其中，．20．（8分）一个正数的两个不同的平方根分别是和．（1）求和的值；a b a b >()2222a b a ab b+=++()2222a b a ab b -=-+()()22ab a b a b -=+-()()2222aab b a b a b --=+-245x x -+()2222a ab b a b ++=+2245441x x x x ++=+++()221x =++()220x +≥()2211x ++≥2x =-()221x ++1=245x x ++264x x -++9-5-5138-<>=()230x +=y x 3ab =-2a b +=-22a b ab +()()234x x x mx n +-=++mn =22121256676742a a a aa ++-⋅-⋅=a =2+-2312x -2242x y xy y -+22[(2)()(3)5]2x y x y x y y x +-+--÷2x =1y =x 21a -4a +x a（2）求的立方根．21．（8分）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）.22．（10分）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、，，其结果6、3、2都是整数，所以、、这三个数称为“完美组合数”．（1）、、这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；（2）若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值．23．（10我们知道面积是2，∵，，其中，可画出如图示意图，∴，又∵，∴，∵较小，我们可以略去，得方程，∴解得．610x a -6m a =2n a =23mn a a +22m n a -1-4-9-6=3=2=1-4-9-3-12-27-5-m 20-m 12<<1x =+01x <<2211S x x =+⨯⋅+正方形2S =正方形22112x x +⨯⋅+=2x 2x 212x +=0.5x =1 1.5x =+≈（1的整数部分是；（2的近似值(精确到0.1)．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）24．（12分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，＝ ；（2）求展开式中各项的系数和；（3）若今天是星期二，经过天后是星期几．25．（14分）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：【直接应用】（1）若，求的值；【类比应用】（2）若，求的值；以下是亮亮同学的解法：解：∵，∴，∵，∴．爱动脑筋的琪琪同学看了亮亮同学的解法后，灵机一动说到：“我还有其它不同的解法．”请你结合材料，类比第（1）题进行解答；()na b +n a ()2222a b a ab b +=++()2332233a b a a b ab b +=+++()5a b +()10a b +1002()2222a b a ab b +=++x y +=2xy =22x y +()()341x x --=()22(3)4x x -+-2(3)(4)7121x x x x --=-+=2711x x -=-()22222(3)46916821425x x x x x x x x -+-=-++-+=-+()()()22211(3)427252253x x x x --+-=-+=⨯+=【知识迁移】（3）两块形状大小都相同的直角梯形（）如图2所示放置，其中、、三点在同一直线上，连结、．若，每一个直角梯形的面积为69，且下底是上底的2倍，求△与△的面积之和．南安市2023—2024学年度上学期初中期中教学质量监测初二年数学参考答案及评分标准说明：（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．（二）如解答的某一步出现错误，这一步没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．（四）评分最小单位是1分，得分或扣分都不出现小数．一、选择题（每小题4分，共40分）1．D ；2．A ；3．C ；4．D ；5．B ；6．C ；7．A ；8．D ；9．C ；10．D ．二、填空题（每小题4分，共24分）11．； 12．＞； 13．9； 14．6； 15．12； 16．2．三、解答题（共86分）17．（8分）解：原式18．（8分）解：（1）原式（2）原式19．（8分）解：原式当，时，原式20．（8分）解：（1）由题意，得，∴当时，，．（2）由（1）可知，，，的立方根为4．AOCBCO DOF ∠=∠=∠90EFO =∠=︒A O F AD CF 14AF =AOD COF 2-5(3)(2=+-+4=-23(4)x =-3(2)(2)x x =+-22(21)y x x =-+22(1)y x =-()()22222443252x xy yxxy y y x⎡⎤=++-+--÷⎣⎦()2222x xy x =-+÷x y=-+2x =1y =21=-+1=-2140a a -++=1a ∴=-1a =-4143a +=-+=239x ∴==1a =-9x =6106910(1)64x a ∴-=⨯-⨯-=610x a ∴-21．（8分）解：（1），，，，．（2），由（1）知，，．22．（10分）解：（1）、、这三个数是“完美组合数”．理由如下：，、、这三个数是“完美组合数”（2），，或（不符合题意，舍去）的值是．23．（10分）解：（1）8．（2），，其中可画出如图示意图，由图中面积计算，又，较小，略去可得方程，解得24．（12分）解：（1）（2）赋值法：由题可得设令，可得的系数和为．（3）法一：若今天是星期二，经过天后是星期四，理由如下：由题可得．。
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福建省泉州市南安市自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在“百度”搜索引擎中输入“永安”二字，能搜索到与之相关的结果个数约为61600000，数61600000用科学记数法表示正确的为（）
A．61.6×107B．6.16×108C．6.16×107D．0.616×108 2．（4分）下列运算正确的是（）
A．a3÷a2=a B．a3+a2=a5C．（a3）2=a5D．a2•a3=a6 3．（4分）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况为（）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
4．（4分）若双曲线y=分布在二、四象限，则k的值可为（）A．0B．1C．2D．3
5．（4分）在正方形网格中，△ABC的位置如图，则cos∠B的值为（）
A．B．C．D．
6．（4分）下列函数：①y=﹣3x；②y=2x﹣1；③；④y=﹣x2+2x+3．其中y的值随x值的增大而增大的函数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（4分）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．（4分）已知关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在0≤
x≤4的范围内，则a的取值范围是（）
A．a＞5或a＜﹣2B．﹣2≤a≤5C．﹣2＜a＜5D．a≥5或a≤﹣2 9．（4分）如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为l，则AP+BP的最小值为（）
A．2B．C．D．1
10．（4分）如图，直角三角形ABC位于第一象限，AB=3，AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）
A．1≤k≤5B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不透明的口袋中有2个黑球，1个白球，它们除颜色外其它均相同，从中先后两次摸出一个球（第一次摸出后不放回），则两次都摸到黑球的概率是．
12．（4分）若x，y为实数，且满足（x﹣3）2+=0，则（）2017的值是．13．（4分）计算：x（x+2）﹣（x+1）（x﹣1）=．
14．（4分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=°．
15．（4分）有这么一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和，得n2，计算n22+1得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和，得n3，再计算n32+1得a3；…．
依此类推，则a2017=．
16．（4分）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD 上的B′处，折痕为AE、在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．
三、解答题（本大题共9小题，共计86分）
17．（7分）计算：|﹣2|﹣（2﹣）0+（﹣）﹣2
18．（7分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a=2，b=1．19．（8分）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG．
（1）求证：BE=DG且BE⊥DG；
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
20．（8分）钓鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓鱼岛中某个岛礁上的斜坡AC，我海监船在海面上与点C距离200米的D处，测得岛礁顶端A的仰角为26.6°，以及该斜坡坡度是tanα=，求该岛礁的高AB（结果取整数）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
21．（8分）据报载，在“百万家庭低碳行，垃圾分类要先行”活动中，某地区的一个环保组织在2014年4月份随机问卷了一些民众，对垃极分类所持态度进行调查，将调查结果绘成扇形图（如图）．
（1）扇形图中，表示持“一般”态度的民众所占比例的扇形的圆心角度数是；
（2）调查中，如果把所持态度中的“很赞同”和“赞同”统称为“支持”，2016年4月，该环保组织又进行了一次同样的调查，发现“垃圾分类支持者”占到了调查人数的84.7%，那么这两年里“垃圾分类支持者”的年平均增长率大约是多少？
22．（10分）如图，Rt△ABC中∠C=90°，AC=4，BC=3；半径为1的⊙P的圆心P 在AC边上移动．
（1）当AP为多长时，⊙P与AB相切？（如有需要，可用图1分析）
（2）如图2，当⊙P运动到与边BC相交时，记交点为E，连结PE，并作PD⊥AC 交AB于点D，问：四边形PDBE可能为平行四边形吗？若可能，求出此时AP 的长；若不可能，说明理由．
23．（10分）如图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求出图象与x轴的交点A，B（A在B的左边）的坐标；与y轴的交点C坐标，并画出二次函数的草图；
（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
24．（14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=120°，点C是弧AB上的一个动点，（不与点A、B重合），OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别为D、E．（1）当点C是弧AB中点时（如图①），求线段OD的长度；
（2）观察图②，点C在弧AB上运动，△DOE的边、角有哪些保持不变？求出不变的量；
（3）设OD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值
范围．
25．（14分）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，其顶点为M．
（Ⅰ）根据图象，解不等式ax2﹣2ax+c＞0；
（Ⅱ）若点D（﹣3，6）在二次函数的图象上，试问：线段OB上是否存在N点，使得∠ADB=∠BMN？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由．
福建省泉州市南安市自主招生数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．C；2．A；3．B；4．A；5．D；6．C；7．C；8．D；9．C；10．B；
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．；12．﹣1；13．2x+1；14．60；15．26；16．；
三、解答题（本大题共9小题，共计86分）
17．；18．；19．；20．；21．36°；22．；23．；24．；25．；。